(共8张PPT)
第十四章 全等三角形
微专题三 二次全等
【满分技法】二次全等证明步骤：
根据已知先证第一组三角形全等 对应边、角相等 证明第二
组三角形全等.
证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠BAE＝∠BCE.
在△BAE和△BCE中，
∴△BAE≌△BCE(AAS).
∴AE＝CE.
在△AED和△CED中，
证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠BAE＝∠BCE.
在△BAE和△BCE中，
∴△BAE≌△BCE(AAS).
∴AE＝CE.
在△AED和△CED中，
【例1】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AD＝CD.
∴△AED≌△CED(SAS).
∴AD＝CD.
【变式1】如图，AB＝CD，BC＝AD，点E，F分别是AD，BC上的
一点，AC与EF相交于点O，AE＝CF.
求证：OA＝OC.
证明：在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SSS).
∴∠BCA＝∠DAC.
在△AOE和△COF中，
证明：在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SSS).
∴∠BCA＝∠DAC.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴OA＝OC.
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴OA＝OC.
【变式2】(人教教材P46T18)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC
的中点，点E在AD上.找出图中的全等三角形，并证明它们全等.
解：图中的全等三角形有△ABD≌△ACD，
△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE.
证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝DC.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠BAE＝∠CAE.
在△ABE和△ACE中，
证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝DC.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠BAE＝∠CAE.
在△ABE和△ACE中，
∴△ABE≌△ACE(SAS).
∴BE＝CE.
在△BDE和△CDE中，
∴△BDE≌△CDE(SSS).
∴△ABE≌△ACE(SAS).
∴BE＝CE.
在△BDE和△CDE中，
∴△BDE≌△CDE(SSS).
【变式3】如图，点A，E，F，C在同一直线上，AE＝CF，过点E，
F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AB＝CD，连
接BD交于EF于点G. 求证：EG＝FG.
证明：∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE.
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
在△DEG和△BFG中，
∴△DEG≌△BFG(AAS).
∴EG＝FG.
在△DEG和△BFG中，
∴△DEG≌△BFG(AAS).
∴EG＝FG.
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF＝DE.(共18张PPT)
第十四章 全等三角形
章末复习
知识要点
知识点1 全等形与全等三角形
(1)全等形的定义：能够完全重合的两个图形.
①形状、大小相同；
②平移、翻折、旋转前后的图形全等.
(2)全等三角形的性质：
①对应边相等，对应角相等；
②对应边上的高、中线、对应角的平分线相等；
③周长、面积相等.
对点训练
1. 如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是( C )
A. FC＝BD
B. EF平行且等于AB
C. ∠B＝∠ACB
D. AC平行且等于DE
C
知识要点
知识点2 全等三角形的判定
(1)判定1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.简称为
“ ”；
(2)判定2：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.简称为
“ ”；
(3)判定3：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
简称为“ ”；
(4)判定4：三边分别对应相等的两个三角形全等.简称为“ ”；
(5)判定5：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等.简称为
“ ”.
SAS
ASA
AAS
SSS
HL
对点训练
2. 如图，在四边形ABCD中，AD＝CB，∠1＝∠2，则△ABD≌△CDB的依据是( C )
A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS
C
3. 如图，已知BF＝CE，AC＝DF，请添加一个条件，使得△ABC≌
△DEF，则添加的条件可以是 .(不添加其他字母及辅助线)
(答案不唯一)AB＝DE
知识要点
知识点3 角的平分线的性质与判定
(1)角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等；
(2)角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
如图，已知∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N.
对点训练
4. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，BC＝10，对角线
BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( B )
A. 60 B. 30 C. 120 D. 15
B
知识要点
知识点4 尺规作图
(1)作一个角等于已知角(∠AOB)；(原理：SSS)
(2)作一个角(∠AOB)的平分线.(原理：SSS)
对点训练
5. 如图，已知∠α，求作∠CAB＝∠α.(尺规作图，保留作图痕迹，不写
作法)
解：如图，∠CAB即为所求.
解：如图，∠CAB即为所求.
核心练习
1. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE
＝CF. 求证：AC∥DF.
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC.
∴BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
∴∠ACB＝∠DFE.
∴AC∥DF.
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC.
∴BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
∴∠ACB＝∠DFE.
∴AC∥DF.
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)过点B作∠ABC的平分线，交AC于点D；(尺规作图，保留作图痕迹)
解：(1)如图，BD即为所求.
(2)若AB＋BC＝14，△ABC的面积为21，求CD的长.
解：(1)如图，BD即为所求.
解：(2)如图，过点D作DH⊥AB于点H.
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴CD＝DH.
∴S△ABC＝ ＋ ＝ BC·CD
＋ AB·DH＝ (BC＋AB)·CD＝21.
∵AB＋BC＝14，
∴CD＝3.
3. 如图，小卓同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块，垒了
两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板
(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和点B分别与木墙的顶
端重合.
(1)求证：△ADC≌△CEB；
解：(1)证明：根据题意，得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，
BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°.
∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠CAD＝90°.
∴∠BCE＝∠CAD.
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB(AAS).
(2)求两堵木墙之间的距离.
解：(2)根据题意，得AD＝2×4＝8(cm)，
BE＝6×2＝12(cm)，
由(1)，得△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝8 cm，DC＝BE＝12 cm.
∴DE＝DC＋CE＝20 cm.
答：两堵木墙之间的距离为20 cm.
解：(2)根据题意，得AD＝2×4＝8(cm)，
BE＝6×2＝12(cm)，
由(1)，得△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝8 cm，DC＝BE＝12 cm.
∴DE＝DC＋CE＝20 cm.
答：两堵木墙之间的距离为20 cm.
3. 如图，小卓同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块，垒了
两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板
(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和点B分别与木墙的顶
端重合.
4. 如图1，点P的坐标为(2，2)，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负
半轴上运动，且PA＝PB.
(1)求证：PA⊥PB；
图1
图1
解：(1)证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F.
∵P(2，2)，
∴PE＝PF＝2.
在Rt△APE和Rt△BPF中，
∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL).
∴∠APE＝∠BPF.
∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝∠BPF＋∠BPE＝∠EPF＝90°.
∴PA⊥PB.
(2)若点A的坐标为(8，0)，则点B的坐标为 ；
(3)OA－OB的值为 ；
(0，－4)
4
4. 如图1，点P的坐标为(2，2)，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负
半轴上运动，且PA＝PB.
图1
4. 如图1，点P的坐标为(2，2)，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负
半轴上运动，且PA＝PB.
(4)如图2，若点B在y轴正半轴上，其他条件不变，求OA＋OB的值.
图2
图2
(4)如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F.
同(1)，可得Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE＝BF.
∵AE＝OA－OE＝OA－2，BF＝OF－OB＝2－OB，
∴OA－2＝2－OB.
∴OA＋OB＝4.
解：(4)如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F.
同(1)，可得Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE＝BF.
∵AE＝OA－OE＝OA－2，BF＝OF－OB＝2－OB，
∴OA－2＝2－OB.
∴OA＋OB＝4.(共18张PPT)
第十四章 全等三角形
第6课时 三角形全等的判定(4)——HL
画图探究 判定(4)
如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠C'＝90°，请画出
Rt△A'B'C'，使得B'C'＝BC，A'B'
＝AB，观察Rt△ABC和Rt △A'B'C'是否全等. 解：如图，Rt△ABC和Rt△A'B'C'
全等. 和一 分别相等
的两个直角三角形全等(简称“HL”).
几何语言：在Rt△ABC和Rt
△A'B'C'中，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
解：如图，Rt△ABC和Rt△A'B'C'
全等.
斜边
直角边
知识点1 利用“HL”证全等——公共边、中点
【例1】(人教教材P45T12改编)如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别
为C，B，AB＝DC. 求证：
(1)∠A＝∠D；
证明：(1)∵AC⊥CB，DB⊥CB，
∴∠ACB＝∠DBC＝90°.
在Rt△ACB和Rt△DBC中，
∴Rt△ACB≌Rt△DBC.
∴∠A＝∠D.
证明：(1)∵AC⊥CB，DB⊥CB，
∴∠ACB＝∠DBC＝90°.
在Rt△ACB和Rt△DBC中，
∴Rt△ACB≌Rt△DBC.
∴∠A＝∠D.
【例1】(人教教材P45T12改编)如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别
为C，B，AB＝DC. 求证：
(2)∠ABD＝∠ACD.
证明：(2)由(1)，得Rt△ACB≌Rt△DBC，
∴∠ABC＝∠DCB.
∴∠DBC－∠ABC＝∠ACB－∠DCB，
即∠ABD＝∠ACD.
证明：(2)由(1)，得Rt△ACB≌Rt△DBC，
∴∠ABC＝∠DCB.
∴∠DBC－∠ABC＝∠ACB－∠DCB，
即∠ABD＝∠ACD.
【变式1】(多维原创)如图， 点B为AD的中点，∠C＝∠E＝90°，AC
＝BE. 求证：
(1)△ABC≌△BDE；
证明：(1)∵点B为AD的中点，
∴AB＝BD.
在Rt△ABC和Rt△BDE中，
∴Rt△ABC≌Rt△BDE(HL).
证明：(1)∵点B为AD的中点，
∴AB＝BD.
在Rt△ABC和Rt△BDE中，
∴Rt△ABC≌Rt△BDE(HL).
【变式1】(多维原创)如图， 点B为AD的中点，∠C＝∠E＝90°，AC
＝BE. 求证：
(2)BC⊥BE.
证明：(2)由(1)，得Rt△ABC≌Rt△BDE，
∴∠A＝∠DBE.
∵∠A＋∠ABC＝90°，
∴∠DBE＋∠ABC＝90°.
∵∠ABC＋∠CBE＋∠DBE＝180°，
∴∠CBE＝90°，
即BC⊥BE.
证明：(2)由(1)，得Rt△ABC≌Rt△BDE，
∴∠A＝∠DBE.
∵∠A＋∠ABC＝90°，
∴∠DBE＋∠ABC＝90°.
∵∠ABC＋∠CBE＋∠DBE＝180°，
∴∠CBE＝90°，
即BC⊥BE.
知识点2 利用“HL”证全等——残缺边
【例2】如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC，DF相交于点G，
AB⊥BE，垂足为点B，DE⊥BE，垂足为点E，且AC＝DF，BF＝
CE.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
解：(1)证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B＝90°，∠E＝90°.
∵BF＝CE，
∴BF＋CF＝CE＋CF，即BC＝EF.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
(2)若∠A＝65°，求∠AGF的度数.
解：(2)∵∠A＝65°，∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°－65°＝25°.
由(1)，得Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE＝25°.
∴∠AGF＝∠ACB＋∠DFE＝50°.
【例2】如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC，DF相交于点G，
AB⊥BE，垂足为点B，DE⊥BE，垂足为点E，且AC＝DF，BF＝
CE.
【变式2】(人教教材P43练习T2改编)如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥
BC，垂足分别为E，F，CE＝BF. 求证：AB∥CD.
证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°.
∵BF＝CE，
∴BF－EF＝CE－EF.
∴BE＝CF.
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).
∴∠B＝∠C.
∴AB∥CD.
课堂总结：“HL”证全等是指一组斜边和一组直角边分别相等，是直角
三角形特有的方法，因此证明书写一定要有“Rt”，大括号里面只有一
组斜边和一组直角边两个条件.
1. 如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用HL判定Rt△ABC与
Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是( A )
A. AC＝AD B. AB＝AB
C. ∠ABC＝∠ABD D. ∠BAC＝∠BAD
A
2. (人教教材P42例6)如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，
AC＝BD. 求证：BC＝AD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C＝∠D＝90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC＝AD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C＝∠D＝90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC＝AD.
3. (人教教材P45T11改编)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是高.
求证：(1)点D为BC的中点；
证明：(1)由AD是高，得AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).
∴BD＝CD.
∴点D为BC的中点.
证明：(1)由AD是高，得AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).
∴BD＝CD.
∴点D为BC的中点.
3. (人教教材P45T11改编)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是高.
求证：(2)AD平分∠BAC.
(2)由(1)，得Rt△ADB≌Rt△ADC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴AD平分∠BAC.
证明：(2)由(1)，得Rt△ADB≌Rt△ADC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴AD平分∠BAC.
4. 如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分
别作l的垂线AE，BF，垂足分别为点E，F，AE＝CF. 求证：
(1)∠EAC＝∠FCB.
证明：(1)∵AE⊥l，BF⊥l，
∴∠AEC＝∠BFC＝90°.
在Rt△ACE和Rt△CBF中，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF(HL).
∴∠EAC＝∠FCB.
证明：(1)∵AE⊥l，BF⊥l，
∴∠AEC＝∠BFC＝90°.
在Rt△ACE和Rt△CBF中，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF(HL).
∴∠EAC＝∠FCB.
4. 如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分
别作l的垂线AE，BF，垂足分别为点E，F，AE＝CF. 求证：
(2)AC⊥BC.
证明：(2)∵∠EAC＋∠ACE＝90°，
∴∠ACE＋∠FCB＝90°，
即∠ACB＝180°－90°＝90°.
∴AC⊥BC.
5. (中考热点·证明两直线垂直)如图，在△ABC中，过点A向BC作垂线，
垂足为点E，点D为CA延长线上的一点，过点D作DF∥AE交BC于点F，交AB于点P. 若DF＝BE，CD＝AB. 请判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
解：AB⊥CD.
理由如下：
∵AE⊥BC，DF∥AE，
∴DF⊥BC.
∴∠DFC＝∠AEB＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∵∠BPF＝∠APD，
∴∠DAP＝∠BFD＝90°.
∴AB⊥CD.
∵∠BPF＝∠APD，
∴∠DAP＝∠BFD＝90°.
∴AB⊥CD.
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).
∴∠B＝∠D.(共20张PPT)
第十四章 全等三角形
第9课时 角的平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边 的点在角的平分线上.
几何语言：∵ ，
. ，
. ，
∴ .
距离相等
DE⊥AB
DF⊥AC
DE＝DF
∠1＝∠2
如图，∠AOB＝70°，PA⊥OA 于点A，PB⊥OB 于点B，PA＝PB，
则∠1的度数为 .
35°
知识点1 角平分线的判定
【例1】如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点
F，且DB＝DC. 求证：
(1)△BED≌△CFD；
证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△EDB和Rt△FDC中，
∴Rt△EDB≌Rt△FDC(HL).
证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△EDB和Rt△FDC中，
∴Rt△EDB≌Rt△FDC(HL).
【例1】如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点
F，且DB＝DC. 求证：
(2)AD是∠BAC的平分线.
证明：(2)由(1)，得Rt△EDB≌Rt△FDC，
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的平分线.
证明：(2)由(1)，得Rt△EDB≌Rt△FDC，
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的平分线.
【变式1】(人教教材P52T3)如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC. 求证：∠1＝∠2.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ODB＝∠OEC＝90°.
在△ODB和△OEC中，
∴△ODB≌△OEC(AAS).
∴OD＝OE.
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠1＝∠2.
知识点2 角平分线的性质与判定综合
【例2】(人教教材P51例题)如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点
P. 求证：
(1)点P到三边AB，BC，CA 的距离相等；
证明：(1)如图，过点P作PD⊥AB，
PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F.
∵BP平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴PD＝PE.
∵CP平分∠ACB，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF.
∴PD＝PE＝PF，
即点P到三边AB，BC，CA 的距离相等.
证明：(1)如图，过点P作PD⊥AB，
PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F.
∵BP平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴PD＝PE.
∵CP平分∠ACB，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF.
∴PD＝PE＝PF，
即点P到三边AB，BC，CA 的距离相等.
【例2】(人教教材P51例题)如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点
P. 求证：
(2)△ABC的三条角平分线交于一点.
证明：(2)由(1)，得点P到边AB，CA的距离相等，
∴∠P在∠A的平分线上.
∴△ABC的三条角平分线交于一点.
【变式2】(人教教材P51T2)如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角
∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交
于点P. 求证：
(1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等；
解：(1)如图，过点P作PH⊥AE于点H，
PO⊥BC于点O，PQ⊥AB于点Q.
∵∠CBD的平分线BF与∠BCE的平分线CG相交于点P，
∴PH＝PO，PO＝PQ.
∴PH＝PO＝PQ.
∴点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
解：(1)如图，过点P作PH⊥AE于点H，
PO⊥BC于点O，PQ⊥AB于点Q.
∵∠CBD的平分线BF与∠BCE的平分线CG相交于点P，
∴PH＝PO，PO＝PQ.
∴PH＝PO＝PQ.
∴点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
【变式2】(人教教材P51T2)如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角
∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交
于点P. 求证：
(2)点P在∠A的平分线上.
解：(2)如图，连接AP.
由(1)，得PH＝PQ，PH⊥AE，PQ⊥AD，
∴点P在∠A的平分线上.
课堂总结：角平分线的性质与判定
方法：找“锥子图”，如图，OP平分∠AOB PD＝PE.
1. 如图，∠BOC＝30°，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD
＝CE，则∠AOC＝ .
第1题图
30°
2. 如图，某市准备在一块由三条公路围成的△ABC区域内设立一个大型
超市，要求超市到三条公路的距离相等，则超市应建立在△ABC的( A )
A. 两个内角的平分线的交点处
B. 两边高线的交点处
C. 两边中线的交点处
D. 两边的垂直平分线的交点处
第2题图
A
3. 如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则
∠BOC的度数为( C )
A. 58° B. 64° C. 122° D. 124°
第3题图
C
4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB. 若CD＝3，AB＝10，
△ABD的面积为15.
(1)求DE的长；
解：(1)∵AB＝10，△ABD的面积为15，DE⊥AB，
∴S△ABD＝ AB·DE.
∴DE＝ ＝3.
解：(1)∵AB＝10，△ABD的面积为15，DE⊥AB，
∴S△ABD＝ AB·DE.
∴DE＝ ＝3.
(2)求证：AD平分∠BAC
解：(2)证明：∵CD＝3，
∴DE＝CD.
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴AD平分∠BAC.
5. 如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：BE＝CD；
解：(1)证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
在△BOE和△COD中，
∴△BOE≌△COD(AAS).
∴BE＝CD.
解：(1)证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
在△BOE和△COD中，
∴△BOE≌△COD(AAS).
∴BE＝CD.
5. 如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由.
解：(2)点O在∠BAC的平分线上.
理由如下：如图，连接AO.
由(1)，得△BOE≌△COD.
∴OE＝OD.
∵OE⊥AB，OD⊥AC，
∴点O在∠BAC的平分线上.
解：(2)点O在∠BAC的平分线上.
理由如下：如图，连接AO.
由(1)，得△BOE≌△COD.
∴OE＝OD.
∵OE⊥AB，OD⊥AC，
∴点O在∠BAC的平分线上.
6. (中考热点·模型解题)如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝
100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交AB的延
长线于点F，且∠AEF＝50°，连接DE.
(1)求证：DE平分∠ADC；
解：(1)证明：如图，过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H.
∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°－50°＝40°.
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°－100°－40°＝40°.
∴∠FAE＝∠CAD＝40°，
∴EF＝EH.
∴EG＝EH.
∴点E在∠ADC的平分线上.
∴DE平分∠ADC.
∴EF＝EH.
∴EG＝EH.
∴点E在∠ADC的平分线上.
∴DE平分∠ADC.
即AC为∠DAF的平分线.
又∵EF⊥AB，EG⊥AD，
∴EF＝EG.
∵BE是∠ABC的平分线，
(2)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积.
解：(2)设EG＝x.
由(1)，得EF＝EH＝EG＝x.
∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8，
∴ AD·EG＋ CD·EH＝15，
即2x＋4x＝15，
解：(2)设EG＝x.
由(1)，得EF＝EH＝EG＝x.
∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8，
∴ AD·EG＋ CD·EH＝15，
即2x＋4x＝15，
解得x＝2.5.
∴EF＝x＝2.5.
∴S△ABE＝ AB·EF＝ ×7×2.5＝ .
6. (中考热点·模型解题)如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝
100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交AB的延
长线于点F，且∠AEF＝50°，连接DE.(共10张PPT)
第十四章 全等三角形
中考热点——数学探究与综合应用
1. (综合与实践)初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能
器”.如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC.
【操作应用】(1)如图1，将“筝形功能器”上的点A与∠PRQ的顶点R
重合，AB，AD分别放置在角的两边 RP，RQ上，并过点A，C画射线
AE. 求证：AE是∠PRQ的平分线；
图1
解：(1)证明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠BAC＝∠DAC.
∴AE是∠PRQ 的平分线.
【实践拓展】(2)实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水
平.如图2，在仪器上的点A处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪
器上的点B，D紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点C，即判断门
框是水平的.实践小组的判断对吗？请说明理由.
图2
解：(2)实践小组的判断是对的.理由如下：
设AC与BD交于点O.
由(1)，得∠BAC＝∠DAC.
在△ABO和△ADO中，
∴△ABO≌△ADO(SAS).
∴∠AOB＝∠AOD＝ ×180°＝90°.
∴AC⊥BD.
解：(2)实践小组的判断是对的.理由如下：
设AC与BD交于点O.
由(1)，得∠BAC＝∠DAC.
在△ABO和△ADO中，
∴△ABO≌△ADO(SAS).
∴∠AOB＝∠AOD＝ ×180°＝90°.
∴AC⊥BD.
∵AC是铅锤线，
∴BD是水平的.
∴门框是水平的.
∴实践小组的判断是对的.
∵AC是铅锤线，
∴BD是水平的.
∴门框是水平的.
∴实践小组的判断是对的.
图2
2. (1)如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝
∠ADC＝90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探
究图中线段BE，EF，DF之间的数量关系并证明；(提示：延长 CD到
点G，使得 DG＝BE)
图1
解：(1)EF＝BE＋DF. 证明如下：
如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG(SAS).
∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝
120°－60°＝60°.
∴∠EAF＝∠GAF.
在△AEF和△AGF中，
∴△AEF≌△AGF(SAS).
∴EF＝FG.
∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，
∴EF＝BE＋DF.
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.
∵∠EAF＝ ∠BAD，
图1
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E，
F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成
立，并说明理由；
图2
解：(2)上述结论EF＝BE＋DF仍然成立.理由如下：
如图2，延长FD至点G，使DG＝BE，连接AG.
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，
∴∠B＝∠ADG.
在△ABE和△ADG中，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE
＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝ ∠BAD.
∴∠EAF＝∠GAF.
在△AEF和△AGF中，
∴△AEF≌△AGF(SAS).
∴△ABE≌△ADG(SAS).
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.
∴EF＝FG.
∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，
∴EF＝BE＋DF.
∴EF＝FG.
∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，
∴EF＝BE＋DF.
图2
(3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西20°的A
处，舰艇乙在指挥中心南偏东 60°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距
离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 n mile/h的速度前进，
舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 80 n mile/h的速度前进.1 h后，指挥中心
观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，
试求此时两舰艇之间的距离.[提示：可利用(2)的结论]
解：(3)如图3，连接EF，延长AE，BF交于点C.
∵∠AOB＝20°＋90°＋(90°－60°)＝140°，
∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝ ∠AOB.
又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝(90°－20°)＋(60°＋50°)＝
180°，
∴符合(2)中的条件.
∴结论EF＝AE＋BF成立，
即EF＝1×(60＋80)＝140(n mile).
答：此时两舰艇之间的距离是140 n mile.
解：(3)如图3，连接EF，延长AE，BF交于点C.
∵∠AOB＝20°＋90°＋(90°－60°)＝140°，
∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝ ∠AOB.
又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝(90°－20°)＋(60°＋50°)＝180°，
∴符合(2)中的条件.
∴结论EF＝AE＋BF成立，
即EF＝1×(60＋80)＝140(n mile).
答：此时两舰艇之间的距离是140 n mile.
图3(共19张PPT)
第十四章 全等三角形
第8课时 角的平分线的性质
1. 如图，OM＝ON，MP＝NP. 求证：OP平分∠MON.
证明：在△OMP和△ONP中，
∴△OMP≌△ONP(SSS).
∴∠MOP＝∠NOP，
证明：在△OMP和△ONP中，
∴△OMP≌△ONP(SSS).
∴∠MOP＝∠NOP，
即OP平分∠MON.
解：如图，OE为∠AOB的平分线.
解：如图，OE为∠AOB的平分线.
思考：如图，如何用尺规作出∠AOB的平分线？
2. 探究：如图，OC是∠AOB 的平分线，点P1，P2，P3，…在OC上，
过点P1，P2，P3，…分别作OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1，D2
与E2，D3与E3……分别比较P1D1与P1E1，P2D2与P2E2，P3D3与P3E3的
大小……，你有什么发现？
发现：P1D1＝P1E1，P2D2＝P2E2，
P3D3＝P3E3……
发现：P1D1＝P1E1，P2D2＝P2E2，
P3D3＝P3E3……
结论：角的平分线上的点到角两边的 .
几何语言：
∵OC平分∠AOB， ， ，
∴ .
距离相等
P1D1⊥AO
P1E1⊥BO
P1D1＝P1E1 .
知识点1 角平分线性质的应用
【例1】如图，点P为∠AOB平分线上的点，PD⊥OA于点D，PD＝2
cm，则点P到OB的距离为( D )
A. 5 cm B. 4 cm C. 3 cm D. 2 cm
D
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交
AC于点D，AD＝3，BC＝8，则△BDC的面积是( B )
A. 8 B. 12 C. 20 D. 24
B
【例2】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：BE＝CF.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，DE＝DF.
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴BE＝CF.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，DE＝DF.
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴BE＝CF.
【变式2】(人教教材P50T2)如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 点F，G分别在OA，OB上，DF＝EG，连接PF，PG. 求证：PF＝PG.
证明：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，∠PDF＝∠PEG＝90°.
在△PDF和△PEG中，
∴△PDF≌△PEG(SAS).
∴PF＝PG.
证明：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，∠PDF＝∠PEG＝90°.
在△PDF和△PEG中，
∴△PDF≌△PEG(SAS).
∴PF＝PG.
知识点2 应用角平分线的性质尺规作图
【例3】(人教教材P50T1)如图，在直线MN上求作一点P，使点P在
∠AOB的内部，且点P到射线 OA 和 OB 的距离相等.
解：如图，点P即为所求.
解：如图，点P即为所求.
【变式3】(人教教材P52T4改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在
边AC上求作一点P，使点P到边BC和边AB的距离相等.
解：如图，点P即为所求.
解：如图，点P即为所求.
课堂总结：如图是角平分线的基本模型，看到角平分线通常要找这个模
型，有时要自行构造出这个模型，我们把这个模型叫作“锥子图”，它
要满足两个条件：一平分两垂直.
1. 观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是( D )
A. OE是∠AOB的平分线
B. OC＝OD
C. 点E到C，D的距离相等
D. 能说明∠1＝∠2的依据是SAS
第1题图
D
2. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，AD是它的角平分线，则S△ABD∶S△ACD＝( A )
第2题图
A. 3∶2 B. 2∶3 C. 9∶4 D. 4∶9
A
3. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为
14，AB＝8，DE＝2，则AC的长是 .
第3题图
6
4. 如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N. 求证：PM＝PN.
证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SAS).
∴∠ADB＝∠CDB.
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.
5. (中考新考法· 探究与应用)如图，在四边形ABCD中，AC为∠BAD的
平分线，过点C作CF⊥AD交AD于点F，已知CB＝CD.
(1)∠ABC与∠ADC之间有怎样的数量关系？说明理由；
解：(1)∠ABC＋∠ADC＝180°.理由如下：
如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H.
解：(1)∠ABC＋∠ADC＝180°.理由如下：
如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H.
∵AC平分∠BAD，CF⊥AD，CH⊥AB，
∴CH＝CF.
在Rt△BCH和Rt△DCF中，
∴Rt△BCH≌Rt△DCF(HL).
∴∠ADC＝∠CBH.
∵∠CBH＋∠ABC＝180°，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°.
(2)若CF＝6，AB＝3，S△ACD＝21，求DF的长.
5. (中考新考法· 探究与应用)如图，在四边形ABCD中，AC为∠BAD的
平分线，过点C作CF⊥AD交AD于点F，已知CB＝CD.
(2)由(1)，得
Rt△BCH≌Rt△DCF，
∴BH＝DF.
在Rt△CHA和Rt△CFA中，
∴Rt△CHA≌Rt△CFA(HL).
∴AH＝AF.
∵S△ACD＝21＝ AD·CF，CF＝6，
∴AD＝7.
解：(2)由(1)，得
Rt△BCH≌Rt△DCF，
∴BH＝DF.
在Rt△CHA和Rt△CFA中，
∴Rt△CHA≌Rt△CFA(HL).
∴AH＝AF.
∵AD＋AB＝AF＋FD＋AH－BH＝2AF＝7＋3＝10，
∴AF＝5.
∴DF＝AD－AF＝7－5＝2.
∵AD＋AB＝AF＋FD＋AH－BH＝2AF＝7＋3＝10，
∴AF＝5.
∴DF＝AD－AF＝7－5＝2.
∵S△ACD＝21＝ AD·CF，CF＝6，
∴AD＝7.(共16张PPT)
第十四章 全等三角形
第7课时 证直角三角形全等
1. 证明全等的方法
有 ， ， ， ， .
2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请添加一个条件， 使得△ABD
≌△ACD. 请在横线上填上条件，括号内填判定方法.
SSS
SAS
ASA
AAS
HL
(1) ( HL )；
(2) ( ASA )；
(3) ( SAS )；
(4) ( AAS ).
AB＝AC
HL
∠BAD＝∠CAD
ASA
BD＝CD
SAS
∠B＝∠C
AAS
3. 如图，AD与BC相交于点E，∠A＝∠C＝90°.求证：∠B＝∠D.
解：∵∠A＋∠B＋∠AEB＝180°，
∠C＋∠D＋∠CED＝180°，
∠AEB＝∠CED，
∴∠B＝∠D.
解：∵∠A＋∠B＋∠AEB＝180°，
∠C＋∠D＋∠CED＝180°，
∠AEB＝∠CED，
∴∠B＝∠D.
知识点1 找边证直角三角形全等
【例1】如图，AD⊥AB于点A，BE⊥AB于点 B，点C是AB的中点，
AD＝BE. 求证：∠D＝∠E.
证明：∵点C是AB的中点，
∴AC＝BC.
∵AD⊥AB，BE⊥AB，
∴∠CAD＝∠CBE＝90°.
在△CAD和△CBE中，
∴△CAD≌△CBE(SAS).
∴∠D＝∠E.
证明：∵点C是AB的中点，
∴AC＝BC.
∵AD⊥AB，BE⊥AB，
∴∠CAD＝∠CBE＝90°.
在△CAD和△CBE中，
∴△CAD≌△CBE(SAS).
∴∠D＝∠E.
【变式1】如图，D，C，F，B四点在一条直线上，AB＝ED，AC⊥
BD，EF⊥BD，垂足分别为C，F，CD＝BF. 求证：AB∥DE.
证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ACB＝∠EFD＝90°.
∵CD＝BF，
∴CD＋CF＝BF＋CF，即DF＝BC.
在Rt△ABC和Rt△EDF中，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF(HL).
∴∠B＝∠D.
∴AB∥DE.
知识点2 找角证直角三角形全等
【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过
点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E. 求证：
(1)△ACD≌△CBE；
证明：(1)∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝90°.
又∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°.
∴∠ACD＋∠DAC＝90°.
∴∠BCE＝∠CAD.
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB(AAS).
【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过
点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E. 求证：
(2)DE＝AD＋BE.
证明：(2)由(1)，得△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，DC＝EB.
又∵DE＝CE＋DC，
∴DE＝AD＋BE.
证明：(2)由(1)，得△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，DC＝EB.
又∵DE＝CE＋DC，
∴DE＝AD＋BE.
【变式2】如图，在△ABC 中，AD和CE是△ABC的两条高，且相交于
点F，AD＝CD.
(1)求证：△ABD≌△CFD；
解：(1)证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°.
∴∠BAD＝∠FCD＝90°－∠B.
在△ABD和△CFD中，
∴△ABD≌△CFD(ASA).
【变式2】如图，在△ABC 中，AD和CE是△ABC的两条高，且相交于
点F，AD＝CD.
(2)若BC＝10，AD＝7，求AF的长.
解：(2)由(1)，得△ABD≌△CFD，
∴BD＝FD.
∵BC＝10，AD＝CD＝7，
∴BD＝BC－CD＝10－7＝3.
∴BD＝FD＝3.
∴AF＝AD－FD＝7－3＝4.
∴AF的长是4.
解：(2)由(1)，得△ABD≌△CFD，
∴BD＝FD.
∵BC＝10，AD＝CD＝7，
∴BD＝BC－CD＝10－7＝3.
∴BD＝FD＝3.
∴AF＝AD－FD＝7－3＝4.
∴AF的长是4.
课堂总结：
1. 所有的判定方法都可以证明直角三角形全等.
2. 证明直角三角形全等的分析思路.
已知斜边 已知一直角边 已知一角
要找的条件 一直角边或一角 斜边或一角 任一边
判定方法 HL或AAS HL或ASA或AAS ASA或AAS
注意：直角三角形找角相等可以从同角(或等角)的余角相等，三角形的外
角性质中寻找.
1. 下列条件不能证明两个直角三角形全等的是( B )
A. 两条直角边对应相等
B. 两个锐角对应相等
C. 一条直角边和斜边对应相等
D. 一条直角边和一个锐角对应相等
B
2. 如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A，B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D. 求证：AC＝OD.
证明：∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°.
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°.
∴∠A＋∠AOC＝90°.
∴∠A＝∠BOD.
在△AOC和△OBD中，
∴△AOC≌△OBD(AAS).
∴AC＝OD.
3. 如图，BC⊥AD于点C，AC＝BC，点F为BC上的一点，且AF＝
BD.
(1)求证：CF＝CD；
解：(1)证明：∵BC⊥AD，
∴∠ACF＝∠BCD＝90°.
在Rt△ACF和Rt△BCD中，
∴Rt△ACF≌Rt△BCD(HL).
∴CF＝CD.
解：(1)证明：∵BC⊥AD，
∴∠ACF＝∠BCD＝90°.
在Rt△ACF和Rt△BCD中，
∴Rt△ACF≌Rt△BCD(HL).
∴CF＝CD.
3. 如图，BC⊥AD于点C，AC＝BC，点F为BC上的一点，且AF＝
BD.
(2)AF与BD有怎样的位置关系？请说明理由.
解：(2)AF⊥BD. 理由如下：
如图，延长AF交BD于点E.
由(1)，得Rt△ACF≌Rt△BCD，
∴∠CAF＝∠CBD.
∵∠CAF＋∠AFC＝90°，∠CFA＝∠EFB，
∴∠BEF＝180°－∠EBF－∠EFB＝90°.
∴AF⊥BD.
解：(2)AF⊥BD. 理由如下：
如图，延长AF交BD于点E.
由(1)，得Rt△ACF≌Rt△BCD，
∴∠CAF＝∠CBD.
∵∠CAF＋∠AFC＝90°，∠CFA＝∠EFB，
∴∠BEF＝180°－∠EBF－∠EFB＝90°.
∴AF⊥BD.
4. 如图1，在平面直角坐标系中，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角三角形 ABC.
(1)求点C的坐标；
图1
解：(1)如图1，过点C作CM⊥x轴于点M.
∵∠MAC＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠OBA＝90°，
∴∠MAC＝∠OBA.
在△MAC和△OBA中，
∴△MAC≌△OBA(AAS).
∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4.
∴OM＝OA＋MA＝2＋4＝6.
∴点C的坐标为(－6，－2).
4.(2)如图2，点P为y轴负半轴上的一个动点，当点P向y轴负半轴向下运
动时，以点P为顶点，PA为腰作等腰直角三角形APD，过点D作DE⊥
x轴于点E，求OP－DE的值.
(2)如图2，过点D作DQ⊥OP于点Q，则DE＝OQ.
∴OP－DE＝OP－OQ＝PQ.
∵∠APO＋∠QPD＝90°，∠APO＋∠OAP＝90°，
∴∠QPD＝∠OAP.
在△AOP和△PQD中，
解：(2)如图2，过点D作DQ⊥OP于点Q，则DE＝OQ.
∴OP－DE＝OP－OQ＝PQ.
∵∠APO＋∠QPD＝90°，∠APO＋∠OAP＝90°，
∴∠QPD＝∠OAP.
在△AOP和△PQD中，
图2
∴△AOP≌△PQD(AAS).
∴PQ＝OA＝2，
即OP－DE＝2.
∴△AOP≌△PQD(AAS).
∴PQ＝OA＝2，
即OP－DE＝2.(共17张PPT)
第十四章 全等三角形
第1课时 全等三角形及其性质
1. 全等形：能够 的两个图形叫作全等形(即形状、大小完全
相同).
练习：下列选项中，两个图案不属于全等图形的是( D )
A B C D
注意：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小
都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 .
完全重合
D
全等
2. 全等三角形的概念及其性质.
全等三角形 图例
概念 能够 的两个三角形叫
作全等三角形.
表示方法 △ABC≌ (注：对应顶
点写在对应的位置上)
性质 全等三角形的对应边 ，对
应角 .
几何语言 ∵△ABC≌△ ， ∴
， .
.
完全重合
△DEF
相等
相等
DEF
AB＝DE，AC＝DF，BC＝
EF
∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∠C ＝∠F
知识点1 全等三角形的对应元素
【例1】如图，将△ABC沿着BC向上翻折得到△DBC.
(1)△ABC≌ ；
(2)AC＝ ，AB＝ ；
(3)∠A＝ ，∠BCD＝ .
△DBC
DC
DB
∠D
∠ACB
【变式1】(人教教材P30T2改编)如图，△OCA≌△OBD，完成下列
推理.
∵△OCA≌△OBD，
∴OC＝ ，AC＝ ，
∠A＝ ，∠C＝ .
OB
DB
∠D
∠B
知识点2 利用全等三角形的性质进行证明
【例2】如图，已知△ABC≌△FED，点A，E，B，F在同一直线上，
求证：
(1)AC∥DF；
证明：(1)∵△ABC≌△FED，
∴∠A＝∠F.
∴AC∥DF.
证明：(1)∵△ABC≌△FED，
∴∠A＝∠F.
∴AC∥DF.
(2)AE＝FB.
证明：(2)∵△ABC≌△FED，
∴AB＝FE.
∴AB－EB＝FE－EB.
∴AE＝FB.
【变式2】如图，点B，C，E，F在同一直线上，△ABC≌△DEF. 求
证：
(1)AC∥DF；
证明：(1)∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE.
∴AC∥DF.
证明：(1)∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE.
∴AC∥DF.
(2)BE＝CF.
证明：(2)∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF.
∴BC＋CE＝EF＋CE.
∴BE＝CF.
证明：(2)∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF.
∴BC＋CE＝EF＋CE.
∴BE＝CF.
知识点3 全等三角形的对应角相等
【例3】如图，△ABC≌△ADE. 求证：∠CAE＝∠BAD.
证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠1＝∠2.
∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD.
证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠1＝∠2.
∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD.
【变式3】(人教教材P31T5改编)如图，△ABC≌△ADE. 求证：
(1)∠1＝∠2；
证明：(1)∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD.
∴∠1＝∠2.
(2)∠1＝∠3.
证明：(2)如图，AD与BC交于点F.
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D.
∵∠1＋∠B＋∠AFB＝180°，∠3＋∠D＋∠CFD＝180°，∠AFB
＝∠CFD，
∴∠1＝∠3.
【变式3】(人教教材P31T5改编)如图，△ABC≌△ADE. 求证：
课堂总结：利用全等三角形的性质可以证明线段相等和角相等，若证明
的是残缺边，则要把全等三角形的完整边加或减一段公共边.
1. 如图，△ABC≌△DEC，B，C，D三点在同一直线上，若CE＝6，
AC＝9，则BD的长为 .
第1题图
15
2. (人教教材P31T3改编)已知图中的两个三角形全等，则∠α＝ .
第2题图
72°
3. (人教教材P31T2改编)如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C 是对应
角，AB和AC是对应边，则其他对应边为： ，其他对应角为： .
第3题图
BN和CM，AN和
AM
∠ANB和∠AMC，∠BAN和∠CAM
4. (人教教材P30例题改编)如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和
点D是对应顶点，∠BAC＝65°，∠ABC＝30°，AC，BD的延长线
相交于点E， 求∠CBD，∠AEB 的度数.
解：∵△ABC ≌ △BAD，
∴∠ABD＝∠BAC＝65°，∠BAD＝∠ABC＝30°.
∴∠CBD＝∠ABD－∠ABC＝65°－30°＝35°.
又∵△ABE的内角和为180°，
∴∠AEB＝180°－∠BAC－∠ABD＝180°－65°－65°＝50°.
5. (中考热点·证明两线垂直)如图，△ABD≌△EBC，AB＝4 cm，BC
＝7 cm.
(1)求DE的长；
解：(1)∵△ABD≌△EBC，AB＝4 cm，BC＝7 cm，
∴BD＝BC＝7 cm，AB＝EB＝4 cm.
∴DE＝BD－BE＝3 cm.
解：(1)∵△ABD≌△EBC，AB＝4 cm，BC＝7 cm，
∴BD＝BC＝7 cm，AB＝EB＝4 cm.
∴DE＝BD－BE＝3 cm.
5. (中考热点·证明两线垂直)如图，△ABD≌△EBC，AB＝4 cm，BC
＝7 cm.
(2)判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由.
解：(2)AD⊥CE. 理由如下：
如图，延长CE交AD于点F.
∵△ABD≌△EBC，
∴∠D＝∠C，∠ABD＝∠EBC.
∴∠ABD＋∠EBC＝180°.
∴∠ABD＝90°.
∴∠A＋∠D＝90°.
∴∠A＋∠C＝90°.
∴∠AFC＝90°.
∴CE⊥AD.(共16张PPT)
第十四章 全等三角形
第2课时 三角形全等的判定(1)——SAS
1. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边 ，对应角 .
2. 探究三角形全等的条件(观察△ABC和△BCD).
一边或一角 两角 两边 一边一角 三角
举例
相等
相等
画图探究 全等三角形的判定(1)
已知∠A＝∠D，请画出△DEF，
使DE＝AB，DF＝AC，再观察
△DEF与△ABC是否全等. 解：画图如图，△DEF与△ABC 分别相等的两个三角形全等(简称：SAS).
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌DEF( ).
解：画图如图，△DEF与△ABC
全等.
两边和它们的夹角
SAS
知识点1 利用“SAS”证全等——用对顶角、公共角证角
【例1】如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD. 求证：
AB∥CD.
证明：在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD(SAS).
∴∠A＝∠C.
∴AB∥CD.
证明：在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD(SAS).
∴∠A＝∠C.
∴AB∥CD.
【变式1】如图，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，且AD＝AE.
求证：BD＝CE.
证明：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD＝CE.
证明：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD＝CE.
知识点2 利用“SAS”证全等——用角平分线、平行线证角
【例2】(人教教材P33例1) 如图，AC＝AD，AB平分∠CAD，求证：
∠C＝∠D.
证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB.
在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD(SAS).
∴∠C＝∠D.
【变式2】如图，点C是线段AB的中点，CD＝BE，CD∥BE，求证：
△ACD≌△CBE.
证明：∵点C是AB的中点，
∴AC＝CB.
∵CD∥BE，
∴∠ACD＝∠B.
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE(SAS).
证明：∵点C是AB的中点，
∴AC＝CB.
∵CD∥BE，
∴∠ACD＝∠B.
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE(SAS).
知识点3 利用“SAS”证全等——等量加减证角相等
【例3】如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC. 求证：BC＝
DE.
证明：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD－∠CAD＝∠EAC－∠CAD.
∴∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS).
∴BC＝DE.
【变式3】如图，CD＝CA，∠1＝∠2，BC＝EC. 求证：∠A＝∠D.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠ACE＝∠2＋∠ACE.
∴∠ACB＝∠DCE.
在△ACB和△DCE中，
∴△ACB≌△DCE(SAS).
∴∠A＝∠D.
课堂总结：
1. 证角相等有以下途径：公共角、对顶角、角平分线、平行线、等量相
加减.
2. 两边必须和夹角分别相等才可证全等，若不是两边的夹角可能不
全等.
如图，在△ABC和△ABC1中，∠A＝∠A，AB＝AB，BC＝BC1，但
△ABC与△ABC1不全等.
1. 如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的
三角形是( B )
A B C D
B
2. 如图，AC和BD相交于点O，若OA＝OD，用“SAS”证明△ABO≌
△DCO还需( B )
A. AB＝DC
B. OB＝OC
C. ∠C＝∠D
D. ∠AOB＝∠DOC
B
3. 如图，点F，C是AD上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD. 求证：
(1)△ABC≌△DEF；
证明：(1)∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D.
∵AF＝CD，
∴AF＋FC＝CD＋FC，即AC＝DF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
3. 如图，点F，C是AD上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD. 求证：
(2)BC∥EF.
证明：(2)由(1)，得△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE.
∴BC∥EF.
证明：(2)由(1)，得△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE.
∴BC∥EF.
4. (中考热点·手拉手模型)如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一直线上，连接BD.
(1)求证：△BAD≌△CAE；
解：(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠EAD＋∠CAD.
∴∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)请判断BD，CE有何大小、位置关系，并证明.
解：(2)BD＝CE，BD⊥CE. 理由如下：
如图，设BD与AC相交于点O.
由(1)，得△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.
∴∠ABD＋∠AOB＝∠ACE＋∠DOC.
∴∠BAO＝∠CDO＝90°.
∴BD⊥CE.
解：(2)BD＝CE，BD⊥CE. 理由如下：
如图，设BD与AC相交于点O.
由(1)，得△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.
∴∠ABD＋∠AOB＝∠ACE＋∠DOC.
∴∠BAO＝∠CDO＝90°.
∴BD⊥CE.
4. (中考热点·手拉手模型)如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一直线上，连接BD.(共14张PPT)
第十四章 全等三角形
第4课时 三角形全等的判定(3)——SSS
画图探究 全等三角形的判定(3)
已知△ABC和射线DM，请用尺
规作出△DEF，使DE＝AB，
DF＝AC，EF＝BC，再观察
△DEF与△ABC是否全等.
解：如图所示，△DEF与
△ABC全等. 分别相等的两个三角形全等
(简称：SSS).
几何语言：
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF( ).
解：如图所示，△DEF与
△ABC全等.
三边
SSS
知识点1 利用“SSS”证全等——公共边
【例1】(人教教材P37例3)在如图所示的三角形钢架中，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架.求证：AD⊥BC.
证明：∵AD是连接点A与BC中点D的支架，
∴BD＝CD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠ADB＝∠ADC.
∵∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
即AD⊥BC.
【变式1】(人教教材P38T1改编)如图，AC＝BD，BC＝AD. 求证：
∠DAC＝∠CBD.
解：在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD(SSS).
∴∠ABC＝∠BAD，∠BAC＝∠ABD.
∴∠DAC＝∠CBD.
解：在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD(SSS).
∴∠ABC＝∠BAD，∠BAC＝∠ABD.
∴∠DAC＝∠CBD.
知识点2 利用“SSS”证全等——不完整边
【例2】如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BC的异
侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC. 求证：(1)△ABC≌△DEF；
证明：(1)∵BF＝EC，
∴BF＋FC＝EC＋FC.
∴BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
【例2】如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BC的异
侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC. 求证：(2)AC∥DF.
证明：(2)由(1)，得△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE.
∴AC∥DF.
证明：(2)由(1)，得△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE.
∴AC∥DF.
【变式2】如图，点A，C，F，D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF. 求证：BC∥EF.
∴∠BCF＝∠CFE.
∴BC∥EF.
证明：∵AF＝DC，
∴AF－FC＝DC－FC，
即AC＝DF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
∴∠ACB＝∠DFE.
又∵∠ACB＋∠BCF＝180°，∠DFE＋∠CFE＝180°，
∴∠BCF＝∠CFE.
∴BC∥EF.
【例3】如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，过点C作CE∥
AD，交AB于点E. 求证：∠DCB＝∠CEB.
证明：如图，连接BD.
在△ADB和△CDB中，
∴△ADB≌△CDB(SSS).
∴∠DAB＝∠DCB.
∵CE∥AD，
∴∠DAB＝∠CEB.
∴∠DCB＝∠CEB.
【变式3】(易错)如图，已知AC＝BD，AD＝BC. 求证：∠A＝∠B.
证明：如图，连接CD.
在△ACD和△BDC中，
∴△ACD≌△BDC(SSS).
∴∠A＝∠B.
证明：如图，连接CD.
在△ACD和△BDC中，
∴△ACD≌△BDC(SSS).
∴∠A＝∠B.
课堂总结：用边来证全等时，边必须是完整边.可利用公共边、中点、等
量代换、等量相加减得到边相等.
1. 如图，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD. 图中有几对全等的三角形，
请选择其中一对证明.
解：共有两对全等三角形，分别是△ABE≌△ACD，△ABD≌△ACE.
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SSS).
2. (人教教材P38T2)工人师傅常用角尺平分一个任意角.如图，在∠AOB
的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度
分别与点M，N重合.过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线.为
什么？
解：在△OMC和△ONC中，
∴△OMC≌△ONC(SSS).
∴∠COM＝∠CON，
即射线OC是∠AOB的平分线.
3. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别为边AC，BC上的
一点，连接BD，DE. 已知AB＝BE，AD＝DE.
(1)求证：BD平分∠ABC；
解：(1)证明：在△ABD和△EBD中，
∴△ABD≌△EBD(SSS).
∴∠ABD＝∠EBD，
即BD平分∠ABC.
∴△ABD≌△EBD(SSS).
∴∠ABD＝∠EBD，
即BD平分∠ABC.
解：(1)证明：在△ABD和△EBD中，
3. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别为边AC，BC上的
一点，连接BD，DE. 已知AB＝BE，AD＝DE.
(2)若∠CDE＝20°，求∠A的度数.
(2)由(1)，得△ABD≌△EBD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB.
∵∠ABC＝90°，∠CDE＝20°，
∴∠ABD＝45°，∠ADB＝ (180°－∠CDE)＝80°.
∴∠A＝180°－∠ABD－∠ADB＝55°.
解：(2)由(1)，得△ABD≌△EBD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB.
∵∠ABC＝90°，∠CDE＝20°，
∴∠ABD＝45°，∠ADB＝ (180°－∠CDE)＝80°.
∴∠A＝180°－∠ABD－∠ADB＝55°.(共16张PPT)
第十四章 全等三角形
微专题五 四大常考三角形全等模型
模型解读
模型一 平移型
(1)特征：沿同一直线平移可得两三角形重合.
条件：AE＝BF，
CB∥DF，
AC∥DE；
结论：△ABC≌△EFD.
(2)解题思路：
①加(减)公共部分，得某一对应边相等；
②利用平行线得到对应角相等.
1. 如图，已知MA＝NC，∠M＝∠N，添加下列条件不能判定
△ABM≌△CDN的是( C )
A. ∠A＝∠NCD B. BM＝DN
C. AB＝CD D. BM∥DN
C
模型训练
证明：∵点C是AE的中点，
∴AC＝CE.
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DCE.
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE(SAS).
证明：∵点C是AE的中点，
∴AC＝CE.
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DCE.
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE(SAS).
2. 如图，点C是AE的中点，AB∥CD，且AB＝CD. 求证：△ABC≌
△CDE.
模型二 翻折型
(1)特征：所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合.
(2)解题思路：
①找公共角、垂直、对顶角等条件得对应角相等；
②找公共边、中点、相等边、线段的和差等条件得对应边相等.
模型解读
3. 如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF交
于点D，则下列结论中不正确的是( D )
A. △ABE≌△ACF B. 点D在∠BAC的平分线上
C. △BDF≌△CDE D. 点D是BE的中点
D
模型训练
4. 在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是
E，F，BE＝CF. 求证：(1)DE＝DF.
证明：(1)∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL).
∴DE＝DF.
证明：(1)∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL).
∴DE＝DF.
4. 在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是
E，F，BE＝CF. 求证：(2)AD平分∠BAC.
(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴∠EAD＝∠FAD，即AD平分∠BAC.
证明：(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴∠EAD＝∠FAD，即AD平分∠BAC.
模型三 旋转型
(1)特征：①共顶点：绕该顶点旋转可得两三角形重合；
模型解读
②不共顶点：绕某一点旋转后，再平移可得到两三角形重合.
(2)解题思路：①共顶点：加(减)共顶点的角的公共角部分得一组对应角
相等；
②不共顶点：由BF＝CE→BF±CF＝CE±CF→BC＝EF；利用平
行线的性质找对应角相等.
5. 如图，AE∥DF，AE＝DF. 添加下列的一个选项后，仍然不能证明
△ACE≌△DBF的是( B )
A. AB＝CD
B. EC＝BF
C. ∠E＝∠F
D. EC∥BF
B
模型训练
6. 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE＝BC，AC＝BD. 求证：△ABC≌△BED.
证明：∵DE∥AC，
∴∠D＝∠ACB.
在△ABC和△BED中，
∴△ABC≌△BED(SAS).
证明：∵DE∥AC，
∴∠D＝∠ACB.
在△ABC和△BED中，
∴△ABC≌△BED(SAS).
模型四 一线三等角
特征：同一直线上有3个相等的角.
(1)普通一线三等角：
条件：∠B＝∠1＝∠E，
AC＝DC；
结论：∠A＝∠DCE，
∠ACB＝∠D，
△ABC≌△CED，
BE＝BC＋CE＝DE＋AB.
模型解读
(2)一线三垂直型：
条件：∠B＝∠1＝∠C＝90°，
AE＝DE；
结论：∠2＝∠4，
∠3＝∠5，
△ABE≌△ECD，
BC＝BE＋EC＝AB＋CD.
特征：同一直线上有3个相等的角.
7. (1)如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的
一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点
E，求证：BD＝DE＋CE；
模型训练
解：(1)证明：∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°.
∵∠ABD＋∠BAE＝90°，∠CAE＋∠BAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴BD＝AE，AD＝CE.
∵AE＝DE＋AD，
∴BD＝DE＋CE.
在△ABD和△CAE中，
7.(2)若直线AE绕点A旋转到如图2所示的位置时(BD＜CE)，其余条件不
变，问BD与DE，CE的关系如何？请给予证明.
解：(2)BD＝DE－CE. 证明如下：
∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°.
∴∠ABD＋∠DAB＝∠DAB＋∠CAE.
∴∠ABD＝∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴BD＝AE，AD＝CE.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
∴BD＝DE－CE.
解：(2)BD＝DE－CE. 证明如下：
∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°.
∴∠ABD＋∠DAB＝∠DAB＋∠CAE.
∴∠ABD＝∠CAE.
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴BD＝AE，AD＝CE.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
∴BD＝DE－CE.(共14张PPT)
第十四章 全等三角形
微专题六 教材经典母题及变式
核心母题1 全等三角形的性质与证明
【例1】(人教教材P60T13)如图，△ABC≌△A'B'C'，AD，A'D'分别是
△ABC，△A'B'C'的对应边上的中线.AD与A'D'有什么关系？证明你的
结论.
解：AD＝A'D'.
证明如下：∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'.
∵AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的对应边上的中线，
∴BD＝ BC，B'D'＝ B'C'.
∴BD＝B'D'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∴△ABD≌△A'B'D'(SAS).
∴AD＝A'D'.
证明如下：∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'.
∵AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的对应边上的中线，
∴BD＝ BC，B'D'＝ B'C'.
∴BD＝B'D'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∴△ABD≌△A'B'D'(SAS).
∴AD＝A'D'.
解：AD＝A'D'.
【变式1】(人教教材P45T16)如图，△ABC≌△A'B'C'，AD，A'D'分别
是△ABC，△A'B'C'的对应角的平分线.求证AD＝A'D'.
证明：∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB＝A'B'，∠B＝∠B'，∠BAC＝∠B'A'C'.
∵AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线，
∴∠BAD＝ ∠BAC，∠B'A'D'＝ ∠B'A'C'.
∴∠BAD＝∠B'A'D'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∴△ABD≌△A'B'D'(ASA).
∴AD＝A'D'.
证明：∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB＝A'B'，∠B＝∠B'，∠BAC＝∠B'A'C'.
∵AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线，
∴∠BAD＝ ∠BAC，∠B'A'D'＝ ∠B'A'C'.
∴∠BAD＝∠B'A'D'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∴△ABD≌△A'B'D'(ASA).
∴AD＝A'D'.
核心母题2 全等三角形的实际应用
【例2】(人教教材P59T5)如图，海岸上有A，B两个观测点，点B在点A
的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方.如
果从观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的
视角∠CBD相等，那么海岛C，D到观测点A，B所在海岸的距离
CA，DB相等.请你说明理由.
解：如图，设BC与AD交于点O.
由题意，得∠CAB＝∠DBA＝90°，∠CAD＝∠CBD.
∵∠COA＝∠DOB，
∴∠C＝∠D.
在△CAB和△DBA中，
∴△CAB≌△DBA(AAS).
∴CA＝DB，
即海岛C，D到观测点A，B所在海岸的距离CA，DB相等.
解：如图，设BC与AD交于点O.
由题意，得∠CAB＝∠DBA＝90°，∠CAD＝∠CBD.
∵∠COA＝∠DOB，
∴∠C＝∠D.
在△CAB和△DBA中，
∴△CAB≌△DBA(AAS).
∴CA＝DB，
即海岛C，D到观测点A，B所在海岸的距离CA，DB相等.
【变式2】(人教教材P59T9)如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平
行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地.C，D两地
到路段AB的距离CE，DF相等吗？为什么？
解：C，D两地到路段AB的距离CE，DF相等.理由如下：
根据题意，得AC＝BD.
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEC＝∠BFD＝90°.
∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B.
在△AEC和△BFD中，
∴△AEC≌△BFD(AAS).
∴CE＝DF.
∴C，D两地到路段AB的距离CE，DF相等.
∴△AEC≌△BFD(AAS).
∴CE＝DF.
∴C，D两地到路段AB的距离CE，DF相等.
核心母题3 角平分线的性质与判定
【例3】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分
别为E，F，连接EF，EF与AD相交于点G. AD与EF垂直吗？证明你
的结论.
解：AD⊥EF.
解：AD⊥EF.
证明如下：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°.
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴AE＝AF.
又∠EAG＝∠FAG，AG＝AG，
∴△AEG≌△AFG.
∴∠AGE＝∠AGF＝ ×180°＝90°.
∴AD⊥EF.
∴∠AGE＝∠AGF＝ ×180°＝90°.
∴AD⊥EF.
【变式3(1)】(人教教材P53T8)如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中
点，DE平分∠ADC. 求证：AE平分∠DAB. (提示：过点E作EF⊥
AD，垂足为F)
证明：如图，过点E作EF⊥AD于点F.
∵∠C＝90°，
∴CE⊥DC.
又∵EF⊥AD，DE平分∠ADC，
∴EF＝CE.
又∵点E为BC的中点，
∴EB＝CE.
∴EF＝EB.
∵∠B＝90°，即EB⊥AB.
又∵EF⊥AD，
∴AE平分∠DAB.
【变式3(2)】(人教教材P53T6)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上
的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. F是OC上的另一
点，连接DF，EF. 求证：DF＝EF.
证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL).
∴OD＝OE.
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOF＝∠EOF.
在△ODF和△OEF中，
∴△ODF≌△OEF(SAS).
∴DF＝EF.
∴△ODF≌△OEF(SAS).
∴DF＝EF.
【变式3(3)】(人教教材P59T8)如图，为了促进旅游业的发展，某地要在
三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路
的距离相等，应在何处修建？
解：如图所示，点O处就是度假村的修建位置.
解：如图所示，点O处就是度假村的修建位置.(共11张PPT)
第十四章 全等三角形
微专题四 两种常见的构造全等的方法
方法1 “倍长中线法”构造全等三角形
图例 模型分析 解题思路
已知：AD是△ABC的边BC上
的中线，延长AD至点E，使
ED＝AD，连接BE； 结论：△ACD≌△EBD(SAS). 遇到“中点”或“中线”则
考虑倍长中线或作平行线构
造全等三角形，从而得到边
相等或角相等.
【例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAE，点E是CD的中点，AB＝
2AE. 求证：∠B＝∠CAE.
证明：如图，延长AE至点F，使EF＝EA，连接DF.
∵点E是CD的中点，
∴EC＝ED.
在△DEF和△CEA中，
∴△DEF≌△CEA(SAS).
∴∠F＝∠CAE.
∵AB＝2AE，AF＝2AE，
∴AB＝AF.
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠FAD.
在△ABD和△AFD中，
∴△ABD≌△AFD(SAS).
∴∠B＝∠F.
∴∠B＝∠CAE.
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠FAD.
在△ABD和△AFD中，
∴△ABD≌△AFD(SAS).
∴∠B＝∠F.
∴∠B＝∠CAE.
【变式1】如图，已知CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AC＝
BD，∠ACB＝∠ABC. 求证：CD＝2CE.
证明：如图，过点B作BF∥AC交CE的延长线于点F.
∵CE是△ABC的中线，BF∥AC，
∴AE＝BE，∠A＝∠ABF，∠ACE＝∠F.
在△ACE和△BFE中，
∴△ACE≌△BFE(AAS).
∴CE＝EF，AC＝BF.
∴CF＝2CE.
又∵CB是△ADC的中线，
证明：如图，过点B作BF∥AC交CE的延长线于点F.
∵CE是△ABC的中线，BF∥AC，
∴AE＝BE，∠A＝∠ABF，∠ACE＝∠F.
在△ACE和△BFE中，
∴△ACE≌△BFE(AAS).
∴CE＝EF，AC＝BF.
∴CF＝2CE.
∴AC＝AB＝BD＝BF.
∵∠DBC＝∠A＋∠ACB＝∠ABF＋∠ABC，
∴∠DBC＝∠FBC.
在△DBC和△FBC中，
∴△DBC≌△FBC(SAS).
∴DC＝CF＝2CE.
∴AC＝AB＝BD＝BF.
∵∠DBC＝∠A＋∠ACB＝∠ABF＋∠ABC，
∴∠DBC＝∠FBC.
在△DBC和△FBC中，
∴△DBC≌△FBC(SAS).
∴DC＝CF＝2CE.
又∵CB是△ADC的中线，
方法2 “截长补短法”构造全等三角形
截长法 补短法 解题思路
已知：AD是△ABC的
角平分线，在AB上截
取AF＝AC，连接DF； 结论：
△ACD≌△AFD. 已知：AD是△ABC的
角平分线，延长AC至
点E，使AE＝AB，连
接DE； 结论：
△AED≌△ABD. 当求证中涉及线段的和或差时，考虑
用截长补短法构造
全等三角形，目的
是将线段和差问题
转化为线段相等问
题.
【例2】如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD平分
∠ABC，延长BD至点E. 连接CE，且∠DCE＝∠DCB. 求证：BC＝
AB＋CE.
证明：如图，在BC上取一点F，使得FB＝AB，连接DF.
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABD＝∠FBD＝20°.
在△ABD和△FBD中，
∴△ABD≌△FBD(SAS).
证明：如图，在BC上取一点F，使得FB＝AB，连接DF.
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABD＝∠FBD＝20°.
在△ABD和△FBD中，
∴△ABD≌△FBD(SAS).
∴AD＝FD，∠BDF＝∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－
100°－20°＝60°.
∴∠FDC＝60°.
∵∠EDC＝∠BDA，
∴∠FDC＝∠EDC.
在△EDC和△FDC中，
∴△EDC≌△FDC(ASA).
∴CE＝CF.
∴BC＝FB＋CF＝AB＋CE.
∴AD＝FD，∠BDF＝∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－ 100°
－20°＝60°.
∴∠FDC＝60°.
∵∠EDC＝∠BDA，
∴∠FDC＝∠EDC.
在△EDC和△FDC中，
∴△EDC≌△FDC(ASA).
∴CE＝CF.
∴BC＝FB＋CF＝AB＋CE.
【变式2】如图，已知AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，
点E在AD上.求证：BC＝AB＋CD.
证明：如图，在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF.
∵BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
在△ABE和△FBE中，
∴△ABE≌△FBE(SAS).
∴∠A＝∠5.
∵AB∥CD，
∴∠A＋∠D＝180°.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴∠5＋∠D＝180.
∵∠5＋∠6＝180°，
∴∠6＝∠D.
在△CDE和△CFE中，
∴△CDE≌△CFE(AAS).
∴CF＝CD.
∵BC＝BF＋CF，
∴BC＝AB＋CD.
∴∠5＋∠D＝180.
∵∠5＋∠6＝180°，
∴∠6＝∠D.
在△CDE和△CFE中，
∴△CDE≌△CFE(AAS).
∴CF＝CD.
∵BC＝BF＋CF，
∴BC＝AB＋CD.(共13张PPT)
第十四章 全等三角形
易错题集训
易错点一 对全等三角形的对应关系理解不透彻
1. 已知△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，AB＝2，BC＝4，
若△DEF的周长为奇数，则DF的值为( C )
A. 3 B. 4 C. 3或5 D. 3或4或5
【易错点拨】“全等”与“≌”意义不一样，“≌”表示对应关系已经
确定，而“全等”中的对应关系不确定.
C
易错点二 添加条件判定两个三角形全等时忽略隐含条件
2. 如图，已知AB＝AC，请再添加一个条件 ，使△ABE≌△ACD. (不添加任何辅助线或点)
(答案不唯一)∠B＝
∠C
易错点三 判定两个三角形全等时易用错条件
3. 根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是( C )
A. AB＝3，BC＝4，AC＝6
B. AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60°
C. AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
D. ∠C＝90°，AB＝8，AC＝4
C
易错点四 涉及无图问题时易忽略分类讨论
4. 已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x－
2，2y－1.若这两个三角形全等，则x－y的值为 .
5. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，分别过点A，B向过点C的直
线CD作垂线，垂足分别为E，F. 若AE＝5，BF＝3，则EF＝ .
－ 或0
8或
2
易错点五 判定两个三角形全等时，未找准对应边、对应角
6. 如图，AB＝AE，AD＝AC，BD＝CE. 求证：∠CAB＝∠DAE.
证明：∵BD＝CE，
∴CD＋BD＝CD＋CE.
∴BC＝DE.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SSS).
∴∠CAB＝∠DAE.
证明：∵BD＝CE，
∴CD＋BD＝CD＋CE.
∴BC＝DE.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SSS).
∴∠CAB＝∠DAE.
易错点六 不会“倍长中线”法构造全等转化解题
7. 如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取
值范围为( A )
A. 3＜AC＜17 B. 3＜AC＜15
C. 1＜AC＜6 D. 2＜AC＜12
A
易错点七 全等综合探究与应用
8. (综合与实践)用全等三角形研究“筝形”.
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC. 我们把这种两组
邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.
【初步探索】(1)分别在AB，AD的中点E，F处拉两根彩线EC，FC，
求证：这两根彩线的长度相等；
图1
解：(1)证明：如图1，连接AC.
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠1＝∠2.
∵点E，F分别是AB，AD的中点，
∴AE＝ AB，AF＝ AD.
∵AB＝AD，
解：(1)证明：如图1，连接AC.
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠1＝∠2.
∵点E，F分别是AB，AD的中点，
∴AE＝ AB，AF＝ AD.
∵AB＝AD，
图1
∴AE＝AF.
在△AEC和△AFC中，
∴△AEC≌△AFC(SAS).
∴EC＝FC，
即这两根彩线的长度相等.
∴AE＝AF.
在△AEC和△AFC中，
∴△AEC≌△AFC(SAS).
∴EC＝FC，
即这两根彩线的长度相等.
【再次尝试】(2)如果AE＝ AB，AF＝ AD，那么这两根彩线的长度
相等吗？
图1
图1
解：(2)当AE＝ AB，AF＝ AD时，这两根彩线的长度相等.理由如
下：
连接AC.
由(1)，得∠1＝∠2.
∵AE＝ AB，AF＝ AD，AB＝AD，
∴AE＝AF.
在△AEC和△AFC中，
解：(2)当AE＝ AB，AF＝ AD时，这两根彩线的长度相等.理由如
下：
连接AC.
由(1)，得∠1＝∠2.
∵AE＝ AB，AF＝ AD，AB＝AD，
∴AE＝AF.
在△AEC和△AFC中，
∴△AEC≌△AFC(SAS).
∴EC＝FC.
∴这两根彩线的长度相等.
图1
【拓展应用】(4)如果连接BD，AC，那么四边形的对角线BD与AC有什
么关系？若BD＝6，AC＝10，能否求出四边形ABCD的面积？
图2
【得出结论】(3)当 时，彩线EC，FC长度
相等；
AE＝ AB，AF＝ AD
(4)BD⊥AC. 理由如下：
如图2，BD与AC交于点O.
由(1)，得∠1＝∠2.
在△ABO和△ADO中，
∴△ABO≌△ADO(SAS).
∴∠BOA＝∠DOA.
∵∠BOA＋∠DOA＝180°，
∴∠BOA＝90°，
解：(4)BD⊥AC. 理由如下：
如图2，BD与AC交于点O.
由(1)，得∠1＝∠2.
在△ABO和△ADO中，
∴△ABO≌△ADO(SAS).
图2
即AC⊥BD.
∵BD＝6，AC＝10，
∴“筝形”ABCD的面积为 BD·AC＝ ×6×10＝30.
∴四边形ABCD的面积为30.
即AC⊥BD.
∵BD＝6，AC＝10，
∴“筝形”ABCD的面积为 BD·AC＝ ×6×10＝30.
∴四边形ABCD的面积为30.
∴∠BOA＝∠DOA.
∵∠BOA＋∠DOA＝180°，
∴∠BOA＝90°，
图2(共14张PPT)
第十四章 全等三角形
第3课时 三角形全等的判定(2)——ASA和AAS
判定(2) 图例 判定(3)
文字描述
分别相等的两个三角形
全等(简称：ASA).
相等的两个三角形全等(简称：AAS).
几何语言 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(AS
A). 在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AA
S).
两角和它们的夹边
两角分别相等且其中一
组等角的对边
知识点1 利用“ASA”证全等——用角平分线、平行线证角
【例1】如图，AD⊥BC于点D，AD平分∠BAC.
求证：△ABD≌△ACD.
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(ASA).
【变式1】如图，点B是AC的中点，BD∥CE，AD∥BE. 求证：BD＝CE.
∴△ABD≌△BCE(ASA).
∴BD＝CE.
证明：∵点B是AC的中点，
∴AB＝BC.
∵BD∥CE，
∴∠ABD＝∠C.
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠CBE.
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE(ASA).
∴BD＝CE.
知识点2 利用“AAS”证全等——用等式的性质证角
【例2】如图，点E在CD上，BC与AE交于点 F，AE＝CD，∠1＝∠2
＝∠3.
求证：(1)∠A＝∠C；
证明：(1)∵∠1＋∠A＋∠AFB＝180°，∠3＋∠C＋∠CFE＝180°，
∠1＝∠3，∠AFB＝∠CFE，
∴∠A＝∠C.
【例2】如图，点E在CD上，BC与AE交于点 F，AE＝CD，∠1＝∠2
＝∠3.
求证：(2)△ABE≌△CBD.
证明：(2)∵∠1＝∠2，
∴∠ABE＝∠CBD.
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD(AAS).
证明：(2)∵∠1＝∠2，
∴∠ABE＝∠CBD.
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD(AAS).
【变式2】如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D.
求证：AB平分∠CAD.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ABD.
在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD(AAS).
∴∠CAB＝∠DAB.
∴AB平分∠CAD.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ABD.
在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD(AAS).
∴∠CAB＝∠DAB.
∴AB平分∠CAD.
课堂总结：可以利用对顶角、公共角、角平分线、平行线、等量相加
减、外角的性质、三角形内角和(找“8”字型)证角相等.
1. 如图，CD和BE相交于点O，AB＝AC，添加下列条件仍无法证明△ACD≌△ABE的是( C )
A. ∠B＝∠C B. ∠ADC＝∠AEB
C. CD＝BE D. AD＝AE
第1题图
C
2. (创新意识)如图，小周书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识
画出了一个完全一样的三角形，他的依据是( B )
A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS
第2题图
B
3. 如图，点A，D，F，B在同一直线上，AE＝BC，CD∥EF，AE∥BC. 求证：AD＝BF.
证明：∵AE∥BC，
∴∠A＝∠B.
∵CD∥EF，
∴∠AFE＝∠BDC.
在△AEF和△BCD中，
∴△AEF≌△BCD(SAS).
∴AF＝BD.
∴AF－DF＝BD－DF.
∴AD＝BF.
4. 如图，点E为BC上的一点，AC∥BD，AC＝BE，∠ABD＝∠CED. 求证：AB＝ED.
证明：∵AC∥BD，
∴∠ACB＝∠EBD.
∵∠ABD＝∠CED，∠ABD＝∠ABC＋∠EBD，∠CED＝∠EBD＋
∠D，
∴∠ABC＝∠D.
在△ABC和△EDB中，
∴△ABC≌△EDB(AAS).
∴AB＝ED.
5. (中考热点·利用余角证角相等)如图，在△ABC中，点F是高AD与高
BE的交点，AD＝BD.
(1)求证：△ADC≌△BDF；
解：(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠BEC＝90°.
∴∠CAD＋∠C＝90°，
∠CBE＋∠C＝90°.
∴∠CAD＝∠CBE.
在△ADC和△BDF中，
∴△ADC≌△BDF(ASA).
5. (中考热点·利用余角证角相等)如图，在△ABC中，点F是高AD与高
BE的交点，AD＝BD.
(2)若BC＝8，AD＝5， 求AF的长.
解：(2)由(1)，得△ADC≌△BDF，
∴DC＝DF.
∵AD＝5，AD＝BD，
∴BD＝5.
∵BC＝8，
∴DC＝BC－BD＝3.
∴DF＝3.
∴AF＝AD－DF＝5－3＝2.(共14张PPT)
第十四章 全等三角形
第5课时 尺规作角及三角形
1. 如图，OA＝OB＝O'A'＝O'B'，AB＝A'B'.求证：∠O＝∠O'.
证明：在△ABO和△A'B'O'中，
∴△ABO≌△A'B'O'(SSS).
∴∠O＝∠O'.
证明：在△ABO和△A'B'O'中，
∴△ABO≌△A'B'O'(SSS).
∴∠O＝∠O'.
2. 如图，已知∠α，求作∠AOB，使∠AOB＝∠α.
解：如图，∠AOB即为所求.
解：如图，∠AOB即为所求.
知识点1 作一个角等于已知角
【例1】已知：如图，射线OC的顶点O在直线AB上.
求作：∠COD，使∠COD＝∠AOC，且射线OD在∠COB的内部.
(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，∠COD即为所求.
解：如图，∠COD即为所求.
【变式1】如图，射线 OC在∠AOB的内部.
(1)尺规作图：在∠AOB的外部作∠AOD，使∠AOD＝∠BOC；(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若∠AOB＝70°，则∠COD＝ .
解：(1)如图，∠AOD即为所求.
70°
解：(1)如图，∠AOD即为所求.
【例2】(人教教材P40例4)如图，已知直线AB 及直线AB 外一点C. 利用
直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD.
解：如图，直线CD即为所求.
解：如图，直线CD即为所求.
【变式2】如图，点P为∠AOB上的一点，请用尺规作图，过点P作射线
PC，使得PC∥OA，且射线PC在∠AOB内.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，射线PC即为所求.
解：如图，射线PC即为所求.
知识点2 作已知三角形的全等三角形
【例3】(人教教材P40例5改编)如图，已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，∠A＝∠α.
解：如图，△ABC即为所求.
解：如图，△ABC即为所求.
【变式3】(人教教材P41T2)如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个
三角形的两角分别等于∠α，∠β，这两角的夹边等于线段a.
解：如图，△ABC即为所求.
解：如图，△ABC即为所求.
课堂总结：
1. 作一个角等于已知角的方法：两大弧一小弧.先找到要作角的一条射
线，定好位置再作出另一条射线.
2. 作已知三角形的全等三角形，先作出一个角等于已知角，再截取边.
1. 如图，点D是△ABC的边BC 延长线上的一点，以点C为顶点，射线
CD为一边，在BD上方利用尺规作∠DCE，使得∠DCE＝∠B. (要求：
尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，∠DCE即为所求.
解：如图，∠DCE即为所求.
2. (人教教材P41T1)如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过
△ABC的顶点A，并且与边 BC平行.
解：如图，AD即为所求.
解：如图，AD即为所求.
3. 已知∠α，∠β，求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α＋∠β.(尺规作图，
不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，∠AOB即为所求.
4. (人教教材P44T10)如图，已知△ABC. 利用直尺和圆规作△ABD，使
∠BAD＝∠BAC，AD＝AC(点D与点C在AB的不同侧).
解：如图，△ABD即为所求.
解：如图，△ABD即为所求.
