周测22　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（含解析）高中数学人教A版（2019）必修第一册

周测22　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
(时间：75分钟　分值：100分)
一、 单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64°等于(　　)
A. B.
C. D.1
2.已知角α的终边上有一点P(-2，-1)，则cos 2α的值为(　　)
A.- B.
C.- D.
3.已知sin=，α∈，则sin等于(　　)
A.- B.-
C. D.
4.已知函数f(x)=3sin x+4cos x.若x=θ时，f(x)取得最大值，则cos等于(　　)
A. B.-
C. D.-
5.若tan=-，则等于(　　)
A.3 B.
C. D.-
6.在△ABC中，若sin(2A+B)=2sin B，则tan A+tan C+的最小值为(　　)
A.2 B.3
C.2 D.2
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.下列各式中值为1的是(　　)
A.sincos
B.sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°
C.
D.
8.若tan α+tan β=-tan αtan β，则α+β的值可能为(　　)
A. B.
C.- D.-
9.已知sin(α+β)=，tan α-tan β=0，则(　　)
A.sin αcos β=
B.tan(α+β)=2+
C.sin 2αsin 2β=
D.cos(α-β)=±
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.数学家泰特托斯详细地讨论了无理数的理论，他通过如图所示的图形来构造无理数，，，…，则sin∠BAD=　　　　.
11.=　　　　.
12.已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x+(x∈R).若f(x0)=，x0∈，则cos 2x0=　　　　.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知锐角α，β满足sin α=，cos β=.
(1)求cos 2α的值；(5分)
(2)求tan(2α+β)的值.(7分)
14.(12分)已知函数f(x)=(2sin x-cos x)cos x+sin2x.
(1)求函数f(x)的单调递减区间和最小正周期；(6分)
(2)若当x∈时，不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围.(6分)
15.(13分)已知0<α<，cos=.
(1)求sin α的值；(5分)
(2)若-<β<0，cos=，求α-β的值.(8分)
周测22　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
(时间：75分钟　分值：100分)
一、 单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64°等于(　　)
A. B.
C. D.1
答案　B
解析　原式=sin(180°-71°)cos(360°-64°)+cos 71°sin 64°
=sin 71°cos 64°+cos 71°sin 64°=sin(71°+64°)=sin 135°=.
2.已知角α的终边上有一点P(-2，-1)，则cos 2α的值为(　　)
A.- B.
C.- D.
答案　B
解析　由题意可得cos α=，
故cos 2α=2cos2α-1=2×-1=.
3.已知sin=，α∈，则sin等于(　　)
A.- B.-
C. D.
答案　D
解析　α∈，
故α+∈，所以cos<0，
又sin=，故cos=-，
=sincos -cossin
=×-×=.
4.已知函数f(x)=3sin x+4cos x.若x=θ时，f(x)取得最大值，则cos等于(　　)
A. B.-
C. D.-
答案　C
解析　f(x)=3sin x+4cos x=5sin(x+φ)，其中sin φ=，cos φ=，
∵当x=θ时，f(x)取得最大值，
∴θ+φ=+2kπ，k∈Z，即θ=+2kπ-φ，k∈Z，
∴cos=cos
=cos=cos cos φ+sin sin φ
=-×+×=.
5.若tan=-，则等于(　　)
A.3 B.
C. D.-
答案　D
解析　因为tan=-，
所以tan θ=tan===-2，
所以
=
=
=
=
===-.
6.在△ABC中，若sin(2A+B)=2sin B，则tan A+tan C+的最小值为(　　)
A.2 B.3
C.2 D.2
答案　A
解析　在△ABC中，sin(2A+B)=2sin B，即sin(A+B+A)=2sin(A+B-A)，
有sin(A+B)cos A+cos(A+B)sin A=2[sin(A+B)cos A-cos(A+B)sin A]，
得sin(A+B)cos A=3cos(A+B)sin A，
则有tan(A+B)=3tan A，得tan C=-3tan A，
且tan B=-tan(A+C)=-=，易知tan A≠0，
则tan A+tan C+=-2tan A+=tan A+，
若A为钝角，则A+B为钝角，所以-tan C=tan(A+B)>tan A>3tan A，与tan C=-3tan A矛盾，舍去，
故A为锐角，所以tan A>0，tan A+≥2，当且仅当tan A=1，即A=时取“=”，所以tan A+tan C+的最小值为2.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.下列各式中值为1的是(　　)
A.sincos
B.sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°
C.
D.
答案　BCD
解析　sincos=sin=×=，故选项A错误；
sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°=sin(72°+18°)=sin 90°=1，故选项B正确；
=tan(12°+33°)=tan 45°=1，故选项C正确；
=cos=×=1，故选项D正确.
8.若tan α+tan β=-tan αtan β，则α+β的值可能为(　　)
A. B.
C.- D.-
答案　AC
解析　由题意得，tan(α+β)==，
即α+β=+kπ(k∈Z)，所以α+β的值可能为，-.
9.已知sin(α+β)=，tan α-tan β=0，则(　　)
A.sin αcos β=
B.tan(α+β)=2+
C.sin 2αsin 2β=
D.cos(α-β)=±
答案　ACD
解析　因为sin(α+β)=，
所以cos(α+β)=±
=±，
所以tan(α+β)==±(2+)，故B错误；
又tan α-tan β=0，即=，
即sin αcos β=sin βcos α，
所以sin(α+β)=sin αcos β+sin βcos α=sin αcos β=，
解得sin αcos β=，故A正确；
所以sin βcos α=sin αcos β=，
sin 2αsin 2β=4sin αcos αsin βcos β
=4(sin αcos β)(cos αsin β)=4××=，故C正确；
因为cos(α+β)=±，
cos2(α-β)-cos2(α+β)=(cos αcos β+sin αsin β)2-(cos αcos β-sin αsin β)2
=4cos αcos βsin αsin β=sin 2αsin 2β=，
所以cos2(α-β)=cos2(α+β)+
=+=，
所以cos(α-β)=±，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.数学家泰特托斯详细地讨论了无理数的理论，他通过如图所示的图形来构造无理数，，，…，则sin∠BAD=　　　　.
答案　
解析　由题意可知，sin∠BAC=cos∠BAC=，sin∠CAD==，cos∠CAD==，
所以sin∠BAD=sin(∠BAC+∠CAD)
=sin∠BACcos∠CAD+cos∠BACsin∠CAD
=×+×=.
11.=　　　　.
答案　-2
解析　原式=
=
==-.
∵tan 75°=tan(45°+30°)===2+，
∴原式=-=-2.
12.已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x+(x∈R).若f(x0)=，x0∈，则cos 2x0=　　　　.
答案　
解析　依题意，f(x)=sin 2x-+=sin，
由sin=，得sin=，
又x0∈，
即2x0-∈，
则cos==，
所以cos 2x0=cos
=coscos-sinsin
=×-×
=.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知锐角α，β满足sin α=，cos β=.
(1)求cos 2α的值；(5分)
(2)求tan(2α+β)的值.(7分)
解　(1)cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.
(2)因为α，β均为锐角，则cos α==，sin β==，
所以tan α==，tan β==2，
则tan 2α===，
所以tan(2α+β)===-.
14.(12分)已知函数f(x)=(2sin x-cos x)cos x+sin2x.
(1)求函数f(x)的单调递减区间和最小正周期；(6分)
(2)若当x∈时，不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围.(6分)
解　(1)f(x)=cos x+sin2x=2sin xcos x-cos2x+sin2x
=sin 2x-cos 2x=2sin.
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
由+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)由题意可知，当x∈时，m≤f(x)max.
因为x∈，
所以2x-∈.
故当2x-=，即x=时，f(x)取得最大值，且最大值为f=2.
所以m≤2，即实数m的取值范围为(-∞，2].
15.(13分)已知0<α<，cos=.
(1)求sin α的值；(5分)
(2)若-<β<0，cos=，求α-β的值.(8分)
解　 (1) 因为0<α<，所以<α+<，
又cos=，所以sin==，
所以sin α=sin=sincos-cossin=×=.
(2)因为cos=，
sin β=cos=cos
=2cos2-1=2×-1=-，
又-<β<0，所以cos β==，
由(1)知，cos α=cos
=coscos+sinsin=，
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.
因为0<α<，-<β<0，则0<α-β<π，所以α-β=.