第二节 简谐运动的描述
[学习目标] 1．能从简谐运动的函数表达式分析简谐运动的振幅、周期、频率等．2．掌握简谐运动图像的物理意义和应用．3．知道简谐运动的数学描述，了解相位的概念．
知识点一 简谐运动的函数描述
1．描述简谐运动位移—时间图像的函数表达式为x＝A cos (ωt＋φ)．式中A是简谐运动的振幅，ω为简谐运动的角频率．
2．ω与T、f的关系为ω＝＝2πf．
知识点二 简谐运动的图像描述
1．相位、初相
简谐运动的位移—时间函数表达式x＝A cos (ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作相位，而对应t＝0时的相位φ叫作初相位，简称初相．
2．相位差
对于频率相同、相位不同的振子，相位差Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2，表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系．
3．图像信息
如图所示，从图像上可知周期和振幅．还可知道任一时刻的位移大小和方向．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)位移—时间图像表示振动质点的运动轨迹． (×)
(2)振动的位移为正时，速度也为正． (×)
(3)简谐运动的图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移． (√)
(4)振动位移的方向总是背离平衡位置． (√)
2．一质点做简谐运动的图像如图所示，该质点在t＝3.5 s 时刻( )
A．速度为正，加速度为正
B．速度为负，加速度为负
C．速度为负，加速度为正
D．速度为正，加速度为负
D [由题图可知，3.5 s时，质点由平衡位置向正的最大位移处运动，所以此时速度为正，质点做减速运动，加速度为负，故D正确.]
3．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一个周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移与时间关系的图像是( )
A B C D
A [经周期振子具有沿x轴正方向的最大加速度，故此时振子有负方向的最大位移，A符合，故A正确；B中，经周期振子位移为零，故B错误；C中，经周期振子位移为正向最大，故C错误；D中，经周期振子位移为零，故D错误.]
某弹簧振子的振动图像如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时。
讨论：(1)该振动的周期、频率分别是多少？
(2)写出该振动的正弦函数和余弦函数表达式.
提示：(1)周期T＝0.4 s，频率f＝2.5 Hz.
(2)x＝4sin (5πt＋) cm和x＝4cos 5πt cm.
简谐运动的表达式
1．简谐运动表达式x＝A cos ωt的理解
(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移．
(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱．
(3)ω：角频率，它与周期、频率的关系为ω＝＝2πf．可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．
2．简谐运动的表达式x＝A cos (ωt＋φ0)的理解
(1)式中(ωt＋φ0)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．
(2)式中φ0表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．
(3)相位差：频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，Δφ＝(ωt＋φ01)－(ωt＋φ02)＝φ01－φ02．
若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；
若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相．
【典例1】 (多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin cm，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin cm．下列说法正确的是( )
A．物体A的振幅是6 cm，物体B的振幅是10 cm
B．物体A、B的周期相等，为100 s
C．物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB
D．物体A的相位始终超前物体B的相位
[思路点拨] 对比简谐运动的表达式，获得振幅、周期、初相位信息．
CD [物体A、B的振幅分别是3 cm、5 cm，A错误；物体A、B的角频率ω＝100 rad/s，周期T＝＝ s, B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，C正确；Δφ＝φA0－φB0＝，故物体A的相位始终超前物体B的相位，D正确.]
[跟进训练]
1．弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为 0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10-3 sin m
B．x＝4×10-3 sin m
C．x＝8×10-3 sin m
D．x＝4×10-3 sin m
B [振子振动范围为0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期为0.5 s，所以ω＝＝4π rad/s，而初始时刻具有正向最大加速度，即在负向最大位移处，有－0.4＝0.4sin (4πt＋φ)，解得sin φ＝－1，即φ＝－，综上可得x＝4×10-3 sin m，B正确，A、C、D错误.]
简谐运动的图像
1．图像形状
正(余)弦曲线．
2．物理意义
表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律(不是振动质点的运动轨迹)．
3．图像应用
(1)任意时刻质点位移的大小和方向．如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2．
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故此刻沿x轴正方向振动．图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故此刻沿x轴正方向振动．
(3)任意时刻质点的位移、速度、加速度的变化情况：根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是衡位置．若远离平衡位置，则位移越来越大，加速度越来越大，而速度越来越小；若衡位置，则位移越来越小，加速度越来越小，而速度越来越大．
【典例2】 [链接教材P44例题]如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为m＝1 kg的小球，小球静止时弹簧伸长量为10 cm．现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间t变化的规律如图乙所示，重力加速度g取 10 m/s2．
(1)写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式；
(2)求出小球在0～12.9 s内运动的总路程和12.9 s时刻的位置；
(3)小球运动到最高点时加速度的大小．
[解析] (1)由振动图像可知A＝5 cm，T＝1.2 s，则
ω＝＝ rad/s
小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式：
y＝A cos ωt＝5cos t cm.
(2)12.9 s＝10T，则小球在0～12.9 s内运动的总路程为43A＝215 cm；12.9 s时刻的位置为y＝0，即在平衡位置.
(3)小球在平衡位置时弹簧伸长量为10 cm，则
k＝＝ N/m＝100 N/m
小球在最高点时，弹簧伸长5 cm，则
mg－kΔx′＝ma，解得a＝5 m/s2.
[答案] (1)y＝5cos t cm (2)215 cm 平衡位置 (3)5 m/s2
简谐运动图像的应用技巧
(1)判断质点任意时刻的位移大小和方向．
质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较图像中纵坐标的绝对值．方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断．
(2)判断质点任意时刻的加速度大小和方向．
由于加速度的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可．
(3) 判断质点任意时刻的速度大小和方向．
振动图像的切线斜率的绝对值和正负表示该时刻的速度大小及方向．
【教用·备选例题】 如图所示是某弹簧振子的振动图像．
(1)求振子振动的振幅、周期、频率和初相．
(2)如果从点O开始计时，到图中的哪一点为止，振子完成了一次全振动？如果从点C开始计时呢？
(3)当t＝1.4 s时，振子对平衡位置的位移是多少？它在一次全振动中所通过的路程是多少？
[解析] (1)振幅是振子离开平衡位置的最大距离.从图中可以看出，最大距离为2 cm，即振幅A＝2 cm.
周期是完成一次全振动所需要的时间.图中OD之间表示一次全振动，所对应的时间是0.8 s.所以T＝0.8 s.
f＝＝1.25 Hz.
初相是t＝0时的相位，根据x＝A cos (ωt＋φ)可知φ＝－
(2)从图中可以看出，从点O开始计时，到点D为止，振子完成了一次全振动，并随即开始重复前面所经历的过程.如果从点C开始计时，则到点G为止，振子同样完成了一次全振动，所经历的时间都是0.8 s.
(3)从图中可以看出，当t＝1.4 s时，振子对平衡位置的位移是－2 cm.它在一次全振动中所通过的路程就是振幅的4倍，即2×4 cm＝8 cm.
[答案] 见解析
[跟进训练]
2．(多选)弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，则( )
A．t＝0时，振子位移为零，速度为零，加速度为零
B．t＝1 s时，振子位移最大，速度为零，加速度最大
C．t1和t2时刻振子具有相同的速度
D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度
BD [t＝0时刻，振子位于平衡位置，位移为零，加速度为零，但速度为最大值，故A错误；t＝1 s时，振子位于正向最大位移处，位移最大，加速度最大，而速度为零，故B正确；t1和t2时刻振子位于正向同一位置，t1时刻是经此点向正方向运动，t2时刻回到此点向负方向运动，两时刻速度大小相等，但方向相反，所以速度不相同，故C错误；t3和t4时刻振子位移相同，即处在同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，故D正确.]
1．已知两个简谐运动的表达式分别为x1＝4sin 4πt cm 和x2＝2sin 2πt cm，则它们的振幅之比、各自的频率之比是( )
A．2∶1，2∶1 B．1∶2，1∶2
C．2∶1，1∶2 D．1∶2，2∶1
A [由题意知A1＝4 cm，A2＝2 cm，ω1＝4π rad/s，ω2＝2π rad/s，则A1∶A2＝2∶1，f1∶f2＝ω1∶ω2＝2∶1.故A正确，B、C、D错误.]
2．一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点通过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度是零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
B [根据振动图像可知，该简谐运动的周期T＝4 s，所以频率f＝＝0.25 Hz，A错误；10 s内质点通过的路程s＝×4A＝10A＝10×2 cm＝20 cm，B正确；第4 s末质点经过平衡位置，速度最大，C错误；在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相反，D错误.]
3．如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
A [由题图可知从P→Q物体远离平衡位置，位移增大，速度减小，A正确，B错误；由M→N，物体先由正位移处向平衡位置移动，速度增大，位移减小，再由平衡位置沿负方向运动，位移增大，速度减小，C、D错误.]
4．(多选)如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )
A．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
B．t2时刻振子的位移最大
C．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
D．该图像是从平衡位置计时画出的
BC [从题图可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图像，故D错误；t1时刻以后振子的位移为负，t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，故A错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是在最大位移处，故B正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，故C正确.]
5．一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的关系如图所示．求：
(1)写出该简谐运动的表达式；
(2)t＝0.25×10-2 s时的位移；
(3)从t＝0到t＝8.5×10-2 s的时间内，振子走过的路程．
[解析] (1)由题图知
A＝2 cm，T＝2×10-2 s，φ＝－
则ω＝＝100π rad/s
则表达式为x＝2sin (100πt－) cm.
(2)把t＝0.25×10-2 s代入表达式得
x＝2sin (－)cm＝－ cm.
(3)时间为
Δt＝8.5×10-2 s＝T
所以通过的路程为
s＝×4A＝17A＝17×2 cm＝34 cm.
[答案] (1)x＝2sin (100πt－) cm (2)－ cm (3)34 cm
回顾本节内容，自主完成以下问题：
1．振动图像可以获得哪些信息？
提示：周期和振幅，任一时刻的位移.
2．如何求初相位？
提示：写出振动方程，取t＝0时刻的位移代入即可得到.
3．如何通过图像得到速度的变化？
提示：斜率，斜率为正即向正方向运动，斜率为负即向反方向运动.
课时分层作业(五) 简谐运动的描述
?考点一 简谐运动的表达式
1．如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20 cm．振子从B点到第二次经过O点，所用时间为0.75 s．若振子向右经过OB的中点P时开始计时，则振子的位移时间关系为( )
A．x＝0.2sin m
B．x＝0.1sin m
C．x＝0.1sin m
D．x＝0.2sin m
C [弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动.B、C相距20 cm，所以振幅为0.1 m，振子从B点到第二次经过O点，所用时间为0.75 s，所以T＝0.75 s，ω＝＝2π rad/s，则振子的位移时间关系为x＝0.1sin (2πt＋φ)m，振子向右经过OB的中点P时开始计时，t＝0时x＝5 cm，代入上式得φ＝，则x＝0.1sin m，故选C.]
2．一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为 y＝0.1sin (2.5πt) m，时间t的单位为s．则( )
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D．在任意0.2 s时间内，振子的位移均为 0.1 m
C [由y＝0.1sin (2.5πt) m知，弹簧振子的振幅为0.1 m，故A错误；弹簧振子的周期为T＝＝ s＝0.8 s，故B错误；在t＝0.2 s时，y＝0.1 m，即振子到达最大位移处，此时振子的运动速度为零，故C正确；只有当振子从平衡位置或者从最高点(或最低点)开始计时时，经过0.2 s，振子的位移才为A＝0.1 m，故D错误.]
3．弹簧振子做简谐运动，振幅为0.5 cm，周期为 1 s, 计时开始时具有正向最大速度，则它的位移公式是( )
A．x＝5×10-3cos m
B．x＝5×10-3sin m
C．x＝5×10-3sin m
D．x＝5×10-3cos m
B [t＝0时刻振子具有正向最大速度，说明此时振子的位移是零，则在位移公式x＝A sin (ωt＋φ0)中，φ0＝0, 角频率ω＝＝2π rad/s, 故位移公式为x＝0.5sin cm＝5×10-3sin m，故选B.]
?考点二 简谐运动的图像
4．某弹簧振子的振动图像如图所示，将小球从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时，则( )
A．一次全振动小球的路程为16 cm
B．振动的周期为0.2 s
C．0.1 s时小球的速度为零
D．0.2 s时小球的加速度为零
A [由题图可知，振幅为4 cm，则一次全振动的路程为s＝4×4 cm＝16 cm，A正确；由题图可知，振动的周期为0.4 s，B错误；0.1 s时小球处在平衡位置，速度最大，C错误；0.2 s时小球处在最大位移处，加速度最大，D错误.]
5．简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图线．取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图乙所示．则下列说法正确的是( )
A．2.5 s时振子正在向x轴正方向运动
B．t＝17 s时振子相对平衡位置的位移是10 cm
C．若增大弹簧振子的振幅，其振动周期也增大
D．若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是4 cm
D [题图乙中图线的斜率表示速度，斜率正负表示速度的方向，则由题图乙知，2.5 s时振子的速度为负，正在向x轴负方向运动，A错误；由题图乙可知，振子的周期为4 s，由周期性知，t＝17 s 时振子相对平衡位置的位移与t＝1 s时振子相对平衡位置的位移相同，为0，B错误；根据弹簧振子的振动周期与振幅无关可知，增大弹簧振子的振幅，它的周期将保持不变，C错误；若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是s＝vt＝2 cm/s×2 s＝4 cm，D正确.]
6．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动．取向右为正方向，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法正确的是( )
A．在t＝0.2 s时，振子位于A点
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，振子的速度相同
C．从t＝0到t＝0.2 s时间内，振子做减速运动
D．在t＝0.4 s时，振子有最大的加速度
C [分析题图乙知，在t＝0.2 s时，振子的位移为正向最大，振子位于B点，选项A错误；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，振子的速度大小相等，方向相反，则速度不相同，选项B错误；从t＝0到t＝0.2 s时间内，振子从平衡位置到达正向最大位移，则振子做减速运动，选项C正确；在t＝0.4 s时，振子回到平衡位置，加速度为零，选项D错误.]
7．如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像，下列判断正确的是( )
A．t＝2×10-3 s时刻纸盆中心的速度最大
B．t＝3×10-3 s时刻纸盆中心的加速度最大
C．在0～1×10-3 s之间纸盆中心的速度方向与加速度方向相同
D．纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.5×10-4cos (50πt) m
C [分析题图知，t＝2×10-3 s时刻在负向最大位移处，则纸盆中心的速度为零，选项A错误；t＝3×10-3 s时刻纸盆中心在平衡位置，此时的加速度为零，选项B 错误；在0～1×10-3 s之间纸盆中心的速度方向与加速度方向均向下，方向相同，选项C正确；因为ω＝＝ rad/s＝500π rad/s，则纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.5×10-4cos (500πt) m，选项D错误.]
8．如图甲所示为竖直方向的弹簧振子，图乙是该振子完成一次全振动时其位移随时间的变化规律图线，取竖直向上为正方向，则下列说法正确的是( )
A．振子的振幅为10 cm
B．t＝1 s时，振子位于最低点
C．1～2 s内，振子从最高点向下运动，且速度正在增大
D．1～2 s内，振子从最高点向下运动，且加速度正在增大
C [由题图乙可知，振子的振幅为5 cm，A错误；t＝1 s 时，振子的位移最大，回复力最大，加速度最大且方向竖直向下，因此振子处于最高点，B错误；1～2 s内，振子从最高点向平衡位置运动，速度正在增大，位移正在减小，回复力正在减小，加速度正在减小，C正确，D错误.]
9．一质点做简谐运动，其位移—时间图像如图所示，由图像可知( )
A．t＝1 s时，质点速度为正的最大值，加速度为零
B．t＝2 s时，质点速度为零，加速度为负的最大值
C．t＝3 s时，质点速度为正的最大值，加速度为零
D．t＝4 s时，质点速度为零，加速度为正的最大值
C [t＝1 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，图像斜率为负，即速度为负，选项A错误；t＝2 s时，位移为负的最大值，加速度为正的最大值，速度为零，选项B错误；t＝3 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，图像斜率为正，即速度为正，选项C正确；t＝4 s时，质点位移为正的最大值，加速度为负的最大值，速度为零，选项D错误。]
10．某同学坐上弹簧木马后，由同伴配合启动，若只进行上下运动，忽略能量损失，木马和该同学组成的整体的运动可看作简谐运动，此简谐运动的振动图像如图所示，下列判断正确的是( )
A．t＝0.4 s时，该整体做简谐运动的位移最大，且处于超重状态
B．t＝0.4 s到t＝1.2 s的时间内，该整体的速度先变小后变大
C．t＝0.2 s和t＝1.4 s时，该整体的加速度相同
D．该整体做简谐运动的表达式为x＝12sin (1.25πt) cm
D [t＝0.4 s时，该整体做简谐运动的位移最大，此时加速度向下，处于失重状态，故A错误；t＝0.4 s 到t＝1.2 s的时间内，该整体由最高点到平衡位置，再到最低点，则整体的速度先变大后变小，故B错误；t＝0.2 s和t＝1.4 s时，该整体的加速度大小相等，但是方向相反，故C错误；因ω＝＝ rad/s＝1.25π rad/s，该整体做简谐运动的表达式为x＝12sin (1.25πt) cm，故D正确.]
11．(源自人教版教材改编)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置．振子到达D点时开始计时，以竖直向上为正方向，一个周期内的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是 ( )
A．振子在O点受到的弹簧弹力等于零
B．振子在1 s内通过的路程一定为6 cm
C．t＝1.0 s时，弹簧的弹性势能最大
D．振子在C点和D点的加速度相同
B [O点是平衡位置，振子在该位置所受的弹簧弹力与重力平衡，故A错误；由振动图像可知，1 s＝T，A＝3 cm，振子在半个周期内的路程等于2A＝6 cm，故B正确；振子在D点时，弹簧形变量最大，弹簧弹性势能最大，而t＝1.0 s时，振子处在C点，故C错误；根据弹簧振子简谐运动的对称性可知，振子在C点和D点的加速度大小相等，方向相反，故D错误.]
12．如图甲所示，装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略空气阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得玻璃管振动周期为0.5 s，以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅，对于玻璃管(包括管内液体)，下列说法正确的是( )
A．回复力等于玻璃管所受的浮力
B．在t1～t2时间内，玻璃管加速度减小，速度增大
C．在t1时刻玻璃管加速度为零，速度为正向最大
D．振动过程中动能和重力势能相互转化，玻璃管的机械能守恒
B [玻璃管(包括管内液体)只受到重力和水的浮力，所以玻璃管做简谐运动的回复力等于重力和浮力的合力，故A错误；由题图乙可知，在t1～t2时间内，玻璃管位移减小，则加速度减小，玻璃管向着平衡位置做加速运动，速度增大，t1时刻处于负向最大位移处，速度为零，加速度为正向最大，故B正确，C错误；玻璃管在做简谐运动的过程中，水的浮力对玻璃管做功，所以振动的过程中玻璃管的机械能不守恒，故D错误.故选B.]
13．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s 时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s 时，振子速度第二次变为－v．
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm．从平衡位置计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像．
[解析] (1)弹簧振子简谐运动的示意图如图甲所示.由对称性可得T＝2×0.5 s＝1.0 s.
(2)B、C间的距离为2个振幅，则振幅
A＝×25 cm＝12.5 cm
振子4.0 s内通过的路程为
s＝4×4A＝4×4×12.5 cm＝200 cm.
(3)根据x＝A sin ωt，A＝12.5 cm，ω＝＝2π rad/s
得x＝12.5sin (2πt)cm
振动图像如图乙所示.
[答案] (1)1.0 s (2)200 cm (3)见解析
16 / 16第二节 简谐运动的描述
[学习目标] 1．能从简谐运动的函数表达式分析简谐运动的振幅、周期、频率等．2．掌握简谐运动图像的物理意义和应用．3．知道简谐运动的数学描述，了解相位的概念．
知识点一 简谐运动的函数描述
1．描述简谐运动位移—时间图像的函数表达式为x＝____________．式中A是简谐运动的____，ω为简谐运动的______．
2．ω与T、f的关系为ω＝＝______．
知识点二 简谐运动的图像描述
1．相位、初相
简谐运动的位移—时间函数表达式x＝A cos (ωt＋φ)中的________叫作相位，而对应t＝0时的相位__叫作初相位，简称初相．
2．相位差
对于频率相同、相位不同的振子，相位差Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝_________，表示两个频率相同的简谐运动的振动____关系．
3．图像信息
如图所示，从图像上可知____和____．还可知道任一时刻的____大小和方向．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)位移—时间图像表示振动质点的运动轨迹． ( )
(2)振动的位移为正时，速度也为正． ( )
(3)简谐运动的图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移． ( )
(4)振动位移的方向总是背离平衡位置． ( )
2．一质点做简谐运动的图像如图所示，该质点在t＝3.5 s 时刻( )
A．速度为正，加速度为正
B．速度为负，加速度为负
C．速度为负，加速度为正
D．速度为正，加速度为负
3．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一个周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移与时间关系的图像是( )
A B C D
某弹簧振子的振动图像如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时。
讨论：(1)该振动的周期、频率分别是多少？
(2)写出该振动的正弦函数和余弦函数表达式.
简谐运动的表达式
1．简谐运动表达式x＝A cos ωt的理解
(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移．
(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱．
(3)ω：角频率，它与周期、频率的关系为ω＝＝2πf．可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．
2．简谐运动的表达式x＝A cos (ωt＋φ0)的理解
(1)式中(ωt＋φ0)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．
(2)式中φ0表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．
(3)相位差：频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，Δφ＝(ωt＋φ01)－(ωt＋φ02)＝φ01－φ02．
若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；
若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相．
【典例1】 (多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin cm，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin cm．下列说法正确的是( )
A．物体A的振幅是6 cm，物体B的振幅是10 cm
B．物体A、B的周期相等，为100 s
C．物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB
D．物体A的相位始终超前物体B的相位
[思路点拨] 对比简谐运动的表达式，获得振幅、周期、初相位信息．
[听课记录]
[跟进训练]
1．弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为 0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10-3 sin m
B．x＝4×10-3 sin m
C．x＝8×10-3 sin m
D．x＝4×10-3 sin m
简谐运动的图像
1．图像形状
正(余)弦曲线．
2．物理意义
表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律(不是振动质点的运动轨迹)．
3．图像应用
(1)任意时刻质点位移的大小和方向．如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2．
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故此刻沿x轴正方向振动．图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故此刻沿x轴正方向振动．
(3)任意时刻质点的位移、速度、加速度的变化情况：根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是衡位置．若远离平衡位置，则位移越来越大，加速度越来越大，而速度越来越小；若衡位置，则位移越来越小，加速度越来越小，而速度越来越大．
【典例2】 [链接教材P44例题]如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为m＝1 kg的小球，小球静止时弹簧伸长量为10 cm．现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间t变化的规律如图乙所示，重力加速度g取 10 m/s2．
(1)写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式；
(2)求出小球在0～12.9 s内运动的总路程和12.9 s时刻的位置；
(3)小球运动到最高点时加速度的大小．
[听课记录]
简谐运动图像的应用技巧
(1)判断质点任意时刻的位移大小和方向．
质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较图像中纵坐标的绝对值．方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断．
(2)判断质点任意时刻的加速度大小和方向．
由于加速度的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可．
(3) 判断质点任意时刻的速度大小和方向．
振动图像的切线斜率的绝对值和正负表示该时刻的速度大小及方向．
[跟进训练]
2．(多选)弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，则( )
A．t＝0时，振子位移为零，速度为零，加速度为零
B．t＝1 s时，振子位移最大，速度为零，加速度最大
C．t1和t2时刻振子具有相同的速度
D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度
1．已知两个简谐运动的表达式分别为x1＝4sin 4πt cm 和x2＝2sin 2πt cm，则它们的振幅之比、各自的频率之比是( )
A．2∶1，2∶1 B．1∶2，1∶2
C．2∶1，1∶2 D．1∶2，2∶1
2．一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点通过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度是零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
3．如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
4．(多选)如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )
A．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
B．t2时刻振子的位移最大
C．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
D．该图像是从平衡位置计时画出的
5．一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的关系如图所示．求：
(1)写出该简谐运动的表达式；
(2)t＝0.25×10-2 s时的位移；
(3)从t＝0到t＝8.5×10-2 s的时间内，振子走过的路程．
回顾本节内容，自主完成以下问题：
1．振动图像可以获得哪些信息？
2．如何求初相位？
3．如何通过图像得到速度的变化？
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