周测24 5.6 函数y=Asin(ωx+φ)（含解析）高中数学人教A版（2019）必修第一册

周测24　函数y=Asin(ωx+φ)
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.y=2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A.2，4π， B.2，，
C.2，，- D.2，4π，-
2.已知函数f(x)=2sin，则函数f(x)的图象可以由y=2sin x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度得到
B.向右平移个单位长度得到
C.向左平移个单位长度得到
D.向右平移个单位长度得到
3.若要得到函数y=sin的图象，只要将函数y=cos 2x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
4.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f等于(　　)
A.- B.-
C. D.
5.将函数f(x)=sin 2x+2cos2x的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)在x=处取得最大值，则m的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
6.将函数f(x)=cos(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上单调递减，则ω的最大值为(　　)
A. B.
C. D.1
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.下列关于函数y=2sin的说法正确的是(　　)
A.图象关于直线x=对称
B.图象关于点对称
C.图象向右平移个单位长度后，函数变成奇函数
D.函数在区间[-1，0]上单调递增
8.将函数f(x)=2cos的图象向右平移个单位长度，得到g(x)的图象，记f(x)与g(x)的图象在y轴右侧的公共点为(xi，yi)(i∈N*)，则下列选项正确的有(　　)
A.g(x)=2sin
B.直线x=是g(x)图象的一条对称轴
C.g(x)的图象关于点对称
D.xi的最小值是
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则(　　)
A.φ=或
B.ω=2
C.f(x)的图象关于点中心对称
D.若函数|f(x+m)|是偶函数，且m>0，则m的最小值为
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.将函数f(x)=cos-1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的对称中心为　　　　.
11.设函数f(x)=sin，x∈R，若将函数y=f(x)的图象向左平移a个单位长度能使其图象与原图象重合，则正实数a的最小值为　　　　.
12.已知函数f(x)=6sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)为偶函数，点A(x1，6)，B(x2，-6)是函数f(x)图象上的两点，若|x1-x2|的最小值为3，则f(2)=　　　　.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知函数f(x)=sin.
(1)用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象；(6分)
(2)说明此函数图象可由函数y=sin x的图象经怎样的变换得到.(6分)
14.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式及对称中心；(5分)
(2)先将函数f(x)的图象上点的纵坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间上的值域.(7分)
15.(13分)已知函数f(x)=sin+2sin2-1(ω>0)的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的解析式；(3分)
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，当x∈时，求函数g(x)的值域；(4分)
(3)记方程g(x)=在x∈上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，若m=x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn，试求n与m的值.(6分)
周测24　函数y=Asin(ωx+φ)
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.y=2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A.2，4π， B.2，，
C.2，，- D.2，4π，-
答案　C
解析　由题意知A=2，f===，初相为-.
2.已知函数f(x)=2sin，则函数f(x)的图象可以由y=2sin x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度得到
B.向右平移个单位长度得到
C.向左平移个单位长度得到
D.向右平移个单位长度得到
答案　A
解析　由题意得，由y=2sin x的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)=2sin的图象.
3.若要得到函数y=sin的图象，只要将函数y=cos 2x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案　D
解析　∵y=sin
=cos=cos
=cos 2，
∴将函数y=cos 2x的图象向右平移个单位长度，即可得到函数y=sin的图象.
4.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f等于(　　)
A.- B.-
C. D.
答案　A
解析　由图象可得，函数f(x)的最小正周期为T=2×=π，则ω==2，
∵f=2sin=2sin=2，
∴sin=1，
则+φ=2kπ+，k∈Z，
解得φ=2kπ-，k∈Z，
∵-<φ<，∴φ=-，
则f(x)=2sin，
∴f=2sin=2sin=-.
5.将函数f(x)=sin 2x+2cos2x的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)在x=处取得最大值，则m的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　f(x)=sin 2x+2cos2x=sin 2x+(1+cos 2x)=2sin+，
将其图象向左平移m(m>0)个单位长度得g(x)=2sin+的图象，
又g(x)在x=处取得最大值，
则sin=1，
则2×+2m+=+2kπ，k∈Z，
解得m=-+kπ，k∈Z，又m>0，
所以m的最小值为m=-+π=.
6.将函数f(x)=cos(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上单调递减，则ω的最大值为(　　)
A. B.
C. D.1
答案　D
解析　由题意知，将函数f(x)=cos(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，
得到函数g(x)=cos的图象，
因为x∈，所以<ωx-+<+，
因为函数g(x)在上单调递减，所以ω+≤π，
即0<ω≤1，所以ω的最大值为1.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.下列关于函数y=2sin的说法正确的是(　　)
A.图象关于直线x=对称
B.图象关于点对称
C.图象向右平移个单位长度后，函数变成奇函数
D.函数在区间[-1，0]上单调递增
答案　BCD
解析　当x=时，y=，不是最值，故A错误；
当x=时，y=0，函数图象关于点对称，故B正确；
把函数的图象向右平移个单位长度得
g(x)=2sin=2sin 2x的图象，其为奇函数，故C正确；
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)，则-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)，
可得函数的单调递增区间为(k∈Z)，
所以函数在区间[-1，0]上单调递增，故D正确.
8.将函数f(x)=2cos的图象向右平移个单位长度，得到g(x)的图象，记f(x)与g(x)的图象在y轴右侧的公共点为(xi，yi)(i∈N*)，则下列选项正确的有(　　)
A.g(x)=2sin
B.直线x=是g(x)图象的一条对称轴
C.g(x)的图象关于点对称
D.xi的最小值是
答案　ABD
解析　将函数f(x)=2cos的图象向右平移个单位长度得到g(x)=2cos=2sin的图象，故A正确；
又g=2sin=2，所以直线x=是g(x)图象的一条对称轴，故B正确；
因为g=2sin=1，所以g(x)的图象不关于点对称，故C错误；
由2cos=2sin，得tan=1，
所以2x+=kπ+(k∈Z)，即x=+(k∈Z)，
又xi>0，所以当k=0时，xi取得最小值，故D正确.
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则(　　)
A.φ=或
B.ω=2
C.f(x)的图象关于点中心对称
D.若函数|f(x+m)|是偶函数，且m>0，则m的最小值为
答案　BCD
解析　由题意可得A=2，所以f(x)=2sin(ωx+φ)，
由函数f(x)的图象过点(0，1)，所以f(0)=2sin φ=1，
所以sin φ=，
又|φ|<π，
所以φ=或φ=，
因为点(0，1)在单调递增区间上，所以φ=，故A错误；
所以f(x)=2sin，
又函数f(x)的图象过点，
所以f=2sin=0，
所以ω+=kπ，k∈Z，
所以ω=-+，k∈Z，
又T=>2×=，ω>0，
所以0<ω<，
所以ω=2，所以f(x)=2sin，故B正确；
f=2sin=2sin 4π=0，
所以f(x)的图象关于点中心对称，故C正确；
由|f(x+m)|==是偶函数，
所以2m+=+k1π，k1∈Z或2m+=k2π，k2∈Z，
所以m=+，k1∈Z或m=-+，k2∈Z，
当m>0时，可得m的最小值为，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.将函数f(x)=cos-1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的对称中心为　　　　.
答案　(k∈Z)
解析　将函数f(x)=cos-1的图象向左平移个单位长度得到函数y=cos-1=-cos 2x-1的图象，
再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，即g(x)=-cos 2x，
令2x=+kπ，k∈Z，即x=+，k∈Z，
所以函数g(x)图象的对称中心为(k∈Z).
11.设函数f(x)=sin，x∈R，若将函数y=f(x)的图象向左平移a个单位长度能使其图象与原图象重合，则正实数a的最小值为　　　　.
答案　π
解析　由题意得，函数y=f(x)的图象向左平移a个单位长度后得，
g(x)=sin=sin，
若该函数的图象与原函数图象重合，
则sin=sin，
可知2a-=2kπ-(k∈Z)，即a=kπ(k∈Z).
所以当k=1时，a=π为最小正实数.
12.已知函数f(x)=6sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)为偶函数，点A(x1，6)，B(x2，-6)是函数f(x)图象上的两点，若|x1-x2|的最小值为3，则f(2)=　　　　.
答案　-3
解析　因为函数f(x)=6sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)为偶函数，
故6sin(-ωx+φ)=6sin(ωx+φ)，即-sin ωxcos φ+cos ωxsin φ=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ，
所以sin ωxcos φ=0，又sin ωx不恒等于0，
故cos φ=0，而0<φ<π，则φ=，
又点A(x1，6)，B(x2，-6)是函数f(x)图象上的两点，|x1-x2|的最小值为3，
所以f(x)的最小正周期为6，则ω==，
故函数f(x)=6sin=6cos，
所以f(2)=6cos=-3.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知函数f(x)=sin.
(1)用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象；(6分)
(2)说明此函数图象可由函数y=sin x的图象经怎样的变换得到.(6分)
解　(1)列表如下：
2x+ 0 π 2π
x -
f(x) 0 1 0 -1 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，
所以f(x)在一个周期内的图象如图所示.
(2)方法一　函数y=sin x的图象先向左平移个单位长度得到函数y=sin的图象，再将函数图象上点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，即可得到函数f(x)=sin的图象.
方法二　先将函数y=sin x的图象上点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到函数y=sin 2x的图象，再向左平移个单位长度，即可得到函数f(x)=sin的图象.
14.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式及对称中心；(5分)
(2)先将函数f(x)的图象上点的纵坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间上的值域.(7分)
解　(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象，可得A=2，
·=+，所以ω=2，
由2×+φ=+2kπ，k∈Z，|φ|<π，得φ=-，
所以函数f(x)=2sin.
令2x-=kπ，k∈Z，解得x=+，k∈Z，故函数f(x)的对称中心为，k∈Z.
(2)先将函数f(x)的图象上点的纵坐标缩短到原来的，可得函数y=sin的图象，
再向右平移个单位长度，即可得到函数y=g(x)=sin=sin=-cos 2x的图象，
所以g(x)=-cos 2x，
由x∈，可得2x∈，故当2x=π，即x=时，g(x)取得最大值，即g(x)max=1；
当2x=，即x=时，g(x)取得最小值，即g(x)min=-.综上，函数y=g(x)在区间上的值域为.
15.(13分)已知函数f(x)=sin+2sin2-1(ω>0)的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的解析式；(3分)
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，当x∈时，求函数g(x)的值域；(4分)
(3)记方程g(x)=在x∈上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，若m=x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn，试求n与m的值.(6分)
解　(1)f(x)=sin+2sin2-1=sin-cos
=2sin=2sin ωx，
因为相邻两对称轴间的距离为，
则T==2×，
解得ω=2，故f(x)=2sin 2x.
(2)函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到y=2sin的图象，
再把各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，
即得g(x)=2sin的图象.
当x∈时，z=4x-∈，
而函数y=2sin z在上单调递减，在上单调递增，
则当z=-，即x=-时，g(x)取得最小值-2，
当z=，即x=时，g(x)取得最大值，
故当x∈时，函数g(x)的值域为[-2，].
(3)由x∈可得4x-∈，
设θ=4x-∈，则sin θ=，作出正弦函数y=sin x，x∈的图象，如图，
由图可知sin θ=在上有5个解，即n=5，
其中θ1+θ2=3π，θ2+θ3=5π，θ3+θ4=7π，θ4+θ5=9π，
即4x1-+4x2-=3π，4x2-+4x3-=5π，4x3-+4x4-=7π，4x4-+4x5-=9π，
整理得x1+x2=，x2+x3=，x3+x4=，x4+x5=，
所以m=x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=，
综上，n=5，m=.