主题1 波的传播方向与质点振动方向的关系
判断质点振动方向的方法
图像 方法
(1)微平移法：沿波的传播方向将波的图像进行一微小平移，然后由两条波形曲线来判断 例如：波沿x轴正方向传播，t时刻波形曲线如图中实线所示，将其沿v的方向移动一微小距离Δx，获得如图中虚线所示的图线 可以判定：t时刻质点A振动方向向下，质点B振动方向向上，质点C振动方向向下
(2)“上、下坡”法：沿着波的传播方向看，上坡的点向下振动，下坡的点向上振动，即“上坡下、下坡上” 例如：图中A点向上振动，B点向下振动，C点向上振动
(3)逆向描迹法：逆着波的传播方向用铅笔描波形曲线，笔头向上动，质点的振动方向向上，笔头向下动，质点的振动方向就向下
(4)同侧法：质点的振动方向与波的传播方向在波的图像的同一侧
【典例1】 一列沿x轴正方向传播的简谐横波，波速为 4 m/s．某时刻波形如图所示，下列说法正确的是( )
A．这列波的振幅为4 cm
B．这列波的周期为1 s
C．此时x＝4 m处质点沿y轴负方向运动
D．此时x＝4 m处质点的加速度为0
D [由题图可得，这列波的振幅为2 cm，A错误；由题图得，波长λ＝8 m，由T＝得T＝2 s，B错误；由波动与振动的关系得，此时x＝4 m处质点沿y轴正方向运动，且此质点正处在平衡位置，故加速度a＝0，C错误，D正确.]
主题2 波的图像与振动图像的综合应用
求解波的图像与振动图像综合类问题可采用“一分、一看、二找”的方法
1．分清振动图像与波的图像．此问题最简单，只要看清横坐标即可，横坐标为x则为波的图像，横坐标为t则为振动图像．
2．看清横、纵坐标的单位，尤其要注意单位前的数量级．
3．找准波的图像对应的时刻．
4．找准振动图像对应的质点．
【典例2】 (多选)图甲为一列简谐横波在 t＝0.10 s 时刻的波形图，P是平衡位置为x＝1 m处的质点，Q是平衡位置为x＝4 m处的质点，如图乙为质点Q的振动图像，则( )
A．t＝0.15 s时，质点Q的加速度达到正向最大
B．t＝0.15 s时，质点P的运动方向沿y轴负方向
C．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，该波沿x轴正方向传播了6 m
D．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，质点P通过的路程为30 cm
AB [由题图乙可知，t＝0.15 s时，质点Q在负向最大位移处，加速度达到正向最大，故A正确；t＝0.10 s 时，Q点正向y轴的负方向运动，则知波沿x轴负方向传播，此时P点沿y轴向正向最大位移处运动，t＝0.15 s 时，即经过Δt＝0.05 s＝，P点沿y轴负方向运动，故B正确；从0.10 s到0.25 s，在Δt′＝0.15 s＝T内，波沿x轴负方向传播λ＝6 m，在t＝0.10 s时，质点P处在平衡位置和最大位移处之间，经过T时，通过的路程不等于3倍振幅，故C、D 错误.]
主题3 波的多解问题
波的图像的多解涉及：
1．波的空间的周期性．
相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同．
2．波的时间的周期性．
波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波的图像相同．
3．波的双向性．
4．介质中两质点间的距离与波长关系未定．
在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定，就会形成多解，解题时若不能联想到所有可能情况，易出现漏解．
5．介质中质点的振动方向未定．
在波的传播过程中，若某一质点振动方向未确定，则波的传播方向有两种．波源的振动要带动它左、右相邻质点的振动，波要向左、右两方向传播．波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同．
【典例3】 如图所示，实线表示t时刻的波形曲线，虚线表示经过时间Δt时的波形曲线．已知波长为λ，试求波的传播速度．
[解析] 此题没有给定波的传播距离，由实线波形和虚线波形相比较，在Δt时间内，若波向右传播，其传播距离为Δs1＝、、、…，即λ(n＝0，1，2，…).
则可以求出波的传播速度是一个通解：
v1＝＝＝(n＝0，1，2，…).
若波向左传播，其传播距离为Δs2＝λ、λ、λ、…，即λ，
所以v2＝＝λ(n＝0，1，2，3，…).
[答案] 若向右传播，v1＝λ(n＝0，1，2，3，…) 若向左传播，v2＝λ(n＝0，1，2，3，…)
解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑双向性，若题目未告知波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播的可能性进行讨论．
(2)对设定的传播方向，确定Δt和T的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内的情况，然后在此基础上加nT．
(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意．
(4)空间的周期性与时间的周期性是一致的，实质上是波形平移规律的应用，所以应用时可以针对不同题目选择其中一种方法求解．
章末综合测评(三) 机械波
时间：75分钟 满分：100分
一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一列声波从空气传入水中，已知水中声速较大，则( )
A．声波频率不变，波长变小
B．声波频率不变，波长变大
C．声波频率变小，波长变大
D．声波频率变大，波长不变
B [由于波的频率由波源决定，因此波无论在空气中还是在水中频率都不变，C、D错误；又因波在水中速度较大，由公式v＝λf可得，波在水中的波长较大，故A错误，B正确.]
2．已知空气中的声速为340 m/s．现有几种声波：①周期为 s，②频率为104 Hz，③波长为10 m，它们传播时若遇到宽约为13 m的障碍物，能产生明显的衍射现象的是( )
A．①和② B．②和③
C．①和③ D．都可以
C [由波速公式v＝λf得波长λ＝，则①、②、③三种声波的波长分别为λ1＝340× m＝17 m，λ2＝ m＝0.034 m，λ3＝10 m，根据发生明显衍射现象的条件可知，①、③两声波的波长与障碍物的尺寸差不多，能发生明显的衍射现象，故C正确.]
3．渔船常用回声探测器发射的声波探测水下鱼群与障碍物．声波在水中传播速度为1 500 m/s，若探测器发出频率为1.5×106 Hz 的声波，下列说法正确的是( )
A．两列声波相遇时一定会发生干涉
B．声波由水中传播到空气中，波长会改变
C．该声波遇到尺寸约为1 m的被探测物时会发生明显衍射现象
D．探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度无关
B [根据多普勒效应可知，探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度有关，而两列声波发生干涉的条件是频率相同，相位差恒定，振动方向相同，所以两列声波相遇时不一定发生干涉，故A、D错误；声波由水中传播到空气中时，声波的波速发生变化，所以波长会发生改变，故B正确；根据波长的计算公式可得λ＝＝ m＝1×10-3 m，当遇到尺寸约1 m的被探测物时不会发生明显衍射现象，故C错误.]
4．如图所示，实线为一列横波某时刻的波形图，这列波的传播速度为0.25 m/s，经过时间1 s后的波形为虚线所示．那么这列波的传播方向与这段时间内质点P(平衡位置为x＝0.1 m处) 所通过的路程是( )
A．向左，10 cm B．向右，30 cm
C．向左，50 cm D．向右，70 cm
C [波的传播距离x＝vt＝0.25 m＝λ，故波向左传播，质点P所通过的路程为5倍振幅，即50 cm，故C正确.]
5．一列简谐波沿x轴正方向传播，在t＝0时波形如图所示，已知波速为10 m/s．则t＝0.1 s 时正确的波形应是图中的( )
A B
C D
C [由t＝0时刻的波形图可知该列波的波长为4 m，所以波的传播周期为T＝＝ s＝0.4 s，所以t＝T，由于波沿x轴正方向传播，所以从t＝0时刻经过四分之一个周期后的波形应为C.]
6．如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15 m．当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是( )
A．0.60 m B．0.30 m
C．0.20 m D．0.15 m
B [可以画出P、Q之间的最简单的波形，如图所示，由于P、Q之间可以含有多个完整的波形，则xPQ＝λ(n＝0，1，2…)，整理可以得到λ＝(n＝0，1，2…)，当n＝0时，λ＝0.3 m, 当n＝1时，λ＝0.1 m，故B正确，A、C、D错误.]
7．一列波长大于1 m的横波沿着x轴正方向传播．平衡位置分别处在x1＝1 m和x2＝2 m 的两质点A、B的振动图像如图所示，由此可知( )
A．波长为 m
B．波速为1 m/s
C．3 s末A、B两质点的位移相同
D．1 s末A点的振动速度大于B点的振动速度
A [波从A向B传播，A、B间的距离Δx＝λ，n＝0，1，2…，由题知，波长大于1 m，则n只能取0，即有Δx＝λ，波长λ＝ m，由题图可知周期为T＝4 s，则波速为v＝＝ m/s，A正确，B错误；3 s末A、B两质点的位移分别为yA＝－2 cm, yB＝0，位移不同，C错误；由振动图像读出，1 s 末A质点的位移yA＝2 cm，处于波峰，速度最小，B质点的位移yB＝0，处于平衡位置，速度最大，所以1 s末A 质点的速度小于B质点的速度，D错误.]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
8．如图甲为一列横波在t＝0时的波的图像，图乙为该波中平衡位置为x＝2 m处的质点P的振动图像，下列说法正确的是( )
A．波速为4 m/s
B．波沿x轴负方向传播
C．t＝0.5 s，质点P的动能最大
D．t＝2.5 s，质点P振动路程为1.8 cm
AC [由题图甲可知波长为4 m，由题图乙可知周期为1.0 s，所以波速为4 m/s，A正确；由题图乙可知，t＝0时P质点由平衡位置向上运动，结合题图甲可知波向x轴正方向传播，B错误；由题图乙可知t＝0.5 s时P质点位于平衡位置，动能最大，C正确；t＝2.5 s＝2.5T，P质点振动路程为 2 cm，D错误.]
9．如图所示，一列简谐横波在x轴上传播．图甲和乙分别是在x轴上a、b两质点的振动图像，且xab＝6 m．下列判断正确的是( )
A．波一定沿x轴正方向传播
B．波长可能是8 m
C．波速一定是6 m/s
D．波速可能是2 m/s
BD [波的传播方向可能向＋x或－x方向传播，A错误；ab之间的距离可能是λ或λ(n＝0，1，2，…)，周期为4 s，波长可能为8 m，波速可能为2 m/s，C错误，B、D正确.]
10．两列振动方向相同、振幅分别为A1和A2的相干简谐横波相遇．下列说法正确的是( )
A．波峰与波谷相遇处质点的振幅为|A1－A2|
B．波峰与波峰相遇处质点离开平衡位置的位移始终为A1＋A2
C．波峰与波谷相遇处质点的位移总是小于波峰与波峰相遇处质点的位移
D．波峰与波峰相遇处质点的振幅一定大于波峰与波谷相遇处质点的振幅
AD [波峰与波谷相遇时，振幅相消，故实际振幅为|A1－A2|，故A正确；波峰与波峰相遇处，质点的振幅最大，合振幅为A1＋A2，但此处质点仍处于振动状态中，其位移随时间按正弦规律变化，故B错误；振动减弱点和加强点的位移随时间按正弦规律变化，故C错误；波峰与波峰相遇时振动加强，波峰与波谷相遇时振动减弱，加强点的振幅大于减弱点的振幅，故D正确.]
三、非选择题(本题共5小题，共54分)
11．(9分)位于坐标原点的波源S不断地产生一列沿x轴正方向传播的简谐横波，波速v＝40 m/s，已知t＝0时刻波刚好传播到x＝13 m处，部分波形图如图甲所示．根据以上条件求：
(1)波长λ和周期T；
(2)从图示时刻开始计时，x＝2 019 m处的质点第一次到达波峰需要多长时间？
(3)在图乙中画出t＝1.25 s时，从波源到x＝10 m处所有质点形成的波形．
[解析] (1)由波形图可知：λ＝8 m，则T＝＝ s＝0.2 s.
(2)从题图甲所示时刻开始计时，x＝2 019 m处的质点第一次到达波峰，则只需t＝0时刻x＝11 m处的波峰传到x＝2 019 m处，需要的时间Δt＝＝ s＝50.2 s.
(3)t＝1.25 s时，波向x轴正方向传播的距离为s＝vt＝40×1.25 m＝50 m，则从波源到x＝10 m处所有质点均振动＝6个周期.
则形成的波形如图所示.
[答案] (1)8 m 0.2 s (2)50.2 s (3)见解析图
12．(10分)一列沿－x方向传播的简谐横波，在t＝0时刻的波形如图所示，质点振动的振幅为10 cm．t＝0时P、Q两质点的坐标分别为(－1，0)和(－9，0)，已知t＝0.7 s时，P质点第二次出现在波峰．
(1)这列波的传播速度多大？
(2)从t＝0时刻起，经过多长时间Q质点第一次出现在波峰？
(3)当Q质点第一次出现在波峰时，P质点通过的路程为多少？
[解析] (1)由题意可知该波的波长为λ＝4 m，P质点与最近波峰的水平距离为3 m，距离下一个波峰的水平距离为7 m，所以v＝＝ m/s＝10 m/s.
(2)Q质点与最近波峰的水平距离为11 m
故Q质点第一次出现在波峰的时间为t1＝＝1.1 s.
(3)该波中各质点振动的周期为T＝＝0.4 s
P质点开始振动时t′＝0.2 s
Q质点第一次出现在波峰时质点P振动了
t2＝t1－t′＝0.9 s，
则t2＝2T＋T＝
质点每振动经过的路程为10 cm
当Q质点第一次出现在波峰时，P质点通过的路程为
s′＝0.9 m.
[答案] (1)10 m/s (2)1.1 s (3)0.9 m
13．(7分)(教材P73例题2)两人分别乘坐静止在湖面上的甲、乙两条小船，两船在湖面上相距20 m．有一列水波沿甲船到乙船的方向传播，使每条小船每分钟上下浮动30次．当甲船位于波峰时，乙船刚好在波谷，此时两船间还有两个波峰．这列水波的传播速度是多少？
[解析] 小船每分钟上下浮动30次，即每分钟完成30次全振动，故水波的周期
T＝ s＝2 s.
甲船在波峰，乙船在波谷，两船间还有两个波峰，则水波波长
λ＝ m＝8 m.
因此波速
v＝＝4 m/s.
[答案] 4 m/s
14．(13分)某简谐横波在均匀介质中沿x轴正方向传播，波速v＝20 cm/s，波长大于20 cm，振幅A＝1 cm，且传播时无衰减．在介质中的A、B两质点平衡位置坐标分别为xA＝0和xB＝8 cm，t＝0时刻A、B两质点偏离平衡位置的位移相同且均为正值，此后至少每隔Δt＝0.6 s两质点偏离各自平衡位置的位移相同．求：
(1)t＝0时刻质点B偏离平衡位置的位移的大小；
(2)质点B最少要经过多长时间到达波峰．
[解析] (1)由题意可知，该简谐横波的周期
T＝2Δt＝1.2 s
则该简谐波的波长
λ＝vT＝24 cm
根据题意知xAB＝8 cm＝λ
则A、B两点的位置如图所示
此时，质点B偏离平衡位置的位移
yB1＝A sin ＝0.5 cm.
(2)t＝0时刻，质点B向y轴正方向运动，由质点B的位移随时间变化的关系yB＝A sin
可得质点B到波峰位置所需的时间为Δt′＝T＝0.2 s.
[答案] (1)0.5 cm (2)0.2 s
15．(15分)一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0～4 s内的振动图像如图甲所示，已知波的传播速度为0.5 m/s．
(1)求这列横波的波长；
(2)求波源在4 s内通过的路程；
(3)在图乙中画出t＝4 s时刻的波形图．
[解析] (1)由题知图甲为波源的振动图像，则可知A＝4 cm，T＝4 s
由于波的传播速度为0.5 m/s，根据波长与速度关系有λ＝vT＝2 m.
(2)由(1)可知波源的振动周期为4 s，则4 s内波源通过的路程为s＝4A＝16 cm.
(3)由题图可知在t＝0时波源的起振方向向上，由于波速为0.5 m/s，则在4 s时根据x＝vt＝2 m
可知该波刚好传到平衡位置为2 m的质点，且波源刚好回到平衡位置，且该波沿x轴正方向传播，则可绘制出t＝4 s时刻的波形图如图所示.
[答案] (1)2 m (2)16 cm (3)见解析图
12 / 12主题1 波的传播方向与质点振动方向的关系
判断质点振动方向的方法
图像 方法
(1)微平移法：沿波的传播方向将波的图像进行一微小平移，然后由两条波形曲线来判断 例如：波沿x轴正方向传播，t时刻波形曲线如图中实线所示，将其沿v的方向移动一微小距离Δx，获得如图中虚线所示的图线 可以判定：t时刻质点A振动方向向下，质点B振动方向向上，质点C振动方向向下
(2)“上、下坡”法：沿着波的传播方向看，上坡的点向下振动，下坡的点向上振动，即“上坡下、下坡上” 例如：图中A点向上振动，B点向下振动，C点向上振动
(3)逆向描迹法：逆着波的传播方向用铅笔描波形曲线，笔头向上动，质点的振动方向向上，笔头向下动，质点的振动方向就向下
(4)同侧法：质点的振动方向与波的传播方向在波的图像的同一侧
【典例1】 一列沿x轴正方向传播的简谐横波，波速为 4 m/s．某时刻波形如图所示，下列说法正确的是( )
A．这列波的振幅为4 cm
B．这列波的周期为1 s
C．此时x＝4 m处质点沿y轴负方向运动
D．此时x＝4 m处质点的加速度为0
[听课记录]
主题2 波的图像与振动图像的综合应用
求解波的图像与振动图像综合类问题可采用“一分、一看、二找”的方法
1．分清振动图像与波的图像．此问题最简单，只要看清横坐标即可，横坐标为x则为波的图像，横坐标为t则为振动图像．
2．看清横、纵坐标的单位，尤其要注意单位前的数量级．
3．找准波的图像对应的时刻．
4．找准振动图像对应的质点．
【典例2】 (多选)图甲为一列简谐横波在 t＝0.10 s 时刻的波形图，P是平衡位置为x＝1 m处的质点，Q是平衡位置为x＝4 m处的质点，如图乙为质点Q的振动图像，则( )
A．t＝0.15 s时，质点Q的加速度达到正向最大
B．t＝0.15 s时，质点P的运动方向沿y轴负方向
C．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，该波沿x轴正方向传播了6 m
D．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，质点P通过的路程为30 cm
[听课记录]
主题3 波的多解问题
波的图像的多解涉及：
1．波的空间的周期性．
相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同．
2．波的时间的周期性．
波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波的图像相同．
3．波的双向性．
4．介质中两质点间的距离与波长关系未定．
在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定，就会形成多解，解题时若不能联想到所有可能情况，易出现漏解．
5．介质中质点的振动方向未定．
在波的传播过程中，若某一质点振动方向未确定，则波的传播方向有两种．波源的振动要带动它左、右相邻质点的振动，波要向左、右两方向传播．波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同．
【典例3】 如图所示，实线表示t时刻的波形曲线，虚线表示经过时间Δt时的波形曲线．已知波长为λ，试求波的传播速度．
[听课记录]
解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑双向性，若题目未告知波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播的可能性进行讨论．
(2)对设定的传播方向，确定Δt和T的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内的情况，然后在此基础上加nT．
(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意．
(4)空间的周期性与时间的周期性是一致的，实质上是波形平移规律的应用，所以应用时可以针对不同题目选择其中一种方法求解．
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