2025年湖南省长沙市雅礼外国语学校中考数学模拟试卷（3月份）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025年湖南省长沙市雅礼外国语学校中考数学模拟试卷（3月份）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 205.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-08 21:20:20 | ||
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文档简介
2025年湖南省长沙市雅礼外国语学校中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2025的相反数是（ ）
A. -2025 B. 2025 C. D.
2.二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年，“32400000”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A. 0.324×108 B. 32.4×106 C. 3.24×107 D. 3.24×108
4.点M（4，-3）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A. （-4，3） B. （-4，-3） C. （4，-3） D. （-3，4）
5.下列运算中，正确的是（ ）
A. 3ab 2b=6ab2 B. 3ab-ab=2
C. （2a-b）2=4a2-b2 D.
6.下列说法正确的是（ ）
A. 调查“行云二号”各零部件的质量适宜采用抽样调查方式
B. 5位同学月考数学成绩分别为95，83，76，83，100，则这5位同学月考数学成绩的众数为83
C. 某游戏的中奖率为1%，则买100张奖券，一定有1张中奖
D. 某校举办了一次生活大百科知识竞赛，若甲、乙两班的成绩平均数相同，方差分别为40，80，则乙班成绩更稳定
7.一次函数y=-2x-1的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H.若AB=10，CD=8，则OH的长为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（ ）
A. 20° B. 30° C. 45° D. 60°
10.如图，正方形边长为a,点E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB=90°，连接CE.给出下面四个结论：①AE+CE≥a；②CE≤a；③∠BCE的度数最大值为60°；④当CE=a时，tan∠ABE=.上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ①④
D. ①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：m2-16= ______.
12.小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示.为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据：
重复试验次数 30 50 100 300 800
点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483
“点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 0.64 0.59 0.61 0.60
由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为______.（结果保留整数）
13.圆锥的底面半径6cm,母线8cm,则该圆锥的侧面积是______cm2.
14.如图，直线y=mx与直线y=kx+b相交于（-1，2），则不等式mx≥kx+b的解集为______.
15.如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴于B点，若S△AOB=5，则k的值为______.
16.已知方程x2+x-2=0的两根分别为x1，x2，则的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：（x+3）2-2x（x+2）+（x-3）（x+3），其中x=-1.
19.(本小题6分)
热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼楼底的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为150m,这栋楼有多高？（，结果取整数）
20.(本小题8分)
为增强学生安全意识，某校举行了一次安全知识竞赛，从3000名学生中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（A：90≤x≤100；B：80≤x＜90；C：70≤x＜80；D：60≤x＜70），并根据分析结果绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图.
据以上信息，解答下列问题：
（1）n= ______，m= ______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为______；
（4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生有多少人？
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC=AE，E是△ABC外一点，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.
（1）求证：BC=DE；
（2）若∠BAD=30°，求∠B的度数.
22.(本小题9分)
近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃.已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元.
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个？
23.(本小题9分)
如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作AC的垂线交BC于点E，延长ED到点F，使得DF=ED，连接AE，AF，FC.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠B=45°，，求的值.
24.(本小题10分)
定义：在平面直角坐标系xOy中，若在函数图象W上存在一点M，绕原点顺时针旋转90°后的对应点N（点N与M不重合）仍在此函数图象W上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点M称为这个函数的“凡尔赛点”，点N叫作点M的“后凡尔赛点”.
（1）函数①y=2x,②，③y=x2，其中是“凡尔赛函数”的是______；（填序号）
（2）若一次函数y=kx+2是“凡尔赛函数”，点P（m,n）（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求k的值；
（3）若点A（1，3）是二次函数y=ax2+bx+c（其中a,b,c为常数，c＞b＞a）的“凡尔赛点”，点B为A的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与x轴交于C、D两点，由点A、B、C、D四点构成的四边形面积记为S，求S的取值范围.
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．
（1）分别求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；
（3）如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点（不与B、F重合），连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】（m+4）（m-4）
12.【答案】6
13.【答案】48π
14.【答案】x≤-1
15.【答案】-10
16.【答案】
17.【答案】解：原式=2-1-10×+4
=1-5+4
=0．
18.【答案】解：原式=x2+6x+9-2x2-4x+x2-9，
=（x2-2x2+x2）+（6x-4x）+（9-9）
=2x,
当x=-1时，原式=2×（-1）=-2．
19.【答案】这栋楼约有346m高．
20.【答案】150 36 144°
21.【答案】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和Rt△DAE，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴BC=DE；
（2）解：∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，
∴∠B=∠BDA，
∵∠BAD=30°，∠BAD+∠B+∠BDA=180°，
∴∠B+∠BDA=150°，
∴∠B=75°．
22.【答案】解：（1）设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是（x+3）元．
由题意可得7（x+3）=10x,
整理得，3x=21，
解得x=7，
则x+3=10．
即每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元；
（2）设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃（200-m）个．
10m+7（200-m）≤1600，
整理得，3m≤200，
解得，
因为m为整数，所以m最大为66，
即最多购买A种娃娃66个．
23.【答案】（1）证明：∵D是AC的中点，
∴AD=DC，
又∵DF=ED，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：如图1，过点A作AH⊥BC于H，
则△AHB是等腰直角三角形，
∴AH=BH，
∵EF⊥AC，
∴∠ADE=90°，
∵，AD=CD，
∴AD=ED，
即，
∴tan∠EAD=，
∴∠EAD=30°，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE=CE，
∴∠ACH=∠EAD=30°，
∴BH=AH=AC=EF，
∵∠CDE=∠CHA=90°，∠DCE=∠HCA，
∴△CDE∽△CHA，
∴，
即，
解得EC=EF，
∴AE=EF，
∵= ，
∴BE=BH+EH=EF，
∴．
24.【答案】③； k=-1，1，； 4．
25.【答案】解：（1）如图1，连接CM、AM，作MD⊥x轴，交x轴于点D，
∵⊙M与y轴相切于点C，点M的坐标是（5，4），
∴CM⊥y轴，即C（0，4），⊙M的半径为5，
∴AM=5，DM=4，
∴AD=DB===3，
∴OA=5-3=2，
∴A（2，0），B（8，0）；
（2）证明：将A（2，0）代入中，可得，
∴E（5，），
∴DE=，
∴ME=DE+MD==，
则，，，
∴MA2+AE2=ME2，
∴MA⊥AE，
又∵MA为半径，
∴直线EA与⊙M相切；
（3）为定值，
理由如下：
连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，
∵∠FPN为圆内接四边形ABPF的外角，
∴∠FPN=∠FAB，
又∵MF⊥AB，
∴AF=BF，
∴∠FAB=∠FBA=∠FPA，
∴∠FPN=∠FPA，
∵FQ⊥AP，FN⊥PN，
∴FQ=FN，
在Rt△FPQ和Rt△FPN中，
∴Rt△FPQ≌Rt△FPN（HL），
∴PQ=PN，
在Rt△AFQ和Rt△BFN中，
∴Rt△AFQ≌Rt△BFN（HL），
∴AQ=BN，
∴．
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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2025的相反数是（ ）
A. -2025 B. 2025 C. D.
2.二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年，“32400000”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A. 0.324×108 B. 32.4×106 C. 3.24×107 D. 3.24×108
4.点M（4，-3）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A. （-4，3） B. （-4，-3） C. （4，-3） D. （-3，4）
5.下列运算中，正确的是（ ）
A. 3ab 2b=6ab2 B. 3ab-ab=2
C. （2a-b）2=4a2-b2 D.
6.下列说法正确的是（ ）
A. 调查“行云二号”各零部件的质量适宜采用抽样调查方式
B. 5位同学月考数学成绩分别为95，83，76，83，100，则这5位同学月考数学成绩的众数为83
C. 某游戏的中奖率为1%，则买100张奖券，一定有1张中奖
D. 某校举办了一次生活大百科知识竞赛，若甲、乙两班的成绩平均数相同，方差分别为40，80，则乙班成绩更稳定
7.一次函数y=-2x-1的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H.若AB=10，CD=8，则OH的长为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（ ）
A. 20° B. 30° C. 45° D. 60°
10.如图，正方形边长为a,点E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB=90°，连接CE.给出下面四个结论：①AE+CE≥a；②CE≤a；③∠BCE的度数最大值为60°；④当CE=a时，tan∠ABE=.上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ①④
D. ①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：m2-16= ______.
12.小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示.为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据：
重复试验次数 30 50 100 300 800
点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483
“点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 0.64 0.59 0.61 0.60
由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为______.（结果保留整数）
13.圆锥的底面半径6cm,母线8cm,则该圆锥的侧面积是______cm2.
14.如图，直线y=mx与直线y=kx+b相交于（-1，2），则不等式mx≥kx+b的解集为______.
15.如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴于B点，若S△AOB=5，则k的值为______.
16.已知方程x2+x-2=0的两根分别为x1，x2，则的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：（x+3）2-2x（x+2）+（x-3）（x+3），其中x=-1.
19.(本小题6分)
热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼楼底的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为150m,这栋楼有多高？（，结果取整数）
20.(本小题8分)
为增强学生安全意识，某校举行了一次安全知识竞赛，从3000名学生中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（A：90≤x≤100；B：80≤x＜90；C：70≤x＜80；D：60≤x＜70），并根据分析结果绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图.
据以上信息，解答下列问题：
（1）n= ______，m= ______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为______；
（4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生有多少人？
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC=AE，E是△ABC外一点，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.
（1）求证：BC=DE；
（2）若∠BAD=30°，求∠B的度数.
22.(本小题9分)
近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃.已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元.
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个？
23.(本小题9分)
如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作AC的垂线交BC于点E，延长ED到点F，使得DF=ED，连接AE，AF，FC.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠B=45°，，求的值.
24.(本小题10分)
定义：在平面直角坐标系xOy中，若在函数图象W上存在一点M，绕原点顺时针旋转90°后的对应点N（点N与M不重合）仍在此函数图象W上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点M称为这个函数的“凡尔赛点”，点N叫作点M的“后凡尔赛点”.
（1）函数①y=2x,②，③y=x2，其中是“凡尔赛函数”的是______；（填序号）
（2）若一次函数y=kx+2是“凡尔赛函数”，点P（m,n）（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求k的值；
（3）若点A（1，3）是二次函数y=ax2+bx+c（其中a,b,c为常数，c＞b＞a）的“凡尔赛点”，点B为A的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与x轴交于C、D两点，由点A、B、C、D四点构成的四边形面积记为S，求S的取值范围.
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．
（1）分别求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；
（3）如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点（不与B、F重合），连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】（m+4）（m-4）
12.【答案】6
13.【答案】48π
14.【答案】x≤-1
15.【答案】-10
16.【答案】
17.【答案】解：原式=2-1-10×+4
=1-5+4
=0．
18.【答案】解：原式=x2+6x+9-2x2-4x+x2-9，
=（x2-2x2+x2）+（6x-4x）+（9-9）
=2x,
当x=-1时，原式=2×（-1）=-2．
19.【答案】这栋楼约有346m高．
20.【答案】150 36 144°
21.【答案】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和Rt△DAE，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴BC=DE；
（2）解：∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，
∴∠B=∠BDA，
∵∠BAD=30°，∠BAD+∠B+∠BDA=180°，
∴∠B+∠BDA=150°，
∴∠B=75°．
22.【答案】解：（1）设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是（x+3）元．
由题意可得7（x+3）=10x,
整理得，3x=21，
解得x=7，
则x+3=10．
即每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元；
（2）设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃（200-m）个．
10m+7（200-m）≤1600，
整理得，3m≤200，
解得，
因为m为整数，所以m最大为66，
即最多购买A种娃娃66个．
23.【答案】（1）证明：∵D是AC的中点，
∴AD=DC，
又∵DF=ED，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：如图1，过点A作AH⊥BC于H，
则△AHB是等腰直角三角形，
∴AH=BH，
∵EF⊥AC，
∴∠ADE=90°，
∵，AD=CD，
∴AD=ED，
即，
∴tan∠EAD=，
∴∠EAD=30°，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE=CE，
∴∠ACH=∠EAD=30°，
∴BH=AH=AC=EF，
∵∠CDE=∠CHA=90°，∠DCE=∠HCA，
∴△CDE∽△CHA，
∴，
即，
解得EC=EF，
∴AE=EF，
∵= ，
∴BE=BH+EH=EF，
∴．
24.【答案】③； k=-1，1，； 4．
25.【答案】解：（1）如图1，连接CM、AM，作MD⊥x轴，交x轴于点D，
∵⊙M与y轴相切于点C，点M的坐标是（5，4），
∴CM⊥y轴，即C（0，4），⊙M的半径为5，
∴AM=5，DM=4，
∴AD=DB===3，
∴OA=5-3=2，
∴A（2，0），B（8，0）；
（2）证明：将A（2，0）代入中，可得，
∴E（5，），
∴DE=，
∴ME=DE+MD==，
则，，，
∴MA2+AE2=ME2，
∴MA⊥AE，
又∵MA为半径，
∴直线EA与⊙M相切；
（3）为定值，
理由如下：
连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，
∵∠FPN为圆内接四边形ABPF的外角，
∴∠FPN=∠FAB，
又∵MF⊥AB，
∴AF=BF，
∴∠FAB=∠FBA=∠FPA，
∴∠FPN=∠FPA，
∵FQ⊥AP，FN⊥PN，
∴FQ=FN，
在Rt△FPQ和Rt△FPN中，
∴Rt△FPQ≌Rt△FPN（HL），
∴PQ=PN，
在Rt△AFQ和Rt△BFN中，
∴Rt△AFQ≌Rt△BFN（HL），
∴AQ=BN，
∴．
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