3．简谐运动的回复力和能量
[学习目标] 1．知道回复力的概念及简谐运动的能量。2．用动力学方法和能量转化思想分析弹簧振子回复力特点和能量变化规律。3．探究弹簧振子系统的能量转化过程。4．注重养成观察、分析、比较、归纳的良好习惯，激发学习物理的积极性。
知识点一 简谐运动的回复力
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到________的力。
(2)方向：指向________。
(3)表达式：F＝______。
2．简谐运动的动力学特征
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成____，并且总是指向________，质点的运动就是简谐运动。
公式F＝－kx中k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中的k才为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关。
回复力可以是恒力吗？
1．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。 ( )
(2)回复力的方向总是与速度方向相反。 ( )
(3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零。 ( )
知识点二 简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是____和____互相转化的过程。
(1)在最大位移处，____最大，____为零。
(2)在平衡位置处，____最大，____为零。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能____，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种______的模型。
2．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)水平弹簧振子做简谐运动时机械能守恒。 ( )
(2)做简谐运动的物体在平衡位置处动能最大，在最大位移处动能最小。( )
(3)做简谐运动的物体能量变化的周期等于简谐运动的周期。 ( )
(4)做简谐运动的质点，振幅越大，其振动的能量越大。 ( )
3．填空
如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中回复力方向为__，大小逐渐____，动能逐渐____，势能逐渐____。(均选填“正”“负”“增大”或“减小”)
观察水平弹簧振子的振动。
问题1：如图所示，当把振子从静止的位置O拉开一小段距离到A再放开后，它为什么会在A—O —A′之间振动呢？
问题2：弹簧振子振动时，回复力与位移有什么关系呢？
考点1 简谐运动的回复力
1．对回复力的理解
(1)回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，它可以是物体所受的合外力，也可以是一个力或某一个力的分力，而不是一种新的性质力。
(2)简谐运动的回复力：F＝－kx。
①k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关。
②“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。
③x是指物体相对平衡位置的位移，不一定是弹簧的伸长量或压缩量。
④回复力的作用总是把物体拉向平衡位置。
2．简谐运动的加速度
根据牛顿第二定律F＝ma知，a＝＝－x，表明简谐运动的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
名师点睛：因x＝A sin (ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
【典例1】 一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示。
(1)小球在振动过程中的回复力实际上是______________________。
(2)该小球的振动是否为简谐运动？
[听课记录]
判断是否为简谐运动的方法
(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系。
(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析。
(3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力。
(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F＝－kx(或a＝－x)，若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动。
[跟进训练]
1．如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B两点之间做往复运动，下列说法正确的是( )
A．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C．弹簧振子由A向O运动的过程中，回复力逐渐增大
D．弹簧振子由O向B运动的过程中，回复力的方向背离平衡位置
考点2 简谐运动的规律与能量
1．简谐运动中各物理量的变化规律
(1)根据水平弹簧振子的示意图，可分析各个物理量的变化关系如表所示：
振子的运动 A→O O →A′ A′→O O →A
位移 向右减小 向左增大 向左减小 向右增大
回复力 向左减小 向右增大 向右减小 向左增大
速度 向左增大 向左减小 向右增大 向右减小
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
(2)各个物理量对应关系不同：位置不同，位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。
特征 表达式 物理含义
动力学特征 F＝－kx 回复力是根据效果命名的力，不是独立性质的力，它由物体所受力在振动方向上的合力提供
运动学特征 a＝－x 简谐运动是一个加速度时刻变化的变速运动
能量特征 Ek＋Ep＝恒量 振动系统的动能和势能相互转化，总量保持不变
2．简谐运动的特征与能量
(1)简谐运动的三大特征
①瞬时性：做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置，对应不同的位移，由F＝－kx可知回复力不同。由牛顿第二定律F＝ma得a＝－x，可知加速度a也不相同，也就是说a、F、x具有瞬时对应性。
②对称性
a．物体通过关于平衡位置对称的两点时，加速度(回复力)大小相等，速度大小相等，动能相等，势能相等。
b．对称性还表现在时间的相等上，如从某点到达最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等；质点从某点向平衡位置运动时，到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等。
③周期性：简谐运动是一种往复的周期性运动，按其周期性可做如下判断：
a．若t2－t1＝nT(n＝1，2，3，…)，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况完全相同。
b．若t2－t1＝T(n＝0，1，2，…)，则t1、t2两时刻描述运动的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均为零)。
(2)对简谐运动能量的三点认识
①决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大。
②能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的。
③能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒。
【典例2】 如图甲所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T，其振动图像如图乙所示。经时间，小球从最低点向上运动的距离______(选填“大于”“小于”或“等于”)；在时刻，小球的动能______(选填“最大”或“最小”)。
甲 乙
[听课记录]
分析简谐运动中能量变化情况的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的势能增大，动能减小；反之，则产生相反的变化。
(2)分析过程中要特别注意简谐运动的对称性。位移相同时，动能相同、势能相同。
[跟进训练]
2．在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图所示。现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是( )
A．OB越长，系统的机械能越小
B．在运动过程中，物块A的机械能守恒
C．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在O点时最小
D．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在B点时最小
1．关于做简谐运动的物体的平衡位置，下列叙述不正确的是( )
A．是回复力为零的位置
B．是回复力产生的加速度改变方向的位置
C．是速度为零的位置
D．是回复力产生的加速度为零的位置
2．关于简谐运动中弹簧振子的合力和位移的关系，图中表示正确的是( )
A B C D
3．一弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，在t＝3.2 s时，振子的( )
A．速度正在增大，加速度沿正方向且正在减小
B．速度正在减小，回复力沿正方向且正在增大
C．动能正在转化为势能
D．势能正在转化为动能
4．(新情境题，以浮在水面上的木块为背景，考查简谐运动的回复力)一质量为m、侧面积为S的正方体木块，放在水面上静止(处于平衡状态)，如图所示。现用力向下将其压入水中一定深度后(未全部浸入)撤掉外力，木块在水中上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动。
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．简谐运动的回复力有什么特点？
2.对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由什么决定？
3.简谐运动的各物理量如何变化？
7 / 73．简谐运动的回复力和能量
[学习目标] 1．知道回复力的概念及简谐运动的能量。2．用动力学方法和能量转化思想分析弹簧振子回复力特点和能量变化规律。3．探究弹簧振子系统的能量转化过程。4．注重养成观察、分析、比较、归纳的良好习惯，激发学习物理的积极性。
知识点一 简谐运动的回复力
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力。
(2)方向：指向平衡位置。
(3)表达式：F＝－kx。
2．简谐运动的动力学特征
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
公式F＝－kx中k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中的k才为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关。
回复力可以是恒力吗？
提示：不可以。
1．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。 (√)
(2)回复力的方向总是与速度方向相反。 (×)
(3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零。 (√)
知识点二 简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能为零。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
2．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)水平弹簧振子做简谐运动时机械能守恒。 (√)
(2)做简谐运动的物体在平衡位置处动能最大，在最大位移处动能最小。 (√)
(3)做简谐运动的物体能量变化的周期等于简谐运动的周期。 (×)
(4)做简谐运动的质点，振幅越大，其振动的能量越大。 (√)
3．填空
如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中回复力方向为负，大小逐渐减小，动能逐渐增大，势能逐渐减小。(均选填“正”“负”“增大”或“减小”)
观察水平弹簧振子的振动。
问题1：如图所示，当把振子从静止的位置O拉开一小段距离到A再放开后，它为什么会在A—O —A′之间振动呢？
问题2：弹簧振子振动时，回复力与位移有什么关系呢？
提示：1．当振子离开平衡位置后，振子受到总是指向平衡位置的回复力作用，这样振子就不断地振动下去。
2．振子的回复力跟其偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反。
考点1 简谐运动的回复力
1．对回复力的理解
(1)回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，它可以是物体所受的合外力，也可以是一个力或某一个力的分力，而不是一种新的性质力。
(2)简谐运动的回复力：F＝－kx。
①k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关。
②“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。
③x是指物体相对平衡位置的位移，不一定是弹簧的伸长量或压缩量。
④回复力的作用总是把物体拉向平衡位置。
2．简谐运动的加速度
根据牛顿第二定律F＝ma知，a＝＝－x，表明简谐运动的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
名师点睛：因x＝A sin (ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
【典例1】 一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示。
(1)小球在振动过程中的回复力实际上是______________________。
(2)该小球的振动是否为简谐运动？
[解析] (1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与小球重力的合力。
(2)设小球的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg。 ①
当小球向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为F回＝mg－k(x＋h)。
②
将①代入②式得：F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该小球的振动是简谐运动。
[答案] (1)弹力和重力的合力 (2)是简谐运动
判断是否为简谐运动的方法
(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系。
(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析。
(3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力。
(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F＝－kx(或a＝－x)，若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动。
[跟进训练]
1．如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B两点之间做往复运动，下列说法正确的是( )
A．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C．弹簧振子由A向O运动的过程中，回复力逐渐增大
D．弹簧振子由O向B运动的过程中，回复力的方向背离平衡位置
A [回复力是根据力的效果命名的，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力提供的，在此情境中弹簧振子受重力、支持力和弹簧弹力的作用，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，弹簧振子由A向O运动的过程中位移在减小，则在此过程中回复力逐渐减小，故C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，故D错误。]
考点2 简谐运动的规律与能量
1．简谐运动中各物理量的变化规律
(1)根据水平弹簧振子的示意图，可分析各个物理量的变化关系如表所示：
振子的运动 A→O O →A′ A′→O O →A
位移 向右减小 向左增大 向左减小 向右增大
回复力 向左减小 向右增大 向右减小 向左增大
速度 向左增大 向左减小 向右增大 向右减小
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
(2)各个物理量对应关系不同：位置不同，位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。
特征 表达式 物理含义
动力学特征 F＝－kx 回复力是根据效果命名的力，不是独立性质的力，它由物体所受力在振动方向上的合力提供
运动学特征 a＝－x 简谐运动是一个加速度时刻变化的变速运动
能量特征 Ek＋Ep＝恒量 振动系统的动能和势能相互转化，总量保持不变
2．简谐运动的特征与能量
(1)简谐运动的三大特征
①瞬时性：做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置，对应不同的位移，由F＝－kx可知回复力不同。由牛顿第二定律F＝ma得a＝－x，可知加速度a也不相同，也就是说a、F、x具有瞬时对应性。
②对称性
a．物体通过关于平衡位置对称的两点时，加速度(回复力)大小相等，速度大小相等，动能相等，势能相等。
b．对称性还表现在时间的相等上，如从某点到达最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等；质点从某点向平衡位置运动时，到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等。
③周期性：简谐运动是一种往复的周期性运动，按其周期性可做如下判断：
a．若t2－t1＝nT(n＝1，2，3，…)，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况完全相同。
b．若t2－t1＝T(n＝0，1，2，…)，则t1、t2两时刻描述运动的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均为零)。
(2)对简谐运动能量的三点认识
①决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大。
②能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的。
③能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒。
【典例2】 如图甲所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T，其振动图像如图乙所示。经时间，小球从最低点向上运动的距离______(选填“大于”“小于”或“等于”)；在时刻，小球的动能______(选填“最大”或“最小”)。
甲 乙
[解析] 根据简谐运动的位移公式y＝－A cos ，
则t＝时有y＝－A cos ＝－A，
所以小球从最低点向上运动的距离为Δy＝A－A＝A
则小球从最低点向上运动的距离小于。
在t＝时，小球回到平衡位置，具有最大的振动速度，所以小球的动能最大。
[答案] 小于 最大
分析简谐运动中能量变化情况的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的势能增大，动能减小；反之，则产生相反的变化。
(2)分析过程中要特别注意简谐运动的对称性。位移相同时，动能相同、势能相同。
[跟进训练]
2．在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图所示。现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是( )
A．OB越长，系统的机械能越小
B．在运动过程中，物块A的机械能守恒
C．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在O点时最小
D．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在B点时最小
C [做简谐运动的物体的机械能跟振幅有关，对确定的振动系统，振幅越大，系统的机械能越大，A错误；在简谐运动中，物块A与弹簧组成的系统机械能守恒，但物块A的重力势能与动能总和不断变化，故物块A的机械能不守恒，B错误；在简谐运动中，系统在最大位移处动能为零，势能最大，在平衡位置处动能最大，势能最小，C正确，D错误。]
1．关于做简谐运动的物体的平衡位置，下列叙述不正确的是( )
A．是回复力为零的位置
B．是回复力产生的加速度改变方向的位置
C．是速度为零的位置
D．是回复力产生的加速度为零的位置
C [平衡位置处，x＝0，则回复力F＝0，回复力产生的加速度为零，且此处速度最大，势能最小，A、D正确，C错误；在平衡位置两边位移方向相反，回复力方向相反，对应加速度方向相反，B正确。]
2．关于简谐运动中弹簧振子的合力和位移的关系，图中表示正确的是( )
A B C D
C [根据F＝－kx可知，回复力与位移的关系图像为一条直线，斜率为负值，选项C正确。]
3．一弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，在t＝3.2 s时，振子的( )
A．速度正在增大，加速度沿正方向且正在减小
B．速度正在减小，回复力沿正方向且正在增大
C．动能正在转化为势能
D．势能正在转化为动能
C [当t＝3.2 s时振子正在向最大位移处运动，位移为正，速度正在减小，加速度和回复力沿负方向且正在增大，振子动能减小，弹簧弹性势能增大，动能正在转化为势能，C正确，A、B、D错误。]
4．(新情境题，以浮在水面上的木块为背景，考查简谐运动的回复力)一质量为m、侧面积为S的正方体木块，放在水面上静止(处于平衡状态)，如图所示。现用力向下将其压入水中一定深度后(未全部浸入)撤掉外力，木块在水中上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动。
[解析] 以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中的深度为Δx，当木块被压入水中x后，其受力如图所示，则F回＝mg－F浮， ①
又F浮＝ρgS(Δx＋x)， ②
由①式和②式得，
F回＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx，
木块静止在水面上时受力平衡，有mg＝ρgSΔx，
所以F回＝－ρgSx，即F回＝－kx(k＝ρgS)，
所以木块的振动是简谐运动。
[答案] 见解析
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．简谐运动的回复力有什么特点？
提示：回复力是效果力，作用是使物体回到平衡位置，大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
2.对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由什么决定？
提示：振幅，振幅越大，能量越大。
3.简谐运动的各物理量如何变化？
提示：周期性变化。
课时分层作业(八) 简谐运动的回复力和能量
?题组一 简谐运动的回复力
1．关于简谐运动，以下说法正确的是( )
A．回复力就是物体受到的合外力
B．回复力是根据力的作用效果命名的
C．振动中位移的方向是不变的
D．物体振动到平衡位置时所受合外力一定等于零
B [回复力可以是几个力的合力，也可能不是物体受的合外力，A错误；回复力可以由重力、弹力、摩擦力等各种不同性质的力提供，其效果是使物体回到平衡位置，B正确；位移是从平衡位置指向物体所在位置，其方向是变化的，做简谐运动的物体振幅是不变的，C错误；物体振动到平衡位置时，其回复力为零，但合外力不一定为零，D错误。]
2．关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是( )
A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C．根据k＝－，可以认为k与F成正比
D．表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动
B [对弹簧振子来说，k为劲度系数，x为质点离开平衡位置的位移，对于其他简谐运动，k不是弹簧的劲度系数，而是一个比例系数，该系数由系统本身结构决定，与力F和位移x无关，故A、C错误，B正确；“－”号只表示回复力与位移反向，回复力有时是动力，故D错误。]
3．如图甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，图乙是弹簧振子做简谐运动时的位移—时间图像。则关于弹簧振子的加速度随时间的变化规律，下列四个图像中正确的是( )
甲 乙
A B C D
C [加速度与位移的关系为a＝－，而x＝A sin ωt，所以a＝－sin ωt，选项C正确。]
?题组二 简谐运动的能量
4．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示。下列结论正确的是( )
A．小球在O位置时，动能最小，加速度最大
B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从B到O的过程中，弹簧振子振动的总能量不断增加
B [小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，小球动能最大，位移为零，加速度为零，A错误；小球在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B正确；小球由A→O，回复力做正功，由O →B，回复力做负功，C错误；小球由B→O，动能增加，弹簧弹性势能减少，总能量不变，D错误。]
5．如图是小球做简谐运动的振动图像，由图可知( )
A．t1时刻，小球的动能最大，振动的回复力最大
B．t2时刻，小球的动能最大，振动的回复力最小
C．t3时刻，小球的动能最大，振动的回复力最大
D．t4时刻，小球的动能最大，振动的回复力最大
B [由题图可知，t1时刻，小球位于正方向的最大位移处，回复力最大，速度最小，动能最小，A错误；t2时刻，小球位于平衡位置，回复力最小，速度最大，动能最大，B正确；由简谐运动的对称性可知C、D均是错误的。]
6．如图所示，水平弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动，平衡位置为O点，C、D两点分别为OA、OB的中点。下列说法正确的是( )
A．振子从A点运动到C点的时间等于周期的
B．从O点到B点的过程中，振子的动能转化为弹簧的弹性势能
C．在C点和D点，振子的速度相同
D．从C点开始计时，振子再次回到C点完成一次全振动
B [振子从A点运动到O点的时间等于周期的，因振子从A到C的时间大于从C到O的时间，可知振子从A点运动到C点的时间大于周期的，A错误；从O点到B点的过程中，振子速度减小，动能减小，弹簧弹性势能增加，即振子的动能转化为弹簧的弹性势能，B正确；在C点和D点，振子的速度大小相等，方向相反，C错误；从C点开始计时，振子第二次回到C点才是完成一次全振动，D错误。]
?题组三 简谐运动的综合应用
7．如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，运动过程中A、B之间无相对运动。设弹簧的劲度系数为k。当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于( )
A．0 B．kx
C．kx D．kx
D [A、B整体做简谐运动，则对整体有，回复力F＝－kx，则整体的加速度a＝。对于物体A，由牛顿第二定律可知，受到的摩擦力f＝ma＝－kx。D项正确。]
8．如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平面上，上端连一质量为M的物块A，A的上面放置一质量为m的物块B，系统可在竖直方向做简谐运动。则( )
A．当振动到最低点时，B对A的压力最小
B．当振动到最高点时，B对A的压力最小
C．当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
D．当向下振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
B [当系统做简谐运动时，A、B均做简谐运动，B做简谐运动的回复力由B的重力和A对B的支持力的合力提供，要判断B对A的压力大小，根据牛顿第三定律可知，只要判断出A对B的支持力的大小即可。
设最大加速度为am，根据简谐运动的对称性可知，在最高点和最低点加速度的大小都是am，最高点时am向下，最低点时am向上，在经平衡位置时a＝0。
对于B物体，由牛顿第二定律可得：在最高点时有mg－F高＝mam，得F高＝mg－mam；在最低点时有F低－mg＝mam，得F低＝mg＋mam；在经过平衡位置时有F平－mg＝0，即F平＝mg，可知F低＞F平＞F高。因此可知在最高点时B对A的压力最小，在最低点时B对A的压力最大。B项正确。]
9．如图所示，三角架质量为M，沿其中轴线用两根轻弹簧拴一质量为m的小球，上、下两弹簧的劲度系数均为k，重力加速度大小为g，原来三角架静止在水平面上。现使小球做上下振动，振动过程中发现三角架对水平面的压力最小为零但不离开水平面。求：
(1)三角架对水平面的压力为零时小球的瞬时加速度大小；
(2)小球做简谐运动的振幅。
[解析] (1)三角架对水平面的压力为零时，对三角架进行受力分析有F弹＝Mg。
对小球进行受力分析有mg＋F弹′＝ma，F弹′＝F弹。
解得a＝。
则三角架对水平面的压力为零时小球的瞬时加速度大小为。
(2)最大回复力为F回＝mg＋Mg，由于上、下两弹簧的劲度系数均为k，根据简谐运动回复力公式得F回＝2kA，
解得A＝。
则小球做简谐运动的振幅为。
[答案] (1) (2)
10．如图所示，一轻质弹簧沿竖直方向放置在水平地面上，其下端固定，当弹簧的长度为原长时，其上端位于O点。现有一小球从O点由静止释放，将弹簧压缩至最低点(弹簧始终处于弹性限度内)。在此过程中，关于小球的加速度a随下降位移x的变化关系正确的是( )
A B
C D
A [小球受竖直向下的重力和竖直向上的弹力，下降位移x为弹簧的形变量，设弹簧劲度系数为k，根据牛顿第二定律mg－kx＝ma，可得a＝g－x，为一次函数，当压缩至最低点时，加速度大小为g，A正确，B、C、D错误。]
11．如图所示，物体A置于物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度范围内，A和B一起在光滑水平面上做往复运动(不计空气阻力)，并保持相对静止。则下列说法正确的是( )
A．A和B均做简谐运动
B．作用在A上的静摩擦力大小恒定不变
C．B对A的静摩擦力对A做功，而A对B的静摩擦力对B不做功
D．B对A的静摩擦力始终对A做正功，而A对B的静摩擦力始终对B做负功
A [物体A、B保持相对静止，对A、B整体，在轻质弹簧作用下做简谐运动，故A正确；对A、B整体，由牛顿第二定律有－kx＝(mA＋mB)a；对A，由牛顿第二定律得f＝mAa，解得f＝－x，故B错误；在衡位置过程中，B对A的静摩擦力做正功，在远离平衡位置过程中，B对A的静摩擦力做负功，A对B的静摩擦力做正功，故C、D错误。]
12．如图所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的。物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A0，周期为T0。当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则A________(选填“＞”“＜”或“＝”)A0，T________(选填“＞”“＜”或“＝”)T0。
[解析] 弹簧振子通过平衡位置时弹性势能为零，动能最大。向右通过平衡位置，物块a由于受到弹簧弹力做减速运动，b做匀速运动，两者分离。物块a与弹簧组成的系统的机械能小于原来系统的机械能，所以物块a振动的振幅减小，A＜A0。由于振子质量减小，物块a的加速度的大小增大，所以周期减小，T＜T0。
[答案] ＜ ＜
13．一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数为k＝400 N/m，弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子内装物体B，B的上、下表面恰与盒子接触，如图所示。A和B的质量mA＝mB＝1 kg，g取10 m/s2，不计阻力。先将A向上抬高使弹簧伸长5 cm后从静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动。已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小。
(1)求盒子A的振幅；
(2)求物体B的最大速率；
(3)当A、B的位移为正的最大和负的最大时，A对B的作用力的大小分别是多少？
[解析] (1)振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩Δx，则kΔx＝(mA＋mB)g，
解得Δx＝g＝5 cm。
开始释放时振子处在最大位移处，故振幅
A＝5 cm＋5 cm＝10 cm。
(2)由于开始时弹簧的伸长量恰好等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量，故弹性势能相等，设振子的最大速率为v，物体B从开始运动到达到平衡位置，应用机械能守恒定律，得(mA＋mB)gA＝＋mB)v2，解得v＝≈1.4 m/s。
(3)在最高点，振子受到的重力和弹力方向相同，由牛顿第二定律得kΔx′＋(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a1，
解得a1＝20 m/s2，方向向下。A对B的作用力方向向下，且F1＋mBg＝mBa1，得F1＝mB(a1－g)＝10 N；
在最低点由简谐运动的对称性得a2＝20 m/s2，方向向上，A对B的作用力方向向上，且F2－mBg＝mBa2，得F2＝mB(g＋a2)＝30 N。
[答案] (1)10 cm (2)1.4 m/s (3)10 N 30 N
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