周测28　必修 第一册综合质量评估卷（含解析）高中数学人教A版（2019）必修第一册

周测28　综合质量评估卷
(时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，2，4，5}，集合B={2，3，4}，则如图所示的阴影部分表示的集合为(　　)
A.{2，4} B.{0，3，5}
C.{0，1，3，5} D.{0，2，3，4，5}
2.函数f(x)=2x+2x-7的零点所在的区间为(　　)
A.(1，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，5)
3.设0<α<，0<β<，则“sin 2α=sin 2β”是“α=β”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.函数f(x)=(4-x2)ln|-x|的大致图象是(　　)
5.已知幂函数f(x)=xm-2(m∈N)的图象关于原点对称，且在(0，+∞)上单调递减，若<，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.(-∞，-1)∪
6.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，若f(x)在区间(0，1)上单调递增，a=f(ln 2)，b=f，c=f，则(　　)
A.bC.a7.若函数f(x)=4sin ωxsin-1(ω>0)在(0，2π)上有且仅有三个零点，则实数ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时，f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，1] B.[-2，1]
C.[-1，2] D.[-1，+∞)
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列命题中为真命题的是(　　)
A.若ac>bc，则a>b
B.若a>b，c<0，则acC.若a>b，c>d，则a-c>b-d
D.若a>b且>，则ab<0
10.以下结论正确的是(　　)
A.函数y=sin x+的最小值为4
B.函数y=(x≥1)的值域为
C.函数y=2x+的值域为
D.函数y=的值域为(0，1)
11.已知函数f(x)=cos 2x+asin x，a≠0，则(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.当a=1时，函数f(x)的值域为
C.当a=-2时，函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
D.若a=1，函数f(x)在区间(0，kπ)(k∈Z)内恰有2 025个零点，则k=1 350
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.命题“ x>0，使得ex≥x+2”的否定是　　　　.
13.表观活化能的概念最早是针对Arrhenius(阿伦尼乌斯)公式k=A中的参量Ea提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能，Arrhenius公式中的k为反应速率常数，R为摩尔气体常量，T为热力学温度(单位为开尔文，简称开)，A(A>0)为阿伦尼乌斯常数.已知某化学反应的温度每增加10开，反应速率常数k变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时，=　　　　.(参考数据：ln 2≈0.7)
14.函数f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.若函数f(x)=log2(+tx)-(t>0)的图象关于点(0，-1)成中心对称图形，则实数t的值为　　　　，若f(2m2)+f(m-3)>-2，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)计算下列各题.
(1)log2+log212-log242-；(6分)
(2)4×-×80.25+(-2 026)0.(7分)
16.(15分)已知关于x的不等式ax2-3x+2≤0的解集为A={x|1≤x≤b}，集合B={x|m-1(1)求实数m的取值范围；(7分)
(2)当bx+ay=2时， x>0，y>0，+≥2k2+2k+1恒成立，求实数k的取值范围.(8分)
17.(15分)已知函数f(x)=sin xcos x+cos2x+m.
(1)求f(x)的单调递减区间；(7分)
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求使不等式f(x)≥0成立的x的取值集合.(8分)
18.(17分)已知函数f(x)=ln.
(1)求证：函数f(x)为奇函数；(4分)
(2)求函数f(x)的单调区间；(4分)
(3)若函数g(x)=f(x)-3|ln x|，求证：函数g(x)恰有两个零点m，n，且m+n>2.(9分)
19.(17分)新能源电动汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80 km/h.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量Q(单位：W·h)与速度v(单位：km/h)的数据如表所示：
v 0 20 40 80
Q 0 1 800 5 600 21 600
若该纯电动汽车在国道上行驶时每小时耗电量Q与速度v的关系，可用Q(v)=(v+40)3+av2-10v+b表示.
(1)求出函数Q(v)的表达式；(5分)
(2)现有一辆同型号纯电动汽车从甲地出发经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶300 km到乙地，已知该纯电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量M(v)=(单位：W·h)，出发前汽车电池存量为35 000 W·h，汽车到达乙地后至少要保留5 000 W·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计).
①若出发前和行驶路途中都不充电，该电动汽车能否到达乙地？请说明理由；(6分)
②已知该高速公路上服务区有功率为15 000 W的充电桩(充电量=充电功率×充电时间)，求该电动汽车从甲地到达乙地所用时间的最小值(若不需充电，即求行驶时间的最小值；若需要充电，即求行驶时间与充电时间之和的最小值).(6分)
(参考数据：≈5.83)
周测28　综合质量评估卷
(时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，2，4，5}，集合B={2，3，4}，则如图所示的阴影部分表示的集合为(　　)
A.{2，4} B.{0，3，5}
C.{0，1，3，5} D.{0，2，3，4，5}
答案　C
解析　因为集合A={0，2，4，5}，集合B={2，3，4}，所以A∩B={2，4}，由题图可知，阴影部分表示的集合为 U(A∩B)={0，1，3，5}.
2.函数f(x)=2x+2x-7的零点所在的区间为(　　)
A.(1，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，5)
答案　A
解析　因为函数y1=2x，y2=2x-7均为增函数，所以函数f(x)=2x+2x-7也为增函数.
又f(1)=-3<0，f(2)=1>0，所以由函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点所在的区间为(1，2).
3.设0<α<，0<β<，则“sin 2α=sin 2β”是“α=β”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由0<α<，0<β<，得0<2α<π，0<2β<π，由sin 2α=sin 2β且结合正弦函数图象在[0，π]上的性质可知，2α=2β或2α+2β=π，所以sin 2α=sin 2β不一定推出α=β，但α=β可以推出sin 2α=sin 2β，于是“sin 2α=sin 2β”是“α=β”的必要不充分条件.
4.函数f(x)=(4-x2)ln|-x|的大致图象是(　　)
答案　B
解析　由题意得f(x)=(4-x2)ln|-x|=因为f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，故排除A，D；
当x>0时，令f(x)=0，得x=1或x=2，
当02时，f(x)<0，当10，故选B.
5.已知幂函数f(x)=xm-2(m∈N)的图象关于原点对称，且在(0，+∞)上单调递减，若<，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.(-∞，-1)∪
答案　B
解析　根据幂函数f(x)=xm-2(m∈N)的图象关于原点对称，且在(0，+∞)上单调递减可知，m-2<0且m-2为奇数，因为m∈N，故m=1，代入<得，<，则解得6.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，若f(x)在区间(0，1)上单调递增，a=f(ln 2)，b=f，c=f，则(　　)
A.bC.a答案　D
解析　因为定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，
所以c=f=f=f.
因为0<<，
又ln 2ln=，
所以0<<因为f(x)在(0，1)上单调递增，
所以f即f7.若函数f(x)=4sin ωxsin-1(ω>0)在(0，2π)上有且仅有三个零点，则实数ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　f(x)=4sin ωxsin-1=4sin ωx-1=2sin2ωx+2sin ωxcos ωx-1=sin 2ωx-cos 2ωx=2=2sin(ω>0)，
由x∈(0，2π)可得，2ωx-∈，
又函数f(x)=4sin ωxsin-1(ω>0)在(0，2π)上有且仅有三个零点，
则2π<4ωπ-≤3π，
解得<ω≤.
8.已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时，f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，1] B.[-2，1]
C.[-1，2] D.[-1，+∞)
答案　B
解析　f(x)=x|x-a|-2a2=
若a>2，当2所以f(x)<0，不符合题意；
若02时，f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0，解得x>2a，
则2a≤2，即0若a=0，当x>2时，f(x)=x2>0恒成立，符合题意；
若a<0，当x>2时，f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0，解得x>-a，
则-a≤2，即-2≤a<0.
综上，-2≤a≤1，故a的取值范围是[-2，1].
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列命题中为真命题的是(　　)
A.若ac>bc，则a>b
B.若a>b，c<0，则acC.若a>b，c>d，则a-c>b-d
D.若a>b且>，则ab<0
答案　BD
解析　由于ac>bc，若c<0，则a因为在不等式两边同时乘以同一个负数，不等号改变方向，所以若a>b，c<0，则ac取a=1，b=-2，即a>b，取c=2，d=-4，即c>d，由于a-c=-1，b-d=2 a-c因为> ->0 >0，若a>b，则b-a<0，所以ab<0，故D正确.
10.以下结论正确的是(　　)
A.函数y=sin x+的最小值为4
B.函数y=(x≥1)的值域为
C.函数y=2x+的值域为
D.函数y=的值域为(0，1)
答案　BCD
解析　对于A，当sin x=-1时，y=-5，A错误；
对于B， y=·=，则y=在[1，+∞)上单调递增，-≤y<，B正确；
对于C，y=2(x-1)++2=-2()2++2=-2+，
而≥0，当=时，ymax=，则原函数的值域为，C正确；
对于D，2x+1>1，则0<<1，因此函数y=的值域为(0，1)，D正确.
11.已知函数f(x)=cos 2x+asin x，a≠0，则(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.当a=1时，函数f(x)的值域为
C.当a=-2时，函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
D.若a=1，函数f(x)在区间(0，kπ)(k∈Z)内恰有2 025个零点，则k=1 350
答案　ABD
解析　因为函数y=cos 2x的最小正周期为T1==π，
函数y=asin x(a≠0)的最小正周期为T2=2π，
故函数f(x)的最小正周期为2π，故A对；
当a=1时，f(x)=cos 2x+sin x=-2sin2x+sin x+1，
令t=sin x，t∈[-1，1]，
设y=-2t2+t+1=-2+，t∈[-1，1]，
当t=时，ymax=；
当t=-1时，y=-2-1+1=-2；
当t=1时，y=0，
所以ymin=-2，
所以当a=1时，函数f(x)的值域为，故B对；
当a=-2时，f(x)=cos 2x-2sin x
=-2sin2x-2sin x+1
=-2+，
令u=sin x，则-1≤u≤1，
令y=-2+，-1≤u≤1，
其单调递增区间为，单调递减区间为，
当-1≤u≤-且u=sin x单调递增时，函数f(x)单调递增，
所以2kπ-≤x≤2kπ-(k∈Z)；
当-≤u≤1且u=sin x单调递减时，函数f(x)单调递增，
所以2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).
综上所述，当a=-2时，函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，(k∈Z)，故C错；
当a=1时，令f(x)=cos 2x+sin x=-2sin2x+sin x+1=0，
解得sin x=1或sin x=-，
由于函数f(x)的最小正周期为2π，且f(2π)=1，
现在考虑函数f(x)在(0，2π)上的零点个数，
由sin x=1可得x=，
由sin x=-可得x=或x=，
所以函数f(x)在(0，2π)上的零点个数为3，
因为2 025÷3=675，故k=2×675=1 350，故D对.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.命题“ x>0，使得ex≥x+2”的否定是　　　　.
答案　 x>0，使得ex13.表观活化能的概念最早是针对Arrhenius(阿伦尼乌斯)公式k=A中的参量Ea提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能，Arrhenius公式中的k为反应速率常数，R为摩尔气体常量，T为热力学温度(单位为开尔文，简称开)，A(A>0)为阿伦尼乌斯常数.已知某化学反应的温度每增加10开，反应速率常数k变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时，=　　　　.(参考数据：ln 2≈0.7)
答案　8 400
解析　根据题意，温度每增加10开，反应速率常数k变为原来的2倍，
则当温度从300开上升到400开时，反应速率常数k变为300开时的210倍，由k=A得，
当T=300开时，k1=A，
当T=400开时，k2=A，
所以==210，即=210，
即==210，
所以=10ln 2，
所以=12 000ln 2 ≈12 000×0.7=8 400.
14.函数f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.若函数f(x)=log2(+tx)-(t>0)的图象关于点(0，-1)成中心对称图形，则实数t的值为　　　　，若f(2m2)+f(m-3)>-2，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　　.
答案　1　∪(1，+∞)
解析　由函数f(x)=log2(+tx)-(t>0)的图象关于点(0，-1)中心对称，
得g(x)=f(x)+1为奇函数，又g(x)=log2(+tx)-+1(t>0)，
g(-x)=log2(-tx)-+1
=log2(-tx)-+1，g(x)+g(-x)=0，
则log2(+tx)-+1+log2(-tx)-+1=0，
所以log2[(+tx)(-tx)]-2=0，
所以log2(x2+4-t2x2)-2=0，即(1-t2)x2+4=4，所以t2=1，
又t>0，所以t=1.
故函数f(x)=log2(+x)-，
g(x)=log2(+x)-+1，
因为y=log2(+x)+1，y=-在[0，+∞)上单调递增，
所以g(x)=log2(+x)-+1在[0，+∞)上单调递增，
又因为g(x)是奇函数，且定义域为R，
所以函数g(x)在R上单调递增，对于f(2m2)+f(m-3)>-2，
有f(2m2)+1>-[f(m-3)+1] g(2m2)>-g(m-3)=g(3-m)，
只需2m2>3-m，即2m2+m-3>0，
解得m>1或m<-，
故实数m的取值范围是∪(1，+∞).
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)计算下列各题.
(1)log2+log212-log242-；(6分)
(2)4×-×80.25+(-2 026)0.(7分)
解　(1)log2+log212-log242-
=log2+log212-log2-2·
=log2-2×3=log2-6=--6=-.
(2)4×-×80.25+(-2 026)0=4×-×+1=7-2+1=6.
16.(15分)已知关于x的不等式ax2-3x+2≤0的解集为A={x|1≤x≤b}，集合B={x|m-1(1)求实数m的取值范围；(7分)
(2)当bx+ay=2时， x>0，y>0，+≥2k2+2k+1恒成立，求实数k的取值范围.(8分)
解　(1)由题意知，A≠ 且B≠ ，
∴1和b是关于x的方程ax2-3x+2=0的两个实数根，且a>0，
∴解得∴A={x|1≤x≤2}.
∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
∴A是B的真子集，而B={x|m-1∴解得-故实数m的取值范围为.
(2)由(1)可得2x+y=2，
又x>0，y>0，
∴+=+=+=++≥2+=，
当且仅当=，即x=y=时，等号成立，
此时+取得最小值.
依题意有2k2+2k+1≤，
即2k2+2k+1≤，
整理得4k2+4k-3≤0，解得-≤k≤，
∴实数k的取值范围为.
17.(15分)已知函数f(x)=sin xcos x+cos2x+m.
(1)求f(x)的单调递减区间；(7分)
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求使不等式f(x)≥0成立的x的取值集合.(8分)
解　(1)由题意得，f(x)=sin xcos x+cos2x+m=sin 2x++m=sin 2x+cos 2x+m+=sin+m+，
当+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z时，函数f(x)单调递减，
所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)因为当0≤x≤时，≤2x+≤，
所以当2x+=，即x=时，f(x)max=1+m+=，解得m=-1，
所以f(x)=sin-，
由f(x)≥0得，sin≥，
所以+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，即kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以x的取值集合为.
18.(17分)已知函数f(x)=ln.
(1)求证：函数f(x)为奇函数；(4分)
(2)求函数f(x)的单调区间；(4分)
(3)若函数g(x)=f(x)-3|ln x|，求证：函数g(x)恰有两个零点m，n，且m+n>2.(9分)
(1)证明　f(x)=ln，
定义域为{x|x≠±1}，定义域关于原点对称，f(-x)=ln，
则f(x)+f(-x)=ln+ln=ln=ln 1=0，
故f(-x)=-f(x)，故函数f(x)为奇函数.
(2)解　当x∈(-1，1)时，f(x)=ln=ln，
令h(x)===-1=--1(x≠1)，
所以h(x)在(-1，1)上单调递增，
又y=ln x在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)在(-1，1)上单调递增；
当x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)时，f(x)=ln=ln，
令q(x)==1+(x≠1)，
所以q(x)在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递减，
又y=ln x在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递减.
综上，f(x)的单调递增区间为(-1，1)，单调递减区间为(-∞，-1)，(1，+∞).
(3)证明　由题意得函数g(x)=ln-3|ln x|=
由(2)可得函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
在区间(0，1)上，g(x)满足g=ln<0，
g=ln>0，
由函数零点存在定理可知g(x)在区间(0，1)上有一个零点；
在区间(1，+∞)上，g(x)满足g(2)=ln<0，
g=ln>0，
由函数零点存在定理可知g(x)在区间(1，+∞)上有一个零点，
所以函数g(x)恰有两个零点.
设函数g(x)的两个零点分别为m，n，
又g=ln-3=ln-3|ln m|=g(m)，
则也是函数g(x)的零点，
又g(x)恰有两个零点m，n，
所以n=且m≠n，
因此m+n>2=2.
19.(17分)新能源电动汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80 km/h.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量Q(单位：W·h)与速度v(单位：km/h)的数据如表所示：
v 0 20 40 80
Q 0 1 800 5 600 21 600
若该纯电动汽车在国道上行驶时每小时耗电量Q与速度v的关系，可用Q(v)=(v+40)3+av2-10v+b表示.
(1)求出函数Q(v)的表达式；(5分)
(2)现有一辆同型号纯电动汽车从甲地出发经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶300 km到乙地，已知该纯电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量M(v)=(单位：W·h)，出发前汽车电池存量为35 000 W·h，汽车到达乙地后至少要保留5 000 W·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计).
①若出发前和行驶路途中都不充电，该电动汽车能否到达乙地？请说明理由；(6分)
②已知该高速公路上服务区有功率为15 000 W的充电桩(充电量=充电功率×充电时间)，求该电动汽车从甲地到达乙地所用时间的最小值(若不需充电，即求行驶时间的最小值；若需要充电，即求行驶时间与充电时间之和的最小值).(6分)
(参考数据：≈5.83)
解　(1)由题意可得
解得
所以Q(v)=(v+40)3+v2-10v-800，经检验符合题意，
故Q(v)=(v+40)3+v2-10v-800(0≤v≤80).
(2)M(v)==
=v2+25v+2 000，60≤v≤120，
设总耗电量为f(v)，则f(v)=M(v)·=×300
=×1 500(60≤v≤120).
①任取60≤v1f(v1)-f(v2)=×1 500-×1 500
=(v1-v2)×1 500，
由60≤v13 600，
则有f(v1)-f(v2)<0，
即f(v1)所以函数f(v)在区间[60，120]上单调递增，
所以f(v)min=f(60)=40 000>35 000-5 000，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车若不充电不能到达乙地.
②由①知该车需要充电，设行驶时间与充电时间分别为t1，t2，总和为t，
若能到达乙地，则初始电量+充电电量-消耗电量≥保障电量，即35 000+15 000t2-f(v)≥5 000，
所以35 000+15 000t2-×1 500≥5 000，
解得t2≥+-，
所以总时间t=t1+t2≥++-=+-≥2-≈4.33，
当且仅当=，即v≈116.6 km/h时取等号，
所以当v≈116.6 km/h时，该汽车从甲地到达乙地的用时最少，约为4.33 h.