课时分层作业(九) 单摆
?题组一 单摆及单摆的回复力
1．关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球做匀速圆周运动
B．摆球摆动到最低点时加速度为零
C．摆球速度变化的周期等于振动周期
D．摆球振动的频率与振幅有关
2．下列有关单摆的说法，正确的是( )
A．一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球，可以构成一个单摆
B．单摆的摆动一定是简谐运动
C．若单摆在同一平面内摆动，且摆角小于5°，可以认为该单摆的运动是简谐运动
D．单摆做简谐运动时，摆长越长，其运动周期越小
3．振动着的单摆摆球通过平衡位置时，它受到的回复力( )
A．指向地面 B．指向悬点
C．数值为零 D．垂直摆线，指向运动方向
4．一个单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示。以下说法不正确的是( )
A．t1时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
B．t2时刻摆球速度最大，但加速度不为零
C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
?题组二 单摆的周期
5．发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大( )
A．增大摆球质量 B．增加摆长
C．减小单摆振幅 D．将单摆由山顶移到山下
6．要将秒摆的周期由2 s变为4 s，下列措施可行的是( )
A．只将摆球质量变为原来的
B．只将振幅变为原来的2倍
C．只将摆长变为原来的4倍
D．只将摆长变为原来的16倍
7．在盛沙的漏斗下面放一木板，让漏斗左右摆动起来，同时细沙缓慢流出，经历一段时间后，观察木板上沙子的堆积情况。沙堆的剖面图应是下图中的( )
A B
C D
8．地球表面的重力加速度约为9.8 m/s2，月球表面的重力加速度是地球表面的，将走时准确的摆钟从地球放到月球上去，在地球上经过24 h，该钟在月球上显示经过了( )
A．4 h B．9.8 h
C．12 h D．58.8 h
9．图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右运动为正方向。图乙是这个单摆的振动图像。根据图像回答：
甲 乙
(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时刻摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，则这个摆的摆长是多少？
10．下列关于单摆周期的说法正确的是( )
A．用一个装满沙的漏斗和长细线做成一个单摆，在摆动时沙从漏斗中缓慢漏出，周期不变
B．只将摆球的质量增大，单摆振动周期增大
C．将单摆由赤道移到北极，单摆振动周期减小
D．将单摆的摆角由3°增加到5°(不计空气阻力)，单摆的周期减小
11．某同学在家偶然发现一根不可伸长的细线垂到窗沿，他想利用单摆原理粗测细线的总长度。先在线的下端系上一个小球，当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1 m。他打开窗户，让小球在垂直于墙的竖直平面内做小角度摆动，如图所示。从小球第1次通过图中的B点开始计时，到第31次通过B点共用时60 s，取g＝10 m/s2。根据以上数据可知细线的长度约为( )
A．8 m B．9 m C．10 m D．20 m
12．人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，等效“摆球”的质量为m，摆绳长为l，忽略空气阻力。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是( )
A．经过最低点时人与踏板均处于平衡状态
B．“摆球”偏离最低点位移为x时，回复力F＝－x
C．偏离最低点运动的过程中，人受到踏板的摩擦力逐渐增大
D．经过最低点时，人顺势轻轻跳下，踏板的周期将增大
13．如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R 。甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放。
(1)求两球第1次到达C点的时间之比。
(2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？
14．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10 m/s2。求：
(1)单摆的摆长；
(2)摆球的质量。
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1．C [摆球在摆动中速度大小是变化的，不是匀速圆周运动，A错误；摆球摆动到最低点时加速度不为零，受向上的合外力，故加速度竖直向上，B错误；摆球速度变化的周期以及位移变化的周期均等于振动周期，C正确；摆球振动的频率与振幅无关，只取决于摆长和当地的重力加速度，D错误。]
2．C [一根不可伸长的细绳一端系在悬点，另一端连接一个质量较大且可以看成质点的小球，可以构成一个单摆，橡皮筋受到拉力时形变量较大，连接小球构成的装置不可看成单摆，A错误；若单摆在同一平面内摆动，且摆角小于5°，可以认为该单摆的运动是简谐运动，B错误，C正确；根据单摆的周期公式T＝2π可知，单摆做简谐运动时，摆长越长，其运动周期越大，D错误。]
3．C [单摆的摆球受到的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，摆球经过平衡位置时，回复力为零，选C。]
4．C [由振动图像可知：t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球速度为零，悬线对摆球的拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球的拉力最大，加速度向上。故C选项符合题意。]
5．B [由单摆的周期公式T＝2π可知，g减小或l增大时周期会变大。]
6．C [单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，故A、B错误；对秒摆，T0＝2π＝2 s，对周期为4 s的单摆，T＝2π＝4 s，联立解得l＝4l0，故C正确，D错误。]
7．B [不考虑空气阻力，漏斗在从最左端向最右端运动和从最右端向最左端运动时，到达最低点时的运动速度最大，漏到木板上的细沙最少，两端漏斗运动得最慢，漏到木板上的细沙最多，B正确，A、C、D错误。]
8．B [由单摆的周期公式T＝2π，得＝＝，即T月＝T地，则摆钟在月球上单位时间内完成的全振动的次数为在地球上的，所以在地球上经过24 h，该钟在月球上显示经过的时间为24× h＝4 h≈9.8 h，选项B正确。]
9．解析：(1)由题图乙知周期T＝0.8 s，
则频率f＝＝1.25 Hz。
(2)由题图乙知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以摆球在B点。
(3)由T＝2π得L＝≈0.16 m。
答案：(1)1.25 Hz (2)B点 (3)0.16 m
10．C [沙从漏斗中缓慢漏出时，等效摆长变化，周期变化，选项A错误；单摆的振动周期与摆球的质量无关，选项B错误；将单摆由赤道移到北极，重力加速度增大，则周期减小，选项C正确；在摆角很小时，单摆的周期与摆角大小无关，选项D错误。]
11．B [设细线的长度为L，球心到窗上沿的距离为d，由题意可知，该单摆振动周期为T＝＝4 s。由单摆的周期公式可得T＝π＋π，代入数据解得L≈9 m，故细线的长度约为9 m，故选B。]
12．B [经过最低点时人与踏板有向心加速度，并未处于平衡状态，故A错误；当摆角θ很小时，“摆球”运动的圆弧可以看成直线，根据回复力F＝－kx可知，“摆球”偏离最低点位移为x时，回复力F＝－x，B正确；偏离最低点运动的过程中，人的速度减小，与竖直方向夹角变大，重力沿切线方向的分力提供回复力，摩擦力为零，故C错误；单摆的周期T＝2π，只与摆长有关，故经过最低点时，人顺势轻轻跳下，单摆的周期不变，故D错误。]
13．解析：(1)甲球做自由落体运动，
R＝，所以t1＝。
乙球沿圆弧做简谐运动(由于 R，可认为摆角θ＜5°)。此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间t2＝T＝×2π＝。
所以t1∶t2＝。
(2)甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落，到达C点的时间t甲＝。
由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间t乙＝＋n＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)
由于甲、乙在C处相遇，故t甲＝t乙，
解得h＝(n＝0，1，2，…)。
答案：(1) (2)(n＝0，1，2，…)
14．解析：(1)由题图乙可知，单摆的振动周期
T＝0.4π s。
根据单摆周期公式T＝2π。
可得单摆的摆长l＝0.4 m。
(2)设最大偏角为θ，由题图乙可知，在最高点A时，有Fmin＝mg cos θ＝0.495 N。
在最低点B时，有Fmax－mg＝，
而Fmax＝0.510 N。
从最高点到最低点的过程中，由机械能守恒定律得
mgl(1－cos θ)＝mv2。
联立解得m＝0.05 kg。
答案：(1)0.4 m (2)0.05 kg
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