数据的波动程度
一、学习目标及重、难点：
1、了解方差的定义和计算公式.
2、理解方差概念的产生和形成的过程.
3、会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小.
重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题.
难点：理解方差公式
二、自主学习：
知识我先懂：
方差：设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是_____我们用它们的平均数，表示这组数据的方差：即用_____来表示.
给力小贴士：方差越小说明这组数据越__.波动性越___.
自主检测小练习：
1、已知一组数据为2、0、-1、3、-4，则这组数据的方差为___.
2、甲、乙两组数据如下：
甲组：10 9 11 8 12 13 10 7；
乙组：7 8 9 10 11 12 11 12．
分别计算出这两组数据的极差和方差，并说明哪一组数据波动较小．
三、新课讲解：
引例：问题：从甲、乙两种农作物中各抽取10株苗，分别测得它的苗高如下：（单位：cm）
甲：9、10、10、13、7、13、10、8、11、8；
乙：8、13、12、11、10、12、7、7、10、10；
问：（1）哪种农作物的苗长的比较高（我们可以计算它们的平均数：=___）
（2）哪种农作物的苗长得比较整齐？（我们可以计算它们的极差，你发现了___）
归纳：方差：设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是_____我们用它们的平均数，表示这组数据的方差：即用______来表示.
（一）例题讲解：
例1、段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示，谁的成绩比较稳定？为什么？
测试次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
段巍
13
14
13
12
13
金志强
10
13
16
14
12
给力提示：先求平均数，在利用公式求解方差.
小试身手
1、甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4
乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7
经过计算，两人射击环数的平均数是，但S=____，S=____，则S____S，所以确定_____去参加比赛.
2、求下列数据的众数：
（1）3，2，5，3，1，2，3（2）5，2，1，5，3，5，2，2
3、8年级一班46个同学中，13岁的有5人，14岁的有20人，15岁的15人，16岁的6人.8年级一班学生年龄的平均数，中位数，众数分别是多少？
课堂小结
方差公式：______________
给力提示：方差越小说明这组数据越_____.波动性越______.
四、每课一首诗：
求方差，有公式；先平均，再求差；
求平方，再平均；所得数，是方差.
五、课堂检测：
小爽和小兵在10次百米跑步练习中成绩如表所示：（单位：秒）
小爽
10.8
10.9
11.0
10.7
11.1
11.1
10.8
11.0
10.7
10.9
小兵
10.9
10.9
10.8
10.8
11.0
10.9
10.8
11.1
10.9
10.8
如果根据这几次成绩选拔一人参加比赛，你会选谁呢？
数据的波动程度
学习目标
1、了解方差的定义和计算公式.
2、理解方差概念的产生和形成的过程.
3、会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小.
4、经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验.
学习重、难点
重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题.掌握其求法.
难点：理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断.
学习过程
一、情景创设：
乒乓球的标准直径为40mm，质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检测.结果如下（单位：mm）：
A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；
B厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2.
你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢？
（1）请你算一算它们的平均数和极差.
（2）是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？
今天我们一起来探索这个问题.
探索活动：通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感.怎样用一个量来描述这两组数据偏离平均数的大小呢？
算一算：先计算这两组数据中每个数据与平均数的差.
A厂
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
数据
40.0
39.9
40.0
40.1
40.2
39.8
40.0
39.9
40.0
40.1
与平均数的差
B厂
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
数据
39.8
40.2
39.8
40.2
39.9
40.1
39.8
40.2
39.8
40.2
与平均数的差
把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加.
想一想：你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？
二、新知讲授：
（一）方差
定义：设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，…，我们用它们的平均数，即用
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差（variance），记作.
意义：用来衡量一批数据的波动大小
在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大， 越不稳定
归纳：（1）研究离散程度可用
（2）方差应用更广泛衡量一组数据的波动大小
（3）方差主要应用在平均数相等或接近时
（4）方差大波动大，方差小波动小，一般选波动小的
三、例题讲解
例1 填空题；
（1）一组数据：-2，-1，0，，1的平均数是0，则= .方差 .
（2）如果样本方差，那么这个样本的平均数为 .样本容量为 .
例2 选择题：
（1）样本方差的作用是（ ）
A、估计总体的平均水平
B、表示样本的平均水平
C、表示总体的波动大小
D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小
（2）一个样本的方差是0，若中位数是a，那么它的平均数是（ ）
A、等于a
B、不等于a
C、大于a
D、小于a
（3）已知样本数据101，98，102，100，99，则这个样本的标准差是（ ）
A、0
B、1
C、
D、2
（4）如果给定数组中每一个数都减去同一非零常数，则数据的（ ）
A、平均数改变，方差不变
B、平均数改变，方差改变
C、平均数不变，方差不变
D、平均数不变，方差改变
例3为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下：（单位：mm）
甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8
乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11
请你经过计算后回答如下问题：
（1）哪种农作物的10株苗长的较高？
（2）哪种农作物的10株苗长的较整齐？
四、随堂练习
段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示，谁的成绩比较稳定？为什么？
测试次数
1
2
3
4
5
段巍
13
14
13
12
13
金志强
10
13
16
14
12
五、小结
1、方差与标准差的公式.
2、方差或标准差越大，数据的波动越大，方差或标准差越小，数据的波动越小.
数据的波动程度
一.教学目标：
1.了解方差的定义和计算公式.
2.理解方差概念的产生和形成的过程.
3.会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小.
二.重点、难点和难点的突破方法：
1.重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题.
2.难点：理解方差公式
3.难点的突破方法：
方差公式：S=[（-）+（-）+…+（-）]比较复杂，学生理解和记忆这个公式都会有一定困难，以致应用时常常出现计算的错误，为突破这一难点，我安排了几个环节，将难点化解.
（1）首先应使学生知道为什么要学习方差和方差公式，目的不明确学生很难对本节课内容产生兴趣和求知欲望.教师在授课过程中可以多举几个生活中的小例子，不如选择仪仗队队员、选择运动员、选择质量稳定的电器等.学生从中可以体会到生活中为了更好的做出选择判断经常要去了解一组数据的波动程度，仅仅知道平均数是不够的.
（2）波动性可以通过什么方式表现出来？第一环节中点明了为什么去了解数据的波动性，第二环节则主要使学生知道描述数据，波动性的方法.可以画折线图方法来反映这种波动大小，可是当波动大小区别不大时，仅用画折线图方法去描述恐怕不会准确，这自然希望可以出现一种数量来描述数据波动大小，这就引出方差产生的必要性.
（3）第三环节 教师可以直接对方差公式作分析和解释，波动大小指的是与平均数之间差异，那么用每个数据与平均值的差完全平方后便可以反映出每个数据的波动大小，整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小求平均值得到.所以方差公式是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量，教师也可以根据学生程度和课堂时间决定是否介绍平均差等可以反映数据波动大小的其他统计量.
三.例习题的意图分析：
1.教材P125的讨论问题的意图：
（1）创设问题情境，引起学生的学习兴趣和好奇心.
（2）为引入方差概念和方差计算公式作铺垫.
（3）介绍了一种比较直观的衡量数据波动大小的方法——画折线法.
（4）客观上反映了在解决某些实际问题时，求平均数或求极差等方法的局限性，使学生体会到学习方差的意义和目的.
2.教材P154例1的设计意图：
（1）例1放在方差计算公式和利用方差衡量数据波动大小的规律之后，不言而喻其主要目的是及时复习，巩固对方差公式的掌握.
（2）例1的解题步骤也为学生做了一个示范，学生以后可以模仿例1的格式解决其他类似的实际问题.
四.课堂引入：
除采用教材中的引例外，可以选择一些更时代气息、更有现实意义的引例.例如，通过学生观看2004年奥运会刘翔勇夺110米栏冠军的录像，进而引导教练员根据平时比赛成绩选择参赛队员这样的实际问题上，这样引入自然而又真实，学生也更感兴趣一些.
五.例题的分析：
教材P154例1在分析过程中应抓住以下几点：
1.题目中“整齐”的含义是什么？说明在这个问题中要研究一组数据的什么？学生通过思考可以回答出整齐即波动小，所以要研究两组数据波动大小，这一环节是明确题意.
2.在求方差之前先要求哪个统计量，为什么？学生也可以得出先求平均数，因为公式中需要平均值，这个问题可以使学生明确利用方差计算步骤.
3.方差怎样去体现波动大小？
这一问题的提出主要复习巩固方差，反映数据波动大小的规律.
六.随堂练习：
1. 从甲、乙两种农作物中各抽取1株苗，分别测得它的苗高如下：（单位：cm）
甲：9、10、11、12、7、13、10、8、12、8；
乙：8、13、12、11、10、12、7、7、9、11；
问：（1）哪种农作物的苗长的比较高？
（2）哪种农作物的苗长得比较整齐？
2.段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示，谁的成绩比较稳定？为什么？
测试次数
1
2
3
4
5
段巍
13
14
13
12
13
金志强
10
13
16
14
12
参考答案：1.（1）甲、乙两种农作物的苗平均高度相同；（2）甲整齐
2.段巍的成绩比金志强的成绩要稳定.
七.课后练习：
1.已知一组数据为2、0、-1、3、-4，则这组数据的方差为 .
2.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4
乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7
经过计算，两人射击环数的平均数相同，但S S，所以确定 去参加比赛.
3.甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是（ ）
甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4
乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1
分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？
数据的波动程度
教学目标
了解样本方差、总体方差、样本标准差的意义.
理解频数、频率的概念．了解频率分布的意义和作用.
重点难点分析
重点
1．方差的理解和计算.
2．频率分布的意义和如何得出一组数据的频率分布，因为在许多实际问题中，只知道平均水平和波动大小是不够的，还需知道分布规律，以此能全面掌握样本和总体情况．
难点
1．正确理解方差概念，灵活应用方差公式求一组数据的方差．
2．求一组数据的频率分布，其一般步骤是：求极差，定组距、组数，定分类，求频率分布，画直方图．
典型例题讲解
例1
已知一组数据x1，x2，…，xN的方差是a，那么另一组数据x1-2，x2-2，…，xN-2的方差是______．
点评应牢牢掌握一组数据平均数和它们的方差的定义来解．
例2
甲、乙两台机床同时加工直径为100毫米的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽出6件进行测量，测得数据如下（单位：毫米）
甲机床： 99? 100? 98? 100? 100? 103
乙机床：99? 100? 102? 99? 100? 100
（1）分别计算上述两组数据的平均数和方差；
（2）根据（1）中计算结果，说明哪一台机床加工这种零件更符合要求．
（2）根据（1）中计算结果知道乙机床加工这种零件更符合要求．
点评方差在实际生产中应用很广．一组数据的方差越大，说明这组数据波动越大，反之一组数据的方差越小，说明这组数据波动越小，这样加工出来的零件质量更稳定比较好．
例3
要了解全市初三学生身高在某一范围内的学生所占比的大小，需知道相应样本的（）
A．平均数；
B．方差；
C．众数；
D．频率分布．
点评 频率分布反映了样本数据（或一组数据）落在各个小范围内的比的大小，而平均数、方差、众数却是不同的概念．
例4
将50个数据分成3组，其中第一组与第三组的频率之和是0.7，则第二组的频率是______，第二组的频数是______．
点评 因为每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率，所有各小组频率的和应为1，由此可求出上题的结果．
例5
为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试．将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图14-1所示．已知图中从左到右前三个小组的频率分别为0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5．
（1）求第四小组的频率；
（2）问参加这次测试的学生数是多少？
（3）若次数在75次以上（含75次）为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少；
（4）问这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在四个小组中的哪个小组内？并说明理由．
点评频率分布反映了样本数据（或一组数据）落在各个小范围内的比的大小．当今社会是一个信息社会，每个人必须学会收集信息和数据，并且利用统计的方法，整理处理数据，利用频率分布直方图综合分析，就能得出正确的结论；所以学好统计初步知识是非常有用的．
达标训练
1．某农业试验站研究品种的代号分别为M与N的两种水稻产量的工作已做了十年，在面积相等的两块稻田里作对比试验．测得十年以来这两种水稻的平均产量与方差分别是：
试问：M，N这两个品种的水稻中，产量较为稳定的是哪一种？为什么？
2．甲、乙两名射击运动员用同一支手枪每人打了五靶，他们打中的环数分别如下：
（1）分别求出它们的平均数；
（2）分别求出它们的方差；
（3）根据算得的数据，说明哪一位运动员的射击技术比较稳定
3．下面说法中，正确的是（ ）.
（A）样本数据与样本方差的度量单位是一致的．
（B）样本数据与样本标准差的度量单位是一致的．
（C）样本方差与样本标准差的度量单位是一致的．
（D）样本数据、样本方差、样本标准差的单位都是一致的．
4．样本方差和总体方差的关系是（ ）．
（A）样本方差大于总体方差
（B）样本方差小于总体方差
（C）样本方差等于总体方差
（D）样本方差是总体方差的估计值
拔高训练
若1，2，3，x的平均值为5，且1，2，3，x，y的平均值为6，x=＿，y＝＿，样本1，2，3，x，y的方差是＿.
