11.3乘法公式培优提升训练（含答案）华东师大版2025—2026学年八年级上册
文档属性
| 名称 | 11.3乘法公式培优提升训练（含答案）华东师大版2025—2026学年八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 575.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-08 21:52:35 | ||
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文档简介
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11.3乘法公式培优提升训练华东师大版2025—2026学年八年级上册
一、选择题
1．若（且），则，已知，那么a、b、c三者之间的关系正确的有（ ）个
①；②；③；④
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S，（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．王老师在数学实践课上，给了每个学生一张正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证，下面是4位同学裁剪拼接的过程，其中不能验证上述公式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．的个位数字为（ ）
A．9 B．7 C．3 D．1
5．已知，，则（ ）
A．4 B．2 C．0 D．-2
6．已知，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
7．设，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．如图1，I是边长为的正方形纸片，II是边长为的正方形纸片，III是长为，宽为的长方形纸片（），将I，III按图2所示的方式放入纸片II内，若图2中两块阴影部分的面积分别为和，若要求的值，只需要知道（ ）的值
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知，则的值为 ．
10．已知，那么 ．
11．已知，则的值为 ．
12．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ．
三、解答题
13．已知，．
(1)当时，求的值；
(2)求的值．
14．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
(1)①如图1，用不同的代数式表示大正方形的面积，方法一：___________，方法二：___________，由此得到的等式为___________，（用字母a、表示）
②根据上面结论，当时，___________．
(2)①类比（1）的探究过程，请用不同的代数式表示图2中大正方形的面积．由此得到的等式为___________；（用a、b、c表示）；
②根据上面的结论，已知时，求的值是多少？
15．在矩形内，将两张边长分别为a和b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．
(1)当，时， （用含a，b的代数式表示）．
(2)当图1中两张正方形纸片重叠部分的面积是b，图2中重叠部分的面积是，请试用含a，b的代数式表示矩形的面积．
(3)小明在计算（2）时发现，，若矩形的面积为24，那么就能求出矩形的周长，请你帮他完成．
16．将完全平方公式：进行适当的变形解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)填空①若，则______；
②若，则______．
(3)如图，在长方形中，，，、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
17．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：．
(1)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请画出图形；
(2)已知，，求的值；
(3)已知，求的值；
(4)已知，求的值．
18．乘法公式的探究及应用．
探究问题：如图①是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图②．
（1）图①中长方形纸条的面积可表示为__________（写成多项式乘法的形式）；
（2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为__________（写成两数平方差的形式）；
（3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：__________；
结论运用：
（4）运用所得的公式计算：__________，__________；
拓展运用：
（5）计算：．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．C
4．B
5．C
6．A
7．B
8．A
二、填空题
9．36
10．
11．
12．16
三、解答题
13．【解】（1）解：∵，．
∴当时，
；
（2）∵，．
∴
．
14．【解】（1）正方形的边长为，
方法一：正方形的面积为，
大正方形可以分成个边长为的正方形、个边长为的正方形、个长为宽为的长方形，
方法二：大正方形的面积为，
，
故答案为：，，；
由可知，
，
又，，
，
故答案为：；
（2）①类比（1）可得：，
故答案为：；
由可得：，
，，
．
15．【解】（1）解：
故答案为．
（2）解：图1中两张正方形纸片重叠部分的面积是b，得，
图2中重叠部分的面积是3b，得，
．
（3）解：∵，
∴
∴，
∴矩形的周长为．
16．【解】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：①设，则，，
∴，
，
，
，
即，
故答案为：；
②设，，则，，
∴，
，
，
，
即，
故答案为：；
（3）解：，，，
，，
，
设，，
那么，，
，
，
，
，
即图中阴影部分的面积和为．
17．【解】（1）解：如图，可以验证：；
（2）解：，
，
，
又，，
；
（3）解：设，，则，
，
，
，
，
即；
（4）解：设，，则，
，
，
，
，
，
．
18．【解】解：（1）图①中长方形纸条的面积可表示为，
故答案为：；
（2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为，
故答案为：；
（3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：，
故答案为：；
（4）
，
，
故答案为：，；
（5）
．
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11.3乘法公式培优提升训练华东师大版2025—2026学年八年级上册
一、选择题
1．若（且），则，已知，那么a、b、c三者之间的关系正确的有（ ）个
①；②；③；④
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S，（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．王老师在数学实践课上，给了每个学生一张正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证，下面是4位同学裁剪拼接的过程，其中不能验证上述公式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．的个位数字为（ ）
A．9 B．7 C．3 D．1
5．已知，，则（ ）
A．4 B．2 C．0 D．-2
6．已知，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
7．设，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．如图1，I是边长为的正方形纸片，II是边长为的正方形纸片，III是长为，宽为的长方形纸片（），将I，III按图2所示的方式放入纸片II内，若图2中两块阴影部分的面积分别为和，若要求的值，只需要知道（ ）的值
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知，则的值为 ．
10．已知，那么 ．
11．已知，则的值为 ．
12．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ．
三、解答题
13．已知，．
(1)当时，求的值；
(2)求的值．
14．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
(1)①如图1，用不同的代数式表示大正方形的面积，方法一：___________，方法二：___________，由此得到的等式为___________，（用字母a、表示）
②根据上面结论，当时，___________．
(2)①类比（1）的探究过程，请用不同的代数式表示图2中大正方形的面积．由此得到的等式为___________；（用a、b、c表示）；
②根据上面的结论，已知时，求的值是多少？
15．在矩形内，将两张边长分别为a和b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．
(1)当，时， （用含a，b的代数式表示）．
(2)当图1中两张正方形纸片重叠部分的面积是b，图2中重叠部分的面积是，请试用含a，b的代数式表示矩形的面积．
(3)小明在计算（2）时发现，，若矩形的面积为24，那么就能求出矩形的周长，请你帮他完成．
16．将完全平方公式：进行适当的变形解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)填空①若，则______；
②若，则______．
(3)如图，在长方形中，，，、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
17．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：．
(1)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请画出图形；
(2)已知，，求的值；
(3)已知，求的值；
(4)已知，求的值．
18．乘法公式的探究及应用．
探究问题：如图①是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图②．
（1）图①中长方形纸条的面积可表示为__________（写成多项式乘法的形式）；
（2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为__________（写成两数平方差的形式）；
（3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：__________；
结论运用：
（4）运用所得的公式计算：__________，__________；
拓展运用：
（5）计算：．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．C
4．B
5．C
6．A
7．B
8．A
二、填空题
9．36
10．
11．
12．16
三、解答题
13．【解】（1）解：∵，．
∴当时，
；
（2）∵，．
∴
．
14．【解】（1）正方形的边长为，
方法一：正方形的面积为，
大正方形可以分成个边长为的正方形、个边长为的正方形、个长为宽为的长方形，
方法二：大正方形的面积为，
，
故答案为：，，；
由可知，
，
又，，
，
故答案为：；
（2）①类比（1）可得：，
故答案为：；
由可得：，
，，
．
15．【解】（1）解：
故答案为．
（2）解：图1中两张正方形纸片重叠部分的面积是b，得，
图2中重叠部分的面积是3b，得，
．
（3）解：∵，
∴
∴，
∴矩形的周长为．
16．【解】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：①设，则，，
∴，
，
，
，
即，
故答案为：；
②设，，则，，
∴，
，
，
，
即，
故答案为：；
（3）解：，，，
，，
，
设，，
那么，，
，
，
，
，
即图中阴影部分的面积和为．
17．【解】（1）解：如图，可以验证：；
（2）解：，
，
，
又，，
；
（3）解：设，，则，
，
，
，
，
即；
（4）解：设，，则，
，
，
，
，
，
．
18．【解】解：（1）图①中长方形纸条的面积可表示为，
故答案为：；
（2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为，
故答案为：；
（3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：，
故答案为：；
（4）
，
，
故答案为：，；
（5）
．
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