(共16张PPT)
第十三章 三角形
第5课时 三角形的内角(1)——三角形的内角和定理
三角形的内角和定理：
三角形的内角和等于 .
几何语言：
如图，已知△ABC，
则有∠A＋∠B＋∠C＝ °.
180°
180
证明：如图，过点A作直线DE∥BC.
∴∠B＝∠2，∠C＝ .
∵∠1＋∠2＋∠3＝ °，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝ °.
∠1
180
180
如图，已知△ABC，求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
知识点1 三角形的内角和的简单应用
【例1】在△ABC中：
(1)若∠A＝70°，∠B＝30°，则∠C＝ °；
(2)若∠A＝65°，则∠B＋∠C＝ °；
(3)若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠A＝ °；
80
115
30
(4)若∠A＝45°，∠B比∠C大25°，求∠B的度数.
解：(4)∵∠B比∠C大25°，
∴设∠B＝x，则∠C＝x－25°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴45°＋x＋x－25°＝180°，
解得x＝80°.
∴∠B的度数为80°.
解：(4)∵∠B比∠C大25°，
∴设∠B＝x，则∠C＝x－25°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴45°＋x＋x－25°＝180°，
解得x＝80°.
∴∠B的度数为80°.
【变式1】(1)求出下列各图形中x的值：
x＝ x＝
40
60
(2)若∠A＝20°，∠B＝3∠C，求∠C的度数.
(2)解：∵∠B＝3∠C，
∴设∠C＝x，则∠B＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴20°＋3x＋x＝180°，解得x＝40°.
∴∠C的度数为40°.
(2)解：∵∠B＝3∠C，
∴设∠C＝x，则∠B＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴20°＋3x＋x＝180°，解得x＝40°.
∴∠C的度数为40°.
知识点2 三角形的内角和与角平分线、高综合
【例2】(人教教材P12例1改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B
＝65°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：∵AD平分∠BAC，且∠BAC＝40°，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝20°.
∵∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°，
∠B＝65°，
∴∠ADB＝180°－65°－20°＝95°.
解：∵AD平分∠BAC，且∠BAC＝40°，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝20°.
∵∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°，
∠B＝65°，
∴∠ADB＝180°－65°－20°＝95°.
【变式2】(多维原创)如图，AE是△ABC的角平分线，AD是高，∠B＝
30°，∠C＝65°.
(1)求∠CAE度数；
解：(1)∵在△ABC中，
∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－65°＝85°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝ ×85°＝42.5°.
解：(1)∵在△ABC中，
∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－65°＝85°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝ ×85°＝42.5°.
【变式2】(多维原创)如图，AE是△ABC的角平分线，AD是高，∠B＝
30°，∠C＝65°.
(2)求∠DAE的度数.
(2)∵AD是高，∴∠ADC＝90°.
∴∠CAD＝180°－90°－65°＝25°.
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝42.5°－25°＝17.5°.
解：(2)∵AD是高，∴∠ADC＝90°.
∴∠CAD＝180°－90°－65°＝25°.
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝42.5°－25°＝17.5°.
知识点3 三角形的内角和与方位角综合
【例3】(人教教材P12例2)如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛
的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西
40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从 C岛看 A，B
两岛的视角∠ACB呢？
解：根据题意，得∠DAC＝50°，
∠DAB＝80°，∠CBE＝40°.
∴∠CAB＝∠DAB－∠DAC＝
80°－50°＝30°.
∵DA∥EB，
∴∠DAB＋∠EBA＝180°，
即∠DAC＋∠CAB＋∠ABC＋∠CBE＝180°.
∴∠CAB＋∠ABC＝90°.
∴∠ACB＝180°－(∠CAB＋∠ABC)＝90°，
∠ABC＝90°－30°＝60°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的
视角∠ACB是90°.
解：根据题意，得∠DAC＝50°，
∠DAB＝80°，∠CBE＝40°.
∴∠CAB＝∠DAB－∠DAC＝80°－50°＝30°.
∵DA∥EB，
∴∠DAB＋∠EBA＝180°，
即∠DAC＋∠CAB＋∠ABC＋∠CBE＝180°.
∴∠CAB＋∠ABC＝90°.
∴∠ACB＝180°－(∠CAB＋∠ABC)＝90°，
∠ABC＝90°－30°＝60°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的
视角∠ACB是90°.
【变式3】(人教教材P17T7改编)如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C
岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东 80°方向，求∠ACB
的度数.
解：如图，根据题意，得BE∥AD，∠BAD＝
40°，∠CAD＝15°，∠EBC＝80°，
∴∠EBA＝∠BAD＝40°，
∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝40°＋15°＝55°.
∴∠ABC＝∠EBC－∠EBA＝80°－40°＝40°.
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－55°－40°＝85°.
答：∠ACB的度数为85°.
解：如图，根据题意，得BE∥AD，∠BAD＝
40°，∠CAD＝15°，∠EBC＝80°，
∴∠EBA＝∠BAD＝40°，
∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝40°＋15°＝55°.
∴∠ABC＝∠EBC－∠EBA＝80°－40°＝40°.
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－55°－40°＝85°.
答：∠ACB的度数为85°.
课堂总结：已知三角形两个角的度数，则可求出第三个角的度数；已知
三角形一个角的度数及另两个角的数量关系或只知道三个角的数量关
系，则需借助方程解决求角问题.
1. 如图是一块三角形木板的残余部分，∠A＝110°，∠B＝40°，这块
三角形木板缺少的角是( A )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
第1题图
A
2. (人教教材P13T2改编)如图，在△ABC中，∠A＝40°，则∠B＋∠C
＋∠ADE＋∠AED的度数为 .
第2题图
280°
3. 如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，∠A＝
60°，∠C＝80°，求∠BED的度数.
解：∵∠A＝60°，∠C＝80°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝40°.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC＝∠EBD＝ ∠ABC＝20°.
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝20°.
∴∠BED＝180°－∠EBD－∠EDB＝180°－20°－20°＝140°.
解：∵∠A＝60°，∠C＝80°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝40°.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC＝∠EBD＝ ∠ABC＝20°.
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝20°.
∴∠BED＝180°－∠EBD－∠EDB＝180°－20°－20°＝140°.
4. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝40°，点D是AC上的一
点，连接BD，将△BDC沿BD折叠后得到△BDE，若DE∥AB，求
∠BDE的度数.
解：∵∠A＝30°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝110°.
由折叠的性质，得∠E＝∠C＝40°，∠EBD＝∠CBD.
∵DE∥AB，
∴∠ABE＝∠E＝40°.
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝70°.
∴∠EBD＝∠CBD＝ ∠CBE＝35°.
∴∠BDE＝180°－∠EBD－∠E＝105°.
解：∵∠A＝30°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝110°.
由折叠的性质，得∠E＝∠C＝40°，∠EBD＝∠CBD.
∵DE∥AB，
∴∠ABE＝∠E＝40°.
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝70°.
∴∠EBD＝∠CBD＝ ∠CBE＝35°.
∴∠BDE＝180°－∠EBD－∠E＝105°.(共15张PPT)
第十三章 三角形
第7课时 三角形的外角
定义 图例 性质 证明
三角形的
外角 三角形的一边
与另一边的 线组成的角，叫作三角形的外角.
三角形的外角等于 的两个 角的和. ∵∠A＋∠B＝180°－∠ACB，∠1＝180°－
，
∴
.
延长
与它不
相邻
内
∠ACB
∠1＝∠A＋
∠B
知识点1 三角形外角的判断及简单应用
【例1】下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( D )
A B C D
【变式1】求出下列图形中x的值.
x＝ ° x＝ ° x＝ °
D
80
110
35
知识点2 利用三角形的外角性质进行计算
【例2】(人教教材P17T5)如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝45°.求
∠1和∠2的度数.
解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A.
∵∠A＝40°，
∴∠1＝40°.
又∵∠2＝∠D＋∠1，∠D＝45°，
∴∠2＝85°.
∴∠1的度数是40°，∠2的度数是85°.
解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A.
∵∠A＝40°，
∴∠1＝40°.
又∵∠2＝∠D＋∠1，∠D＝45°，
∴∠2＝85°.
∴∠1的度数是40°，∠2的度数是85°.
【变式2】(人教教材P17T6改编)如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝
∠E. 求∠C的度数.
解：∵AB∥CD，∠A＝50°，
∴∠DFE＝∠A＝50°.
∵∠DFE＝∠E＋∠C，∠C＝∠E，
∴∠C＝ ∠DFE＝25°.
∴∠C的度数为25°.
解：∵AB∥CD，∠A＝50°，
∴∠DFE＝∠A＝50°.
∵∠DFE＝∠E＋∠C，∠C＝∠E，
∴∠C＝ ∠DFE＝25°.
∴∠C的度数为25°.
知识点3 利用三角形的外角性质进行证明
【例3】(多维原创)如图，BD是△ABC的角平分线，点E为BD上的一
点，∠1＝∠A. 求证：∠CDE＝∠CED.
证明：∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠ABD.
∵∠CDE，∠CED是△BDA和△BCE的外角，
∴∠CDE＝∠ABD＋∠A，∠CED＝∠EBC＋∠1.
∵∠1＝∠A，
∴∠CDE＝∠CED.
证明：∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠ABD.
∵∠CDE，∠CED是△BDA和△BCE的外角，
∴∠CDE＝∠ABD＋∠A，∠CED＝∠EBC＋∠1.
∵∠1＝∠A，
∴∠CDE＝∠CED.
【变式3】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC. 求
证：AD∥BC.
证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝ ∠EAC.
又∵∠B＝∠C，∠EAC＝∠B＋∠C，
∴∠B＝ ∠EAC.
∴∠EAD＝∠B.
∴AD∥BC.
证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝ ∠EAC.
又∵∠B＝∠C，∠EAC＝∠B＋∠C，
∴∠B＝ ∠EAC.
∴∠EAD＝∠B.
∴AD∥BC.
课堂总结：三角形的外角性质有时可以简便求出角的度数，要学会找出
三角形外角的模型.(“ ”字型)
1. 如图，图中x的值为( C )
A. 40 B. 50 C. 60 D. 70
第1题图
C
2. 如图，一艘货船在A处，巡逻艇C在其南偏西60°方向上，此时一客
船在B处，巡逻艇C在其南偏西20°方向上，则此时在巡逻艇上看这两
艘船的视角∠ACB＝ .
第2题图
40°
3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝40°，点D为BC上的
一点，把△ABD沿AD折叠到△AB'D，点B的对应点恰好落在边BC上，
则∠CAB'的度数为( A )
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
第3题图
A
4. 如图，在△ABC中，点D在BC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝40°，求∠1，∠BAC的度数.
解：∵∠3＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠3＝∠4＝2∠1.
在△ABC中，∠2＋∠4＋∠BAC＝180°，且∠5＝40°，
即∠1＋2∠1＋∠1＋∠5＝180°.
∴4∠1＋40°＝180°.
∴∠1＝35°.
∵∠BAC＝∠1＋∠5，
∴∠BAC＝35°＋40°＝75°.
∴∠1的度数为35°，∠BAC的度数为75°.
5. 如图是一个零件示意图，经测量得∠A＝17°，∠B＝90°，∠D＝
130°，求∠C的度数.
解：如图，连接BD，并延长至点E.
∵∠ADE是△ABD的外角，∠CDE是△BCD的外角，
∴∠ADE＝∠A＋∠ABD，∠CDE＝∠C＋∠CBD.
∴∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠A＋∠ABD＋∠C＋∠CBD＝∠A＋
∠ABC＋∠C，
即130°＝17°＋90°＋∠C.
∴∠C＝23°.
解：如图，连接BD，并延长至点E.
∵∠ADE是△ABD的外角，∠CDE是△BCD的外角，
∴∠ADE＝∠A＋∠ABD，∠CDE＝∠C＋∠CBD.
∴∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠A＋∠ABD＋∠C＋∠CBD＝∠A＋
∠ABC＋∠C，
即130°＝17°＋90°＋∠C.
∴∠C＝23°.
6. (中考热点·模型解题)(人教教材P17T11改编)如图，CE是△ABC的外
角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B＝25°，∠E＝30°，求∠BAC的度数；
解：(1)∵∠B＝25°，∠E＝30°，
∴∠ECD＝∠B＋∠E＝55°.
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝∠ECD＝55°.
∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝85°.
解：(1)∵∠B＝25°，∠E＝30°，
∴∠ECD＝∠B＋∠E＝55°.
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝∠ECD＝55°.
∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝85°.
6. (中考热点·模型解题)(人教教材P17T11改编)如图，CE是△ABC的外
角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
(2)求证：∠BAC＝∠B＋2∠E.
(2)证明：∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠B＋∠E.
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ECA＝∠ECD.
∴∠BAC＝∠ECA＋∠E＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E.
解：(2)证明：∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠B＋∠E.
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ECA＝∠ECD.
∴∠BAC＝∠ECA＋∠E＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E.(共16张PPT)
第十三章 三角形
微专题一 双角平分线模型
一、模型解读
模型 模型一 (双内角平分线) 模型二 (双外角平分线) 模型三 (内外角平分线) 模型四
(对顶三角形双内
角平分线)
图示
结论 ∠D＝90°＋ ∠A ∠D＝90°－
∠A ∠D＝ ∠A ∠P＝ (∠A＋
∠D)
1. 如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，相
交于点D，求∠D的度数.(用含∠A的式子表示)
解：∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB.
∴∠DBC＋∠DCB＝ (∠ABC＋∠ACB)
＝ (180°－∠A)＝90°－∠A.
在△BCD中，∠D＝180°－(∠DBC＋∠DCB)＝180°－
＝90°＋ ∠A.
∴∠D的度数为90°＋ ∠A.
2. 如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠CBF，∠BCE的平分线，相
交于点D，求∠D的度数.(用含∠A的式子表示)
解：∵BD，CD是∠CBF和∠BCE的平分线，
∴∠CBD＝ ∠CBF，
∠BCD＝ ∠BCE.
∵∠CBF＝∠A＋∠ACB，∠BCE＝∠A＋∠ABC，
∴∠CBD＝ (∠A＋∠ACB)，∠BCD＝ (∠A＋∠ABC).
∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，
∴∠D＝180°－∠CBD－∠BCD＝180°－ (∠A＋∠ACB＋∠A＋
∠ABC)＝180°－ (2∠A＋180°－∠A)＝90°－ ∠A.
∴∠D的度数为90°－ ∠A.
∴∠D＝180°－∠CBD－∠BCD＝180°－ (∠A＋∠ACB＋∠A＋
∠ABC)＝180°－ (2∠A＋180°－∠A)＝90°－ ∠A.
∴∠D的度数为90°－ ∠A.
3. 如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACE的平分线，相
交于点D，求∠D的度数.(用含∠A的式子表示)
解：由三角形的外角性质，得∠A＋∠ABC＝∠ACE，∠D＋∠DBC
＝∠DCE.
∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACE的平分线，
∴∠DBC＝ ∠ABC，∠DCE＝ ∠ACE.
∴ (∠A＋∠ABC)＝∠D＋ ∠ABC.
∴∠D＝ ∠A.
解：由三角形的外角性质，得∠A＋∠ABC＝∠ACE，∠D＋∠DBC
＝∠DCE.
∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACE的平分线，
∴∠DBC＝ ∠ABC，∠DCE＝ ∠ACE.
∴ (∠A＋∠ABC)＝∠D＋ ∠ABC.
∴∠D＝ ∠A.
4. 如图，AC，BD交于点O，∠ABD和∠ACD的平分线相交于点P，
求∠P的度数.(用含∠A，∠D的式子表示)
解：∵∠A＋∠ABP＝∠P＋∠ACP，∠D＋∠DCP＝∠P＋∠DBP，
∴∠A＋∠ABP＋∠D＋∠DCP＝2∠P＋∠ACP＋∠DBP.
∵CP，BP分别平分∠DCA，∠DBA，
∴∠ABP＝∠DBP，∠DCP＝∠PCA.
∴∠A＋∠D＝2∠P.
∴∠P＝ (∠A＋∠D).
解：∵∠A＋∠ABP＝∠P＋∠ACP，∠D＋∠DCP＝∠P＋∠DBP，
∴∠A＋∠ABP＋∠D＋∠DCP＝2∠P＋∠ACP＋∠DBP.
∵CP，BP分别平分∠DCA，∠DBA，
∴∠ABP＝∠DBP，∠DCP＝∠PCA.
∴∠A＋∠D＝2∠P.
∴∠P＝ (∠A＋∠D).
二、模型应用
1. 如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
BP，CP是△ABC的外角平分线.
(1)当∠A＝40°时，∠D的度数为 ，∠P的度数为 ；
110°
70°
(2)当∠A的大小变化时，试探究∠D＋∠P的度数是否变化.如果不变
化，求∠D＋∠P的值；如果变化，请说明理由.
解：(2)∠D＋∠P的度数不变.理由如下：
由(1)，得∠D＝90°＋ ∠A，
∠P＝90°－ ∠A，
∴∠D＋∠P＝180°.
解：(2)∠D＋∠P的度数不变.理由如下：
由(1)，得∠D＝90°＋ ∠A，
∠P＝90°－ ∠A，
∴∠D＋∠P＝180°.
1. 如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
BP，CP是△ABC的外角平分线.
2. 如图，∠AOB＝90°，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是
∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F.
(1)若∠OCD＝50°，试求∠F的度数；
解：(1)∵∠AOB＝90°，∠OCD＝50°，
∴∠CDO＝40°，∠ACD＝130°.
∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝ ∠ACD＝65°，∠CDF＝ ∠CDO＝20°.
∵∠ECD＝∠F＋∠CDF，
∴∠F＝45°.
解：(1)∵∠AOB＝90°，∠OCD＝50°，
∴∠CDO＝40°，∠ACD＝130°.
∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝ ∠ACD＝65°，∠CDF＝ ∠CDO＝20°.
∵∠ECD＝∠F＋∠CDF，
∴∠F＝45°.
(2)当C，D在射线OA，OB上任意移动时(不与点 O 重合)，判断∠F 的
大小是否变化，并说明理由.
2. 如图，∠AOB＝90°，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是
∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F.
(2)不变化.理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠CDO＝90°－∠OCD，∠ACD＝180°－∠OCD.
∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝90°－ ∠OCD，
∠CDF＝45°－ ∠OCD.
∵∠ECD＝∠F＋∠CDF，
∴90°－ ∠OCD＝∠F＋45°－ ∠OCD.
∴∠F＝45°.
解：(2)不变化.理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠CDO＝90°－∠OCD，∠ACD＝180°－∠OCD.
∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝90°－ ∠OCD，
∠CDF＝45°－ ∠OCD.
∵∠ECD＝∠F＋∠CDF，
∴90°－ ∠OCD＝∠F＋45°－ ∠OCD.
∴∠F＝45°.
3. 已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB.
(1)如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；
解：(1)证明：∵∠A＋∠D＋∠AOD＝∠C＋∠B＋∠BOC＝180°，
∠AOD＝∠BOC，
∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C.
3. 已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB.
(2)如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB，CD分别相交于点M，N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
解：(2)∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，
∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE.
由(1)，得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE，∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE，
∴∠A＋∠C＝2∠E.
∵∠A＝28°，∠C＝32°，
∴∠E＝30°.
3. 已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB.
(3)如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与
AB，CD分别相交于点M，N，∠CDE＝ ∠ADC，∠CBE＝
∠ABC，试探究∠A，∠C，∠E三者之间存在的数量关系，并说明理
由.
解：(3)∠A＋2∠C＝3∠E. 理由如下：
∵∠CDE＝ ∠ADC，
∠CBE＝ ∠ABC，
∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE.
由(1)，得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE，
∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE，
∴2∠C＋2∠CBE＝2∠E＋2∠CDE.
∴∠A＋2∠C＋∠ADE＋2∠CBE＝3∠E＋∠ABE＋2∠CDE，
即∠A＋2∠C＝3∠E.
解：(3)∠A＋2∠C＝3∠E. 理由如下：
∵∠CDE＝ ∠ADC，
∠CBE＝ ∠ABC，
∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE.
由(1)，得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE，
∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE，
∴2∠C＋2∠CBE＝2∠E＋2∠CDE.
∴∠A＋2∠C＋∠ADE＋2∠CBE＝3∠E＋∠ABE＋2∠CDE，
即∠A＋2∠C＝3∠E.(共7张PPT)
第十三章 三角形
中考热点——数学探究与综合应用
一、与三角形相关的阅读理解探究
阅读并填空，将三角尺(△MPN，∠MPN＝90°)放置在△ABC上(点P
在△ABC内)，如图1所示，三角尺的两边PM，PN恰好经过点B和点C.
我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系.
图1
【特例探索】(1)若∠A＝50°，则∠PBC＋∠PCB＝ °，∠ABP
＋∠ACP＝ °；
90
40
【类比探索】(2)求∠ABP，∠ACP，∠A之间的关系，并说明理由；
解：(2)结论：∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.
理由如下：∵(∠PBC＋∠PCB)＋(∠ABP＋∠ACP)＋∠A＝180°，
∴90°＋(∠ABP＋∠ACP)＋∠A＝180°.
∴∠ABP＋∠ACP＋∠A＝90°.
∴∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.
解：(2)结论：∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.
理由如下：∵(∠PBC＋∠PCB)＋(∠ABP＋∠ACP)＋∠A＝180°，
∴90°＋(∠ABP＋∠ACP)＋∠A＝180°.
∴∠ABP＋∠ACP＋∠A＝90°.
∴∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.
图1
【变式探索】(3)如图2，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺
的两边PM，PN仍恰好经过点B和点C，求∠ABP，∠ACP，∠A之间
的关系，并说明理由.
图2
解：(3)结论：∠ACP－∠ABP＝90°－∠A.
理由如下：如图，设AB交PC于O.
∵∠AOC＝∠POB，
∴∠ACO＋∠A＝∠P＋∠ABP，
即∠ACP＋∠A＝90°＋∠ABP.
∴∠ACP－∠ABP＝90°－∠A.
解：(3)结论：∠ACP－∠ABP＝90°－∠A.
理由如下：如图，设AB交PC于O.
∵∠AOC＝∠POB，
∴∠ACO＋∠A＝∠P＋∠ABP，
即∠ACP＋∠A＝90°＋∠ABP.
∴∠ACP－∠ABP＝90°－∠A.
二、对折三角形的角度探究
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学
活动.
【操作判断】
(1)操作一：折叠三角形纸片，使边BC与边BA在一条直线上，得到折痕
BD；
操作二：折叠三角形纸片，得到折痕AE，使B，C，E三点在一条直
线上.
完成以上操作后把纸片展平，如图1，
判断∠ABD和∠CBD的大小关系
是 ，直线BC，
AE的位置关系是 ；
∠ABD＝∠CBD
BC⊥AE
图1
【深入探究】
(2)操作三：折叠三角形纸片，使点A落在折痕AE上，得到折痕 DF，把
纸片展平.
根据以上操作，如图2，判断∠DBF和∠BDF是否相等，并说明理由；
图2
解：(2)∠DBF＝∠BDF. 理由如下：
由(1)，得∠CBD＝∠DBF，AE⊥BC，AE⊥DF.
∴DF∥BC.
∴∠CBD＝∠BDF.
∴∠DBF＝∠BDF.
解：(2)∠DBF＝∠BDF. 理由如下：
由(1)，得∠CBD＝∠DBF，AE⊥BC，AE⊥DF.
∴DF∥BC.
∴∠CBD＝∠BDF.
∴∠DBF＝∠BDF.
【结论应用】
(3)如图1，已知∠ABC＝58°，∠ACB＝48°，请直接写出∠BDC的
度数.
解：(3)∠BDC＝103°.
图1
解：(3)∠BDC＝103°.(共16张PPT)
第十三章 三角形
第4课时 三角形的中线、角平分线
图例 定义 性质 数量及特点
三角形 的中线
连接三角形
的 与它
所对边的
的
叫作三角形的中
线. ∵AD是△ABC的
中线， ∴BD CD. ∴S△ABD
S△ACD. 一个三角形的
中线有三条，
且相交于一
点，这个交点
叫作三角形
的 .
顶点
中
点
线段
＝
＝
重心
图例 定义 性质 数量及特点
三角形 的角平 分线
三角形一内角的
平分线与对边相
交，则这内角的
顶点与这个交点
所连的
叫作三角形的角
平分线. ∵AD是△ABC的
角平分线， ∴
. 三角形的角平
分线有三条且
相交于同一
点.
线段
∠BAD＝
∠CAD
知识点1 三角形的中线、角平分线的画法及性质
【例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°.
(1)请画出△ABC的角平分线AD；
解：(1)如图所示.
解：(1)如图所示.
(2)求∠BAD的度数.
解：(2)∵AD平分∠BAC，∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝25°.
解：(2)∵AD平分∠BAC，∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝25°.
【变式1】(多维原创)如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，AC＝5，
BD＝4.作出△ABC的中线CE，并求S△ACE.
解：如图所示.
根据题意，得S△ABC＝ AC·
BD＝ ×5×4＝10.
∵CE是△ABC的中线，
解：如图所示.
根据题意，得S△ABC＝ AC·
BD＝ ×5×4＝10.
∵CE是△ABC的中线，
∴S△ACE＝S△BCE＝ S△ABC＝5.
∴S△ACE＝S△BCE＝ S△ABC＝5.
知识点2 利用中线、角平分线的性质计算或证明
【例2】(整体思想)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是边BC
上的中点，连接AD. 若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是( D )
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
D
【变式2】如图，在△ABC中，CF，BE分别是边AB，AC上的中线，
若AE＋AF＝7，△ABC的周长为20，则BC＝ .
6
【例3】(人教教材P10T8)如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，DE
∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F. 图中∠1与∠2
有什么关系？为什么？
解：∠1＝∠2.
理由如下：
∵DE∥AC，
∴∠1＝∠DAC.
∵DF∥AB，
∴∠2＝∠BAD.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC.
∴∠1＝∠2.
解：∠1＝∠2.
理由如下：
∵DE∥AC，
∴∠1＝∠DAC.
∵DF∥AB，
∴∠2＝∠BAD.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC.
∴∠1＝∠2.
【变式3】如图，CD是△ABC的角平分线，点E是BC上一点，且∠EDC＝∠DCE. 求证：∠BDE＝∠A.
证明：∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠DCE＝∠ACD.
∵∠EDC＝∠DCE，
∴∠EDC＝∠ACD.
∴DE∥AC.
∴∠BDE＝∠A.
证明：∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠DCE＝∠ACD.
∵∠EDC＝∠DCE，
∴∠EDC＝∠ACD.
∴DE∥AC.
∴∠BDE＝∠A.
课堂总结：
1. 三角形中有三种重要线段：高、中线、角平分线.
2. 三角形的中线把三角形分成两个小三角形，这两个小三角形的面积相
等，周长差等于两边之差.
1. (人教教材P9T4改编)如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角
平分线，高，则下列说法错误的是( D )
A. BC＝2CD B. ∠BAE＝ ∠BAC
C. ∠AFB＝90° D. S△ABC ＝2S△ABF
第1题图
D
2. 如图是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的( C )
A. 中线、角平分线、高 B. 高、中线、角平分线
C. 角平分线、高、中线 D. 角平分线、中线、高
第2题图
C
3. 如图，图中的小正方形的边长均为1 cm，已知△ABC的三个顶点均在
格点上.
(1)画出△ABC的高AD及中线AE；
解(1)如图所示.
(2)边BC上的高为 cm；
(3)△ABE的面积为 cm2.
第3题图
解(1)如图所示.
3
1.5
4. 如图，点O为△ABC的重心，阴影部分S△BOC＝2，则△ABC的面积
为 .
第4题图
6
5. (多维原创)如图，CD为△ABC的中线，△ACD与△BCD的周长之差
为3(AC＞BC)，且AC＋BC＝11，求AC与BC的长.
解：∵△ACD与△BCD的周长之差为3，
∴(AC＋AD＋CD)－(BC＋CD＋BD)＝3.
∵CD为△ABC的中线，
∴AD＝BD.
∴AC－BC＝3.
又∵AC＋BC＝11，
∴AC＝7，BC＝4.
解：∵△ACD与△BCD的周长之差为3，
∴(AC＋AD＋CD)－(BC＋CD＋BD)＝3.
∵CD为△ABC的中线，
∴AD＝BD.
∴AC－BC＝3.
又∵AC＋BC＝11，
∴AC＝7，BC＝4.
6. (中考新考法·思维迁移)如图，BE，CF均是△ABC的中线，且BE＝
CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE于点N. 求证：AN＝AM.
证明：设点B到AC的距离为h，
则 ＝ AE·h， ＝ CE·h.
∵BE，CF均是△ABC的中线，
∴AE＝CE，AF＝BF.
∴ AE·h＝ CE·h.
∴ ＝ ＝ .
同理 ＝ ＝ .
∴ ＝ .
证明：设点B到AC的距离为h，
则 ＝ AE·h， ＝ CE·h.
∵BE，CF均是△ABC的中线，
∴AE＝CE，AF＝BF.
∴ AE·h＝ CE·h.
∴ ＝ ＝ .
同理 ＝ ＝ .
∴ BE·AN＝ CF·AM.
∵BE＝CF，
∴AN＝AM.
∴ BE·AN＝ CF·AM.
∵BE＝CF，
∴AN＝AM.
∴ ＝ .(共19张PPT)
第十三章 三角形
第2课时 三角形的边
【探究】如图，在△ABC中，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条
线路可以选择？各条线路的长有什么关系？
解：有两条线路可以选择.在从点B到点C的线路中，由点B先到点A再
到点C的线路，比由点B直接到点C的线路长，即BA＋AC＞BC.
【证明】由“两点之间，线段最短”可得：
AB＋AC BC；①
AB＋BC AC；②
BC＋AC AB. ③
由不等式①②③移项可得：
AB BC－AC；
BC AC－AB；
AC AB－BC.
结论：三角形两边的和 第三边，三角形两边的差
第三边.
＞
＞
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＞
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大于
小于
知识点1 三角形的三边关系
【例1】下列长度的三条线段不能构成三角形的是( B )
A. 2，3，4 B. 8，7，15
C. 6，8，10 D. 13，12，20
【变式1】下列长度的三条线段能组成一个三角形的是( A )
A. 5，10，10 B. 5，6，11
C. 5，6，12 D. 5，6，13
B
A
【例2】若三角形的三边长分别为3，7，x，则第三边长x的取值范围
为 .
【变式2】若三角形的两边长分别为2 cm，6 cm，且第三边长为奇数，则
第三边的长为 .
4＜x＜10
5 cm或7 cm
知识点2 等腰三角形的周长计算(分类讨论)
【例3】(1)已知等腰三角形的两边长分别为8和3，则它的周长为 ；
(2)已知等腰三角形的两边长分别为8和5，则它的周长为 .
19
21或18
【变式3】(1)已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为 ；
(2)一个等腰三角形的周长为18，且它的一边长为8，则它另两边长分别
为 .
15
8，2或5，5
【例4】用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)若它的腰长是底边长的2倍，求它的各边长；
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm.
根据题意，得2x＋2x＋x＝18，
解得x＝ .∴2x＝ .
∴它的各边长分别为 cm， cm， cm.
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm.
根据题意，得2x＋2x＋x＝18，
解得x＝ .∴2x＝ .
∴它的各边长分别为 cm， cm， cm.
【例4】用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(2)能围成有一边长为4 cm的等腰三角形吗？说明理由.
(2)能.理由如下：
①当4 cm为底边长时，腰长为 ×(18－4)＝7(cm)；
②当4 cm为腰长时，底边长为18－4－4＝10(cm).
∵4＋4＜10，
∴不能构成三角形，故舍去.
综上所述，能围成一个底边长为4 cm，腰长为7 cm的等腰三角形.
解：(2)能.理由如下：
①当4 cm为底边长时，腰长为 ×(18－4)＝7(cm)；
②当4 cm为腰长时，底边长为18－4－4＝10(cm).
∵4＋4＜10，
∴不能构成三角形，故舍去.
综上所述，能围成一个底边长为4 cm，腰长为7 cm的等腰三角形.
【变式4】用一条长为21 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)若它的腰长是底边长的3倍，求它的各边长；
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为3x cm.
根据题意，得x＋3x＋3x＝21，
解得x＝3.
∴3x＝9.
∴它的各边长分别为3 cm，9 cm，9 cm.
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为3x cm.
根据题意，得x＋3x＋3x＝21，
解得x＝3.
∴3x＝9.
∴它的各边长分别为3 cm，9 cm，9 cm.
【变式4】用一条长为21 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(2)能围成有一边长为5 cm的等腰三角形吗？说明理由.
(2)能.理由如下：
①当5 cm为底边长时，腰长为 ×(21－5)＝8(cm)；
②当5 cm为腰长时，底边长为21－5×2＝11(cm).
∵5＋5＝10＜11，
∴不能构成三角形，故舍去.
综上所述，能围成一个底边长是5 cm，腰长是8 cm的等腰三角形.
解：(2)能.理由如下：
①当5 cm为底边长时，腰长为 ×(21－5)＝8(cm)；
②当5 cm为腰长时，底边长为21－5×2＝11(cm).
∵5＋5＝10＜11，
∴不能构成三角形，故舍去.
综上所述，能围成一个底边长是5 cm，腰长是8 cm的等腰三角形.
知识点3 三角形的稳定性
【探究】如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，
它的形状会改变吗？
可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有
的图形.
稳
定性
【例5】如图，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角
形结构，这是应用了三角形的哪个性质？
答：这是应用了三角形的稳定性.
答：这是应用了三角形的稳定性.
【变式5】如图，小卓在上网课时将平板电脑的后支架打开，该平板能稳
稳放在桌子上，其利用的原理是( A )
A. 三角形具有稳定性
B. 两点之间，线段最短
C. 两直线平行，内错角相等
D. 垂线段最短
A
课堂总结：
1. 判断能构成三角形的方法：较短两边之和＞最长的边.
2. 求三角形的一边x的取值范围：｜另两边之差｜＜x＜另两边之和.
3. 当等腰三角形的腰和底不明确时，需要分类讨论，并检验结果是否符
合三角形的三边关系.
1. 在下列长度的四根木棒中，能与5 cm，9 cm长的两根木棒钉成一个三
角形的是( C )
A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 14 cm
2. 下列图形中，具有稳定性的是( B )
A B C D
C
B
3. (中考热点·分类讨论)已知在△ABC中，AB＝6，且BC＝2a＋2，AC
＝20.
(1)求a的取值范围；
解：(1)由题意，得2a＋2＜26，2a＋2＞14，
解得6＜a＜12.
∴a的取值范围为6＜a＜12.
解：(1)由题意，得2a＋2＜26，2a＋2＞14，
解得6＜a＜12.
∴a的取值范围为6＜a＜12.
(2)若△ABC为等腰三角形，求a的值.
解：(2)∵△ABC为等腰三角形，
∴2a＋2＝6或2a＋2＝20，
解得a＝2或a＝9.
∵6＜a＜12，
∴a的值为9.
解：(2)∵△ABC为等腰三角形，
∴2a＋2＝6或2a＋2＝20，
解得a＝2或a＝9.
∵6＜a＜12，
∴a的值为9.
3. (中考热点·分类讨论)已知在△ABC中，AB＝6，且BC＝2a＋2，AC
＝20. 解：(1)由题意，得2a＋2＜26，2a＋2＞14，
解得6＜a＜12.
∴a的取值范围为6＜a＜12.
4. (方程思想)已知一等腰三角形的周长为24，其中两边之差为6，求这个
等腰三角形的腰长.
解：设这个等腰三角形的腰长为x.
①当腰长比底边长长6时，底边长为x－6.
则x－6＋2x＝24，
解得x＝10.
此时三角形的三边长分别为10，10，4，满足三角形的三边关系；
解：设这个等腰三角形的腰长为x.
①当腰长比底边长长6时，底边长为x－6.
则x－6＋2x＝24，
解得x＝10.
此时三角形的三边长分别为10，10，4，满足三角形的三边关系；
②当底边长比腰长长6时，底边长为x＋6.
则x＋6＋2x＝24，
解得x＝6.
此时三角形的三边长分别为6，6，12.
∵6＋6＝12，
∴6，6，12不能组成三角形，故不成立.
综上所述，这个等腰三角形的腰长为10.
解：②当底边长比腰长长6时，底边长为x＋6.
则x＋6＋2x＝24，
解得x＝6.
此时三角形的三边长分别为6，6，12.
∵6＋6＝12，
∴6，6，12不能组成三角形，故不成立.
综上所述，这个等腰三角形的腰长为10.
4. (方程思想)已知一等腰三角形的周长为24，其中两边之差为6，求这个
等腰三角形的腰长. 的三边关系；(共17张PPT)
第十三章 三角形
微专题二 教材经典母题及变式
核心母题1 三角形的三边关系
【例1】(人教教材P9习题T2)长为100 cm，70 cm，50 cm，30 cm的四根
木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？
解：有2种选法.
理由如下：
选其中三根组成一个三角形，不同的选法有100 cm，70 cm，50 cm；100
cm，70 cm，30 cm；100 cm，50 cm，30 cm；70 cm，50 cm，30 cm.
能够组成三角形的有100 cm，70 cm，50 cm；70 cm，50 cm，30 cm，共
2种选法.
解：有2种选法.
理由如下：
选其中三根组成一个三角形，不同的选法有100 cm，70 cm，50 cm；100
cm，70 cm，30 cm；100 cm，50 cm，30 cm；70 cm，50 cm，30 cm.
能够组成三角形的有100 cm，70 cm，50 cm；70 cm，50 cm，30 cm，共
2种选法.
【变式1】用一条长为27 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的4倍，那么该等腰三角形各边的长是多少？
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为4xcm.
根据题意，得4x＋4x＋x＝27，
解得x＝3.
∴4x＝12.
∴该等腰三角形各边的长分别为12cm，12cm，3cm.
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为4xcm.
根据题意，得4x＋4x＋x＝27，
解得x＝3.
∴4x＝12.
∴该等腰三角形各边的长分别为12cm，12cm，3cm.
【变式1】用一条长为27 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(2)能围成有一边的长是5 cm的等腰三角形吗？为什么？
解：(2)①当5cm为底边长时，腰长为 ＝11(cm)；
②当5cm为腰长时，底边长为27－5－5＝17(cm).
∵5＋5＜17，
∴不能构成三角形，舍去.
综上所述，能构成有一边长为5cm的等腰三角形，另两边长分别为
11cm，11cm.
解：(2)①当5cm为底边长时，腰长为 ＝11(cm)；
②当5cm为腰长时，底边长为27－5－5＝17(cm).
∵5＋5＜17，
∴不能构成三角形，舍去.
综上所述，能构成有一边长为5cm的等腰三角形，另两边长分别为11cm，
11cm.
核心母题2 三角形的内角和(方程思想)
【例2】(人教教材P22T5)如图，∠B＝42°，∠A比∠1小10°，∠ACD
＝64°.求证：AB∥CD.
证明：由题意，得∠1＝∠A＋10°，
∴∠A＋42°＋∠A＋10°＝180°.
∴∠A＝64°.
又∵∠ACD＝64°，
∴∠A＝∠ACD.
∴AB∥CD.
证明：由题意，得∠1＝∠A＋10°，
∴∠A＋42°＋∠A＋10°＝180°.
∴∠A＝64°.
又∵∠ACD＝64°，
∴∠A＝∠ACD.
∴AB∥CD.
【变式2】(人教教材P22T6)如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是边AC上的高.求∠DBC的度数.
解：∵在△ABC中，∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，
且∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴2∠A＋2∠A＋∠A＝180°.
∴∠A＝36°.
∴∠C＝2∠A＝2×36°＝72°.
∵BD是边AC上的高，
∴BD⊥AC.
∴∠BDC＝90°.
∴∠C＋∠DBC＝90°.
∴∠DBC＝18°.
核心母题3 三角形的高、角平分线、中线综合
【例3】(人教教材P22T7)如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角
平分线，且AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°.求
∠DAC和∠BOA的度数.
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°－70°＝20°.
∵AE平分∠BAC，∠BAC＝50°，
∴∠BAO＝ ∠BAC＝25°.
∵∠ABC＝180°－∠BAC－∠C＝60°，BF平分∠ABC，
∴∠ABO＝ ∠ABC＝30°.
∴∠BOA＝180°－∠BAO－∠ABO＝125°.
∴∠DAC和∠BOA的度数分别为20°和125°.
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°－70°＝20°.
∵AE平分∠BAC，∠BAC＝50°，
∴∠BAO＝ ∠BAC＝25°.
∵∠ABC＝180°－∠BAC－∠C＝60°，BF平分∠ABC，
∴∠ABO＝ ∠ABC＝30°.
∴∠BOA＝180°－∠BAO－∠ABO＝125°.
∴∠DAC和∠BOA的度数分别为20°和125°.
【变式3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠B＝
70°，∠C＝30°.
(1)求∠DAE的度数；
解：(1)∵在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝80°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝40°.
∵AD⊥BC，∠B＝70°，
∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝20°.
解：(1)∵在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝80°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝40°.
∵AD⊥BC，∠B＝70°，
∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝20°.
【变式3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠B＝
70°，∠C＝30°.
(2)只知道∠B－∠C＝40°，能得出∠DAE的度数吗？请说明理由.
解：(2)能.理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝ .
∵∠BAD＝90°－∠B，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD
＝ －(90°－∠B)
＝ .
∵∠B－∠C＝40°，
∴∠DAE＝20°.
核心母题4 三角形外角的性质
【例4】(人教教材P17T11改编)已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分
线，且CE交BA的延长线于点E.
(1)如图1，求证：∠BAC＝∠B＋2∠E；
图1
解：(1)证明：设∠ACD＝2α°.
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝∠DCE＝ ∠ACD＝α°.
∵∠B＋∠BAC＝∠ACD＝2α°，
∠E＋∠ACE＝∠BAC，
即∠E＋α°＝∠BAC，
∴∠B＋∠BAC＝2(∠BAC－∠E).
∴∠BAC＝∠B＋2∠E.
解：(1)证明：设∠ACD＝2α°.
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝∠DCE＝ ∠ACD＝α°.
∵∠B＋∠BAC＝∠ACD＝2α°，
∠E＋∠ACE＝∠BAC，
即∠E＋α°＝∠BAC，
∴∠B＋∠BAC＝2(∠BAC－∠E).
∴∠BAC＝∠B＋2∠E.
图1
【例4】(人教教材P17T11改编)已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分
线，且CE交BA的延长线于点E.
(2)如图2，点F为AB上的一点，∠ACD＝90°.
①若∠B＝∠FCB，∠EFC＝∠E，求∠B的度数；
图2
解：(2)①设∠B＝∠FCB＝x°，∠EFC＝∠E＝y°.
∵∠ACD＝90°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝∠DCE＝ ∠ACD＝
45°.
∴∠B＋∠E＝∠DCE＝45°，即x＋y＝45.
∴∠B＋∠FCB＝∠EFC，
即2x＝y.
∴x＝15.
∴∠B＝15°.
解：(2)①设∠B＝∠FCB＝x°，∠EFC＝∠E＝y°.
∵∠ACD＝90°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝∠DCE＝ ∠ACD＝45°.
∴∠B＋∠E＝∠DCE＝45°，即x＋y＝45.
∴∠B＋∠FCB＝∠EFC，
即2x＝y.
∴x＝15.
∴∠B＝15°.
图2
(2)如图2，点F为AB上的一点，∠ACD＝90°.
②若∠B－∠BCF＝10°，∠EFC＝2∠E，求∠E的度数.
【例4】(人教教材P17T11改编)已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分
线，且CE交BA的延长线于点E.
图2
解：②设∠BCF＝β°.
∴∠B－β°＝10°.
∵∠EFC＝2∠E，
∠B＋∠BCF＝∠EFC，
∴∠B＋β°＝2∠E.
∵∠B＋∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠E＝20°.
解：②设∠BCF＝β°.
∴∠B－β°＝10°.
∵∠EFC＝2∠E，
∠B＋∠BCF＝∠EFC，
∴∠B＋β°＝2∠E.
∵∠B＋∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠E＝20°.
【变式4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AC上的一点，
DE⊥AB于点E，BF为△ABC的角平分线.
(1)若∠ABC＝α，则∠ADE＝ ；(用含α的式子表示)
α
(2)探究∠AFB与∠ADE之间的数量关系.
解：(2)∠AFB＝90°＋ ∠ADE.
理由如下：∵∠AFB是△CBF的外角，
∴∠AFB＝∠ACB＋∠CBF.
∵BF为△ABC的角平分线，
∴∠CBF＝ ∠ABC.
∵∠ACB＝90°，
∴∠AFB＝90°＋ ∠ABC.
∵∠ABC＝∠ADE，
【变式4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AC上的一点，DE
⊥AB于点E，BF为△ABC的角平分线.
∴∠AFB＝90°＋ ∠ADE.(共5张PPT)
第十三章 三角形
综合与实践(教材新增)
(人教教材P23综合与实践改编)三角形三条中线的交点叫作三角形的重
心.重心是个物理名词.从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力
集中于一点，这一点叫作物体的重心.如图1，若取一块均匀的三角形纸
板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态.
为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案.
如图2，AD是△ABC的中线，△ACD与△ABD等底等高，面积相等，记
作S△ACD＝S△ABD. 如图3，若△ABC三条中线AD，BE，CF交于点G，
则GD是△GBC 的中线，利用上述结论可得：S△GCD＝S△GBD，同理
S△GBF＝S△GAF，S△GAE＝S△GCE.
图1 图2 图3
(1)若设S△GCD＝x，S△GBF＝y，S△GAE＝z猜想x，y，z之间的数量关
系，并证明你的猜想；
解：(1)x＝y＝z.证明如下：
由题意，得S△GCD＝S△GBD＝x，S△GBF＝S△AGF＝y，S△GAE＝S△GCE＝z.
∵S△ABD＝S△ACD，
∴2y＋x＝2z＋x.
∴y＝z.
∵S△ABE＝S△CBE，
∴2y＋z＝2x＋z.
∴x＝y.
∴x＝y＝z.
图1 图2 图3
(2)由(1)可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，若△ABC的面
积为m，则用含有m的式子表示△BGC 的面积为 ，BG∶GE＝
；
相等
m
2∶1
图1 图2 图3
(3)如图4，点D，E在△ABC的边AC，AB上，BD，CE交于点G，点
G是△ABC的重心，且BD＝6，CE＝9，BD⊥CE，求四边形AEGD的
面积.
图4
解：(3)∵点G是△ABC的重心，
∴BG∶GD＝CG∶GE＝2∶1.
∵BD＝6，CE＝9，
∴BG＝4，CG＝6.
∵BD⊥CE，
∴S△BGC＝ BG·CG＝ ×4×6＝12.
∴S△ABC＝3S△BGC＝36，S△BEG＝S△CDG＝ S△BGC＝6.
∴S四边形AEGD＝36－6－6－12＝12.(共16张PPT)
第十三章 三角形
第1课时 三角形的概念
1. 三角形的相关概念
三角形 图形
定义 由 的三条线段
相接所组成的图形叫作三角形，用符
号“ ”表示.
边 组成三角形的 叫作三角形的边，如
图中的线段 .
顶点 相邻两边的 叫作三角形的顶
点，如图中的点 .
内角 两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，如图中的
.
不在同一条直线上
首尾
顺次
△
线段
AB，BC，CA
公共端点
A，B，C
相邻
∠A，
∠B，∠C
(2)按边分类：
三角形
图1 图2 图3
2. 三角形的分类
(1)按角分类：可分为 三角形， 三角形和
三角形.
锐角
直角
钝角
知识点1 三角形的相关概念
【例1】(人教教材P4T1改编)如图.
(1)以∠A为角的三角形是 ；
(2)以BC为边的三角形是 ；
(3)△ABC的三个内角分别是 .
△ABC，△ABE
△ABC，△DBC，△EBC
∠ACB，∠BAC，∠CBA
【变式1】(人教教材P4T2改编)如图.
(1)以点C为顶点的三角形是 ；
(2)以AD为边的三角形是 ；
(3)△ABE的三个内角分别是 .
△ABC，△ADC，△AEC
△ABD，△ADE，△ADC
∠ABE，∠BAE，∠AEB
知识点2 三角形的分类
【例2】(人教教材P3例题改编)如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD
＝AD＝DC＝AC，找出图中的等腰三角形和等边三角形.
解：等腰三角形是△ABD，△ADC；
等边三角形是△ADC.
解：等腰三角形是△ABD，△ADC；
等边三角形是△ADC.
【变式2】(人教教材P3T1)如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，点O在
△ABC内，OA＝OB＝OC，找出图中的等腰三角形和等边三角形.
解：等腰三角形是△ABO，△ACO，△BOC，△ABC；等边三角形是
△ABC.
【例3】(人教教材P3T2)如图，在△ABC中，∠BAC是直角，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段BD上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
解：锐角三角形有△AEC；
直角三角形有△ABD，△ADC，
△ABC，△AED；
钝角三角形有△ABE.
解：锐角三角形有△AEC；
直角三角形有△ABD，△ADC，
△ABC，△AED；
钝角三角形有△ABE.
【变式3】(人教教材P4T3)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，
∠BAC是钝角，E是DC上一点，且∠BAE是锐角.
(1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形；
解：(1)图中有6个三角形：△ABD，△ABE，△ABC，
△AED，△ADC，△AEC.
(2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
解：(2)锐角三角形：△ABE；直角三角形：△ABD，△AED，△ADC；
钝角三角形：△AEC，△ABC.
解：(1)图中有6个三角形：△ABD，△ABE，△ABC，
△AED，△ADC，△AEC.
解：(2)锐角三角形：△ABE；直角三角形：△ABD，△AED，△ADC；
钝角三角形：△AEC，△ABC.
课堂总结：
1. 等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三
角形.
2. 数三角形个数的方法：(1)可按顺序数；(2)可从图中某一条线段开始沿
一定的方向数；(3)可固定一个顶点，交换另外两个顶点数.
1. 三角形按边分类可以用集合来表示，如图，图中小椭圆里的A表示( D )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
第1题图
D
2. 如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下，请你根据三角形
卡片露出的部分判断该三角形的形状是( D )
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
第2题图
D
3. 如图，在△ABC中，∠B的对边是 ；在△ABD中，∠B的对
边是 ；在△ACD中，边AC的对角是 .
第3题图
AC
AD
∠ADC
4. (人教教材P4T4改编)如图，AB＝BC＝CD＝DA＝AC，则图中的等
腰三角形是 ；等边三角形是
.
第4题图
△ABD，△BCD，△ADC，△ABC
△ADC，△ABC
5. (人教教材P4T5)如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直
线b上.以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共
可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形.
解：一共可以组成9个三角形，这些三角形分别是△ACD，△ACE，
△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△CAB，△DAB，△EAB.
6. 如图，过A，B，C，D，E五个点中的任意三点画三角形.
(1)以AB为边画三角形，能画几个？写出各三角形的名称；
解：(1)如图，以AB为边的三角形能画3个，分别是△EAB，△DAB，
△CAB.
(2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形.
解：(2)△ABD是等腰三角形，△EAB，△CAB是钝角三角形.
解：(1)如图，以AB为边的三角形能画3个，分别是△EAB，△DAB，
△CAB.
解：(2)△ABD是等腰三角形，△EAB，△CAB是钝角三角形.(共10张PPT)
第十三章 三角形
数学活动
【人教教材P19活动1改编】
1. 在平面内，分别用3根、5根、6根火柴棒首尾依次相接，能搭成什么
形状的三角形呢？通过尝试，列表如下：
火柴棒数 3 5 6
示意图
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形
(1)4根火柴棒能搭成三角形吗？
解：(1)4根火柴搭成三角形时一边长为2，另外两边长为1，根据三角形的
三边关系，可得4根火柴不能搭成三角形.
解：(1)4根火柴搭成三角形时一边长为2，另外两边长为1，根据三角形的
三边关系，可得4根火柴不能搭成三角形.
(2)8根、12根火柴棒能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意
图.(注：如果三角形的三边满足两边平方和等于第三边平方，那么这个
三角形是直角三角形)
解：(2)8根火柴能搭成一种三角形(3，3，2).
示意图如图所示：
解：(2)8根火柴能搭成一种三角形(3，3，2).
示意图如图所示：
等腰三角形
12根火柴能搭成3种不同的三角形(4，4，4；5，5，2；3，4，5).
如图所示：
如图所示：
等边三角形 等腰三角形 直角三角形
2. 定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”.数学学
习小组的同学从 32 根等长的火柴棒(每根长度记为1个单位)中取出若干
根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动.
小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角
形”.(注：如果三角形的三边满足两边平方和等于第三边平方，那么
这个三角形是直角三角形；直角三角形30°角所对的直角边等于斜边
的一半)
(1)请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图，并标注各
边长度；
解：(1)小颖摆出的直角“整数三角形”的示意图如图1：
图1
解：(1)小颖摆出的直角“整数三角形”的示意图如图1：
图1
图2
(答案不唯一)小辉摆出的三个不同的等腰“整数三角形”的示意图如
图2：
图2
(1)请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图，并标注各
边长度；
(2)①根据题意，能否摆出等边“整数三角形”？回答： ；(填
“能”或“不能”)
②摆出一个非特殊(既非直角三角形，也非等腰三角形)“整数三角形”，
请画出示意图，并标注各边长度.
解：(2)②(答案不唯一)摆出的一个非特殊“整数三角形”
的示意图如图3：
图3
不能
解：(2)②(答案不唯一)摆出的一个非特殊“整数三角形”的示意图如图3：
图3
【人教教材P19活动2改编】
3. 1751年，瑞士数学家欧拉 (Euler，1707－1783) 向德国—俄国数学家
哥德巴赫(Goldbach，1690－1764)提出了一个n边形的三角剖分有多少种
不同方法的问题，并归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数(Dn)的公
式.后来数学家发现并证明：当n≥3时， ＝ (D3＝1).请你利用此
公式，计算D6的值为 .
14
4. 数学史上著名的“哥尼斯堡七桥问题(图1)”的解决开创了数学的一个
新分支：图论.图论是一门研究点、线、面(面是由线所围成的区域，区
域之间不重合)这三个构成所有几何图形的基本要素的学科.在十八世纪
初，瑞士数学家欧拉通过把图1转化为图2，找出了几何图形中点、线、
面之间的数量关系，人称欧拉公式，该公式深刻揭示了几何图形的本质
属性.
图1 图2
(1)设四边形的顶点数为V，边数为 E，区域数为 F，则 V＝ ，E
＝ ，F＝1；
4
4
(2)将五边形用同一点引出的对角线分割成若干个三角形(如图3)，设这种
分割中图案的顶点数为V，边数为E，区域数为F(区域之间不重合)，则
V，E，F之间的数量关系为 ；(用V，E，F表示)
图3
V－E＋F＝1
(3)将n边形(n≥3)用互不相交的对角线分割成若干个三角形，构成类似图
4的图案，设这种分割中图案的顶点数为V，边数为E，区域数为F(区域
之间不重合)，则V，E，F的数量关系为 .
图4
V－E＋F＝1 (共17张PPT)
第十三章 三角形
章末复习
知识要点
知识点1 三角形的三边的关系
两边之差＜第三边＜两边之和.
对点训练
1. 下列各组线段能构成三角形的是( C )
A. 3，8，5 B. 4，5，10
C. 4，5，6 D. 2，4，2
C
知识要点
知识点2 三角形的稳定性
三角形具有稳定性，在日常生活中应用广泛.
对点训练
2. 如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是( D )
A. 两点之间，线段最短
B. 垂线段最短
C. 两直线平行，内错角相等
D. 三角形具有稳定性
D
知识要点
知识点3 三角形的主要线段
高 已知CD⊥AB，AE⊥BC， 则S△ABC＝AB·CD＝BC·AE.
中线 已知BD＝DC＝BC，则S△ABD＝
S△ACD＝S△ABC.
角平分线 已知AD是△ABC的角平分线，则
∠1＝∠2＝∠BAC.
对点训练
3. 如图，在△ABC中，作边AC上的高BD，正确的是( A )
A B C D
A
4. 如图，在ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，S△ABC＝8，
则S△BCD＝ ，S△BDE＝ .
4
2
知识要点
知识点4 三角形的内角和定理
三角形的内角和等于180°.
对点训练
5. 在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，则∠C＝( C )
A. 115° B. 105° C. 75° D. 45°
C
知识要点
知识点5 直角三角形
(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；
(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
对点训练
6. 如图，一张长方形纸片剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋
∠2＝ .
90°
知识要点
知识点6 三角形的外角
三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
对点训练
7. 将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α＝ .
165°
核心练习
1. 如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，点B，C，D在同一条直线上，FD∥EC，∠D＝42°，求∠B的度数.
解：∵FD∥EC，∠D＝42°，
∴∠BCE＝∠D＝42°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠BCE＝84°.
∵∠A＝46°，
∴∠B＝180°－84°－46°＝50°.
解：∵FD∥EC，∠D＝42°，
∴∠BCE＝∠D＝42°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠BCE＝84°.
∵∠A＝46°，
∴∠B＝180°－84°－46°＝50°.
2. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B.
(1)求证：CD是△ABC的高；
解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠1＋∠BCD＝90°.
∵∠1＝∠B，
∴∠B＋∠BCD＝90°.
∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB.
∴CD是△ABC的高.
解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠1＋∠BCD＝90°.
∵∠1＝∠B，
∴∠B＋∠BCD＝90°.
∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB.
∴CD是△ABC的高.
2. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B.
(2)若AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长.
解：(2)∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴ ＝ AC·BC＝ AB·CD.
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴CD＝ ＝ ＝ .
解：(2)∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴ ＝ AC·BC＝ AB·CD.
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴CD＝ ＝ ＝ .
3. 已知△ABC 的三边a，b，c满足a＋b＝3c－2，a－b＝2c－6，且
a＞b.
(1)求c的取值范围；
解：(1)∵a，b，c分别为△ABC的三边，a＋b＝3c－2，a－b＝2c－
6，
∴
解得2＜c＜6.
∴c的取值范围为2＜c＜6.
解：(1)∵a，b，c分别为△ABC的三边，a＋b＝3c－2，a－b＝2c－6，
∴
解得2＜c＜6.
∴c的取值范围为2＜c＜6.
3. 已知△ABC 的三边a，b，c满足a＋b＝3c－2，a－b＝2c－6，且
a＞b.
(2)若△ABC 的周长为18，求c的值.
解：(2)∵△ABC的周长为18，a＋b＝3c－2，
∴a＋b＋c＝4c－2＝18，
解得c＝5.
∴c的值为5.
解：(2)∵△ABC的周长为18，a＋b＝3c－2，
∴a＋b＋c＝4c－2＝18，
解得c＝5.
∴c的值为5.
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＞∠B，AD平分∠BAC，点P为线段
AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E.
(1)若∠B＝36°，∠ACB＝78°，求∠E的度数；
解：(1)∵∠B＝36°，∠ACB＝78°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝66°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝33°.
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝69°.
又∵∠DPE＝90°，
∴∠E＝90°－∠ADC＝21°.
解：(1)∵∠B＝36°，∠ACB＝78°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝66°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝33°.
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝69°.
又∵∠DPE＝90°，
∴∠E＝90°－∠ADC＝21°.
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＞∠B，AD平分∠BAC，点P为线段
AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E.
(2)当点P在线段AD上运动时，求证：∠E＝ (∠ACB－∠B).
解：(2)证明：∵∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB).
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝90°－ (∠B＋∠ACB).
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝90°－ (∠ACB－∠B).
∵PE⊥AD，
∴∠E＝90°－∠ADC.
∴∠E＝ (∠ACB－∠B).
∴∠E＝90°－∠ADC.
∴∠E＝ (∠ACB－∠B).
∴∠DPE＝90°.
∴∠ADC＋∠E＝90°.(共16张PPT)
第十三章 三角形
第3课时 三角形的高
图例 定义 性质 面积
从三角形的一个顶
点向对边所在直线
画 ，
和 之
间的线段叫作三角
形的高. ∵AD是△ABC的
高， ∴ . S＝ ×底×高
＝ BC·AD
垂线
顶
点
垂足
AD⊥BC
知识点1 画三角形的高
【例1】画出下列三角形的三条高.
解：如图所示.
解：如图所示.
【变式1】画出△ABC的边AC上的高BE，若AC＝3，BE＝6，求
△ABC的面积.
解：如图，BE即为所求.
∵AC＝3，BE＝6，
∴S△ABC＝ AC·BE＝ ×3×6＝9.
解：如图，BE即为所求.
∵AC＝3，BE＝6，
∴S△ABC＝ AC·BE＝ ×3×6＝9.
结论：任意三角形都有 条高，且三条高所在的直线相交于同一点.
锐角三角形三条高的交点在它的 部；直角三角形的三条高的交点
在它的 上，钝角三角形的三条高的交点在它的 部.
三
内
直角顶点
外
解：根据题意，得S△ABC＝ BC·AD＝ AC·BE，
即 ×12×9＝ ×10×BE，
解得BE＝ .
∴BE的长为 .
解：根据题意，得S△ABC＝ BC·AD＝ AC·BE，
即 ×12×9＝ ×10×BE，
解得BE＝ .
∴BE的长为 .
【例2】如图，AD，BE分别为△ABC中边BC，AC上的高，若BC＝
12，AC＝10，AD＝9，求BE的长.
知识点2 等面积法
【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为边AB上的高.若
AC＝6，BC＝8，AB＝10，求CD的长.
解：根据题意，得S△ABC＝ BC·AC＝ AB·CD，
即 ×8×6＝ ×10×CD，
解得CD＝4.8.
∴CD的长为4.8.
解：根据题意，得S△ABC＝ BC·AC＝ AB·CD，
即 ×8×6＝ ×10×CD，
解得CD＝4.8.
∴CD的长为4.8.
【例3】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3.
(1)画出△ABC的高BE和CD；
解：(1)如图所示.
(2)若CD＝2，求BE的长.
解：(1)如图所示.
解：(2)根据题意，得S△ABC＝ AB·CD＝ AC·BE，
即 ×5×2＝ ×3×BE，
解得BE＝ .
∴BE的长为 .
解：(2)根据题意，得S△ABC＝ AB·CD＝ AC·BE，
即 ×5×2＝ ×3×BE，
解得BE＝ .
∴BE的长为 .
【变式3】如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8.
(1)画出AB，BC边上的高CD和AE；
解：(1)如图所示.
解：(1)如图所示.
(2)若AE＝5，求CD的长.
解：(2)根据题意，得S△ABC＝ AB·
CD＝ BC·AE，
即 ×6×CD＝ ×8×5，
解得CD＝ .
∴CD的长为 .
解：(2)根据题意，得S△ABC＝ AB·CD＝ BC·AE，
即 ×6×CD＝ ×8×5，
解得CD＝ .
∴CD的长为 .
课堂总结：
1. 画高时需要注意：(1)与底垂直；(2)经过对角的顶点.
2. 求高首先考虑等面积法 ，要注意钝角三角形有
两条高在三角形的外部.
1. 在下列各图的△ABC中，正确画出边AC上的高是( C )
A B C D
C
2. 下列说法正确的是( B )
A. 直角三角形的高只有一条
B. 锐角三角形的三条高交于三角形内部
C. 直角三角形的高没有交点
D. 钝角三角形的三条高所在的直线没有交点
B
3. 下列各图中，阴影面积相等的是( B )
A. ①与② B. ①与③
C. ②与③ D. ②与④
B
4. (人教教材P10T7)如图，在△ABC中，若AB＝2，BC＝4，则△ABC
的高AD与CE的比是多少？
解：根据题意，得S△ABC＝ AB·CE＝ BC·AD，
即 ×2×CE＝ ×4×AD.
∴AD∶CE＝1∶2.
5. (中考新考法·类比思想)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是射线BC上的一个动点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，
BF为△ABC的腰AC上的高.
(1)如图1，当点P在线段BC上时，试探究BF，PD，PE之间的关系，
并说明理由；
解：(1)BF＝PD＋PE. 理由如下：
∵ ＝ ＋ ，
∴ AC·BF＝ AB·PD＋ AC·PE.
∵AB＝AC，
∴ AC·BF＝ AC·(PD＋PE).
∴BF＝PD＋PE.
(2)如图2，当点P运动到BC的延长线上时，直接写出BF，PD，PE之
间的关系.
解：(2)BF＝PD－PE.
解：(2)BF＝PD－PE.
5. (中考新考法·类比思想)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是射线BC上的一个动点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，
BF为△ABC的腰AC上的高.(共16张PPT)
第十三章 三角形
第6课时 三角形的内角(2)——直角三角形
性质 图例 判定
文字 语言 直角三角形的两个
锐角 . 有两个角 的三角形是
直角三角形.
几何 语言 ∵∠C＝90°， ∴
. ∵ ，
∴∠C＝90°.
互余
互余
∠A＋∠B＝
90°
∠A＋∠B＝90°
知识点1 直角三角形的性质
【例1】在一个直角三角形中，若一个锐角等于75°，则另一个锐角的度
数是( D )
A. 105° B. 90° C. 25° D. 15°
【变式1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，则∠A的度数是( B )
A. 150° B. 30° C. 50° D. 60°
D
B
【例2】(人教教材P14例3改编)如图，AD和BC相交于点O，且∠C＝∠D＝90°.求证：∠A＝∠B.
证明：在Rt△AOC中，∠A＝90°－∠AOC.
在Rt△BOD中，∠B＝90°－
∠BOD.
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A＝∠B.
证明：在Rt△AOC中，∠A＝90°－∠AOC.
在Rt△BOD中，∠B＝90°－∠BOD.
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A＝∠B.
【变式2】(人教教材P14T1改编)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足
为D，则∠1与∠A有什么关系？为什么？
解：∠1＝∠A. 理由如下：
∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝90°＝∠ACB.
∴∠1＋∠B＝90°，∠A＋∠B＝90°.
∴∠1＝∠A.
解：∠1＝∠A. 理由如下：
∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝90°＝∠ACB.
∴∠1＋∠B＝90°，∠A＋∠B＝90°.
∴∠1＝∠A.
知识点2 直角三角形的判定
【例3】下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是( D )
A. ∠C＝90° B. ∠A＋∠B＝90°
C. ∠A＝20°，∠B＝70° D. ∠A＝∠B
【变式3】(多维原创)在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②
∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC为直
角三角形的是 .(填序号)
D
①②
【例4】如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C. 求证：△ABD是直角
三角形.
证明：∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°.
∴∠C＋∠D＝90°.
∵∠A＝∠C，
∴∠A＋∠D＝90°.
∴∠ABD＝90°.
∴△ABD是直角三角形.
证明：∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°.
∴∠C＋∠D＝90°.
∵∠A＝∠C，
∴∠A＋∠D＝90°.
∴∠ABD＝90°.
∴△ABD是直角三角形.
【变式4】(人教教材P14T2)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E
分别在边AB，AC上，且∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
解：△ADE是直角三角形.
理由如下：
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠2＝90°.
∵∠1＝∠2，
∴∠A＋∠1＝90°.
∴∠ADE＝90°.
∴△ADE是直角三角形.
解：△ADE是直角三角形.
理由如下：
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠2＝90°.
∵∠1＝∠2，
∴∠A＋∠1＝90°.
∴∠ADE＝90°.
∴△ADE是直角三角形.
知识点3 整体思想在直角三角形中的应用
【例5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的角平分线AD，BE
相交于点O，求∠AOB的度数.
解：∵∠C＝90°，
∴∠ABC＋∠BAC＝90°.
∵AD，BE分别为∠CAB，∠ABC的角平分线，
∴∠DAB＝ ∠BAC，∠EBA＝ ∠ABC.
∴∠AOB＝180°－(∠DAB＋∠EBA)
＝180°－ (∠BAC＋∠ABC)
＝180°－45°
＝135°.
【变式5】(人教教材P17T10改编)如图，AD∥BE，AC，BC分别平分
∠DAB和∠EBA，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是直角三角形.
理由如下：
∵AD∥BE，
∴∠DAB＋∠ABE＝180°.
∵AC，BC分别平分∠DAB和∠EBA，
∴∠CAB＝ ∠DAB，∠ABC＝ ∠ABE.
∴∠CAB＋∠ABC＝ (∠DAB＋∠ABE)＝90°.
∴∠C＝90°.
∴△ABC是直角三角形.
课堂总结：直角三角形 两锐角互余.
1. 把一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝50°，则
∠2的度数为 .
第1题图
40°
2. 如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有
( B )
A. 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4 个
第2题图
B
3. 如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上的一动点.当
△AOP为直角三角形时，∠A的度数为 .
第3题图
50°或90°
4. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是△ABC的角平分
线，它们相交于点P，已知∠APE＝55°，∠AEP＝80°，求∠BAC的
度数.
解：∵AD⊥BC，
∴∠PDC＝90°.
∵∠CPD＝∠APE＝55°，
∴∠PCD＝90°－55°＝35°.
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠PCD＝35°.
∴∠BAC＝180°－35°－80°＝65°.
解：∵AD⊥BC，
∴∠PDC＝90°.
∵∠CPD＝∠APE＝55°，
∴∠PCD＝90°－55°＝35°.
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠PCD＝35°.
∴∠BAC＝180°－35°－80°＝65°.
5. (中考热点·转化思想)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为边AB上的高，BE平分∠ABC，分别交 CD，AC 于点 F，E. 求证：∠CFE＝∠CEF.
证明：如图，∵∠ACB＝90°，
∴∠1＋∠3＝90°.
∵CD⊥AB，
∴∠2＋∠4＝90°.
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2.
∴∠3＝∠4.
∵∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
即∠CFE＝∠CEF.(共11张PPT)
第十三章 三角形
易错题集训
易错点一 忽略三角形的三边关系致错
1. 为估计池塘两岸A，B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点
O，测得OA＝16 m，OB＝12 m，那么AB的距离不可能是( D )
A. 5 m B. 15 m C. 20 m D. 30 m
2. 若a，b，c为△ABC的三边，且a，b满足｜a－3｜＋(b－2)2＝0，
第三边c是整数，则c的值可以是( B )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
D
B
易错点二 等腰三角形的腰未分类讨论致错
3. 已知一个等腰三角形的周长为26 cm，若其中一边长为8 cm，求另外
两边的长.
解：①若底边长为8 cm，则腰长为 ×(26－8)＝9(cm)，
即另外两边的长分别为9 cm，9 cm，能构成三角形；
②若腰长为8 cm，则底边长为26－8－8＝10(cm)，
故另外两边的长分别为10 cm，8 cm，能构成三角形.
综上所述，另外两边的长分别为9 cm，9 cm或10 cm，8 cm.
解：①若底边长为8 cm，则腰长为 ×(26－8)＝9(cm)，
即另外两边的长分别为9 cm，9 cm，能构成三角形；
②若腰长为8 cm，则底边长为26－8－8＝10(cm)，
故另外两边的长分别为10 cm，8 cm，能构成三角形.
综上所述，另外两边的长分别为9 cm，9 cm或10 cm，8 cm.
易错点三 直角的位置未分类讨论致错
4. 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，
若△ACD为直角三角形，求∠BCD的度数.
解：如图，①当∠ADC＝90°时，
∵∠ADC＝∠B＋∠BCD，∠B＝30°，
∴∠BCD＝∠ADC－∠B＝90°－30°＝60°；
②当∠ACD'＝90°时，
∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－30°＝100°.
∴∠BCD'＝∠ACB－∠ACD'＝100°－90°＝10°.
综上所述，∠BCD的度数为10°或60°.
②当∠ACD'＝90°时，
∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－30°＝100°.
∴∠BCD'＝∠ACB－∠ACD'＝100°－90°＝10°.
综上所述，∠BCD的度数为10°或60°.
5. 如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N分别是
BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B' 落
在AC上.若△MB'C为直角三角形，则∠MNB'的度数为 .
55°或85° .
易错点四 三角形高的位置未分类讨论致错
6. 已知在非直角三角形ABC中，∠A＝40°，高BD和高CE所在直线交
于点H，求∠BHC的度数.
图1
图1
解：①如图1，当△ABC是锐角三角形时.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°.
在△ABD中，∵∠A＝40°，
∴∠ABD＝90°－40°＝50°.
∴∠BHC＝∠ABD＋∠BEC＝50°＋90°＝140°；
解：①如图1，当△ABC是锐角三角形时.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°.
在△ABD中，∵∠A＝40°，
∴∠ABD＝90°－40°＝50°.
∴∠BHC＝∠ABD＋∠BEC＝50°＋90°＝140°；
解： ②如图2，当△ABC是钝角三角形时.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠A＋∠ACE＝90°，∠BHC＋∠HCD＝90°.
∵∠ACE＝∠HCD，
∴∠BHC＝∠A＝40°.
综上所述，∠BHC的度数是140°或40°.
易错点四 三角形高的位置未分类讨论致错
6. 已知在非直角三角形ABC中，∠A＝40°，高BD和高CE所在直线交
于点H，求∠BHC的度数.
图2
图2
易错点五 不理解方向角的定义
7. 如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B
在南偏东15°的方向，则∠AOB的大小为 .
141°
易错点六 错视三角形的角的关系致错
8. (生活情境)如图，在螳螂的示意图中，AB∥DE，∠BAC＝∠BCA，
∠CBF＝54°，∠ACD＝46°，则∠CDE 的大小为 .
73°
9. 如图，在△ABC中，点E是AC延长线上的一点，点D是BC上的一点.求证：∠BDE＝∠E＋∠A＋∠B.
证明：∵点E是AC延长线上的一点，
∴∠BCE＝∠A＋∠B.
∵点D是BC上的一点，
∴∠BDE＝∠E＋∠BCE.
∴∠BDE＝∠E＋∠A＋∠B.
证明：∵点E是AC延长线上的一点，
∴∠BCE＝∠A＋∠B.
∵点D是BC上的一点，
∴∠BDE＝∠E＋∠BCE.
∴∠BDE＝∠E＋∠A＋∠B.
易错点七 陌生题目不会灵活转化为学过的知识
10. 在平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，首尾顺次相接组成五
边形(如图)，则d可能是( C )
A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
C
