素养提升课(二) 波的图像与波的多解问题
[学习目标] 1．进一步理解波的形成、波的描述．2．能正确的分析波动，并能将波动和振动有效的联系起来．3．会解决波的多解问题．
振动图像和波的图像的比较
比较项目 振动图像 波的图像
图像
坐 标 横坐标 时间 各质点的平衡位置
纵坐标 某一质点在不同时刻的振动位移 各质点在同一时刻的振动位移
研究对象 一个质点 沿波传播方向上的各质点
物理意义 一个质点在不同时刻的振动位移 介质中各质点在同一时刻的振动位移
【典例1】 一列简谐横波沿x轴正方向传播，a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置．某时刻的波形如图甲所示，此后，若经过周期开始计时，则图乙描述的是( )
A．a处质点的振动图像
B．b处质点的振动图像
C．c处质点的振动图像
D．d处质点的振动图像
[听课记录]
【典例2】 (多选)如图所示为一列简谐波在某一时刻的波形图，下列说法正确的是( )
A．此列波的振幅是0.1 m
B．平衡位置在x＝15 cm处质点的位移是0.1 m
C．若质点A的速度沿y轴正方向，则质点B的速度亦沿y轴正方向
D．质点A的加速度沿y轴负方向，而质点B、C的加速度沿y轴正方向
[听课记录]
【典例3】 如图所示，一列沿x轴传播的简谐横波，t＝0时刻的波形图如图甲所示，图乙表示平衡位置在x＝1.0 m 处质点P的振动图像．求：
(1)波的波长λ和振幅A；
(2)请判断这列波的传播方向，并计算该简谐横波传播速度v的大小；
(3)t＝0.7 s内质点Q运动的路程s．
[听课记录]
波的多解问题
1．周期性
(1)时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解．
(2)空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解．
2．双向性
(1)传播方向双向性：波的传播方向不确定．
(2)振动方向双向性：质点振动方向不确定．
【典例4】 图中的实线是一列简谐波在某一时刻的波形曲线．经0.5 s后，其波形如图中虚线所示．设该波的周期T大于0.5 s．
(1)如果波是向左传播的，波速是多大？波的周期是多大？
(2)如果波是向右传播的，波速是多大？波的周期是多大？
[听课记录]
【典例5】 (源自人教版教材改编)如图所示，一列简谐横波在x轴上传播，实线和虚线分别为t0＝0和t1＝2 s时的波形图．
(1)求这列波的波速大小；
(2)若波速为5 m/s，平衡位置在x＝7 m处的质点从t0＝0开始计时，求其在3.4 s内通过的路程．
[听课记录]
4 / 4素养提升课(二) 波的图像与波的多解问题
[学习目标] 1．进一步理解波的形成、波的描述．2．能正确的分析波动，并能将波动和振动有效的联系起来．3．会解决波的多解问题．
振动图像和波的图像的比较
比较项目 振动图像 波的图像
图像
坐 标 横坐标 时间 各质点的平衡位置
纵坐标 某一质点在不同时刻的振动位移 各质点在同一时刻的振动位移
研究对象 一个质点 沿波传播方向上的各质点
物理意义 一个质点在不同时刻的振动位移 介质中各质点在同一时刻的振动位移
【典例1】 一列简谐横波沿x轴正方向传播，a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置．某时刻的波形如图甲所示，此后，若经过周期开始计时，则图乙描述的是( )
A．a处质点的振动图像
B．b处质点的振动图像
C．c处质点的振动图像
D．d处质点的振动图像
B [因横波沿x轴正方向传播，经周期振动到平衡位置的质点为平衡位置在b、d处的质点，该时刻平衡位置在b处的质点的振动方向沿y轴负方向，平衡位置在d处的质点的振动方向沿y轴正方向，故题图乙为平衡位置在b处的质点的振动图像，故选B.]
【典例2】 (多选)如图所示为一列简谐波在某一时刻的波形图，下列说法正确的是( )
A．此列波的振幅是0.1 m
B．平衡位置在x＝15 cm处质点的位移是0.1 m
C．若质点A的速度沿y轴正方向，则质点B的速度亦沿y轴正方向
D．质点A的加速度沿y轴负方向，而质点B、C的加速度沿y轴正方向
ACD [从题图波的图像上可以直接读出振幅是0.1 m，平衡位置在x＝15 cm处质点的位移是－0.1 m，A正确，B错误；各质点加速度的方向总是指向平衡位置，D正确；由于A、B两质点此刻处在同一“坡”上，根据“上下坡法”可以判断A、B速度方向一致，C正确.]
【典例3】 如图所示，一列沿x轴传播的简谐横波，t＝0时刻的波形图如图甲所示，图乙表示平衡位置在x＝1.0 m 处质点P的振动图像．求：
(1)波的波长λ和振幅A；
(2)请判断这列波的传播方向，并计算该简谐横波传播速度v的大小；
(3)t＝0.7 s内质点Q运动的路程s．
[解析] (1)由题图甲知，此波的波长λ＝2.0 m，振幅A＝10 cm.
(2)由题图乙知，质点P在t＝0时刻正向上运动，由“上下坡法”知波的传播方向为沿x轴正方向
由v＝，又T＝0.4 s
所以v＝5 m/s.
(3)由于周期T＝0.4 s，0.7 s＝T
t＝0时刻，质点Q处于平衡位置，运动的路程
s＝(1＋)×4A＝0.7 m.
[答案] (1)2.0 m 10 cm (2)沿x轴正方向 5 m/s (3)0.7 m
波的多解问题
1．周期性
(1)时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解．
(2)空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解．
2．双向性
(1)传播方向双向性：波的传播方向不确定．
(2)振动方向双向性：质点振动方向不确定．
【典例4】 图中的实线是一列简谐波在某一时刻的波形曲线．经0.5 s后，其波形如图中虚线所示．设该波的周期T大于0.5 s．
(1)如果波是向左传播的，波速是多大？波的周期是多大？
(2)如果波是向右传播的，波速是多大？波的周期是多大？
[解析] (1)如果波是向左传播的，从题图可以看出，虚线所示的波形相当于实线所示的波形向左移动了x＝6 cm，由此可求出波速为v＝＝ m/s＝0.12 m/s，波的周期T＝＝ s＝2.0 s.
(2)如果波是向右传播的，从题图可以看出，虚线所示的波形相当于实线所示的波形向右移动了x′＝18 cm，由此可求出波速为v′＝＝ m/s＝0.36 m/s，波的周期为T′＝＝ s≈0.67 s.
[答案] (1)0.12 m/s 2.0 s (2)0.36 m/s 0.67 s
【典例5】 (源自人教版教材改编)如图所示，一列简谐横波在x轴上传播，实线和虚线分别为t0＝0和t1＝2 s时的波形图．
(1)求这列波的波速大小；
(2)若波速为5 m/s，平衡位置在x＝7 m处的质点从t0＝0开始计时，求其在3.4 s内通过的路程．
解析：(1)若该简谐波沿x轴正方向传播，2 s内传播距离Δx＝nλ＋λ＝(8n＋2)m(n＝0，1，2，3，…)
波速大小为v＝＝(4n＋1)m/s(n＝0，1，2，3，…)
若该简谐波沿x轴负方向传播，2 s内传播距离
Δx′＝nλ＋λ＝(8n＋6)m(n＝0，1，2，3，…)
波速大小为v′＝＝(4n＋3)m/s(n＝0，1，2，3，…).
(2)若波速为5 m/s，可知该波沿x轴正方向传播
周期T＝＝1.6 s，Δt′＝3.4 s＝T
由波形图函数关系可知，x＝7 m处的质点t0＝0时刻的位移为y＝－5 cm
该质点在3.4 s内通过的路程sy＝8A＋(A－|y|)＝(90－5)cm.
[答案] (1)(4n＋1)m/s或(4n＋3)m/s(n＝0，1，2，3，…)
(2)(90－5)cm
素养提升练(二) 波的图像与波的多解问题
1．如图所示，一列简谐横波在水平方向传播，P、Q两质点平衡位置相距3 m．当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到平衡位置，则这列波的波长不可能是( )
A．12 m B．4 m
C．2 m D． m
C [根据题意，有两种情况，分别为当nλ＋λ＝3 m(n＝0，1，2，…)时，可知，n＝0时，λ＝12 m；n＝1时，λ＝ m；n＝2时，λ＝ m；n＝3时，λ＝ m；n＝4时，λ＝ m…；当nλ＋λ＝3 m(n＝0，1，2，…)时，可知，n＝0时，λ＝4 m；n＝1时，λ＝ m；n＝2时，λ＝ m；n＝3时，λ＝ m；n＝4时，λ＝ m…，故选C.]
2．如图所示，实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过 0.3 s 后，其波形曲线如图中虚线所示．若波是沿x轴正方向传播的(周期大于0.3 s)，则该波的速度大小及周期分别为( )
A．0.5 m/s 0.4 s B． m/s 0.4 s
C．0.5 m/s 1.2 s D． m/s 1.2 s
A [由题图可得λ＝20 cm，因为波沿x轴正方向传播，则 T＋nT＝0.3 s(n＝0，1，2…)，即T＝ s(n＝0，1，2…)，又因为周期大于0.3 s，所以取n＝0，解得T＝0.4 s，所以波速v＝＝ m/s＝0.5 m/s, 故选A.]
3．如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t1＝0.5 s 时的波形图，虚线为t2＝2 s时的波形图．已知该简谐波的传播速度v满足2 m/s≤v≤4 m/s，下列关于平衡位置在x＝2 m 处质点的振动图像，可能正确的是( )
A B
C D
B [由波形图可知，波长λ＝8 m，根据速度范围可以得到周期范围2 s≤T≤4 s，若横波沿x轴正方向传播，x＝2 m处的质点在0.5 s时由平衡位置向y轴正方向运动，由T1＋n1T1＝1.5 s(n1＝0，1，2，3，…)，解得T1＝2.4 s，结合题干实线波形图可得，0.5 s时，x＝2 m处的质点向上振动，则A错误，B正确；若横波沿x轴负方向传播，x＝2 m处的质点在0.5 s时由平衡位置向y轴负方向运动，由T2＋n2T2＝1.5 s(n2＝0，1，2，3，…)，解得T2＝4 s，则C、D错误.]
4．如图所示是某机械波的波形图，实线为t时刻的波形，虚线为t＋Δt时刻的波形，图示中Δx1和Δx2分别是t时刻某波峰与t＋Δt时刻相邻两波峰之间的距离．下列说法正确的是( )
A．该机械波一定沿x轴正方向传播
B．该机械波的波长可能为2(Δx1＋Δx2)
C．该机械波的传播速度可能为
D．该机械波的周期可能为
D [根据题图无法确定该机械波的传播方向，A错误；根据题图以及题意，可知机械波波长一定为λ＝Δx1＋Δx2，B错误；若该机械波沿x轴正方向传播，则传播速度v＝(k＝0，1，2，…)，周期T＝＝(k＝0，1，2，…)，若该机械波沿x轴负方向传播，则传播速度 v＝(k＝0，1，2，…)，周期T＝＝(k＝0，1，2，…)，C错误，D正确.]
5．如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波．在t＝0时刻该波刚好传播到x＝3 m 处的质点P，该波的传播速度为10 m/s．则从图示时刻起，质点Q第一次处于波峰，需再经过多少时间( )
A．1.2 s B．1.6 s
C．2.0 s D．2.4 s
A [质点Q离x＝0处波峰的距离为12 m，当图示时刻x＝0处波峰传到质点Q时，质点Q第一次处于波峰，经过的时间为t＝ s＝1.2 s，故选A.]
6．平衡位置在坐标原点O处的一个质点沿y方向做简谐运动，振动分别沿x轴负方向和x轴正方向传播，形成甲、乙两列简谐横波；t＝0 时刻的波形如图所示，此时甲波刚好传播到x＝－2 m处，乙波刚好传播到x＝4 m处，P是甲波传播路径上的一个质点，Q是乙波传播路径上的一个质点．已知t＝0时刻，平衡位置在x＝1 m处质点已振动0.3 s，则下列说法正确的是( )
A．t＝0时刻，质点P的振动方向沿y轴负方向
B．t＝0时刻，质点Q已运动了10 cm的路程
C．波源处的质点起振方向沿y轴正方向
D．乙波的传播速度大小为 m/s
B [根据振动与波动的关系，t＝0时刻，质点P的振动方向沿y轴正方向，故A错误；t＝0时刻波传播的距离为一个波长，因此质点Q振动了半个周期，通过的路程为10 cm，故B正确；由t＝0时刻，平衡位置在x＝－2 m处质点振动方向沿y轴负方向，可知波源处的质点起振方向沿y轴负方向，故C错误；t＝0时刻，平衡位置在x＝1 m处质点已振动0.3 s，则t＝0时刻，波已传播了0.4 s，则乙波传播的速度为v＝＝ m/s＝10 m/s, 故D错误.]
7．B超检查是医学上常用的诊断方法，其基本原理是探头向人体内发射超声波，超声波遇到人体不同的组织会产生不同程度的反射．如图甲、乙所示是仪器检测到的探头发送和接收的超声波图像，其中图甲为某时刻沿x轴正方向发送的超声波，图乙为一段时间后沿x轴负方向返回的超声波．已知超声波在人体内传播速度约为1 500 m/s，下列说法正确的是( )
A．图乙中质点b正沿y轴正方向运动
B．图甲和图乙中，质点a和质点b加速度相同
C．图甲中质点a的振动周期为T＝8.0×10-5 s
D．图甲中质点a在此后的0.1 s时间内运动的路程为400 m
B [题图乙中波沿x轴负方向传播，根据“同侧法”可知，质点b正沿y轴负方向运动，故A错误；题图甲和题图乙中，质点a和质点b位移相同，则根据a＝－可知两质点的加速度相同，故B正确；题图甲中质点a的振动周期T＝＝ s＝8.0×10-6 s，故C错误；因为t＝T＝12 500T, 质点在一个周期内运动路为4A，所以题图甲中质点a在此后的 0.1 s 时间内运动的路程为12 500×4A＝200 m，故D错误.]
8．如图所示，实线是一列简谐横波在t1时刻的波形图，虚线是t2＝(t1＋1) s时刻的波形图，已知质点M的平衡位置距O点距离为 5 m, 下列说法正确的是( )
A．若波沿x轴负方向传播，其周期可能为 s
B．无论波向哪个方向传播，质点M在t1时刻一定沿y轴正方向运动
C．若该波沿x轴正方向传播，其波速可能为7 m/s
D．若波沿x轴负方向传播，当周期T＝ s时，质点M在t1到t2时间内运动的路程为3.2 m
A [若波沿x轴负方向传播，则v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，从而得到周期T＝＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝2时，T＝ s，A正确；若波沿x轴负方向传播，根据上下坡法可知质点M在t1时刻沿y轴负方向运动，若波沿x轴正方向传播，根据上下坡法可知质点M在t1时刻沿y轴正方向运动，B错误；若该波沿x轴正方向传播，则v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，其波速不可能为7 m/s，C错误；若波沿x轴负方向传播，由T＝＝ s(n＝0，1，2…)，当n＝3时，T＝ s，则质点M在t1到t2时间内，质点M运动的路程为15A＝15×0.2 m＝3 m，D错误.]
9．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，在x轴上平衡位置相距2 m的两质点A、B的振动图像分别如图甲、乙所示，已知该波波长大于 1 m, 则该波的传播速率可能为( )
A．1.8 m/s B．2.0 m/s
C．4.0 m/s D．6.7 m/s
CD [由两质点的振动图像可知，t＝0时刻，质点A处于正的最大位移处，质点B位于平衡位置沿y轴负方向运动，该波的传播周期为T＝0.4 s，若该波从质点B向质点A传播，则两质点间的距离为λ＝2 m(n＝0，1，2，…)，则λ＝ m(n＝0，1，2，…)，由波速的公式得v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，波长大于1 m，则n＝0或1，n＝0时v＝20 m/s, n＝1时v＝4 m/s；若该波从质点A向质点B传播，则两质点间的距离为λ＝2 m(n＝0，1，2，…)，则λ＝ m(n＝0，1，2，…)，由波速的公式得v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，波长大于1 m，则n＝0或1，n＝0时v＝ m/s≈6.7 m/s，n＝1时v＝ m/s≈2.9 m/s，故选CD.]
10．战绳作为一项超燃脂的运动，十分受人欢迎．一次战绳练习中，某运动达人晃动绳的一端使其上下振动(可视为简谐运动)形成横波，图甲、图乙分别是同一绳上P、Q两质点的振动图像，传播方向为P到Q，波长大于 1 m、 小于3 m，P、Q两质点在波的传播方向上相距3 m，下列说法正确的是( )
A．该列波的波长可能为 m
B．P、Q两质点的振动方向始终相反
C．该列波的波速可能为 m/s
D．从t＝0至t＝2.125 s，Q质点运动的路程为 3.4 m
C [由题意可知xPQ＝λ(n＝0，1，2，…)，由于波长大于1 m、小于3 m，则n只能取1、2，当n＝1时，有λ＝3 m，解得λ＝ m，当n＝2时，有λ＝3 m，解得λ＝ m, 且当波长为 m时，波速v＝＝ m/s，由于质点P、Q平衡位置间的距离并不是半个波长的奇数倍，故P、Q两质点的振动方向并不是始终相反，故A、B错误，C正确；由于t＝2.125 s＝2T，且由于0时刻Q质点处于平衡位置，则此时间内质点Q运动的路程s>2×4A＋＝＝ m＝3.4 m，故D错误.]
11．如图所示，一列横波沿x轴传播，实线a为0时刻的波形曲线，虚线b为0.5 s时的波形曲线．
(1)写出该波的波长和振幅；
(2)假设该波向左传播且T＞0.5 s，求波速为多大；
(3)假设波速为18 m/s，通过计算说明波的传播方向；并求出在此波速下平衡位置在x＝3 m处的质点从t＝0时刻开始计时的振动方程(不写推导过程，用正弦表达)．
[解析] (1)根据题图可得波长和振幅分别为
λ＝4 m
A＝2 cm.
(2)若该列波向左传播，则
T＝0.5 s(n＝0，1，2…)
又由题可知周期大于0.5 s，则
n＝0
可得周期T＝s
由v＝得波速v＝6 m/s.
(3)假设该列波向左传播，则由v＝得
v＝(8n＋6) m/s(n＝0，1，2…)
令v＝18 m/s
则n＝1.5
可见n取不到整数，故舍去.
假设该列波向右传播，则
T＝0.5 s(n＝0，1，2…)
由v＝得
v＝(8n＋2) m/s(n＝0，1，2…)
令v＝18 m/s
则n＝2
所以该列波向右传播，且在此波速下，波的周期为T＝s
由波形图可知，0时刻，平衡位置在x＝3 m处质点处于平衡位置且向y轴负方向振动，所以振动方程为y＝－A sin ωt(cm)
其中ω＝
联立得y＝－2sin 9πt (cm).
[答案] (1)4 m 2 cm (2)6 m/s (3)该列波向右传播 y＝－2sin 9πt (cm)
12．一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t1＝0时刻的波形如图中实线所示，在t2＝0.8 s时的波形如图中的虚线所示．
(1)求这列波可能的传播速度大小；
(2)若波的周期T>1 s，则从t1＝0时刻开始计时，求质点M在0～1.6 s内运动的路程．
[解析] (1)由题图可知，波长λ＝4 m，Δt＝t2－t1＝0.8 s
因波沿x轴正方向传播，则Δt＝T(n＝0，1，2，…)
解得T＝ s(n＝0，1，2，…)
波速v＝
解得v＝(5n＋1.25) m/s(n＝0，1，2，…).
(2)由题意知，T>1 s
则n只能取0时满足条件，对应T＝3.2 s
因1.6 s＝，A＝2 cm
则0～1.6 s内质点M运动的路程s＝2A＝4 cm.
[答案] (1)v＝(5n＋1.25) m/s(n＝0，1，2，…) (2)4 cm
13．(14分)我国科学家首创的超声消融术是一种超声波聚焦病灶部位进行照射治疗的先进技术．如图甲所示，一列超声波从介质1进入介质2中继续传播，A、B、C为传播方向上的三个点．图乙为t＝0时刻A质点右侧介质1中的部分波形图，此时该波恰好传播至介质2中的B点，图丙为该时刻之后B点的振动图像．已知B、C两质点间的距离为 0.75 cm, 波在介质2中的传播速度为 1.0×103 m/s，求：
(1)该波在介质1中传播速度的大小；
(2)从质点B开始振动到质点C第一次到达波谷经历的时间．
[解析] (1)超声波在介质2中传播时T＝1×10-5 s，在两种介质中传播时周期不变，则在介质1中传播速度为
v1＝＝ m/s＝2×103 m/s.
(2)超声波从B传到C的时间为
t1＝＝ s＝7.5×10-6 s
波传到C点时开始起振的方向向下，则到达波谷时还需要t2＝＝2.5×10-6 s
则质点C第一次到达波谷的时间为t＝t1＋t2＝1.0×10-5 s.
[答案] (1)2×103 m/s (2)1.0×10-5 s
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