4．单摆
[学习目标] 1．知道什么是单摆，了解单摆的构成及单摆的回复力。2．理解单摆做简谐运动的条件，掌握单摆的周期公式，会利用图像法分析单摆的运动，并能够进行计算。3．探究单摆周期与摆长之间的关系，体会实验设计的思路。4．借助单摆周期影响因素的分析，培养严谨的科学态度。
知识点一 单摆及单摆的回复力
1．单摆模型
(1)由细线和____组成。
(2)细线的质量和小球相比可以____。
(3)小球的直径与线的长度相比可以____。
注意：单摆是理想化模型，实际并不存在。
2．单摆的回复力
(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧____方向的分力，即F＝________________。
(2)回复力的特点：在摆角很小时，单摆的回复力与它偏离平衡位置位移的大小成____，方向总指向________。
(3)运动规律：单摆在摆角很小时做____运动。
在单摆做简谐运动的平衡位置时，摆球所受合外力为零吗？
1．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)单摆运动的回复力是摆球重力和摆线拉力的合力。 ( )
(2)单摆运动的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的一个分力。 ( )
(3)单摆是一个理想化的模型。 ( )
知识点二 单摆的周期
1．影响单摆周期的因素
(1)单摆的周期与____有关，摆长越长，周期____。
(2)单摆的周期与________、____无关。
2．周期公式
(1)提出：周期公式由______首先提出。
(2)公式：T＝___。
2．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)摆球的质量越大，周期越大。 ( )
(2)单摆的振幅越小，周期越小。 ( )
(3)单摆的摆长越长，周期越大。 ( )
3．填空
一个理想的单摆，已知其周期为T。如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，它的周期变为____。
(1)判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？
(2)试分析单摆的回复力由什么力提供。
考点1 对单摆的回复力及运动特征
的理解
1．单摆的回复力
(1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ。
2．单摆做简谐运动的推证
在摆角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mg sin θ，所以单摆振动的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
3．单摆的振动图像
简谐运动的图像是正弦曲线(或余弦曲线)，而在摆角很小的情况下，单摆做简谐运动，故它的振动图像也是正弦曲线(或余弦曲线)。
角度1 对单摆回复力的理解
【典例1】 关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球经过平衡位置时所受合力为零
B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
[听课记录]
角度2 单摆的运动过程分析
【典例2】 关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球运动的回复力是摆线的拉力与重力的合力
B．摆球运动过程中经过轨迹上同一点，加速度是不相等的
C．摆球运动过程中，加速度的方向始终指向平衡位置
D．摆球经过平衡位置时，加速度不为零
[听课记录]
对于单摆的两点说明
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡。
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力。
[跟进训练]
1．(角度1)如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球在A点和C点处，合力为零
B．摆球在A点和C点处，回复力为零
C．摆球在B点处，回复力最大
D．摆球在B点处，细线拉力最大
2．(角度2)关于单摆做简谐运动的过程，下列说法中不正确的是( )
A．在平衡位置摆球的速度和位移均达到最大值
B．在最大位移处速度最小
C．在平衡位置摆球速度最大
D．摆球由最大位移处向平衡位置运动时，速度变大
考点2 单摆周期公式的理解及应用
1．成立条件：单摆摆角很小(摆角小于5°)。
2．影响因素：周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
3．对l、g的理解
(1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。
①普通单摆：摆长l＝l′＋，l′为摆线长，D为摆球直径。
②等效摆长：图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为l sin α，其周期T＝2π。图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，其等效摆长等于丙摆的摆长。
(2)①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
【典例3】 摆长是 1 m 的单摆在某地区的周期是2 s，则在同一地区( )
A．摆长是0.5 m的单摆的周期是0.707 s
B．摆长是0.5 m的单摆的周期是1 s
C．周期是1 s的单摆的摆长为2 m
D．周期是4 s的单摆的摆长为4 m
[听课记录]
利用单摆周期公式计算的三个核心
利用单摆的周期公式T＝2π进行有关计算，要把握三个核心。
(1)单摆的周期公式在摆角很小时成立(θ≤5°)。
(2)单摆周期公式中的g是单摆所在地的重力加速度，能求出摆球在不同的空间位置、物理环境(如带电小球在匀强电场)中的等效重力加速度。
(3)单摆的摆长
①因为实际的摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，注意摆线长是从悬点到摆线与摆球连接点的长度，不要把摆长与摆线长弄混淆。
②等效摆长是摆球重心到摆动圆弧圆心的距离。
[跟进训练]
3．如图所示，几个摆长相同的单摆，它们在不同条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4，关于周期大小关系的判断，正确的是( )
A．T1>T2>T3>T4 B．T1C．T1T2＝T3>T4
1．单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，下列选项中不属于理想化条件的是( )
A．摆线质量不计
B．摆线不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度小得多
D．只要是单摆的运动就是简谐运动
2．(人教版P50T3设问变式)如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图像，下列说法正确的是( )
A．甲摆的摆长大于乙摆的摆长
B．甲摆的频率大于乙摆的频率
C．在t＝0.5 s时，甲摆正经过平衡位置向x轴正方向运动
D．在t＝1.0 s时，乙摆的速率大于甲摆的速率
3．(新情境题，以摆钟为背景，考查单摆)把在北京调准的摆钟由北京移到赤道，则摆钟( )
A．变慢了，要使它恢复准确，应该增加摆长
B．变慢了，要使它恢复准确，应该减短摆长
C．变快了，要使它恢复准确，应该增加摆长
D．变快了，要使它恢复准确，应该减短摆长
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．单摆看成简谐运动的条件是什么？
2．单摆的回复力是由哪个力提供？
3．单摆的周期由哪些因素决定？
4．单摆周期的表达式是什么？
7 / 74．单摆
[学习目标] 1．知道什么是单摆，了解单摆的构成及单摆的回复力。2．理解单摆做简谐运动的条件，掌握单摆的周期公式，会利用图像法分析单摆的运动，并能够进行计算。3．探究单摆周期与摆长之间的关系，体会实验设计的思路。4．借助单摆周期影响因素的分析，培养严谨的科学态度。
知识点一 单摆及单摆的回复力
1．单摆模型
(1)由细线和小球组成。
(2)细线的质量和小球相比可以忽略。
(3)小球的直径与线的长度相比可以忽略。
注意：单摆是理想化模型，实际并不存在。
2．单摆的回复力
(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mg sin θ。
(2)回复力的特点：在摆角很小时，单摆的回复力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，方向总指向平衡位置。
(3)运动规律：单摆在摆角很小时做简谐运动。
在单摆做简谐运动的平衡位置时，摆球所受合外力为零吗？
提示：不为零。
1．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)单摆运动的回复力是摆球重力和摆线拉力的合力。 (×)
(2)单摆运动的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的一个分力。 (√)
(3)单摆是一个理想化的模型。 (√)
知识点二 单摆的周期
1．影响单摆周期的因素
(1)单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大。
(2)单摆的周期与摆球质量、振幅无关。
2．周期公式
(1)提出：周期公式由惠更斯首先提出。
(2)公式：T＝2π。
2．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)摆球的质量越大，周期越大。 (×)
(2)单摆的振幅越小，周期越小。 (×)
(3)单摆的摆长越长，周期越大。 (√)
3．填空
一个理想的单摆，已知其周期为T。如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，它的周期变为2T。
(1)判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？
(2)试分析单摆的回复力由什么力提供。
提示：(1)模型①不是单摆，因为橡皮筋伸长不可忽略。
模型②不是单摆，因为绳子质量不可忽略。
模型③不是单摆，因为绳长不是远大于球的直径。
模型④不是单摆，因为悬点不固定，因而摆长会发生变化。
模型⑤是单摆。
(2)单摆的回复力是由摆球重力的切向分力提供，即F＝mg sin θ，即F≈－mg。
考点1 对单摆的回复力及运动特征
的理解
1．单摆的回复力
(1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ。
2．单摆做简谐运动的推证
在摆角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mg sin θ，所以单摆振动的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
3．单摆的振动图像
简谐运动的图像是正弦曲线(或余弦曲线)，而在摆角很小的情况下，单摆做简谐运动，故它的振动图像也是正弦曲线(或余弦曲线)。
角度1 对单摆回复力的理解
【典例1】 关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球经过平衡位置时所受合力为零
B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
C [摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，经过平衡位置，合力不为零，合力提供向心力，方向指向悬点，A错误；摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，B错误；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C正确，D错误。]
角度2 单摆的运动过程分析
【典例2】 关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球运动的回复力是摆线的拉力与重力的合力
B．摆球运动过程中经过轨迹上同一点，加速度是不相等的
C．摆球运动过程中，加速度的方向始终指向平衡位置
D．摆球经过平衡位置时，加速度不为零
D [摆球在运动过程中的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力，而不是摆线的拉力和重力的合力，故A错误；摆球经过轨迹上的同一点受力情况相同，故加速度相同，故B错误；摆球在运动过程中加速度的方向不始终指向平衡位置，因为垂直速度方向也有向心加速度，故C错误；摆球摆动过程中，经过平衡位置时，合力提供向心力，合力不为零，加速度不为零，故D正确。]
对于单摆的两点说明
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡。
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力。
[跟进训练]
1．(角度1)如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球在A点和C点处，合力为零
B．摆球在A点和C点处，回复力为零
C．摆球在B点处，回复力最大
D．摆球在B点处，细线拉力最大
D [摆球在重力和细线拉力作用下沿圆弧AC做圆周运动，在最高点A、C处合力不为零，A错误；在最低点B处，细线上的拉力最大，D正确；摆球的回复力F＝mg sin θ，其中θ为摆线偏离竖直方向的角度，所以摆球在摆动过程中，在最高点A、C处回复力最大，在最低点B处回复力为零，故B、C错误。]
2．(角度2)关于单摆做简谐运动的过程，下列说法中不正确的是( )
A．在平衡位置摆球的速度和位移均达到最大值
B．在最大位移处速度最小
C．在平衡位置摆球速度最大
D．摆球由最大位移处向平衡位置运动时，速度变大
A [在平衡位置处，摆球的势能最小，动能最大，速度最大，而位移最小，A错误，C正确；在最大位移处，摆球的势能最大，动能最小，速度最小，B正确；摆球由最大位移处向平衡位置运动时，势能变小，动能变大，速度变大，D正确。]
考点2 单摆周期公式的理解及应用
1．成立条件：单摆摆角很小(摆角小于5°)。
2．影响因素：周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
3．对l、g的理解
(1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。
①普通单摆：摆长l＝l′＋，l′为摆线长，D为摆球直径。
②等效摆长：图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为l sin α，其周期T＝2π。图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，其等效摆长等于丙摆的摆长。
(2)①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
【典例3】 摆长是 1 m 的单摆在某地区的周期是2 s，则在同一地区( )
A．摆长是0.5 m的单摆的周期是0.707 s
B．摆长是0.5 m的单摆的周期是1 s
C．周期是1 s的单摆的摆长为2 m
D．周期是4 s的单摆的摆长为4 m
D [摆长是1 m的单摆的周期是2 s，根据单摆的周期公式T＝2π可知，当地的重力加速度g＝＝ m/s2，摆长是0.5 m的单摆的周期T1＝2π＝2π× s≈1.414 s，故A、B错误；周期是1 s的单摆的摆长l2＝＝ m＝0.25 m，周期是4 s的单摆的摆长l3＝＝ m＝4 m，故C错误，D正确。]
利用单摆周期公式计算的三个核心
利用单摆的周期公式T＝2π进行有关计算，要把握三个核心。
(1)单摆的周期公式在摆角很小时成立(θ≤5°)。
(2)单摆周期公式中的g是单摆所在地的重力加速度，能求出摆球在不同的空间位置、物理环境(如带电小球在匀强电场)中的等效重力加速度。
(3)单摆的摆长
①因为实际的摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，注意摆线长是从悬点到摆线与摆球连接点的长度，不要把摆长与摆线长弄混淆。
②等效摆长是摆球重心到摆动圆弧圆心的距离。
[跟进训练]
3．如图所示，几个摆长相同的单摆，它们在不同条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4，关于周期大小关系的判断，正确的是( )
A．T1>T2>T3>T4 B．T1C．T1T2＝T3>T4
D [根据单摆周期公式T＝2π可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关，与摆长和重力加速度有关。题图甲中沿斜面的加速度为a1＝g sin θ，所以周期T1＝2π，题图乙中摆球所受的库仑力始终沿摆线方向，回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故摆球的等效重力加速度为a2＝g，所以周期T2＝2π，题图丙中的周期T3＝2π，题图丁中的等效重力加速度为a4＝g＋a，所以周期T4＝2π，故T1>T2＝T3>T4，故A、B、C错误，D正确。]
1．单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，下列选项中不属于理想化条件的是( )
A．摆线质量不计
B．摆线不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度小得多
D．只要是单摆的运动就是简谐运动
D [单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量且摆线不伸缩，摆球直径远小于摆线长度，A、B、C项正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小(θ≤5°)的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，D项错误。]
2．(人教版P50T3设问变式)如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图像，下列说法正确的是( )
A．甲摆的摆长大于乙摆的摆长
B．甲摆的频率大于乙摆的频率
C．在t＝0.5 s时，甲摆正经过平衡位置向x轴正方向运动
D．在t＝1.0 s时，乙摆的速率大于甲摆的速率
D [由题图可知，甲摆的周期等于乙摆的周期，则甲摆的频率等于乙摆的频率，B错误；根据单摆周期公式T＝2π，可得摆长l＝，由于两摆的周期相同，则甲摆的摆长等于乙摆的摆长，A错误；在t＝0.5 s时，甲摆正经过平衡位置向x轴负方向运动，C错误；在t＝1.0 s时，乙摆在平衡位置，此时乙摆速率最大，甲摆在离平衡位置最远处，则此时甲摆的速率为零，易知此时乙摆的速率大于甲摆的速率，D正确。]
3．(新情境题，以摆钟为背景，考查单摆)把在北京调准的摆钟由北京移到赤道，则摆钟( )
A．变慢了，要使它恢复准确，应该增加摆长
B．变慢了，要使它恢复准确，应该减短摆长
C．变快了，要使它恢复准确，应该增加摆长
D．变快了，要使它恢复准确，应该减短摆长
B [把调准的摆钟由北京移至赤道，重力加速度变小，根据周期公式T＝2π，则周期变长，摆钟变慢了，要使它恢复准确，应该使T减小，即减短摆长l。故A、C、D错误，B正确。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．单摆看成简谐运动的条件是什么？
提示：摆角θ较小，θ≈sin θ。
2．单摆的回复力是由哪个力提供？
提示：重力沿垂直于摆线的分力。
3．单摆的周期由哪些因素决定？
提示：摆长、重力加速度。
4．单摆周期的表达式是什么？
提示：T＝2π。
课时分层作业(九) 单摆
?题组一 单摆及单摆的回复力
1．关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球做匀速圆周运动
B．摆球摆动到最低点时加速度为零
C．摆球速度变化的周期等于振动周期
D．摆球振动的频率与振幅有关
C [摆球在摆动中速度大小是变化的，不是匀速圆周运动，A错误；摆球摆动到最低点时加速度不为零，受向上的合外力，故加速度竖直向上，B错误；摆球速度变化的周期以及位移变化的周期均等于振动周期，C正确；摆球振动的频率与振幅无关，只取决于摆长和当地的重力加速度，D错误。]
2．下列有关单摆的说法，正确的是( )
A．一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球，可以构成一个单摆
B．单摆的摆动一定是简谐运动
C．若单摆在同一平面内摆动，且摆角小于5°，可以认为该单摆的运动是简谐运动
D．单摆做简谐运动时，摆长越长，其运动周期越小
C [一根不可伸长的细绳一端系在悬点，另一端连接一个质量较大且可以看成质点的小球，可以构成一个单摆，橡皮筋受到拉力时形变量较大，连接小球构成的装置不可看成单摆，A错误；若单摆在同一平面内摆动，且摆角小于5°，可以认为该单摆的运动是简谐运动，B错误，C正确；根据单摆的周期公式T＝2π可知，单摆做简谐运动时，摆长越长，其运动周期越大，D错误。]
3．振动着的单摆摆球通过平衡位置时，它受到的回复力( )
A．指向地面 B．指向悬点
C．数值为零 D．垂直摆线，指向运动方向
C [单摆的摆球受到的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，摆球经过平衡位置时，回复力为零，选C。]
4．一个单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示。以下说法不正确的是( )
A．t1时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
B．t2时刻摆球速度最大，但加速度不为零
C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
C [由振动图像可知：t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球速度为零，悬线对摆球的拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球的拉力最大，加速度向上。故C选项符合题意。]
?题组二 单摆的周期
5．发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大( )
A．增大摆球质量 B．增加摆长
C．减小单摆振幅 D．将单摆由山顶移到山下
B [由单摆的周期公式T＝2π可知，g减小或l增大时周期会变大。]
6．要将秒摆的周期由2 s变为4 s，下列措施可行的是( )
A．只将摆球质量变为原来的
B．只将振幅变为原来的2倍
C．只将摆长变为原来的4倍
D．只将摆长变为原来的16倍
C [单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，故A、B错误；对秒摆，T0＝2π＝2 s，对周期为4 s的单摆，T＝2π＝4 s，联立解得l＝4l0，故C正确，D错误。]
7．在盛沙的漏斗下面放一木板，让漏斗左右摆动起来，同时细沙缓慢流出，经历一段时间后，观察木板上沙子的堆积情况。沙堆的剖面图应是下图中的( )
A B
C D
B [不考虑空气阻力，漏斗在从最左端向最右端运动和从最右端向最左端运动时，到达最低点时的运动速度最大，漏到木板上的细沙最少，两端漏斗运动得最慢，漏到木板上的细沙最多，B正确，A、C、D错误。]
8．地球表面的重力加速度约为9.8 m/s2，月球表面的重力加速度是地球表面的，将走时准确的摆钟从地球放到月球上去，在地球上经过24 h，该钟在月球上显示经过了( )
A．4 h B．9.8 h
C．12 h D．58.8 h
B [由单摆的周期公式T＝2π，得＝＝，即T月＝T地，则摆钟在月球上单位时间内完成的全振动的次数为在地球上的，所以在地球上经过24 h，该钟在月球上显示经过的时间为24× h＝4 h≈9.8 h，选项B正确。]
9．图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右运动为正方向。图乙是这个单摆的振动图像。根据图像回答：
甲 乙
(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时刻摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，则这个摆的摆长是多少？
[解析] (1)由题图乙知周期T＝0.8 s，
则频率f＝＝1.25 Hz。
(2)由题图乙知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以摆球在B点。
(3)由T＝2π得L＝≈0.16 m。
[答案] (1)1.25 Hz (2)B点 (3)0.16 m
10．下列关于单摆周期的说法正确的是( )
A．用一个装满沙的漏斗和长细线做成一个单摆，在摆动时沙从漏斗中缓慢漏出，周期不变
B．只将摆球的质量增大，单摆振动周期增大
C．将单摆由赤道移到北极，单摆振动周期减小
D．将单摆的摆角由3°增加到5°(不计空气阻力)，单摆的周期减小
C [沙从漏斗中缓慢漏出时，等效摆长变化，周期变化，选项A错误；单摆的振动周期与摆球的质量无关，选项B错误；将单摆由赤道移到北极，重力加速度增大，则周期减小，选项C正确；在摆角很小时，单摆的周期与摆角大小无关，选项D错误。]
11．某同学在家偶然发现一根不可伸长的细线垂到窗沿，他想利用单摆原理粗测细线的总长度。先在线的下端系上一个小球，当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1 m。他打开窗户，让小球在垂直于墙的竖直平面内做小角度摆动，如图所示。从小球第1次通过图中的B点开始计时，到第31次通过B点共用时60 s，取g＝10 m/s2。根据以上数据可知细线的长度约为( )
A．8 m B．9 m C．10 m D．20 m
B [设细线的长度为L，球心到窗上沿的距离为d，由题意可知，该单摆振动周期为T＝＝4 s。由单摆的周期公式可得T＝π＋π，代入数据解得L≈9 m，故细线的长度约为9 m，故选B。]
12．人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，等效“摆球”的质量为m，摆绳长为l，忽略空气阻力。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是( )
A．经过最低点时人与踏板均处于平衡状态
B．“摆球”偏离最低点位移为x时，回复力F＝－x
C．偏离最低点运动的过程中，人受到踏板的摩擦力逐渐增大
D．经过最低点时，人顺势轻轻跳下，踏板的周期将增大
B [经过最低点时人与踏板有向心加速度，并未处于平衡状态，故A错误；当摆角θ很小时，“摆球”运动的圆弧可以看成直线，根据回复力F＝－kx可知，“摆球”偏离最低点位移为x时，回复力F＝－x，B正确；偏离最低点运动的过程中，人的速度减小，与竖直方向夹角变大，重力沿切线方向的分力提供回复力，摩擦力为零，故C错误；单摆的周期T＝2π，只与摆长有关，故经过最低点时，人顺势轻轻跳下，单摆的周期不变，故D错误。]
13．如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R 。甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放。
(1)求两球第1次到达C点的时间之比。
(2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？
[解析] (1)甲球做自由落体运动，
R＝，所以t1＝。
乙球沿圆弧做简谐运动(由于 R，可认为摆角θ＜5°)。此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间t2＝T＝×2π＝。
所以t1∶t2＝。
(2)甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落，到达C点的时间t甲＝。
由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间t乙＝＋n＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)
由于甲、乙在C处相遇，故t甲＝t乙，
解得h＝(n＝0，1，2，…)。
[答案] (1) (2)(n＝0，1，2，…)
14．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10 m/s2。求：
(1)单摆的摆长；
(2)摆球的质量。
[解析] (1)由题图乙可知，单摆的振动周期
T＝0.4π s。
根据单摆周期公式T＝2π。
可得单摆的摆长l＝0.4 m。
(2)设最大偏角为θ，由题图乙可知，在最高点A时，有Fmin＝mg cos θ＝0.495 N。
在最低点B时，有Fmax－mg＝，
而Fmax＝0.510 N。
从最高点到最低点的过程中，由机械能守恒定律得
mgl(1－cos θ)＝mv2。
联立解得m＝0.05 kg。
[答案] (1)0.4 m (2)0.05 kg
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