(共8张PPT)
第十七章 因式分解
微专题九 教材经典母题及变式
核心母题1 两步分解因式
【例1】分解因式：
(1)2ma2－8mb2；
解：(1)原式＝2m(a2－4b2)
＝2m(a＋2b)(a－2b).
(2)36x2＋36x＋9.
解：(2)原式＝9(4x2＋4x＋1)
＝9(2x＋1)2.
解：(1)原式＝2m(a2－4b2)
＝2m(a＋2b)(a－2b).
解：(2)原式＝9(4x2＋4x＋1)
＝9(2x＋1)2.
【变式1】分解因式：
(1)ax3－ax；
解：(1)原式＝ax(x2－1)
＝ax(x＋1)(x－1).
(2)3x3－18x2y＋27xy2.
解：(2)原式＝3x(x2－6xy＋9y2)
＝3x(x－3y)2.
解：(1)原式＝ax(x2－1)
＝ax(x＋1)(x－1).
解：(2)原式＝3x(x2－6xy＋9y2)
＝3x(x－3y)2.
核心母题2 整体思想分解因式
【例2】分解因式：(a－3)2－(2a－6).
解：原式＝(a－3)2－2(a－3)
＝(a－3)(a－3－2)
＝(a－3)(a－5).
解：原式＝(a－3)2－2(a－3)
＝(a－3)(a－3－2)
＝(a－3)(a－5).
【变式2】分解因式：16(2m＋n)2－8n(2m＋n)＋n2.
解：原式＝[4(2m＋n)]2－8n(2m＋n)＋n2
＝[4(2m＋n)－n]2
＝(8m＋3n)2.
解：原式＝[4(2m＋n)]2－8n(2m＋n)＋n2
＝[4(2m＋n)－n]2
＝(8m＋3n)2.
核心母题3 同时使用两个公式分解因式
【例3】分解因式： －16x2.
解：原式＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x)
＝(x＋2)2(x－2)2.
【变式3】分解因式：16m4－8m2＋1.
解：原式＝ －8m2＋1
＝
＝ .
解：原式＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x)
＝(x＋2)2(x－2)2.
解：原式＝ －8m2＋1
＝
＝ .
核心母题4 与因式分解有关的阅读理解
【例4】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正
整数为“神秘数”.如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是这种“神秘数”.
(1)28和2 012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；
解：(1)是.理由如下：
∵28＝82－62，2 012＝5042－5022，
∴28是“神秘数”，2 012是“神秘数”.
解：(1)是.理由如下：
∵28＝82－62，2 012＝5042－5022，
∴28是“神秘数”，2 012是“神秘数”.
【例4】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正
整数为“神秘数”.如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是这种“神秘数”.
(2)试说明：“神秘数”能被4整除；
解：(2)设两个连续偶数分别是2k和2k＋2，
则(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2＋2k)(2k＋2－2k)
＝2(4k＋2)
＝4(2k＋1).
∴“神秘数”能被4整除.
解：(2)设两个连续偶数分别是2k和2k＋2，
则(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2＋2k)(2k＋2－2k)
＝2(4k＋2)
＝4(2k＋1).
∴“神秘数”能被4整除.
【例4】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正
整数为“神秘数”.如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是这种“神秘数”.
(3)两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？试说明理由.
解：(3)设两个连续奇数分别是2k＋1，2k－1，则(2k＋1)2－(2k－1)2＝
8k.
由(2)，得“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，
但8是4的偶数倍，所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”.
解：(3)设两个连续奇数分别是2k＋1，2k－1，则(2k＋1)2－(2k－1)2＝
8k.
由(2)，得“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，
但8是4的偶数倍，所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”.(共17张PPT)
第十七章 因式分解
章末复习
知识要点
知识点1 因式分解的概念
把一个多项式化成了几个整式的 的形式，像这样的式子变形叫
作这个多项式的因式分解.
知识点1 因式分解的概念
乘积
对点训练
1. 下列等式从左到右是因式分解的是( D )
A. 8x2y＝2x·4xy
B. x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C. 2x＋1＝x
D. x2－3x＝x(x－3)
D
知识要点
知识点2 提公因式法分解因式
(1)找公因式的方法：①定数字；②定字母；③定指数；
(2)把多项式中各项的 提取出来，将多项式写成 与
另一个因式的
的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
公因式
公因式
乘积
对点训练
2. (1)多项式20x2y＋12xy2的公因式是 ；
(2)多项式9m2n－6m3的公因式是 .
3. 分解因式：
(1)4x2－8xy＝ ；
(2)4m＋2mn－m2n＝ .
4xy
3m2
4x(x－2y)
m(4＋2n－mn)
知识要点
知识点3 用公式法分解因式
(1)平方差公式：a2－b2＝ ；
(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝ .
对点训练
4. 分解因式：
(1)9x2－1＝ ；
(2)25－20x＋4x2＝ .
(a＋b)(a－b)
(a±b)2
(3x＋1)(3x－1)
(5－2x)2
知识要点
知识点4 用综合法分解因式的一般步骤
(1)提公因式；
(2)套公式；
(3)检查是否分解彻底.
对点训练
5. 分解因式：
(1)ax2－a＝ ；
(2)2x2＋4x＋2＝ ；
(3)x4－1＝ .
a(x＋1)(x－1)
2(x＋1)2
(x2＋1)(x＋1)(x－1)
核心练习
1. 把多项式4m2－25分解因式正确的是( B )
A. (4m＋5)(4m－5) B. (2m＋5)(2m－5)
C. (m－5)(m＋5) D. m(m－5)(m＋5)
2. 若x2－kx＋64是一个完全平方式，则k的值是( D )
A. 8 B. ±8 C. 16 D. ±16
B
D
3. 倩倩有一本密码手册，有如下信息：x，x2＋1，3，3x＋y，y，(x＋
y)2分别对应6个字：爱，祖，我，华，中，国，现将3x3y＋6x2y2＋3xy3
因式分解，结果是下列哪句话( B )
A. 爱我中华 B. 我爱中国
C. 我爱祖国 D. 爱我国
4. 式子n2－1与n2＋n的公因式是( A )
A. n＋1 B. n2 C. n D. n－1
B
A
5. 分解因式：
(1)15a3＋10a2；
解：(1)原式＝5a2·3a＋5a2·2
＝5a2(3a＋2).
(2)2a3－8a；
解：(2)原式＝2a(a2－4)
＝2a(a＋2)(a－2).
解：(1)原式＝5a2·3a＋5a2·2
＝5a2(3a＋2).
解：(2)原式＝2a(a2－4)
＝2a(a＋2)(a－2).
5. 分解因式：
(3)m(a－3)＋2(3－a)；
解：(3)原式＝m(a－3)－2(a－3)
＝(m－2)(a－3).
(4)2x3＋8x2＋8x；
解：(4)原式＝2x(x2＋4x＋4)
＝2x(x＋2)2.
解：(3)原式＝m(a－3)－2(a－3)
＝(m－2)(a－3).
解：(4)原式＝2x(x2＋4x＋4)
＝2x(x＋2)2.
5. 分解因式：
(5)－3x3＋6x2y－3xy2；
解：(5)原式＝－3x(x2－2xy＋y2)
＝－3x(x－y)2.
(6)(x2＋y2)2－4x2y2.
解：(6)原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)
＝(x＋y)2(x－y)2.
解：(5)原式＝－3x(x2－2xy＋y2)
＝－3x(x－y)2.
解：(6)原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)
＝(x＋y)2(x－y)2.
6. 利用因式分解计算：
(1)59.8×60.2；
解：(1)原式＝(60－0.2)(60＋0.2)
＝3 600－0.04
＝3599.96.
解：(1)原式＝(60－0.2)(60＋0.2)
＝3 600－0.04
＝3599.96.
(2)2 0212－2 0202＋2 0102－2 0092.
解：(2)原式＝(2 021＋2 020)(2 021－2 020)＋(2 010＋2 009)(2 010－2 009)
＝4 041＋4 019
＝8 060.
7. (1)求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n＋1)2－(2n－1)2
是8的倍数；
解：(1)证明：(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝
4n×2＝8n.
∴2n＋1与2n－1的平方差是8的倍数.
解：(1)证明：(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝
4n×2＝8n.
∴2n＋1与2n－1的平方差是8的倍数.
解：(2)不是8的倍数.
∵(2m＋2)2－(2m)2＝(2m＋2＋2m)(2m＋2－2m)＝(4m＋2)×2＝8m
＋4，
∴两个连续偶数的平方差不是8的倍数.
由题意，得8m＋4＋k＝8 .
当4＋k＝8，即k＝4时，k最小.
∴k的最小值是4.
解：(2)不是8的倍数.
∵(2m＋2)2－(2m)2＝(2m＋2＋2m)(2m＋2－2m)＝(4m＋2)×2＝8m
＋4，
∴两个连续偶数的平方差不是8的倍数.
由题意，得8m＋4＋k＝8 .
当4＋k＝8，即k＝4时，k最小.
∴k的最小值是4.
7.(2)两个连续偶数2m＋2与2m(m为整数)的平方差是8的倍数吗？如果是，
说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的
结果为8的倍数，求k的最小值.
8. 阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q
＝mn且p＝m＋n，那么可以把x2＋px＋q因式分解成(x＋m)(x＋n).
例如：①x2＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3)；②x2－4x－12＝(x－6)(x＋2).
材料2：分解因式：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成一个整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝
(A＋1)2.再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1).
上述解题用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法.结
合材料1和材料2，解答下列问题.
(1)因式分解：(x－y)2＋4(x－y)＋3；
解：(1)设M＝x－y，则(x－y)2＋4(x－y)＋3＝M2＋4M＋3＝(M＋1)(M
＋3).
∴原式＝(x－y＋1)(x＋y＋3).
(2)因式分解：m(m＋2)(m2＋2m－2)－3.
解：(2)设N＝m2＋2m，则m(m＋2)(m2＋2m－2)－3＝N(N－2)－3＝
N2－2N－3＝(N＋1)(N－3).
∴原式＝(m2＋2m＋1)(m2＋2m－3)
＝(m＋1)2(m－1)(m＋3).
解：(1)设M＝x－y，则(x－y)2＋4(x－y)＋3＝M2＋4M＋3＝(M＋1)(M
＋3).
∴原式＝(x－y＋1)(x＋y＋3).
解：(2)设N＝m2＋2m，则m(m＋2)(m2＋2m－2)－3＝N(N－2)－3＝
N2－2N－3＝(N＋1)(N－3).
∴原式＝(m2＋2m＋1)(m2＋2m－3)
＝(m＋1)2(m－1)(m＋3).(共16张PPT)
第十七章 因式分解
第3课时 用公式法分解因式(1)
【思考】多项式a2－b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
【分析】这个多项式是两个数的平方差的形式.由于整式的乘法与因式分
解是方向相反的变形，把整式乘法的平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2
的等号两边互换，就得到a2－b2＝( )( ).
即两个数的平方差，等于这两个数的 与这两个数的 的积.
如：x2－4＝x2－22＝( )( )，25－m2＝52－m2
＝( )( ).
a＋b
a－b
和
差
x＋2
x－2
5 ＋ m
5－m
知识点1 直接运用平方差公式分解因式
【例1】(人教教材P128例1)分解因式：
(1)4x2－9；
解：(1)原式＝(2x)2－32
＝(2x＋3)(2x－3).
解：(2)a2－25b2.
(2)原式＝a2－(5b)2
＝(a＋5b)(a－5b).
解：(1)原式＝(2x)2－32
＝(2x＋3)(2x－3).
(2)a2－25b2.
解：(2)原式＝a2－(5b)2
＝(a＋5b)(a－5b).
【变式1】(人教教材P129T2节选)分解因式：
(1)49n2－1；
解：(1)原式＝(7n)2－12
＝(7n＋1)(7n－1).
(2)a2－ b2.
解：(2)原式＝a2－
＝ .
解：(1)原式＝(7n)2－12
＝(7n＋1)(7n－1).
解：(2)原式＝a2－
＝ .
【例2】分解因式：
(1)4x2－y2z2；
解：(1)原式＝(2x)2－(yz)2
＝(2x＋yz)(2x－yz).
(2)－16x2＋1.
解：(2)原式＝12－(4x)2
＝(1＋4x)(1－4x).
解：(1)原式＝(2x)2－(yz)2
＝(2x＋yz)(2x－yz).
解：(2)原式＝12－(4x)2
＝(1＋4x)(1－4x).
【变式2】分解因式：
(1)x2y2－36；
解：(1)原式＝(xy)2－62
＝(xy＋6)(xy－6).
(2)－x2＋9y2.
(2)原式＝(3y)2－x2
＝(3y＋x)(3y－x).
解：(1)原式＝(xy)2－62
＝(xy＋6)(xy－6).
解：(2)原式＝(3y)2－x2
＝(3y＋x)(3y－x).
知识点2 运用平方差公式分解因式(整体思想)
【例3】分解因式：
(1)(x＋p)2－(x＋q)2；
解：(1)原式＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]
＝(2x＋p＋q)(p－q).
解：(2)9x2－(x－3y)2.
(2)原式＝[3x＋(x－3y)][3x－(x－3y)]
＝(4x－3y)(2x＋3y).
解：(1)原式＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]
＝(2x＋p＋q)(p－q).
(2)9x2－(x－3y)2.
解：(2)原式＝[3x＋(x－3y)][3x－(x－3y)]
＝(4x－3y)(2x＋3y).
【变式3】(人教教材P129T2节选)分解因式：
(1)4b2－(b＋c)2；
解：(1)原式＝[2b＋(b＋c)][2b－(b＋c)]
＝(3b＋c)(b－c).
(2)(m＋2n)2－(m－2n)2.
解：(2)原式＝[(m＋2n)＋(m－2n)][(m＋2n)－(m－2n)]
＝2m×4n
＝8mn.
解：(1)原式＝[2b＋(b＋c)][2b－(b＋c)]
＝(3b＋c)(b－c).
解：(2)原式＝[(m＋2n)＋(m－2n)][(m＋2n)－(m－2n)]
＝2m×4n
＝8mn.
课堂总结：能用平方差公式分解因式的条件.
(1)式子为二项式且符号相反；
(2)各项能够写成平方的形式.
1. (人教教材P129T1改编)下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的
是( C )
A. a2＋b2 B. 2a－b2
C. a2－b2 D. －a2－b2
2. 下列单项式中，使多项式16a2＋M能用平方差公式因式分解的M是
( D )
A. a B. b2 C. －16a D. －b2
C
D
3. 多项式16－x2分解因式的结果是( A )
A. (4－x)(4＋x) B. (x－4)(x＋4)
C. (8＋x)(8－x) D. (4－x)2
4. 若2m＋n＝3，2m－n＝5，则4m2－n2＝ .
A
15
5. 分解因式：
(1)a2－ b2；
解：(1)原式＝a2－
＝ .
(2)4x2y2－1；
(2)原式＝(2xy)2－12
＝(2xy＋1)(2xy－1).
解：(1)原式＝a2－
＝ .
解：(2)原式＝(2xy)2－12
＝(2xy＋1)(2xy－1).
5. 分解因式：
(3)(m－1)2－(m＋3)2.
解：(3)原式＝\[(m－1)＋(m＋3)\]\[(m－1)－(m＋3)\]
＝－4(2m＋2)
＝－8(m＋1).
解：(3)原式＝\[(m－1)＋(m＋3)\]\[(m－1)－(m＋3)\]
＝－4(2m＋2)
＝－8(m＋1).
6. 已知△ABC 的三边长a，b，c满足(a＋b)2－c2＝12，且a＋b－c＝
3，求△ABC的周长.
解：∵(a＋b)2－c2＝12，
∴(a＋b＋c)(a＋b－c)＝12.
∵a＋b－c＝3，
∴a＋b＋c＝4.
∴△ABC的周长是4.
解：∵(a＋b)2－c2＝12，
∴(a＋b＋c)(a＋b－c)＝12.
∵a＋b－c＝3，
∴a＋b＋c＝4.
∴△ABC的周长是4.
7. (中考创新考法·新定义型阅读理解)在数的学习过程中，我们总会对其
中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两
个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.例如：12＝42－
22，20＝62－42，28＝82－62，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”.
(1)36 “智慧数”；(填“是”或“不是”)
(2)设两个连续偶数分别是2n和2n＋2(其中n取正整数)，由这两个连续
偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？为什么？
解：(2)∵(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝2(4n＋2)＝
4(2n＋1)，
∴这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数.
是
解：(2)∵(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝2(4n＋2)＝
4(2n＋1)，
∴这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数.
(3)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方
形ABCD，其边长为100，求阴影部分的面积.
解：(3)(42－22)＋(82－62)＋(122－102)＋……＋(1002－982)
＝4×3＋4×7＋4×11＋……＋4×99
＝4×(3＋7＋11＋……＋99)
＝4× ×(3＋99)×25
＝5 100 .
∴阴影部分的面积是5 100.
解：(3)(42－22)＋(82－62)＋(122－102)＋……＋(1002－982)
＝4×3＋4×7＋4×11＋……＋4×99
＝4×(3＋7＋11＋……＋99)
＝4× ×(3＋99)×25
＝5 100 .
∴阴影部分的面积是5 100.
7. (中考创新考法·新定义型阅读理解)在数的学习过程中，我们总会对其
中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两
个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.例如：12＝42－
22，20＝62－42，28＝82－62，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”.∴这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数.(共13张PPT)
第十七章 因式分解
第1课时 用提公因式法分解因式(1)
整式的乘法：x(x＋2)＝x2＋2x，(a＋3)(a－3)＝a2－9，(x＋1)2＝x2＋2x
＋1.
反过来：x2＋2x＝ ，a2－9＝ ，x2＋2x＋1
＝ .
上面我们把一个 化成了几个 的 的形式，像
这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解
因式.
注意：因式分解与整式乘法是方向 的变形.
x(x＋2)
(a＋3)(a－3)
(x＋1)2
多项式
整式
乘积
相反
知识点1 因式分解的概念
【例1】下列式子是因式分解的是( B )
A. x(x－2)＝x2－2x B. x2－2x＝x(x－2)
C. x＋2＝x(1＋ ) D. x(1＋ )＝x＋2
【变式1】下列等式从左到右的变式是因式分解的是( D )
A. 6a3b＝3a2·2ab B. (x＋2)(x－2)＝x2－4
C. 2x2＋4x－3＝2x(x＋2)－3 D. ax－ay＝a(x－y)
B
D
知识点2 用提公因式法分解因式
(1)观察多项式pa＋pb＋pc，它的各项都有一个公共的因式p，我们把因
式p叫作这个多项式各项的 .对多项式pa＋pb＋pc分解因式
为pa＋pb＋pc＝ .
(2)一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个 提取出
来，将多项式写成 与另一个因式的 的形式，这种分
解因式的方法叫作提公因式法.
公因式
p(a＋b＋c)
公因式
公因式
乘积
【例2】分解因式：
(1)ax－ay；
(2)mx2＋my2；
解：(1)原式＝a(x－y). 解：(2)原式＝m(x2＋y2).
(3)3x2－4xy2＋x；
(4)－a2＋2a.
解：(3)原式＝x(3x－4y2＋1). 解：(4)原式＝－a(a－2).
解：(1)原式＝a(x－y).
解：(3)原式＝x(3x－4y2＋1).
解：(2)原式＝m(x2＋y2).
解：(4)原式＝－a(a－2).
【变式2】分解因式：
(1)a2－2a；
(2)ab2＋b；
解：(1)原式＝a(a－2). 解：(2)原式＝b(ab＋1).
(3)xy－y2＋yz；
(4)－mx－my.
解：(3)原式＝y(x－y＋z). 解：(4)原式＝－m(x＋y).
解：(1)原式＝a(a－2).
解：(3)原式＝y(x－y＋z).
解：(4)原式＝－m(x＋y).
解：(2)原式＝b(ab＋1).
知识点3 利用因式分解进行简便计算
【例3】利用因式分解计算：1.992＋1.99×0.01.
解：原式＝1.99×(1.99＋0.01)
＝1.99×2
＝3.98.
【变式3】利用因式分解计算：49×20.22＋52×20.22－20.22.
解：原式＝20.22×(49＋52－1)
＝20.22×100
＝2 022.
解：原式＝1.99×(1.99＋0.01)
＝1.99×2
＝3.98.
解：原式＝20.22×(49＋52－1)
＝20.22×100
＝2 022.
课堂总结：
1. 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即pa＋pb＋pc p(a
＋b＋c).
2. 提公因式时，若第一项前有“－”，通常要把“－”提出来.
1. 下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是( B )
A. x2－y B. x2－3x
C. x2＋y2 D. x2－xy＋y2
2. 多项式m2－4m因式分解的结果是( A )
A. m(m－4) B. (m＋2)(m－2)
C. m(m＋2)(m－2) D. (m－2)2
B
A
3. 对于式子：①x2＋2xy＝x(x＋2y)；②(x－3)(x＋2)＝x2－x－6从左到
右的变形，下列说法正确的是( C )
A. 都是因式分解
B. 都是整式乘法
C. ①是因式分解，②是整式乘法
D. ①是整式乘法，②是因式分解
C
4. 分解因式：a2＋5a＝ ，2y－3xy＝ .
5. 若多项式x2＋ax＋b分解因式的结果为(x＋1)(x－2)，则a＋b的值
为 .
6. 如图是由一个边长为a的正方形与两个长、宽分别为a，b的长方形拼
接成的大长方形，其面积可以表示为 ，还可以表示为
，由此可验证的因式分解的式子为 .
a(a＋5)
y(2－3x)
－3
a(a＋2b)
a2
＋2ab
a2＋2ab＝a(a＋2b)
7. 利用因式分解计算：
(1)21×3.14＋62×3.14＋17×3.14；
解：(1)原式＝3.14×(21＋62＋17)
＝3.14×100
＝314.
(2)5×34＋4×34＋9×32.
解：(2)原式＝34×(5＋4＋1)
＝81×10
＝8 100.
解：(1)原式＝3.14×(21＋62＋17)
＝3.14×100
＝314.
解：(2)原式＝34×(5＋4＋1)
＝81×10
＝8 100.
8. (跨学科情境)如图，把 R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的
电流为I，电压为U，则 U＝IR1＋IR2＋IR3.当R1＝18.4，R2＝16.7，
R3＝27.9，I＝ 3.5时，求U的值.
解：U＝IR1＋IR2＋IR3
＝I(R1＋R2＋R3)
＝3.5×(18.4＋16.7＋27.9)
＝3.5×63
＝220.5.
答：U的值为220.5.
解：U＝IR1＋IR2＋IR3
＝I(R1＋R2＋R3)
＝3.5×(18.4＋16.7＋27.9)
＝3.5×63
＝220.5.
答：U的值为220.5.(共10张PPT)
第十七章 因式分解
中考热点——数学探究与综合应用
1. 【问题情境】
(1)对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到
一个数学等式.
图1
【探究实践】
(2)类比图1，写出图2中所表示的数学等式：
；
图2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2
＋2ab＋2ac＋2bc
(3)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
解：(3)∵(a＋b＋c)2＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2＝a2＋b2＋2ab＋2ac＋
2bc＋c2＝等式右边，
∴等式成立.
解：(3)∵(a＋b＋c)2＝(a＋b)2＋2c(a＋b)
＋c2＝a2＋b2＋2ab＋2ac＋ 2bc＋c2
＝等式右边，
∴等式成立.
(4)利用(2)中得到的结论，解决问题：若a＋b＋c＝10，ab＋ac＋bc＝
35，求a2＋b2＋c2的值；
解：(4)∵a＋b＋c＝10，ab＋ac＋bc＝35，
∴a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2ab－2ac－2bc
＝102－2(ab＋ac＋bc)
＝100－2×35
＝30.
解：(4)∵a＋b＋c＝10，ab＋ac＋bc＝35，
∴a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2ab－2ac－2bc
＝102－2(ab＋ac＋bc)
＝100－2×35
＝30.
图1
图2
【拓展应用】
(5)用图3中1张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别
为a，b的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，求m的值.
图3
解：(5)由题意，得所拼成的长方形或正方形的面积为a2＋3b2＋mab，
从因式分解的角度看，可分解为(a＋b)(a＋3b)，
∴(a＋b)(a＋3b)＝a2＋3b2＋4ab.
∴m＝4.
解：(5)由题意，得所拼成的长方形或正方形的面积为a2＋3b2＋mab，
从因式分解的角度看，可分解为(a＋b)(a＋3b)，
∴(a＋b)(a＋3b)＝a2＋3b2＋4ab.
∴m＝4.
2. 对于多项式x3－5x2＋x＋10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2
能使多项式x3－5x2＋x＋10的值为0，由此可以断定多项式x3－5x2＋x
＋10中有因式(x－2)(注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则
多项式一定含有因式x－a)，于是我们可以把多项式写成：x3－5x2＋x
＋10＝(x－2)(x2＋mx＋n)，分别求出m，n后再代入x3－5x2＋x＋10＝
(x－2)(x2＋mx＋n)，就可以把多项式x3－5x2＋x＋10因式分解.
(1)求式子中m，n的值；
解：(1)在等式x3－5x2＋x＋10＝(x－2)(x2＋mx＋n)中，
分别令x＝0，x＝1，
可得m＝－3，n＝－5.
解：(1)在等式x3－5x2＋x＋10＝(x－2)(x2＋mx＋n)中，
分别令x＝0，x＝1，
可得m＝－3，n＝－5.
(2)以上这种因式分解的方法叫作“试根法”，用“试根法”分解多项式
x3＋5x2＋8x＋4.
解：(2)把x＝－1代入x3＋5x2＋8x＋4，得其值为0，
则多项式可分解为(x＋1)(x2＋ax＋b)的形式，
用(1)的方法可求得a＝4，b＝4.
∴x3＋5x2＋8x＋4＝(x＋1)(x2＋4x＋4)＝(x＋1)(x＋2)2.
解：(2)把x＝－1代入x3＋5x2＋8x＋4，得其值为0，
则多项式可分解为(x＋1)(x2＋ax＋b)的形式，
用(1)的方法可求得a＝4，b＝4.
∴x3＋5x2＋8x＋4＝(x＋1)(x2＋4x＋4)＝(x＋1)(x＋2)2.
3. 【问题情境】一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被
3整除，那么这个自然数就能被3整除.
比如：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个
两位数为 .于是 ＝10a＋b＝9a＋(a＋b)，显然9a能被3整除，因
此，如果a＋b能被3整除，那么 9a＋(a＋b)就能被3整除，即 能被3
整除.
【类比探究】已知三位数 .
(1)请用含a，b，c的代数式表示三位数 ＝ ；
(2)“若a＋b＋c能被3整除，则三位数 就能被3整除”，请你说出其
中的道理；
解：(2) ＝100a＋10b＋c＝99a＋9b＋(a＋b＋c).
∵99a＝3×33a，9b＝3×3b，
∴99a能被3整除，9b能被3整除.
∴若a＋b＋c能被3整除，则99a＋9b＋(a＋b＋c)就能被3整除，即
能被3整除.
100a＋10b＋c
解：(2) ＝100a＋10b＋c＝99a＋9b＋(a＋b＋c).
∵99a＝3×33a，9b＝3×3b，
∴99a能被3整除，9b能被3整除.
∴若a＋b＋c能被3整除，则99a＋9b＋(a＋b＋c)就能被3整除，即
能被3整除.
【类比拓展】判断一个三位整数能否被7整除，只需看去掉这个数的末位
数字后，所得到的数与此末尾数字5倍的和能否被7整除，如果这个和能
被7整除，则原数就能被7整除.
比如： 三位数去掉末位数字c得两位数 ，再用 加上c的5倍所
得的和为 ＋5c.若 ＋5c是7的倍数，则 能被7整除.
(3)请你说明“若 ＋5c是7的倍数，则 能被7整除”这个结论的
道理.
解：(3)∵ ＋5c＝10a＋b＋5c，
∴ ＝100a＋10b＋c＝10(10a＋b)＋c
＝10(10a＋b＋5c－5c)＋c
＝10(＋5c)－49c.
∵49c能被7整除， ＋5c是7的倍数，
∴10(＋5c)－49c就能被7整除，即 能被7整除.
解：(3)∵ ＋5c＝10a＋b＋5c，
∴ ＝100a＋10b＋c＝10(10a＋b)＋c
＝10(10a＋b＋5c－5c)＋c
＝10(＋5c)－49c.
∵49c能被7整除， ＋5c是7的倍数，
∴10(＋5c)－49c就能被7整除，即 能被7整除.(共7张PPT)
第十七章 因式分解
数学活动
活动1 个位数字是5的两位数平方的规律
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
15×15＝225＝1×2×100＋25；
25×25＝625＝2×3×100＋25；
35×35＝1 225＝3×4×100＋25；
…
(1)第4个等式： ，
第5个等式： ；
45×45＝2 025＝4×5×100＋25
55×55＝3 025＝5×6×100＋25
(2)用含n(n是整数且1≤n≤9)的等式写出一般的规律，并证明.
解：(2)(10n＋5)2＝n(n＋1)×100＋25.
证明如下：(10n＋5)2＝100n2＋100n＋25
＝(n2＋n)×100＋25
＝n(n＋1)×100＋25.
解：(2)(10n＋5)2＝n(n＋1)×100＋25.
证明如下：(10n＋5)2＝100n2＋100n＋25
＝(n2＋n)×100＋25
＝n(n＋1)×100＋25.
活动1 个位数字是5的两位数平方的规律
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
15×15＝225＝1×2×100＋25；
25×25＝625＝2×3×100＋25；
35×35＝1 225＝3×4×100＋25；
…
活动2 利用因式分解生成密码
人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定
的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按
从小到大的顺序排列就可以形成密码.例如，多项式x2y－4y，将其分解
因式为y(x＋2)(x－2).若取x＝15，y＝12，则有y＝12，x＋2＝17，x
－2＝13，其中12，17，13分别为因式码.将这三个因式码按从小到大的
顺序排列就形成密码121317.当然也可取另外一些适当的数字，得出新的
密码.
(1)已知多项式16p4－q4，当取p＝10，q＝5时，用上述方法生成的密码
是什么？
解：(1)16p4－q4＝(4p2＋q2)(4p2－q2)＝(4p2＋q2)(2p＋q)(2p－q).
当p＝10，q＝5时，4p2＋q2＝4×102＋52＝425，2p＋q＝25，2p－q＝
15，
∴密码为1525425.
解：(1)16p4－q4＝(4p2＋q2)(4p2－q2)＝(4p2＋q2)(2p＋q)(2p－q).
当p＝10，q＝5时，4p2＋q2＝4×102＋52＝425，2p＋q＝25，2p－q＝
15，
∴密码为1525425.
(2)已知多项式16p4－q4，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码
为5，15，你能求出第三个因式码吗？
解：(2)由(1)，得16p4－q4＝(4p2＋q2)(2p＋q)(2p－q).
∵密码的前两个因式码为5，15，
∴2p－q＝5，2p＋q＝15.
∴p＝5，q＝5.
∴4p2＋q2＝4×52＋52＝125.
∴第三个因式码为125.
解：(2)由(1)，得16p4－q4＝(4p2＋q2)(2p＋q)(2p－q).
∵密码的前两个因式码为5，15，
∴2p－q＝5，2p＋q＝15.
∴p＝5，q＝5.
∴4p2＋q2＝4×52＋52＝125.
∴第三个因式码为125.
(3)已知多项式x4y＋4x3y2＋4x2y3，当x＝2，y＝3时，用上述方法生成
的密码是什么？
解：(3)x4y＋4x3y2＋4x2y3＝x2y(x2＋4xy＋4y2)
＝x2y(x＋2y)2
＝x2y(x＋2y)(x＋2y).
当x＝2，y＝3时，x2y＝12，x＋2y＝8.
∴密码为8812.
解：(3)x4y＋4x3y2＋4x2y3＝x2y(x2＋4xy＋4y2)
＝x2y(x＋2y)2
＝x2y(x＋2y)(x＋2y).
当x＝2，y＝3时，x2y＝12，x＋2y＝8.
∴密码为8812.(共14张PPT)
第十七章 因式分解
第4课时 用公式法分解因式(2)
【思考】多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能将它们分
解因式吗？
【分析】在学习整式乘法时，我们学过完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab
＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2，把这两个公式的等号两边互换，就得到
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2，这就印证了因式分解.
(1)像a2＋2ab＋b2，a2－2ab＋b2，这两个多项式是两个数的
加上或减去这两个数的 的 倍，这样的式子叫作完全平方式.
平方和
积
2
(2)利用完全平方公式可实现因式分解：a2＋2ab＋b2＝ ，a2
－2ab＋b2＝ .
即两个数的 加上(或减去)这两个数的积的 倍，等于这两
个数的和(或差)的 .
(a＋b)2
(a－b)2
平方和
2
平方
知识点1 判断完全平方式
【例1】(人教教材P131T1改编)下列多项式是完全平方式的是( C )
A. 1＋4a2 B. a2＋ab＋b2
C. a2－4a＋4 D. 4b2＋4b－1
【变式1】填空：
(1)若x2＋8x＋n是完全平方式，则n＝ ；
(2)若x2＋mx＋9是完全平方式，则m＝ ；
(3)若4x2－kx＋25是完全平方式，则k＝ .
C
16
±6
±20
知识点2 直接运用完全平方公式分解因式
【例2】(人教教材P130例3)分解因式：
(1)x2＋4x＋4；
解：(1)原式＝x2＋2·x·2＋22
＝(x＋2)2.
(2)16x2－24x＋9.
解：(2)原式＝(4x)2－2·4x·3＋32
＝(4x－3)2.
解：(1)原式＝x2＋2·x·2＋22
＝(x＋2)2.
解：(2)原式＝(4x)2－2·4x·3＋32
＝(4x－3)2.
【变式2】分解因式：
(1)x2－12x＋36；
解：(1)原式＝x2－2·x·6＋62
＝(x－6)2.
(2)4p2＋12pq＋9q2.
解：(2)原式＝(2p)2＋2·2p·3q＋(3q)2
＝(2p＋3q)2.
解：(1)原式＝x2－2·x·6＋62
＝(x－6)2.
解：(2)原式＝(2p)2＋2·2p·3q＋(3q)2
＝(2p＋3q)2.
知识点3 运用完全平方公式分解因式(整体思想及第一项带负号)
【例3】(人教教材P130例4)分解因式：
(1)(a＋b)2－12(a＋b)＋36；
解：(1)原式＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62
＝(a＋b－6)2.
(2)－x2＋4xy－4y2.
解：(2)原式＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]
＝－(x－2y)2.
解：(1)原式＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62
＝(a＋b－6)2.
解：(2)原式＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]
＝－(x－2y)2.
【变式3】(人教教材P131T2节选)分解因式：
(1)(x＋y)2－10(x＋y)＋25；
解：(1)原式＝(x＋y)2－2·(x＋y)·5＋52
＝(x＋y－5)2.
(2)－2xy－x2－y2.
解：(2)原式＝－(2xy＋x2＋y2)
＝－(x＋y)2.
解：(1)原式＝(x＋y)2－2·(x＋y)·5＋52
＝(x＋y－5)2.
解：(2)原式＝－(2xy＋x2＋y2)
＝－(x＋y)2.
课堂总结：完全平方式的特点.
(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；
(2)有两个数或式的平方和；
(3)有这两个数或式的积的2倍.
1. 已知x2＋kx＋16可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为( D )
A. －8 B. ±4 C. 8 D. ±8
2. 若x2－10x＋m因式分解的结果是(x＋n)2，则m＝ ，n＝ .
D
25
－ 5
3. 运用公式法分解因式：
(1)4x2＋y2－4xy；
解：(1)原式＝(2x)2－2·2x·y＋y2
＝(2x－y)2.
(2)9－12a＋4a2；
解：(2)原式＝32－2·3·2a＋(2a)2
＝(3－2a)2.
解：(1)原式＝(2x)2－2·2x·y＋y2
＝(2x－y)2.
解：(2)原式＝32－2·3·2a＋(2a)2
＝(3－2a)2.
3. 运用公式法分解因式：
(3)4＋12(x－y)＋9(x－y)2；
解：(3)原式＝22＋2·2·3(x－y)＋
＝[2＋3(x＋y)]2
＝(2＋3x＋3y)2.
(4)－(m＋n)2＋4(m＋n)－4.
解：(4)原式＝－[(m＋n)2－4(m＋n)＋22]
＝－(m＋n－2)2.
解：(3)原式＝22＋2·2·3(x－y)＋
＝[2＋3(x＋y)]2
＝(2＋3x＋3y)2.
解：(4)原式＝－[(m＋n)2－4(m＋n)＋22]
＝－(m＋n－2)2.
4. 利用因式分解计算：
(1)2022＋202×196＋982；
解：(1)原式＝2022＋2×98×202＋982
＝(202＋98)2
＝3002
＝90 000.
解：(1)原式＝2022＋2×98×202＋982
＝(202＋98)2
＝3002
＝90 000.
(2)8502－1 700×848＋8482.
解：(2)原式＝8502－2×850×848＋8482
＝(850－848)2
＝22
＝4.
解：(2)原式＝8502－2×850×848＋8482
＝(850－848)2
＝22
＝4.
5. (人教教材P132T9改编)观察下列式子，解答下列问题.
12＋12×22＋22＝(1＋1＋1)2；
22＋22×32＋32＝(4＋2＋1)2；
32＋32×42＋42＝(9＋3＋1)2；
……
(1)写出第4个等式；
解：(1)第4个等式：42＋42×52＋52＝(16＋4＋1)2.
解：(1)第4个等式：42＋42×52＋52＝(16＋4＋1)2.
(2)写出第n个等式，并给予证明.
解：(2)第n个等式：n2＋n2(n＋1)2＋(n＋1)2＝(n2＋n＋1)2.
等式左边＝n2[1＋(n＋1)2]＋(n＋1)2，
等式右边＝(n2)2＋2n2(n＋1)＋(n＋1)2
＝n2[n2＋2(n＋1)]＋(n＋1)2
＝n2(n2＋2n＋1＋1)＋(n＋1)2
＝n2[(n＋1)2＋1]＋(n＋1)2，
∴等式左边＝等式右边，故等式成立.
5. (人教教材P132T9改编)观察下列式子，解答下列问题.
12＋12×22＋22＝(1＋1＋1)2；
22＋22×32＋32＝(4＋2＋1)2；
32＋32×42＋42＝(9＋3＋1)2；
……解：(1)第4个等式：42＋42×52＋52＝(16＋4＋1)2.(共13张PPT)
第十七章 因式分解
第5课时 用公式法分解因式(3)
对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还
需要综合运用提公因式法和公式法.请看下面的例子：
x4－1＝ －12＝(x2＋1)(x2－1)＝ ；
ax2－ay2＝a(x2－y2)＝ .
(x2＋1)(x＋1)(x－1)
a(x＋y)(x－y)
知识点1 运用平方差公式两步分解因式
【例1】(人教教材P131例5)分解因式：
(1)x4－y4；
解：(1)原式＝(x2＋y2)(x2－y2)
＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y).
(2)a3b－ab.
解：(2)原式＝ab(a2－1)
＝ab(a＋1)(a－1).
解：(1)原式＝(x2＋y2)(x2－y2)
＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y).
解：(2)原式＝ab(a2－1)
＝ab(a＋1)(a－1).
【变式1】分解因式：
(1)x2y－4y；
解：(1)原式＝y(x2－4)
＝y(x＋2)(x－2).
(2)－a4＋16.
解：(2)原式＝(4＋a2)(4－a2)
＝(4＋a2)(2＋a)(2－a).
解：(1)原式＝y(x2－4)
＝y(x＋2)(x－2).
解：(2)原式＝(4＋a2)(4－a2)
＝(4＋a2)(2＋a)(2－a).
【例2】分解因式：x2(a＋b)－y2(a＋b).
解：原式＝(a＋b)(x2－y2)
＝(a＋b)(x＋y)(x－y).
【变式2】分解因式：x2(a－b)＋9(b－a).
解：原式＝(a－b)(x2－9)
＝(a－b)(x＋3)(x－3).
解：原式＝(a＋b)(x2－y2)
＝(a＋b)(x＋y)(x－y).
解：原式＝(a－b)(x2－9)
＝(a－b)(x＋3)(x－3).
知识点2 运用完全平方公式两步分解因式
【例3】分解因式：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；
解：(1)原式＝3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2.
(2)－ax2＋2a2x－a3.
解：(2)原式＝－a(x2－2ax＋a2)
＝－a(x－a)2.
解：(1)原式＝3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2.
解：(2)原式＝－a(x2－2ax＋a2)
＝－a(x－a)2.
【变式3】分解因式：
(1)a3－2a2＋a；
解：(1)原式＝a(a2－2a＋1)
＝a(a－1)2.
(2)－4bx2＋8bxy－4by2.
解：(2)原式＝－4b(x2－2xy＋y2)
＝－4b(x－y)2.
解：(1)原式＝a(a2－2a＋1)
＝a(a－1)2.
解：(2)原式＝－4b(x2－2xy＋y2)
＝－4b(x－y)2.
知识点3 运用两个公式分解因式
【例4】分解因式：m4－18m2＋81.
解：原式＝(m2)2－2×9m2＋92
＝(m2－9)2
＝(m＋3)2(m－3)2.
解：原式＝(m2)2－2×9m2＋92
＝(m2－9)2
＝(m＋3)2(m－3)2.
【变式4】分解因式：(2ab＋1)2－a4b4.
解：原式＝(2ab＋1)2－(a2b2)2
＝(2ab＋1＋a2b2)(2ab＋1－a2b2)
＝(ab＋1)2(2ab＋1－a2b2).
解：原式＝(2ab＋1)2－(a2b2)2
＝(2ab＋1＋a2b2)(2ab＋1－a2b2)
＝(ab＋1)2(2ab＋1－a2b2).
课堂总结：分解因式的一般步骤.
(1)提：先考虑用提公因式法(公因式可以是单项式，也可以是多项式)；
(2)套：然后考虑用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能连续用公式
法分解的要继续分解；
(3)查：检查每个因式是否分解彻底.
1. 分解因式：
(1)2x3－8x；
解：(1)原式＝2x(x2－4)
＝2x(x＋2)(x－2).
(2)2m3－8m2＋8m；
解：(2)原式＝2m(m2－4m＋4)
＝2m(m－2)2.
解：(1)原式＝2x(x2－4)
＝2x(x＋2)(x－2).
解：(2)原式＝2m(m2－4m＋4)
＝2m(m－2)2.
(3)18y3－27y4－3y2.
解：(3)原式＝－3y2(－6y＋9y2＋1)
＝－3y2(1－3y)2.
2. (人教教材P132练习T2)分解因式：
(1)(a－b)2＋4ab；
解：(1)原式 ＝a2－2ab＋b2＋4ab
＝a2＋2ab＋b2
＝(a＋b)2.
(2)(p－4)(p＋1)＋3p.
解：(2)原式＝p2＋p－4p－4＋3p
＝p2－4
＝(p＋2)(p－2).
解：(1)原式 ＝a2－2ab＋b2＋4ab
＝a2＋2ab＋b2
＝(a＋b)2.
解：(2)原式＝p2＋p－4p－4＋3p
＝p2－4
＝(p＋2)(p－2).
3. (生活情境题)图1是某野营餐桌使用的一种鱼眼垫片，其示意图如图2，已知 D＝14.8 mm，d＝5.2 mm，求这个鱼眼垫片底部圆环的面积.
图1 图2
解：3.14× －3.14×
＝3.14×7.42－3.14×2.62
＝3.14×(7.4＋2.6)×(7.4－2.6)
＝150.72(mm2)
答：这个鱼眼垫片底部圆环的面积为150.72 mm2.
解：3.14× －3.14×
＝3.14×7.42－3.14×2.62
＝3.14×(7.4＋2.6)×(7.4－2.6)
＝150.72(mm2)
答：这个鱼眼垫片底部圆环的面积为150.72 mm2.
4. 因式分解：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋(my＋ny)＝x(m＋n)＋
y(m＋n)＝(m＋n)(x＋y).
以上因式分解的方法称为分组分解法.对于四项多项式的分组，可以是
“二、二分组(如此例)”，也可以是“三、一(或一、三)分组”.
根据以上方法进行因式分解：
(1)m2－n2＋m－n＝ ；
(2)4x2－2x－y2－y＝ ；
(3)a2＋b2－9＋2ab＝ .
(m－n)(m＋n＋1)
(2x＋y)(2x－y－1)
(a＋b＋3)(a＋b－3) (共5张PPT)
第十七章 因式分解
易错题集训
易错点一 公因式找错，导致分解因式不彻底
1. 分解因式：
(1)12ac－20a2；
解：(1)原式＝4a·3c－4a·5a
＝4a(3c－5a).
(2)24x3＋30x2－12xy.
解：(2)原式＝6x·4x2＋6x·5x－6x·2y
＝6x(4x2＋5x－2y).
解：(1)原式＝4a·3c－4a·5a
＝4a(3c－5a).
解：(2)原式＝6x·4x2＋6x·5x－6x·2y
＝6x(4x2＋5x－2y).
易错点二 使用公式分解不彻底
2. 分解因式：
(1)x4－81；
解：(1)原式 ＝(x2)2－92
＝(x2＋9)(x2－9)
＝(x2＋9)(x＋3)(x－3).
(2)x4－8x2＋16.
解：(2)原式＝(x2)2－2×4x2＋42
＝
＝(x＋2)2(x－2)2.
解：(1)原式 ＝(x2)2－92
＝(x2＋9)(x2－9)
＝(x2＋9)(x＋3)(x－3).
解：(2)原式＝(x2)2－2×4x2＋42
＝
＝(x＋2)2(x－2)2.
易错点三 需提负号才能套公式的因式分解
3. 分解因式：
(1)2x2y－x3－xy2.
解：(1)原式＝－x(－2xy＋x2＋y2)
＝－x(x－y)2.
(2)4xy2－4x2y－y3.
解：(2)原式＝－y(－4xy＋4x2＋y2)
＝－y(2x－y)2.
解：(1)原式＝－x(－2xy＋x2＋y2)
＝－x(x－y)2.
解：(2)原式＝－y(－4xy＋4x2＋y2)
＝－y(2x－y)2.
易错点四 先整式乘法，再因式分解
4. 分解因式：
(1)8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy.
解：(1)原式＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy
＝x2－16y2
＝(x＋4y)(x－4y).
(2)(m＋4)(m－3)－(3m－13).
解：(2)原式＝m2－3m＋4m－12－3m＋13
＝m2－2m＋1
＝(m－1)2.
解：(1)原式＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy
＝x2－16y2
＝(x＋4y)(x－4y).
解：(2)原式＝m2－3m＋4m－12－3m＋13
＝m2－2m＋1
＝(m－1)2.(共5张PPT)
第十七章 因式分解
阅读与思考
x2＋(p＋q)x＋pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将
这种类型的式子进行因式分解呢？我们发现，(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋
q)x＋pq.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：(x＋p)(x＋q)
＝x2＋px＋qx＋pq＝x2＋(p＋q)x＋pq.
因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得
x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q).(*)
利用(*)式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.例如，
将式子x2＋3x＋2分解因式.这个式子的二次项系数是1，常数项2＝
1×2，一次项系数3＝1＋2，因此这是一个x2＋(p＋q)x＋pq型的式子.
利用(*)式可得x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2).
上述分解因式x2＋3x＋2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地
表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再
分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，
求代数和，使其等于一次项系数(如图).
这样，我们也可以得到x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2).
【尝试】利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？
(1)x2＋7x＋10；
(2)x2－2x－8；
解：(1)原式＝(x＋5)(x＋2). 解：(2)原式＝(x－4)(x＋2).
(3)y2－7y＋12；
(4)x2＋7x－18.
解：(3)原式＝(y－3)(y－4). 解：(4)原式＝(x－2)(x＋9).
解：(1)原式＝(x＋5)(x＋2).
解：(3)原式＝(y－3)(y－4).
解：(4)原式＝(x－2)(x＋9).
解：(2)原式＝(x－4)(x＋2).
【拓展】类似这种方法，请对下列二次项系数不为1的多项式分
解因式.
(5)2x2＋9x＋7；
(6)3x2－8x＋4.
解：(5)原式＝(2x＋7)(x＋1). 解：(6)原式＝(3x－2)(x－2).
解：(5)原式＝(2x＋7)(x＋1).
解：(6)原式＝(3x－2)(x－2).(共13张PPT)
第十七章 因式分解
第2课时 用提公因式法分解因式(2)
【探究】如何确定多项式中的公因式.
【问题】把8a3b2＋12ab3c分解因式，应提出的公因式是( C )
A. ab B. 4ab C. 4ab2 D. 4ab2c
确定公因式的方法：
(1)定数字：提取各项系数的 ，首项系数含负号
时，通常提取“－”号；
(2)定字母：提取各项中相同的字母或多项式；
(3)定指数：提取各相同字母或多项式的最 次数.
C
绝对值的最大公约数
低
知识点1 确定公因式
【例1】多项式6a3b3c＋8a2b各项的公因式是( C )
A. 2ab B. 4abc C. 2a2b D. 4ab
【变式1】填空：
(1)多项式4m2＋6m各项的公因式是 ；
(2)多项式12abc－6bc2各项的公因式是 .
C
2m
6bc
知识点2 提公因式法分解因式——公因式是单项式
【例2】分解因式：
(1)3mx－6my；
解：(1)原式＝3m·x－3m·2y
＝3m(x－2y).
(2)8ab3－10b2.
解：(2)原式＝2b2·4ab－2b2·5
＝2b2(4ab－5).
解：(1)原式＝3m·x－3m·2y
＝3m(x－2y).
解：(2)原式＝2b2·4ab－2b2·5
＝2b2(4ab－5).
【变式2】(人教教材P126练习T1节选)分解因式：
(1)8m2n＋2mn；
解：(1)原式＝2mn·4m＋2mn·1
＝2mn(4m＋1).
(2)4a2b＋10ab－ab2.
解：(2)原式＝ab·4a＋ab·10－ab·b
＝ab(4a＋10－b).
解：(1)原式＝2mn·4m＋2mn·1
＝2mn(4m＋1).
解：(2)原式＝ab·4a＋ab·10－ab·b
＝ab(4a＋10－b).
知识点3 提公因式法分解因式——公因式是多项式
【例3】(人教教材P126例3)分解因式：
(1)2a(b＋c)－3c(b＋c)；
解：(1)原式＝(b＋c)(2a－3c).
(2)4(a－b)3＋8(b－a)2.
解：(2)原式＝4(a－b)2·(a－b)＋2·4(a－b)2
＝4(a－b)2(a－b＋2).
解：(1)原式＝(b＋c)(2a－3c).
解：(2)原式＝4(a－b)2·(a－b)＋2·4(a－b)2
＝4(a－b)2(a－b＋2).
【变式3】(人教教材P126练习T1节选)分解因式：
(1)p(a2＋b2)－q(a2＋b2)；
解：(1)原式＝(a2＋b2)(p－q).
(2)2a(y－z)3－4b(z－y)3.
解：(2)原式＝2a(y－z)3＋2b·2(y－z)3
＝2(y－z)3(a＋2b).
解：(1)原式＝(a2＋b2)(p－q).
解：(2)原式＝2a(y－z)3＋2b·2(y－z)3
＝2(y－z)3(a＋2b).
1. 用提公因式法因式分解6xy－3x2y时，提取的公因式是( B )
A. xy B. 3xy C. 12xy D. 6xy
2. 因式分解：3ab2－6ab＝ .
3. 因式分解：2a2－2a＝ .
B
3ab(b－2)
2a(a－1)
4. (人教教材P127T4改编)分解因式：
(1)6xy2－8x2y3；
解：(1)原式＝2xy2·3－2xy2·4xy
＝2xy2(3－4xy).
(2)－3ma3＋6ma2－12ma；
解：(2)原式＝－3ma·a2＋(－3ma)·(－2a)＋
(－3ma)·4
＝－3ma(a2－2a＋4).
解：(1)原式＝2xy2·3－2xy2·4xy
＝2xy2(3－4xy).
解：(2)原式＝－3ma·a2＋(－3ma)·(－2a)＋(－3ma)·4
＝－3ma(a2－2a＋4).
(3)2a(a－b)2－(a－b)3；
解：(3)原式＝[2a－(a－b)](a－b)2
＝(a＋b)(a－b)2.
(4)x2(3y－6)＋x(6－3y).
解：(4)原式＝x2(3y－6)－x(3y－6)
＝(3y－6)(x2－x)
＝3x(y－2)(x－1).
解：(3)原式＝[2a－(a－b)](a－b)2
＝(a＋b)(a－b)2.
解：(4)原式＝x2(3y－6)－x(3y－6)
＝(3y－6)(x2－x)
＝3x(y－2)(x－1).
4. (人教教材P127T4改编)分解因式：
5. (人教教材P127T5)先分解因式，再求值：
(1)(a－2)2－6(2－a)，其中a＝－2；
解：(1)原式＝(a－2)(a－2＋6)
＝(a－2)(a＋4).
当a＝－2时，原式＝(－2－2)×(－2＋4)
＝－8.
(2)4x(y＋4)－x(y＋4)2，其中x＝2，y＝5.
解：(2)原式＝x(y＋4)[4－(y＋4)]
＝－xy(y＋4).
当x＝2，y＝5时，原式＝－2×5×(5＋4)＝－90.
解：(1)原式＝(a－2)(a－2＋6)
＝(a－2)(a＋4).
当a＝－2时，原式＝(－2－2)×(－2＋4)
＝－8.
解：(2)原式＝x(y＋4)[4－(y＋4)]
＝－xy(y＋4).
当x＝2，y＝5时，原式＝－2×5×(5＋4)＝－90.
6. (人教教材P127T6)(整体思想)已知ab＝2，a－4b＝－5，求a2b－4ab2＋ab的值.
解：原式＝ab·a－ab·4b＋ab·1＝ab(a－4b＋1).
当ab ＝ 2，a－4b ＝ －5时，原式＝2×(－5＋1)＝－8.
解：原式＝ab·a－ab·4b＋ab·1＝ab(a－4b＋1).
当ab ＝ 2，a－4b ＝ －5时，原式＝2×(－5＋1)＝－8.
7. (人教教材P127T8)已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且ab
－ac＝b2－bc，证明这个三角形是等腰三角形.
证明：∵ab－ac＝b2－bc，
∴a(b－c)－b(b－c)＝0.
∴(a－b)(b－c)＝0.
∴a－b＝0或b－c＝0.
∴a＝b或b＝c.
∴这个三角形是等腰三角形.
证明：∵ab－ac＝b2－bc，
∴a(b－c)－b(b－c)＝0.
∴(a－b)(b－c)＝0.
∴a－b＝0或b－c＝0.
∴a＝b或b＝c.
∴这个三角形是等腰三角形.
