2．简谐运动的描述
[学习目标] 1．知道简谐运动的振幅、周期、频率和相位的概念，知道周期和频率的关系。2．知道简谐运动的表达式，掌握表达式中各物理量的意义，体会数形结合思想的应用。3．通过实例观察探究测量物体振动周期的方法。4．通过对简谐运动有关物理量的学习，培养学习物理的兴趣。
知识点一 描述简谐运动的物理量
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。用A表示，国际单位为米(m)。
(2)物理含义：振幅是表示振动幅度大小的物理量。振动物体的运动范围是振幅的两倍。
2．全振动
一个完整的振动过程，称为一次全振动。
3．周期(T)和频率(f )
(1)周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。单位：秒(s)。
(2)频率f：物体完成全振动的次数与所用时间之比。单位：赫兹，简称赫，符号是Hz。
(3)周期T与频率f的关系式：T＝。
4．相位
用来描述做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态。
1．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)振幅就是指振子的位移。 (×)
(2)振幅就是指振子的路程。 (×)
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程不一定是一次全振动过程。 (√)
(4)始末速度相同的一个过程一定是一次全振动。 (×)
(5)振子个周期通过的路程一定等于1个振幅。 (×)
知识点二 简谐运动的表达式
1．表达式：简谐运动的表达式可以写成
x＝A sin 或x＝A sin 。
2．表达式中各量的意义
(1)“A”表示简谐运动的振幅。
(2)“ω”是一个与频率成正比的物理量，叫简谐运动的圆频率。
(3)“T”表示简谐运动的周期，“f”表示简谐运动的频率，它们之间的关系为T＝。
(4)“t＋φ”或“2πft＋φ”表示简谐运动的相位。
(5)“φ”表示简谐运动的初相位，简称初相。
(1)相位ωt＋φ是随时间变化的一个变量。
(2)相位每增加2π就意味着完成了一次全振动。
2．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关。 (×)
(2)按x＝5sin cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为 s。 (√)
(3)按x＝5sin cm的规律振动的弹簧振子的振幅为5 cm。 (√)
扬声器发声时，手摸喇叭的发音纸盆会感觉到它在振动，把音响声音调大，发觉纸盆的振动更加剧烈，想想这是为什么？
提示：扬声器发出的声音是由其喇叭的纸盆振动形成的，振动越剧烈，即振幅越大，纸盆振动的能量越大，喇叭越响，手感觉纸盆振动得越厉害，说明振幅是反映振动剧烈程度的物理量。
考点1 描述简谐运动的物理量
1．对全振动的理解
正确理解全振动的概念，应把握振动的五个方面。
(1)全振动观念：一个完整的振动过程。
(2)物理量：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)时间：历时一个周期。
(4)路程：振幅的4倍。
(5)相位：增加2π。
2．简谐运动中位移、路程、周期与振幅的关系
(1)位移和振幅
①最大位移的数值等于振幅。
②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。
③位移是矢量，振幅是标量。
(2)路程与振幅
①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅，即4A。
②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅，即2A。
(3)周期与振幅
一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。
角度1 根据运动过程分析物理量
【典例1】 [链接教材P39例题]如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，小球经过A点时开始计时，经过2 s首次到达B点，则( )
A．从O→B→O小球做了一次全振动
B．振动周期为2 s，振幅是10 cm
C．从B开始经过6 s，小球通过的路程是60 cm
D．从O开始经过3 s，小球处在平衡位置
C [小球从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B是半个全振动，用时2 s，所以振动周期是4 s，振幅A＝＝10 cm，B错误；因为t＝6 s＝1T，所以小球经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，小球处在最大位移处(A或B)，D错误。]
【教材原题P39例题】 如图2.2-5，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm。小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达C点。
(1)画出小球在第一个周期内的x-t图像。
(2)求5 s内小球通过的路程及5 s末小球的位移。
分析 根据简谐运动的位移与时间的函数关系，可以画出简谐运动的x-t图像。
要得到简谐运动的位移与时间的函数关系，就需要首先确定计时的起点，进而确定初相位。根据振幅、周期及初相位写出位移与时间的函数关系，画出图像。
我们也可以采用描点法来画出位移—时间图像。根据题意，可以确定计时起点的位移、通过平衡位置及最大位移处的时刻，在x-t图上描出这些特殊坐标点，根据正弦图像规律画出图像。
根据简谐运动的周期性，经过一个周期，小球回到起始位置，通过的路程为振幅的4倍。据此，可以求出5 s内小球通过的路程及5 s末小球的位移。
解 (1)以O点作为坐标原点，沿OB建立坐标轴，如图2.2-5所示。以小球从B点开始运动的时刻作为计时起点，用正弦函数来表示小球的位移—时间关系，则函数的初相位为。
由于小球从最右端的B点运动到最左端的C点所用时间为0.5 s，所以振动的周期T＝1.0 s；由于B点和C点之间的距离为0.2 m，所以，振动的振幅A＝0.1 m。
根据x＝A sin ，可得小球的位移—时间关系为
x＝0.1sin m
据此，可以画出小球在第一个周期内的位移—时间图像，如图2.2-6所示。
(2)由于振动的周期T＝1 s，所以在时间t＝5 s内，小球一共做了n＝＝5次全振动。小球在一次全振动中通过的路程为4 A＝0.4 m，所以小球运动的路程为s＝5×0.4 m＝2 m；经过5次全振动后，小球正好回到B点，所以小球的位移为0.1 m。
角度2 根据图像分析物理量
【典例2】 (源自粤教版教材改编)如图所示是某弹簧振子的振动图像。
(1)求振子振动的振幅、周期、频率。
(2)如果从点O开始计时，到图中的哪一点为止，振子完成了一次全振动？如果从点C开始计时呢？
(3)当t＝1.4 s时，振子对平衡位置的位移是多少？它在一次全振动中所通过的路程是多少？
思路点拨：可以通过振动图像直接读取振子的振幅、周期等信息，通过计算可以得到振子的频率、位移和路程。
[解析] (1)振幅是振子离开平衡位置的最大距离。从题图中可以看出，最大距离为2 cm，即振幅A＝2 cm。
周期是完成一次全振动所需要的时间。题图中OD之间表示一次全振动，所对应的时间是0.8 s。所以
T＝0.8 s，
f＝＝1.25 Hz。
(2)从题图中可以看出，从点O开始计时，到点D为止，振子完成了一次全振动，并随即开始重复前面所经历的过程。如果从点C开始计时，则到点G为止，振子同样完成了一次全振动，所经历的时间都是0.8 s。
(3)从题图中可以看出，当t＝1.4 s时，振子对平衡位置的位移是－2 cm，它在一次全振动中所通过的路程就是振幅的4倍，即2×4 cm＝8 cm。
[答案] (1)2 cm 0.8 s 1.25 Hz (2)见解析 (3)－2 cm 8 cm
振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。一个周期内的路程为4倍的振幅。
(1)若从平衡位置或最大位移处开始计时，个周期内的路程等于振幅。
(2)若从其他位置开始计时，个周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于或小于振幅。
[跟进训练]
1．(角度1)如图所示，小球在B、C之间做简谐运动，O为BC的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法正确的是( )
A．小球的最大位移是10 cm
B．只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是0
C．无论小球在哪个位置，它的振幅都是5 cm
D．从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是10 cm
C [小球位移的起点是O点，小球经过B点或C点时位移最大，最大位移的大小为5 cm，故A错误；小球做简谐运动，振幅不变，由题意知，振幅A＝5 cm，故B错误，C正确；根据对称性和周期性可知，从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是4倍振幅，即4A＝4×5 cm＝20 cm，故D错误。]
2．(角度2)如图所示为质点的振动图像，下列判断正确的是( )
A．质点的振动周期是 8 s
B．振幅是±2 cm
C．4 s末质点的速度为正，加速度为零
D．10 s末质点的加速度为正，速度为零
A [由题图可得，质点的振动周期为8 s，A项正确；振幅为2 cm，B项错误；4 s末质点经平衡位置向负方向运动，速度为负向最大，加速度为零，C项错误；10 s末质点在正的最大位移处，加速度为负值，速度为零，D项错误。]
考点2 简谐运动表达式的理解和应用
1．对表达式x＝A sin (ωt＋φ)的理解
(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间。
(2)由于ω＝＝2πf，所以表达式也可写成：
x＝A sin 或x＝A sin (2πft＋φ)。
2．简谐运动两种描述方法的比较
(1)简谐运动图像即x-t图像是描述质点振动情况的一种手段，直观反映了质点的位移x随时间t变化的规律。
(2)x＝A sin (ωt＋φ)是用函数表达式的形式表示质点的振动情况。
(3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的。常解决的两类问题：一是根据振动方程作出振动图像；二是根据振动图像读出振幅、周期、初相，写出位移随时间变化的函数表达式。
3．对两个相同频率的简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的理解
(1)取值范围：－π≤Δφ≤π。
(2)Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相。Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。
(3)Δφ>0，表示振动2比振动1超前。Δφ<0，表示振动2比振动1滞后。
【典例3】 A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。
请根据图像写出：
(1)A的振幅是_______cm，周期是_______s；B的振幅是______ cm，周期是________ s。
(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
[解析] (1)由题图知，A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。
(2)由题图知，t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4 s，得ωA＝＝5π rad/s，则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin (5πt＋π)cm。t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了个周期，φB＝，由TB＝0.8 s，得ωB＝＝2.5π rad/s, 则简谐运动的表达式为xB＝0.2sin cm。
[答案] (1)0.5 0.4 0.2 0.8 (2)xA＝0.5sin (5πt＋π) cm xB＝0.2sin cm
[母题变式]
在[典例3]中，t＝0.05 s时A、B两质点的位移分别是多少？
[解析] 将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得xA＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝－ cm，
xB＝0.2sin cm＝0.2sin π cm。
[答案] － cm 0.2sin π cm
应用简谐运动的函数表达式的四点技巧
(1)明确振幅A、周期T、频率f的对应数值，其中T＝，f＝。
(2)把明确的物理量与所要求解的问题相对应，找到对应关系。
(3)同频率的两个简谐运动进行比较时，相位差的取值范围一般为－π≤Δφ≤π。
(4)比较相位或计算相位差时，一定要用同种函数来表示振动方程。
[跟进训练]
3．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的函数关系式为x＝5sin cm，则下列关于质点运动的说法正确的是( )
A．质点做简谐运动的振幅为10 cm
B．质点做简谐运动的周期为4 s
C．在t＝4 s时质点的速度最大
D．在t＝4 s时质点的加速度最大
C [由位移随时间变化的函数关系式x＝5sin cm，可知质点做简谐运动的振幅为5 cm，圆频率ω＝ rad/s，则周期为T＝＝8 s，故A、B错误；在t＝4 s时质点的位移为零，说明质点正通过平衡位置，速度最大，加速度最小，故C正确，D错误。]
考点3 简谐运动的周期性和对称性
如图所示，物体在A点和B点之间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则：
(1)时间的对称
①振动质点来回通过相同的两点间所用的时间相等，如tDB＝tBD。
②质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段所用的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移和加速度的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移、加速度相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移、加速度大小相等，方向相反。
【典例4】 如图所示，水平方向的弹簧振子振动过程中，振子先后经过a、b两点时的速度相同，且从a到b历时0.2 s，从b再回到a的最短时间为0.4 s，aO＝bO，c、d为振子最大位移处，则该振子的振动频率为( )
A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz
B [由题可知，a、b两点关于平衡位置对称，从a到b历时t1＝0.2 s，从b再回到a的最短时间为0.4 s，即从b到c所用时间为t2＝ s＝0.1 s，所以弹簧振子振动的周期为T＝4＝0.8 s，
则振动频率为f＝＝1.25 Hz，故B正确，A、C、D错误。]
由于简谐运动是一种非匀变速运动，所以计算简谐运动的周期，往往要利用简谐运动的对称性，先计算出从平衡位置到最大位移处(或从最大位移处到平衡位置)的时间，即，再计算一个周期T的大小。
[跟进训练]
4．一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为 0.1 m，则( )
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为1 s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
D [若振幅为0.1 m，由题意知，Δt＝T(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，A、B项错误；若振幅为0.2 m，t＝0时，由振子做简谐运动的表达式y＝0.2sin m可知，0.2sin φ0 m＝－0.1 m，解得φ0＝－或φ0＝－；t＝1 s时，有0.2sin m＝0.1 m，将T＝6 s代入0.2sin m＝0.1 m可知，D项正确；将T＝4 s代入0.2sin m≠0.1 m可知，C项错误。]
1．简谐运动中反映物体振动强弱的物理量是( )
A．周期 B．频率
C．位移 D．振幅
D [简谐运动中反映物体振动强弱的物理量是振幅。]
2．弹簧振子在A、B之间做简谐运动，如图所示，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s。则( )
A．振动周期是2 s，振幅是8 cm
B．振动频率是2 Hz
C．振子完成一次全振动通过的路程是8 cm
D．振子过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
D [由题意可知T＝ s＝2 s，A＝cm＝4 cm，故A错误；频率f＝＝Hz＝0.5 Hz，B错误；振子完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即4×4 cm＝16 cm，故C错误；振子在3 s内通过的路程为·4A＝×4×4 cm＝24 cm，D正确。]
3．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，两次压缩均在弹性限度内，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A．1∶1，1∶1 B．1∶1，1∶2
C．1∶4，1∶4 D．1∶2，1∶2
B [弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，振动周期由振动系统的性质决定，与振幅无关，周期不变。故选B。]
4．(新情境题，借助传感器分析简谐运动表达式)某实验小组利用数字实验系统探究弹簧振子的运动规律，装置如图所示，水平光滑导轨上的滑块与轻弹簧组成弹簧振子，滑块上固定有传感器的发射器。把弹簧拉长5 cm 后由静止释放，滑块开始振动。他们分析位移—时间图像后发现，滑块的运动是简谐运动，滑块从最右端运动到最左端所用时间为1 s，则弹簧振子的振动频率为多少？以释放的瞬时为初始时刻，向右为正方向，求滑块运动的表达式。
[解析] 滑块从最右端运动到最左端所用时间为1 s，知周期T＝2 s，则振动频率f＝＝0.5 Hz，
ω＝2πf＝π rad/s，A＝5 cm，φ＝，
根据x＝A sin (ωt＋φ)知，
x＝5sin cm＝5cos πt(cm)。
[答案] 0.5 Hz x＝5cos πt(cm)
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．描述简谐运动的物理量有哪些？
提示：振幅、周期、频率、相位。
2．如何判断一个振动过程是不是为一个全振动？
提示：在判断物体的运动过程是否为一次全振动时，不仅要看物体是否回到原位置，而且要判断物体到达该位置的振动状态(速度、加速度、位移)是否与原位置相同。
3．简谐运动的表达式中含有哪些物理信息？
提示：振幅、圆频率、初相位。
课时分层作业(七) 简谐运动的描述
?题组一 描述简谐运动的物理量
1．如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若小球从B到C的运动时间为1 s，则下列说法正确的是( )
A．小球从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是2 s，振幅是5 cm
C．经过两次全振动，小球通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，小球通过的路程是20 cm
B [小球在B、C间振动，小球从B经O到C再经O回到B，完成一次全振动，A错误；小球从B到C经历的时间为半个周期，所以振动周期为2 s，小球在B、C两点间做机械振动，BO＝OC＝5 cm，O是平衡位置，则振幅为5 cm，B正确；经过两次全振动，小球通过的路程是2×4A＝40 cm，C错误；从B开始经过3 s，小球运动的时间是1.5个周期，通过的路程是1.5×4A＝1.5×4×5 cm＝30 cm，D错误。]
2．下列说法正确的是( )
A．物体完成一次全振动，通过的位移是4个振幅
B．物体在个周期内，通过的路程是1个振幅
C．物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅
D．物体在个周期内，通过的路程是3个振幅
C [在一次全振动中，物体回到了原来的位置，故通过的位移一定为零，A错误；物体在个周期内，通过的路程不一定是1个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在个周期内，通过的路程才等于1个振幅，B错误；根据对称性可知，物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅，C正确；物体在个周期内，通过的路程不一定是3个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在个周期内，通过的路程才是3个振幅，D错误。]
3．如图所示，一个质点在平衡位置O点附近a、b间做简谐运动，若从质点经过O点时开始计时，经过3 s质点第一次过M点，再继续运动，又经过4 s它第二次经过M点，则该质点第三次经过M点还需要的时间可能是( )
A．7 s B．14 s
C．16 s D． s
C [题图中a、b两点为质点运动过程中的最大位移处，假设质点开始时运动的方向向左，到达a点后再向M点运动，由于从O点到第一次经过M点的时间是3 s，小于质点第二次经过M点又需要的时间4 s，由题图分析可知这是不可能的，因此开始计时时质点从O点向右运动，O→M过程历时3 s，M→b→M过程历时4 s，由运动时间的对称性知＝5 s，解得T＝20 s，质点第三次经过M点还需要的时间Δt＝T－4 s＝20 s－4 s＝16 s，故选项C正确。]
4．一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示。由图可知( )
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
C．1 s末质点运动速度为0
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
B [由题图可读出周期T＝4 s，振幅为2 cm，则频率f＝＝0.25 Hz，故A错误；0～3 s内，质点通过的路程为3A＝6 cm，故B正确；由题图可知1 s末质点位于平衡位置，速度最大，故C错误；在t＝3 s时，质点的位移为零，不是振幅为零，质点的振幅等于振子的最大位移的大小，保持不变，故D错误。]
5．如图所示，m为在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图中P位置是弹簧振子处于自然伸长状态的位置，若将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置。关于该弹簧振子，下列说法正确的是( )
A．该弹簧振子的振动频率为1 Hz
B．在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过0.5 s速度就降为0
C．若将振子m向左拉动2 cm后由静止释放，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是2 s
D．若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子m第一次回到P位置
B [将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置经历，所以T＝4×0.5 s＝2 s，振动的频率f＝＝ Hz，A错误；振动的周期与振幅的大小无关，在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过T＝0.5 s到达最大位移处，速度降为0，B正确；振动的周期与振幅的大小无关，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是半个周期，即1 s，C错误；振动的周期与振幅的大小无关，所以若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过0.5 s振子m第一次回到P位置，D错误。]
?题组二 简谐运动的表达式
6．弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10-3sin m
B．x＝4×10-3sin m
C．x＝8×10-3sin m
D．x＝4×10-3sin m
B [t＝0时刻振子具有正向最大加速度，说明此时振子的位移是负向最大，则位移与时间的函数关系式x＝A sin (ωt＋φ0)中，φ0＝－，圆频率ω＝＝ rad/s＝4π rad/s，则位移与时间的函数关系式为x＝0.4sin cm＝4×10-3sin m。选项B正确。]
7．某质点做简谐运动的振幅为A，周期为T，则质点在时间内的路程不可能是( )
A．0.5A B．0.8A
C．A D．1.2A
A [质点在振动的过程中，经过平衡位置处的速度最大，在平衡位置附近的时间内的路程最大，即在前后各时间内路程最大，若以平衡位置为起点，根据简谐运动的方程y＝A sin ωt，质点在时刻的位移y＝A sin ω＝A sin ＝A，则质点在时间内通过的最大路程为A；质点在振动的过程中，经过最大位移处的速度为零，在最大位移处附近的时间内的路程最小，即在前后各时间内路程最小，所以质点在时间内通过的最小路程为2＝(2－)A≈0.59A；因为质点在时间内从平衡位置或者最大位移处开始运动时，路程是一个振幅A。故选A。]
8．物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin m。比较A、B的运动( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，为100 s
C．A振动的圆频率ωA等于B振动的圆频率ωB
D．A的相位始终超前B的相位
C [振幅是标量，A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错误；A、B的圆频率ω＝100 rad/s，周期T＝＝ s＝6.28×10-2 s，B错误，C正确；Δφ＝φA0－φB0＝为定值，D错误。]
9．一弹簧振子在水平方向上的M、N之间做简谐运动，已知M、N间的距离为10 cm，振子在2 s内完成了5次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过个周期振子有负向最大加速度。
(1)求振子的振幅和周期；
(2)写出振子的振动方程。
[解析] (1)根据题意可知，振子的振幅为A＝ cm＝5 cm，周期为T＝ s＝0.4 s。
(2)设振动方程为x＝A sin (ωt＋φ0)，ω＝＝5π rad/s，因为经过个周期振子有负向最大加速度，所以φ0＝0，则振子的振动方程为x＝5sin (5πt) cm。
[答案] (1)5 cm 0.4 s (2)x＝5sin (5πt) cm
10．一根自由长度为10 cm的轻弹簧，下端固定，上端连一个质量为m的物块P，在P上再放一个质量为m的物块Q，系统静止后，弹簧长度为6 cm，如图所示。如果迅速向上移去Q，物块P将在竖直方向做简谐运动，此后弹簧的最大长度是( )
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．11 cm
C [移去物块Q后物块P在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是物块P的重力和弹簧弹力大小相等的位置，由题中条件可得此时弹簧长度为8 cm。物块P刚开始运动时弹簧长度为6 cm，由简谐运动的对称性可知此后弹簧的最大长度是10 cm。选项C正确。]
11．一弹簧振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m。该振子的振幅和周期不可能为( )
A．0.1 m， s B．0.1 m，8 s
C．0.2 m， s D．0.2 m，8 s
B [若振子的振幅为0.1 m， s＝T(n＝0，1，2，…)，则周期最大值为 s，且t＝4 s时刻x＝0.1 m，故A项可能，B项不可能；若振子的振幅为0.2 m，由简谐运动的对称性可知，当振子由x＝－0.1 m处运动到负向最大位移处再反向运动到x＝0.1 m处，再经n个周期时所用时间为 s，则T＝ s(n＝0，1，2，…)，所以周期的最大值为 s，且t＝4 s时刻x＝0.1 m，故C项可能；若振子的振幅为0.2 m，由简谐运动的对称性可知，当振子由x＝－0.1 m经平衡位置运动到x＝0.1 m处，再经n个周期时所用时间为 s，则T＝ s(n＝0，1，2，…)，所以此时周期的最大值为8 s，且t＝4 s时刻x＝0.1 m，故D项可能。]
12．在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带运动方向与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示。
甲 乙
丙
(1)若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，则由图中数据算出振子的振动周期为多少？
(2)试着作出P的振动图像；
(3)若拉动纸带做匀加速直线运动，且振子振动周期与原来相同，由图丙中数据求纸带的加速度大小。
[解析] (1)由题图乙可知，当纸带匀速前进20 cm时，弹簧振子恰好完成一次全振动，由v＝，可得t＝＝ s＝0.2 s，所以周期T＝0.2 s。
(2)由题图乙可以看出P的振幅为2 cm，振动图像如图所示。
(3)当纸带做匀加速直线运动时，振子振动周期仍为0.2 s，由题图丙可知，两个相邻0.2 s时间内，纸带运动的距离分别为0.21 m、0.25 m，由Δx＝aT2，得加速度a＝ m/s2＝1.0 m/s2。
[答案] (1)0.2 s (2)见解析图 (3)1.0 m/s2
13．如图所示，一个弹簧振子在光滑水平面内做简谐运动，O为平衡位置，A、B为最大位移处，在O点正上方C处有一个不计重力的小球。现使振动物体由A点静止释放，同时小球由C点沿逆时针方向开始在竖直平面内做匀速圆周运动。
(1)当小球第一次到达最高点时，振动物体第一次速度达到最大，则小球与该弹簧振子的周期之比是多少？
(2)若振动物体第一次从A点运动到达B点时，小球和振动物体的加速度方向正好相同，则小球与弹簧振子的周期之比是多少？
(3)已知振子的振幅和圆周的半径相等且都为R，现将振动物体由A点静止释放，同时使小球由A点正上方圆周上的D点沿逆时针方向开始在竖直平面内做速率为v的匀速圆周运动，为让小球始终在振动物体的正上方，则振子的振动周期为多少？ 进一步研究发现，振动物体的速率就是小球的线速度在水平方向的投影，请尝试画出振动物体从A点到O点的速率v和时间t的关系的大致图像，并说明理由。
[解析] (1)当小球第一次到达最高点时，经过的时间为T球；振动物体第一次速度达到最大，则振动物体运动的时间为T振。
则T球＝T振，即＝。
(2)当振动物体第一次从A点运动到达B点时，小球和振动物体的加速度方向正好相同，此时振动物体的加速度方向水平向右，小球到达最左端时向心加速度向右指向圆心。
则T球＝T振(n＝0，1，2，…)，
＝ (n＝0，1，2，…)。
(3)为让小球始终在振动物体的正上方，应使振子的振动周期等于小球做圆周运动的周期，即T＝。
振动物体从A点到O点过程中，小球线速度大小不变，间隔相等时间在水平方向的投影越来越大，小球到达O点上方时达到最大，故振动物体从A点到O点运动时，速率逐渐变大到v，加速度逐渐减小到0，则图像大致如图所示。
[答案] (1)1∶2 (2)(n＝0，1，2，…) (3) 图像和理由见解析
19 / 192．简谐运动的描述
[学习目标] 1．知道简谐运动的振幅、周期、频率和相位的概念，知道周期和频率的关系。2．知道简谐运动的表达式，掌握表达式中各物理量的意义，体会数形结合思想的应用。3．通过实例观察探究测量物体振动周期的方法。4．通过对简谐运动有关物理量的学习，培养学习物理的兴趣。
知识点一 描述简谐运动的物理量
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的________。用A表示，国际单位为米(m)。
(2)物理含义：振幅是表示振动________的物理量。振动物体的运动范围是振幅的____。
2．全振动
一个____的振动过程，称为一次全振动。
3．周期(T)和频率(f )
(1)周期T：做简谐运动的物体完成一次______所需要的时间。单位：________。
(2)频率f：物体完成全振动的次数与所用时间之比。单位：____，简称赫，符号是____。
(3)周期T与频率f的关系式：T＝。
4．相位
用来描述做简谐运动的物体在各个时刻所处的________。
1．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)振幅就是指振子的位移。 ( )
(2)振幅就是指振子的路程。 ( )
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程不一定是一次全振动过程。
( )
(4)始末速度相同的一个过程一定是一次全振动。 ( )
(5)振子个周期通过的路程一定等于1个振幅。 ( )
知识点二 简谐运动的表达式
1．表达式：简谐运动的表达式可以写成
x＝A sin 或x＝A sin 。
2．表达式中各量的意义
(1)“A”表示简谐运动的____。
(2)“ω”是一个与____成正比的物理量，叫简谐运动的______。
(3)“T”表示简谐运动的____，“f”表示简谐运动的频率，它们之间的关系为T＝。
(4)“t＋φ”或“2πft＋φ”表示简谐运动的____。
(5)“φ”表示简谐运动的______，简称____。
(1)相位ωt＋φ是随时间变化的一个变量。
(2)相位每增加2π就意味着完成了一次全振动。
2．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关。 ( )
(2)按x＝5sin cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为 s。 ( )
(3)按x＝5sin cm的规律振动的弹簧振子的振幅为5 cm。 ( )
扬声器发声时，手摸喇叭的发音纸盆会感觉到它在振动，把音响声音调大，发觉纸盆的振动更加剧烈，想想这是为什么？
考点1 描述简谐运动的物理量
1．对全振动的理解
正确理解全振动的概念，应把握振动的五个方面。
(1)全振动观念：一个完整的振动过程。
(2)物理量：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)时间：历时一个周期。
(4)路程：振幅的4倍。
(5)相位：增加2π。
2．简谐运动中位移、路程、周期与振幅的关系
(1)位移和振幅
①最大位移的数值等于振幅。
②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。
③位移是矢量，振幅是标量。
(2)路程与振幅
①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅，即4A。
②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅，即2A。
(3)周期与振幅
一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。
角度1 根据运动过程分析物理量
【典例1】 [链接教材P39例题]如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，小球经过A点时开始计时，经过2 s首次到达B点，则( )
A．从O→B→O小球做了一次全振动
B．振动周期为2 s，振幅是10 cm
C．从B开始经过6 s，小球通过的路程是60 cm
D．从O开始经过3 s，小球处在平衡位置
[听课记录]
角度2 根据图像分析物理量
【典例2】 (源自粤教版教材改编)如图所示是某弹簧振子的振动图像。
(1)求振子振动的振幅、周期、频率。
(2)如果从点O开始计时，到图中的哪一点为止，振子完成了一次全振动？如果从点C开始计时呢？
(3)当t＝1.4 s时，振子对平衡位置的位移是多少？它在一次全振动中所通过的路程是多少？
思路点拨：可以通过振动图像直接读取振子的振幅、周期等信息，通过计算可以得到振子的频率、位移和路程。
[听课记录]
振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。一个周期内的路程为4倍的振幅。
(1)若从平衡位置或最大位移处开始计时，个周期内的路程等于振幅。
(2)若从其他位置开始计时，个周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于或小于振幅。
[跟进训练]
1．(角度1)如图所示，小球在B、C之间做简谐运动，O为BC的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法正确的是( )
A．小球的最大位移是10 cm
B．只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是0
C．无论小球在哪个位置，它的振幅都是5 cm
D．从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是10 cm
2．(角度2)如图所示为质点的振动图像，下列判断正确的是( )
A．质点的振动周期是 8 s
B．振幅是±2 cm
C．4 s末质点的速度为正，加速度为零
D．10 s末质点的加速度为正，速度为零
考点2 简谐运动表达式的理解和应用
1．对表达式x＝A sin (ωt＋φ)的理解
(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间。
(2)由于ω＝＝2πf，所以表达式也可写成：
x＝A sin 或x＝A sin (2πft＋φ)。
2．简谐运动两种描述方法的比较
(1)简谐运动图像即x-t图像是描述质点振动情况的一种手段，直观反映了质点的位移x随时间t变化的规律。
(2)x＝A sin (ωt＋φ)是用函数表达式的形式表示质点的振动情况。
(3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的。常解决的两类问题：一是根据振动方程作出振动图像；二是根据振动图像读出振幅、周期、初相，写出位移随时间变化的函数表达式。
3．对两个相同频率的简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的理解
(1)取值范围：－π≤Δφ≤π。
(2)Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相。Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。
(3)Δφ>0，表示振动2比振动1超前。Δφ<0，表示振动2比振动1滞后。
【典例3】 A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。
请根据图像写出：
(1)A的振幅是_______cm，周期是_______s；B的振幅是______ cm，周期是________ s。
(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
[听课记录]
[母题变式]
在[典例3]中，t＝0.05 s时A、B两质点的位移分别是多少？
应用简谐运动的函数表达式的四点技巧
(1)明确振幅A、周期T、频率f的对应数值，其中T＝，f＝。
(2)把明确的物理量与所要求解的问题相对应，找到对应关系。
(3)同频率的两个简谐运动进行比较时，相位差的取值范围一般为－π≤Δφ≤π。
(4)比较相位或计算相位差时，一定要用同种函数来表示振动方程。
[跟进训练]
3．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的函数关系式为x＝5sin cm，则下列关于质点运动的说法正确的是( )
A．质点做简谐运动的振幅为10 cm
B．质点做简谐运动的周期为4 s
C．在t＝4 s时质点的速度最大
D．在t＝4 s时质点的加速度最大
考点3 简谐运动的周期性和对称性
如图所示，物体在A点和B点之间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则：
(1)时间的对称
①振动质点来回通过相同的两点间所用的时间相等，如tDB＝tBD。
②质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段所用的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移和加速度的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移、加速度相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移、加速度大小相等，方向相反。
【典例4】 如图所示，水平方向的弹簧振子振动过程中，振子先后经过a、b两点时的速度相同，且从a到b历时0.2 s，从b再回到a的最短时间为0.4 s，aO＝bO，c、d为振子最大位移处，则该振子的振动频率为( )
A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz
[听课记录]
由于简谐运动是一种非匀变速运动，所以计算简谐运动的周期，往往要利用简谐运动的对称性，先计算出从平衡位置到最大位移处(或从最大位移处到平衡位置)的时间，即，再计算一个周期T的大小。
[跟进训练]
4．一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为 0.1 m，则( )
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为1 s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
1．简谐运动中反映物体振动强弱的物理量是( )
A．周期 B．频率
C．位移 D．振幅
2．弹簧振子在A、B之间做简谐运动，如图所示，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s。则( )
A．振动周期是2 s，振幅是8 cm
B．振动频率是2 Hz
C．振子完成一次全振动通过的路程是8 cm
D．振子过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
3．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，两次压缩均在弹性限度内，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A．1∶1，1∶1 B．1∶1，1∶2
C．1∶4，1∶4 D．1∶2，1∶2
4．(新情境题，借助传感器分析简谐运动表达式)某实验小组利用数字实验系统探究弹簧振子的运动规律，装置如图所示，水平光滑导轨上的滑块与轻弹簧组成弹簧振子，滑块上固定有传感器的发射器。把弹簧拉长5 cm 后由静止释放，滑块开始振动。他们分析位移—时间图像后发现，滑块的运动是简谐运动，滑块从最右端运动到最左端所用时间为1 s，则弹簧振子的振动频率为多少？以释放的瞬时为初始时刻，向右为正方向，求滑块运动的表达式。
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．描述简谐运动的物理量有哪些？
2．如何判断一个振动过程是不是为一个全振动？
3．简谐运动的表达式中含有哪些物理信息？
8 / 9
