周测26 5.7 三角函数的应用（含解析）高中数学人教A版（2019）必修第一册

周测26　三角函数的应用
(时间：75分钟　分值：100分)
一、 单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间满足关系式y=20sin，t∈[0，+∞)，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为(　　)
A.0.6 s B.0.5 s
C.0.4 s D.0.3 s
2.如图，点P为射线y=x与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点A在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈.则该动点横坐标f(t)关于运动时间t的函数的解析式是(　　)
A.f(t)=sin B.f(t)=sin
C.f(t)=cos D.f(t)=cos
3.智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图).已知噪声的声波曲线y=Acos(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式是(　　)
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=-sin x D.y=-cos x
4.在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20 ℃，但当气温上升到31 ℃时，时钟花基本都会凋谢，在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时~14时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：小时)近似满足函数关系式T=25+10sin，则在6时~14时中，观花的最佳时段约为(　　)
A.6.7时~11.6时 B.6.7时~12.2时
C.8.7时~11.6时 D.8.7时~12.2时
5.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图(1).由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(单位：m)和时间t(单位：s)的函数关系为y=sin(ωt+φ)(ω>0，|φ|<π)，如图(2).若该阻尼器在摆动过程中连续三次位移为y0(-1A. s B. s
C.1 s D. s
6.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，均匀设置有48个座舱(按顺时针依次编号为1至48号)，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30 min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10 min内(含10 min)出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是(　　)
A.16 B.17
C.18 D.19
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h=2sin确定，下列结论正确的是(　　)
A.小球的最高点和最低点相距4 cm
B.小球在t=0 时的高度h=1 cm
C.每秒钟小球往复运动的次数为
D.从t=1 到t=3，弹簧长度逐渐变长
8.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y=Asin ωt.音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数y=Asin ωt中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x+…，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的是(　　)
A.函数f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x+…+sin 100x具有奇偶性
B.函数f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x在区间上单调递增
C.若声音甲对应函数近似为f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x，则声音甲的响度不一定比纯音h(x)=sin 2x的响度大
D.若某声音乙对应函数近似为g(x)=sin x+sin 2x，则声音乙一定比纯音h(x)=sin 3x更低沉
9.生物研究小组观察发现，某地区一昆虫种群数量y在8月份随时间t(单位：日，t∈N*)的变化近似地满足函数y=Asin(ωt+φ)+B(A>0，ω>0)，且在8月1日达到最低数量700，此后逐日增长并在8月7日达到最高数量900，则(　　)
A.ω=
B.A=450
C.8月17日至23日，该地区此昆虫种群数量逐日减少
D.8月份中，该地区此昆虫种群数量不少于850的天数为13天
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如图是某港口一天6时到18时的水深变化，曲线近似满足函数y=3sin+k，据此函数可知，这段时间的最大水深(单位：m)为　　　　.
11.如图，将矩形纸片ABCD的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的边AD上，记为G.若sin θ=，则折痕l的长度为　　　　cm.
12.如图，在海岸线TO一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段TDBS，该曲线段是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，x∈[-4，0]的图象，图象的最高点为B(-1，2)，则曲线段TDBS对应的函数解析式为　　　　　　　.若曲线段TDBS上的入口D到海岸线TO的距离为千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路DO的长为　　　　千米.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)如图，已知某摩天轮的直径为100 m，最高点距离地面高度为110 m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，摩天轮运行时按逆时针方向匀速旋转，转一周需要12 min.
(1)游客甲从最低点Q坐上摩天轮的座舱，转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动过程中H关于t的函数解析式；(6分)
(2)已知游客在距离地面85 m时的高度能够获得最佳视觉效果，记某游客从坐上摩天轮到达到最佳视觉效果所经过的时间依次为t1，t2，t3，…，求t4.(6分)
14.(12分)某中学在荣获省级多样化发展示范学校后，征得一块形状为扇形的土地用于建设新的田径场.如图，已知扇形圆心角∠AOB=，半径OA=120米，A，B关于x轴对称，若在该地截出内接矩形MNPQ建田径场，并保证矩形的一边平行于扇形弦AB，设∠POA=θ，记PQ=t.
(1)写出P，Q两点的坐标，并以θ为自变量，写出t关于θ的函数关系式；(6分)
(2)当θ为何值时，矩形田径场的面积S最大？并求出最大面积.(6分)
15.(13分)某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深数据，
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10 13 9.9 7 10 13 9.9 7 10
一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m时就是安全的.
(1)若有函数模型：y=at+b，y=Asin(ωt+φ)+K(A>0，ω>0)，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；(6分)
(2)如果船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(7分)
周测26　三角函数的应用
(时间：75分钟　分值：100分)
一、 单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间满足关系式y=20sin，t∈[0，+∞)，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为(　　)
A.0.6 s B.0.5 s
C.0.4 s D.0.3 s
答案　A
解析　由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期T==0.6 s，
当t=0时，y=-20，
所以开始计时时该振子位移为-20 mm，
则该振子第一次到达位移最小点所用时间为t=0.6 s.
2.如图，点P为射线y=x与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点A在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈.则该动点横坐标f(t)关于运动时间t的函数的解析式是(　　)
A.f(t)=sin B.f(t)=sin
C.f(t)=cos D.f(t)=cos
答案　C
解析　因为动点A的运动速度为=π rad/s，射线y=x与x轴非负半轴所成角为，
故动点A形成的射线OA与x轴非负半轴所成角为+πt，所以函数f(t)=cos.
3.智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图).已知噪声的声波曲线y=Acos(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式是(　　)
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=-sin x D.y=-cos x
答案　A
解析　因为噪声的声波曲线y=Acos(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，则A=1，周期为2π，则ω===1，初相为，即φ=，
所以噪声的声波曲线的解析式为y=cos=-sin x，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y=sin x.
4.在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20 ℃，但当气温上升到31 ℃时，时钟花基本都会凋谢，在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时~14时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：小时)近似满足函数关系式T=25+10sin，则在6时~14时中，观花的最佳时段约为(　　)
A.6.7时~11.6时 B.6.7时~12.2时
C.8.7时~11.6时 D.8.7时~12.2时
答案　C
解析　当t∈[6，14]时，t+∈，则T=25+10sin在[6，14]上单调递增.设花开、花谢的时间分别为t1，t2.
由T1=20，得sin=-，即t1+=，解得t1=≈8.7时；
由T2=31，得sin=0.6≈sin，即t2+≈，解得t2≈11.6时.
综上，在6时~14时中，观花的最佳时段约为8.7时~11.6时.
5.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图(1).由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(单位：m)和时间t(单位：s)的函数关系为y=sin(ωt+φ)(ω>0，|φ|<π)，如图(2).若该阻尼器在摆动过程中连续三次位移为y0(-1A. s B. s
C.1 s D. s
答案　D
解析　由题意得(t1+t2)=1，(t2+t3)=3，故函数y=sin(ωt+φ)(ω>0，|φ|<π)的周期为T=2×(3-1)=4，ω==，可得y=sin，令sin>0.5，解得4k+-φ综上，在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为 s.
6.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，均匀设置有48个座舱(按顺时针依次编号为1至48号)，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30 min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10 min内(含10 min)出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是(　　)
A.16 B.17
C.18 D.19
答案　B
解析　设乙家庭的座舱转动t min(0而摩天轮的座舱每分钟转动=，
则乙家庭的座舱t min转过的弧度数为t，
摩天轮的两个相邻座舱之间的圆弧所对圆心角为=，则甲家庭的座舱转过的弧度数为+t，
依题意，甲、乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对称，则+t+t=2π，
整理得k=49-t≥17，当且仅当t=10时取等号，
所以k的最小值是17.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h=2sin确定，下列结论正确的是(　　)
A.小球的最高点和最低点相距4 cm
B.小球在t=0 时的高度h=1 cm
C.每秒钟小球往复运动的次数为
D.从t=1 到t=3，弹簧长度逐渐变长
答案　ACD
解析　由题意知，弹簧挂着的小球上下振动，它相对于平衡位置的高度由关系式h=2sin确定，
则小球的最高点和最低点相距平衡位置都是2 cm，故小球的最高点和最低点相距4 cm，故A正确；
小球在t=0 时的高度h=2sin=(cm)，故B错误；
由h=2sin知，最小正周期T=2π，则频率为，
则每秒钟小球往复运动的次数为，故C正确；
当t=时，小球在平衡位置，
当t∈(1，3)时，t+∈，此时h=2sin单调递减，
当t=1时，小球在平衡位置以上位置；当t=3时，小球在平衡位置以下位置，
即小球此时从平衡位置以上位置逐渐向平衡位置以下位置运动，故弹簧长度逐渐变长，故D正确.
8.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y=Asin ωt.音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数y=Asin ωt中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x+…，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的是(　　)
A.函数f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x+…+sin 100x具有奇偶性
B.函数f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x在区间上单调递增
C.若声音甲对应函数近似为f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x，则声音甲的响度不一定比纯音h(x)=sin 2x的响度大
D.若某声音乙对应函数近似为g(x)=sin x+sin 2x，则声音乙一定比纯音h(x)=sin 3x更低沉
答案　ABD
解析　易知f(x)的定义域为R，
又f(-x)=sin(-x)+sin(-2x)+sin(-3x)+…+sin(-100x)=-sin x-sin 2x-sin 3x-…-sin 100x=-f(x)，故f(x)是奇函数，故A正确；
当x∈时，2x∈，3x∈，4x∈，
故y=sin x，y=sin 2x，y=sin 3x，y=sin 4x在上都单调递增，所以f(x)在上单调递增，故B正确；
由f=sin+sin π+sin+sin 2π=，得f(x)的最大值f(x)max≥>，故f(x)的振幅必然大于h(x)=sin 2x的振幅，
即声音甲的响度一定大于纯音h(x)的响度，故C错误；
对于g(x)=sin x+sin 2x，
因为y=sin x的最小正周期为2π，y=sin 2x的最小正周期为π，
所以g(x)的最小正周期为2π，其频率f1= Hz，
纯音h(x)的最小正周期为，其频率f2= Hz，
声音乙的频率更低，比纯音h(x)更低沉，故D正确.
9.生物研究小组观察发现，某地区一昆虫种群数量y在8月份随时间t(单位：日，t∈N*)的变化近似地满足函数y=Asin(ωt+φ)+B(A>0，ω>0)，且在8月1日达到最低数量700，此后逐日增长并在8月7日达到最高数量900，则(　　)
A.ω=
B.A=450
C.8月17日至23日，该地区此昆虫种群数量逐日减少
D.8月份中，该地区此昆虫种群数量不少于850的天数为13天
答案　AD
解析　不妨设8月1日为t=1，则设T为最小正周期，则=7-1=6，
即T=12，又ω>0，所以ω==，A正确；
又A==100，B==800，B错误；
因为函数的最小正周期为12，所以种群数量从8月13日至19日逐渐增加，
从8月19日至25日逐渐减少，C错误；
由以上分析可知y=100sin+800，1≤t≤31，t∈Z，
当t=1时，y取到最小值700，即+φ=-+2k'π，k'∈Z，
故φ=-+2k'π，k'∈Z，
则y=100sin+800=100sin+800，
令100sin+800≥850，
则sin≥，
则+2kπ≤t-≤+2kπ，k∈Z，即5+12k≤t≤9+12k，k∈Z，
故5≤t≤9或17≤t≤21或29≤t≤31，共13天，D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如图是某港口一天6时到18时的水深变化，曲线近似满足函数y=3sin+k，据此函数可知，这段时间的最大水深(单位：m)为　　　　.
答案　8 m
解析　由图象知最小值为2，故-3+k=2，
解得k=5，故这段时间的最大水深为3+k=3+5=8(m).
11.如图，将矩形纸片ABCD的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的边AD上，记为G.若sin θ=，则折痕l的长度为　　　　cm.
答案　
解析　由已知及对称性知，GF=BF=lcos θ，GE=BE=lsin θ，因为∠GEA=∠GFB=2θ，
所以AE=GEcos 2θ=lsin θcos 2θ.又AE+BE=lsin θcos 2θ+lsin θ=6，
所以l=
===.
12.如图，在海岸线TO一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段TDBS，该曲线段是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，x∈[-4，0]的图象，图象的最高点为B(-1，2)，则曲线段TDBS对应的函数解析式为　　　　　　　.若曲线段TDBS上的入口D到海岸线TO的距离为千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路DO的长为　　　　千米.
答案　y=2sin，x∈[-4，0]　
解析　由图象知，A=2，=-1-(-4)=3 T==12 ω=.
当x=-1时，y=2sin=2，
所以-+φ=+2kπ，k∈Z，解得φ=+2kπ，k∈Z，又0<φ<π，
所以φ=，则曲线段TDBS对应的函数解析式为y=2sin，x∈[-4，0].
因为点D到海岸线TO的距离为千米，设D(xD，)，显然-4所以2sin=，即sin=，
所以xD+=+2kπ，k∈Z或xD+=+2kπ，k∈Z，解得xD=-2+12k，k∈Z或xD=12k，k∈Z，
又-4所以DO==.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)如图，已知某摩天轮的直径为100 m，最高点距离地面高度为110 m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，摩天轮运行时按逆时针方向匀速旋转，转一周需要12 min.
(1)游客甲从最低点Q坐上摩天轮的座舱，转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动过程中H关于t的函数解析式；(6分)
(2)已知游客在距离地面85 m时的高度能够获得最佳视觉效果，记某游客从坐上摩天轮到达到最佳视觉效果所经过的时间依次为t1，t2，t3，…，求t4.(6分)
解　(1)以摩天轮中心O为原点，与地面平行的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意，摩天轮的角速度ω==(rad/min)，
所以甲所在的位置的纵坐标y甲=50sin，
则H(t)=50sin+60=-50cost+60.
所以H关于t的函数解析式为
H(t)=-50cost+60(t≥0).
(2)令-50cost+60=85，
则cost=-.
所以t=+2kπ或t=+2kπ，k∈N，
所以t=4+12k或t=8+12k，k∈N，
可得当k=0时，t1=4，t2=8；当k=1时，t3=16，t4=20.
综上所述，该游客坐上摩天轮后第四次达到最佳视觉效果所经过的时间t4=20 min.
14.(12分)某中学在荣获省级多样化发展示范学校后，征得一块形状为扇形的土地用于建设新的田径场.如图，已知扇形圆心角∠AOB=，半径OA=120米，A，B关于x轴对称，若在该地截出内接矩形MNPQ建田径场，并保证矩形的一边平行于扇形弦AB，设∠POA=θ，记PQ=t.
(1)写出P，Q两点的坐标，并以θ为自变量，写出t关于θ的函数关系式；(6分)
(2)当θ为何值时，矩形田径场的面积S最大？并求出最大面积.(6分)
解　 (1)由题意得，OP=120米，∠POx=∠AOx-∠AOP=-θ，
所以P，120sin，
θ∈，
因为PQ∥x轴，
所以P，Q两点的纵坐标相同，
其中直线OA为y=tan·x=x，
将y=120sin代入，解得x=40sin，
故Q，θ∈，
所以t=120cos-40sin
=80
=80cos=80sin θ，θ∈.
(2)S=80sin θ×240sin
=19 200sin θsin
=19 200sin θ
=9 600
=9 600，
因为θ∈，所以2θ+∈，
所以当2θ+=，即θ=时，Smax=4 800，故当θ为时，矩形田径场的面积S最大，最大面积为4 800 平方米.
15.(13分)某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深数据，
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10 13 9.9 7 10 13 9.9 7 10
一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m时就是安全的.
(1)若有函数模型：y=at+b，y=Asin(ωt+φ)+K(A>0，ω>0)，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；(6分)
(2)如果船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(7分)
解　(1)函数模型y=Asin(ωt+φ)+K(A>0，ω>0)更好地刻画y与t之间的对应关系.
根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asin(ωt+φ)+K(A>0，ω>0)的图象.
从拟合曲线可知，函数y=Asin(ωt+φ)+K在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h)，此为半个周期，
∴函数的最小正周期为12，因此=12，ω=，
又当t=0时，y=10；当t=3时，ymax=13，
∴K=10，A=13-10=3，φ=2k'π(k'∈Z)，
∴所求函数的表达式y=3sint+10(0≤t≤24).
(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不小于4.5 m，故在船舶航行时，水深y应大于或等于7+4.5=11.5(m).
令y=3sint+10≥11.5，
可得sint≥，∴2kπ+≤t≤2kπ+(k∈N)，
∴12k+1≤t≤12k+5(k∈N)，
若取k=0，则1≤t≤5；取k=1，则13≤t≤17；
取k=2，则25≤t≤29(不符合题意，舍去).
∴当1≤t≤5与13≤t≤17时，船能够安全进港，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港，在港内停留的时间不能超过16 h.