2025年江西省吉安市吉州区中考数学一模试卷(含部分答案)

2025年江西省吉安市吉州区中考数学一模试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.凝固点是晶体物质凝固时的温度，则在标准大气压下，下列物质中凝固点最低的是（　　）
物质 钨 水银 煤油 水
凝固点 3410℃ -38.87℃ -30℃ 0℃
A. 钨 B. 水银 C. 煤油 D. 水
2.央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年.下面是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.下列各式一定是二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
4.如图是一个几何体的俯视图，则这个几何体的形状可能是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.下列计算正确的是（　　）
A. a3 4a2=4a6 B. （-2a3）2=-4a6
C. （2a2b）3=8a6b3 D. （-2ab3）2=4a2b5
6.在数学综合实践课上，李老师拿出了如图1所示的三个边长都为1cm的正方形硬纸板，并提出问题：“若将这三个正方形硬纸板互不重叠平放在桌面上，用一个圆形纸片将其完全覆盖，怎样摆放才能使这个圆形纸片的直径最小呢？”全班同学经过讨论后，得出如图2所示的三种方案，则下列说法正确的是（　　）
A. 方案一中圆形纸片的直径最小，直径是
B. 方案二中圆形纸片的直径最小，直径是
C. 方案二和方案三中圆形纸片的直径都最小，直径都是
D. 方案一、方案二和方案三中圆形纸片的直径都不是最小的
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.分解因式：a2-9b2=______．
8.截至2025年3月14日，动画电影《哪吒之魔童闹海》（简称《哪吒2》）全球总票房（含预售及海外）已突破150亿元人民币，成为中国影史首部达此量级的动画电影.数据“150亿”用科学记数法表示为______.
9.如图所示，三角形OAB的顶点B的坐标为（4，0），把三角形OAB沿x轴向右平移得到三角形CDE，如果CB=1，那么OE的长为______．
10.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如下：
数字形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如“”表示的数是6728，“”表示的数是6708，则“”表示的四位数是______.
11.如图，在平行四边形ABCD的中，∠ABC=120°，点G是AB的中点，连结CG，点H是线段CG上一动点，连结DH，已知AB=4，BC=6，当H为CG中点时，则HD的长为______.
12.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，D为AC中点，E为边AB上一动点，当构成的四边形BCDE有一组邻边相等时，则AE的长可以是______.
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
（1）计算：；
（2）如图，矩形ABCD中，E、F是AD上的点，∠AFB=∠DEC.求证：AF=DE.
14.(本小题6分)
关于x的方程为x2+（m-3）x+m-7=0．
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2．且满足2（x1+x2）+x1x2＞0，求m的取值范围．
15.(本小题6分)
如图，一次函数y1=-x-3的图象与x轴，y轴分别交于点C，D，与反比例函数的图象交于点A，B，已知点A的纵坐标为1.
（1）反比例函数的表达式为______；当y1≥y2时，x的取值范围是______.
（2）若点F是点D关于x轴的对称点，求△ABF的面积.
16.(本小题6分)
化学实验课上，杨老师带来了Mg（镁）、Al（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气.（根据金属活动顺序可知：Mg、Al、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）
（1）小贾从四个容器中随机选一个，则选到Al的概率为______；
（2）若小贾随机选择一个容器后，小秦再从剩下的三个容器中随机选择一个容器，求二人所选容器中的金属均能置换出氢气的概率.
17.(本小题6分)
如图，在等腰△ABC和 BECD中，AB=AC，DB⊥BC，请仅用无刻度直尺完成以下作图.（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作出△ABC的边BC上的高AM.
（2）在图2中，作出△BCD的边BD上的中线CN.
18.(本小题8分)
观影是休闲放松的选择之一.为了解大家对电影的评价情况，小川同学从电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析，所有观众的评分均高于8分（电影评分用x表示，共分成四组：A.8＜x≤8.5；B.8.5＜x≤9；C.9＜x≤9.5；D.9.5＜x≤10），下面给出了部分信息：
上午20名学生的评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10.
下午20名学生的评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4.
上、下午所抽观众的评分统计表
上午 下午
平均数 9.4 9.4
中位数 9.4 b
众数 a 9.3
（1）上述图表中a=______，b=______，m=______；
（2）根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由（至少用两种统计量说明）；
（3）上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（x＞9）的观众人数一共是多少？
19.(本小题8分)
如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC=1.3米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC．EF⊥EH于点E，已知AH=米，HF=米，HE=1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
20.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠B=∠ACB=30°，点O在线段BC上，连接AO，AO=OC，过点C作CD∥AB交AO的延长线于点D，以O为圆心，OD为半径作⊙O.
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若AD=6，求图中阴影部分的面积.
21.(本小题9分)
某公司欲订购一种纪念品在五一期间回馈老客户，工厂接到此订单后计划通过引进一条新生产线来完成任务.根据以往经验，一名熟练工人比一名普通工人每小时制作的纪念品数量多5件，且一名熟练工人制作120件纪念品与一名普通工人制作80件纪念品所用的时间相同.
（1）求一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能制作多少件纪念品？
（2）新生产线的目标产能是每小时生产200件纪念品，该工厂计划在本地招聘n名普通工人，并从其他生产线上调用m名熟练工人共同完成新生产线的任务，请用含n的代数式表示m；
（3）该工厂在做市场调研时发现，一名普通工人每天工资为120元，一名熟练工人每天工量为150元，而且从其他生产线上调用的熟练工人不超过10人，则在（2）的条件下，该工厂如何安排工人，才能使支付的工资最少？
22.(本小题9分)
如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE=∠DAF.
【模型建立】
（1）求证：AF⊥BE；
【模型应用】
（2）若AB=2，AD=3，DF=BF，求DE的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DF=BF，求的值.
23.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，点A（-1，0）、B（0，3）在抛物线y=-x2+bx+c上，该抛物线的顶点为C.点P为该抛物线上一点，其横坐标为m.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当BP⊥y轴时，求△BCP的面积；
（3）当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求出m的取值范围并写出这个定值；
（4）在抛物线对称轴上是否存在一点E，使△ABE是以AB为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】（a+3b）（a-3b）
8.【答案】1.5×1010
9.【答案】7
10.【答案】2025
11.【答案】3
12.【答案】2或3或
13.【答案】4；
证明：由条件可知AB=CD，∠A=∠D=90°，
在△BAF和△CDE中，
，
∴△BAF≌△CDE（AAS），
∴AF=DE
14.【答案】解：（1）∵△=（m-3）2-4（m-7）=（m-5）2+12＞0，
∴无论m取何值方程总有两个不相等的实数根．
（2）根据题意得x1+x2=3-m，x1x2=m-7，
∵2（x1+x2）+x1x2＞0，
∴2（3-m）+m-7＞0，
∴m＜-1．
15.【答案】，x≤-4或0＜x≤1；
15
16.【答案】
17.【答案】解：（1）如图1，AM即为所求；
（2）如图2，CN即为所求．
18.【答案】9.4；9.35；40；
上午的观众对电影的评分较高，
理由如下：因为上、下午观众对电影的评分的平均数相同，但上午的中位数和众数比下午的高，所以上午的观众对电影的评分较高；
估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（x＞9）的观众人数一共是1080名
19.【答案】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE===，
∴∠FHE=45°．
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，

则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM=AB，HN=EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=，
∴AB=BCtan60°=1.3×=1.3（米），
∴GM=AB=1.3（米），
在Rt△ANH中，∠FAN=∠FHE=45°，
∴HN=AHsin45°=×=（米），
∴EM=EG+GM=+1.3≈2.75（米）．
答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75米．
20.【答案】（1）证明：如图，过点O作OE⊥AC于点E，
∵∠B=∠ACB=30°，
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，
∵AO=OC，
∴∠CAO=∠ACB=30°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAO=90°，
∵CD∥AB，
∴∠ODC=∠BAD=90°，∠DCO=∠B=30°=∠ECO，
∵OE⊥AC，
∴∠OEC=90°=∠ODC，
在△OCE和△OCD中，
，
∴△OCE≌△OCD（AAS），
∴OE=OD，
∵⊙O是以O为圆心，OD为半径，
∴OE为半径，
又OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）解：由（1）得，∠ODC=90°，∠DAC=30°，
∴AC=2CD,
根据勾股定理;AD2=AC2-CD2=3CD2,
∵AD=6，
∴CD==2，
∵∠OCD=30°，
OC=2OD,
根据勾股定理：CD2=OC2-OD2=3OD2，
∴OD==2，
∵△OCE≌△OCD，
∴四边形ODCE的面积=2S△OCD=2×CD OD=4，
∵S扇形ODE==π，
∴阴影部分的面积=四边形ODCE的面积-S扇形ODE=4-π．
21.【答案】解：（1）设一名普通工人每小，能制作x件纪念品，则一名熟练工人每小时能制作（x+5）件纪念品，
，
解得x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，
∴x+5=15，
答：一名熟练工人每小时能制作15件纪念品，一名普通工人每小，能制作10件纪念品；
（2）由题意可得，
10n+15m=200，
则m=-n+；
即m与n的函数关系式是m=-n+；
（3）设支付的工资的总费用为w元，
w=120n+150m=120n+150（-n+）=20n+2000，
∴w随n的增大而增大，
∵从其他生产线上调用的熟练工人不超过10人，
∴m≤10，
即-n+≤10，
解得n≥5，
∴当n=5时，w取得最小值，此时w=2100，m=-n+=10，
答：招聘普通工人5人，从其他生产线上调用熟练工人10人时，才能使支付的工资最少．
22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABE=∠DAF，
∴∠AOE=∠BAF+∠ABE=∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴AF⊥BE．
（2）解：如图1，延长AF交CD于点G，
∵GD∥AB，
∴△GDF∽△ABF，
∵DF=BF，AB=2，AD=3，
∴==，
∴GD=AB=×2=1，
∵∠BAE=∠ADG=90°，∠ABE=∠DAG，
∴=tan∠ABE=tan∠DAG==，
∴AE=AB=×2=，
∴DE=AD-AE=3-=，
∴DE的长是．
（3）解：如图2，延长AF交CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ADH=90°，
设AB=AD=2m,
∵HD∥AB，
∴△HDF∽△ABF，
∵DF=BF，
∴===，
∴HD=AB=×2m=m,
∴AH===m,
∴AF=AH=AH=×m=m,
∴==，
∴的值为．
23.【答案】解：（1）把点A（-1，0）、B（0，3）代入y=-x2+bx+c得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）由（1）知，y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴点C为（1，4），
当BP⊥y轴时，点P与点B关于对称轴x=1对称，
∴点P（2，3），
∴BP=2，点C到PB的距离为1，
∴，
∴△BCP的面积为1；
（3）设抛物线与x轴的另一交点为点D，如图所示，
∴点A（-1，0）与点D关于直线x=1对称，
∴点D为（3，0）
当点P在点C和点D之间时，点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值4，
∴此时m的取值范围为：1≤m≤3；
（4）如图，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴对称轴为直线x=1，
设E（1，t），而A（-1，0）、B（0，3），
∴AB2=12+32=10，AE2=22+t2=4+t2，BE2=12+（t-3）2，
∵AB为斜边，
∴4+t2+1+（t-3）2=10，
解得：t=1或t=2，
∴E（1，1）或E（1，2）．
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