云南省部分高中2026届高三上学期开学考试数学试题（含解析）

云南省部分高中2026届高三上学期开学考试
数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
. . . .
2.复数在复平面内对应的点位于（ ）
.第一象限 .第二象限 .第三象限 .第四象限
3.等差数列的前项和为，，，则的公差为（ ）
. . . .
4.已知向量，的夹角为，，则（ ）
. . . .
5.已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则点的横坐标是（ ）
. . . .
6.已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
. . . .
7.已知，则（ ）
. . . .
8.定义在上的奇函数满足，且当时，，则当时，方程的解得个数为（ ）
. . . .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
.若，，，则事件相互独立
.已知随机变量，则
.数据2,7,4,5,16,1,21,11的第75百分位数为11
.已知随机变量，若，则
10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
.当时，函数为奇函数
.当时，函数在上单调递增
.当时，函数有2个不同的零点
.若函数在上单调递减，则
11.已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（ ）
.椭圆的离心率为 .的最大值为
.的最大值为3 .的最大值为60°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在的展开式中，的系数为 .
13.已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 .
14.秦量是秦代为同一全国量制而由官府颁发的标准量器，秦量多为铜质和陶质，铜量有方升和椭量，陶量则多为圆桶形（即圆台形状，如图所示）.某地出土秦诏文陶量1件，高为10厘米，上部外径（即上底面外部直径）为24厘米，下部外径（即下底面外部直径）为16厘米，则此陶量的外接球的表面积为
平方厘米.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数，.
（1）求函数单调递增区间；
（2）在中，的对边分别为，角满足，，，求的值.
16.（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，,为中点，作交于点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17.（15分）已知双曲线的离心率为3，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，. （1）求双曲线的标准方程；
（2）若的面积为，求直线的方程.
18.（17分）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.
（1）求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望；
（2）规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？
19.（17分）已知函数.
（1）时，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）证明不等式恒成立.
答案解析
一、选择题
1.D 解析：∵，，∴.
2.C 解析：∵，复数在复平面内对应的点为，∴在复平面内对应的点位于第三象限.
3.A 解析：∵数列为等差数列，∴，∴，
设的首项为，公差为，则，解得.
4.C 解析：，，
∴.
5.C 解析：设点的横坐标为，抛物线的标准方程为：，该抛物线的准线方程为，∵抛物线上的点到其焦点的距离为2，则，解得.
6.D 解析：设等比数列的公比为，由题意可知，
则，解得，∴.
7.C 解析：∵，解得，
.
8.A 解析：根据题意，为奇函数，则的图象关于原点对称，
又由，则的图象关于直线对称，
∵当时，，个可画函数在的图象，
所求方程在的解得个数，
等价于函数与函数的交点个数，
由图可知函数与函数在上有2个交点，
故方程在上有2个解.
二、选择题
9.ABD 解析：对于A，，则，∴事件相互独立，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，将数据从小到大排序为：1,2,4,5,7,11,16,21.共有8个数据，∴第75百分位数为第6,7个数据的平均数，为，给C错误；
对于D，随机变量，且，则，
∴，故D正确.
10.BC 解析：，
对于A，当时，，显然不是奇函数，故A错误；
对于B，当时，令，解得或，
故时，函数在上单调递增，故B正确；
对于C，当时，，，
令，解得或；令，解得，
故在上递增，在递减，在上递增，
，，
当时，，
故时，有1个零点，是1个零点，则有2个不同的零点，故C正确；
对于D，，
结合题意，则，解得，故D错误.
11.BCD 解析：由椭圆方程得，，∴，因此,
对于A，，，故，A错误；
对于B，，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，令，则，故C正确；
对于D，当为短轴的端点时，取得最大值，此时，
则，∴，∴的最大值为60°，故D正确.
三、填空题
12. 解析：展开式的通项公式，
令，解得，则的系数为.
13. 解析：由，得，
易知当，圆的半径最小，即圆的面积最小.
14. 解析：如图，画出圆台的轴截面，
，，，
由题意可知，球心在上，设，，
∴，解得，，
∴外接球的表面积.
四、解答题
15.解：（1），
由，得，
又，取得函数单调递增区间为：和.
（2）由，得，∴，
由余弦定理得，即，
∴，∴.
16.解：（1）证明：依题意得，以为原点，
所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∵为中点，∴，∴，，
∴，∴.
∵，且，平面，∴平面.
（2）由（1）知为平面的一个法向量，又，，
设平面的一个法向量为，则，
不妨取，则， 则.
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
17.解：（1）由题意可得，解得，
故双曲线的标准方程为：.
（2）由题意知直线的斜率不为0，则设直线，.
联立，整理得，
则，，
，，
∵的面积为，
∴，即，
整理得，即，解得，
故直线的方程为或.
18.解：（1）由题知：可取0,1,2,3，则：
；；
；，
故的分布列为：
则的期望为：.
（2）参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为，
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则.
故，
∴分分布列为：
故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
19.解：（1）时，，依题意切点坐标为，，
∴函数在处的切线的斜率为，
故函数在处的切线方程为.
（2）的定义域为，，
当时，恒成立，∴在上单调递增；
当时，令，得，
∴时，，单调递增；时，，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在上单调递减.
（3）要证恒成立，即证恒成立，
令，则，由（2）可知，在上单调递增，在单调递减，
∴恒成立，
即有时，恒成立，当且仅当时取“=”号，
亦有，即恒成立，当且仅当，即时取“=”号.
∴一方面，当且仅当，即时取“=”号，
另一方面恒成立，当且仅当时取“=”号，
∴恒成立，原不等式得证.