素养提升练(二) 动量和能量的综合问题
一、选择题
1．如图所示，物体A静止在光滑的水平面上，A的左边固定有轻质弹簧，与A质量相同的物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动，则A、B组成的系统动能损失最大的时刻是( )
A．A开始运动时
B．A的速度等于v时
C．B的速度等于零时
D．A和B的速度相同时
2．如图所示，A、B两小球静止在光滑水平面上，用轻弹簧相连接，A球的质量小于B球的质量。若用锤子敲击A球使A得到大小为v的速度，弹簧压缩到最短时的长度为L1；若用锤子敲击B球使B得到大小为v的速度，弹簧压缩到最短时的长度为L2，则L1与L2的大小关系为( )
A．L1＞L2 B．L1＜L2
C．L1＝L2 D．不能确定
3．短道速滑接力比赛中，“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面，并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙猛推甲一把，使甲获得更大的速度向前冲出，在乙推甲的过程中，忽略运动员与冰面间在水平方向上的相互作用，则( )
A．甲对乙的冲量一定等于乙对甲的冲量
B．甲、乙的动量变化一定大小相等、方向相反
C．甲的动能增加量一定等于乙的动能减少量
D．甲对乙做多少负功，乙对甲就一定做多少正功
4．如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为m的光滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量为M的木块，现有质量为m0的子弹以大小为v0的水平速度射入木块并留在木块中，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．子弹射入木块后瞬间，速度大小为
B．子弹射入木块后瞬间，轻绳拉力等于(M＋m0)g
C．子弹射入木块后瞬间，环对轻杆的压力大于(M＋m＋m0)g
D．子弹射入木块后，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒
5．如图所示，一木块静止在长木板的左端，长木板静止在水平地面上，木块和长木板的质量相等，均为M，木块和长木板之间、长木板和地面之间的动摩擦因数都为μ。一颗质量为m＝的子弹以一定速度水平向右射入木块并留在其中，木块在长木板上运动的距离为L；静止后一颗相同的子弹以相同的速度射入长木板，并留在长木板中，重力加速度为g。则( )
A．第一颗子弹射入木块前瞬间的速度为
B．木块运动的加速度大小为μg
C．第二颗子弹射入长木板后，长木板运动的加速度大小为2μg
D．最终木块静止在距离长木板左端L处
6．如图所示，光滑水平地面上有A、B两物体，质量都为m，B左端固定一个处于压缩状态的轻弹簧，轻弹簧被装置锁定，当弹簧再受到压缩时锁定装置会失效。A以速率v向右运动，A撞上弹簧后，设弹簧始终不超过弹性限度，下列关于A、B运动过程说法正确的是( )
A．A物体最终会静止，B物体最终会以速率v向右运动
B．A、B系统的总动量最终将大于mv
C．A、B系统的总动能最终将大于mv2
D．当弹簧的弹性势能最大时，A、B的总动能为mv2
7．质量为m0、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ，初始时小物块停在箱子正中间，如图所示。现给小物块一水平向右的初速度v，小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止。设碰撞都是弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为( )
A．mv2 B．
C．NμmgL D．μmgL
8．质量为M的小车静止在光滑水平面上，车上是一个四分之一的光滑圆弧轨道，轨道下端切线水平。质量为m的小球沿水平方向从轨道下端以初速度v0滑上小车，重力加速度为g，如图所示。已知小球不从小车上端离开小车，小球滑上小车又滑下来，与小车分离时，小球与小车速度方向相反，速度大小之比等于1∶3，则m∶M的值为( )
A．1∶3 B．1∶4 C．3∶5 D．2∶3
9．如图所示，光滑水平面上的木板静止，在其右端有一根轻质弹簧沿水平方向与木板相连，木板质量M＝1 kg，质量m＝2 kg的铁块以水平速度v0＝3 m/s从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弹回，最后恰好停在木板的左端，则在上述过程中弹簧具有的最大弹性势能为( )
A．1.5 J B．6 J
C．3 J D．4 J
二、非选择题
10．如图所示，有一质量为m的小球，以速度v0滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道。已知圆弧轨道的质量为2m，小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，重力加速度为g，求：
(1)小球在圆弧轨道上能上升的最大高度(用v0、g表示)；
(2)小球离开圆弧轨道时的速度大小。
11．如图所示，质量m＝245 g的物块(可视为质点)放在质量M＝0.5 kg的木板左端，足够长的木板静止在光滑水平面上，物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.4，质量m0＝5 g的子弹以速度v0＝300 m/s沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短)，g取10 m/s2，求：
(1)子弹和物块一起滑行的最大速度v1；
(2)木板向右滑行的最大速度v2；
(3)物块在木板上滑行的时间t和产生的内能E。
12．某科技小组设计了以下实验。如图甲所示，小车上固定一个右端开口的小管，管口刚好与小车右端对齐。小管内装有一根质量可忽略不计的硬弹簧，小车与管的总质量为M＝0.2 kg。将一个大小合适、质量为m＝0.05 kg的小球压入管内，管口的锁定装置既可控制小球不弹出，也可通过无线遥控解锁。小球弹出时间极短，在管内运动的摩擦可忽略。该小组利用此装置完成以下实验。
甲 乙
丙
实验一：测量弹簧储存的弹性势能
如图乙所示，将该装置放在水平桌面上，小车右端与桌面右端对齐，并在小车右端悬挂重垂线到地面，标记出O点。固定小车，解锁后，小球水平飞出，落到地面上的A点。测得OA的距离为x＝2.4 m，小球抛出点的竖直高度为h＝0.8 m。 g取10 m/s2。
实验二：对小车移动距离的理论预测与实验检验
如图丙所示，将该装置放在水平地面上静止不动，解除锁定，小球弹出瞬间小车向相反方向运动。已知地面对小车的阻力恒为车对地面压力的k倍(k＝0.3)。该小组在实验一的基础上，先通过理论计算得出小车移动距离的预测值为s，再通过实验测得小车移动距离的实际值为s′。
(1)求小球锁定时弹簧储存的弹性势能Ep；
(2)请你帮助该小组计算小车移动距离的预测值s；
(3)请分析说明根据现有信息能否预测s′与s的大小关系。
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1．D [对A、B组成的系统由于水平面光滑，所以动量守恒。而对A、B、弹簧组成的系统机械能守恒，即A、B动能与弹簧弹性势能之和为定值。当A、B速度相同时，可类似于A、B的完全非弹性碰撞，此时弹簧形变量最大，弹性势能最大，A、B总动能损失最多。故选项D正确。]
2．C [用锤子敲击A球，当弹簧压缩到最短时，两球的速度相同，取A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得mAv＝(mA＋mB)v′，由机械能守恒定律得Ep＝mAv2－(mA＋mB)v′2，解得弹簧压缩到最短时的弹性势能Ep＝。同理可得用锤子敲击B球，当弹簧压缩到最短时的弹性势能也为，所以L1＝L2，选项C正确。]
3．B [运动员乙推甲的过程中，甲和乙间的相互作用力等大反向，作用时间相等，故甲对乙的冲量和乙对甲的冲量大小相等，方向相反，A错，B对；“交棒”过程中甲和乙的速度不一定相等，在乙推甲的过程中位移不一定相等，因而甲对乙做的负功的绝对值和乙对甲做的正功不一定相等，由动能定理，其动能变化量的绝对值也不一定相等，C、D错。]
4．C [子弹射入木块过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒，则m0v0＝(M＋m0)v1，解得射入后瞬间子弹与木块的共同速度大小为v1＝，选项A错误；子弹射入木块后瞬间，根据牛顿第二定律得T－(M＋m0)g＝，可知轻绳拉力大于(M＋m0)g，选项B错误；子弹射入木块后瞬间，对圆环有N＝T＋mg>(M＋m＋m0)g，选项C正确；子弹射入木块后，圆环、木块和子弹构成的系统只在水平方向动量守恒，选项D错误。]
5．B [子弹射入木块过程中，由动量守恒定律可得＝，解得v0＝6v1，分析可知木块在长木板上运动时，长木板不动，由动能定理可得－μ·MgL＝，解得子弹射入木块前、后瞬间的速度分别为v0＝6，v1＝，选项A错误；由牛顿第二定律可得μ·Mg＝，解得a1＝μg，选项B正确；第二颗子弹射入长木板后，由牛顿第二定律可知，长木板受到木块、地面的摩擦力均向左，故有μ·Mg＋μ·Mg＝，解得a2＝3μg，选项C错误；子弹射入木板过程中，子弹与木板组成的系统动量守恒，则v0＝Mv2，解得v2＝v1＝，子弹射入木板后，木板向右做减速运动，木块向右做加速运动，两者速度相等后一起做减速运动直到静止，子弹射入木板到木块与木板共速的过程有a1t＝v2－a2t，解得t＝，该过程木板的位移x2＝v2t－a2t2＝L，木块的位移x1＝a1t2＝L，最终木块静止在距离长木板左端d＝L＋x1－x2＝L处，选项D错误。]
6．C [设弹簧恢复原长时，A、B的速度分别为v1、v2，弹簧被锁定时的弹性势能为Ep，规定向右为正方向，A、B两物体与弹簧组成的系统在整个过程中动量守恒、机械能守恒，则有mv＝＝，因Ep＞0，可知v1≠0，v2≠v，选项A错误；A、B系统在水平方向动量守恒，系统的总动量最终等于mv，选项B错误；弹簧解除锁定后，存储的弹性势能会释放，导致A、B系统总动能增加，系统的总动能最终将大于mv2，选项C正确；弹簧被压缩到最短时，弹簧弹性势能最大，A、B两物体具有相同的速度，设为v′，由动量守恒定律知mv＝2mv′，解得v′＝v，则有总动能Ek＝×2m·＝mv2，选项D错误。]
7．B [根据动量守恒定律，小物块和箱子的共同速度v′＝，损失的动能ΔEk＝＝，所以B正确，A错误；根据能量守恒定律，损失的动能等于因摩擦产生的热量，而热量等于摩擦力乘相对滑动距离，所以ΔEk＝FfNL＝NμmgL，所以C、D错误。]
8．C [设小球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律可知mv0＝Mv1－mv2，又＝，对整体由机械能守恒定律可得＝，联立解得＝，故C正确。]
9．A [从铁块滑上木板开始到弹簧被压缩到最短，系统动量守恒，有mv0＝(M＋m)v，根据能量守恒定律得Q＋Ep＝－(M＋m)v2；从铁块滑上木板开始到最后恰好停在木板的左端，系统动量守恒，有mv0＝(M＋m)v，根据能量守恒定律得2Q＝－(M＋m)v2，解得Ep＝1.5 J，所以最大弹性势能为1.5 J，选A。]
10．解析：(1)小球在圆弧轨道上上升到最高时两物体速度相同，系统在水平方向上动量守恒，规定v0的方向为正方向，有
mv0＝3mv，
得v＝。
根据机械能守恒定律得
＝×3mv2＋mgh，
解得h＝。
(2)小球离开圆弧轨道时，根据动量守恒定律，则有
mv0＝mv1＋2mv2。
根据机械能守恒定律，则有
＝。
联立以上两式可得v1＝－v0，负号表示与v0的方向相反，则小球离开圆弧轨道时的速度大小为。
答案： (2)
11．解析：(1)子弹进入物块后与物块一起向右滑行，物块的初速度即为物块的最大速度。对子弹和物块组成的系统，以向右为正方向，由动量守恒定律得m0v0＝(m0＋m)v1，
解得v1＝＝6 m/s。
(2)当子弹、物块和木板三者速度相同时，木板的速度达到最大，由动量守恒定律得
(m0＋m)v1＝(m0＋m＋M)v2，
解得v2＝＝2 m/s。
(3)对物块和子弹组成的系统，由动量定理得
－μ(m0＋m)gt＝(m0＋m)v2－(m0＋m)v1，
解得t＝＝1 s。
对物块和子弹以及木板组成的系统，由能量守恒定律得
＝＋E，
解得E＝3 J。
答案：(1)6 m/s (2)2 m/s (3)1 s 3 J
12．解析：(1)设小球水平飞出的初速度为v0，小球弹出后做平抛运动，则
h＝gt2， ①
x＝v0t。 ②
小球弹出过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，则
Ep＝。 ③
联立①②③式可得Ep＝，
代入数据可得Ep＝0.9 J。
(2)设向右为正方向，在小球弹出过程中，小球与小车组成的系统动量守恒、机械能守恒，则
0＝mv1－Mv2, ④
Ep＝。 ⑤
小球弹出后，小车在地面阻力作用下逐渐减速为零的过程中，由动能定理得
－kMgs＝。 ⑥
联立④⑤⑥式可得
s＝Ep， ⑦
代入数据可得s＝0.3 m。
(3)仅根据现有信息，不能预测s′与s的大小关系。理由如下：
第一，在实验一中，上述计算弹簧储存的弹性势能Ep时，由于没有考虑小球运动过程中所受阻力的影响，使得Ep的预测值比实际值偏小，由⑦式可知预测值s将偏小。
第二，在实验二中，上述预测值计算时没有考虑弹出小球过程中地面摩擦的影响，使得小车速度v2的预测值要比实际值偏大；同时，在上述预测值计算中，也没有考虑小车移动过程中所受空气阻力的影响，由⑥式可知，均致使预测值s偏大。
综上，仅根据现有信息，无法比较上述偏差的大小关系，所以不能预测s′与s的大小关系。
答案：(1)0.9 J (2)0.3 m (3)见解析
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