第3节 牛顿第二运动定律
[学习目标] 1．掌握牛顿第二定律的文字内容和数学表达式。2．知道单位制、基本单位、导出单位和国际单位制的概念。3．学会利用牛顿第二定律解决实际问题，并且能够从不同角度解决动力学问题，具有质疑和创新意识。
知识点一 牛顿第二运动定律及其意义
1．内容：物体加速度的大小与所受合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度方向与合外力方向相同。
2．表达式：F＝kma，k是比例常数，F是物体所受的合外力。当各物理量的单位都取国际单位时，k＝1，F＝ma。
3．力的单位：牛顿，符号是N。
4．1 N的物理意义：使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度所用的力为1 kgm/s2，称为1 N，即1 N＝1 kgm/s2。
比例式F＝kma中的k一定等于1，这种说法对吗？
提示：不对。
1．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)由牛顿第二运动定律知，合外力大的物体的加速度一定大。 (×)
(2)牛顿第二运动定律说明了质量大的物体其加速度一定小。 (×)
(3)任何情况下，物体的加速度的方向始终与它所受的合外力方向一致。 (√)
知识点二 国际单位制
1．单位制：由基本单位和导出单位组成。
2．国际单位
(1)基本单位：在力学中有米(m)(长度单位)、千克(kg)(质量单位)、秒(s)(时间单位)。
(2)导出单位：在力学中利用物理公式从三个基本单位导出的其他单位。
3．意义与作用：在用公式进行计算的时候，如果已知量都采用国际单位制中的单位，计算的结果也必然是国际单位制单位。因此，在计算时所列的等式中，就不必一一写出每个物理量的单位，只要在计算结果的数据后面写出待求量的单位即可。
4．国际单位制中的七个基本物理量和相应的基本单位
物理量名称 物理量符号 单位名称 单位符号
长度 l 米 m
质量 m 千克(公斤) kg
时间 t 秒 s
电流 I 安[培] A
物质的量 n 摩[尔] mol
热力学温度 T 开[尔文] K
发光强度 I，(Iv) 坎[德拉] cd
可以利用单位，反推出公式正确性和计算结果的正确性。
2．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)力的单位牛顿是基本单位。 (×)
(2)质量是基本量。 (√)
(3)物理公式表示了物理量间的数量关系和单位关系。 (√)
赛车要求能在尽可能短的时间内达到最大速度。
(1)赛车的加速度由哪些因素决定？
(2)可采取哪些措施来提高赛车的加速度？
提示：(1)赛车的加速度a由赛车的受力F和质量m共同决定。
(2)受力F越大、质量m越小，则加速度a越大。可装备功率很大的发动机，增大动力；在设计时还可考虑选用轻型材料，减小质量。
考点1 对牛顿第二定律的理解
1．合外力与加速度的关系
2．力与运动的关系
3．牛顿第二运动定律的五个性质
性质 理解
因果性 力是产生加速度的原因，只要物体所受的合力不为0，物体就具有加速度
矢量性 F＝ma是一个矢量式。物体的加速度的方向由它受的合力的方向决定，且总与合力的方向相同
瞬时性 加速度与合外力是瞬时对应关系，同时产生，同时变化，同时消失
同体性 F＝ma中F、m、a都是对同一物体而言的
独立性 作用在物体上的每一个力都产生加速度，物体的实际加速度是这些加速度的矢量和
相对性 牛顿第二定律只适用于惯性参考系
【典例1】 (双选)关于牛顿第二定律，下列说法正确的是( )
A．加速度与合力的关系是瞬时对应关系，即a与F同时产生、同时变化、同时消失
B．加速度的方向总是与合外力的方向相同
C．同一物体的运动速度变化越大，受到的合外力也越大
D．物体的质量与它所受的合外力成正比，与它的加速度成反比
思路点拨：理解牛顿第二定律的五性是解决该问题的关键。
AB [加速度与力的关系是瞬时对应关系，即a与F是同时产生、同时变化、同时消失，A正确；根据牛顿第二定律得，加速度的方向总是与合外力的方向相同，B正确；速度变化大，加速度不一定大，则合力不一定大，C错误；质量是物体的固有属性，不随合力、加速度的变化而变化，D错误。]
合外力、加速度、速度的关系
(1)力与加速度为因果关系：力是因，加速度是果。只要物体所受的合外力不为零，就会产生加速度。加速度与合外力的方向是相同的，大小与合外力成正比。
(2)力与速度无因果关系：合外力的方向与速度的方向可以相同，可以相反，还可以有夹角。合外力的方向与速度的方向相同时，物体做加速运动，相反时物体做减速运动。
(3)两个加速度公式的区别
a＝是加速度的定义式，是比值定义法定义的物理量，a与v、Δv、Δt均无关；a＝是加速度的决定式，加速度由其受到的合外力和质量决定。
[跟进训练]
1．(双选)牛顿第二定律的公式F＝ma大家已经相当熟悉，关于它的各种性质说法正确的是 ( )
A．a和F之间是瞬时的对应关系，同时存在，同时消失，同时改变
B．a与v的方向时时刻刻总相同，v的方向改变，a的方向立即改变
C．v与F的方向时时刻刻总相同，v的方向改变，F的方向立即改变
D．物体的加速度是合外力产生的，即F＝ma，又可以理解为各力产生的加速度的矢量和
AD [根据a＝，牛顿第二定律有瞬时性，a与F同时产生，同时变化，同时消失，A正确；根据a＝可知，牛顿第二定律有矢量性，加速度的方向与合外力的方向相同，但运动的方向不一定与加速度方向相同，B、C错误；根据a＝，a等于作用在物体上的合力与质量的比值，也可以说成是每个力产生的加速度的矢量和，D正确。]
考点2 牛顿第二定律的应用
1．运用牛顿第二定律解题的步骤
2．求解加速度的两种方法
(1)合成法：若物体只受两个力作用时，应用平行四边形定则求这两个力的合力的大小，再应用牛顿第二定律求加速度的大小，物体所受合外力的方向即为加速度的方向。
(2)正交分解法：当物体受多个力作用处于加速状态时，常用正交分解法求物体所受的合力，再应用牛顿第二定律求加速度。为减少矢量的分解以简化运算，建立坐标系时，可有如下两个角度：
分解力 通常以加速度a的方向为x轴正方向，建立直角坐标系，将物体所受的各个力分解在x轴和y轴上，分别得x轴和y轴的合力Fx和Fy，得方程
分解加 速度 若物体所受各力都在互相垂直的方向上，但加速度却不在这两个方向上，这时可以以力的方向为x轴、y轴正方向，只需分解加速度a，得ax和ay，根据牛顿第二定律得方程
【典例2】 [链接教材P130例题]如图所示，水平地面上有一质量M＝3 kg的小车，在车厢顶端用一细线悬挂一质量m＝1 kg的小球，某时刻起给小车施加一水平恒力F，稳定后，悬挂小球的细线偏离竖直方向37°角，球和车厢相对静止。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)如果地面是光滑的，求解车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况；
(2)求悬线对小球拉力的大小。
思路点拨：正确选取研究对象，准确作出受力分析，是解题的关键。
[解析] 方法一：合成法
(1)由于车厢沿水平方向运动，所以小球有水平方向的加速度，所受合力F沿水平方向，选小球为研究对象，进行受力分析。
由几何关系可得F′＝mg tan θ
小球的加速度a＝＝g tan θ＝7.5 m/s2，方向向右。
则车厢做向右的匀加速直线运动或向左的匀减速直线运动。
(2)悬线对球的拉力大小为FT＝＝ N＝12.5 N。
方法二：正交分解法
以水平向右为x轴正方向建立坐标系，并将悬线对小球的拉力FT正交分解。
则沿水平方向有FTsin θ＝ma
竖直方向有FTcos θ－mg＝0
联立解得a＝7.5 m/s2，
FT＝12.5 N
且加速度方向向右，故车厢做向右的匀加速直线运动或向左的匀减速直线运动。
[答案] (1)7.5 m/s2，方向向右 车厢做向右的匀加速直线运动或向左的匀减速直线运动
(2)12.5 N
[母题变式]
在【典例2】情境下，小车与地面之间存在摩擦，且动摩擦因数μ＝0.25，依然给小车施加相同的外力F。求：
(1)车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况；
(2)悬线与竖直线夹角的正切值。
[解析] (1)通过典例2可知，车厢及小球的加速度为a＝7.5 m/s2，所以施加的外力F＝(m＋M)a＝30 N
当小车与地面之间存在摩擦时，摩擦力f＝μFN＝μ(M＋m)g＝10 N
向右做加速运动时，整体所受合外力F合＝F－f＝20 N
整体加速度a′＝＝5 m/s2
当向左做减速运动时，整体所受合外力F合＝F＋f＝40 N
整体加速度a″＝＝10 m/s2
车厢与小球运动状态相同，即向右做加速度大小为的匀加速直线运动，或向左做加速度大小为的匀减速直线运动。
(2)对小球进行受力分析，设悬线与竖直线的夹角为α
FTcos α＝mg
FTsin α＝ma′
两式联立解得tan α＝
或FTcos α＝mg
FTsin α＝ma″
两式联立解得tan α＝1。
[答案] (1)5 m/s2，方向向右，车厢做向右的匀加速直线运动或10 m/s2，方向向右，车厢做向左的匀减速直线运动 (2)或1
在牛顿第二定律的应用中，采用正交分解法时，在受力分析后，建立直角坐标系是关键。坐标系的建立原则上是任意的，但常常使加速度在某一坐标轴上，另一坐标轴上的合力为零，或在坐标轴上的力最多。
【教材原题P130例题】 某高速列车(图5-9)起动后的初始阶段，可视为在恒定的牵引力作用下做匀加速直线运动。若在该阶段列车组的牵引力为3.04×105 N，列车所受阻力为7.9×104 N，列车质量为4.5×105 kg，则列车从起动至速度达到60 km/h需要多长时间？
分析 已知牵引力F、阻力f和列车质量m，由牛顿第二定律可求出列车运动的加速度a。列车做匀加速直线运动，已知起动时的初速度为0和末速度vt的大小，结合求出的加速度a，由匀变速直线运动的速度公式可求出所需要的时间。
解 以列车为研究对象，受力分析如图5-10所示。
由题意可知，m＝4.5×105 kg，F＝3.04×105 N，f＝7.9×104 N，v0＝0，vt＝60 km/h＝16.7 m/s。
选定列车运动方向为正方向。由牛顿第二定律，得
F－f＝ma
a＝
＝
＝0.50 m/s2
由匀变速直线运动的速度公式vt＝v0＋at，得
t＝＝＝33.4 s
所以，列车从起动至速度达到60 km/h需要的时间为33.4 s。
[跟进训练]
2．乘坐“空中缆车”饱览大自然的美景是旅游者绝妙的选择。若某一缆车沿着坡度为30°的山坡以加速度a加速上行，如图所示。在缆车中放一个与山坡表面平行的斜面，斜面上放一个质量为m的小物块，小物块相对斜面静止(设缆车始终保持竖直状态)，则( )
A．小物块受到的支持力方向竖直向上
B．小物块受到的摩擦力方向平行斜面向下
C．小物块受到的静摩擦力为mg＋ma
D．小物块受到的滑动摩擦力为mg＋ma
C [以物块为研究对象，分析受力情况，物块受重力mg、斜面的支持力N和静摩擦力f，且具有沿斜面方向向上的加速度a，根据平衡条件可知支持力N垂直于斜面向上，根据牛顿第二运动定律可知静摩擦力f沿斜面向上，故A、B错误；由于小物块和斜面保持相对静止，小物块受到的摩擦力为静摩擦力，根据牛顿第二运动定律得f－mg sin 30°＝ma，解得f＝mg＋ma，方向平行斜面向上，故C正确，D错误。]
考点3 动力学的两类基本问题
1．已知受力情况确定运动情况
基本思路：加速度是联系力和运动情况的桥梁。已知受力情况，首先根据牛顿第二定律求出物体的加速度，再根据运动学规律确定物体的运动情况。
2．已知运动情况确定受力情况
基本思路：已知物体的运动情况，先根据运动学规律求出物体的加速度，再根据牛顿第二定律确定物体的受力情况。
【典例3】 [链接教材P133例题]运动员拉车胎进行100 m赛跑训练体能。车胎的质量m＝8.5 kg，运动员拉车胎的绳子与水平方向的夹角为θ＝37°，车胎与地面间的动摩擦因数μ＝0.7。某次比赛中，一名运动员拉着车胎从静止开始全力奔跑，跑出20 m达到最大速度(这一过程可看作匀加速直线运动)，然后以最大速度匀速跑到终点，共用时15 s。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)运动员加速所用的时间t1和达到的最大速度v；
(2)运动员匀加速运动阶段对车胎的拉力F。
[解析] (1)匀加速阶段位移为x1＝t1
匀速阶段位移为x2＝100 m－x1＝v(15 s－t1)
联立解得v＝8 m/s，t1＝5 s。
(2)由速度公式v＝at1
得a＝＝ m/s2＝1.6 m/s2
对车胎受力分析，并正交分解，如图所示
在x轴方向，F cos 37°－Ff＝ma
在y轴方向，FN＋F sin 37°－mg＝0
且Ff＝μFN
代入数据联立解得
F≈59.92 N
方向沿绳与水平方向成37°。
[答案] (1)5 s 8 m/s (2)59.92 N 方向沿绳与水平方向成37°
从受力情况确定运动情况应注意的三个方面
(1)方程的形式：牛顿第二定律F＝ma，体现了力是产生加速度的原因。应用时方程式的等号左右应该体现出前因后果的形式，切记不要写成F－ma＝0的形式，这样形式的方程失去了物理意义。
(2)正方向的选取：通常选取加速度方向为正方向，与正方向同向的力取正值，与正方向反向的力取负值。
(3)求解：F、m、a采用国际单位制单位，解题时写出方程式和相应的文字说明，必要时对结果进行讨论。
【教材原题P133例题】 如图5-12所示，一载有小孩的雪橇总质量为30 kg，在拉力F的作用下，沿水平地面向右做直线运动，该拉力与水平面的夹角为30°。经过50 cm，速度由0.6 m/s均匀减至0.4 m/s。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为0.2，求作用力F的大小。
分析 由题意可知，物体做匀减速直线运动，已知初速度、末速度和位移，由运动学公式可求加速度，再由牛顿第二定律求出未知力。
解 以小孩和雪橇整体为研究对象，建立平面直角坐标系，受力分析如图5-13所示。
由题意可知，v0＝0.6 m/s，vt＝0.4 m/s，s＝50 cm＝0.5 m，m＝30 kg，μ＝0.2，θ＝30°。
由公式＝2as，得
a＝＝ m/s2＝－0.2 m/s2
加速度方向沿x轴负方向。根据牛顿第二定律，沿水平方向，有
F cos θ－f＝ma
沿竖直方向，有
N＋F sin θ－mg＝0
又因为f＝μN，所以联立以上各式，得F＝
＝ N
＝54.7 N
所以拉力F的大小为54.7 N。
[跟进训练]
3．(双选)某小球所受的合力与时间的关系如图所示，各段的合力大小相同，作用时间相同，设小球从静止开始运动，由此可判定( )
A．小球向前运动，再返回停止
B．小球向前运动，再返回不会停止
C．小球始终向前运动
D．小球在4 s末速度为0
CD [由题图可知，在0～1 s，小球向前做匀加速直线运动，1 s末速度最大；在1～2 s，小球以大小相等的加速度向前做匀减速直线运动，2 s末速度为零，依此类推，可知A、B错误，C、D正确。]
考点4 国际单位制
1．推导单位
物理公式在确定各物理量的数量关系时，同时也确定了各物理量的单位关系，所以我们可以根据物理公式中物理量间的关系，推导出物理量的单位。
2．检验计算结果
各量的单位统一成国际单位，计算结果的单位和该物理量的国际单位一致时，该运算过程才可能是正确的。若所求物理量的单位不对，则结果一定错。
【典例4】 (教材P137T2改编)声音在空气中的传播速度v与空气的密度ρ、压强p有关。下列关于声音传播速度的表达式(k为比例系数，无单位)可能正确的是( )
A．v＝k B．v＝
C．v＝ D．v＝
B [压强p可由公式p＝求得，则其单位为1 ＝1 kg/(ms2)；密度ρ可由公式ρ＝求得，则ρ的单位为kg/m3。由于题中k无单位，则k的单位为m2/s2，显然不是速度的单位，选项A错误；而的单位为m/s，选项B正确；又的单位为s/m，不是速度的单位，选项C错误；的单位为kg/(m2s)，不是速度的单位，选项D错误。]
(1)在进行物理运算时，最终的结果往往是一个表达式，很难判断其正误。这时，可将全部物理量的国际单位制单位代入式中，对单位进行运算，若得到的单位不是所求物理量的国际单位制单位，结果就一定是错误的。
(2)值得注意的是，运用量纲检查法得到的单位正确，但结果不一定是正确的。
[跟进训练]
4．一物体在2 N的外力作用下，产生10 cm/s2的加速度，求该物体的质量。下面是几种不同的求法，其中单位运用正确、简洁而又规范的是( )
A．m＝＝ kg＝0.2 kg
B．m＝＝＝20 ＝20 kg
C．m＝＝＝20 kg
D．m＝＝ kg＝20 kg
D [在进行数量运算的同时，也要把单位代进去运算。带单位运算时，每一个数据均要带上单位，且单位换算要准确。也可以把题中的已知量的单位都用国际单位表示，计算的结果就用国际单位表示，这样在统一已知量的单位后，就不必一一写出各个量的单位，只要在数字后面写出正确的单位即可。在备选的四个选项中，选项A、C均错误，选项B解题过程正确，但不简洁，只有选项D运算正确，且简洁又规范。]
1．如图所示为我国出土的2000年前的王莽时期测量长度的工具， 在国际单位制中长度的国际单位是( )
A．毫米 B．厘米
C．分米 D．米
D [国际单位制中长度的单位是米，故选D。]
2．力F1作用在物体上产生的加速度a1＝3 m/s2，力F2作用在该物体上产生的加速度a2＝4 m/s2，则F1和F2同时作用在该物体上，产生的加速度a的大小不可能为( )
A．7 m/s2 B．5 m/s2
C．1 m/s2 D．8 m/s2
D [加速度a1、a2的方向不确定，故合加速度a的范围为|a1－a2|≤a≤a1＋a2，即1 m/s2≤a≤7 m/s2，故D错误。]
3．滑翔伞是一批热爱跳伞、滑翔翼的飞行人员发明的一种飞行器。现有一滑翔伞沿直线朝斜向下方向做匀加速直线运动。若空气对滑翔伞和飞行人员的作用力为F，则此过程中F的方向可能是( )
A B
C D
A [滑翔伞沿直线朝斜向下方向做匀加速直线运动，则F与G的合力方向与v同向，故A符合题意，B、C、D不符合题意。故选A。]
4．(新情境题：以蹦床比赛为背景，考查牛顿第二定律)蹦床是奥运会中的一个比赛项目。设某位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，运动员的脚在接触蹦床过程中，蹦床对运动员的弹力F随时间t的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图所示。取g＝10 m/s2，根据F-t图像求：
(1)运动员在运动过程中的最大加速度的大小；
(2)运动员双脚离开蹦床后的最大速度的大小。
[解析] (1)由题图可知，运动员的重力G＝500 N，蹦床对运动员的最大弹力Fm＝2 500 N
设运动员的最大加速度为am，根据牛顿第二定律有：Fm－mg＝mam
又G＝mg
代入数据解得：am＝40 m/s2。
(2)由题图可知，自由下落的时间为t＝ s＝0.8 s
由运动学公式可知最大速度vm＝gt
代入数据解得：vm＝8 m/s。
[答案] (1)40 m/s2 (2)8 m/s
回归本节知识，完成以下问题：
(1)物体所受的合外力与加速度的关系是怎样的？
提示：合外力的方向决定加速度的方向，合外力的大小决定加速度的大小。
(2)动力学的两类基本问题指的是什么？
提示：已知受力情况确定运动情况和已知运动情况确定受力情况。
(3)什么是国际单位制？国际单位制中的基本单位有哪几个？
提示：国际计量委员会在1960年第11届国际计量大会上制订了一种国际通用的、包括一切计量领域的单位制，叫作国际单位制。有米、千克、秒、安[培]、开[尔文]、摩[尔]、坎[德拉]七个基本单位。
课时分层作业(十五) 牛顿第二运动定律
?题组一 对牛顿第二定律的理解
1．火箭沿竖直方向加速升空的过程中( )
A．合力为零
B．加速度与速度方向相反
C．合力与速度方向相同
D．加速度与合力方向相反
C [火箭沿竖直方向加速升空，则火箭加速度方向与速度相同，故B错误；火箭的加速度不为零，根据牛顿第二定律可知火箭合力不为零，合力方向与加速度方向相同，则合力方向与速度方向相同，故A、D错误，C正确。故选C。]
2．天问一号着陆器在成功着陆火星表面的过程中，经大气层290 s的减速，速度从4.9×103 m/s减为4.6×102 m/s；打开降落伞后，经过90 s速度进一步减为1.0×102 m/s；与降落伞分离，打开发动机减速后处于悬停状态；经过对着陆点的探测后平稳着陆。若打开降落伞至分离前的运动可视为竖直向下运动，则着陆器( )
A．打开降落伞前，只受到气体阻力的作用
B．打开降落伞至分离前，受到的合力方向竖直向上
C．打开降落伞至分离前，只受到浮力和气体阻力的作用
D．悬停状态中，发动机喷火的反作用力与气体阻力是平衡力
B [不管是否打开降落伞，着陆器始终受重力作用，A、C错误；打开降落伞至分离前做减速运动，则其加速度方向与运动方向相反，加速度方向向上，则合力方向竖直向上，B正确；悬停状态中，着陆器在发动机喷火的反作用力、重力与气体阻力的作用下平衡，D错误。故选B。]
?题组二 牛顿第二定律的应用
3．如图所示，质量为m＝10 kg的物体在水平面上向左运动，物体与水平面间动摩擦因数为0.2。与此同时物体受到一个水平向右的推力F＝20 N的作用，则物体产生的加速度大小和方向是(g取)( )
A．0
B．4 m/s2，水平向右
C．2 m/s2，水平向左
D．2 m/s2，水平向右
B [取向右为正方向，由牛顿第二定律得F＋f＝ma，而f＝μmg，解得a＝＝4 m/s2，故物体的加速度大小是4 m/s2，方向水平向右，B正确。]
4．如图所示，有一箱装得很满的土豆，以一定的初速度在动摩擦因数为μ的水平地面上做匀减速运动，不计其他外力及空气阻力，则中间一质量为m的土豆A受到其他土豆对它的作用力大小应是( )
A．mg B．μmg
C．mg D．mg
C [土豆A受力如图，在水平方向上土豆具有和箱子共同的水平加速度a，由牛顿第二定律知：a＝μg，土豆A的水平合外力F1＝μmg。竖直方向上土豆A所受其他土豆的作用力F2＝mg，所以其他土豆对它的作用力的大小F＝＝mg。C正确。]
5．(教材P153T8改编)在高速公路的连续下坡路段通常会设置避险车道，供发生紧急情况的车辆避险使用，本题中避险车道是主车道旁的一段上坡路面。一辆货车在行驶过程中刹车失灵，以v0＝90 km/h的速度驶入避险车道，如图所示。设货车进入避险车道后牵引力为零，货车与路面间的动摩擦因数μ＝0.30，取重力加速度大小g＝。
(1)为了防止货车在避险车道上停下后发生溜滑现象，该避险车道上坡路面的倾角θ应该满足什么条件？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，结果用θ的正切值表示。
(2)若避险车道路面倾角为15°，求货车在避险车道上行驶的最大距离。(已知sin 15°＝0.26，cos 15°＝0.97，结果保留2位有效数字)
[解析] (1)当货车在避险车道停下后，有fm≥mg sin θ，货车所受的最大静摩擦力fm＝μN＝μmg cos θ
联立可解得tan θ≤0.30。
(2)货车在避险车道上行驶时，a＝＝5.51 m/s2
货车的初速度v0＝90 km/h＝25 m/s
则货车在避险车道上行驶的最大距离为x＝≈57 m。
[答案] (1)tan θ≤0.30 (2)57 m
?题组三 动力学两类问题
6．车厢底部有一质量为m＝5 kg 的物体，如图所示，当小车以7.5 m/s2的加速度向右加速运动时，m与小车始终保持相对静止，试分析物体的受力情况，并求出各力的大小。(g取10 m/s2)
[解析] 物体共受三个力的作用：重力、支持力和小车给它的摩擦力
其中：重力G＝mg＝50 N，方向竖直向下
支持力FN＝G＝50 N，方向竖直向上
摩擦力Ff＝ma＝5×7.5 N＝37.5 N，方向水平向右。
[答案] 见解析
7．如图所示，质量为4 kg的物体静止在水平面上。现用大小为40 N、与 水平方向夹角为37°的斜向上的力拉物体，使物体沿水平面做匀加速运动。(g取，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)若水平面光滑，物体的加速度是多大？
(2)若物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，物体的加速度是多大？
[解析] (1)水平面光滑时，物体的受力情况如图甲所示，由牛顿第二定律得
F cos 37°＝ma1
解得a1＝8 m/s2。
(2)水平面不光滑时，物体的受力情况如图乙所示，由牛顿第二定律得
F cos 37°－Ff＝ma2
FN′＋F sin 37°＝mg
Ff＝μFN′
解得a2＝6 m/s2。
[答案] (1)8 m/s2 (2)6 m/s2
?题组四 国际单位制
8．国际单位制(SI)定义了7个基本单位，其他单位均可根据物理关系导出。1967年用铯-133原子基态的两个超精细能级间跃迁辐射的频率Δν＝9 192 631 770 Hz 定义秒(s)；1983年用真空中的光速c＝299 792 458 ms-1定义米(m)。2018年第26届国际计量大会决定，7个基本单位全部用基本物理常量来定义。关于国际单位制，下列选项不正确的是( )
A．7个基本单位全部用物理常量定义，保证了基本单位的稳定性
B．在力学范围内的基本单位有米(m)、千克(kg)、秒(s)
C．牛顿是导出单位，1 N＝1 kgms2
D．米每二次方秒(m/s2)、牛顿每千克(N/kg)都是重力加速度g的单位
C [7个基本单位全部用物理常量定义，保证了基本单位的稳定性，选项A正确；在力学范围内的基本单位有米(m)、千克(kg)、秒(s)，选项B正确；牛顿是导出单位，1 N＝1 kgm/s2，选项C错误；根据a＝可知，米每二次方秒(m/s2)、牛顿每千克(N/kg)都是重力加速度g的单位，选项D正确，本题选择不正确的，故选C。]
9．趣味比赛“毛毛虫竞速”锻炼体能的同时，考验班级的团队协作能力。某班级在比赛中四位同学齐心协力，默契配合，发令后瞬间加速出发，加速度大小约为 5.0 m/s2。已知“毛毛虫”道具质量为 10 kg，重力加速度g的大小取10 m/s2。则在发令后瞬间平均每位同学对道具的作用力约为( )
A．10 N B．25 N C．28 N D．100 N
C [设平均每位同学对道具的作用力为F，对“毛毛虫”道具受力分析，该道具受到重力和四位同学的作用力，如图所示。由几何关系和牛顿第二定律得(mg)2＋(ma)2＝(4F)2，解得F≈28 N，故选C。]
10．在解一道计算结果由字母来表示的应用题时，几个同学解得的位移结果如下，下列哪个结果可能是正确的( )
A．(t1＋t2) B．
C． D．
C [通过观察发现，四个选项当中包含＝a，其单位是，而且(t1＋t2)其单位是s，t1t2的单位是s2，所以t1t2这种形式的答案单位才是位移单位m。故选C。]
11．小鸿爱好摩托车漂移，某次从静止开始沿水平面先匀加速骑行，达到最大速度后以最大速度匀速行驶，最后做匀减速运动至速度为0，已知人与摩托车总质量m＝200 kg，当运动的位移为总位移的
时开始匀速，此时开始计时，接下来牵引力随时间变化的图像如图乙所示，g取10 m/s2，求：
甲
乙
(1)求摩托车与水平面的动摩擦因数和匀速运动时的速度；
(2)求匀加速运动过程中的牵引力。
[解析] (1)由题图乙可知，摩托车匀速运动时牵引力为1 000 N，
其受力如图(a)所示
(a)
由平衡条件可得：F＝μmg
解得：μ＝0.5
在匀减速运动过程中，物体受力如图(b)所示
(b)
根据牛顿第二定律得：f－F＝ma
解得：a＝4 m/s2
根据vm＝v0＋at得：
匀速运动的速度：vm＝20 m/s。
(2)在最后7.5 s内的位移为：
x1＝＝100 m
由题知：路程总长为200 m
即匀加速运动的位移为100 m
设加速时加速度为a1
加速位移为：x0＝
解得：a1＝2 m/s2
根据牛顿第二定律得：F－f＝ma
得：F＝1 400 N。
[答案] (1)0.5 20 m/s (2)1 400 N
1 / 22第3节 牛顿第二运动定律
[学习目标] 1．掌握牛顿第二定律的文字内容和数学表达式。2．知道单位制、基本单位、导出单位和国际单位制的概念。3．学会利用牛顿第二定律解决实际问题，并且能够从不同角度解决动力学问题，具有质疑和创新意识。
知识点一 牛顿第二运动定律及其意义
1．内容：物体加速度的大小与所受合外力的大小成________，与物体的质量成________，加速度方向与合外力方向________。
2．表达式：F＝________，k是比例常数，F是物体所受的________。当各物理量的单位都取国际单位时，k＝1，F＝________。
3．力的单位：________，符号是N。
4．1 N的物理意义：使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度所用的力为1 kg·m/s2，称为1 N，即1 N＝____________。
比例式F＝kma中的k一定等于1，这种说法对吗？
1．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)由牛顿第二运动定律知，合外力大的物体的加速度一定大。 ( )
(2)牛顿第二运动定律说明了质量大的物体其加速度一定小。 ( )
(3)任何情况下，物体的加速度的方向始终与它所受的合外力方向一致。 ( )
知识点二 国际单位制
1．单位制：由基本单位和________组成。
2．国际单位
(1)基本单位：在力学中有________(长度单位)、________(质量单位)、________(时间单位)。
(2)导出单位：在力学中利用________从三个基本单位导出的其他单位。
3．意义与作用：在用公式进行计算的时候，如果已知量都采用国际单位制中的单位，计算的结果也必然是____________单位。因此，在计算时所列的等式中，就__________一一写出每个物理量的单位，只要在计算结果的________后面写出待求量的单位即可。
4．国际单位制中的七个基本物理量和相应的基本单位
物理量名称 单位名称 单位符号
长度 ______ m
质量 ______ kg
时间 ______ s
电流 ______ A
物质的量 摩[尔] mol
热力学温度 开[尔文] K
发光强度 坎[德拉] cd
可以利用单位，反推出公式正确性和计算结果的正确性。
2．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)力的单位牛顿是基本单位。 ( )
(2)质量是基本量。 ( )
(3)物理公式表示了物理量间的数量关系和单位关系。 ( )
赛车要求能在尽可能短的时间内达到最大速度。
(1)赛车的加速度由哪些因素决定？
(2)可采取哪些措施来提高赛车的加速度？
考点1 对牛顿第二定律的理解
1．合外力与加速度的关系
2．力与运动的关系
3．牛顿第二运动定律的五个性质
性质 理解
因果性 力是产生加速度的原因，只要物体所受的合力不为0，物体就具有加速度
矢量性 F＝ma是一个矢量式。物体的加速度的方向由它受的合力的方向决定，且总与合力的方向相同
瞬时性 加速度与合外力是瞬时对应关系，同时产生，同时变化，同时消失
同体性 F＝ma中F、m、a都是对同一物体而言的
独立性 作用在物体上的每一个力都产生加速度，物体的实际加速度是这些加速度的矢量和
相对性 牛顿第二定律只适用于惯性参考系
【典例1】 (双选)关于牛顿第二定律，下列说法正确的是( )
A．加速度与合力的关系是瞬时对应关系，即a与F同时产生、同时变化、同时消失
B．加速度的方向总是与合外力的方向相同
C．同一物体的运动速度变化越大，受到的合外力也越大
D．物体的质量与它所受的合外力成正比，与它的加速度成反比
思路点拨：理解牛顿第二定律的五性是解决该问题的关键。
[听课记录]
合外力、加速度、速度的关系
(1)力与加速度为因果关系：力是因，加速度是果。只要物体所受的合外力不为零，就会产生加速度。加速度与合外力的方向是相同的，大小与合外力成正比。
(2)力与速度无因果关系：合外力的方向与速度的方向可以相同，可以相反，还可以有夹角。合外力的方向与速度的方向相同时，物体做加速运动，相反时物体做减速运动。
(3)两个加速度公式的区别
a＝是加速度的定义式，是比值定义法定义的物理量，a与v、Δv、Δt均无关；a＝是加速度的决定式，加速度由其受到的合外力和质量决定。
[跟进训练]
1．(双选)牛顿第二定律的公式F＝ma大家已经相当熟悉，关于它的各种性质说法正确的是( )
A．a和F之间是瞬时的对应关系，同时存在，同时消失，同时改变
B．a与v的方向时时刻刻总相同，v的方向改变，a的方向立即改变
C．v与F的方向时时刻刻总相同，v的方向改变，F的方向立即改变
D．物体的加速度是合外力产生的，即F＝ma，又可以理解为各力产生的加速度的矢量和
考点2 牛顿第二定律的应用
1．运用牛顿第二定律解题的步骤
2．求解加速度的两种方法
(1)合成法：若物体只受两个力作用时，应用平行四边形定则求这两个力的合力的大小，再应用牛顿第二定律求加速度的大小，物体所受合外力的方向即为加速度的方向。
(2)正交分解法：当物体受多个力作用处于加速状态时，常用正交分解法求物体所受的合力，再应用牛顿第二定律求加速度。为减少矢量的分解以简化运算，建立坐标系时，可有如下两个角度：
分解力 通常以加速度a的方向为x轴正方向，建立直角坐标系，将物体所受的各个力分解在x轴和y轴上，分别得x轴和y轴的合力Fx和Fy，得方程
分解加 速度 若物体所受各力都在互相垂直的方向上，但加速度却不在这两个方向上，这时可以以力的方向为x轴、y轴正方向，只需分解加速度a，得ax和ay，根据牛顿第二定律得方程
【典例2】 [链接教材P130例题]
如图所示，水平地面上有一质量M＝3 kg的小车，在车厢顶端用一细线悬挂一质量m＝1 kg的小球，某时刻起给小车施加一水平恒力F，稳定后，悬挂小球的细线偏离竖直方向37°角，球和车厢相对静止。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)如果地面是光滑的，求解车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况；
(2)求悬线对小球拉力的大小。
思路点拨：正确选取研究对象，准确作出受力分析，是解题的关键。
[听课记录]
[母题变式]
在【典例2】情境下，小车与地面之间存在摩擦，且动摩擦因数μ＝0.25，依然给小车施加相同的外力F。求：
(1)车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况；
(2)悬线与竖直线夹角的正切值。
在牛顿第二定律的应用中，采用正交分解法时，在受力分析后，建立直角坐标系是关键。坐标系的建立原则上是任意的，但常常使加速度在某一坐标轴上，另一坐标轴上的合力为零，或在坐标轴上的力最多。
[跟进训练]
2．乘坐“空中缆车”饱览大自然的美景是旅游者绝妙的选择。若某一缆车沿着坡度为30°的山坡以加速度a加速上行，如图所示。在缆车中放一个与山坡表面平行的斜面，斜面上放一个质量为m的小物块，小物块相对斜面静止(设缆车始终保持竖直状态)，则( )
A．小物块受到的支持力方向竖直向上
B．小物块受到的摩擦力方向平行斜面向下
C．小物块受到的静摩擦力为mg＋ma
D．小物块受到的滑动摩擦力为mg＋ma
考点3 动力学的两类基本问题
1．已知受力情况确定运动情况
基本思路：加速度是联系力和运动情况的桥梁。已知受力情况，首先根据牛顿第二定律求出物体的加速度，再根据运动学规律确定物体的运动情况。
2．已知运动情况确定受力情况
基本思路：已知物体的运动情况，先根据运动学规律求出物体的加速度，再根据牛顿第二定律确定物体的受力情况。
【典例3】 [链接教材P133例题]运动员拉车胎进行100 m赛跑训练体能。车胎的质量m＝8.5 kg，运动员拉车胎的绳子与水平方向的夹角为θ＝37°，车胎与地面间的动摩擦因数μ＝0.7。某次比赛中，一名运动员拉着车胎从静止开始全力奔跑，跑出20 m达到最大速度(这一过程可看作匀加速直线运动)，然后以最大速度匀速跑到终点，共用时15 s。重力加速度g取，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)运动员加速所用的时间t1和达到的最大速度v；
(2)运动员匀加速运动阶段对车胎的拉力F。
[听课记录]
从受力情况确定运动情况应注意的三个方面
(1)方程的形式：牛顿第二定律F＝ma，体现了力是产生加速度的原因。应用时方程式的等号左右应该体现出前因后果的形式，切记不要写成F－ma＝0的形式，这样形式的方程失去了物理意义。
(2)正方向的选取：通常选取加速度方向为正方向，与正方向同向的力取正值，与正方向反向的力取负值。
(3)求解：F、m、a采用国际单位制单位，解题时写出方程式和相应的文字说明，必要时对结果进行讨论。
[跟进训练]
3．(双选)某小球所受的合力与时间的关系如图所示，各段的合力大小相同，作用时间相同，设小球从静止开始运动，由此可判定( )
A．小球向前运动，再返回停止
B．小球向前运动，再返回不会停止
C．小球始终向前运动
D．小球在4 s末速度为0
考点4 国际单位制
1．推导单位
物理公式在确定各物理量的数量关系时，同时也确定了各物理量的单位关系，所以我们可以根据物理公式中物理量间的关系，推导出物理量的单位。
2．检验计算结果
各量的单位统一成国际单位，计算结果的单位和该物理量的国际单位一致时，该运算过程才可能是正确的。若所求物理量的单位不对，则结果一定错。
【典例4】 (教材P137T2改编)声音在空气中的传播速度v与空气的密度ρ、压强p有关。下列关于声音传播速度的表达式(k为比例系数，无单位)可能正确的是( )
A．v＝k B．v＝
C．v＝ D．v＝
[听课记录]
(1)在进行物理运算时，最终的结果往往是一个表达式，很难判断其正误。这时，可将全部物理量的国际单位制单位代入式中，对单位进行运算，若得到的单位不是所求物理量的国际单位制单位，结果就一定是错误的。
(2)值得注意的是，运用量纲检查法得到的单位正确，但结果不一定是正确的。
[跟进训练]
4．一物体在2 N的外力作用下，产生10 cm/s2的加速度，求该物体的质量。下面是几种不同的求法，其中单位运用正确、简洁而又规范的是( )
A．m＝＝ kg＝0.2 kg
B．m＝＝＝20 ＝20 kg
C．m＝＝＝20 kg
D．m＝＝ kg＝20 kg
1．如图所示为我国出土的2000年前的王莽时期测量长度的工具， 在国际单位制中长度的国际单位是( )
A．毫米 B．厘米
C．分米 D．米
2．力F1作用在物体上产生的加速度a1＝3 m/s2，力F2作用在该物体上产生的加速度a2＝，则F1和F2同时作用在该物体上，产生的加速度a的大小不可能为( )
A．7 m/s2 B．5 m/s2
C．1 m/s2 D．8 m/s2
3．滑翔伞是一批热爱跳伞、滑翔翼的飞行人员发明的一种飞行器。现有一滑翔伞沿直线朝斜向下方向做匀加速直线运动。若空气对滑翔伞和飞行人员的作用力为F，则此过程中F的方向可能是( )
A B
C D
4．(新情境题：以蹦床比赛为背景，考查牛顿第二定律)蹦床是奥运会中的一个比赛项目。设某位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，运动员的脚在接触蹦床过程中，蹦床对运动员的弹力F随时间t的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图所示。取g＝10 m/s2，根据F-t图像求：
(1)运动员在运动过程中的最大加速度的大小；
(2)运动员双脚离开蹦床后的最大速度的大小。
回归本节知识，完成以下问题：
(1)物体所受的合外力与加速度的关系是怎样的？
(2)动力学的两类基本问题指的是什么？
(3)什么是国际单位制？国际单位制中的基本单位有哪几个？
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