周测23 5.5 三角恒等变换（含解析）高中数学人教A版（2019）必修第一册

周测23　三角恒等变换
(时间：75分钟　分值：100分)
一、 单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.函数y=2cos2-1的最小正周期为(　　)
A. B.
C.π D.2π
2.若α∈，cos 2α=，则等于 (　　)
A.- B.
C. D.-
3.下列式子中，与sin的值不相等的是(　　)
A.2sin 15°sin 75°
B.cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°
C.2cos215°-1
D.
4.函数f(x)=sin2x-sin2，x∈的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
5.已知θ是第三象限角，|cos θ|=m，sin+cos>0，则cos等于(　　)
A. B.-
C. D.-
6.已知函数f(x)=sin+sin ωx-(ω>0)在上有且仅有4个零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C.(5，6] D.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.下列各式正确的是(　　)
A.(1+tan 1°)(1+tan 44°)=2
B.-=2
C.=2
D.tan 70°cos 10°=2
8.已知函数f(x)=cos 2x-sin 2x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的周期为π
B.直线x=是f(x)的图象的一条对称轴
C.是f(x)的一个单调递增区间
D.f(x)在区间上的最大值为2
9.使等式+=2成立的α的值可以为(　　)
A. B.
C.- D.-
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.若α是第三象限角且sin(α+β)cos β-sin βcos(α+β)=-，则tan=　　　　.
11.若<θ<π，tan θ=-3，则=　　　　.
12.某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为3的圆内做一个关于圆心对称的“H”型图形，“H”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设O为圆心，∠AOB=2α，记矩形ABCD的面积为S，则S的最大值为　　　　.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知α，β∈，且sin β=cos(α+β)·sin α.
(1)求证：tan β=；(5分)
(2)求tan β的最大值.(7分)
14.(12分)已知函数f(x)=-2cos2x+sin 2x+(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期；(6分)
(2)求f(x)在区间上的值域.(6分)
15.(13分)已知函数f(x)=(sin x-cos x)(sin x+cos x).
(1)当-≤x≤时，讨论函数f(x)的单调性；(6分)
(2)若0周测23　三角恒等变换
(时间：75分钟　分值：100分)
一、 单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.函数y=2cos2-1的最小正周期为(　　)
A. B.
C.π D.2π
答案　C
解析　因为y=2cos2-1=
cos=-sin 2x，所以T==π.
2.若α∈，cos 2α=，则等于 (　　)
A.- B.
C. D.-
答案　A
解析　因为cos 2α=，
所以cos 2α=2cos2α-1=，
又因为α∈，
所以cos α=-，sin α=，
所以tan α=-，
故==tan α=-.
3.下列式子中，与sin的值不相等的是(　　)
A.2sin 15°sin 75°
B.cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°
C.2cos215°-1
D.
答案　C
解析　sin=sin=sin=.
对于A，2sin 15°sin 75°=2sin 15°cos 15°=sin 30°=；
对于B，cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°=cos(18°+42°)=cos 60°=；
对于C，2cos215°-1=cos 30°=；
对于D，因为tan 45°==1，可得=.
所以与sin的值不相等的是C.
4.函数f(x)=sin2x-sin2，x∈的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意可得，f(x)=sin2x-sin2=-
=-cos 2x+cos 2x+sin 2x=sin 2x-cos 2x=sin，
因为x∈，
所以2x-∈，
当2x-∈时，
x∈，
故f(x)的单调递增区间为.
5.已知θ是第三象限角，|cos θ|=m，sin+cos>0，则cos等于(　　)
A. B.-
C. D.-
答案　D
解析　θ是第三象限角，故cos θ<0，
故cos θ=-m，
因为θ∈，k∈Z，
则∈，k∈Z，
若k=2n，n∈Z，则+∈，n∈Z，
此时sin+cos=sin>0，满足要求，
故cos<0；
若k=2n-1，n∈Z，则+∈，n∈Z，
此时sin+cos=sin<0，不符合要求，舍去，
综上，cos=-=-.
6.已知函数f(x)=sin+sin ωx-(ω>0)在上有且仅有4个零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C.(5，6] D.
答案　A
解析　因为f(x)=sin+sin ωx-=sin ωx-cos ωx+sin ωx-
=sin ωx-cos ωx-=sin-，
令f(x)=0，整理得sin=，
由题意可知，方程sin=在上有且仅有4个不同的根，
因为x∈，ω>0，
则ωx-∈，
可得<ω-≤，
解得6<ω≤，
所以实数ω的取值范围是.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.下列各式正确的是(　　)
A.(1+tan 1°)(1+tan 44°)=2
B.-=2
C.=2
D.tan 70°cos 10°=2
答案　AC
解析　因为tan 45°=tan(1°+44°)，即1=，
即tan 1°+tan 44°=1-tan 1°tan 44°，
所以(1+tan 1°)(1+tan 44°)=1+tan 1°+tan 44°+tan 1°tan 44°
=1+1-tan 1°tan 44°+tan 1°tan 44°=2，故A正确；
-=
=
=
===4，故B错误；
===2，故C正确；
tan 70°cos 10°=cos 10°
=cos 10°=cos 10°
===-1，故D错误.
8.已知函数f(x)=cos 2x-sin 2x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的周期为π
B.直线x=是f(x)的图象的一条对称轴
C.是f(x)的一个单调递增区间
D.f(x)在区间上的最大值为2
答案　AC
解析　由题可知f(x)=cos 2x-sin 2x=2cos，
所以f(x)的最小正周期T==π，故A正确；
当x=时，则f=2cos=-≠±2，
即直线x=不是f(x)的图象的一条对称轴，故B不正确；
当x∈时，
2x+∈[-π，0]，又函数y=cos x在[-π，0]上单调递增，所以是f(x)的一个单调递增区间，故C正确；
当x∈时，2x+∈，所以f(x)max=2cos=，故D不正确.
9.使等式+=2成立的α的值可以为(　　)
A. B.
C.- D.-
答案　ABD
解析　∵+
=
==2，
∴sin=sin，
∴2α++2α+=(2k+1)π(k∈Z)，解得α=(k∈Z)，
对于A，当k=0时，α=，故A正确；
对于B，当k=1时，α=，故B正确；
对于C，当k=-时，α=-，又k∈Z，故C错误；
对于D，当k=-1时，α=-，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.若α是第三象限角且sin(α+β)cos β-sin βcos(α+β)=-，则tan=　　　　.
答案　-5
解析　因为sin(α+β)cos β-sin βcos(α+β)=sin[(α+β)-β]=sin α=-，且α是第三象限角，所以cos α=-=-，
所以tan===-5.
11.若<θ<π，tan θ=-3，则=　　　　.
答案　-
解析　∵<θ<π，tan θ=-3，∴sin θ>0，cos θ<0，
∴
=
======-.
12.某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为3的圆内做一个关于圆心对称的“H”型图形，“H”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设O为圆心，∠AOB=2α，记矩形ABCD的面积为S，则S的最大值为　　　　.
答案　3-6
解析　过点O作OM⊥AB，垂足为M，
设OM交CD于点N，
则M，N分别为AB，CD的中点.
设四边形EFGH为横向矩形，
如图所示，
由题意可知，0<2α<π，
因为AB=2AM=6sin α，AB=EF，
所以EF=AB=4sin α，
所以AD=MN=OM-ON=OM-EF=3cos α-2sin α，
所以矩形ABCD的面积
S=6sin α×(3cos α-2sin α)
=9sin 2α-12sin2α
=9sin 2α-12×
=9sin 2α+6cos 2α-6
=3sin(2α+φ)-6，
其中tan φ=，且φ为锐角，
因为0<2α<π，则φ<2α+φ<π+φ，
故当2α+φ=，即sin(2α+φ)=1时，S取得最大值，为3-6.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知α，β∈，且sin β=cos(α+β)·sin α.
(1)求证：tan β=；(5分)
(2)求tan β的最大值.(7分)
(1)证明　因为sin β=cos(α+β)sin α
=(cos αcos β-sin αsin β)sin α，
所以sin β(1+sin2α)=cos βsin αcos α，
即tan β==.
(2)解　因为tan β====，
又α∈，
所以tan α>0，2tan α+≥2，
当且仅当2tan α=，
即tan α=时，等号成立，
所以tan β的最大值为.
14.(12分)已知函数f(x)=-2cos2x+sin 2x+(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期；(6分)
(2)求f(x)在区间上的值域.(6分)
解　(1)f(x)=-2cos2x+sin 2x+=-(2cos2x-1)+sin 2x=sin 2x-cos 2x=2sin，
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)由x∈，
所以2x-∈，
则sin∈[-1，1]，
所以f(x)=2sin∈[-2，2].
故函数f(x)在区间上的值域为[-2，2].
15.(13分)已知函数f(x)=(sin x-cos x)(sin x+cos x).
(1)当-≤x≤时，讨论函数f(x)的单调性；(6分)
(2)若0(1)解　由题意得，f(x)=(sin x-cos x)(sin x+cos x)
=sin2x+2sin xcos x-cos2x
=sin 2x-cos 2x=2sin，
当x∈时，2x-∈，
所以当-≤2x-≤-和≤2x-≤π，
即-≤x≤-和≤x≤时，函数f(x)单调递减；
当-≤2x-≤，即-≤x≤时，函数f(x)单调递增.
综上所述，函数f(x)在和上单调递减，在上单调递增.
(2)证明　g(x)=f(x)-m在上的零点个数，等价于函数f(x)与直线y=m的图象在上的交点个数，
因为f=2sin=-，f=2sin=-2，
f=2sin=2，f=2sin π=0，
所以函数f(x)的大致图象如图所示，
当0所以函数g(x)=f(x)-m在上有且仅有两个零点.