(共13张PPT)
第十八章 分 式
第10课时 科学记数法
1. 用科学记数法表示：80 000＝ ，－52 000＝ .
2. (1)10－2＝ ＝0.01，10－3＝ ＝ ；
(2)0.000 1＝10( －4 )，0.000 000 1＝10( －7 ).
8×104
－
5.2×104
0.001
－4
－7
3. 0.000 8＝8×0.000 1＝8×10( －4 )，0.000 004 5＝4.5×
＝4.5×10( －6 ).
－4
0.000 001
－6
知识点1 用科学记数法表示数
【例1】用科学记数法表示下列各数：
(1)890 000＝ ；
(2)0.000 89＝ ；
(3)－0.008 905＝ ；
(4)0.000 003 14＝ .
8.9×105
8.9×10－4
－8.905×10－3
3.14×10－6
【变式1】用科学记数法表示下列各数：
(1)30 000＝ ；
(2)0.007 59＝ ；
(3)－0.000 68＝ ；
(4)0.000 090 4＝ .
3×104
7.59×10－3
－6.8×10－4
9.04×10－5
知识点2 还原用科学记数法表示的数
【例2】下列是用科学记数法表示的数，请写出其原数：
(1)3.25×10－3＝ ；
(2)3×10－5＝ .
【变式2】下列是用科学记数法表示的数，请写出其原数：
(1)4.08×10－6＝ ；
(2)－3×10－4＝ .
0.00325
0.00003
0.00000408
－0.0003
知识点3 科学记数法的相关计算
【例3】计算(结果用科学记数法表示)：
(1)(5×10－4)×(4×10－2)；
解：(1)原式＝(5×4)×10－4＋(－2)
＝20×10－6
＝2×10－5.
(2)6.4×10－8÷(5×10－4).
解：(2)原式＝(6.4÷5)×10－8－(－4)
＝1.28×10－4.
解：(1)原式＝(5×4)×10－4＋(－2)
＝20×10－6
＝2×10－5.
解：(2)原式＝(6.4÷5)×10－8－(－4)
＝1.28×10－4.
【变式3】计算(结果用科学记数法表示)：
(1)(2×10－3)×(5×10－3)；
解：(1)原式＝(2×5)×10－3＋(－3)
＝10×10－6
＝1×10－5.
(2)(3×10－5)2÷(3×10－1)2.
解：(2)原式＝(9×10－10)÷(9×10－2)
＝(9÷9)×10－10－(－2)
＝1×10－8.
解：(1)原式＝(2×5)×10－3＋(－3)
＝10×10－6
＝1×10－5.
解：(2)原式＝(9×10－10)÷(9×10－2)
＝(9÷9)×10－10－(－2)
＝1×10－8.
知识点4 科学记数法的应用
【例4】(人教教材P162例2)碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇
的特性.它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其
直径一般为2～20 nm.通常一根头发丝的直径约为70 μm，一根头发丝的
直径大约是碳纳米管直径的多少倍？
解：∵70 μm＝70×10－6m，20 nm
＝20×10－9m，2 nm＝2×10－9m，
∴(70×10－6)÷(20×10－9)＝3.5×103，
(70×10－6)÷(2×10－9)＝3.5×104.
答：一根头发丝的直径是碳纳米管直径的3.5×103～3.5×104倍.
【变式4】(应用意识)集成电路是一种采用特殊工艺，将晶体管、电阻、
电容等电子元件集成在硅基片上而形成的具有一定功能的器件，俗称芯
片.若某种正方形电子元件的边长为0.000 000 3 m.
(1)这个电子元件的面积为多少平方米？(用科学记数法表示)
解：(1)0.000 000 3×0.000 000 3＝9×10－14(m2).
答：这个电子元件的面积为9×10－14 m2.
解：(1)0.000 000 3×0.000 000 3＝9×10－14(m2).
答：这个电子元件的面积为9×10－14 m2.
(2)若芯片的面积是10－4m2，则芯片的面积是电子元件面积的多少倍？(用
科学记数法表示)
解：(2)10－4÷(9×10－14)＝ ×1010＝ ×109.
答：芯片的面积是电子元件面积的 ×109倍.
科学记数法：
1. 大于10的数：把一个大于10的数表示成a×10n的形式，其中1≤ ＜
10，n为小数点移动的位数.
2. 小于1的数：把一个小于1的数表示成a×10－n的形式，其中1≤ ＜
10，n为小数点移动的位数.
1. 用科学记数法表示下列各数：
(1)502 000＝ ； (2)0.000 008＝ ；
(3)0.000 000 53＝ .
2. 用小数表示下列各数：
(1)5.67×10－6＝ ；
(2)－2×10－7＝ .
3. (多维原创)将－0.000 032用科学记数法表示为－a×10n，则＝ ，n＝ .
5.02×105
8×10－6
5.3×10－7
0.00000567
－0.0000002
3.2
－5
4. 某细菌的直径为0.000 000 009 6 mm，数据 0.000 000 009 6用科学记
数法表示为( C )
A. 9.6×10－8 B. 0.96×10－8
C. 9.6×10－9 D. 9.6×10－10
C
5. (多维原创)下列哪一个数值最小( B )
A. 8.5×10－5 B. 3.5×10－9
C. 8.5×10－8 D. 2.5×10－8
B
6. 第五套人民币硬币分为兰花1角、荷花5角、菊花1元.自古以来人们就
把兰花视为高洁、典雅、爱国和坚贞不渝的象征.硬币兰花1角的直径约
是19 mm，则数据“19 mm”用科学记数法表示为 m.
7. 未来石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯
的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，我们知
道1 nm＝0.000 000 1 cm，请用科学记数法表示出石墨烯每两个相邻碳原
子间的键长为 cm.
1.9×10－2
1.42×10－8 (共16张PPT)
第十八章 分 式
第4课时 分式的乘除
法则 公式 举例
分式的
乘法 分式乘分式，用分子的
作为积的分子，分母的
作为积的分母. · ＝ ·
＝
分式的
除法 分式除以分式，把除式的分子、分母 后，与
被除式相乘. ÷
＝ ÷
＝
分式乘分式，用分子的
积
颠倒位置
积
知识点1 分式的乘除——分子、分母是单项式
【例1】(人教教材P146例1)计算：
(1) · ；
解：(1)原式＝
＝ .
解：(1)原式＝
＝ .
(2) ÷ .
解：(2)原式＝ ·
＝－
＝－ .
(1) · ；
解：(1)原式＝
＝ .
解：(1)原式＝
＝ .
【变式1】(人教教材P148T1节选)计算：
(2) ÷(8x2y).
解：(2)原式＝ ·
＝
＝ .
知识点2 分式的乘除——分子、分母是多项式(先 ，再
约分)
【例2】(人教教材P147例2)计算：
(1) · ；
解：(1)原式＝ ·
＝ .
因式分解
解：(1)原式＝ ·
＝ .
(2) ÷ .
解：(2)原式＝ ·m(m－7)
＝－ .
解：(2)原式＝ ·m(m－7)
＝－ .
【变式2】(人教教材P148T2)计算：
(1) · ；
解：(1)原式＝ ·
＝ .
解：(1)原式＝ ·
＝ .
(2) ÷ .
解：(2)原式＝ ·
＝－ .
【例3】如图1，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a＞1)的正方形
去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的
试验田是边长为(a－1)m的正方形，两块试验田都收获了500 kg小麦.
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
解：(1)由题意，可得
“丰收1号”试验田的单位面积产量为 kg/m2，
“丰收2号”试验田的单位面积产量为 kg/m2.
∵a＞1，
∴ ＞0.
由题图2，可得a2－1＞(a－1)2.
∴ ＜ ，
答：“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
解：(1)由题意，可得
“丰收1号”试验田的单位面积产量为 kg/m2，
“丰收2号”试验田的单位面积产量为 kg/m2.
∵a＞1，
∴ ＞0.
由题图2，可得a2－1＞(a－1)2.
∴ ＜ ，
答：“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
【例3】如图1，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a＞1)的正方形
去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的
试验田是边长为(a－1)m的正方形，两块试验田都收获了500 kg小麦.
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解：(2) ÷ ＝ ·
＝ .
答：“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产
量的 倍.
解：(2) ÷ ＝ ·
＝ .
答：“丰收2号”小麦的单位面积产量是
“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍.
【变式3】(1)一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，
宽为b，当容器内的水占容积的 时，水面的高度为多少？
解：(1)根据题意，得长方体容器的高为 ，
∴当容器内的水占容积的 时，水面的高度为 · ＝ .
答：水面的高度为 .
解：(1)根据题意，得长方体容器的高为 ，
∴当容器内的水占容积的 时，水面的高度为 · ＝ .
答：水面的高度为 .
【变式3】(2)甲、乙两个工程合修一条公路，已知甲工程队每天修(a2－4)m，乙工程队每天修(a－2)2 m(其中a＞2)，则甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用时间的多少倍？
解：(2)根据题意，得 ÷ ＝ ·
＝ .
答：甲工程队修900 m所用时间是乙工程队修600 m所用时间的 倍.
解：(2)根据题意，得 ÷ ＝ ·
＝ .
答：甲工程队修900 m所用时间是乙工程队修600 m所用时间的 倍.
1. 若 ÷ 运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是( C )
A. x－y B. x＋y C. 3x2 D.
C
2. 计算：
(1) ÷ ；
解：(1)原式＝ ·
＝
＝ .
解：(1)原式＝ ·
＝
＝ .
2. 计算：
(2)(xy－x2)÷ ；
解：(2)原式＝x(y－x)·
＝－x3.
(3) · .
解：(3)原式＝ ·
＝ .
解：(2)原式＝x(y－x)·
＝－x3.
解：(3)原式＝ ·
＝ .
3. 先化简： ÷ ，再从0，－2，2中选择一个合适的数作为a的值
代入求值.
解：原式＝ · ＝ .
要使分式有意义，则a－2≠0且a＋2≠0，
∴a不能为2和－2，即a＝0.
当a＝0时，原式＝ ＝－2.
解：原式＝ · ＝ .
要使分式有意义，则a－2≠0且a＋2≠0，
∴a不能为2和－2，即a＝0.
当a＝0时，原式＝ ＝－2.
4. (中考热点·整体思想)若m2＋3m－1＝0，求 ÷ 的值.
解：原式＝ ·
＝m(m＋3)
＝m2＋3m.
∵m2＋3m－1＝0，
∴m2＋3m＝1.
∴原式＝1.
∴ ÷ 的值为1.
解：原式＝ ·
＝m(m＋3)
＝m2＋3m.
∵m2＋3m－1＝0，
∴m2＋3m＝1.
∴原式＝1.
∴ ÷ 的值为1.(共15张PPT)
第十八章 分 式
第11课时 分式方程的解法(1)——分母不需要因式分解
思考下列问题并填空，观察所列的方程和以往学习的方程有什么不同.
一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航
行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等.设
江水的流速为x km/h，则可列方程为 .
像这样分母中含 的方程叫作分式方程，如 ＝5， －1
＝0， ＝t.
＝
未知数
知识点1 分式方程的概念
【例1】下列方程中，是分式方程的是( B )
A. ＋ ＝1 B. m＋ ＝2
C. 2x＝x－5 D. x－4y＝1
【变式1】下列方程中，不是分式方程的是( D )
A. －2＝ B. x－3＝
C. ＝2 D. ＝1
B
D
知识点2 解分式方程——分母相同或分母互为相反数
【例2】解方程：
(1) ＋2＝ ；
解：方程两边乘x＋3，得
1＋2(x＋3)＝4－x，
解得x＝－1.
检验：当x＝－1时，x＋3≠0.
∴原分式方程的解为x＝－1.
解：方程两边乘x＋3，得
1＋2(x＋3)＝4－x，
解得x＝－1.
检验：当x＝－1时，x＋3≠0.
∴原分式方程的解为x＝－1.
【例2】解方程：
(2) ＋ ＝1.
解：方程两边乘x－4，得
1－x＋3＝x－4，
解得x＝4.
检验：当x＝4时，x－4＝0.
∴原分式方程无解.
解：方程两边乘x－4，得
1－x＋3＝x－4，
解得x＝4.
检验：当x＝4时，x－4＝0.
∴原分式方程无解.
【变式2】解方程：
(1)1－ ＝ ；
解：方程两边乘5－2x，得
5－2x－x＝5，
解得x＝0.
检验：当x＝0时，5－2x≠0.
∴原分式方程的解为x＝0.
解：方程两边乘5－2x，得
5－2x－x＝5，
解得x＝0.
检验：当x＝0时，5－2x≠0.
∴原分式方程的解为x＝0.
【变式2】解方程：
(2)1＋ ＝ .
解：方程两边乘x－3，得
x－3＋7－2x＝1，
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x－3＝0.
∴原分式方程无解.
解：方程两边乘x－3，得
x－3＋7－2x＝1，
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x－3＝0.
∴原分式方程无解.
知识点3 解分式方程——最简公分母为所有分母的乘积
【例3】解方程： ＝ .
解：方程两边乘(x－1)(x＋1)，得
3(x－1)＝2(x＋1)，
解得x＝5.
检验：当x＝5时，(x－1)(x＋1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝5.
解：方程两边乘(x－1)(x＋1)，得
3(x－1)＝2(x＋1)，
解得x＝5.
检验：当x＝5时，(x－1)(x＋1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝5.
【变式3】解方程： ＝ .
解：方程两边乘x(x－1)，得
4x＝2(x－1)，
解得x＝－1.
检验：当x＝－1时，x(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－1.
解：方程两边乘x(x－1)，得
4x＝2(x－1)，
解得x＝－1.
检验：当x＝－1时，x(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－1.
【例4】解方程： ＋ ＝1.
解：方程两边乘(x＋2)(x－2)，得
x(x＋2)＋6(x－2)＝(x＋2)(x－2)，
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x＋2)(x－2)≠0.
∴原分式方程的解为x＝1.
解：方程两边乘(x＋2)(x－2)，得
x(x＋2)＋6(x－2)＝(x＋2)(x－2)，
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x＋2)(x－2)≠0.
∴原分式方程的解为x＝1.
【变式4】解方程： －2＝ .
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得
2x(x－1)－2(x＋1)(x－1)＝3(x＋1)，
解得x＝－ .
检验：当x＝－ 时，(x＋1)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－ .
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得
2x(x－1)－2(x＋1)(x－1)＝3(x＋1)，
解得x＝－ .
检验：当x＝－ 时，(x＋1)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－ .
课堂总结：
1. 解分式方程的基本思路：分式方程 整式方程.
2. 解分式方程的步骤：①去分母(注：整式项也要乘最简公分母)；②解
整式方程；③验根；④写结果.
1. 分式方程 ＋3＝ 的解是( C )
A. x＝2 B. x＝1 C. x＝－2 D. x＝－1
2. 解分式方程 －3＝ 时，去分母正确的是( B )
A. x－3＝－2 B. x－3(2x－1)＝－2
C. x－3(2x－1)＝2 D. x－6x－3＝－2
3. (多维原创)若分式 与 的值互为相反数，则x＝ .
4. (核心素养)若分式方程 ＝ 无解，则m＝ .
C
B
12
1
5. 解分式方程：
(1) － ＝0；
解：方程两边乘(x＋2)(x－1)，得
x－1－2(x＋2)＝0，
解得x＝－5.
检验：当x＝－5时，(x＋2)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－5.
解：方程两边乘(x＋2)(x－1)，得
x－1－2(x＋2)＝0，
解得x＝－5.
检验：当x＝－5时，(x＋2)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－5.
5. 解分式方程：
(2) －1＝ .
解：方程两边乘(x＋2)(x－1)，得
x(x＋2)－(x＋2)(x－1)＝3，
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x＋2)(x－1)＝0.
∴原分式方程无解.
解：方程两边乘(x＋2)(x－1)，得
x(x＋2)－(x＋2)(x－1)＝3，
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x＋2)(x－1)＝0.
∴原分式方程无解.(共16张PPT)
第十八章 分 式
易错题集训
易错点一 混淆分式的概念
1. 下列各式： ＋1， ， ， ，是分式的共有( B )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
易错点二 分式值为0时未考虑分母有意义的条件致错
2. (1)若分式 的值为0，则x的值是 .
(2)要使分式 的值为0，只需( C )
A. x＝±3 B. x＝3
C. x＝－3 D. 以上答案都不对
【易错点拨】分式的值为0的条件是不但要分子为0，还要同时考虑分母
不等于0，易忽略考虑分母不等于0.
－4
C
3. 使分式 有意义的a的取值范围是( D )
A. a≠4 B. a≠±4
C. a≠－4 D. a为任意实数
D
易错点三 对分式的基本性质不理解致错
4. 下列分式变形正确的是( C )
A. ＝a－b B. ＝
C. ＝ D. ＝
【易错点拨】利用分式的基本性质约分时，分式的分子、分母能因式分
解的先因式分解，再把分子、分母的公因式进行约分计算，易忽略先因
式分解这一前提条件或进行约分的不是公因式.
C
5. 在分式 (a，b为正数)中，字母a，b的值分别缩小为原来的 ，则
分式的值( B )
A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍
C. 不变 D. 缩小为原来的
6. 若分式 中的a，b同时变为原来的相反数，则该分式的值( C )
A. 1 B. －1
C. 不变 D. 变成原来的相反数
B
C
7. 下列各分式中，是最简分式的是( A )
A. B. C. D.
A
易错点四 自主取值时忽略原分式分母或除式不能为0
8. 先化简： ÷ ，然后从－1，1，－2，2中选一个
合适的数代入求值.
解：原式＝ ÷ ＝ ÷ ＝
· ＝ .
∵x＋1≠0，x＋2≠0，x－2≠0，
∴x≠－1，x≠－2，x≠2.
∴x＝1.
当x＝1时，原式＝ ＝ .
易错点五 解分式方程时不含分母的项漏乘最简公分母
9. 在解分式方程 ＝ －2时，小明的解法如下：
解：方程两边乘x－3，得2－x＝－1－2.①
移项，得－x＝－1－2－2.②
解得x＝5.③
(1)你认为小明在哪一步出现了错误？ (写序号)，原因是
；
①
－2没有
乘最简公分母
9. 在解分式方程 ＝ －2时，小明的解法如下：
解：方程两边乘x－3，得2－x＝－1－2.①
移项，得－x＝－1－2－2.②
解得x＝5.③
(2)小明的解题步骤完善吗？如果不完善，他还缺少哪一步？请你写出正
确的解题过程.
解：(2)小明的解题步骤不完善，少了检验.
方程两边乘x－3，得2－x＝－1－2(x－3)，
解：(2)小明的解题步骤不完善，少了检验.
方程两边乘x－3，得2－x＝－1－2(x－3)，
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x－3＝0.
∴原分式方程无解.
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x－3＝0.
∴原分式方程无解.
易错点六 讨论方程的解时，考虑不全面
10. 若已知关于x的分式方程 ＝3的解是非负数，求m的取值范围.
解：分式方程去分母，得m＝3x－9，
解得x＝ .
∵分式方程的解是非负数，
∴ ≥0，且 ≠3，
解得m≥－9且m≠0.
解：分式方程去分母，得m＝3x－9，
解得x＝ .
∵分式方程的解是非负数，
∴ ≥0，且 ≠3，
解得m≥－9且m≠0.
11. 已知关于x的分式方程 － ＝1.
(1)当a＝1，b＝0时，求分式方程的解；
解：(1)把a＝1，b＝0代入分式方程 － ＝1中，得 －
＝1，
方程两边乘(2x＋3)(x－5)，
得(x－5)＋x(2x＋3)＝(2x＋3)(x－5)，
解：(1)把a＝1，b＝0代入分式方程 － ＝1中，得 －
＝1，
方程两边乘(2x＋3)(x－5)，
得(x－5)＋x(2x＋3)＝(2x＋3)(x－5)，
解得x＝－ .
检验：当x＝－ 时，(2x＋3)(x－5)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－ .
解得x＝－ .
检验：当x＝－ 时，(2x＋3)(x－5)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－ .
11. 已知关于x的分式方程 － ＝1.
(2)当a＝1时，若分式方程 － ＝1无解，则b为何值？
解：(2)把a＝1代入分式方程 － ＝1中，得 － ＝1，
方程两边时乘(2x＋3)(x－5)，
得(x－5)－(b－x)(2x＋3)＝(2x＋3)(x－5)，
整理，得(11－2b)x＝3b－10.
解：(2)把a＝1代入分式方程 － ＝1中，得 － ＝1，
方程两边时乘(2x＋3)(x－5)，
得(x－5)－(b－x)(2x＋3)＝(2x＋3)(x－5)，
整理，得(11－2b)x＝3b－10.
①当11－2b＝0时，即b＝ ，方程无解；
②当11－2b≠0时，x＝ .
当x＝－ 时，分式方程无解，即 ＝－ ，b不存在；
当x＝5时，分式方程无解，即 ＝5，解得b＝5.
综上所述，当b＝ 或5时，分式方程 － ＝1无解.
11. 已知关于x的分式方程 － ＝1.
(3)若a＝3b，且a，b为正整数，当分式方程 － ＝1的解为整数
时，求b的值.
解：(3)把a＝3b代入分式方程 － ＝1，得 ＋ ＝1.
方程两边乘(2x＋3)(x－5)，
得3b(x－5)＋(x－b)(2x＋3)＝(2x＋3)(x－5)，
整理，得(10＋b)x＝18b－15，
∴x＝ .
∵ ＝ ＝18－ ，且b为正整数，x为整数，
∴10＋b必为195的因数，10＋b≥11.
∵195＝3×5×13，
∴195的因数有1，3，5，13，15，39，65，195，
但1，3，5小于11，不合题意，故10＋b可以取13，15，39，65，195这五
个数.
对应地，方程的解x为3，5，13，15，17.
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去.
对应地，b只可以取值3，29，55，185.
综上所述，满足条件的b的值为3或29或55或185.
但1，3，5小于11，不合题意，故10＋b可以取13，15，39，65，195这五
个数.
对应地，方程的解x为3，5，13，15，17.
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去.
对应地，b只可以取值3，29，55，185.
综上所述，满足条件的b的值为3或29或55或185.(共22张PPT)
第十八章 分 式
微专题十 教材经典母题及变式
核心母题1 分式的值
【例1】(人教教材P145T11)在什么条件下，下列分式的值为0？
(1) ；
解：(1)原式＝ ＝ .
当x－2＝0且x＋2≠0时，分式的值为0，
解得x＝2.
即当x＝2时，分式的值为0.
解：(1)原式＝ ＝ .
当x－2＝0且x＋2≠0时，分式的值为0，
解得x＝2.
即当x＝2时，分式的值为0.
【例1】(人教教材P145T11)在什么条件下，下列分式的值为0？
(2) .
解：(2)当5a－b＝0且a＋b≠0时，分式的值为0，
即当b＝5a且b≠0 时，分式的值为0.
解：(2)当5a－b＝0且a＋b≠0时，分式的值为0，
即当b＝5a且b≠0 时，分式的值为0.
【变式1】(人教教材P173T6)
(1)当x取什么值时，分式 的值为0；
解：(1)当3x－6＝0，2x＋1≠0时，分式的值为0，
解得x＝2.
(2)当x取什么值时，分式 的值为正；
解：(2)∵分式 的值为正，x2＞0，
∴2x＋1＞0，且x≠0，解得－ ＜x＜0或x＞0.
解：(1)当3x－6＝0，2x＋1≠0时，分式的值为0，
解得x＝2.
解：(2)∵分式 的值为正，x2＞0，
∴2x＋1＞0，且x≠0，解得－ ＜x＜0或x＞0.
【变式1】(人教教材P173T6)
(3)当x取什么值时，分式 的值为负.
解：(3)∵分式 的值为负，x2＞0，
∴x－2＜0，且x≠0，解得x＜0或0＜x＜2.
解：(3)∵分式 的值为负，x2＞0，
∴x－2＜0，且x≠0，解得x＜0或0＜x＜2.
核心母题2 分式的化简
【例2】化简： · － ÷ .
解：原式＝ · － ·
＝ －
＝
＝ .
解：原式＝ · － ·
＝ －
＝
＝ .
【变式2】化简： · ÷ .
解：原式＝ · ÷
＝
＝ .
解：原式＝ · ÷
＝
＝ .
核心母题3 分式实际应用
【例3】(人教教材P145T10)有四块小场地：第一块是边长为a m的正方
形，第二块是边长为b m的正方形，其余两块都是长为a m、宽为b m的
长方形.另有一块大长方形场地，它的面积等于上面四块场地面积的和，
它的长为2(a＋b)m，用最简单的式子表示出大长方形的宽.
解：这四块场地面积的和为a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
∵大长方形的面积等于这四块场地面积的和，
∴大长方形的宽为 ＝ (m).
解：这四块场地面积的和为a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
∵大长方形的面积等于这四块场地面积的和，
∴大长方形的宽为 ＝ (m).
【变式3】(人教教材P155练习T3)前年、去年、今年某地的森林面积(单
位：km2)分别是S1，S2，S3，今年与去年相比，森林面积增长率提高了
多少？
解：去年的增长率为 ，今年的增长率为 ，
∴今年与去年相比，森林面积增长率提高了 － ＝ .
解：去年的增长率为 ，今年的增长率为 ，
∴今年与去年相比，森林面积增长率提高了 － ＝ .
【例4】(人教教材P151T6)如图，有甲、乙两个花坛(阴影部分)，分别在
这两个花坛中均匀播种m颗花种，哪一个花坛的撒播密度大(撒播密度＝
)？
甲 乙
解：由题意，得甲花坛的撒播密度为P1＝ ，
乙花坛的撒播密度为P2＝ .
∴P1－P2＝ － ＝ － ＝ .
又∵a＞b，π＜4，
∴π－4＜0，a2－b2＞0.
∴P1－P2＜0.
∴P1＜P2，即乙花坛的撒播密度大.
解：由题意，得甲花坛的撒播密度为P1＝ ，
乙花坛的撒播密度为P2＝ .
∴P1－P2＝ － ＝ － ＝ .
又∵a＞b，π＜4，
∴π－4＜0，a2－b2＞0.
∴P1－P2＜0.
∴P1＜P2，即乙花坛的撒播密度大.
甲 乙
【变式4】(人教教材P156T8)一个无盖长方体盒子的容积是V.
(1)如果盒子底面是边长为a的正方形，这个盒子的表面职是多少？
解：(1)∵一个无盖长方体盒子的容积是V，盒子底面是边长为a的正
方形，
∴长方体盒子的高为h1＝ .
∴这个盒子的表面积S1＝a2＋ ·4a＝a2＋ .
解：(1)∵一个无盖长方体盒子的容积是V，盒子底面是边长为a的正
方形，
∴长方体盒子的高为h1＝ .
∴这个盒子的表面积S1＝a2＋ ·4a＝a2＋ .
【变式4】(人教教材P156T8)一个无盖长方体盒子的容积是V.
(2)如果盒子底面是长为b、宽为c的长方形，这个盒子的表面积是多少？
解：(2)∵一个无盖长方体盒子的容积是V，盒子底面是长为b、宽为c的
长方形，
∴长方体盒子的高为h2＝ .
∴这个盒子的表面积为S2＝bc＋ ·2(b＋c)＝bc＋ .
解：(2)∵一个无盖长方体盒子的容积是V，盒子底面是长为b、宽为c的
长方形，
∴长方体盒子的高为h2＝ .
∴这个盒子的表面积为S2＝bc＋ ·2(b＋c)＝bc＋ .
【变式4】(人教教材P156T8)一个无盖长方体盒子的容积是V.
(3)上面两种情况下，如果盒子的底面面积相等，那么两种盒子的表面积
相差多少？
(不计制造材料的厚度)
解：(3)∵盒子的底面面积相等，∴a2＝bc.
∴这两个盒子的表面积之差为S2－S1＝bc＋ －(a2＋ )＝a2＋
－a2－ ＝ ＝ .
解：(3)∵盒子的底面面积相等，∴a2＝bc.
∴这两个盒子的表面积之差为S2－S1＝bc＋ －(a2＋ )＝a2＋
－a2－ ＝ ＝ .
核心母题4 分式的其他问题
【例5】(人教教材P145T12)已知a－ ＝1，且 ＝1，求x的值.
解：将a－ ＝1两边平方，得
＝a2＋ －2＝1，
∴a2＋ ＝3.
∴原式＝ ＝6－3x＝1，
解：将a－ ＝1两边平方，得
＝a2＋ －2＝1，
∴a2＋ ＝3.
∴原式＝ ＝6－3x＝1，
解得x＝ .
∴x的值为 .
解得x＝ .
∴x的值为 .
【变式5】(人教教材P173T13)(1)式子 ＋ ＋ 的值能否为0？为
什么？
解：(1)原式＝ ，不能为0.
理由如下：
若原式为0，只能a＝b＝c＝0，此时分母为0，分式没有意义.
解：(1)原式＝ ，不能为0.
理由如下：
若原式为0，只能a＝b＝c＝0，此时分母为0，分式没有意义.
(2)式子 ＋ ＋ 的值能否为0？为什么？
解：(2)原式＝ ，不能为0.
理由如下：
若原式为0，只能a＝b＝c，此时分母为0，分式没有意义.
核心母题5 解分式方程
【例6】解方程： － ＝1.
解：方程两边乘(2x＋5)(2x－5)，得
2x(2x＋5)－2(2x－5)＝(2x＋5)(2x－5)，
解得x＝－ .
检验：当x＝－ 时，(2x＋5)(2x－5)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－ .
解：方程两边乘(2x＋5)(2x－5)，得
2x(2x＋5)－2(2x－5)＝(2x＋5)(2x－5)，
解得x＝－ .
检验：当x＝－ 时，(2x＋5)(2x－5)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－ .
【变式6】(人教教材P173T7)什么情况下2(x＋1)－1与3(x－2)－1的值
相等？
解：根据题意，得 ＝ ，
方程两边乘(x＋1)(x－2)，
得2(x－2)＝3(x＋1)，
解得x＝－7.
检验：当x＝－7时，(x＋1)(x－2)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－7.
∴当x＝－7时，2(x＋1)－1与3(x－2)－1的值相等.
解：根据题意，得 ＝ ，
方程两边乘(x＋1)(x－2)，
得2(x－2)＝3(x＋1)，
解得x＝－7.
检验：当x＝－7时，(x＋1)(x－2)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－7.
∴当x＝－7时，2(x＋1)－1与3(x－2)－1的值相等.
核心母题6 分式方程的应用
【例7】某班组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活
动，基地离学校有90 km，队伍8：00从学校出发.苏老师因有事情，8：
30从学校自驾小轿车以大巴车1.5倍的速度追赶大巴车，追上大巴车后继
续前行，结果比队伍提前15 min到达基地.问：
(1)大巴车与小轿车的平均速度各是多少？
解：(1)设大巴车的平均速度为x km/h，则小轿车的平均速度为1.5x
km/h.
根据题意，得 ＝ ＋ ＋ ，
解：(1)设大巴车的平均速度为x km/h，则小轿车的平均速度为1.5xkm/h.
根据题意，得 ＝ ＋ ＋ ，
解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意.
则1.5x＝60.
答：大巴车的平均速度为40 km/h，小轿车的平均速度为60 km/h.
解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意.
则1.5x＝60.
答：大巴车的平均速度为40 km/h，小轿车的平均速度为60 km/h.
(2)苏老师追上大巴车的地点到基地的路程有多远？
解：(2)设苏老师追上大巴车的地点到基地的路程有y km.
根据题意，得 ＋ ＝ ，
解得y＝30.
答：苏老师追上大巴车的地点到基地的路程有30 km.
核心母题6 分式方程的应用
【例7】某班组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活
动，基地离学校有90 km，队伍8：00从学校出发.苏老师因有事情，8：
30从学校自驾小轿车以大巴车1.5倍的速度追赶大巴车，追上大巴车后继
续前行，结果比队伍提前15 min到达基地.问：
【变式7】为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意
识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖
若干名，并购买相应奖品.现有经费1 275元用于购买奖品，且经费全部
用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3.当用600元购
买一等奖奖品时，可购买一、二等奖奖品共25件.
(1)求一、二等奖奖品的单价；
解：(1)设一等奖奖品的单价为4x元，则二等奖奖品的单价为3x元.
根据题意，得 ＋ ＝25，
解得x＝15.
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意.
则4x＝60，3x＝45.
答：一等奖奖品的单价为60元，二等奖奖品的单价为45元.
解：(1)设一等奖奖品的单价为4x元，则二等奖奖品的单价为3x元.
根据题意，得 ＋ ＝25，
(2)若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买
方式？
方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品；
方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品；
方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品.
解：(2)设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品n件.
根据题意，得60m＋45n＝1 275，
∴n＝ .
∵m，n均为正整数，且4≤m≤10，
∴ 或 或
∴共有3种购买方案：(共19张PPT)
第十八章 分 式
第7课时 分式的加减(2)——异分母分式相加减
类比学习：
(1) ＋ ＝ ＋ ＝ ；(2) ＋ ＝ ＋ ＝ .
异分母分式相加减法法则：
异分母分式相加减，先 ，变为同分母分式，再加减.
即 ± ＝ ± ＝ .
注意：通分的关键是找出最简公分母.(数字的 数，所有因
式的 )
＋
通分
±
最小公倍
乘积
知识点1 最简公分母是单项式
【例1】计算：
(1) － ；
解：(1)原式＝ －
＝ .
解：(1)原式＝ －
＝ .
(2) － .
解：(2)原式＝ －
＝ .
【变式1】计算：
(1) － ；
解：(1)原式＝ －
＝－ .
解：(1)原式＝ －
＝－ .
(2) ＋ .
解：(2)原式＝ ＋
＝ .
解：(2)原式＝ ＋
＝ .
知识点2 最简公分母是多项式
【例2】计算：
(1) ＋ ；
解：(1)原式＝
＝ .
解：(1)原式＝
＝ .
【例2】计算：
(2) － .
解：(2)原式＝
＝
＝ .
解：(2)原式＝
＝
＝ .
【变式2】计算：
(1) ＋ ；
解：(1)原式＝
＝ .
解：(1)原式＝
＝ .
(2) － .
解：(2)原式＝
＝ .
【例3】计算：
(1) － ；
解：(1)原式＝ － ＝
＝
＝ .
解：(1)原式＝ － ＝
＝
＝ .
【例3】计算：
(2) ＋ .
解：(2)原式＝ ＋
＝
＝
＝ .
解：(2)原式＝ ＋
＝
＝
＝ .
【变式3】计算：
(1) － ；
解：(1)原式＝ －
＝
＝ .
解：(1)原式＝ －
＝
＝ .
【变式3】计算：
(2) － .
解：(2)原式＝ －
＝
＝
＝
＝1.
解：(2)原式＝ －
＝
＝
＝
＝1.
知识点3 分式与整式相加减
【例4】计算：
(1)1－ ；
解：(1)原式＝
＝ .
解：(1)原式＝
＝ .
(2) －a＋2.
解：(2)原式＝
＝ .
解：(2)原式＝
＝ .
【变式4】计算：
(1)2＋ ；
解：(1)原式＝
＝ .
解：(1)原式＝
＝ .
(2) －a－3.
解：(2)原式＝
＝ .
课堂总结：异分母分式相加减的一般步骤.
对分母作因式分解 通分 分母不变，分子相加减 合并同类项后分解
因式 约分至最简.
1. 计算 － 的结果为( D )
A. B. 3 C. D.
2. 计算 － 的结果为 .
D
3. 计算：
(1) － ；
解：(1)原式＝ －
＝
＝
＝ .
解：(1)原式＝ －
＝
＝
＝ .
3. 计算：
(2) ＋ .
解：(2)原式＝ －
＝
＝－ .
解：(2)原式＝ －
＝
＝－ .
4. 已知 －A＝ ，其中A是一个含x的代数式，求A化简后的
结果.
解：根据题意，得A＝ － ＝ － ＝ － ＝
＝－ .
解：根据题意，得A＝ － ＝ － ＝ － ＝
＝－ .
5. (中考热点·探究与应用)探究问题： ＝ － ， ＝ － ， ＝
－ .
(1)请猜想 的结果，并证明猜想的等式成立；
解：(1) ＝ － .
证明如下： － ＝ － ＝ .
解：(1) ＝ － .
证明如下： － ＝ － ＝ .
(2)计算 ＋ ＋ ＋…＋ 的值.
解：(2)由(1)，得原式＝1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝1－
＝ .(共22张PPT)
第十八章 分 式
章末复习
知识要点
知识点1 分式的有关概念
(1)概念：一般地，形如 (A，B表示两个整式，并且B中含有字母)的式
子是分式.
(2)①当B≠0时，分式 有意义；
②当B＝0时，分式 无意义；
③当A＝0且B≠0时，分式 的值为0.
对点训练
1. (1)在代数式 ， ， ， ，a＋ 中，分式的个数是( A )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
(2)若分式 无意义，则x ；
(3)若分式 的值为0，则x .
A
＝3
＝2
知识要点
知识点2 分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.
用式子表示为 ＝ ， ＝ (C≠0).
对点训练
2. 下列变形正确的是( D )
A. ＝－ B. ＝
C. ＝ D. ＝－
D
知识要点
知识点3 有关负整数指数幂的运算
(1)am·an＝am＋n(m，n都是整数)；
(2)(am)n＝amn(m，n都是整数)；
(3)(ab)m＝ambm(m，n都是整数)；
(4)a0＝1(a≠0)；
(5)a－n＝ 或a－n＝()n(a≠0，n为整数)；
(6)科学记数法.
对点训练
3. 填空：
(1)2－3×(π－1)0＋()－2＝ ；
(2)某细胞的直径约为0.000 001 3 m，将数0.000 001 3用科学记数法表示
为 ；
(3)6x－1÷2x－3＝ ；
(4)(2ab－3)2＝ .
1.3×10－6
3x2
知识要点
知识点4 分式的计算
分式运算的顺序：
①先算乘方；
②再算乘除；
③最后算加减；
④有括号的先算括号内的.
注意：结果化为最简分式或整式.
对点训练
4. 计算：
(1) ÷ ；
解：(1)原式＝ \5
＝ \5
＝a＋2.
解：(1)原式＝ \5
＝ \5
＝a＋2.
4. 计算：
(2) － .
(2)原式＝ －
＝
＝
＝ .
解：(2)原式＝ －
＝
＝
＝ .
知识要点
知识点5 分式方程的解法及其实际应用
(1)解分式方程的一般步骤：去分母→解整式方程→检验→回答原分式方
程有无解.
(2)列分式方程解实际问题的一般步骤：
①审；②设；③列；④解；⑤检；⑥答.
对点训练
5. 解方程： －x＝ .
解：方程两边乘x－2，
得x2－x(x－2)＝－2，
解得x＝－1.
检验：当x＝－1时，x－2≠0.
∴原分式方程的解为x＝－1.
解：方程两边乘x－2，
得x2－x(x－2)＝－2，
解得x＝－1.
检验：当x＝－1时，x－2≠0.
∴原分式方程的解为x＝－1.
核心练习
1. (整体思想)化简求值： ÷ ，其中a2－a－1＝0.
解：原式＝ ·
＝ ·
＝ .
∵a2－a－1＝0，
∴a＋1＝a2.
∴原式＝ ＝1.
解：原式＝ ·
＝ ·
＝ .
∵a2－a－1＝0，
∴a＋1＝a2.
∴原式＝ ＝1.
2. 一块麦田有m hm2，甲收割完这块麦田需n h，乙比甲少用0.5 h就能收
割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要多少小时？
解：乙收割完这块麦田需要的时间为(n－0.5)h，
甲的工作效率为 hm2/h，乙的工作效率为 hm2/h.
∴两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为 ＝ (h).
答：两人一起收割完这块麦田需要 h.
解：乙收割完这块麦田需要的时间为(n－0.5)h，
甲的工作效率为 hm2/h，乙的工作效率为 hm2/h.
∴两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为 ＝ (h).
答：两人一起收割完这块麦田需要 h.
3. 解方程：
(1) － ＝1；
解：方程两边乘2(x－3)，得
12－x－9＝2x－6，
解得x＝3.
检验：当x＝3时，2(x－3)＝0.
∴原分式方程无解.
解：方程两边乘2(x－3)，得
12－x－9＝2x－6，
解得x＝3.
检验：当x＝3时，2(x－3)＝0.
∴原分式方程无解.
3. 解方程：
(2)1＋ ＝ .
解：方程两边乘(x＋2)(x－2)，得
x2－4－x(x＋2)＝2，
解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，(x＋2)(x－2)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－3.
解：方程两边乘(x＋2)(x－2)，得
x2－4－x(x＋2)＝2，
解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，(x＋2)(x－2)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－3.
4. 先化简，再求值： ÷ ，在－3，－2，－1，0中选值
代入求值.
解：原式＝ ÷
＝ ·
＝ ·
＝－ .
易知x＋2≠0，x2－9≠0，
∴x≠－2，x≠±3.
∴可取x＝－1，原式＝－ .
5. 为进一步加强中小学规范汉字书写，八年级(1)班需要购买一部分字帖
供同学们参考使用.班长李飞来到文具店，发现有A，B两种型号字帖供
顾客选择.以下是两人的对话：
李飞：您好，我一共有480元钱，打算购买这两种字帖，它们的单价分别
是多少？
店员：A型号字贴的单价比B型号字贴的单价贵5元，你花400元买B型号
字贴的本数与花480元买A型号字贴的本数相同.现店里推出答题优惠活
动，答对即可享九折优惠.
(1)请根据两人的对话信息，求出A，B两种型号字帖的单价；
解：(1)设B型号字帖的单价为x元，则A型号字帖的单价为(x＋5)元.
根据题意，得 ＝ ，
解得x＝25.
经检验，x＝25是原分式方程的解，且符合题意.
则x＋5＝30.
答：A型号字帖的单价为30元，B型号字帖的单价为25元.
解：(1)设B型号字帖的单价为x元，则A型号字帖的单价为(x＋5)元.
根据题意，得 ＝ ，
解得x＝25.
经检验，x＝25是原分式方程的解，且符合题意.
则x＋5＝30.
答：A型号字帖的单价为30元，B型号字帖的单价为25元.
(2)若李飞答对了问题，则他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种
字帖各多少本？
解：(2)设能买到相同数量的这两种字帖各m本.
根据题意，得(30＋25)×0.9m≤480，
解得m≤ .
∵m为正整数，
∴m的最大值为9.
答：若李飞答对了问题，则他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两
种字帖各9本.
解：(2)设能买到相同数量的这两种字帖各m本.
根据题意，得(30＋25)×0.9m≤480，
解得m≤ .
∵m为正整数，
∴m的最大值为9.
答：若李飞答对了问题，则他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两
种字帖各9本.
6. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车.
燃油车 油箱容积：40 L 油价：9元/L 续航里程：a km 每千米行驶费用： 元 新能源车
电池电量：60 kW·h
电价：0.6元/kW·h
续航里程：a km
每千米行驶费用： 元
(1)新能源车的每千米行驶费用为 元；(用含a的式子表示)
(2)已知燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
解：(2)①根据题意，得 － ＝0.54，
解得a＝600.
经检验，a＝600是原分式方程的解，且符合题意.
则 ＝0.6(元)， ＝0.06(元).
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为
0.06元.
解：(2)①根据题意，得 － ＝0.54，
解得a＝600.
经检验，a＝600是原分式方程的解，且符合题意.
则 ＝0.6(元)， ＝0.06(元).
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为
0.06元.
(2)已知燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元，问：当
每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低.(年费用＝年行
驶费用＋年其他费用)
解：②设每年行驶里程为x km.
根据题意，得0.6x＋4 800＞0.06x＋7 500，
解得x＞5 000.
答：当每年行驶里程大于5 000 km时，买新能源车的年费用更低.
解：②设每年行驶里程为x km.
根据题意，得0.6x＋4 800＞0.06x＋7 500，
解得x＞5 000.
答：当每年行驶里程大于5 000 km时，买新能源车的年费用更低.(共13张PPT)
第十八章 分 式
第15课时 分式方程的应用(3)——销售问题
1. 单价＝ ；数量＝ .
2. 某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现甲礼品的单价比乙
礼品的单价多40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品
的数量相等.设乙礼品的单价为x元，则可列方程为 .
＝
知识点1 “数量1＝k·数量2”型
【例1】某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒
的单价高50元，用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相
等，求购买一盏台灯、一个手电筒各需要多少元.
解：设购买一个手电筒需要x元，则购买一盏台灯需要(x＋50)元.
根据题意，得 ＝ ，
解：设购买一个手电筒需要x元，则购买一盏台灯需要(x＋50)元.
根据题意，得 ＝ ，
解得x＝30.
经检验，x＝30是原分式方程的解，且符合题意.
则x＋50＝80.
答：购买一盏台灯需要80元，购买一个手电筒需要30元.
解得x＝30.
经检验，x＝30是原分式方程的解，且符合题意.
则x＋50＝80.
答：购买一盏台灯需要80元，购买一个手电筒需要30元.
【变式1】某商场用4 250元购进一批某品牌的消毒液后，供不应求.
商场又用7 650元购进第二批这种消毒液，所购的瓶数是第一批瓶数
的1.6倍，但每瓶单价贵了1元，求该商场第一批该品牌消毒液的单价
是多少元.
解：设该商场第一批该品牌消毒液的单价为x元，则第二批该品牌消毒
液的单价为(x＋1)元.
根据题意，得1.6× ＝ ，
解得x＝8.
经检验，x＝8是原分式方程的解，且符合题意.
答：该商场第一批该品牌消毒液的单价是8元.
解：设该商场第一批该品牌消毒液的单价为x元，则第二批该品牌消毒
液的单价为(x＋1)元.
根据题意，得1.6× ＝ ，
解得x＝8.
经检验，x＝8是原分式方程的解，且符合题意.
答：该商场第一批该品牌消毒液的单价是8元.
知识点2 “数量1±数量2＝常数”型
【例2】某单位在用3 000元购进A，B两种口罩共1 100个，购买A种口罩
与购买B种口罩的费用相同，且A种口罩的单价是B种口罩单价的1.2倍，
求A，B两种口罩的单价各是多少元.
解：设B种口罩的单价是x元，则A种口罩的单价是1.2x元.
根据题意，得 ＋ ＝1100，
解得x＝2.5.
经检验，x＝2.5是原方式方程的解，且符合题意.
则1.2x＝3.
答：A种口罩的单价是3元，B种口罩的单价是2.5元.
解：设B种口罩的单价是x元，则A种口罩的单价是1.2x元.
根据题意，得 ＋ ＝1100，
解得x＝2.5.
经检验，x＝2.5是原方式方程的解，且符合题意.
则1.2x＝3.
答：A种口罩的单价是3元，B种口罩的单价是2.5元.
【变式2】某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两
款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3
000万元购进A型汽车的数量比2 400万元购进B型汽车的数量少20辆.
(1)每辆B型汽车的进价是多少万元？
解：(1)设每辆B型汽车的进价是x万元，则每辆A型汽车的进价是
1.5x万元.
根据题意，得 － ＝20，
解得x＝20.
经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意.
答：每辆B型汽车的进价是20万元.
解：(1)设每辆B型汽车的进价是x万元，则每辆A型汽车的进价是
1.5x万元.
根据题意，得 － ＝20，
解得x＝20.
经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意.
答：每辆B型汽车的进价是20万元.
【变式2】某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两
款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3
000万元购进A型汽车的数量比2 400万元购进B型汽车的数量少20辆.
(2)该公司决定用不多于3 600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以
购买多少辆A型汽车？
解：(2)设购买m辆A型汽车，则购买(150－m)辆B型汽车.
根据题意，得30m＋20(150－m)≤3 600，
解得m≤60.
答：最多可以购买60辆A型汽车.
解：(2)设购买m辆A型汽车，则购买(150－m)辆B型汽车.
根据题意，得30m＋20(150－m)≤3 600，
解得m≤60.
答：最多可以购买60辆A型汽车.
课堂总结：
1. 销售问题的等量关系通常隐含在数量这个量中，数量＝ .
①数量1＝数量2；②数量1＝k·数量2；③数量1±数量2＝常数.
2. 分式方程应用题一定要检验(切记).
1. 端午节那天，“味美早餐店”的粽子打九折出售，小红的妈妈去该店
买粽子花了54元钱，比平时多买了3个，求平时每个粽子卖多少元.
解：设平时每个粽子卖x元.
根据题意，得 － ＝3，
解得x＝2.
经检验，x＝2是原分式方程的解，且符合题意.
答：平时每个粽子卖2元.
解：设平时每个粽子卖x元.
根据题意，得 － ＝3，
解得x＝2.
经检验，x＝2是原分式方程的解，且符合题意.
答：平时每个粽子卖2元.
2. 在“妇女节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花.销售过程中
发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价2元促销，降价后
300元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.2倍.
(1)求降价后每枝玫瑰的售价是多少元；
解：(1)设降价后每枝玫瑰的售价是x元.
根据题意，得 ＝ ×1.2，
解得x＝10.
经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意.
答：降价后每枝玫瑰的售价是10元.
解：(1)设降价后每枝玫瑰的售价是x元.
根据题意，得 ＝ ×1.2，
解得x＝10.
经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意.
答：降价后每枝玫瑰的售价是10元.
(2)根据销售情况，店主用不多于2 000元的资金再次购进两种鲜花共
300枝，康乃馨的进价为8元/枝，玫瑰的进价为6元/枝.问至少购进玫
瑰多少枝？
解：(2)设购进玫瑰y枝.
根据题意，得8(300－y)＋6y≤2000，
解得y≥200.
答：至少购进玫瑰200枝.
解：(2)设购进玫瑰y枝.
根据题意，得8(300－y)＋6y≤2000，
解得y≥200.
答：至少购进玫瑰200枝.
2. 在“妇女节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花.销售过程中
发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价2元促销，降价后
300元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.2倍.
3. 某公司计划从商店购买同一品牌的毛巾和同一品牌的香皂，已知购买
一条毛巾比购买一块香皂多用20元.若用400元购买毛巾，用160元购买香
皂，则购买毛巾的条数是购买香皂块数的一半.
(1)购买一条该品牌毛巾、一块该品牌香皂各需要多少元？
解：(1)设购买一块该品牌香皂需要x元，则购买一条该品牌毛巾需要(x
＋20)元.
根据题意，得 ＝ × ，
解得x＝5.
经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意.
则x＋20＝25.
答：购买一条该品牌毛巾需要25元，购买一块该品牌香皂需要5元.
(2)经商谈，商店给予该公司购买一条该品牌毛巾赠送一块该品牌香皂的
优惠，如果该公司需要香皂的块数比毛巾条数的2倍还多8个，且该公司
购买毛巾和香皂的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少条该
品牌毛巾？
解：(2)设该公司购买m条该品牌毛巾，则购买(2m＋8)块该品牌香皂.
根据题意，得25m＋5(2m＋8－m)≤670，
3. 某公司计划从商店购买同一品牌的毛巾和同一品牌的香皂，已知购买
一条毛巾比购买一块香皂多用20元.若用400元购买毛巾，用160元购买香
皂，则购买毛巾的条数是购买香皂块数的一半.
解得m≤21.
∴m的最大值为21.
答：该公司最多可购买21条该品牌毛巾.
解得m≤21.
∴m的最大值为21.
答：该公司最多可购买21条该品牌毛巾.(共13张PPT)
第十八章 分 式
第1课时 从分数到分式
1. 分式的概念：
一般地，如果A，B表示两个 ，并且B中含有 ，那么式
子 叫作分式，其中A叫作 ，B叫作分母.
整式
字母
分子
2. 分式有意义的条件：
对于分式 ，当 时，分式有意义.
(1)下列各式是分式的是( C )
A. B. C. D.
(2)若分式 有意义，则x的取值范围是( B )
A. x＞2 B. x≠2 C. x≠0 D. x≠－2
B≠0
C
B
知识点1 分式的概念
【例1】下列式子是分式的是( B )
A. B. C. D. a
【变式1】下列各式中，不是分式的是( C )
A. B. 1－ C. D.
B
C
知识点2 分式 有意义的条件：B≠0
【例2】下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1) ；
(2) ；
(3) .
解：(1)由题意，得x－3≠0，即x≠3.
(2)由题意，得3x＋6≠0，即x≠－2.
(3)由题意，得x2－1≠0，即x≠±1.
解：(1)由题意，得x－3≠0，即x≠3.
解：(2)由题意，得3x＋6≠0，即x≠－2.
解：(3)由题意，得x2－1≠0，即x≠±1.
【变式2】填空：
(1)当x 时，分式 有意义；
(2)当x 时，分式 无意义；
(3)当x 时，分式 有意义.
≠0
＝4
≠±3
知识点3 分式 的值为0的条件：B≠0且A＝0
【例3】当x取何值时，下列分式的值等于0？
(1) ；
(2) ；
(3) .
解：(1)由题意，得x＋3＝0且x－1≠0，即x＝－3.
(2)由题意，得x2－9＝0且x＋3≠0，即x＝3.
(3)由题意，得｜x｜－3＝0且x－3≠0，即x＝－3.
解：(1)由题意，得x＋3＝0且x－1≠0，即x＝－3.
解：(2)由题意，得x2－9＝0且x＋3≠0，即x＝3.
解：(3)由题意，得｜x｜－3＝0且x－3≠0，即x＝－3.
【变式3】当x取何值时，下列分式的值等于0？
(1) ；
(2) ；
(3) .
解：(1)由题意，得x＋2＝0且x≠0，即x＝－2.
(2)由题意，得2x－4＝0且2x＋2≠0，即x＝2.
(3)由题意，得x2－1＝0且x－1≠0，即x＝－1.
解：(1)由题意，得x＋2＝0且x≠0，即x＝－2.
解：(2)由题意，得2x－4＝0且2x＋2≠0，即x＝2.
解：(3)由题意，得x2－1＝0且x－1≠0，即x＝－1.
知识点4 实际问题中的分式表示
【例4】(人教教材P138“思考”改编)列式表示下列各量.
(1)长方形的面积为S，长为a，则宽为 ；
(2)在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行a km用时b h，则他
的平均速度为 km/h；若他在上坡滑行a km 比在平地滑行同样的距离
多用c h，则他的平均速度为 km/h.
【变式4】列式表示下列各量.
(1)某村有n 个人，耕地40 km2，则人均耕地面积为 km2；
(2)△ABC的面积为S，边BC的长为a，则高AD的长为 .
(3)在一次考试中，某班有m人得80分，有n人得100分，那么两部分人合
在一起的平均分是 分.
1. 如图，陈老师在黑板上写了四个代数式，其中是分式的有( B )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
2. 填空：(1)当x 时，分式 有意义；
(2)当x 时，分式 的值为0；
(3)当x 时，分式 无意义.
3. (易错)当a为任意实数时，下列分式中一定有意义的是( D )
A. B. C. D.
4. (开放性问题)已知四张卡片上面分别写有3，x－y，x2－1，π＋1，从
中任选两张卡片，组成一个分式为 .(写出一个即可)
≠y
＝－3
＝±6
D
(答案不唯一)
5. 我们知道往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变得更甜了，将a g糖放
入水中，得到b g糖水，此时糖水的含糖量即为 (a＜b)，再往杯中加入
c(c＞0)g糖，此时糖水的含糖量可表示为 .
6. (中考热点·分类讨论)如果分式的值为正数，那么我们需要对其进行分
类讨论：若 ＞0，则 或
(1)当x满足 x＞ 时，分式 的值为正数；
(2)若分式 的值为负数，求x的取值范围.
解：(2)分式 的值为负数，则：
x＞
解：(2)分式 的值为负数，则：
① ②
解不等式组①，得该不等式组无解；
解不等式组②，得－5＜x＜ .
∴x的取值范围是－5＜x＜ .
① ②
解不等式组①，得该不等式组无解；
解不等式组②，得－5＜x＜ .
∴x的取值范围是－5＜x＜ .(共16张PPT)
第十八章 分 式
第9课时 整数指数幂
我们知道a5÷a3＝a5－3＝a2，那a3÷a5等于什么呢？
猜想：a3÷a5＝a3－5＝a－2，而另一方面，a3÷a5＝ ＝ ，即a－2＝ .
一般地，当n是正整数时，a－n＝ (a≠0).也可写成：a－n＝
(a≠0).
知识点1 负整数指数幂的计算
【例1】计算：
(1)2－3＝ ＝ ；
(2)(－2)－3＝ ＝ － ；
(3)()－1＝ ＝ ；
(4)(－ )－2＝ ＝ .
－
31
3
【变式1】计算：
(1)2－2＝ ＝ ；
(2)(－3)－3＝ ＝ － ；
(3)()－2＝ ＝ ；
(4)(－ )－2＝ ＝ .
－
知识点2 整数指数幂的运算
(1)am·an＝ (m，n为整数)；
(2)(am)n＝ (m，n为整数)；
(3)(ab)n＝ (n为整数)；
(4)am÷an＝am－n(a≠0，m，n为整数)；
(5)当a≠0时，a0＝1；
(6)a－n＝ (a≠0，n为整数).
am＋n
amn
anbn
【例2】计算：
(1)a－1·a－3＝ ＝ ；
(2)(a2)－3＝ ＝ ；
(3)x－2y－3＝ · ＝ ；
(4)x－2÷x－4＝ ＝ .
a－4
a－6
·
x－2－(－4)
x2
【变式2】计算：
(1)x2·x－5＝ ＝ ；
(2)(y－3)2＝ ＝ ；
(3)(x5y－2)－3＝ ＝ ；
(4)m－4÷m－2＝ ＝ .
x－3
y－6
x－15y6
m－2
【例3】计算：(2m2n－2)2·3m－3n3.
解：原式＝(4m4n－4)·3m－3n3
＝12m4＋(－3)n－4＋3
＝12mn－1
＝ .
解：原式＝(4m4n－4)·3m－3n3
＝12m4＋(－3)n－4＋3
＝12mn－1
＝ .
【变式3】计算：(2ab2c－3)－2÷(a－2b)3.
解：原式＝ ·
＝ .
解：原式＝ ·
＝ .
1. 计算2－2的结果是( A )
A. B. － C. 4 D. －4
2. 计算(a4)－2的结果是( C )
A. －a8 B. a8 C. D. －
3. 若(m－3)－1有意义，则m的取值范围是 .
A
C
m≠3
4. 计算：
(1)(－2)0×3－2＝ ；
(2)m－2＝ ；
(3)2－1－π0＝ .
－
5. 计算：
(1)(－1)2＋()－1－5÷(2 024－π)0；
解：(1)原式＝1＋2－5÷1＝－2.
(2)(2 025－3.14)0＋32－ ×(－ )－2.
解：(2)原式＝1＋9－ ×16＝10－8＝2.
解：(1)原式＝1＋2－5÷1＝－2.
解：(2)原式＝1＋9－ ×16＝10－8＝2.
6. 计算：
(1)x－3·x－2＝ ； (2)x－2÷x－5＝ .
(3)(－3y2)－2＝ ； (4)(－3m2n－3)－2＝ ；
(5)(x－1)3·x2＝ .
x3
7. 计算：
(1)3a－2b·2ab－2；
解：(1)原式＝6a－1b－1
＝ .
(2)(－3ab－1)3；
解：(2)原式＝－27a3b－3
＝－ .
解：(1)原式＝6a－1b－1
＝ .
解：(2)原式＝－27a3b－3
＝－ .
7. 计算：
(3)x2y－3· .
解：(3)原式＝x2－3y－3＋3
＝ .
解：(3)原式＝x2－3y－3＋3
＝ .
8. 已知3－a＝2，3－2b＝ ，求33a＋2b的值.
解：∵3－a＝2，3－2b＝ ，
∴ ＝2， ＝ ，即3a＝ ，32b＝10.
∴33a＋2b＝33a·32b＝(3a)3·32b＝ ×10＝ .
解：∵3－a＝2，3－2b＝ ，
∴ ＝2， ＝ ，即3a＝ ，32b＝10.
∴33a＋2b＝33a·32b＝(3a)3·32b＝ ×10＝ .
9. (人教教材P163T7改编)已知a＋a－1＝3，求下列各式的值.
(1)a2＋a－2；
解：(1)∵a＋a－1＝3，
∴(a＋a－1)2＝9，即a2＋2＋a－2＝9.
∴a2＋a－2＝9－2＝7.
解：(1)∵a＋a－1＝3，
∴(a＋a－1)2＝9，即a2＋2＋a－2＝9.
∴a2＋a－2＝9－2＝7.
(2)a4＋a－4.
解：(2)由(1)，得a2＋a－2＝7，
∴(a2＋a－2)2＝49，即a4＋2＋a－4＝49.
∴a4＋a－4＝49－2＝47.(共12张PPT)
第十八章 分 式
第13课时 分式方程的应用(1)——工程问题
列分式方程解实际问题的一般步骤：
(1)审清题意；(2)设未知数(注意要有单位)；(3)列分式方程；(4)解方程；
(5)检验；(6)答(注意单位).
工人A加工180个零件与工人B加工240个零件所用时间相同，已知两人每
天共加工70个零件，若设工人A每天加工x个零件，则可列方程为( A )
A. ＝ B. ＝
C. ＋ ＝70 D. －70＝
A
知识点1 “t1＝t2”型
【例1】甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加
工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，求
甲、乙每天加工的玩具数.
解：设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工(35－x)个玩具.
根据题意，得 ＝ ，
解：设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工(35－x)个玩具.
根据题意，得 ＝ ，
解得x＝15.
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意.
则35－x＝20.
答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具.
解得x＝15.
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意.
则35－x＝20.
答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具.
【变式1】(人教教材P168T2)甲、乙两人做某种机械零件.已知甲每小时
比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等.求甲、
乙每小时各做零件多少个.
解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做(x＋6)个零件.
根据题意，得 ＝ ，
解得x＝12.
经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合题意.
则x＋6＝18.
答：甲每小时做18个零件，乙每小时做12个零件.
解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做(x＋6)个零件.
根据题意，得 ＝ ，
解得x＝12.
经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合题意.
则x＋6＝18.
答：甲每小时做18个零件，乙每小时做12个零件.
知识点2 “t1－t2＝时间差”型
【例2】某车间加工12个零件后，采用新工艺，工作效率比原来提高了50
％，这样加工同样多的零件就少用1 h，求采用新工艺前每小时加工的零
件数.
解：设采用新工艺前每小时加工的零件数为x个，则采用新工艺后每小
时加工的零件数为(1＋50％)x个.
根据题意，得 － ＝1，
解：设采用新工艺前每小时加工的零件数为x个，则采用新工艺后每小
时加工的零件数为(1＋50％)x个.
根据题意，得 － ＝1，
解得x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的解，且符合题意.
答：采用新工艺前每小时加工的零件数为4个.
解得x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的解，且符合题意.
答：采用新工艺前每小时加工的零件数为4个.
【变式2】某林场计划植树1 200棵，后来由于天气变化要提前完成任
务，于是将效率提高50％，这样种完相同的棵数所用的时间比原计划少
用了10天，求实际每天种植多少棵.
解：设原计划每天种植x棵树，则实际每天种植(1＋50％)x棵树.
根据题意，得 － ＝10，
解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意.
则(1＋50％)×40＝60(棵).
答：实际每天种植60棵树.
解：设原计划每天种植x棵树，则实际每天种植(1＋50％)x棵树.
根据题意，得 － ＝10，
解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意.
则(1＋50％)×40＝60(棵).
答：实际每天种植60棵树.
知识点3 “t1＋t2＝总时间”型
【例3】某市铺设一段全长600 m的污水排放管道，铺设240 m后，为
了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原
计划增加20％，结果共用了18天完成了这一任务，求原计划每天铺设
管道多少米.
解：设原计划每天铺设管道x m，则后来每天铺设管道(1＋20％)x m.
根据题意，得 ＋ ＝18，
解：设原计划每天铺设管道x m，则后来每天铺设管道(1＋20％)x m.
根据题意，得 ＋ ＝18，
解得x＝30.
经检验，x＝30是原分式方程的解，且符合题意.
答：原计划每天铺设管道30 m.
解得x＝30.
经检验，x＝30是原分式方程的解，且符合题意.
答：原计划每天铺设管道30 m.
【变式3】现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天
的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成了任务，求采用新的技术后
每天能装多少台机器.
解：设原来每天装配机器x台，则采用新的技术后每天能装配机器2x台.
根据题意，得 ＋ ＝3，
解得x＝6.
经检验，x＝6是原分式方程的解，且符合题意.
则2x＝12.
答：采用新的技术后每天能装12台机器.
解：设原来每天装配机器x台，则采用新的技术后每天能装配机器2x台.
根据题意，得 ＋ ＝3，
解得x＝6.
经检验，x＝6是原分式方程的解，且符合题意.
则2x＝12.
答：采用新的技术后每天能装12台机器.
课堂总结：
1. 工程问题的等量关系通常隐含在时间这个量中，工作时间＝
.
①t1＝t2；②t1－t2＝时间差；③t1＋t2＝总时间.
2. 分式方程应用题一定要检验(切记).
1. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独完成需3个月，乙队单
独完成需x个月.若甲队先单独施工1个月，乙队再加入，两队又共同工
作了半个月，总工程全部完成，则可列方程为 .
＋ ＝1
解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做(x＋6)个零件.
根据题意，得 ＝2× ，
解得x＝12.
经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合题意.
答：乙每小时做12个零件.
解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做(x＋6)个零件.
根据题意，得 ＝2× ，
解得x＝12.
经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合题意.
答：乙每小时做12个零件.
2. (多维原创)甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，
甲做180个零件所用的时间是乙做60个零件所用的时间的2倍，求乙每小
时做多少个零件.
3. (人教教材P169T5)王芳3 h清点完一批图书的一半，刘伟加入清点另一
半图书的工作，两人合作1.2 h清点完另一半图书.刘伟单独清点这批图
书需要几小时？
解：设刘伟单独清点这批图书需要x h.
根据题意，得1.2× ＝ ，
解得x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的解，且符合题意.
答：刘伟单独清点这批图书需要4 h.
解：设刘伟单独清点这批图书需要x h.
根据题意，得1.2× ＝ ，
解得x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的解，且符合题意.
答：刘伟单独清点这批图书需要4 h.(共5张PPT)
第十八章 分 式
阅读与理解
【发现问题】一个容器中装有1 L水，按照如下要求把水倒出：第1
次倒出 L水，第2次倒出的水量是 L的 ，第3次倒出的水量是 L的
，…，第n次倒出的水量是 L的 .
【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的1 L水能倒完吗？
【分析问题】容易列出倒n次水倒出的总水量为(L).
根据分式的减法法则， － ＝ － ＝ ，反过来，有 ＝ － .
所以，倒n次水倒出的总水量为 ＋ ＋ ＋…＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＝1－ ＝ (L).
【解决问题】(1)容器中的1 L水 (填“能”或“不能”)
倒完；
(2)若目前共倒了30次水，求此时倒出的总水量；
解：(2)当n＝30时， ＝ .
∴此时倒出的总水量为 L.
不能
∴此时倒出的总水量为 L.
(3)当x＝30，y＝3时，求 ＋ ＋ ＋…＋
的值.
(3)由题意，可得x＝1，y＝3.
∴原式＝ ＋ ＋ ＋…＋
＝ × ＋ × ＋ × ＋…＋ ×
＝ ×
＝ ×
＝ .
解：(3)由题意，可得x＝1，y＝3.
∴原式＝ ＋ ＋ ＋…＋
＝ × ＋ × ＋ × ＋…＋ ×
＝ ×
＝ ×
＝ .
【发现问题】一个容器中装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1
次倒出L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的
第n次倒出的水量是-L的
n+1
【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的1L水能倒完吗？
【分析问题】容易列出倒n次水倒出的总水量为
十2x3+3x4
(n-1)nn(n+1)
根据分式的减法法则，工一
n+1
反过来，
m+1
n(n+1)
n(m+1)
m(m+1
有
n(m+1)
m+1
所以，倒n次水倒出的总水量为
2×3
3×4
n(m+1)
=+位-)+(3-)++（是+((共15张PPT)
第十八章 分 式
第8课时 分式的混合运算
1. 分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有
括号的先算括号里面的.
2. 在分式运算过程中，可灵活运用交换律、结合律、分配律，注意最后
结果必须是 .
最简形式
计算：()2· ＋ ÷ .
解：原式＝ \5 ＋ \5
＝ ＋
＝ .
解：原式＝ \5 ＋ \5
＝ ＋
＝ .
知识点1 分式的混合运算——无括号
【例1】计算： － ÷ .
解：原式＝ － ·
＝ －
＝
＝－1.
解：原式＝ － ·
＝ －
＝
＝－1.
【变式1】计算： ·()2＋ .
解：原式＝ · ＋
＝ ＋
＝
＝1.
解：原式＝ · ＋
＝ ＋
＝
＝1.
知识点2 分式的混合运算——有括号
【例2】计算：
(1)(1－ )÷ ；
解：(1)原式＝ ·
＝2.
解：(1)原式＝ ·
＝2.
【例2】计算：
(2)(＋ )÷ .
解：(2)原式＝ ·
＝ ·
＝ .
解：(2)原式＝ ·
＝ ·
＝ .
【变式2】计算：
(1) ÷ ；
解：(1)原式＝ ÷
＝ ·
＝
＝ .
解：(1)原式＝ ÷
＝ ·
＝
＝ .
【变式2】计算：
(2) ÷(＋ ).
解：(2)原式＝ ÷
＝ ·
＝ .
解：(2)原式＝ ÷
＝ ·
＝ .
知识点3 分式的化简求值
【例3】化简： ÷ ，并在－1≤x＜3中取一个合适的
整数代入求值.
解：原式＝ ·
＝ ·
＝ · ＝ ，
∵x(x－2)≠0且x－4≠0且x≠0，
∴x≠0且x≠2且x≠4，
∵－1≤x＜3，∴可取x＝1.
∴原式＝ ＝1.
解：原式＝ ·
＝ ·
＝ · ＝ ，
∵x(x－2)≠0且x－4≠0且x≠0，
∴x≠0且x≠2且x≠4，
∵－1≤x＜3，∴可取x＝1.
∴原式＝ ＝1.
【变式3】化简求值： · － ，
其中x2－4x＋1＝0.
解：原式＝ · －
＝ －
＝
＝ .
又∵x2－4x＋1＝0，∴x2＝4x－1.
∴原式＝ ＝ ＝ ＝3.
1. 计算 ÷(＋1)的结果是( A )
A. x＋1 B. C. D.
A
2. 计算：
(1) ÷ ；
解：(1)原式＝ ÷
＝ ·
＝x＋1.
解：(1)原式＝ ÷
＝ ·
＝x＋1.
2. 计算：
(2)(m＋2＋ )· .
解：(2)原式＝ \5
＝ \5
＝ \5
＝－2(3＋m)
＝－6－2m.
解：(2)原式＝ \5
＝ \5
＝ \5
＝－2(3＋m)
＝－6－2m.
3. 先化简，再求值： ÷ ，其中x＝－3.
解：原式＝ · ＝ ＝ .
当x＝－3时，原式＝ ＝－ .
解：原式＝ · ＝ ＝ .
当x＝－3时，原式＝ ＝－ .
4. (人教教材P154例4)张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地.张
华在前半段路程的平均行走速度是a km/h，在后半段路程的平均行走速
度是b km/h；李明全程的平均行走速度是 km/h.如果a≠b，两人谁
先到达乙地？
解：将甲、乙两地间的距离看成1，设张华从甲地到乙地所用时间为t1，
李明从甲地到乙地所用时间为t2.
则t1＝ ＋ ＝ ，t2＝ ＝ .
∴t1－t2＝ － ＝
∴t1－t2＞0，
即t1＞t2.
∴李明先到达乙地.
∴t1－t2＞0，
即t1＞t2.
∴李明先到达乙地.
＝ ＝ .
∵a≠b，且a＞0，b＞0，
∴(a－b)2＞0，2ab(a＋b)＞0.(共11张PPT)
第十八章 分 式
第14课时 分式方程的应用(2)——行程问题
1. 行程问题的常用关系式：
速度＝ ；时间＝ .
2. 顺水、逆水问题：
v顺流＝v静水＋v水流，v逆流＝v静水－v水流.
在一次体育测试中，小进和小俊进行800 m跑测试，小进的速度是小俊的
1.25倍，小进比小俊少用了40 s，设小俊的速度是x m/s，可列方程为
.
－ ＝40
知识点1 “t1＝t2”型
【例1】某人骑自行车比步行每小时多行8 km，如果他步行12 km所用时
间与骑自行车行36 km所用时间相等，那么他的步行速度为多少？
解：设他的步行速度为x km/h，则他骑自行车的速度为(x＋8) km/h.
根据题意，得 ＝ ，
解得x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的解，且符合题意.
答：他的步行速度为4 km/h.
解：设他的步行速度为x km/h，则他骑自行车的速度为(x＋8) km/h.
根据题意，得 ＝ ，
解得x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的解，且符合题意.
答：他的步行速度为4 km/h.
【变式1】甲、乙两辆汽车分别从A，B两城同时沿高速公路驶向C城，已
知A，C两城的距离为500 km，B，C两城的距离为450 km，甲车比乙车
的速度快10 km/h，结果两辆车同时到达C城，求甲、乙两车的速度.
解：设乙车的速度为x km/h，则甲车的速度为(x＋10)km/h.
根据题意，得 ＝ ，
解得x＝90.
经检验，x＝90是原分式方程的解，且符合题意.
则x＋10＝100.
答：甲车的速度为100 km/h，乙车的速度为90 km/h.
解：设乙车的速度为x km/h，则甲车的速度为(x＋10)km/h.
根据题意，得 ＝ ，
解得x＝90.
经检验，x＝90是原分式方程的解，且符合题意.
则x＋10＝100.
答：甲车的速度为100 km/h，乙车的速度为90 km/h.
知识点2 “t大－t小＝时间差”型
【例2】王伟和张岩今年秋冬进行了爬紫金山活动，两人同时从山脚下出
发，沿通往主峰的山路爬到某景点，全程1 800 m.已知王伟的平均速度
比张岩的快20％，结果比张岩早30 min到达景点，求王伟的平均速度.
解：设张岩的平均速度为x m/min，则王伟的平均速度为1.2x m/min.
根据题意，得 ＋30＝ ，
解得x＝10.
经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意.
则1.2x＝12.
答：王伟的平均速度为12 m/min.
解：设张岩的平均速度为x m/min，则王伟的平均速度为1.2x m/min.
根据题意，得 ＋30＝ ，
解得x＝10.
经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意.
则1.2x＝12.
答：王伟的平均速度为12 m/min.
【变式2】(人教教材P168T1)八年级学生去距学校30 km的中国人民抗日
战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了5 min，其余学生乘中
巴出发，结果他们同时到达.已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2
倍，求大巴的平均速度.
解：设大巴的平均速度为x km/h，则中巴的平均速度为1.2x km/h.
根据题意，得 － ＝ ，
解得x＝60.
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意.
答：大巴的平均速度为60 km/h.
解：设大巴的平均速度为x km/h，则中巴的平均速度为1.2x km/h.
根据题意，得 － ＝ ，
解得x＝60.
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意.
答：大巴的平均速度为60 km/h.
知识点3 顺流、逆流问题
【例3】轮船在顺水中航行90 km所用的时间与在逆水中航行60 km所用
的时间相等，已知水流的速度是4 km/h，求轮船在静水中的速度.
解：设轮船在静水中的速度是x km/h.
根据题意，得 ＝ ，
解得x＝20.
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意.
答：轮船在静水中的速度是20 km/h.
解：设轮船在静水中的速度是x km/h.
根据题意，得 ＝ ，
解得x＝20.
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意.
答：轮船在静水中的速度是20 km/h.
【变式3】一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江
顺流航行100 km所用时间与以最大航速逆流航行80 km所用时间相等，
求江水的速度.
解：设江水的流速是vkm/h.
根据题意，得 ＝ ，
解得v＝ .
经检验，v＝ 是原方程的解，且符合题意.
答：江水的速度是 km/h.
解：设江水的流速是vkm/h.
根据题意，得 ＝ ，
解得v＝ .
经检验，v＝ 是原方程的解，且符合题意.
答：江水的速度是 km/h.
1. 甲、乙两地的高铁全程约416 km，已知高铁的平均速度比普通列车的
平均速度快100 km，人们的出行时间将缩短一半，求高铁的平均速度.设
高铁的平均速度为x km/h，则可列方程为 .
2. 一架飞机在无风时的速度是250 km/h，由甲地飞往乙地是顺风，全程
900 km，返回时风向不变，但用同样的时间只飞行了600 km，则风的速
度是 km/h.
＝ ×
50
解：设甲的平均速度为3x km/h，乙的平均速度为4x km/h.
根据题意，得 － ＝ ，
解得x＝1.5.
经检验，x＝1.5是原分式方程的解，且符合题意.
则3x＝4.5，4x＝6.
答：甲的平均速度为4.5 km/h，乙的平均速度为6 km/h.
解：设甲的平均速度为3x km/h，乙的平均速度为4x km/h.
根据题意，得 － ＝ ，
解得x＝1.5.
经检验，x＝1.5是原分式方程的解，且符合题意.
则3x＝4.5，4x＝6.
答：甲的平均速度为4.5 km/h，乙的平均速度为6 km/h.
3. (人教教材P169T3)甲、乙两人分别从距目的地6 km和10 km的两地同
时出发，甲、乙的平均速度比是3∶4，结果甲比乙提前20 min到达目的
地.求甲、乙的平均速度.
4. (人教教材P173T11)一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，出发
后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀
速行驶，并比原计划提前40 min到达目的地.求第一小时的行驶速度.
解：设第一小时的行驶速度为x km/h，则一小时后的速度为1.5x km/h.
根据题意，得 ＋1＋ ＝ ，
解得x＝60.
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意.
答：第一小时的行驶速度为60 km/h.
解：设第一小时的行驶速度为x km/h，则一小时后的速度为1.5x km/h.
根据题意，得 ＋1＋ ＝ ，
解得x＝60.
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意.
答：第一小时的行驶速度为60 km/h.(共24张PPT)
第十八章 分 式
第6课时 分式的加减(1)——同分母分式相加减
同分母分式加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
即 ± ＝ .
计算：
(1) ＋ ＝ ；
(2) － ＝ .
知识点1 同分母分式相加减——分母是单项式
【例1】计算：
(1) ＋ ；
解：(1)原式＝
＝
＝ .
解：(1)原式＝
＝
＝ .
【例1】计算：
(2) － ；
解：(2)原式＝
＝
＝ .
解：(2)原式＝
＝
＝ .
【例1】计算：
(3) － .
(3)原式＝
＝
＝ .
解：(3)原式＝
＝
＝ .
【变式1】计算：
(1) － ；
解：(1)原式＝
＝
＝1.
解：(1)原式＝
＝
＝1.
【变式1】计算：
(2) － ；
解：(2)原式＝
＝
＝ .
解：(2)原式＝
＝
＝ .
【变式1】计算：
(3) ＋ .
解：(3)原式＝
＝
＝x＋1.
解：(3)原式＝
＝
＝x＋1.
知识点2 同分母分式相加减——分母是多项式
【例2】计算：
(1) ＋ ；
解：(1)原式＝
＝
＝2.
解：(1)原式＝
＝
＝2.
【例2】计算：
(2) － ；
解：(2)原式＝
＝
＝1.
解：(2)原式＝
＝
＝1.
【例2】计算：
(3) － .
解：(3)原式＝
＝
＝x－y.
解：(3)原式＝
＝
＝x－y.
【变式2】计算：
(1) － ；
解：(1)原式＝
＝
＝3.
解：(1)原式＝
＝
＝3.
【变式2】计算：
(2) ＋ ；
解：(2)原式＝
＝
＝ .
解：(2)原式＝
＝
＝ .
【变式2】计算：
(3) － .
解：(3)原式＝
＝
＝
＝2.
解：(3)原式＝
＝
＝
＝2.
知识点3 同分母分式相加减——通过改变符号可化为同分母的分式
【例3】计算：
(1) ＋ ；
解：(1)原式＝ －
＝ .
解：(1)原式＝ －
＝ .
【例3】计算：
(2) － .
(2)原式＝ ＋
＝
＝ .
解：(2)原式＝ ＋
＝
＝ .
【变式3】计算：
(1) ＋ ；
解：(1)原式＝ －
＝
＝2.
解：(1)原式＝ －
＝
＝2.
【变式3】计算：
(2) ＋ .
解：(2)原式＝ －
＝
＝ .
课堂总结：当分子是多项式时，一定要加上括号才能相加减，计算的结
果记得化为最简分式.
1. 计算：
(1) － ＝ ； (2) ＋ ＝ ；
(3) － ＝ ； (4) ＋ ＝ .
1
2. 下列计算正确的是( D )
A. ＋ ＝ B. ＋ ＝0
C. － ＝0 D. ＋ ＝0
D
3. 计算：
(1) － ；
解：(1)原式＝
＝
＝m＋3.
解：(1)原式＝
＝
＝m＋3.
3. 计算：
(2) － ；
解：(2)原式＝
＝ .
解：(2)原式＝
＝ .
3. 计算：
(3) ＋ － .
解：(3)原式＝ － －
＝
＝
＝1.
解：(3)原式＝ － －
＝
＝
＝1.
4. 已知A＝ － ＋ .
(1)化简A；
解：(1)A＝ ＝ ＝ ＝x＋1.
(2)A＋x2＋kx＋3是完全平方式，求k的值.
解：(2)∵A＋x2＋kx＋3是完全平方式，
∴x＋1＋x2＋kx＋3＝x2＋(k＋1)x＋4＝(x±2)2.
∴k＋1＝±4.
∴k＝3或k＝－5.
解：(1)A＝ ＝ ＝ ＝x＋1.
解：(2)∵A＋x2＋kx＋3是完全平方式，
∴x＋1＋x2＋kx＋3＝x2＋(k＋1)x＋4＝(x±2)2.
∴k＋1＝±4.
∴k＝3或k＝－5.(共13张PPT)
第十八章 分 式
第5课时 分式的乘方及乘除混合运算
分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.即 ＝ .
计算：
(1) ＝ ；
(2) ＝ － .
－
知识点1 分式的乘方
【例1】计算：
(1)()3；
解：(1)原式＝ ＝ .
(2)m2÷()2.
解：(2)原式＝m2\5 ＝ .
解：(1)原式＝ ＝ .
解：(2)原式＝m2\5 ＝ .
【变式1】计算：
(1)()2；
解：(1)原式＝ ＝ .
(2)()3÷ .
解：(2)原式＝ \5 ＝ .
解：(1)原式＝ ＝ .
解：(2)原式＝ \5 ＝ .
知识点2 分式的乘方及乘除混合运算
【例2】计算：()3÷ ÷(－ )2.
解：原式＝ \5 \5
＝ .
解：原式＝ \5 \5
＝ .
【变式2】计算：()2÷ · .
解：原式＝ \5 \5
＝－ .
解：原式＝ \5 \5
＝－ .
知识点3 分式的乘除混合运算
【例3】计算： · ÷ .
解：原式＝ \5 \5
＝－
＝－ .
解：原式＝ \5 \5
＝－
＝－ .
【变式3】计算： ÷ · .
解：原式＝ · ·
＝ .
解：原式＝ · ·
＝ .
课堂总结：
1. 分式的乘方要注意分子、分母都要乘方.
2. 分式的乘除混合运算顺序：先 ，再 ，有括号的要先
算 里的.
乘方
乘除
括号
1. 计算(－ )3的结果是( D )
A. B. C. － D. －
2. 计算：－a2·()2＝( B )
A. －b B. －b2 C. －ab D. ab2
3. 计算：()2的值是( D )
A. B. C. D.
D
B
D
4. 计算：
(1) · ÷ ；
解：(1)原式＝ · ·
＝ .
(2) · .
解：(2)原式＝ · ·2(x－y)
＝2.
解：(1)原式＝ · ·
＝ .
解：(2)原式＝ · ·2(x－y)
＝2.
5. (人教教材P151T5节选)先化简，再求值： ÷ ÷ ，
其中x＝－ ，y＝ .
解：原式＝ · ·(x－y)2＝ .
当x＝－ ，y＝ 时，原式＝ ＝ .
解：原式＝ · ·(x－y)2＝ .
当x＝－ ，y＝ 时，原式＝ ＝ .
6. (中考创新考法)如图，老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了
其中一部分，并提出了下列问题：
(1)求被手遮住部分的代数式；
解：(1) · ÷ ＝ · · ＝ .
∴被手遮住部分的代数式是 .
解：(1) · ÷ ＝ · · ＝ .
∴被手遮住部分的代数式是 .
6. (中考创新考法)如图，老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了
其中一部分，并提出了下列问题：
(2)这个等式左边代数式的值可能是零吗？如果有可能，请求出x的值；
如果不可能，请说明理由.
解：(2)这个等式左边代数式的值不可能是零.理由如下：
∵等式的右边为 ，
若等式的左边为零，则 ＝0，
∴x＋3＝0且x－3≠0.
∴x＝－3.
当x＝－3时，等式左边没有意义，
∴这个等式左边代数式的值不可能是零.(共9张PPT)
第十八章 分 式
数学活动
活动1 探究比例的性质
【探究】已知 ＝ (a，b，c，d均不为0).求证：
(1) ＝ ；
证明：(1)∵ ＝ ，
∴ · ＝ · .
∴ ＝ .
证明：(1)∵ ＝ ，
∴ · ＝ · .
∴ ＝ .
【探究】已知 ＝ (a，b，c，d均不为0).求证：
(2) ＝ ；
证明：(2)∵ ＝ ，
∴ ＋1＝ ＋1.
∴ ＝ .
证明：(2)∵ ＝ ，
∴ ＋1＝ ＋1.
∴ ＝ .
【探究】已知 ＝ (a，b，c，d均不为0).求证：
(3) ＝ (a≠b，c≠d).
证明：(3)设 ＝ ＝k，则a＝kb，c＝kd.
∴ ＝ ＝ ＝ ，
＝ ＝ ＝ .
∴ ＝ .
证明：(3)设 ＝ ＝k，则a＝kb，c＝kd.
∴ ＝ ＝ ＝ ，
＝ ＝ ＝ .
∴ ＝ .
【应用】(1)若 ＝ ，则 ＝ ；
(2)若 ＝ ，则 ＝ ；
(3)若 ＝ ，则 ＝ .
活动2 探究x2＋ 取值的规律
【提出问题】当x＞0时，如何求代数式y＝x2＋ 的最大值或最
小值？
【分析问题】前面我们刚刚学过配方的相关知识，例如x2＋6x＋10
＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1，所以此多项式当x＝－3时有最小值1.
【解决问题】
(1)实践操作：填写下表.
x … 1 2 3 4 …
y … …
(2)观察猜想：当x＝ 时，y＝x2＋ 有最 (填“大”或
“小”)值，是 ；
2
1
小
2
(3)推理论证：利用上述例题，请你尝试通过配方法求y＝x2＋ (x
＞0)的最大(或最小)值，以证明你的猜想；
解：(3)∵y＝x2＋ ＝x2－2＋ ＋2＝ ＋2，
又∵ ≥0，
∴y＝x2＋ (x＞0)的最小值是2.
解：(3)∵y＝x2＋ ＝x2－2＋ ＋2＝ ＋2，
又∵ ≥0，
∴y＝x2＋ (x＞0)的最小值是2.
(4)求代数式y＝x2－6x＋ ＋10(x＞3)的最大(或最小)值，并求
出此时x的值.
解：(4)y＝x2－6x＋ ＋10
＝x2－6x＋9＋ ＋1
＝(x－3)2＋ ＋1.
由(3)，可知(x－3)2＋ (x＞3)的最小值为2.
∴原式有最小值，是2＋1＝3.
当x－3＝1，即x＝4时，y＝x2－6x＋ ＋10有最小值，是3.
解：(4)y＝x2－6x＋ ＋10
＝x2－6x＋9＋ ＋1
＝(x－3)2＋ ＋1.
由(3)，可知(x－3)2＋ (x＞3)的最小值为2.
∴原式有最小值，是2＋1＝3.
当x－3＝1，即x＝4时，y＝x2－6x＋ ＋10有最小值，是3.(共16张PPT)
第十八章 分 式
第3课时 分式的约分与通分
我们类比分数的约分，学习分式的约分.
定义 举例
分数的约分 根据分数的基本性质，把一个分数
的分子与分母的最大公约数约去，
叫作分数的约分. ＝ ＝
分式的约分 根据分式的基本性质，把一个分式
的分子与分母的 约去，
叫作分式的约分. ＝ ＝
公因式
知识点1 约分
【例1】约分：
(1) ＝ ； (2) ＝ － ；
(3) ＝ ； (4) ＝ .
【变式1】约分：
(1) ＝ ； (2) ＝ － ；
(3) ＝ ； (4) ＝ .
－
1
－1
－
1
－1
【例2】约分：
(1) ；
解：(1)原式＝ ＝ .
(2) .
解：(2)原式＝ ＝ .
解：(1)原式＝ ＝ .
解：(2)原式＝ ＝ .
【变式2】约分：
(1) ；
解：(1)原式＝ ＝ .
(2) .
解：(2)原式＝ ＝ .
解：(1)原式＝ ＝ .
解：(2)原式＝ ＝ .
知识点2 最简分式(分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式)
【例3】下列分式中，属于最简分式的是( B )
A. B. C. D.
【变式3】下列分式中，属于最简分式的是( A )
A. B. C. D.
B
A
知识点3 通分
我们类比分数的通分，学习分式的通分.
定义 举例
分数的
通分 根据分数的基本性质，把几个异分母
分数分别化成与原来的分数相等的同
分母的分数，叫作分数的通分. ＝ ＝ ， ＝
＝
分式的
通分 根据分式的基本性质，把几个异分母
分式分别化成与原来的分式
的 的分式，叫作分式的通
分. ＝ ＝ ， ＝
＝
相等
同分母
分式通分的关键：找出最简公分母(一般取各分母的所有因式的最
次幂的积作最简公分母)
高
【例4】(人教教材P143例5)通分：
(1) 与 ；
解：(1)最简公分母为6a2b2c.
＝ ＝ ，
＝ ＝ .
解：(1)最简公分母为6a2b2c.
＝ ＝ ，
＝ ＝ .
【例4】(人教教材P143例5)通分：
(2) 与 .
解：(2)最简公分母为2(x＋5)(x－5).
＝ ＝ ，
＝ ＝ .
解：(2)最简公分母为2(x＋5)(x－5).
＝ ＝ ，
＝ ＝ .
【变式4】通分：
(1) 与 ；
解：(1)最简公分母为9x2y.
＝ ＝ ， .
解：(1)最简公分母为9x2y.
＝ ＝ ， .
【变式4】通分：
(2) 与 .
解：(2)最简公分母为(x＋y)2(x－y).
＝ ＝ .
＝ ＝ .
解：(2)最简公分母为(x＋y)2(x－y).
＝ ＝ .
＝ ＝ .
课堂总结：
1. 分式约分的步骤.
(1)找分子、分母的公因式.当分子或分母为多项式时，应先 ，以便找出公因式.
(2)根据分式的基本性质，约去 的结果应为整式或最简分式.
分解因式
公因式
2. 找最简公分母的方法.
(1)找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的 ；
(2)找字母：各分母的因式中出现的字母或含字母的式子都要选取；
(3)找指数：取各字母或含字母的式子的指数的 值.
最小公倍数
最大
1. 式子 与 的最简公分母是( C )
A. a(a＋b) B. a(a－b)
C. a(a＋b)(a－b) D. a2(a＋b)(a－b)
2. 若把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值( C )
A. 扩大为原来的2倍 B. 不变
C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的
C
C
3. 约分：
(1) ＝ ； (2) ＝ ；
(3) ＝ ； (4) ＝ .
4. 当m＋2n＝2时，分式 的值为 .
1
5. (易错)通分：
(1) 和 ；
解：(1)最简公分母为2(x＋y)2.
＝ ＝ ，
＝ .
解：(1)最简公分母为2(x＋y)2.
＝ ＝ ，
＝ .
5. (易错)通分：
(2)2和 ；
解：(2)最简公分母为x＋y.
2＝ ， .
(3)x 和 .
解：(3)最简公分母为x－1.
x＝ ， .
解：(2)最简公分母为x＋y.
2＝ ， .
解：(3)最简公分母为x－1.
x＝ ， .(共6张PPT)
第十八章 分 式
中考热点——数学探究与综合应用
(中考新考法·项目化学习)为了调动同学们弘扬传统文化的积极性，某校
开展了“一带一路”多元文化节的艺术活动，根据以下素材，完成任务.
奖品购买方案
素材1 商店销售水杯和笔记本，已知水杯的单价是笔记本单价的2倍，
用180元购买笔记本的数量比用 240元购买水杯的数量多6件.
素材2 学校设置了优秀奖和参与奖共 25个，优秀奖的奖品为水杯，参
与奖的奖品为笔记本，学校计划在购买奖品的经费不超过350元
的情况下尽可能多地设置优秀奖.
奖品购买方案
素材3 学校按计划采购完后，商店赠送了a(a＜
10)张兑换券，兑换后，水杯和笔记本的
数量之比为2∶3.
解决问题
任务1 (1)求水杯与笔记本的单价；
任务2 (2)学校应设置优秀奖和参与奖各多少个？
任务3 (3)学校的兑换方案是什么？
(1)求水杯与笔记本的单价；
解：(1)设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为2x元.
根据题意，得 － ＝6，
解得x＝10.
经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意.
则水杯的单价为2×10＝20(元).
答：水杯的单价为20元，笔记本的单价为10元.
解：(1)设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为2x元.
根据题意，得 － ＝6，
解得x＝10.
经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意.
则水杯的单价为2×10＝20(元).
答：水杯的单价为20元，笔记本的单价为10元.
(2)学校应设置优秀奖和参与奖各多少个？
(2)设学校设置优秀奖m个，则设置参与奖(25－m)个.
由(1)，得笔记本的单价为10元，水杯的单价为20元.
根据题意，得20m＋10(25－m)≤350，
解得m≤10.
则设置优秀奖10个，参与奖25－10＝15(个).
答：在尽可能多地设置优秀奖的情况下，学校应设置10个优秀奖和15个
参与奖.
解：(2)设学校设置优秀奖m个，则设置参与奖(25－m)个.
由(1)，得笔记本的单价为10元，水杯的单价为20元.
根据题意，得20m＋10(25－m)≤350，
解得m≤10.
则设置优秀奖10个，参与奖25－10＝15(个).
答：在尽可能多地设置优秀奖的情况下，学校应设置10个优秀奖和15个
参与奖.
(3)学校的兑换方案是什么？
(3)设学校用p张兑换券兑换了水杯，用(a－p)张兑换券兑换了笔记本.
由(2)，得学校购买了10个水杯和15个笔记本.
根据题意，得 ＝ ，
解得p＝ a.
∵a和p都是正整数，且a＜10，
∴a＝7，p＝4.
答：学校用4张兑换券兑换了水杯，用3张兑换券兑换了笔记本.
解：(3)设学校用p张兑换券兑换了水杯，用(a－p)张兑换券兑换了笔记本.
由(2)，得学校购买了10个水杯和15个笔记本.
根据题意，得 ＝ ，
解得p＝ a.
∵a和p都是正整数，且a＜10，
∴a＝7，p＝4.
答：学校用4张兑换券兑换了水杯，用3张兑换券兑换了笔记本.(共12张PPT)
第十八章 分 式
第2课时 分式的基本性质
我们类比分数的基本性质，学习分式的基本性质.
文字描述 式子表示
分数的基
本性质 分数的分子与分母都乘(或除以)
同一个不为0的数，分数的值不
变. ＝ ， ＝ (c≠0)
分式的基
本性质 分式的分子与分母都乘(或除
以) 不等于
的 ，分式的值不变. ＝ ， ＝ (C≠0)
同一个
0
整式
知识点1 判断等式从左到右如何变形
【例1】(人教教材P140例2改编)下列等式，从左到右是如何运用分式的
基本性质变形的？
(1) ＝ (c≠0)；
解：(1)根据分式的基本性质，若c≠0，则 ＝ ＝ .
(2) ＝ ；
解：(2)根据分式的基本性质，若x≠0，则 ＝ ＝ .
解：(1)根据分式的基本性质，若c≠0，则 ＝ ＝ .
解：(2)根据分式的基本性质，若x≠0，则 ＝ ＝ .
(3) ＝ . .
解：(3)根据分式的基本性质，若x≠1，则 ＝ ＝ .
【变式1】下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
(1) ＝ (x≠0)；
解：(1)根据分式的基本性质，若x≠0，则 ＝ ＝ .
(2) ＝ ；
解：(2)根据分式的基本性质，若x≠0，则 ＝ ＝ .
解：(1)根据分式的基本性质，若x≠0，则 ＝ ＝ .
解：(2)根据分式的基本性质，若x≠0，则 ＝ ＝ .
(3) ＝ .
解：(3)根据分式的基本性质，若x≠y，则 ＝ ＝ .
知识点2 利用分式的基本性质对式子进行变形
【例2】(人教教材P141例3)填空：
(1) ＝ ；(2) ＝ ；
(3) ＝ ；(4) ＝ (b≠0).
【变式2】(人教教材P141T2)填空：
(1) ＝ ；(2) ＝ ；
(3) ＝ ；(4) ＝ .
知识点3 处理分式中分子、分母的负号
【例3】(人教教材P145T5改编)下列等式成立的是( D )
A. ＝ － B. ＝ －
C. ＝ D. － ＝
D
【变式3】下列选项正确的是( B )
A. ＝ － B. － ＝
C. ＝ － D. ＝
B
知识点4 化简复杂分式
【例4】不改变分式的值，把分式 中的分子与分母的各项系数化为
整数.
解：原式＝ ＝ .
【变式4】不改变分式的值，把分式 中的分子与分母的各项系数
化为整数
解：原式＝ ＝ .
解：原式＝ ＝ .
解：原式＝ ＝ .
课堂总结：分式变形时的三注意.
(1)分式的分子和分母同乘或除以的整式要相同；
(2)分式的分子和分母要同乘或除以，不能只对分子或分母中的某一项进
行乘除；
(3)所同乘或除以的整式不能为0.
1. 下列等式一定成立的是( B )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
B
2. 如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中两个符号，分式的值不
变的是( B )
A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ②④
B
3. 分式－ 可变形为( D )
A. － B. C. － D.
D
4. 若 ＝ 成立，则x的取值范围是 .
x≠1
5. 在括号内填上适当的整式，使得等式成立.
(1) ＝ ； (2) ＝ ；
(3) ＝ ； (4) ＝ (x≠－2).
6. 填空：
(1) ＝ ＝ (b≠0)；
(2) ＝ ＝ (x≠1).
7. 不改变分式的值，把下列各式中分子、分母各项的系数都化为整数.
(1) ；
解：(1)原式＝
＝ .
解：(1)原式＝
＝ .
(2) .
解：(2)原式＝
＝ .(共16张PPT)
第十八章 分 式
第12课时 分式方程的解法(2)——分母需要因式
分解
解分式方程的一般步骤：
(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)写出结果.
解分式方程： ＝ .
解：方程两边乘(x＋3)(x－1)，得
2(x－1)＝x＋3，
解得x＝5.
检验：当x＝5时，(x＋3)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝5.
解：方程两边乘(x＋3)(x－1)，得
2(x－1)＝x＋3，
解得x＝5.
检验：当x＝5时，(x＋3)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝5.
知识点1 “分式1＝分式2”型
【例1】解方程： ＝ .
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得2(x＋1)＝4，
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0.
∴原分式方程无解.
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得2(x＋1)＝4，
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0.
∴原分式方程无解.
【变式1】解方程： ＝ .
解：方程两边乘x ，得5x＋2＝x，
解得x＝－ .
检验：当x＝－ 时，x ≠0.
∴原分式方程的解为x＝－ .
解：方程两边乘x ，得5x＋2＝x，
解得x＝－ .
检验：当x＝－ 时，x ≠0.
∴原分式方程的解为x＝－ .
知识点2 “分式1＋常数＝分式2”型
【例2】解方程： － ＝1.
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得
(x－1)2－2＝x2－1，
解得x＝0.
检验：当x＝0时，(x＋1)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝0.
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得
(x－1)2－2＝x2－1，
解得x＝0.
检验：当x＝0时，(x＋1)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝0.
【变式2】解方程： ＝ ＋2.
解：方程两边乘2(x－3)，得
x＋3＝2x＋4(x－3)，
解得x＝3.
检验：当x＝3时，2(x－3)＝0.
∴原分式方程无解.
解：方程两边乘2(x－3)，得
x＋3＝2x＋4(x－3)，
解得x＝3.
检验：当x＝3时，2(x－3)＝0.
∴原分式方程无解.
知识点3 “分式1＋分式2＝分式3”型
【例3】解方程： － ＝ .
解：方程两边乘(x＋2)(x－2)，得
(x－1)(x－2)－(x＋3)(x＋2)＝4，
解得x＝－1.
检验：当x＝－1时，(x＋2)(x－2)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－1.
解：方程两边乘(x＋2)(x－2)，得
(x－1)(x－2)－(x＋3)(x＋2)＝4，
解得x＝－1.
检验：当x＝－1时，(x＋2)(x－2)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－1.
【变式3】解方程： ＋ ＝ .
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得
x－1＋2(x＋1)＝7，
解得x＝2.
检验：当x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝2.
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得
x－1＋2(x＋1)＝7，
解得x＝2.
检验：当x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝2.
课堂总结：分母能因式分解的必须先因式分解，进而找出最简公分母，
注意整式项别漏乘.
1. 解方程：
(1) ＝ ；
解：方程两边乘(2x＋1)(2x－1)，得2(2x＋1)＝4，
解得x＝ .
检验：当x＝ 时，(2x＋1)(2x－1)＝0.
∴原分式方程无解.
解：方程两边乘(2x＋1)(2x－1)，得2(2x＋1)＝4，
解得x＝ .
检验：当x＝ 时，(2x＋1)(2x－1)＝0.
∴原分式方程无解.
1. 解方程：
(2) ＝ ＋1.
解：方程两边乘3 ，得3x＝2x＋3(x＋1)，
解得x＝－ .
检验：当x＝－ 时，3 ≠0.
∴原分式方程的解为x＝－ .
解：方程两边乘3 ，得3x＝2x＋3(x＋1)，
解得x＝－ .
检验：当x＝－ 时，3 ≠0.
∴原分式方程的解为x＝－ .
2. 解方程：
(1) － ＝ ；
解：方程两边乘2(3x－1)，得
3(3x－1)－2＝5，
解得x＝ .
检验：当x＝ 时，2(3x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝ .
解：方程两边乘2(3x－1)，得3(3x－1)－2＝5，
解得x＝ .
检验：当x＝ 时，2(3x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝ .
2. 解方程：
(2) － ＝0.
解：方程两边乘x(x＋1)(x－1)，得5(x－1)－(x＋1)＝0，
解得x＝ .
检验：当x＝ 时，x(x＋1)(x－1)≠0，
∴原分式方程的解为x＝ .
解：方程两边乘x(x＋1)(x－1)，得5(x－1)－(x＋1)＝0，
解得x＝ .
检验：当x＝ 时，x(x＋1)(x－1)≠0，
∴原分式方程的解为x＝ .
3. 当x为何值时，分式 比分式 的值大 .
解：由题意，得 － ＝ .
方程两边乘2(3x－1)，得1＋4＝3x－1，
解得x＝2.
检验：当x＝2时，2(3x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝2.
∴当x＝2时，分式 比分式 的值大 .
解：由题意，得 － ＝ .
方程两边乘2(3x－1)，得1＋4＝3x－1，
解得x＝2.
检验：当x＝2时，2(3x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝2.
∴当x＝2时，分式 比分式 的值大 .
4. 已知关于x的分式方程 ＝ 与分式方程 ＝ 的解相同，求m2－
2m的值.
解：解方程 ＝ ，
方程两边乘2x(x－1)，得
3(x－1)＝2x，
解：解方程 ＝ ，
方程两边乘2x(x－1)，得
3(x－1)＝2x，
解得x＝3.
检验：当x＝3时，2x(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝3.
把x＝3代入 ＝ ，
得 ＝ ，解得m＝ .
当m＝ 时，m2－2m＝()2－2× ＝－ .
5. 已知关于x的分式方程 ＝ 的解是非负数，则a的取值范围是( C )
A. a＞1 B. a≥1 C. a≥1且a≠9 D. a≤1
C
