周测27 第五章 三角函数 单元检测卷(五)（含解析）高中数学人教A版（2019）必修第一册

周测27　单元检测卷(五)
(时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.sin 10°cos 50°+sin 100°cos 40°等于(　　)
A. B.
C. D.
2.为了得到函数y=sin的图象，可以将函数y=sin的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
3.已知点P(cos 305°，sin 305°)，则点P位于第几象限(　　)
A.一 B.二
C.三 D.四
4.已知sin=，则cos等于(　　)
A.- B.-
C. D.
5.弓箭在中外历史上曾是威力无比的战争武器.其中英国长弓由于在英法战争中的突出作用成为单体木弓的代表.长弓与一般的复合弓不同，呈简单的圆弧形.制弓过程中让弓背逐步适应弯曲的过程被制弓匠称为“驯弓”.当达到适合的满弓开度(近似看作扇形)，这时弓背形成均匀弧线时，驯弓过程就完成了.上弦的长弓成品总长一般为1.7~1.9米之间.如图所示，现有未上弦的长弓长度L1约为 米(不含弓端镶包长度)，达到满弓时，近似为扇形OAB，半径约为0.9米.则这时长弓的弦长AB约为(≈1.41，≈1.73)(　　)
A.1.88米 B.1.73米
C.1.56米 D.1.27米
6.已知函数f(x)=sin 3(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在的最小值为(　　)
A.- B.-
C.0 D.
7.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，若函数f(x)在上的图象与直线y=2有且仅有一个交点，则ω的取值范围为(　　)
A.[2，5) B.[1，5)
C. D.
8.已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x+1，若存在x1，x2∈，且x1≠x2，满足f(x1)=f(x2)=，则cos(x2-x1)的值为(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列四个函数中，周期为π，且在区间上单调递增的有(　　)
A.y=|sin x| B.y=cos 2x
C.y=tan x D.y=cos
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与y轴交于点，且点为该图象最高点，则(　　)
A.f(x)=sin
B.f(x)图象的一个对称中心为
C.函数f(x)的图象向左平移个单位长度可得函数y=sin的图象
D.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
11.已知m为整数，若函数f(x)=sin x+cos x+1-sin 2x-在上有零点，则m的值可以为(　　)
A.0 B.2
C.4 D.6
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.设α是第三象限角，则的终边在第　　　　象限.
13.若函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)，θ∈[-π，0]是奇函数，则θ=　　　　.
14.若函数f(x)=tan x在区间上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知角α=-920°.
(1)把角α写成2kπ+β(0≤β<2π，k∈Z)的形式，并确定角α所在的象限；(6分)
(2)若角γ与角α的终边相同，且γ∈(-4π，-3π)，求角γ.(7分)
16.(15分)(1)化简f(α)=；(6分)
(2)已知关于x的方程2x2-bx+=0的两根分别为sin θ和cos θ，θ∈，求实数b的值以及sin θ-cos θ的值.(9分)
17.(15分)某同学用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表所示.
ωx+φ 0 π 2π
x
Asin(ωx+φ) 0 0 -2
(1)根据上表数据，直接写出函数f(x)的解析式，并求函数的最小正周期和f(x)在[0，2π]上的单调递减区间；(8分)
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.(7分)
18.(17分)某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0 ℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温(单位：℃)随时间t(0≤t≤24，单位：小时)的大致变化曲线，若该曲线近似满足函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0，ω>0，-π<φ<π).
(1)求y=f(t)的表达式；(9分)
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.(8分)
19.(17分)已知函数f(x)=sin xcos x-sin2x+.
(1)若存在x∈，使得f(x)≥a成立，求a的取值范围；(7分)
(2)将函数f(x)的图象上每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数y=g(x)+在区间内的所有零点之和.(10分)
周测27　单元检测卷(五)
(时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.sin 10°cos 50°+sin 100°cos 40°等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　sin 10°cos 50°+sin 100°cos 40°=sin 10°cos 50°+cos 10°sin 50°=sin 60°=.
2.为了得到函数y=sin的图象，可以将函数y=sin的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案　D
解析　因为y=sin=sin 2，y=sin=sin 2，且-=-，
所以由函数y=sin的图象转化为函数y=sin的图象需要向右平移个单位长度.
3.已知点P(cos 305°，sin 305°)，则点P位于第几象限(　　)
A.一 B.二
C.三 D.四
答案　D
解析　因为270°<305°<360°，所以305°为第四象限角，
所以cos 305°>0，sin 305°<0，所以点P(cos 305°，sin 305°)位于第四象限.
4.已知sin=，则cos等于(　　)
A.- B.-
C. D.
答案　D
解析　因为sin=，所以cos=1-2sin2=1-2×=.
5.弓箭在中外历史上曾是威力无比的战争武器.其中英国长弓由于在英法战争中的突出作用成为单体木弓的代表.长弓与一般的复合弓不同，呈简单的圆弧形.制弓过程中让弓背逐步适应弯曲的过程被制弓匠称为“驯弓”.当达到适合的满弓开度(近似看作扇形)，这时弓背形成均匀弧线时，驯弓过程就完成了.上弦的长弓成品总长一般为1.7~1.9米之间.如图所示，现有未上弦的长弓长度L1约为 米(不含弓端镶包长度)，达到满弓时，近似为扇形OAB，半径约为0.9米.则这时长弓的弦长AB约为(≈1.41，≈1.73)(　　)
A.1.88米 B.1.73米
C.1.56米 D.1.27米
答案　C
解析　由题意得的长为，OA=0.9，设∠AOB=2α，则=0.9×2α，解得α=，则弦长AB=2×0.9×sin=1.8×≈1.56(米).
6.已知函数f(x)=sin 3(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在的最小值为(　　)
A.- B.-
C.0 D.
答案　A
解析　依题意，f(x)=sin(3ωx+π)=-sin 3ωx，由f(x)的最小正周期为π，又ω>0，得=π，解得ω=，
则f(x)=-sin 2x，当x∈时，2x∈，
所以f(x)=-sin 2x在上单调递减，
所以当x=时，f(x)min=-sin=-.
7.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，若函数f(x)在上的图象与直线y=2有且仅有一个交点，则ω的取值范围为(　　)
A.[2，5) B.[1，5)
C. D.
答案　D
解析　因为函数f(x)=2sin ωx(ω>0)的图象关于原点对称，并且在区间上单调递增，
所以≤，所以T≥，
又得0<ω≤，
令f(x)=2sin ωx=2，得x=+(k∈Z)，
所以f(x)在(0，+∞)上的图象与直线y=2的第一个交点的横坐标为，
第二个交点的横坐标为+，
所以≤<+，解得1≤ω<5，
综上所述，ω的取值范围为.
8.已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x+1，若存在x1，x2∈，且x1≠x2，满足f(x1)=f(x2)=，则cos(x2-x1)的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　函数f(x)=sin 2x+cos 2x+1=sin(2x+φ)+1，其中cos φ=，sin φ=，φ∈，
因为x1，x2是f(x)=在上的两个不相等的实根，
又f(0)=0+1+1=2，f=0-1+1=0，
则f(x)在内有对称轴x=x0满足2x0+φ=，即2x0=-φ，
故有x1+x2=2x0=-φ，则x1=-φ-x2，
那么cos(x2-x1)=cos=cos=sin(2x2+φ)，
由f(x2)=sin(2x2+φ)+1=，
知sin(2x2+φ)==.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列四个函数中，周期为π，且在区间上单调递增的有(　　)
A.y=|sin x| B.y=cos 2x
C.y=tan x D.y=cos
答案　BC
解析　当x∈时，sin x>0，
所以y=|sin x|=sin x，
但是y=sin x在上单调递减，
所以y=|sin x|在上单调递减，故A错误；
函数y=cos 2x的最小正周期T==π，
当x∈时，2x∈(π，2π)，
又y=cos x在(π，2π)上单调递增，
所以y=cos 2x在上单调递增，故B正确；
函数y=tan x的最小正周期为π且在上单调递增，故C正确；
函数y=cos的最小正周期T==4π，故D错误.
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与y轴交于点，且点为该图象最高点，则(　　)
A.f(x)=sin
B.f(x)图象的一个对称中心为
C.函数f(x)的图象向左平移个单位长度可得函数y=sin的图象
D.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
答案　AB
解析　因为点为该图象最高点，所以A=1，又函数f(x)的图象与y轴交于点，则f(0)=sin φ=-，又|φ|<，所以φ=-，则f(x)=sin，f=sin=1，
则-=+2kπ，k∈Z，所以ω=2+6k，k∈Z，
由图可知，=>，即0<ω<3，所以ω=2，所以f(x)=sin，故A正确；
因为f=sin 0=0，所以f(x)图象的一个对称中心为，故B正确；
函数f(x)的图象向左平移个单位长度可得y=sin=sin的图象，
故C错误；
因为f=sin=0不是最值，所以x=不是函数f(x)图象的一条对称轴，故D错误.
11.已知m为整数，若函数f(x)=sin x+cos x+1-sin 2x-在上有零点，则m的值可以为(　　)
A.0 B.2
C.4 D.6
答案　ABC
解析　因为x∈，设t=sin x+cos x=sin∈，则sin xcos x=，
令f(x)=0，则=t+1-(t2-1)，即=-t2+t+2=-+∈，所以m∈.
故m的值可以为0，2，4.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.设α是第三象限角，则的终边在第　　　　象限.
答案　二或四
解析　因为α是第三象限角，所以π+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z，所以+kπ<<π+kπ，k∈Z，
当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角.
13.若函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)，θ∈[-π，0]是奇函数，则θ=　　　　.
答案　-
解析　因为f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)
=2
=2
=2cos，且是奇函数，
则-θ+=kπ+，k∈Z，即θ=-kπ-，k∈Z，又θ∈[-π，0]，所以θ=-.
14.若函数f(x)=tan x在区间上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(0，1]
解析　因为>-，所以a>0，所以解得0四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知角α=-920°.
(1)把角α写成2kπ+β(0≤β<2π，k∈Z)的形式，并确定角α所在的象限；(6分)
(2)若角γ与角α的终边相同，且γ∈(-4π，-3π)，求角γ.(7分)
解　 (1)∵α=-920°=-3×360°+160°，160°=，
∴α=(-3)×2π+，
∵角α与终边相同，∴角α位于第二象限.
(2)∵角γ与角α的终边相同，
∴设γ=2kπ+(k∈Z)，
∵γ∈(-4π，-3π)，
∴-4π<2kπ+<-3π，解得-又k∈Z，∴k=-2，
∴γ=-4π+=-.
16.(15分)(1)化简f(α)=；(6分)
(2)已知关于x的方程2x2-bx+=0的两根分别为sin θ和cos θ，θ∈，求实数b的值以及sin θ-cos θ的值.(9分)
解　(1)f(α)===-sin α，
即f(α)=-sin α.
(2)因为关于x的方程2x2-bx+=0的两根分别为sin θ和cos θ，
所以sin θ+cos θ=，sin θcos θ=，
所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ==，所以b=±，
因为θ∈，所以sin θ>0，cos θ>0，且sin θ>cos θ，所以b=，
sin θ-cos θ====.
17.(15分)某同学用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表所示.
ωx+φ 0 π 2π
x
Asin(ωx+φ) 0 0 -2
(1)根据上表数据，直接写出函数f(x)的解析式，并求函数的最小正周期和f(x)在[0，2π]上的单调递减区间；(8分)
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.(7分)
解　(1)根据“五点法”的表格得，f(x)=2sin，所以f(x)的最小正周期T==π.
令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
又x∈[0，2π]，所以≤x≤或≤x≤，
即f(x)在[0，2π]上的单调递减区间为，.
(2)由于-≤x≤0，即-π≤2x+≤，
所以-1≤sin≤，
所以-2≤2sin≤，
所以f(x)的最小值为-2，最大值为.
18.(17分)某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0 ℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温(单位：℃)随时间t(0≤t≤24，单位：小时)的大致变化曲线，若该曲线近似满足函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0，ω>0，-π<φ<π).
(1)求y=f(t)的表达式；(9分)
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.(8分)
解　(1)由题意，得解得
又=15-3=12，ω>0，
所以T==24，
所以ω=，
因为f(t)=8sin+4的图象过点(15，12)，
则12=8sin+4，即sin=1，
所以+φ=+2k'π，k'∈Z，即φ=-+2k'π，k'∈Z，
又-π<φ<π，所以φ=-，
所以f(t)=8sin+4(0≤t≤24).
(2)根据题设，令8sin+4<0，
即sin<-，
所以+2kπ解得23+24k又因为0≤t≤24，
当k=-1时，0≤t<7；
当k=0时，23所以当0≤t<7或23所以该商场的中央空调在一天内开启的时长为8小时.
19.(17分)已知函数f(x)=sin xcos x-sin2x+.
(1)若存在x∈，使得f(x)≥a成立，求a的取值范围；(7分)
(2)将函数f(x)的图象上每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数y=g(x)+在区间内的所有零点之和.(10分)
解　(1)∵f(x)=sin 2x+cos 2x=sin，
∴若存在x∈，使得f(x)≥a成立，则只需f(x)max≥a即可，
∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，
∴当2x+=，即x=时，f(x)有最大值1，∴a≤1，即a的取值范围为(-∞，1].
(2)∵将函数f(x)的图象上每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到函数g(x)的图象，
∴g(x)=sin，令g(x)+=0，∴sin=-，
∵-≤x≤，∴-≤4x+≤，∴函数y=sin+在上有4个零点，设零点为x1，x2，x3，x4，且x1则根据正弦函数图象的对称性有=-，=，∴x1+x2+x3+x4=.