(共15张PPT)
第十六章 整式的乘法
第3课时 单项式与单项式相乘
1. 复习.
同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方
公式 am·an＝ (am)n＝ (ab)n＝
举例 (1)a2·a3＝ ； (2)23×24＝ . (1)(a3)2＝ ； (2)(23)4＝ . (1)(x2y)2＝ ；
(2)(3a2)3＝ .
am＋n
amn
anbn
a5
27
a6
212
x4y2
27a6
2. (1)3x·2x2＝(3×2)·(x·x2)＝ ；(2)3x·(－2xy)＝3×(－2)·(x·x)·y＝ .
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别
作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指
数作为积的一个因式.
6x3
－6x2y
相
乘
知识点1 单项式乘单项式的简单计算
【例1】计算：
(1)5a·3a2＝ ；
(2)(－4a)·(2ab)＝ ；
(3)xy3·(－ x2)＝ － x3y3 ；
(4)(－a2b)·(－a)＝ .
15a3
－8a2b
－ x3y3
a3b
【变式1】计算：
(1)2x2·3xy＝ ；
(2)2t2·t3·t＝ ；
(3)(－3x3)·6x4＝ ；
(4)(－x2y)·(－x2y4)＝ .
6x3y
2t 6
－18x7
x4y5
知识点2 单项式乘单项式的综合计算
【例2】计算：
(1)(2x)3·(－5xy2)；
解：(1)原式＝8x3·(－5xy2)
＝－40x4y2.
(2)(－2m2n)2·(3m2)3.
解：(2)原式＝4m4n2\527m6
＝108m10n2.
解：(1)原式＝8x3·(－5xy2)
＝－40x4y2.
解：(2)原式＝4m4n2\527m6
＝108m10n2.
【变式2】计算：
(1)(3x2y)2·(－4y)；
解：(1)原式＝9x4y2\5(－4y)
＝－36x4y3.
(2)(2a)2·(－5a3m)2.
解：(2)原式＝4a2\525a6m2
＝100a8m2.
解：(1)原式＝9x4y2\5(－4y)
＝－36x4y3.
解：(2)原式＝4a2\525a6m2
＝100a8m2.
知识点3 单项式乘单项式的实际应用
【例3】一个长方体的长为3×104 cm，宽为2×105 cm，高为5×106 cm，
求长方体的体积.
解：(3×104)×(2×105)×(5×106)
＝3×2×5×104＋5＋6
＝3×1016(cm3).
答：长方体的体积是3×1016cm3.
解：(3×104)×(2×105)×(5×106)
＝3×2×5×104＋5＋6
＝3×1016(cm3).
答：长方体的体积是3×1016cm3.
【变式3】一台计算机每秒可做1010次运算，它在5×102s内可做多少
次运算？
解：1010×5×102＝5×1012(次).
答：这台计算机在5×102s内可做5×1012次运算.
解：1010×5×102＝5×1012(次).
答：这台计算机在5×102s内可做5×1012次运算.
1. 下列计算正确的是( B )
A. 3a－2a＝1 B. 2a·3a＝6a2
C. a2·a3＝a6 D. (3a)2＝6a2
2. 计算：
(1)3a·2b＝ ；
(2)－3a3b2·8a2b2＝ ；
(3)4x2·(－2xy)＝ ；
(4)(－2a3b2c)·(－4ab)＝ .
B
6ab
－24a5b4
－8x3y
8a4b3c
3. 计算：
(1)2a3·(3a)2；
解：(1)原式＝2a3\59a2
＝18a5.
(2)(－ x2y)3·(－3xy2).
解：(2)原式＝－ x6y3\5(－3xy2)
＝ x7y5.
解：(1)原式＝2a3\59a2
＝18a5.
解：(2)原式＝－ x6y3\5(－3xy2)
＝ x7y5.
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6a2 cm，BC＝8a2 cm.
(1)求△ABC的面积；
解：(1)S△ABC＝ AC·BC＝ ×6a2·8a2＝24a4(cm2).
解：(1)S△ABC＝ AC·BC＝ ×6a2·8a2＝24a4(cm2).
(2)当a＝10时，求△ABC的面积.
解：(2)当a＝10时，S△ABC＝24×104＝2.4×105(cm2).
5. 已知A＝2x2，B＝－3xy2，C＝－2x2y2.
(1)求AB2C的值；
解：(1)AB2C＝(2x2)·(－3xy2)2·(－2x2y2)＝－36x6y6.
(2)当x＝－1，y＝2时，求AB2C的值.
解：(2)当x＝－1，y＝2时，AB2C＝－36×(－1)6×26＝－2 304.
解：(1)AB2C＝(2x2)·(－3xy2)2·(－2x2y2)＝－36x6y6.
解：(2)当x＝－1，y＝2时，AB2C＝－36×(－1)6×26＝－2 304.
6. (生活情境题)如图是小卓家的住房结构平面图.(单位：m)
(1)求房屋的总面积；
解：(1)房屋的总面积为4y·5x－(4y－y－2y)(5x－x－2x)＝20xy－ y·2x
＝20xy－2xy＝18xy(m2).
答：房屋的总面积为18xy m2.
6. (生活情境题)如图是小卓家的住房结构平面图.(单位：m)
(2)小卓家打算在客厅铺每平方米300元的地砖，在卧室铺每平方米200元
的木地板，则购买客厅地砖和卧室地板共需要多少元？
(2)购买客厅地砖和卧室地板共需要的费用为2y(5x－2x)·300＋2x(4y－
y)·200＝2y·3x·300＋2x·3y·200＝1 800xy＋1 200xy＝3 000xy(元).
答：购买客厅地砖和卧室地板共需要3 000xy元.
解：(2)购买客厅地砖和卧室地板共需要的费用为2y(5x－2x)·300＋2x(4y
－y)·200＝2y·3x·300＋2x·3y·200＝1 800xy＋1 200xy＝3 000xy(元).
答：购买客厅地砖和卧室地板共需要3 000xy元.(共5张PPT)
第十六章 整式的乘法
阅读与思考
【文化背景】在我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》
(1261年)一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律.杨辉在注
释中提到，在他之前北宋数学家贾宪(约11世纪上半叶)发明了上述方法，
因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”.
(人教教材P118“阅读与思考”改编)“杨辉三角”两腰上的数都是1，其
余每个数为它的上方(左右)两数之和，它给出了(a＋b)n(n为正整数)的展
开式(按a的次数由大到小的顺序)的系数规律.根据描述及图示完成第1－
6题：
探究1 规律探究
1. “杨辉三角”第7排左起第4个数是( D )
A. 6 B. 10 C. 15 D. 20
2. 观察这些系数的规律，请直接写出(a＋b)5＝
.
3. 观察这些系数的规律，(a＋b)7的展开式中，a5b2的系数是 .
D
a5＋5a4b＋10a3b2＋
10a2b3＋5ab4＋b5
21
探究2 应用规律解决问题
4. 利用上面的规律计算：
(1)993＋3×992＋3×99＋1； 解：(1)原式＝(99＋1)3 解：(2)原式＝(3－1)4
＝1003 ＝24
＝1 000 000. ＝16.
解：(1)原式＝(99＋1)3
＝1003
＝1 000 000.
(2)34－4×33＋6×32－4×3＋1.
解：(2)原式＝(3－1)4
＝24
＝16.
5. 若今天是星期四，经过86天后是星期几？
解：86＝(7＋1)6＝76＋a×75＋b×74＋c×73＋d×72＋e×71＋1，其中
a，b，c，d，e为各项的系数.
∵76＋a×75＋b×74＋c×73＋d×72＋e×71都能被7整除，
∴86除以7余1.
∴如果今天是星期四，经过86天后是星期五.
解：86＝(7＋1)6＝76＋a×75＋b×74＋c×73＋d×72＋e×71＋1，其中
a，b，c，d，e为各项的系数.
∵76＋a×75＋b×74＋c×73＋d×72＋e×71都能被7整除，
∴86除以7余1.
∴如果今天是星期四，经过86天后是星期五.(共6张PPT)
第十六章 整式的乘法
中考热点——数学探究与综合应用
1. (综合与实践·操作探究)用四个全等的直角边长分别为a，b(b＞a)的直
角三角形拼成如图1所示的图形，得到一个大正方形和一个小正方形，且
大正方形的边长为c.
图1
【问题提出】(1)小正方形的面积可表示为 ，大正方形的面积
可表示为 ；
(2)请写出a，b，c满足的关系式；(化到最简形式)
解：(2)根据题意，得4× ab＋(b－a)2＝c2.
化简，得a2＋b2＝c2.
∴a，b，c满足的关系式为a2＋b2＝c2.
(b－a)2
4× ab＋(b－a)2
解：(2)根据题意，得4× ab＋(b－a)2＝c2.
化简，得a2＋b2＝c2.
∴a，b，c满足的关系式为a2＋b2＝c2.
【问题解决】(3)如图2，分别以直角三角形的三边a，b，c(c＞b＞a)为
边向外作正方形，记为A，B，C，已知正方形C的面积为25，直角三角
形的面积为6，求 b－a的值.
图2
解：(3)根据题意，得a2＋b2＝c2＝25， ab＝6，
∴(b－a)2＝b2－2ab＋a2＝a2＋b2－4× ab＝25－4×6＝1.
∵b－a＞0，∴b－a＝1.
解：(3)根据题意，得a2＋b2＝c2＝25， ab＝6，
∴(b－a)2＝b2－2ab＋a2＝a2＋b2－4× ab＝25－4×6＝1.
∵b－a＞0，∴b－a＝1.
2. 在课后服务课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片
是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，
宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成
如图2所示的大正方形.
【发现】(1)根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式：
；
(a＋b)2＝a2＋
2ab＋b2
图1 图2
【应用】(2)根据(1)中的数学公式，解决下面问题：
①已知a＋b＝7，a2＋b2＝25，求ab的值；
解：(2)①∵a＋b＝7，
∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝49.
∵a2＋b2＝25，
∴2ab＝49－25＝24.
∴ab＝12.
解：(2)①∵a＋b＝7，
∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝49.
∵a2＋b2＝25，
∴2ab＝49－25＝24.
∴ab＝12.
图1 图2
②若一个长方形的长和宽分别为8－x和x－2，且(8－x)2＋(x－2)2＝
20，求这个长方形的面积.
②由(1)，得[(8－x)＋(x－2)]2＝(8－x)2＋2(8－x)(x－2)＋(x－2)2＝36.
∵(8－x)2＋(x－2)2＝20，
∴2(8－x)(x－2)＝36－20＝16.
∴(8－x)(x－2)＝8.
答：这个长方形的面积为8.
解： ②由(1)，得[(8－x)＋(x－2)]2＝(8－x)2＋2(8－x)(x－2)＋(x－2)2＝
36.
∵(8－x)2＋(x－2)2＝20，
∴2(8－x)(x－2)＝36－20＝16.
∴(8－x)(x－2)＝8.
答：这个长方形的面积为8.
图1 图2(共15张PPT)
第十六章 整式的乘法
第2课时 幂的乘方与积的乘方
探究幂的乘方法则：
(1)(32)3＝32×32×32＝3( 6 )；
(2)(a2)3＝ ＝a( 6 )；
(3)(am)3＝ ＝a( 3m ).
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
(am)n＝ ＝ ＝amn.
因此，我们有(am)n＝ (m，n都是正整数).
即幂的乘方， 底数 ，指数 .
6
a2·a2·a2
6
am·am·am
3m
amn
不变
相乘
知识点1 幂的乘方法则的运用
【例1】(人教教材P100例2改编)计算：
(1)(103)5 ＝ ，(a4)4＝ ；
(2)(am)2＝ ，－(x4)3＝ .
【变式1】计算：
(1)(103)3＝ ，(x3)2＝ ；
(2)－(xm)5 ，[(a3)m]2＝ .
1015
a16
a2m
－x12
109
x6
－x5m
a6m
【例2】计算：
(1)(y2)4·y3；
解：(1)原式＝y8·y3
＝y11.
(2)2(x2)3－(x3)2.
解：(2)原式＝2x6－x6
＝x6.
(2)m3·m5－3(m2)4.
解：(2)原式＝m8－3m8
＝－2m8.
解：(2)原式＝m8－3m8
＝－2m8.
【变式2】计算：
(1)－a4·(a3)2；
解：(1)原式＝－a4·a6
＝－a10.
知识点2 积的乘方法则的探究及运用
探究：填空，下面的运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？
(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)(b·b)＝a( )b( )；
2
2
(2)(ab)3＝ ＝ ＝a( )
b( ).
一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
(ab)n＝ ＝ · ＝ .
因此，我们有(ab)n＝ (n是正整数).
即积的乘方，等于把积的 分别乘方，再把所得的幂
.
(ab)·(ab)·(ab)
(a·a·a)(b·b·b)
3
3
anbn
anbn
每一个因式
相
乘
【例3】(人教教材P100例3改编)计算：
(1)(2a)3＝23·a3＝ ；
(2)(－5x3)2＝(－5)2·(x3)2＝ ；
(3)(－x2)3＝(－1)3·(x2)3＝ ；
(4)(－3x3 y)3＝ ＝ .
8a3
25x6
－x6
(－3)3·(x3)3·y3
－27x9 y3
【变式3】计算：
(1)(4y2)2＝ ＝ ；
(2)(－xy3)2＝ ＝ ；
(3)(－3×102)3＝ ＝ ＝ ；
(4) ＝ ·x3·(y2)3 ＝ － x3y6 .
42·y4
16y4
(－1)2·x2·(y3)2
x2y6
(－3)3×(102)3
－27×106
－27 000 000
·x3·(y2)3
－ x3y6
知识点3 幂的乘方法则的逆运用
【例4】已知10m＝2，10n＝5.
(1)103m＝ ；
(2)求103m＋2n的值.
解：(2)原式＝103m·102n＝(10m)3·(10n)2＝23·52＝200.
8
解：(2)原式＝103m·102n＝(10m)3·(10n)2＝23·52＝200.
【变式4】(人教教材P102T8改编)
(1)(－3)2 024· ＝ ；
(2)已知2m＝a，32n＝6，求23m＋10n.
解：(2)原式＝23m·210n＝(2m)3·(25)2n＝(2m)3·(32n)2＝a3·62＝36a3.
1
解：(2)原式＝23m·210n＝(2m)3·(25)2n＝(2m)3·(32n)2＝a3·62＝36a3.
1. 下列运算正确的是( C )
A. a2·a＝a2 B. (a3)2＝a5
C. (ab)5＝a5b5 D. (－3a)3＝－9a3
2. 计算(5a3)2的结果是( C )
A. 10a6 B. 10a5 C. 25a6 D. 25a5
3. 计算0.52 024·(－2)2 025的值为( A )
A. －2 B. －0.5 C. 1 D. 2
C
C
A
(3)a3·a4·a＋(a2)4＋(－2a4)2.
解：(3)原式＝a8＋a8＋4a8
＝6a8.
4. 计算：
(1)(－3pq)3；
解：(1)原式＝(－3)3·p3·q3
＝－27p3q3.
(2)－(－2a2b)4；
解：(2)原式＝－(－2)4·(a2)4·b4
＝－16a8b4.
解：(3)原式＝a8＋a8＋4a8
＝6a8.
5. 计算：
(1)[(－2a2b3)3]2；
解： (1) 原式＝[(－2)3·(a2)3·(b3)3]2
＝ (－8a6b9)2
＝64a12b18.
(2)(2x)3·(－3xy2)2；
解：(2) 原式＝23·x3·(－3)2·x2·(y2)2
＝72x5y4.
解： (1) 原式＝[(－2)3·(a2)3·(b3)3]2
＝ (－8a6b9)2
＝64a12b18.
解：(2) 原式＝23·x3·(－3)2·x2·(y2)2
＝72x5y4.
5. 计算：
(3)(－2xy2)6＋(－3x2y4)3.
解：(3)原式＝(－2)6·x6·(y2)6＋(－3)3·(x2)3·(y4)3
＝64x6y12－27x6y12
＝37x6y12.
＝64x6y12－27x6y12
＝37x6y12.
6. (人教教材P102T9)若am＝an(a＞0，a≠1)，则m＝n.
请利用上面的结论解决下面的问题：
(1)如果2×8x×16x＝222，求x的值；
解：(1)原式＝2×23x×24x＝21＋3x＋4x＝21＋7x＝222.
由结论，得1＋7x＝22，∴x＝3.
(2)如果(9x)2＝38，求x的值.
解：(2)原式＝(32x)2＝34x＝38.
由结论，得4x＝8，∴x＝2.
解：(1)原式＝2×23x×24x＝21＋3x＋4x＝21＋7x＝222.
由结论，得1＋7x＝22，∴x＝3.
解：(2)原式＝(32x)2＝34x＝38.
由结论，得4x＝8，∴x＝2.(共8张PPT)
第十六章 整式的乘法
易错题集训
易错点一 在幂的运算中符号处理不当
1. 计算：－(a－b)·(b－a)2·(b－a)3.
解：原式＝(a－b)·(a－b)2·(a－b)3
＝(a－b)6.
解：原式＝(a－b)·(a－b)2·(a－b)3
＝(a－b)6.
易错点二 忽视符号致错
2. 计算：(x－y)2·(y－x)7·[－(x－y)3]2.
解：原式＝－(x－y)2·(x－y)7·(x－y)6
＝－(x－y)15.
3. 计算：－82 025×(－0.125)2 024＋(0.25)3×26.
解：原式＝－82 024×8× ＋ ×(22)3＝－8× ＋
＝－8＋1＝－7.
解：原式＝－(x－y)2·(x－y)7·(x－y)6
＝－(x－y)15.
解：原式＝－82 024×8× ＋ ×(22)3＝－8× ＋
＝－8＋1＝－7.
易错点三 对公式理解有误致错
类型1 找不准平方差公式和完全平方公式中的a，b
4. 计算：
(1)(a－2b)(－a＋2b)；
解：(1)原式＝－(a－2b)2
＝－a2＋4ab－4b2.
(2)(2a－b＋3c)(2a＋b－3c).
解：(2)原式＝\[2a－(b－3c)\]\[2a＋(b－3c)\]
＝4a2－(b－3c)2
＝4a2－b2＋6bc－9c2.
解：(1)原式＝－(a－2b)2
＝－a2＋4ab－4b2.
解：(2)原式＝\[2a－(b－3c)\]\[2a＋(b－3c)\]
＝4a2－(b－3c)2
＝4a2－b2＋6bc－9c2.
5. 已知a＋b＝5，ab＝2，求a2＋b2－5ab的值.
解：a2＋b2－5ab
＝(a2＋2ab＋b2)－7ab
＝(a＋b)2－7ab.
∵a＋b＝5，ab＝2，
∴原式＝52－7×2＝11.
解：a2＋b2－5ab
＝(a2＋2ab＋b2)－7ab
＝(a＋b)2－7ab.
∵a＋b＝5，ab＝2，
∴原式＝52－7×2＝11.
类型2 对完全平方式的特征理解不透切
6. 若x2＋(m－2)x＋16是一个完全平方式，则m的值是( C )
A. 10 B. －10 C. －6或10 D. 10或－10
【易错点拨】像a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫作完全平方
式，做题时容易只考虑一种情况而出现漏解.
C
易错点四 不合并同类项就认定某项的系数为0
7. 已知2x＋n与x2－3x＋m的乘积中不含x2项，且一次项的系数为2，
求m，n的值.
解：根据题意，得
(2x＋n)(x2－3x＋m)
＝2x3－6x2＋2mx＋nx2－3nx＋mn
＝2x3＋(n－6)x2＋(2m－3n)x＋mn，
∵2x＋n与x2－3x＋m的乘积中不含x2项，且一次项的系数为2，
∴n－6＝0且2m－3n＝2，
解得m＝10，n＝6.
解：根据题意，得
(2x＋n)(x2－3x＋m)
＝2x3－6x2＋2mx＋nx2－3nx＋mn
＝2x3＋(n－6)x2＋(2m－3n)x＋mn，
∵2x＋n与x2－3x＋m的乘积中不含x2项，且一次项的系数为2，
∴n－6＝0且2m－3n＝2，
解得m＝10，n＝6.
【易错点拨】不含某一项就是该项的系数等于0.注意先算多项式乘多项
式，再合并同类项，最后是让不含某一项的该项系数为0.本题易因不合
并同类项就认定某项的系数为0而出错.(共7张PPT)
第十六章 整式的乘法
数学活动
活动1 月历中的奥秘
在日历上，我们会发现其中某些数满足的一些规律，如图甲是2024
年元月份的日历.我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中
4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：
3×9－2×10＝27－20＝7，
19×25－18×26 ＝ 475－468＝7，
不难发现结果都是 7.
图甲
(1)如图乙是2024年2月份的日历，在图乙中类似的部分试一试，看看是否
存在同样的规律；
图乙
解：(1)9×15－8×16＝135－128＝7.
在图乙中也存在同样的规律.
解：(1)9×15－8×16＝135－128＝7.
在图乙中也存在同样的规律.
(2)设某一类似部分最左上角的数字为x，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明.
(2)证明：某一类似部分最左上角的数字为x，则左下角的数字为x＋7，
右上角的数字为x＋1，右下角的数字是x＋8.
根据题意，得(x＋1)(x＋7)－x(x＋8)＝x2＋8x＋7－x2－8x＝7.
解：(2)证明：某一类似部分最左上角的数字为x，则左下角的数字为x＋7，
右上角的数字为x＋1，右下角的数字是x＋8.
根据题意，得(x＋1)(x＋7)－x(x＋8)＝x2＋8x＋7－x2－8x＝7.
图乙
活动2 和为定值的两数积的规律
(1)计算下列两个数的和(每组中两个数的和为定值)，你能发现结果有什
么规律吗？
①30×30，35×25，43×17，52×8；
②50×50，53×47，74×26，91×9.
解：(1)①30×30＝900，35×25＝875，43×17＝731，52×8＝416；
②50×50＝2 500，53×47＝2 491，74×26＝1 924，91×9＝819.
规律：两个正数的和为定值，当两数相等时，它们的乘积最大.
解：(1)①30×30＝900，35×25＝875，43×17＝731，52×8＝416；
②50×50＝2 500，53×47＝2 491，74×26＝1 924，91×9＝819.
规律：两个正数的和为定值，当两数相等时，它们的乘积最大.
(2)你能用本章所学知识解释你发现的规律吗？
解：(2)证明：设两个正数分别为a，b，它们的和为2n.
设a＝n＋m，b＝n－m，
则ab＝(n＋m)(n－m)＝n2－m2.
当两数相等时，m＝0.
此时ab＝n2－m2取得最大值.
∴两个正数的和为定值时，当两数相等时，它们的乘积最大.
解：(2)证明：设两个正数分别为a，b，它们的和为2n.
设a＝n＋m，b＝n－m，
则ab＝(n＋m)(n－m)＝n2－m2.
当两数相等时，m＝0.
此时ab＝n2－m2取得最大值.
∴两个正数的和为定值时，当两数相等时，它们的乘积最大.
(3)利用你发现的规律解决下面问题：用10 m长的绳子围成一个长方形，
长方形的最大面积是多少？此时长方形的两条邻边长有什么关系？你能
得出更一般的结论吗？
解：(3)设长方形的长和宽分别为x，y，面积为S，
由题意，得S＝xy， 2(x＋y)＝10，
∴x＋y＝5是一个定值.
由(2)知，当x＝y＝2.5时，S取得最大值，最大值S＝2.5×2.5＝6.25.
∴长方形的最大面积是6.25 m2，此时长方形的两条邻边长相等，即所围
成的图形是正方形.
结论：长方形的周长为定值时，当长方形是正方形时，面积最大.
解：(3)设长方形的长和宽分别为x，y，面积为S，
由题意，得S＝xy， 2(x＋y)＝10，
∴x＋y＝5是一个定值.
由(2)知，当x＝y＝2.5时，S取得最大值，最大值S＝2.5×2.5＝6.25.
∴长方形的最大面积是6.25 m2，此时长方形的两条邻边长相等，即所围
成的图形是正方形.
结论：长方形的周长为定值时，当长方形是正方形时，面积最大.(共15张PPT)
第十六章 整式的乘法
章末复习
知识要点
知识点1 幂的运算法则及其逆用
幂的运算法则 逆用幂的运算法则
am·an＝am＋n am＋n＝am·an
(ab)m＝ambm ambm＝(ab)m
(am)n＝amn amn＝(am)n
am÷an＝am－n am－n＝am÷an
零指数幂：a0＝1(a≠0).
对点训练
1. 计算：
(1)x3·x5＝ ；
(2)x9÷x5＝ ；
(3)(x2)3＝ ；
(4)(－5x3y)2＝ ；
(5)()0＝ ；
(6)若am＝4，an＝2，则am＋n＝ ，
am－n＝ ，a2m＝ .
x8
x4
x6
25x6y2
1
8
2
16
知识要点
知识点2 整式的混合运算
(1)确定运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括
号里面的；
(2)能用乘法公式运算的要用乘法公式简化运算.
对点训练
2. 计算：
(1)2a3·(－3a)＝ ；
(2)(－2x2)(4x－1)＝ ；
(3)2a2÷(－4a)＝ ；
(4)(8x3－6x2)÷2x＝ .
－6a4
－8x3＋2x2
－ a
4x2－3x
知识要点
知识点3 整式乘法公式的运用
(1)多项式乘多项式：(x＋a)(y＋b)＝xy＋xb＋ay＋ab；
(2)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(3)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
对点训练
3. 计算：(1)(x－1)(x－2)＝ ；
(2)(3x－4y)(3x＋4y)＝ ；
(3)(x＋5)2＝ ；
(4)(2a－3b)2＝ ；
(5)(－5x－2)(2－5x)＝ .
x2－3x＋2
9x2－16y2
x2＋10x＋25
4a2－12ab＋9b2
25x2－4
核心练习
1. 已知ax＝3，ay＝2，则ax－2y的值为( D )
A. －1 B. 1 C. D.
2. 若x(x＋2)＝3，则(x＋1)2的值为 .
3. 计算 × 的结果为 .
D
4
4. 北宋沈括在《梦溪笔谈》中首创“隙积术”，引出一个酒坛问题：如
图，酒馆店家将酒坛一层层堆放.若第一层长有4个酒坛，宽有3个酒坛，
往下每一层长宽皆比上一层多一个酒坛，则第n层酒坛的个数比第一层
酒坛的个数多 个.(用含n的代数式表示)
＋5n－6)
5. 已知x＋y＝3，且(x＋2)(y＋2)＝12.
(1)求xy的值；
解：(1)(x＋2)(y＋2)＝xy＋2x＋2y＋4
＝xy＋2(x＋y)＋4
＝12.
∵x＋y＝3，
∴xy＝12－4－2×3＝2.
解：(1)(x＋2)(y＋2)＝xy＋2x＋2y＋4
＝xy＋2(x＋y)＋4
＝12.
∵x＋y＝3，
∴xy＝12－4－2×3＝2.
(2)求(x－1)(y－1)的值.
解：(2)(x－1)(y－1)＝xy－x－y＋1
＝xy－(x＋y)＋1
＝2－3＋1
＝0.
解：(2)(x－1)(y－1)＝xy－x－y＋1
＝xy－(x＋y)＋1
＝2－3＋1
＝0.
5. 已知x＋y＝3，且(x＋2)(y＋2)＝12.
6. 计算：
(1)(2x－y)2－y(2x＋y)；
解：(1)原式＝4x2－4xy＋y2－2xy－y2
＝4x2－6xy.
解：(2)9(x－1)2－(3x＋4)(3x－4).
(2)原式＝9x2－18x＋9－9x2＋16
＝－18x＋25.
解：(1)原式＝4x2－4xy＋y2－2xy－y2
＝4x2－6xy.
(2)9(x－1)2－(3x＋4)(3x－4).
解：(2)原式＝9x2－18x＋9－9x2＋16
＝－18x＋25.
7. 先化简，再求值：[(x＋y)(x－y)－(x－y)2]÷y，其中 ＋
＝0.
解：原式＝(x2－y2－x2＋2xy－y2)÷y
＝(2xy－2y2)÷y
＝2x－2y.
又∵ ＋ ＝0，
∴x＝3，y＝－ .
当x＝3，y＝－ 时，原式＝2×3－2× ＝7.
解：原式＝(x2－y2－x2＋2xy－y2)÷y
＝(2xy－2y2)÷y
＝2x－2y.
又∵ ＋ ＝0，
∴x＝3，y＝－ .
当x＝3，y＝－ 时，原式＝2×3－2× ＝7.
8. 某公司门前一块长为(6a＋2b)m，宽为(4a＋2b)m的长方形空地要铺
设地砖，如图，空白的甲、乙两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖.两
正方形区域的边长均为(a＋b)m.
(1)求需要铺设地砖的面积是多少平方米；
解：(1)需要铺设地砖的面积是(6a＋2b)(4a＋2b)－2(a＋b)2
＝24a2＋20ab＋4b2－2a2－4ab－2b2
＝(22a2＋16ab＋2b2)(m2).
答：需要铺设地砖的面积是(22a2＋16ab＋2b2)m2.
解：(1)需要铺设地砖的面积是(6a＋2b)(4a＋2b)－2(a＋b)2
＝24a2＋20ab＋4b2－2a2－4ab－2b2
＝(22a2＋16ab＋2b2)(m2).
答：需要铺设地砖的面积是(22a2＋16ab＋2b2)m2.
8. 某公司门前一块长为(6a＋2b)m，宽为(4a＋2b)m的长方形空地要铺
设地砖，如图，空白的甲、乙两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖.两
正方形区域的边长均为(a＋b)m.
(2)当a＝2，b＝3时，需要铺设地砖的面积是多少？
解：(2)当a＝2，b＝3时，原式＝22×22＋16×2×3＋2×32＝202(m2).
答：当a＝2，b＝3时，需要铺设地砖的面积是202m2.
解：(2)当a＝2，b＝3时，原式＝22×22＋16×2×3＋2×32＝202(m2).
答：当a＝2，b＝3时，需要铺设地砖的面积是202m2.(共14张PPT)
第十六章 整式的乘法
第10课时 乘法公式的综合
添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不
变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验.
(1)a＋b－c＝a＋( b－c )；
(2)a－b＋c＝a－( b－c )；
(3)a＋b－c＝a－( －b＋c )；
(4)a＋b＋c＝a－( －b－c ).
b－c
b－c
－b＋c
－b－c
知识点1 添括号法则在乘法公式中的运用
【例1】(人教教材P116例5)运用乘法公式计算：
(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；
解：(1)原式＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]
＝x2－(2y－3)2
＝x2－(4y2－12y＋9)
＝x2－4y2＋12y－9.
解：(1)原式＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]
＝x2－(2y－3)2
＝x2－(4y2－12y＋9)
＝x2－4y2＋12y－9.
(2)(a＋b＋c)2.
解：(2)原式＝\[(a＋b)＋c\]2
＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
解：(2)原式＝\[(a＋b)＋c\]2
＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
【例1】(人教教材P116例5)运用乘法公式计算：
解
【变式1】运用乘法公式计算：
(1)(2x＋y＋z)(2x－y－z)；
解：(1)原式＝[2x＋(y＋z)][2x－(y＋z)]
＝(2x)2－(y＋z)2
＝4x2－y2－2yz－z2.
(2)(a＋2b－1)2.
解：(2)原式＝\[(a＋2b)－1\]2
＝(a＋2b)2－2(a＋2b)＋1
＝a2＋4ab＋4b2－2a－4b＋1.
解：(1)原式＝[2x＋(y＋z)][2x－(y＋z)]
＝(2x)2－(y＋z)2
＝4x2－y2－2yz－z2.
解：(2)原式＝\[(a＋2b)－1\]2
＝(a＋2b)2－2(a＋2b)＋1
＝a2＋4ab＋4b2－2a－4b＋1.
知识点2 完全平方公式变形的应用
【例2】已知a＋b＝5，ab＝2，求a2＋b2的值.
解：∵a＋b＝5，ab＝2，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×2＝21.
【变式2】已知a－b＝3，a2＋b2＝5，求ab的值.
解：∵a－b＝3，a2＋b2＝5，
∴2ab＝a2＋b2－(a－b)2＝5－32＝－4，
∴ab＝－2.
解：∵a＋b＝5，ab＝2，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×2＝21.
解：∵a－b＝3，a2＋b2＝5，
∴2ab＝a2＋b2－(a－b)2＝5－32＝－4，
∴ab＝－2.
课堂总结：完全平方公式的几个常见变形.
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；(2)a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；(4)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab.
1. 下列去括号或添括号变形中，正确的是( C )
A. 2a－(3b－c)＝2a－3b－c
B. 3a＋2(2b－1)＝3a＋4b－1
C. a＋2b－3c＝a＋(2b－3c)
D. m－n＋a＝m－(n＋a)
C
2. 已知a＋b＝5，ab＝6，则(a－b)2＝ .
1
3. 运用乘法公式计算：
(1)(x＋y＋1)(x＋y－1)；
解：(1)原式＝\[(x＋y)＋1\]\[(x＋y)－1\]
＝(x＋y)2－1
＝x2＋2xy＋y2－1.
(2)[(x＋2)(x－2)]2.
解：(2)原式＝(x2－4)2
＝x4－8x2＋16.
解：(1)原式＝\[(x＋y)＋1\]\[(x＋y)－1\]
＝(x＋y)2－1
＝x2＋2xy＋y2－1.
解：(2)原式＝(x2－4)2
＝x4－8x2＋16.
4. 先化简，再求值：(3x＋4y)2－(3x＋4y)(3x－4y)，其中x＝－1，y
＝ .
解：原式＝9x2＋24xy＋16y2－(9x2－16y2)
＝32y2＋24xy.
当x＝－1，y＝ 时，原式＝32×()2＋24×(－1)× ＝8－12＝－4.
解：原式＝9x2＋24xy＋16y2－(9x2－16y2)
＝32y2＋24xy.
当x＝－1，y＝ 时，原式＝32×()2＋24×(－1)× ＝8－12＝－4.
5. 若x＋ ＝3，求：
(1)x2＋ ；
解：(1)∵x＋ ＝3，
∴ ＝32，即x2＋ ＋2＝9.
∴x2＋ ＝7.
解：(1)∵x＋ ＝3，
∴ ＝32，即x2＋ ＋2＝9.
∴x2＋ ＝7.
(2)(x－ )2.
(2) ＝x2＋ －2.
解：由(1)，得x2＋ ＝7，
∴ ＝7－2＝5.
解：(2) ＝x2＋ －2.
由(1)，得x2＋ ＝7，
∴ ＝7－2＝5.
5. 若x＋ ＝3，求：
6. (中考热点·整体思想)如图，两个正方形的边长分别为a和b，若a＋b
＝10，ab＝20.
(1)求这两个正方形的面积之和；
解：(1)将a＋b＝10两边平方，得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝100，
将ab＝20代入，得a2＋b2＋40＝100，即a2＋b2＝60.
∴这两个正方形的面积之和为60.
解：(1)将a＋b＝10两边平方，得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝100，
将ab＝20代入，得a2＋b2＋40＝100，即a2＋b2＝60.
∴这两个正方形的面积之和为60.
6. (中考热点·整体思想)如图，两个正方形的边长分别为a和b，若a＋b
＝10，ab＝20.
(2)求阴影部分的面积.
(2)根据题意，得S阴影＝S两正方形之和－ － ＝(a2＋b2)－ a2
－ (a＋b)·b.
＝a2＋b2－ a2－ ab－ b2
＝ (a2＋b2)－ ab
＝ ×60－ ×20
＝20.
解：(2)根据题意，得S阴影＝S两正方形之和－ － ＝(a2＋b2)－
a2－ (a＋b)·b.
＝a2＋b2－ a2－ ab－ b2
＝ (a2＋b2)－ ab
＝ ×60－ ×20
＝20.
∴阴影部分的面积为20.(共17张PPT)
第十六章 整式的乘法
第9课时 乘法公式(2)——完全平方公式
探究：计算下列多项式乘以多项式，看看结果有什么特点.
(1)(a＋b)2；
解：(1)原式＝(a＋b)(a＋b)
＝a2＋ab＋ab＋b2
＝a2＋2ab＋b2.
(2)(a－b)2.
解：(2)原式＝(a－b)(a－b)
＝a2－ab－ab＋b2
＝a2－2ab＋b2.
解：(1)原式＝(a＋b)(a＋b)
＝a2＋ab＋ab＋b2
＝a2＋2ab＋b2.
解：(2)原式＝(a－b)(a－b)
＝a2－ab－ab＋b2
＝a2－2ab＋b2.
完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或
减去)它们的积的2倍.
即(a＋b)2＝ ；
(a－b)2＝ .
口诀：首平方加尾平方，首尾乘积的2倍放中央.
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
知识点1 直接运用完全平方公式计算
【例1】计算：
(1)(m＋3)2＝ ＝ ；
(2)(x－2)2＝ ＝ .
【变式1】计算：
(1)(5－t)2＝ ＝ ；
(2) ＝ y2＋2× y＋ ＝ y2＋y＋ .
m2＋2×3m＋32
m2＋6m＋9
x2－2×2x＋22
x2－4x＋4
52－2×5t＋t2
25－10t＋t2
y2＋2× y＋
y2＋y＋
【例2】计算：
(1)(2x＋3y)2；
解：(1)原式＝(2x)2＋2·(2x)·(3y)＋(3y)2
＝4x2＋12xy＋9y2.
(2)(xy－1)2.
解：(2)原式＝(xy)2－2·(xy)·1＋12
＝x2y2－2xy＋1.
解：(1)原式＝(2x)2＋2·(2x)·(3y)＋(3y)2
＝4x2＋12xy＋9y2.
解：(2)原式＝(xy)2－2·(xy)·1＋12
＝x2y2－2xy＋1.
【变式2】计算：
(1)(4m－3n)2；
解：(1)原式＝(4m)2－2·(4m)·(3n)＋(3n)2
＝16m2－24mn＋9n2.
(2) .
解：(2)原式＝(3a)2＋2·(3a)· ＋
＝9a2＋4ab＋ b2.
解：(1)原式＝(4m)2－2·(4m)·(3n)＋(3n)2
＝16m2－24mn＋9n2.
解：(2)原式＝(3a)2＋2·(3a)· ＋
＝9a2＋4ab＋ b2.
知识点2 灵活运用完全平方公式计算
【例3】计算：
(1)(－x＋3y)2；
解：(1)原式＝(－x)2＋2·(－x)·(3y)＋(3y)2
＝x2－6xy＋9y2.
(2)(－m－5n)2
解：(2)原式＝(－m)2＋2·(－m)·(－5n)＋(－5n)2
＝m2＋10mn＋25n2.
解：(1)原式＝(－x)2＋2·(－x)·(3y)＋(3y)2
＝x2－6xy＋9y2.
解：(2)原式＝(－m)2＋2·(－m)·(－5n)＋(－5n)2
＝m2＋10mn＋25n2.
【变式3】计算：
(1)(－2x＋5)2；
解：(1)原式＝(－2x)2＋2·(－2x)·5＋52
＝4x2－20x＋25.
(2) .
解：(2)原式＝(－3a)2＋2·(－3a)· ＋
＝9a2＋a＋ .
解：(1)原式＝(－2x)2＋2·(－2x)·5＋52
＝4x2－20x＋25.
解：(2)原式＝(－3a)2＋2·(－3a)· ＋
＝9a2＋a＋ .
知识点3 利用完全平方公式简便计算
【例4】(人教教材P115例4)计算：
(1)1022；
解：(1)原式＝(100＋2)2
＝10 000＋400＋4
＝10 404.
(2)992.
解：(2)原式＝(100－1)2
＝10 000－200＋1
＝9 801.
解：(1)原式＝(100＋2)2
＝10 000＋400＋4
＝10 404.
解：(2)原式＝(100－1)2
＝10 000－200＋1
＝9 801.
【变式4】计算：
(1)9982；
解：(1)原式＝(1 000－2)2
＝1 000 000－4 000＋4
＝996 004.
(2)2012.
解：(2)原式＝(200＋1)2
＝40 000＋400＋1
＝40 401.
解：(1)原式＝(1 000－2)2
＝1 000 000－4 000＋4
＝996 004.
解：(2)原式＝(200＋1)2
＝40 000＋400＋1
＝40 401.
1. 下列计算正确的是( C )
A. (x＋y)2＝x2＋y2 B. (x－y)2＝x2－2xy－y2
C. (x＋1)(x－1)＝x2－1 D. (x－1)2＝x2－1
2. 根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，则根据图乙，我们可以得到下列哪个公式( C )
A. a2－b2＝(a－b)2
B. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C. (a－b)2＝a2－2ab＋b2
D. a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C
C
3. 运用完全平方公式计算：
(1)(y－5)2；
解：(1)原式＝y2－2·y·5＋52
＝y2－10y＋25.
(2)(－3a＋2b)2；
－2· · ＋ ＝ x2－xy＋ y2.
解：(1)原式＝y2－2·y·5＋52
＝y2－10y＋25.
解：(2)原式＝(－3a)2＋2·(－3a)·(2b)＋(2b)2
＝9a2－12ab＋4b2.
3. 运用完全平方公式计算：
(3)( x－ y)2.
解：(3)原式＝ －2· · ＋ ＝ x2－xy＋ y2.
解：(3)原式＝ －2· · ＋
＝ x2－xy＋ y2.
4. 运用完全平方公式计算：
(1)(2a＋5b)2；
解：(1)原式＝(2a)2＋2·(2a)·
(5b)＋(5b)2
(2)(100－2)2；
解：(2)原式＝1002－2×100×2＋22
＝10000－400＋4
＝9604.
解：(1)原式＝(2a)2＋2·(2a)·(5b)＋(5b)2
＝4a2＋20ab＋25b2.
解：(2)原式＝1002－2×100×2＋22
＝10000－400＋4
＝9604.
(3)(－2m－1)2.
解：(3)原式＝(－2m)2－2·(－2m)·1＋12
＝4m2＋4m＋1.
解：(3)原式＝(－2m)2－2·(－2m)·1＋12
＝4m2＋4m＋1.
5. 计算：
(1)(a＋1)2＋(a－1)(a－2)；
解：(1)原式＝a2＋2a＋1＋a2－3a＋2
＝2a2－a＋3.
(2)4(x＋1)2－(2x＋5)(2x－5).
解：(2)原式＝4(x2＋2x＋1)－(4x2－25)
＝4x2＋8x＋4－4x2＋25
＝8x＋29.
解：(1)原式＝a2＋2a＋1＋a2－3a＋2
＝2a2－a＋3.
解：(2)原式＝4(x2＋2x＋1)－(4x2－25)
＝4x2＋8x＋4－4x2＋25
＝8x＋29.
6. 请观察下列各式的规律，回答问题：
等式①：162＝1×2×100＋(1＋1)×10＋62；
等式②：262 ＝ 2×3×100＋(2＋2)×10＋62；
等式③：362＝ 3×4×100＋(3＋3)×10＋62；
…
(1)请根据上述规律写出等式④： ；
等式⑩： ；
462＝4×5×100＋(4＋4)×10＋62
1062＝10×11×100＋(10＋10)×10＋62
(2)请写出第n个式子，并给予证明.
解：(2)第n 个式子为(10n＋6)2＝n(n＋1)×100＋(n＋n)×10＋62.
证明如下：等式左边＝(10n)2＋2×10n×6＋62＝100n2＋120n＋36，
等式右边＝100n2＋100n＋20n＋36＝100n2＋120n＋36.
∴等式左边＝等式右边.
解：(2)第n 个式子为(10n＋6)2＝n(n＋1)×100＋(n＋n)×10＋62.
证明如下：等式左边＝(10n)2＋2×10n×6＋62＝100n2＋120n＋36，
等式右边＝100n2＋100n＋20n＋36＝100n2＋120n＋36.
∴等式左边＝等式右边.
6. 请观察下列各式的规律，回答问题：
等式①：162＝1×2×100＋(1＋1)×10＋62；
等式②：262 ＝ 2×3×100＋(2＋2)×10＋62；
等式③：362＝ 3×4×100＋(3＋3)×10＋62；
…(共15张PPT)
第十六章 整式的乘法
第4课时 单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘法则：
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘 的每一项，再把所得的积 .
几何解释：如图，大长方形的面积等于三个小长方形面积的和.
p(a＋b＋c)＝ .
多项式
相加
pa＋pb＋pc
知识点1 单项式乘多项式的简单计算
【例1】计算：
(1)3x2(3x－y)；
解：(1)原式＝3x2·3x－3x2·y
＝9x3－3x2y.
(2)(－2x)·(2x2＋4x－1).
解：(2)原式＝(－2x)·(2x2)＋(－2x)·(4x)－(－2x)·1
＝－4x3－8x2＋2x.
解：(1)原式＝3x2·3x－3x2·y
＝9x3－3x2y.
解：(2)原式＝(－2x)·(2x2)＋(－2x)·(4x)－(－2x)·1
＝－4x3－8x2＋2x.
【变式1】计算：
(1)(－2x)(5x2－2xy)；
解：(1)原式＝(－2x)·(5x2)－(－2x)·(2xy)
＝－10x3＋4x2y.
(2)3x(2x2＋4x－1).
解：(2)原式＝3x·2x2＋3x·4x－3x·1
＝6x3＋12x2－3x.
解：(1)原式＝(－2x)·(5x2)－(－2x)·(2xy)
＝－10x3＋4x2y.
解：(2)原式＝3x·2x2＋3x·4x－3x·1
＝6x3＋12x2－3x.
知识点2 单项式乘多项式的综合计算
【例2】计算：
(1)(2x)3(2x－3y)；
解：(1)原式＝8x3(2x－3y)
＝16x4－24x3y.
(2)(2x＋y－4)(－3x)2.
解：(2)原式＝(2x＋y－4)(9x2)
＝18x3＋9x2y－36x2.
解：(1)原式＝8x3(2x－3y)
＝16x4－24x3y.
解：(2)原式＝(2x＋y－4)(9x2)
＝18x3＋9x2y－36x2.
【变式2】计算：
(1)(－3xy)2(x－2y)；
解：(1)原式＝9x2y2(x－2y)
＝9x3y2－18x2y3.
(2)(xy)2(x2－x－1).
解：(2)原式＝x2y2(x2－x－1)
＝x4y2－x3y2－x2y2.
解：(1)原式＝9x2y2(x－2y)
＝9x3y2－18x2y3.
解：(2)原式＝x2y2(x2－x－1)
＝x4y2－x3y2－x2y2.
知识点3 化简求值——单项式乘多项式
【例3】先化简，再求值：x2(2x－1)－2x(x2－2x＋1)，其中x＝－2.
解：原式＝2x3－x2－2x3＋4x2－2x
＝3x2－2x.
当x＝－2时，原式＝3×(－2)2－2×(－2)＝16.
解：原式＝2x3－x2－2x3＋4x2－2x
＝3x2－2x.
当x＝－2时，原式＝3×(－2)2－2×(－2)＝16.
【变式3】先化简，再求值：x(x－1)＋2x(x＋1)－3x(2x－5)，其中x＝
－2.
解：原式＝x2－x＋2x2＋2x－6x2＋15x
＝－3x2＋16x.
当x＝－2时，原式＝－3×(－2)2＋16×(－2)
＝－44.
解：原式＝x2－x＋2x2＋2x－6x2＋15x
＝－3x2＋16x.
当x＝－2时，原式＝－3×(－2)2＋16×(－2)
＝－44.
1. 下列运算正确的是( B )
A. 3a(a－1)＝3a2－a B. a(a＋2b)＝a2＋2ab
C. －2(a＋b)＝－2a＋2b D. a(－a＋3b)＝－a2－3ab
2. 数学课上，小杰发现黑板上一道题目中的一部分被擦掉了：－3x(2x
－■＋1)＝－6x2＋3xy－3x，那么被擦掉的部分为( C )
A. x B. 3x C. y D. 3y
3. 计算：
(1)2x2(x－ )＝ ； (2)(4a－b2)(－2b)＝ .
4. 已知a(a－2)＝8，则代数式a2－2a－6的值为 .
B
C
2x3－x2
－8ab＋
2b3
2
5. 计算：
(1)(－3x)2·( x－2)；
解：(1)原式＝9x2\5( x－2)
＝3x3－18x2.
(2)2x(x2－2x＋4)－x2(2x－1).
解：(2)原式＝2x3－4x2＋8x－2x3＋x2
＝－3x2＋8x.
解：(1)原式＝9x2\5( x－2)
＝3x3－18x2.
解：(2)原式＝2x3－4x2＋8x－2x3＋x2
＝－3x2＋8x.
6. 先化简，再求值：2x( x2－1)－3x( x2＋ )，其中x＝－ .
解：原式＝x3－2x－x3－2x＝－4x.
当x＝－ 时，原式＝－4×(－ )＝2.
解：原式＝x3－2x－x3－2x＝－4x.
当x＝－ 时，原式＝－4×(－ )＝2.
7. (中考创新考法·阅读理解题)已知kx＋2y－4x＋6的值与x的取值无
关，求k的值.
解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到(k－4)x＋2y＋6.
∵代数式的值与x的取值无关，∴k－4＝0，解得k＝4.
【理解应用】根据上述方法，求解：
(1)若代数式 m(3x＋2)－4·6x 的值与x的取值无关，求m的值；
解：(1)m(3x＋2)－4·6x＝(3m－24)x＋2m.
∵代数式m(3x＋2)－4·6x的值与x的取值无关，
∴3m－24＝0，解得m＝8.
解：(1)m(3x＋2)－4·6x＝(3m－24)x＋2m.
∵代数式m(3x＋2)－4·6x的值与x的取值无关，
∴3m－24＝0，解得m＝8.
(2)已知A＝4x2－(1－3n)x，B＝2m(x2－x＋1)，且A－B的值与x的取
值无关，求m，n的值；
解：(2)A－B＝4x2－(1－3n)x－2m(x2－x＋1)
＝(4－2m)x2－(1－3n－2m)x－2m.
∵A－B的值与x的取值无关，
∴ 解得
解：(2)A－B＝4x2－(1－3n)x－2m(x2－x＋1)
－2m)x－2m.
∵A－B的值与x的取值无关，
∴ 解得
＝(4－2m)x2－(1－3n
【拓展延伸】(3)现有7张如图1所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将
这7张长方形纸片按图2所示放置在大长方形ABCD中(纸片间无重叠，无
间隙)，大长方形中未被纸片覆盖的区域设为S1，S2，若当AD的长度变
化时，S1与S2的差始终为定值，求a与b的数量关系.
图1 图2
解：(3)如图，左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部
分的长为PC，宽为a.
解：(3)如图，左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部
分的长为PC，宽为a.
∵AD＝BC，即AD＝AE＋ED＝AE＋a，BC＝BP＋PC＝4b＋PC，
∴AE＋a＝4b＋PC，即AE＝PC＋4b－a.
∴阴影部分面积之差S＝AE·AF－PC·CG＝3bAE－aPC＝3b(PC＋4b
－a)－aPC＝(3b－a)PC＋12b2－3ab.
则3b－a＝0，即a＝3b.
∴a与b的数量关系为a＝3b.
∴阴影部分面积之差S＝AE·AF－PC·CG＝3bAE－aPC＝3b(PC＋4b
－a)－aPC＝(3b－a)PC＋12b2－3ab.
则3b－a＝0，即a＝3b.
∴a与b的数量关系为a＝3b.(共13张PPT)
第十六章 整式的乘法
第6课时 同底数幂的除法
探究：我们来计算am÷an(a≠0，m，n都是正整数，m＞n).
因为am－n·an＝am－n＋n＝am，所以am÷an＝ .
即am÷an＝ (a≠0，m，n都是正整数，m＞n).
同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数 ，指数 .
特别地，当m＝n 时，am÷am＝ ，am÷am＝ ，因此，规定
a0＝ (a≠0).
这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于 .
am－n
am－n
不变
相减
a0
1
1
1
知识点1 同底数幂除法的简单计算
【例1】计算，结果用幂的形式表示：
(1)36÷32＝ ；(2)a5÷a5＝ ；
(3)x9÷x3÷x2＝ ； (4)50＝ .
【变式1】计算，结果用幂的形式表示：
(1)m8÷m4＝ ；(2)108÷108＝ ；
(3)ym＋2÷ym＝ ；(4)－50＝ .
34
1
x4
1
m4
1
y2
－1
知识点2 同底数幂除法的综合计算
【例2】计算：
(1)(xy)6÷(xy)2； 解：(1)原式＝(xy)6－2 解：(2)原式＝x8÷x8
＝(xy)4 ＝1.
＝x4y4.
解：(1)原式＝(xy)6－2
＝(xy)4
＝x4y4.
(2)(x2)4÷x8.
解：(2)原式＝x8÷x8
＝1.
(1)(－x)10÷(－x)5； 解：(1)原式＝(－x)10－5 解：(2)原式＝m15÷m8
＝(－x)5 ＝m15－8
＝－x5. ＝m7.
解：(1)原式＝(－x)10－5
＝(－x)5
＝－x5.
【变式2】计算：
(2)(m3)5÷(m3·m5).
解：(2)原式＝m15÷m8
＝m15－8
＝m7.
知识点3 同底数幂的除法法则逆运用
【例3】已知3m＝4，3n＝2，求：
(1)3m－n的值；(2)32m－n的值.
解：(1)3m－n＝3m÷3n＝4÷2＝2.
(2)32m－n＝32m÷3n＝(3m)2÷3n＝42÷2＝8.
【变式3】已知ax＝2，ay＝3，求ax＋y和a2x－3y的值.
解：∵ax＝2，ay＝3，
∴ax＋y＝ax·ay＝2×3＝6.
∴a2x－3y＝a2x÷a3y＝(ax)2÷(ay)3＝22÷33＝ .
解：(1)3m－n＝3m÷3n＝4÷2＝2.
(2)32m－n＝32m÷3n＝(3m)2÷3n＝42÷2＝8.
解：∵ax＝2，ay＝3，
∴ax＋y＝ax·ay＝2×3＝6.
∴a2x－3y＝a2x÷a3y＝(ax)2÷(ay)3＝22÷33＝ .
知识点4 单项式除以单项式
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，
对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.如
6a2b÷(－2a)＝[6÷(－2)]·(a2÷a)·b＝－3ab.
【例4】计算：
(1)－8m8n3÷(－2m2n3)；
解：(1)原式＝[(－8)÷(－2)]m8－2n3－3
＝4m6.
(2)(－3m3)2÷(－3m2).
解：(2)原式＝9m6÷(－3m2)
＝[9÷(－3)]m6－2
＝－3m4.
解：(1)原式＝[(－8)÷(－2)]m8－2n3－3
＝4m6.
解：(2)原式＝9m6÷(－3m2)
＝[9÷(－3)]m6－2
＝－3m4.
【变式4】计算：
(1)(－5a5b3c)÷15a4b；
解：(1)原式＝[(－5)÷15]a5－4b3－1c
＝－3ab2c.
(2)(2xy)3÷(－2xy).
解：(2)原式＝8x3y3÷(－2xy)
＝[8÷(－2)]x3－1y3－1
＝－4x2y2.
解：(1)原式＝[(－5)÷15]a5－4b3－1c
＝－3ab2c.
解：(2)原式＝8x3y3÷(－2xy)
＝[8÷(－2)]x3－1y3－1
＝－4x2y2.
1. 下列运算中，计算结果正确的是( C )
A. a2·a3＝a6 B. a2＋a3＝a5
C. (a2)3＝a6 D. a8÷a4＝a2
2. 若(x－3)0＝1，则x的取值范围是( C )
A. x＞3 B. x＜3 C. x≠3 D. 一切实数
3. 计算：
(1)x10÷x2＝ ； (2)(－a)6÷(－a)2＝ ；
(3)(－ab)5÷(－ab)3＝ ； (4)am＋2÷am－1＝ .
C
C
x8
a4
a2b2
a3
4. 计算：－22＋ ＝ .
5. 若am＝6，an＝2，则am－n＝ .
6. (应用意识)某科技馆中“数理世界”展厅的WiFi密码被设计成如图所
示的数学问题.小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地接到网络，则
他输入的密码是 .
－3
3
2 025
7. 计算：
(1)－24x2y÷8x2y；
解：(1)原式＝(－24÷8)x2－2y1－1
＝－3.
解：(2)原式＝8x6y9÷8xy
＝(8÷8)x6－1y9－1
＝x5y8.
(2)(2x2y3)3÷8xy；
(3)(－x2y)÷ x.
解：(3)原式＝ x2－1y
＝－2xy.
解：(3)原式＝ x2－1y
＝－2xy.
8. 已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代数式，求：
(1)22m＋3n；
解：(1)原式＝22m·23n
＝4m·8n
＝ab.
解：(1)原式＝22m·23n
＝4m·8n
＝ab.
(2)24m－6n.
解：(2)原式＝24m÷26n
＝42m÷82n
＝(4m)2÷(8n)2
＝ .
解：(2)原式＝24m÷26n
＝42m÷82n
＝(4m)2÷(8n)2
＝ .(共15张PPT)
第十六章 整式的乘法
第8课时 乘法公式(1)——平方差公式
探究：计算下列多项式乘多项式，看看结果有什么特点.
(1)(x＋3)(x－3)；
解：(1)原式＝x2－3x＋3x－9
＝x2－9.
(2)(2x＋5)(2x－5).
解：(2)原式＝4x2－10x＋10x－25
＝4x2－25.
解：(1)原式＝x2－3x＋3x－9
＝x2－9.
解：(2)原式＝4x2－10x＋10x－25
＝4x2－25.
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方
差，即(a＋b)(a－b)＝ .
a2－b2
知识点1 直接运用平方差公式计算
【例1】运用平方差公式计算：
(1)(＋a)(－a)＝ －a2 ＝ －a2 ；
(2)(m－0.5)(m＋0.5)＝ ＝ .
【变式1】运用平方差公式计算：
(1)(a－2)(a＋2)＝ ＝ ；
(2)(＋m)(－m)＝ －m2 ＝ －m2 .
－a2
－a2
m2－0.52
m2－0.25
a2－22
a2－4
－m2
－m2
【例2】运用平方差公式计算：
(1)(3x＋4y)(3x－4y)＝ ＝ ；
(2)(－1＋2x)(－1－2x)＝ ；
(3)(x2＋4y)(x2－4y)＝ .
【变式2】运用平方差公式计算：
(1)(4x－3y)(4x＋3y)＝ ＝ ；
(2)(mn＋1)(mn－1)＝ ；
(3)(－x＋7y)(－x－7y)＝ .
(3x)2－(4y)2
9x2－16y2
1－4x2
x4－16y2
(4x)2－(3y)2
16x2－9y2
m2n2－1
x2－49y2
知识点2 灵活运用平方差公式计算
【例3】计算：
(1)(y＋x)(－y＋x)；
解：(1)原式＝(x＋y)(x－y)
＝x2－y2.
(2)(2m－4)(－4－2m).
解：(2)原式＝(－4)2－(2m)2
＝16－4m2.
解：(1)原式＝(x＋y)(x－y)
＝x2－y2.
解：(2)原式＝(－4)2－(2m)2
＝16－4m2.
【变式3】计算：
(1)(1＋3a)(－1＋3a)；
解：(1)原式＝(3a)2－12
＝9a2－1.
(2)(3x－2y)(－3x－2y).
解：(2)原式＝(－2y)2－(3x)2
＝4y2－9x2.
解：(1)原式＝(3a)2－12
＝9a2－1.
解：(2)原式＝(－2y)2－(3x)2
＝4y2－9x2.
知识点3 利用平方差公式进行简便运算
【例4】(人教教材P113例2改编)计算：
(1)(x－1)(x＋1)(x2＋1)；
解：(1)原式＝(x2－1)(x2＋1)
＝x4－1.
(2)203×197.
解：(2)原式＝(200＋3)(200－3)
＝2002－32
＝40 000－9
＝39 991.
解：(1)原式＝(x2－1)(x2＋1)
＝x4－1.
解：(2)原式＝(200＋3)(200－3)
＝2002－32
＝40 000－9
＝39 991.
【变式4】计算：
(1)51×49；
解：(1)原式＝(50＋1)(50－1)
＝502－1
＝2 500－1
＝2 499.
解：(1)原式＝(50＋1)(50－1)
＝502－1
＝2 500－1
＝2 499.
(2)(xy＋1)(x2y2＋1)(xy－1).
解：(2)原式＝(x2y2－1)(x2y2＋1)
＝x4y4－1.
解：(2)原式＝(x2y2－1)(x2y2＋1)
＝x4y4－1.
课堂总结：平方差公式是特殊的多项式乘多项式，当两个多项式中有一
项相同，另一项互为相反数时才能套用平方差公式.
1. 若( )(2a＋3b)＝4a2－9b2，则括号内应填的式子是( C )
A. －2a－3b B. 2a＋3b
C. 2a－3b D. 3b－2a
2. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是( C )
A. (x＋2)(x＋2) B. (－x＋y)(x－y)
C. (2x－y)(2x＋y) D. (－x－y)(x＋y)
C
C
3. 计算：
(1)(a－7)(a＋7)＝ ；
(2)(xy＋1)(xy－1)＝ ；
(3)(3＋2m)(3－2m)＝ ；
(4)(3x＋y)(3x－y)＝ .
4. 计算：
(1)( a－1)( a＋1)＝ a2－1 ；
(2)(－3a－ b)(3a－ b)＝ b2－9a2 .
a2－49
x2y2－1
9－4m2
9x2－y2
a2－1
b2－9a2
5. 通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等
式是( C )
A. (a－b)2＝a2－2ab＋b2 B. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C. (a＋b)(a－b)＝a2－b2 D. a(a－b)＝a2－ab
C
6. 计算：
(1)(x＋2)(x－3)－(x＋3)(x－3)；
解：(1)原式＝x2－x－6－(x2－9)
＝x2－x－6－x2＋9
＝－x＋3.
(2)(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2).
解：(2)原式＝9x2－16－(6x2＋5x－6)
＝9x2－16－6x2－5x＋6
＝3x2－5x－10.
解：(1)原式＝x2－x－6－(x2－9)
＝x2－x－6－x2＋9
＝－x＋3.
解：(2)原式＝9x2－16－(6x2＋5x－6)
＝9x2－16－6x2－5x＋6
＝3x2－5x－10.
7. (中考新考法·平方差公式的应用)如图，若大正方形与小正方形的面积
之差为20，则阴影部分的面积是 .
10 (共15张PPT)
第十六章 整式的乘法
微专题八 教材经典母题及变式
核心母题1 整式的化简求值
【例1】先化简，再求值：(3x－2y)(2x＋3y)－[2(x＋y)]2－x(2x＋y)，
其中5－2xy－5y2＝0.
解：原式＝6x2＋9xy－4xy－6y2－4x2－8xy－4y2－2x2－xy
＝－4xy－10y2.
∵5－2xy－5y2＝0，
∴2xy＋5y2＝5.
∴原式＝－2(2xy＋5y2)＝－2×5＝－10.
解：原式＝6x2＋9xy－4xy－6y2－4x2－8xy－4y2－2x2－xy
＝－4xy－10y2.
∵5－2xy－5y2＝0，
∴2xy＋5y2＝5.
∴原式＝－2(2xy＋5y2)＝－2×5＝－10.
【变式1】先化简，再求值：(2x－y)2＋(2x＋y)·(y－2x)－2x(x－2y)，
其中 ＋(y＋1)2＝0.
解：原式＝4x2－4xy＋y2＋y2－4x2－2x2＋4xy
＝2y2－2x2.
又∵ ＋(y＋1)2＝0，
∴ ＝0，(y＋1)2＝0，即x＝－ ，y＝－1.
当x＝－ ，y＝－1时，原式＝2×(－1)2－2× ＝ .
解：原式＝4x2－4xy＋y2＋y2－4x2－2x2＋4xy
＝2y2－2x2.
又∵ ＋(y＋1)2＝0，
∴ ＝0，(y＋1)2＝0，即x＝－ ，y＝－1.
当x＝－ ，y＝－1时，原式＝2×(－1)2－2× ＝ .
核心母题2 等式的证明
【例2】老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152
－32＝8×27.王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝
8×12，152－72＝8×22.
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；
解：(1)112－92＝8×5，132－112＝8×6.
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
解：(2)规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数.
解：(1)112－92＝8×5，132－112＝8×6.
解：(2)规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数.
【例2】老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152
－32＝8×27.王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝
8×12，152－72＝8×22.
(3)证明这个规律的正确性.
解：(3)证明：设m，n为正整数，两个奇数可表示2m＋1和2n＋1.
则(2m＋1)2－(2n＋1)2
＝(2m＋1＋2n＋1)(2m＋1－2n－1)
＝4(m－n)(m＋n＋1).
当m，n同是奇数或偶数时，(m－n)一定为偶数，∴4(m－n)一定是8的
倍数；
当m，n一奇一偶时，则(m＋n＋1)一定为偶数，∴4(m＋n＋1)一定是8
的倍数.
综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数.
解：(3)证明：设m，n为正整数，两个奇数可表示2m＋1和2n＋1.
则(2m＋1)2－(2n＋1)2
＝(2m＋1＋2n＋1)(2m＋1－2n－1)
＝4(m－n)(m＋n＋1).
当m，n同是奇数或偶数时，(m－n)一定为偶数，∴4(m－n)一定是8的
倍数；
当m，n一奇一偶时，则(m＋n＋1)一定为偶数，∴4(m＋n＋1)一定是8
的倍数.
综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数.
【变式2】请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：22＝1＋12＋2；
第2个等式：32＝2＋22＋3；
第3个等式：42＝3＋32＋4；
第4个等式：52＝4＋42＋5.
(1)请用此方法拆分2 0242；
解：(1)2 0242＝2 023＋2 0232＋2 024.
解：(1)2 0242＝2 023＋2 0232＋2 024.
(2)请用上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整
数)，并运用有关知识，验证这个结论是正确的.
解：(2)(n＋1)2＝n＋n2＋(n＋1).
验证：左边＝(n＋1)2，
右边＝n＋n2＋(n＋1)＝n2＋2n＋1＝(n＋1)2，
即左边＝右边.
∴(n＋1)2＝n＋n2＋(n＋1)正确.
解：(2)(n＋1)2＝n＋n2＋(n＋1).
验证：左边＝(n＋1)2，
右边＝n＋n2＋(n＋1)＝n2＋2n＋1＝(n＋1)2，
即左边＝右边.
∴(n＋1)2＝n＋n2＋(n＋1)正确.
【变式2】请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：22＝1＋12＋2；
第2个等式：32＝2＋22＋3；
第3个等式：42＝3＋32＋4；
第4个等式：52＝4＋42＋5.解：(1)2 0242＝2 023＋2 0232＋2 024.
核心母题3 整式的应用
【例3】(人教教材P117T6)如图，一块直径为(a＋b)cm的圆形钢板，从中
挖去直径分别为a cm与b cm的两个圆，求剩下的钢板的面积.
解：S剩下＝S大圆－S小圆1－S小圆2
＝π· －π· －π·
＝
＝ (cm2).
答：剩下的钢板的面积是 cm2.
解：S剩下＝S大圆－S小圆1－S小圆2
＝π· －π· －π·
＝
＝ (cm2).
答：剩下的钢板的面积是 cm2.
【变式3】(人教教材P121T10)如图是一水压机空心钢立柱的示意图.如果
其高h为18 m，外径D为1 m，内径d为0.4 m，每立方米钢的质量为7.8 t，求该立柱的质量.(π取3.14，结果保留小数点后两位)
解：∵空心钢外径D为1 m，内径d为0.4 m，高h为18 m，
∴每根的体积为18×(0.52－0.22)π＝3.78π(m3).
∵每立方米钢的质量为7.8 t，
∴立柱的质量为3.78×3.14×7.8≈92.58(t).
答：该立柱的质量为92.58 t.
解：∵空心钢外径D为1 m，内径d为0.4 m，高h为18 m，
∴每根的体积为18×(0.52－0.22)π＝3.78π(m3).
∵每立方米钢的质量为7.8 t，
∴立柱的质量为3.78×3.14×7.8≈92.58(t).
答：该立柱的质量为92.58 t.
核心母题4 完全平方公式的应用
【例4】(人教教材P122T12)某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品
进行提价，现有三种方案：
①第一次提价p％，第二次提价q％；
②第一次提价q％，第二次提价p％；
③第一、二次提价均为 ％.
其中p，q是不相等的正数.三种方案哪种提价最多？
(提示：因为p≠q，(p－q)2＝p2－2pq＋q2＞0，所以p2＋q2＞2pq)
解
解：把产品的原料最开始价格看成a，则：
方案①：a(1＋p％)(1＋q％)；
方案②：a(1＋q％)(1＋p％)；
方案③：a .
由①②，可知这两种方案结果相同，
a －a(1＋p％)(1＋q％)＝ a·［1＋p％＋q％
＋ －1－q％－p％－p％·q％］
由①②，可知这两种方案结果相同，
a －a(1＋p％)(1＋q％)＝
a·［1＋p％＋q％＋ －
1－q％－p％－p％·q％］
＝a·
＝a·
＝a· .
＝a·
＝a· .
＝a·
∵p≠q，
∴a· ＞0.
∴方案③提价最多.
∵p≠q，
∴a· ＞0.
∴方案③提价最多.
【变式4】有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，
B并列放置后构造新的正方形得到图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积
分别为1和12.
(1)正方形A和正方形B的面积之和为 ；
图甲 图乙 图丙
13
【变式4】有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，
B并列放置后构造新的正方形得到图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积
分别为1和12.
(2)三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积.
图甲 图乙 图丙
解：(2)设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b.
图丙阴影部分的面积为S阴影＝(2a＋b)2－3a2－2b2＝4a2＋4ab＋b2－3a2
－2b2＝a2＋4ab－b2＝(a＋b)(a－b)＋4ab.
图甲阴影部分的面积为(a－b)2，
∴(a－b)2＝1，即a－b＝1.
图乙阴影部分的面积为(a＋b)2－a2－b2＝2ab，
∴2ab＝12.
由(1)，得a2＋b2＝13.
∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25＝52，
∴a＋b＝5.
∴S阴影＝1×5＋2×12＝29.
解：(2)设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b.
图丙阴影部分的面积为S阴影＝(2a＋b)2－3a2－2b2＝4a2＋4ab＋b2－3a2
－2b2＝a2＋4ab－b2＝(a＋b)(a－b)＋4ab.
图甲阴影部分的面积为(a－b)2，
∴(a－b)2＝1，即a－b＝1.
图乙阴影部分的面积为(a＋b)2－a2－b2＝2ab，
∴2ab＝12.
由(1)，得a2＋b2＝13.
∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25＝52，
∴a＋b＝5.
∴S阴影＝1×5＋2×12＝29.(共12张PPT)
第十六章 整式的乘法
第7课时 多项式除以单项式
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项
式，再把所得的商相加.
如(ma＋mb)÷m＝a＋b.
计算：(6x－8x4)÷2x
＝( ÷ )－( ÷ )
＝ － .
6x
2x
8x4
2x
3
4x3
知识点1 多项式除以单项式的简单计算
【例1】计算：
(1)(6x2y－2xy2)÷2xy；
解：(1)原式＝(6x2y)÷(2xy)－(2xy2)÷(2xy)
＝3x－y.
(2)(8x3y－4x2)÷(－8x2).
解：(2)原式＝(8x3y)÷(－8x2)－(4x2)÷(－8x2)
＝－xy＋ .
解：(1)原式＝(6x2y)÷(2xy)－(2xy2)÷(2xy)
＝3x－y.
解：(2)原式＝(8x3y)÷(－8x2)－(4x2)÷(－8x2)
＝－xy＋ .
【变式1】计算：
(1)(6a2b－3ab2)÷ ab；
解：(1)原式＝(6a2b)÷ －(3ab2)÷
＝12a－6b.
(2)(20m3－10m2＋5m)÷(－5m).
解：(2)原式＝(20m3)÷(－5m)－(10m2)÷(－5m)＋(5m)÷(－5m)
＝－4m2＋2m－1.
解：(1)原式＝(6a2b)÷ －(3ab2)÷
＝12a－6b.
解：(2)原式＝(20m3)÷(－5m)－(10m2)÷(－5m)＋(5m)÷(－5m)
＝－4m2＋2m－1.
知识点2 多项式除以单项式的综合计算
【例2】计算：(m4n3－m3n4)÷(mn)2.
解：原式＝(m4n3－m3n4)÷m2n2
＝(m4n3)÷(m2n2)－(m3n4)÷(m2n2)
＝m2n－mn2.
【变式2】计算：(8x5－6x4)÷(－2x)2.
解：原式＝(8x5－6x4)÷4x2
＝(8x5)÷(4x2)－(6x4)÷(4x2)
＝2x3－ x2.
解：原式＝(m4n3－m3n4)÷m2n2
＝(m4n3)÷(m2n2)－(m3n4)÷(m2n2)
＝m2n－mn2.
解：原式＝(8x5－6x4)÷4x2
＝(8x5)÷(4x2)－(6x4)÷(4x2)
＝2x3－ x2.
知识点3 化简求值——多项式除以单项式
【例3】先化简，再求值：(2x2y－4xy2)÷y－(9x2y＋6x3)÷3x，其中x
＝－2，y＝ .
解：原式＝2x2－4xy－3xy－2x2
＝－7xy.
当x＝－2，y＝ 时，原式＝－7×(－2)× ＝7.
解：原式＝2x2－4xy－3xy－2x2
＝－7xy.
当x＝－2，y＝ 时，原式＝－7×(－2)× ＝7.
【变式3】先化简，再求值：[(x＋2y)(x－y)－x(x－5y)]÷2y，其中x＝
，y＝－2.
解：原式＝(x2＋xy－2y2－x2＋5xy)÷2y
＝(6xy－2y2)÷2y
＝3x－y.
当x＝ ，y＝－2时，原式＝3× －(－2)＝4.
解：原式＝(x2＋xy－2y2－x2＋5xy)÷2y
＝(6xy－2y2)÷2y
＝3x－y.
当x＝ ，y＝－2时，原式＝3× －(－2)＝4.
1. 计算(4x3－2x)÷2x的结果是( B )
A. －2x2－1 B. 2x2－1
C. －2x3－1 D. －8x4－2x
2. 如果(4a2b－3ab2)÷M＝4a－3b，那么单项式M为( A )
A. ab B. －ab C. a D. －b
B
A
3. 计算：
(1)(－2x3－8x2－4x)÷( x)；
解：(1)原式＝(－2x3)÷ －(8x2)÷ －(4x)÷
＝－4x2－16x－8.
(2)(2x2－4x3)÷(－2x)2.
解：(2)原式＝(2x2－4x3)÷4x2
＝ －x.
解：(1)原式＝(－2x3)÷ －(8x2)÷ －(4x)÷
＝－4x2－16x－8.
解：(2)原式＝(2x2－4x3)÷4x2
＝ －x.
解：原式＝[9x2－6xy＋6xy－4y2－(5x2－2xy＋10xy－4y2)]÷8x
＝(9x2－4y2－5x2－8xy＋4y2)÷8x
＝(4x2－8xy)÷8x
＝ x－y
＝ (x－2y).
∵x－2y＝2 022，
∴原式＝ ×2 022＝1 011.
解：原式＝[9x2－6xy＋6xy－4y2－(5x2－2xy＋10xy－4y2)]÷8x
＝(9x2－4y2－5x2－8xy＋4y2)÷8x
＝(4x2－8xy)÷8x
＝ x－y
＝ (x－2y).
∵x－2y＝2 022，
∴原式＝ ×2 022＝1 011.
4. 先化简，再求值：\[(3x＋2y)(3x－2y)－(x＋2y)(5x－2y)\]÷8x，其
中x－2y＝2 022.
5. (易错)一个等边三角形框架的面积是4a2－2a2b＋ab2，一边上的高为
2a，求该三角形框架的周长.
解：∵等边三角形的底边为2(4a2－2a2b＋ab2)÷2a＝4a－2ab＋b2，
∴该三角形框架的周长为3(4a－2ab＋b2)＝12a－6ab＋3b2.
∴该三角形框架的周长为12a－6ab＋3b2.
解：∵等边三角形的底边为2(4a2－2a2b＋ab2)÷2a＝4a－2ab＋b2，
∴该三角形框架的周长为3(4a－2ab＋b2)＝12a－6ab＋3b2.
∴该三角形框架的周长为12a－6ab＋3b2.
6. (中考热点·规律探究与应用)(人教教材P118T8改编)观察下列式子：
(x2－1)÷(x－1)＝x＋1；
(x3－1)÷(x－1)＝x2＋x＋1；
(x4－1)÷(x－1)＝x3＋x2＋x＋1；
…
(1)(x6－1)÷(x－1)＝ ；
(2)(xn－1)÷(x－1)＝ (n为正整数)；
(3)计算：(5－1)(59＋58＋57＋…＋5＋1)；
(4)计算：1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 024.
x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1
xn－1＋xn－2＋…＋x＋1
解：(3)原式＝510－1.
(4)原式＝(22 025－1)÷(2－1)＝22 025－1.(共14张PPT)
第十六章 整式的乘法
第1课时 同底数幂的乘法
探究同底数幂的乘法：
102×103＝(10×10)×(10×10×10)＝105，
24×22＝(2×2×2×2)×(2×2)＝26，
猜想：53×54＝5( 7 ).
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
am·an＝ · ＝am＋n.
因此，我们有am·an＝ (m，n都是正整数).
即同底数幂相乘，底数 ，指数 .
7
am＋n
不变
相加
知识点1 同底数幂的乘法法则的简单运用
【例1】计算下列各式，结果用幂的形式表示：
(1)32·34＝ ；
(2)a2·a4＝ ；
(3)ym·y3m＝ ；
(4)x2·x3·x4＝ .
36
a6
y4m
x9
【变式1】计算下列各式，结果用幂的形式表示：
(1)102×103＝ ；
(2)()3×()7＝ ()10 ；
(3)32m·35m＝ ；
(4)a3·a2·am＝ .
105
()10
37m
a5＋m
知识点2 同底数幂的乘法法则的综合运用
【例2】计算下列各式，结果用幂的形式表示：
(1)(－a)2·(－a)3；
解：(1)原式＝(－a)2＋3
＝(－a)5
＝－a5.
解：(2)原式＝(x－y)2＋6
＝(x－y)8.
(2)(x－y)2·(x－y)6；
(3)m2·m3＋m·m4.
解：(3)原式＝m5＋m5
＝2m5.
【变式2】计算下列各式，结果用幂的形式表示：
(1)－x3·x2；
解：(1)原式＝－x3＋2
＝－x5.
解：(3)原式＝a2＋3－a1＋3＋3
＝a5－a7.
(2)(a＋b)4·(a＋b)2；
解：(2)原式＝(a＋b)4＋2
＝(a＋b)6.
(3)a2·a3－a·a3·a3.
知识点3 利用同底数幂的乘法法则求字母的值(方程思想)
【例3】若am＋2·a3＝a9，求m的值.
解：∵am＋2\5a3＝a9，
∴am＋2＋3＝a9.
∴m＋2＋3＝9.
∴m＝4.
解：∵am＋2\5a3＝a9，
∴am＋2＋3＝a9.
∴m＋2＋3＝9.
∴m＝4.
【变式3】已知x3·x2m－1＝x8·x2，求m的值.
解：∵x3\5x2m－1＝x8\5x2，
∴x2m＋2＝x10.
∴2m＋2＝10.
∴m＝4.
解：∵x3\5x2m－1＝x8\5x2，
∴x2m＋2＝x10.
∴2m＋2＝10.
∴m＝4.
知识点4 同底数幂的乘法法则的逆运用
【例4】已知am＝3，an＝2，求am＋n的值.
解：原式＝am\5an＝3×2＝6.
【变式4】已知2m＝3，2n＝4，求2m＋n＋1的值.
解：原式＝2m\52n\52＝3×4×2＝24.
解：原式＝am\5an＝3×2＝6.
解：原式＝2m\52n\52＝3×4×2＝24.
课堂总结：
1. 运用公式am·an＝am＋n时，a也可以是多项式；指数相加，不是相乘.
2. 运用公式am＋n＝am·an时，一定要注意指数相加转变为幂相乘.
1. 计算x2·x7的结果是( A )
A. x9 B. x10 C. 7x D. 10x
2. 下列各式中计算结果为x6的是( C )
A. x4＋x2 B. x3·x2 C. x3·x3 D. x9－x3
3. 若am＝5，an＝3，则am＋n的值为( C )
A. 8 B. 11 C. 15 D. 45
4. 若a2·am＝a6，则m＝ .
5. 计算：
(1)(－2)×(－2)4×(－2)3＝ ； (2)xm·x3m＋1＝ .
A
C
C
4
256
x4m＋1
6. 计算：
(1)(－ )×(－ )2×(－ )3；解
解：(1)原式＝(－ )1＋2＋3
＝(－ )6
＝ .
(2)y2n·yn＋1；
解：(2)原式＝y2n＋n＋1
＝y3n＋1.
(3)(a－b)2·(b－a)3.
解：(3)原式＝(b－a)2·(b－a)3
＝(b－a)2＋3
＝(b－a)5.
解：(3)原式＝(b－a)2·(b－a)3
＝(b－a)2＋3
＝(b－a)5.
7. 已知4x＝8，4y＝32，则x＋y＝ .
8. (应用意识)电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中
1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B. 某视频文件的大小约为1GB，1GB等于( A )
A. 230B B. 830B C. 8×1010B D. 2×1030B
4
A
9. (推理能力)若an＋1·am＋n＝a6，且m－2n＝1，求mn的值.
解：根据题意，得an＋1\5am＋n＝am＋2n＋1＝a6，
则m＋2n＝5，
∴ 解得
∴mn＝3.
解：根据题意，得an＋1\5am＋n＝am＋2n＋1＝a6，
则m＋2n＝5，
∴ 解得
∴mn＝3.(共13张PPT)
第十六章 整式的乘法
第5课时 多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘法则：
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另一个
多项式的 ，再把所得的积 .
几何解释：如图，大长方形的面积等于四个小长方形面积的和.
每一项
每一项
相加
＝ ＋ ＋ ＋ .
ap
aq
bp
bq
知识点1 多项式乘多项式的计算
【例1】计算：
(1)(m＋4)(m＋5)＝ ＝ ；
(2)(m－3)(m＋1)＝ ＝ .
【变式1】计算：
(1)(x－5)(x－6)＝ ＝ ；
(2)(a＋7)(a－3)＝ ＝ .
m2＋5m＋4m＋20
m2＋9m＋20
m2＋m－3m－3
m2－2m－3
x2－6x－5x＋30
x2－11x＋30
a2－3a＋7a－21
a2＋4a－21
【例2】计算：
(1)(3x＋1)(x＋2)；
解：(1)原式＝3x2＋6x＋x＋2
＝3x2＋7x＋2.
(2)(x－8y)(x－y).
解：(2)原式＝x2－xy－8xy＋8y2
＝x2－9xy＋8y2.
解：(1)原式＝3x2＋6x＋x＋2
＝3x2＋7x＋2.
解：(2)原式＝x2－xy－8xy＋8y2
＝x2－9xy＋8y2.
【变式2】计算：
(1)(2x＋1)(x＋3)；
解：(1)原式＝2x2＋6x＋x＋3
＝2x2＋7x＋3.
(2)(m＋2n)(3n－m).
解：(2)原式＝3mn－m2＋6n2－2mn
＝6n2＋mn－m2.
解：(1)原式＝2x2＋6x＋x＋3
＝2x2＋7x＋3.
解：(2)原式＝3mn－m2＋6n2－2mn
＝6n2＋mn－m2.
知识点2 化简求值——多项式乘多项式
【例3】先化简，再求值：(x＋2)(2x＋4)－(x－1)(x－2)，其中x＝ .
解：原式＝2x2＋8x＋8－x2＋3x－2
＝x2＋11x＋6.
当x＝ 时，原式＝()2＋11× ＋6＝ .
解：原式＝2x2＋8x＋8－x2＋3x－2
＝x2＋11x＋6.
当x＝ 时，原式＝()2＋11× ＋6＝ .
【变式3】先化简，再求值：(x＋2y)(2x－y)－(2x＋y)(x＋2y)，其中x
＝2，y＝ .
解：原式＝2x2＋3xy－2y2－2x2－5xy－2y2
＝－2xy－4y2.
当x＝2，y＝ 时，原式＝－2×2× －4×()2＝－3.
解：原式＝2x2＋3xy－2y2－2x2－5xy－2y2
＝－2xy－4y2.
当x＝2，y＝ 时，原式＝－2×2× －4×()2＝－3.
1. 若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx－2，则m的值为( C )
A. 3 B. －3 C. 1 D. －1
2. 已知m＋n＝2，mn＝－2，则(2－m)(2－n)的值为( B )
A. 2 B. －2 C. 0 D. 3
C
B
3. (人教教材P107T1节选)计算：
(1)(a＋3b)(a－3b)；
解：(1)原式＝a2－3ab＋3ab－9b2
＝a2－9b2.
(2)(a－1)2；
解：(2)原式＝(a－1)(a－1)
＝a2－a－a＋1
＝a2－2a＋1.
解：(1)原式＝a2－3ab＋3ab－9b2
＝a2－9b2.
解：(2)原式＝(a－1)(a－1)
＝a2－a－a＋1
＝a2－2a＋1.
(3) (x2＋2x＋3)(2x－5)
解：(3)原式＝2x3－5x2＋4x2－10x＋
6x－15
＝2x3－x2－4x－15.
解：(3)原式＝2x3－5x2＋4x2－10x＋6x－15
＝2x3－x2－4x－15.
4. (应用意识)若三角形的一条边长为2a＋4，且这条边上的高为2a－3.
(1)求此三角形的面积；
解：(1)三角形的面积为 (2a＋4)·(2a－3)＝(a＋2)(2a－3)＝2a2＋a－6.
(2)当a＝8时，求此三角形的面积.
解：(2)当a＝8时，原式＝2×82＋8－6＝130.
∴此三角形的面积为130.
解：(1)三角形的面积为 (2a＋4)·(2a－3)＝(a＋2)(2a－3)＝2a2＋a－6.
解：(2)当a＝8时，原式＝2×82＋8－6＝130.
∴此三角形的面积为130.
5. (人教教材P107T2改编)分别计算出下列各题的结果：
①(x＋2)(x＋3)＝ ；
②(x－2)(x－3)＝ ；
③(x－2)(x＋3)＝ ；
④(x＋2)(x－3)＝ .
x2＋5x＋6
x2－5x＋6
x2＋x－6
x2－x－6
(1)仔细分析比较所得的结果，你能发现什么规律？
观察右图，填空：
(x＋p)(x＋q)＝( )2＋( )x＋( ).
x
p＋q
pq
(2)运用你发现的规律计算下列各题：
①(m＋5)(m＋4)；
②(a－2)(a＋2)(a2＋3).
解： (2)①原式＝m2＋(4＋5)m＋4×5＝m2＋9m＋20.
②原式＝(a2－4)(a2＋3)＝a4＋(－4＋3)a2＋[(－4)×3]＝a4－a2－12.
解： (2)①原式＝m2＋(4＋5)m＋4×5＝m2＋9m＋20.
②原式＝(a2－4)(a2＋3)＝a4＋(－4＋3)a2＋[(－4)×3]＝a4－a2－12.
5. (人教教材P107T2改编)分别计算出下列各题的结果：
6. 如图，某市有一块长为(2a＋b)m，宽为(a＋b)m的长方形地块，规划
部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像.
(1)试用含a，b的代数式表示绿化的面积；
解：(1)绿化的面积是(2a＋b)(a＋b)－a2＝2a2＋3ab＋b2－a2＝
(a2＋3ab＋b2)(m2).
解：(1)绿化的面积是(2a＋b)(a＋b)－a2＝2a2＋3ab＋b2－a2
＝(a2＋3ab＋b2)(m2).
(2)当a＝3，b＝2时，请求出绿化面积.
解：(2)当a＝3，b＝2时，原式＝9＋3×2×3＋4＝31.
解：(2)当a＝3，b＝2时，原式＝9＋3×2×3＋4＝31.
答：绿化面积为31 m2.
