周测19　任意角和弧度制、三角函数的概念（含解析）高中数学人教A版（2019）必修第一册

周测19　任意角和弧度制、三角函数的概念
(时间：75分钟　分值：100分)
一、 单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.315°等于(　　)
A. B.
C. D.
2.“α=2kπ+，k∈Z”是“sin α=”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若cos αtan α<0，且sin αcos α<0，则α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
4.若sin α=-，且角α的终边经过点P(，y)，则P点的纵坐标y是(　　)
A.1 B.±1
C.-2 D.-1
5.已知tan α=-3，则等于(　　)
A.- B.
6.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是(　　)
A.2π- B.π-
C.2π-2 D.2π+
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.下列结论正确的是(　　)
A.-495°角与2 025°角的终边相同
B.若2α为第三象限角，则tan α>0
C.若cos 2α>0，则α为第一象限角
D.若α+为第一象限角，则α不可能为第二象限角
8.已知角θ的终边经过点(-2，-)，且θ与α的终边关于x轴对称，则(　　)
A.sin θ=-
B.α为钝角
C.cos α=-
D.点(tan θ，tan α)在第四象限
9.已知sin θcos θ=，|sin θ|=-sin θ，则下列结论正确的有(　　)
A.是第二象限角
B.sin θ+cos θ=-
C.sin θ-cos θ=
D.tan θ=或3
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.sin+cos-tan的值为　　　　.
11.如图所示，终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为　　　　.
12.化简：若α∈，则+=　　　　.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)学校要修建一个扇形绿化区域，其周长为400 m，所在的半径为r，扇形的圆心角的弧度数为θ，θ∈(0，2π).
(1)求绿化区域面积S关于r的函数关系式，并指出r的取值范围；(6分)
(2)扇形的圆心角的弧度数θ取何值时，才能使绿化区域的面积S最大.(6分)
14.(12分)求证：
(1)=2；(6分)
(2)=.(6分)
15.(13分)已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.
(1)求实数a的值；(6分)
(2)求+的值.(7分)
周测19　任意角和弧度制、三角函数的概念
(时间：75分钟　分值：100分)
一、 单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.315°等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　315°角对应的弧度数为π=.
2.“α=2kπ+，k∈Z”是“sin α=”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若α=2kπ+，k∈Z，则sin α=sin=sin=成立；
若sin α=，则α=2kπ+，k∈Z或α=2kπ+，k∈Z，故α=2kπ+，k∈Z不一定成立.
综上所述，“α=2kπ+，k∈Z”是“sin α=”的充分不必要条件.
3.若cos αtan α<0，且sin αcos α<0，则α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案　D
解析　因为cos αtan α=sin α<0，sin αcos α<0，所以cos α>0，
所以α是第四象限角.
4.若sin α=-，且角α的终边经过点P(，y)，则P点的纵坐标y是(　　)
A.1 B.±1
C.-2 D.-1
答案　D
解析　由sin α=-<0，又点P(，y)在α的终边上，故角α为第四象限角，
故y<0.∴sin α==-，即3y2=y2+2，解得y=-1或y=1(舍去).
5.已知tan α=-3，则等于(　　)
A.- B.
C. D.-
答案　C
解析　因为tan α=-3，
所以==-=-=-=-=.
6.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是(　　)
A.2π- B.π-
C.2π-2 D.2π+
答案　C
解析　由已知得AB=BC=AC=2，则===，
故扇形ABC的面积为××2=，
由已知可得，莱洛三角形的面积为扇形ABC面积的3倍减去△ABC面积的2倍，
∴所求面积为3×-2××22=2π-2.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.下列结论正确的是(　　)
A.-495°角与2 025°角的终边相同
B.若2α为第三象限角，则tan α>0
C.若cos 2α>0，则α为第一象限角
D.若α+为第一象限角，则α不可能为第二象限角
答案　AD
解析　因为2 025°=-495°+360°×7，所以-495°角与2 025°角的终边相同，故A正确；
若2α为第三象限角，则π+2kπ<2α<+2kπ，k∈Z，得+kπ<α<+kπ，k∈Z，所以tan α<0，故B错误；
若cos 2α>0，则-+2kπ<2α<+2kπ，k∈Z，得-+kπ<α<+kπ，k∈Z，所以α不一定是第一象限角，故C错误；
若α+为第一象限角，则2kπ<α+<+2kπ，k∈Z，得-+2kπ<α<+2kπ，k∈Z，所以α不可能是第二象限角，故D正确.
8.已知角θ的终边经过点(-2，-)，且θ与α的终边关于x轴对称，则(　　)
A.sin θ=-
B.α为钝角
C.cos α=-
D.点(tan θ，tan α)在第四象限
答案　ACD
解析　因为角θ的终边经过点(-2，-)，
所以sin θ=-，A正确；
由θ与α的终边关于x轴对称，得α的终边经过点(-2，)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α=-，B错误，C正确；
因为tan θ=>0，tan α=-<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确.
9.已知sin θcos θ=，|sin θ|=-sin θ，则下列结论正确的有(　　)
A.是第二象限角
B.sin θ+cos θ=-
C.sin θ-cos θ=
D.tan θ=或3
答案　BD
解析　∵|sin θ|=-sin θ，sin θcos θ=，
∴sin θ<0，cos θ<0，
∴θ为第三象限角，
∴π+2kπ<θ<+2kπ(k∈Z)，
∴+kπ<<+kπ(k∈Z)，
则当k为偶数时，为第二象限角，当k为奇数时，为第四象限角，
∴为第二或第四象限角，故A错误；
∵sin θ<0，cos θ<0，
∴sin θ+cos θ<0，
∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=，
∴sin θ+cos θ=-，故B正确；
∵sin θ<0，cos θ<0，
∴sin θ-cos θ可能为正，也可能为负，
∵(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=，
∴sin θ-cos θ=±，故C错误；
当sin θ-cos θ=，sin θ+cos θ=-时，sin θ=-，cos θ=-，
故tan θ=，
当sin θ-cos θ=-，sin θ+cos θ=-时，sin θ=-，cos θ=-，
故tan θ=3.综上，tan θ=或3，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.sin+cos-tan的值为　　　　.
答案　0
解析　sin+cos-tan
=sin+cos-tan
=sin+cos-tan=+-1=0.
11.如图所示，终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为　　　　.
答案　{α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°，n∈Z}
解析　终边在直线OM上的角的集合为
M={α|α=45°+k·360°，k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°，k∈Z}
={α|α=45°+2k·180°，k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1)·180°，k∈Z}
={α|α=45°+n·180°，n∈Z}.
同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α=60°+n·180°，n∈Z}，
所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为
{α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°，n∈Z}.
12.化简：若α∈，则+=　　　　.
答案　2sin α
解析　+
=+
=+
=|sin α+cos α|+|sin α-cos α|，
因为α∈，
所以sin α>0，cos α>0，且sin α>cos α，
所以原式=sin α+cos α+sin α-cos α=2sin α.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)学校要修建一个扇形绿化区域，其周长为400 m，所在的半径为r，扇形的圆心角的弧度数为θ，θ∈(0，2π).
(1)求绿化区域面积S关于r的函数关系式，并指出r的取值范围；(6分)
(2)扇形的圆心角的弧度数θ取何值时，才能使绿化区域的面积S最大.(6分)
解　(1)由题意可得解得0扇形的弧长为l=400-2r，
所以S=lr=×(400-2r)·r=200r-r2=-(r-100)2+10 000，其中r∈(0，200).
(2)当r=100时，S取得最大值，即Smax=10 000.
此时，l=400-2×100=200，θ===2.
因此当θ=2时，绿化区域的面积S最大.
14.(12分)求证：
(1)=2；(6分)
(2)=.(6分)
证明　(1)
=
=·
=
==2.
所以原式成立.
(2)右边=
=
==
==左边.
15.(13分)已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.
(1)求实数a的值；(6分)
(2)求+的值.(7分)
解　(1)∵sin θ，cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根，
∴Δ=a2-4a≥0，解得a≥4或a≤0，
由根与系数的关系得sin θ+cos θ=a，sin θcos θ=a，
∵sin2θ+cos2θ=(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=a2-2a=1，
解得a=1-或a=1+(舍去)，
故a=1-.
(2)+
=-
=-
=
=sin θ+cos θ=a=1-.