2025-2026学年辽宁省沈阳市东北育才学校九年级（上）期初数学试卷(含部分答案)

2025-2026学年辽宁省沈阳市东北育才学校九年级（上）期初数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是U型磁铁，其俯视图为（　　）
A.
B.
C.
D.
2.关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根，则实数k的值可能是（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.如图，若数轴上的点A表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数是（　　）
A. B. C. D. π
4.如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若AB∥CD∥EF，AC=39cm,，则CE的长为（　　）
A. 13cm
B. 26cm
C. 65cm
D. 104cm
5.下列说法正确的是（　　）
A. 调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式
B. 如果有一组数据为7，3，4，4，6，7，那么它的中位数是5
C. “打开电视，正在播放潜江新闻节目”是必然事件．
D. 十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是
6.如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化.下列判断错误的是（　　）
A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B. 对角线BD的长度变大
C. 四边形ABCD的面积不变
D. 四边形ABCD的周长不变
7.菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF交BC于点M，连接OM，若∠BAD=120°，OM=1，则AC的长为（　　）
A. 2
B. 1
C.
D.
8.关于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A. 图象位于第一、三象限
B. 点（1，-3）和（-1，3）都在该图象上
C. 当x＞-3时，y＞1
D. y随x的增大而增大
9.“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观.若正方形“黄金格”的边长为2cm,四个黄金分割点组成的正方形的边长为（　　）
A. B. C. D.
10.如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，点G，O，A，N在同一条直线上，若OA=1，则OE长为（　　）
A. 8 B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程2x2-4=0的解是______.
12.如图，点E为 ABCD的AD边上一点，且AE：ED=2：3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG：GC等于______.
13.已知反比例函数y=（x＞0）图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且（x1-x2）（y1-y2）＜0，则k的取值范围是 .
14.如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，其中点A的坐标为（1，2），正方形EFGH的边FG在x轴上，且H的坐标为（9，4），则正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是______．
15.如图，在正方形ABCD中，AB=3，EF是正方形ABCD内的一条长为1的线段，EF∥AB，连接BE、DF，则BE+DF的最小值为______.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.小琴同学在一本课外书上看到一道解方程的题目“解方程x2+2|x+2|-4=0”，她思考良久，未能解答，于是她翻阅资料，在另一本书上找到了类似题目的解答过程（如下例题），她认真阅读，仿照解法，很快得出了正确答案．你能解答这道题吗？
例：解方程x2-|x-1|-1=0．
解：（1）当x-1≥0，即x≥1时，
x2-（x-1）-1=0，x2-x=0，
解得x1=0（不合题设，含去），x2=1．
（2）当x-1＜0，即x＜1时，
x2+（x-1）-1=0，x2+x-2=0，
解得x1=1（不合题设，舍去），x2=-2．
综上所述，原方程的解是x=1或x=-2．
依照上例解法，解方程x2+2|x+2|-4=0．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
用指定方法解下列方程：
（1）x2-6x+4=0（配方法）；
（2）5x2-3x=x+1（公式法）.
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC 中点，四边形ACDE是平行四边形.
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，若∠HEB=4∠HEA，求∠EBH的度数.
19.(本小题8分)
如图，取一根长100cm的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起.一个物体挂在距离点O的左侧25cm处，重量G=10N.在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态.此时，弹簧秤与点O的距离是x（cm），弹簧秤的示数是y（N）.（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，即G d=y x）
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，求弹簧秤的示数y的最小值.
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点.
（1）请判断三人的说法的对错：小星______，小红______，小亮______.（填“对”或“错”）
（2）选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC；
（3）在（2）的条件下，△ACP∽△ABC，若BP=1，，求AP的长.
21.(本小题11分)
一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙两种化工原料.已知每桶甲化工原料比每桶乙化工原料贵4元，工厂第一次花费800元采购甲化工原料和240元采购乙化工原料，发现甲化工原料的桶数是乙化工原料桶数的2倍.
（1）求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元.
（2）已知供应商每桶甲化工原料的进价是a元，每桶乙化工原料的进价是元，甲、乙售价不变.为了扩大生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少10a%，购买的乙化工原料的数量是第一次的3倍.若供应商第二次共获利368元，求a的值.
22.(本小题12分)
已知：正方形ABCD中，P是对角线BD所在直线上一点.
（1）如图1，若P在对角线BD上，连接PC，过点P作PQ⊥CP交AB于点Q.求证：PQ=PC；
（2）如图2，在（1）的条件下，若，求BQ的长；
（3）如图3，若P在BD的延长线上，连接AP，过点P作PE⊥AP交BC延长线于点E，连接DE，若CE=8，△DPE的面积是20，求PE的长.
23.(本小题12分)
数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6，AC=DE=8，旋转角为α（0°＜α＜360°）.
【初步感知】
（1）如图1，将三角形纸片BDE绕点B旋转，连接AE，CD，求的值；
【深入探究】
（2）如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长线上时，延长ED交AC于点G，求CG的长；
向阳小组的小明同学首先推导出∠CAE的大小，接着小亮同学通过延长CF交AE于点H并连接BH，得到四边形AHBC的形状，然后小颖又推导出…你受到了什么启发？请写出完整的解答过程；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以AE为直角边的直角三角形.若能，直接写出线段AD的长度；若不能，请说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】x1=，x2=-
12.【答案】
13.【答案】k＞1
14.【答案】（-3，0）或（，）
15.【答案】
16.【答案】解：（1）当x+2≥0，即x≥-2时，
x2+2（x+2）-4=0，
即x2+2x=0，
∴（x+2）x=0．
解得x1=0，x2=-2．
（2）当x+2＜0，即x＜-2时，
x2-2（x+2）-4=0，
即x2-2x-8=0，
∴（x-4）（x+2）=0．
解得x1=4（不合题设，舍去），x2=-2（不合题设，舍去）．
综上所述，原方程的解是x=0或x=-2．
17.【答案】，；
x1=1，．
18.【答案】（1）证明：∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE∥CD，AE=CD，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∵AE∥BD，AE=BD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠ADB=90°，
∴四边形ADBE是矩形．
（2）解：由（1）可知四边形ADBE是矩形，
∴∠AEB=90°，
∴∠HEB+∠HEA=90°，
∵∠HEB=4∠HEA，
∴∠HEA=18°，
∴∠HEB=72°，
∵EH⊥AB，
∴∠EBH=90°-72°=18°．
19.【答案】；
弹簧秤的示数y的最小值为5N．
20.【答案】对，对，错；
见解析；
AP=2．
21.【答案】每桶甲化工原料的售价为10元，每桶乙化工原料的售价为6元；
a的值为6．
22.【答案】四边形ABCD是正方形，如图1，连接PA，
∴AB=CB=AD=CD，∠BAD=∠BCD=∠CBQ=90°，
∴∠ABP=∠ADB=45°，∠CBP=∠CDB=45°，
∴∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠PAQ=∠PCB，
∵PQ⊥CP，
∴∠CPQ=∠CBQ=90°，
∴∠PCB+∠PQB=180°，
∵∠PQA+∠PQB=180°，
∴∠PQA=∠PCB，
∴∠PAQ=∠PQA，
∴PA=PQ，
∴PQ=PC；
2；
．
23.【答案】解：（1）∵∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6，AC=DE=8，
∴AB=BE=10，
由旋转得：∠CBD=∠ABE，
∵BC=BD，AB=BE，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∴△BCD∽△BAE，
∴===；
（2）如图2，延长CD交AE于H，连接BH交DE于M，
由（1）知：∠BAE=∠BCD，
∵CF是中线，∠ACB=90°，
∴CF=AF=BF=5，
∴∠BCF=∠FBC，
∴∠FBC=∠BAE，
∵∠AFH=∠BFC，
∴△AFH≌△BFC（ASA），
∴CF=FH，
∴四边形ACBH是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴ ACBH是矩形，
∴∠AHB=90°，BH=AC=8，
∵AB=BE，
∴AH=EH=BC=6，
设MH=x,
∵∠EHB=∠HAC=90°，∠AEG=∠HEM，
∴△AEG∽△HEM，
∴==，
∴AG=2x,
∵EH=BD=6，∠EMH=∠BMD，∠EHM=∠BDM=90°，
∴△EHM≌△BDM（AAS），
∴BM=EM=8-x,
由勾股定理得：EM2=EH2+MH2，
∴（8-x）2=62+x2，
∴x=，
∴CG=AC-AG=8-2×=4.5；
（3）分两种情况：
①如图3，∠EAD=90°，过点B作BQ⊥AE于Q，过点D作DP⊥BQ于P，
∴∠AQP=∠DPQ=∠DAQ=90°，
∴四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP=90°，AQ=PD，AD，
设AQ=b,
∵AB=BE，BQ⊥AE，
∴AQ=EQ=b=PD，
∴AE=2b,
∵∠ADP=∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDP，
∵∠EAD=∠DPB=90°，
∴△DAE∽△DPB，
∴=，即=，
∴PB=b,
Rt△BPD中，BP2+PD2=BD2，
∴b2+（b）2=62，
解得：b=（负值舍），
∵△DAE∽△DPB，
∴=，即=，
∴AD=；
②如图4，∠AED=90°，过点B作BQ⊥AE于Q，
∴∠BQE=∠AED=∠BDE=90°，
∴四边形BDEQ是矩形，
∴EQ=BD=6，
∵AB=BE，BQ⊥AE，
∴AE=2EQ=12，
由勾股定理得：AD===4；
综上，AD的长是或4．
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