5．实验：用单摆测量重力加速度
[实验目标] 1．明确用单摆测量重力加速度的原理和方法。2．知道如何选择实验器材，能熟练地使用停表。3．学会用单摆测当地的重力加速度，掌握减小实验误差的方法。
一、实验设计
1．实验原理
当摆角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与摆角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。
2．实验器材
带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1米)、停表、毫米刻度尺和游标卡尺。
二、实验步骤
1．做单摆
取约1 m长的细线穿过带孔的小球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图所示。
2．测摆长
用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值。
4．改变摆长，重做几次实验
三、数据处理
1．公式法
将测得的几组周期T和摆长l的对应值分别代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地重力加速度的值。
2．图像法
由单摆的周期公式T＝2π可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴作出的l-T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。k＝＝，g＝4π2k。
四、误差分析
1．系统误差
主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可以看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。
2．偶然误差
主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4，3，2，1，0，1，2，…在数“0”的同时按下停表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。
五、注意事项
1．选择摆线时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。
3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过5°。可通过估算振幅的办法掌握。
4．摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“0”的同时按下停表，开始计时计数。
类型一 实验原理与操作
【典例1】 利用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
甲 乙
(1)实验室有如下器材可供选用：
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约2 cm的均匀铁球
D．直径约5 cm的均匀木球
E．停表
F．时钟
G．10分度的游标卡尺
H．最小刻度为毫米的米尺
选择游标卡尺和米尺后，还需要从上述器材中选择________(填写器材前的字母)。
(2)用10分度的游标卡尺测量小球的直径d，如图乙所示，读出小球直径的值为__________mm。
(3)将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂。用米尺测量摆线长度为l，小球在竖直平面内小角度平稳摆动后，测得小球完成n次全振动的总时间为t，请写出重力加速度的表达式g＝________(用l、d、n、t表示)。
(4)正确操作后，根据多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值，比较后发现：此值比北京的重力加速度值略小，则实验所在处的地理位置与北京的主要不同点可能是_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________(写出一条即可)。
[解析] (1)摆线的长度不能伸长，所以摆线选择长约1 m 的细线，摆球选择质量大、体积小的球，所以选择直径约2 cm的均匀铁球，实验中需要用停表测量单摆摆动的时间，从而得出周期，故选ACE。
(2)游标卡尺的主尺读数为17 mm，游标尺读数为0.1×6 mm＝0.6 mm，则小球直径为17.6 mm。
(3)单摆的摆长L＝l＋，
单摆的周期T＝，
根据T＝2π，
解得g＝＝。
(4)多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值比北京的重力加速度值略小，可能是实验所在处纬度低或海拔比较高。
[答案] (1)ACE (2)17.6 (3) (4)实验所在处比北京纬度低或海拔高(其他答案合理也可)
类型二 数据处理和误差分析
【典例2】 一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________mm，则摆球的直径为____________mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________(选填“大于”或“小于”)5°。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________s，该小组测得的重力加速度大小为________m/s2。(结果均保留三位有效数字，π2取9.870)
[解析] (1)题图(a)中螺旋测微器读数为0.6×0.01 mm＝0.006 mm，题图(b)中螺旋测微器读数为20.0 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm，摆球直径d＝20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm。
(2)假设将角度盘放置在距离悬点极近位置，摆球摆动时，角度盘显示角度小于实际摆动角度，故实际摆角大于5°。
(3)摆长L＝l＋d＝81.50 cm＋×2.002 9 cm≈82.5 cm；从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点一共经历30个周期，周期T＝ s＝1.82 s；根据单摆周期公式T＝2π，得g＝＝ m/s2≈9.83 m/s2。
[答案] (1)0.006(0.005～0.007均可) 20.035(20.034～20.036均可) 20.029(20.027～20.031均可) (2)大于 (3)82.5 1.82 9.83
类型三 创新实验设计
【典例3】 将一单摆装置竖直挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离为l，并通过改变l而测出对应的周期T，再以T2为纵轴、l为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度。
甲 乙
(1)利用单摆测重力加速度时，为了减小误差，我们利用停表来测量单摆多次全振动的时间，从而求出振动周期。除了停表之外，还需要的测量工具为________。
A．天平 B．毫米刻度尺 C．螺旋测微器
(2)如果实验中所得到的T2-l图像如图乙所示，那么真正的图像应是a、b、c中的______。
(3)由图像可知，小筒的深度h＝________m，当地的重力加速度g＝________m/s2(结果保留三位有效数字，π取3.14)。
[解析] (1)本实验需要测量时间求出周期，并要测量筒的下端口到摆球球心的距离l，则所需的测量工具是毫米刻度尺，故选B。
(2)由单摆周期公式得：T＝2π，得到：T2＝。
当l＝0时，T2＝＞0，则真正的图像是a。
(3)当T2＝0时，l＝－h，即图像与l轴交点坐标，故h＝－l＝0.3 m，图线的斜率大小k＝，由图并结合数学知识得到k＝4 s2/m，解得g＝ m/s2≈9.86 m/s2。
[答案] (1)B (2)a (3)0.3 9.86
1．某实验小组在进行“用单摆测定重力加速度”的实验中，已知单摆在摆动过程中的摆角小于5°；在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t；在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为L，再用游标卡尺测得摆球的直径为d(读数如图所示)。
(1)该单摆在摆动过程中的周期T＝________。
(2)用上述物理量的符号写出重力加速度的一般表达式g＝________。
(3)由图可知，摆球的直径为d＝________mm。
(4)实验结束后，某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大，其原因可能是________。
A．把(n＋1)次摆动的时间误记为n次摆动的时间
B．把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间
C．以摆线长作为摆长来计算
[解析] (1)t时间内单摆完成全振动的次数为，故周期T＝。
(2)单摆的摆长为l＝L＋，由单摆的周期公式T＝2π，得g＝。
(3)由题图示游标卡尺可知，游标卡尺示数为10 mm＋5×0.05 mm＝10.25 mm。
(4)把(n＋1)次摆动的时间误记为n次摆动的时间，测量周期偏大，则计算出的g值偏小，故A错误；把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间，使所测周期变小，计算出的g值偏大，故B正确；以摆线长作为摆长来计算，摆长偏小，使所测g值偏小，故C错误。
[答案] (1) (2)
(3)10.25 (4)B
2．在“用单摆测量重力加速度”的实验中。
(1)某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示，该示数为________ cm，则单摆的摆长为________ cm；然后用停表记录了单摆振动50次所用的时间如图乙所示，该示数为________ s，则单摆的周期为________ s；当地的重力加速度为g＝________ m/s2(π取3.14)。
(2)实验中，如果摆球密度不均匀，无法确定重心位置，一位同学设计了一个巧妙的方法不计摆球的半径，具体做法如下：第一次量得悬线长L1，测得振动周期为T1；第二次量得悬线长L2，测得振动周期为T2，由此可推得重力加速度为g＝________。
[解析] (1)游标卡尺的读数为主尺读数＋游标尺读数，故摆球直径为
d＝21 mm＋5×0.05 mm＝21.25 mm＝2.125 cm，
单摆的摆长为
L＝l＋＝97.43 cm＋ cm≈98.49 cm。
停表的读数为t＝90 s＋9.8 s＝99.8 s，
单摆的周期为T＝＝ s≈2.0 s。
根据单摆的周期公式T＝2π，
解得g＝≈9.71 m/s2。
(2)由题可知T1＝2π，
T2＝2π，
联立以上两式可解得
g＝。
[答案] (1)2.125 98.49 99.8 2.0 9.71
3．航天员分别在地球和月球上探究了单摆周期T与摆长l的关系。多次改变摆长，绘制了T2-l图像，如图所示。在月球上的实验结果对应的图线是______(选填“A”或“B”)。若在月球上得到的图线斜率为k，则月球表面的重力加速度g月＝______。
[解析] 由单摆周期公式T＝2π可知T2＝l，T2-l图线的斜率k＝，则重力加速度g＝，图线斜率越大，重力加速度越小。月球上的重力加速度小于地球上的重力加速度，由题图可知，图线A对应月球上的实验结果。
[答案] A
4．某智能手机中有一款软件，其中的“磁传感器”功能能实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，“磁传感器”记录下的磁感应强度越大。现用手机、磁化的小球、铁架台、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置，来测量重力加速度，实验步骤如下：
①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。
②打开夹子释放小球，小球运动，取下夹子。
③运行软件，点开“磁传感器”功能，手机记录下磁感应强度的变化。
④改变摆线长和夹子的位置，测量出每次实验的摆线长L及相应的周期T。
根据以上实验过程，回答下列问题：
(1)图乙中的(a)、(b)分别记录了两次实验中磁感应强度的变化情况，图(a)测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，则单摆周期T的测量值为________。图(b)中手机记录下的磁感应强度几乎不变，可能的操作原因是_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________。
(2)实验中得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了T2-L图线，图线的斜率为k，在纵轴上的截距为c，由此得到当地重力加速度g＝________，小球的半径R＝________。
(3)实验中，若手机放的位置不在悬点正下方，则测量结果________(选填“会”或“不会”)影响实验结果。地磁场对该实验结果________(选填“会”或“不会”)产生影响。
[解析] (1)题图(a)测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，相邻的磁感应强度最大值之间的时间间隔为，则(N－1)＝t，得T＝。题图(b)中手机记录下的磁感应强度几乎不变，可能的操作原因是形成了圆锥摆，小球与手机的距离几乎不变，磁感应强度几乎不变。
(2)单摆摆长l＝L＋R，由单摆周期公式T＝2π得T2＝L＋R，图线的斜率为k＝，纵轴上的截距为c＝R，则当地重力加速度g＝，小球的半径R＝。
(3)实验中，若手机放的位置不在悬点正下方，则测量结果不会影响实验结果，因为小球距离手机最近时，测得的磁感应强度最大，手机测得的磁感应强度变化的周期不变，由此计算出的单摆周期不变，则不会影响实验结果。地磁场对该实验结果不会产生影响，因为地磁场不变，实验测量的是小球的磁感应强度和地磁场的磁感应强度的矢量和，则地磁场不会影响手机测得的磁感应强度变化的周期，即不会影响实验结果。
[答案] (1) 形成了圆锥摆 (2) (3)不会 不会
10 / 105．实验：用单摆测量重力加速度
[实验目标] 1．明确用单摆测量重力加速度的原理和方法。2．知道如何选择实验器材，能熟练地使用停表。3．学会用单摆测当地的重力加速度，掌握减小实验误差的方法。
一、实验设计
1．实验原理
当摆角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与摆角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。
2．实验器材
带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1米)、停表、毫米刻度尺和游标卡尺。
二、实验步骤
1．做单摆
取约1 m长的细线穿过带孔的小球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图所示。
2．测摆长
用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值。
4．改变摆长，重做几次实验
三、数据处理
1．公式法
将测得的几组周期T和摆长l的对应值分别代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地重力加速度的值。
2．图像法
由单摆的周期公式T＝2π可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴作出的l-T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。k＝＝，g＝4π2k。
四、误差分析
1．系统误差
主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可以看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。
2．偶然误差
主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4，3，2，1，0，1，2，…在数“0”的同时按下停表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。
五、注意事项
1．选择摆线时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。
3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过5°。可通过估算振幅的办法掌握。
4．摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“0”的同时按下停表，开始计时计数。
类型一 实验原理与操作
【典例1】 利用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
甲 乙
(1)实验室有如下器材可供选用：
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约2 cm的均匀铁球
D．直径约5 cm的均匀木球
E．停表
F．时钟
G．10分度的游标卡尺
H．最小刻度为毫米的米尺
选择游标卡尺和米尺后，还需要从上述器材中选择________(填写器材前的字母)。
(2)用10分度的游标卡尺测量小球的直径d，如图乙所示，读出小球直径的值为__________mm。
(3)将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂。用米尺测量摆线长度为l，小球在竖直平面内小角度平稳摆动后，测得小球完成n次全振动的总时间为t，请写出重力加速度的表达式g＝________(用l、d、n、t表示)。
(4)正确操作后，根据多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值，比较后发现：此值比北京的重力加速度值略小，则实验所在处的地理位置与北京的主要不同点可能是_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________(写出一条即可)。
[听课记录]
类型二 数据处理和误差分析
【典例2】 一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________mm，则摆球的直径为____________mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________(选填“大于”或“小于”)5°。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________s，该小组测得的重力加速度大小为________m/s2。(结果均保留三位有效数字，π2取9.870)
[听课记录]
类型三 创新实验设计
【典例3】 将一单摆装置竖直挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离为l，并通过改变l而测出对应的周期T，再以T2为纵轴、l为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度。
甲 乙
(1)利用单摆测重力加速度时，为了减小误差，我们利用停表来测量单摆多次全振动的时间，从而求出振动周期。除了停表之外，还需要的测量工具为________。
A．天平 B．毫米刻度尺 C．螺旋测微器
(2)如果实验中所得到的T2-l图像如图乙所示，那么真正的图像应是a、b、c中的______。
(3)由图像可知，小筒的深度h＝________m，当地的重力加速度g＝________m/s2(结果保留三位有效数字，π取3.14)。
[听课记录]
1．某实验小组在进行“用单摆测定重力加速度”的实验中，已知单摆在摆动过程中的摆角小于5°；在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t；在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为L，再用游标卡尺测得摆球的直径为d(读数如图所示)。
(1)该单摆在摆动过程中的周期T＝________。
(2)用上述物理量的符号写出重力加速度的一般表达式g＝________。
(3)由图可知，摆球的直径为d＝________mm。
(4)实验结束后，某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大，其原因可能是________。
A．把(n＋1)次摆动的时间误记为n次摆动的时间
B．把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间
C．以摆线长作为摆长来计算
2．在“用单摆测量重力加速度”的实验中。
(1)某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示，该示数为________ cm，则单摆的摆长为________ cm；然后用停表记录了单摆振动50次所用的时间如图乙所示，该示数为________ s，则单摆的周期为________ s；当地的重力加速度为g＝________ m/s2(π取3.14)。
(2)实验中，如果摆球密度不均匀，无法确定重心位置，一位同学设计了一个巧妙的方法不计摆球的半径，具体做法如下：第一次量得悬线长L1，测得振动周期为T1；第二次量得悬线长L2，测得振动周期为T2，由此可推得重力加速度为g＝________。
3．航天员分别在地球和月球上探究了单摆周期T与摆长l的关系。多次改变摆长，绘制了T2-l图像，如图所示。在月球上的实验结果对应的图线是______(选填“A”或“B”)。若在月球上得到的图线斜率为k，则月球表面的重力加速度g月＝______。
4．某智能手机中有一款软件，其中的“磁传感器”功能能实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，“磁传感器”记录下的磁感应强度越大。现用手机、磁化的小球、铁架台、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置，来测量重力加速度，实验步骤如下：
①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。
②打开夹子释放小球，小球运动，取下夹子。
③运行软件，点开“磁传感器”功能，手机记录下磁感应强度的变化。
④改变摆线长和夹子的位置，测量出每次实验的摆线长L及相应的周期T。
根据以上实验过程，回答下列问题：
(1)图乙中的(a)、(b)分别记录了两次实验中磁感应强度的变化情况，图(a)测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，则单摆周期T的测量值为________。图(b)中手机记录下的磁感应强度几乎不变，可能的操作原因是_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________。
(2)实验中得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了T2-L图线，图线的斜率为k，在纵轴上的截距为c，由此得到当地重力加速度g＝________，小球的半径R＝________。
(3)实验中，若手机放的位置不在悬点正下方，则测量结果________(选填“会”或“不会”)影响实验结果。地磁场对该实验结果________(选填“会”或“不会”)产生影响。
7 / 8
