周测16　函数的应用(二)（含解析）高中数学人教A版（2019）必修第一册

周测16　函数的应用(二)
(时间：75分钟　分值：100分)
一、 单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.函数y=ln x-的零点所在的大致区间是(　　)
A. B.(1，2)
C.(2，e) D.(e，+∞)
2.下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)
A.f(x)=2x B.f(x)=x2+2x+3
C.f(x)=x+-3 D.f(x)=ln x+2
3.已知增函数y=f(x)的图象在[a，b]上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为(a，b)，，，则b-a的值是(　　)
A.1 B.
C.- D.
4.已知函数f(x)=log2(x+3)+4x+a在(-1，1)内有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-6，3)
B.(-∞，-6)∪(3，+∞)
C.[-6，3]
D.(-∞，-6]∪[3，+∞)
5.“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23)(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
6.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)+x-m恰有两个不同的零点，则m的取值范围是(　　)
A.[0，1] B.(-1，1)
C.[0，1) D.(-∞，1]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)=x2+2x-8的零点是(-4，0)，(2，0)
B.方程ex=3+x在区间(-3，0)，(0，10)上有解
C.函数y=3x，y=log3x的图象关于y=x对称
D.用二分法求方程3x+3x-8=0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1，1.25)上
8.已知函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)=关于x的方程f(x)-m=0的根，下列说法正确的有(　　)
A.当m=0时，方程有4个不等实根
B.当0C.当m=1时，方程有4个不等实根
D.当m>1时，方程有6个不等实根
9.设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有四个零点分别为x1，x2，x3，x4且x1A.≤m<1 B.x1+x2=-2
C.x3x4=1 D.x3+x4∈
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.在用二分法求方程x2=3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时，若我们选取的初始区间是[1.7，1.8]，为达到精确度要求至少需要计算的次数是　　　　　　.
11.爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P=P0e-kt(其中P0，k是正的常数).若在前5 h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10 h时，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为　　　　.
12.函数f(x)=|ex-2|+2m有且仅有1个零点，则m的取值范围为　　　　.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知函数f(x)=3-2log2x，g(x)=log2x.
(1)求函数y=f(x2)·f()+2g(x)在[1，4]上的零点；(6分)
(2)若函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)-k在[1，4]上有零点，求实数k的取值范围.(6分)
14.(12分)研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y=log0.8(x+a)+80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.
(1)求函数y=f(x)的解析式；(6分)
(2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8-12≈14.6，精确到1分钟)(6分)
15.(13分)已知函数f(x)=4x-a·2x+2.
(1)当a=3时，求不等式f(x)>0的解集；(6分)
(2)若函数f(x)在(0，+∞)上存在两个零点，求实数a的取值范围.(7分)
周测16　函数的应用(二)
(时间：75分钟　分值：100分)
一、 单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.函数y=ln x-的零点所在的大致区间是(　　)
A. B.(1，2)
C.(2，e) D.(e，+∞)
答案　C
解析　y=f(x)=ln x-的定义域为(0，+∞)，因为y=ln x与y=-在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)=ln x-在(0，+∞)上单调递增，
又f(1)=ln 1-2=-2<0，f(2)=ln 2-1<0，f(e)=ln e-=1->0，所以f(2)·f(e)<0，
所以f(x)在(2，e)上存在唯一的零点.
2.下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)
A.f(x)=2x B.f(x)=x2+2x+3
C.f(x)=x+-3 D.f(x)=ln x+2
答案　B
解析　不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号.
对于A，f(x)=2x有唯一零点x=0，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，f(x)=x2+2x+3=(x+)2有唯一零点x=-，
但f(x)=(x+)2≥0恒成立，故不可用二分法求零点；
对于C，f(x)=x+-3有两个不同的零点x=，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；
对于D，f(x)=ln x+2有唯一零点x=e-2，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.
3.已知增函数y=f(x)的图象在[a，b]上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为(a，b)，，，则b-a的值是(　　)
A.1 B.
C.- D.
答案　B
解析　因为依次确定了零点所在区间为(a，b)，，，
可得即
4.已知函数f(x)=log2(x+3)+4x+a在(-1，1)内有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-6，3)
B.(-∞，-6)∪(3，+∞)
C.[-6，3]
D.(-∞，-6]∪[3，+∞)
答案　A
解析　y=log2(x+3)在(-1，1)上单调递增，y=4x+a是增函数，所以f(x)在(-1，1)上单调递增.
因为f(x)在(-1，1)内有零点，
所以解得-65.“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23)(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
答案　C
解析　设石片第n次接触水面时的速度为vn，
则vn=20×0.85n-1，
由题意得20×0.85n-1≥6，即0.85n-1≥0.3，
得n-1≤log0.850.3，
又log0.850.3====≈7.4，
所以n≤8.4，故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8.
6.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)+x-m恰有两个不同的零点，则m的取值范围是(　　)
A.[0，1] B.(-1，1)
C.[0，1) D.(-∞，1]
答案　D
解析　由题意，函数f(x)=
当x≤0时，函数f(x)=ex单调递增，其中f(0)=1；
当x>0时，函数f(x)=ln x单调递增，且f(1)=0，
又由函数g(x)=f(x)+x-m恰有两个不同的零点，
所以g(x)=0有两个不等的实数根，
即y=f(x)与y=-x+m的图象有两个不同的交点.
如图所示，当y=-x+m恰好过点(1，0)，(0，1)时，两函数的图象有两个不同的交点，
结合图象，要使得函数g(x)=f(x)+x-m恰有两个不同的零点，
则需满足m≤1，即实数m的取值范围是(-∞，1].
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)=x2+2x-8的零点是(-4，0)，(2，0)
B.方程ex=3+x在区间(-3，0)，(0，10)上有解
C.函数y=3x，y=log3x的图象关于y=x对称
D.用二分法求方程3x+3x-8=0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1，1.25)上
答案　BC
解析　对于A，令f(x)=x2+2x-8=0，解得x1=-4，x2=2，即函数f(x)=x2+2x-8的零点是-4和2，故A错误；
对于B，令f(x)=ex-x-3，则f(-3)=e-3>0，f(0)=-2<0，f(10)=e10-13>210-13=1 024-13=1 011>0，所以由函数零点存在定理可知f(x)=ex-x-3在区间(-3，0)，(0，10)内有零点，即方程ex=3+x在区间(-3，0)，(0，10)内有解，故B正确；
对于C，函数y=3x，y=log3x互为反函数，所以函数y=3x，y=log3x的图象关于y=x对称，故C正确；
对于D，用二分法求方程3x+3x-8=0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1.25，1.5)上，故D错误.
8.已知函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)=关于x的方程f(x)-m=0的根，下列说法正确的有(　　)
A.当m=0时，方程有4个不等实根
B.当0C.当m=1时，方程有4个不等实根
D.当m>1时，方程有6个不等实根
答案　BC
解析　由题意，作出函数f(x)的图象如图所示，
则关于x的方程f(x)-m=0的根，即转化为函数f(x)的图象与直线y=m的交点问题，
当m=0时，即y=0与f(x)的图象有三个交点，方程有3个不等实根，故A错误；
当0当m=1时，y=1与f(x)的图象有4个交点，方程有4个不等实根，故C正确；
当m>1时，y=m与f(x)的图象有4个或2个或0个交点，方程有4个或2个或0个实根，故D错误.
9.设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有四个零点分别为x1，x2，x3，x4且x1A.≤m<1 B.x1+x2=-2
C.x3x4=1 D.x3+x4∈
答案　BCD
解析　作出函数图象如图所示，
因为函数g(x)=f(x)-m有四个零点，所以y=f(x)与y=m的图象有4个不同的交点，
因为f(-1)=1，所以0由图可得x1，x2关于直线x=-1对称，所以x1+x2=-2，故B正确；
由图可得01，并且|ln x3|=|ln x4|，则有-ln x3=ln x4，即ln x3+ln x4=0，所以x3x4=1，故C正确；
x3+x4=+x4，令ln x=1，解得x=e，所以1根据对勾函数性质可知y=+x4在(1，e)上单调递增，
所以2<+x4三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.在用二分法求方程x2=3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时，若我们选取的初始区间是[1.7，1.8]，为达到精确度要求至少需要计算的次数是　　　　　　.
答案　7
解析　设至少需要计算n次，则n满足<0.001，即2n>100，由于26=64，27=128，故要达到精确度要求至少需要计算7次.
11.爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P=P0e-kt(其中P0，k是正的常数).若在前5 h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10 h时，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为　　　　.
答案　25%
解析　由题意得，当t=0时，P=P0，
当t=5时，(1-50%)P0=P0e-5k，即e-5k=0.5，
解得e-k=0.，
当t=10时，P=P0=0.25P0，
所以废气净化用时10 h时，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为25%.
12.函数f(x)=|ex-2|+2m有且仅有1个零点，则m的取值范围为　　　　.
答案　{m|m≤-1或m=0}
解析　∵函数f(x)=|ex-2|+2m有且仅有1个零点，
∴函数y=|ex-2|的图象与直线y=-2m有一个交点，
由图可得-2m≥2或-2m=0，∴m≤-1或m=0.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知函数f(x)=3-2log2x，g(x)=log2x.
(1)求函数y=f(x2)·f()+2g(x)在[1，4]上的零点；(6分)
(2)若函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)-k在[1，4]上有零点，求实数k的取值范围.(6分)
解　(1)由f(x2)·f()+2g(x)=0，
得(3-4log2x)(3-log2x)+2log2x=0.
令t=log2x，因为x∈[1，4]，所以t∈[0，2]，
则原式可转化为(3-4t)(3-t)+2t=0，
化简得4t2-13t+9=0，
解得t=1或t=(舍去)，所以log2x=1，所以x=2，
即函数y=f(x2)·f()+2g(x)在[1，4]上的零点为2.
(2)h(x)=(4-2log2x)·log2x-k=-2(log2x-1)2+2-k，
令t=log2x，因为x∈[1，4]，所以t∈[0，2]，
令h(x)=0，得k=-2(t-1)2+2，
因为t∈[0，2]，则-2(t-1)2+2∈[0，2]，所以实数k的取值范围为[0，2].
14.(12分)研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y=log0.8(x+a)+80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.
(1)求函数y=f(x)的解析式；(6分)
(2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8-12≈14.6，精确到1分钟)(6分)
解　(1)当x∈[0，16]时，
设函数f(x)=b(x-12)2+84(b<0)，
因为f(16)=b(16-12)2+84=80，
所以b=-，所以f(x)=-(x-12)2+84；
当x∈[16，40]时，f(x)=log0.8(x+a)+80，
由f(16)=log0.8(16+a)+80=80，解得a=-15，
所以f(x)=log0.8(x-15)+80，
综上，f(x)=
(2)当x∈[0，16]时，
令f(x)=-(x-12)2+84≤68，
即(x-12)2≥64，解得x≤4或x≥20(舍去)，
所以x∈[0，4]；
当x∈[16，40]时，令f(x)=log0.8(x-15)+80≤68，得x≥15+0.8-12≈29.6，所以x∈[30，40]，
所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4-0+40-30=14(分钟).
15.(13分)已知函数f(x)=4x-a·2x+2.
(1)当a=3时，求不等式f(x)>0的解集；(6分)
(2)若函数f(x)在(0，+∞)上存在两个零点，求实数a的取值范围.(7分)
解　(1)因为f(x)=4x-a·2x+2，
所以令t=2x(t>0)，则g(t)=t2-at+2(t>0)，
当a=3时，g(t)=t2-3t+2，
令g(t)>0，解得t<1或t>2，
即2x<1或2x>2，解得x<0或x>1，
所以原不等式的解集为.
(2)因为函数t=2x在定义域R上单调递增，
所以函数f(x)在(0，+∞)上存在两个零点等价于函数g(t)=t2-at+2在(1，+∞)上存在两个零点，
因为g(t)=t2-at+2图象开口向上，对称轴为t=，
所以解得2所以实数a的取值范围为(2，3).