(共14张PPT)
第十五章 轴对称
易错题集训
易错点一 对线段的垂直平分线的判定理解不透彻而出错
1. 如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB，有
下列结论：①AO＝BO；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在
线段AB的垂直平分线上；⑤OA＝OP. 其中正确的有( A )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第1题图
A
易错点二 未分类讨论而出错
类型1 遇腰和底不明时的分类讨论
2. 若(m－5)2＋｜n－11｜＝0，则以 m，n为边长的等腰三角形的周长为
.
3. 在如图所示的网格纸中，有A，B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C有 个.
第3题图
27
8
类型2 遇顶角和底角不明时的分类讨论
4. 定义：我们将等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值叫作这个等
腰三角形的“特征值”，记作a＝ .若a＝ ，则该等腰
三角形的顶角的度数为 °.
36
类型3 遇等腰三角形形状不明时的分类讨论
5. 在△ABC中，AB＝6 cm，周长为16 cm，当BC＝ cm
时，△ABC是等腰三角形.
6. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角是48°，则这个等腰三
角形的顶角度数为 .
4或5或6
42°或138°
7. 如图，∠BOC＝60°，点A是BO延长线上的一点，OA＝12 cm，动
点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以
1 cm/s的速度移动，若点 P，Q同时出发，当△OPQ是等腰三角形时，移
动的时间是 .
4 s或12 s
类型4 其他类型不明时的分类讨论
8. 在等腰三角形中，一腰上的中线将这个三角形的周长分为12和6两部
分，求这个等腰三角形的腰长和底边长.
解：如图所示.
解：如图所示.
①若12是腰长加腰长的一半，
则腰长为12× ＝8，
底边长为6－8× ＝2，
此时三角形的三边长分别为8，8，2，
能组成三角形.
①若12是腰长加腰长的一半，
则腰长为12× ＝8，
底边长为6－8× ＝2，
此时三角形的三边长分别为8，8，2，
能组成三角形.
②若6是腰长加腰长的一半，
则腰长为6× ＝4，
底边长为12－ ×4＝10，
此时，三角形的三边长分别为4，4，10，不能组成三角形.
∴这个等腰三角形的腰长和底边长分别为8，2.
②若6是腰长加腰长的一半，
则腰长为6× ＝4，
底边长为12－ ×4＝10，
此时，三角形的三边长分别为4，4，10，不能组成三角形.
∴这个等腰三角形的腰长和底边长分别为8，2.
易错点三 忽略等腰三角形的特殊情形
9. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有( C )
A. 1条 B. 2条 C. 1条或3条 D. 1条或2条
【易错点拨】等边三角形是等腰三角形的特殊情形，本题易忽略这种特
殊情形而漏解.
C
易错点四 误认为“到线段两端距离相等的点所在的直线是这条线段的
垂直平分线”
10. 如图，点C是△ABE的边BE上的一点，点F在AE上，点D是BC的
中点，且AB＝AC＝CE，对于下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；
③∠1 ＝∠2；④AB＋BD＝DE. 其中正确的结论有( B )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
【易错点拨】点C到线段AE两端的距离相等，易误认为 CF是线段 AE 的
垂直平分线而出错.
易错点五 不能灵活应用含30°角的直角三角形的性质而出错
11.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，点D是BC的中点，连接AD，DE⊥AB，垂足为E，则AE的长为 .
2
第12题图
12. 将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若AB＝12 cm，则阴影
部分的面积是 cm2.
18
易错点六 对三点共线和垂线段最短理解不到位而错解最短路径问题
13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是16，AC的垂直平分
线分别交边AC，AB于E，F两点.若点D为边BC的中点，点M为线段
EF上的一动点，则△CDM周长的最小值为 .
10 (共18张PPT)
第十五章 轴对称
第9课时 等边三角形的性质
等边三角形的性质：
(1)三边 ；
(2)三角 ，且等于 ；
(3)三线合一；
(4)是 图形，有 条对称轴.
相等
相等
60°
轴对称
3
几何语言：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∠A＝∠B＝∠C＝ °.
如图，若△ABC是等边三角形，AB＝2 cm.则下列说法错误的是( D )
60
D
A. BC＝2 cm，AC＝2 cm
B. ∠A＝∠B＝∠C
C. △ABC的周长为6 cm
D. ∠A的平分线不一定平分BC
知识点1 利用等边三角形的性质求边、角
【例1】如图，AD是等边三角形ABC的高，AB＝6 cm.求：(1)∠1的度
数；(2)BD的长.
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°.
又∵AD⊥BC，
∴∠1＝ ∠BAC＝30°.
(2)∵BC＝AB＝6 cm，
∴BD＝ BC＝3 cm.
∴BD的长为3cm.
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°.
又∵AD⊥BC，
∴∠1＝ ∠BAC＝30°.
(2)∵BC＝AB＝6 cm，
∴BD＝ BC＝3 cm.
∴BD的长为3cm.
【变式1】如图，在等边三角形ABC中，DB是边AC上的高，点E是BC
延长线上的一点，且DB＝DE，求∠E和∠1的度数.
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°.
∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°.
∴∠EDB＝180°－ ∠E － ∠DBC＝120°，
∠1＝∠EDB－∠CDB＝120°－ 90°＝30°.
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°.
∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°.
∴∠EDB＝180°－ ∠E － ∠DBC＝120°，
∠1＝∠EDB－∠CDB＝120°－ 90°＝30°.
知识点2 利用等边三角形“三线合一”的性质证明线段相等
【例2】(人教教材P93T12)如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延
长BC至E，使CE＝CD. 求证：DB＝DE.
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°.
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E.
∴∠BCA＝∠CDE＋∠E＝2∠E＝60°.
∴∠E＝30°.
∴∠DBC＝∠E＝30°.
∴DB＝DE.
【变式2】如图，在等边三角形ABC中，CD⊥AB，点E在AC上且
∠AED＝60°.求证：DE＝CE.
解：∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB，
∴∠ACB＝60°.
∴∠ACD＝∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵∠AED＝60°，
∴DE∥BC.
∴∠EDC＝∠BCD＝30°.
∴∠EDC＝∠ACD.
∴DE＝CE.
解：∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB，
∴∠ACB＝60°.
∴∠ACD＝∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵∠AED＝60°，
∴DE∥BC.
∴∠EDC＝∠BCD＝30°.
∴∠EDC＝∠ACD.
∴DE＝CE.
知识点3 利用等边三角形的性质证明三角形全等
【例3】如图，已知点D在线段BC上，∠B＝∠C＝60°.△ADE为等边
三角形.求证：BC＝AB＋CE.
证明：∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，∠ADE＝60°.
又∵∠B＝∠C＝60°，
∠BAD＋∠B＝∠ADE＋∠CDE，
∴∠BAD＝∠CDE.
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE(AAS).
∴BD＝CE，AB＝CD.
又∵BC＝BD＋CD＝CE＋AB，
∴BC＝AB＋CE.
【变式3】(人教教材P85T11改编)如图，△ABD，△AEC都是等边三
角形.
(1)求证：BE＝DC；
解：(1)证明：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°.
∵∠DAC＝∠BAC＋60°，∠BAE＝∠BAC＋60°，
∴∠DAC＝∠BAE.
在△DAC和△BAE中，
∴△DAC≌△BAE(SAS).
∴BE＝DC.
【变式3】(人教教材P85T11改编)如图，△ABD，△AEC都是等边三
角形.
(2)求∠BOD的度数.
(2)由(1)，得DAC≌△BAE，
∴∠ADC＝∠ABE.
∵∠ADC＋∠DAB＝∠ABE＋∠BOD，
∴∠BOD＝∠DAB＝60°.
解：(2)由(1)，得DAC≌△BAE，
∴∠ADC＝∠ABE.
∵∠ADC＋∠DAB＝∠ABE＋∠BOD，
∴∠BOD＝∠DAB＝60°.
1. 如图，过等边三角形ABC的顶点A作射线，若∠1＝15°，则∠2的度
数是( A )
A. 75° B. 65° C. 55° D. 85°
第1题图
A
2. 如图是一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中
∠1＋∠2＝ .
第2题图
240°
3. 如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且AE
＝CD，AD与BE相交于点F.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝CA.
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD(SAS).
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝CA.
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD(SAS).
3. 如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且AE
＝CD，AD与BE相交于点F.
(2)求∠BFD的度数.
解：(2)由(1)，得△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD.
∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAD，
∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°.
解：(2)由(1)，得△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD.
∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAD，
∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°.
4. (中考热点·手拉手模型·类比思想)如图1，在等边三角形ABC中，点D
是边AB上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接 AE.
(1)△DBC和△EAC全等吗？请说说你的理由；
解：(1)△DBC≌△EAC. 理由如下：
∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠B＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD.
∴∠BCD＝∠ACE.
在△DBC和△EAC中，
∴△DBC≌△EAC(SAS).
4. (中考热点·手拉手模型·类比思想)如图1，在等边三角形ABC中，点D
是边AB上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接 AE.
(2)求证：AE∥BC；
解：(2)证明：由(1)，得△DBC≌△EAC，
∴∠B＝∠CAE.
又∵∠ACB＝∠B＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB＝60°.
∴AE∥BC.
解：(2)证明：由(1)，得△DBC≌△EAC，
∴∠B＝∠CAE.
又∵∠ACB＝∠B＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB＝60°.
∴AE∥BC.
4. (中考热点·手拉手模型·类比思想)如图1，在等边三角形ABC中，点D
是边AB上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接 AE.
(3)如图2，当动点D运动到边BA的延长线上时，所作△EDC仍为等边三
角形，请问是否仍有AE∥BC？请说明理由.
解：(3)AE∥BC. 理由如下：
∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，
∠ACB＝∠B＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋
∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
在△DBC和△EAC中，
解：(3)AE∥BC. 理由如下：
∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，
∠ACB＝∠B＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
在△DBC和△EAC中，
∴△DBC≌△EAC(SAS).
∴∠B＝∠CAE＝60°.
∴∠CAE＝∠ACB＝60°.
∴AE∥BC.
∴△DBC≌△EAC(SAS).
∴∠B＝∠CAE＝60°.
∴∠CAE＝∠ACB＝60°.
∴AE∥BC.(共16张PPT)
第十五章 轴对称
第6课时 等腰三角形的性质(1)——等边对等角
图例 定义 性质(1)
等腰 三角形
有 相等的三角形是
等腰三角形.相等的两边叫
作 ，第三边叫作
，两腰的夹角叫作
，腰与底的夹角叫
作 . 等腰三角形的两
个 相等(简
写为“等边对等
角”).
几何语言：∵AB＝
AC，
∴ .
两边
腰
底
边
顶
角
底角
底角
∠B＝∠C
知识点1 等腰三角形的边、角性质
【例1】在△ABC中，∠A＝80°，若△ABC为等腰三角形，则∠B的度
数为( D )
A. 80°或50° B. 80°或20°
C. 50°或20° D. 80°或50°或20°
D
【变式1】(1)若等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角度数为
( C )
A. 20° B. 80°
C. 20°或80° D. 50°或80°
(2)已知等腰三角形的两边长分别是2和6，则它的周长是 .
C
14
知识点2 利用“等边对等角”求角度
【例2】(人教教材P79例1)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，BD＝BC＝AD. 求△ABC各角的度数.
解：设∠A＝x.
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x.
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x.
∴∠DBC＝x.
∵∠DBC＋∠BCD＋∠BDC＝180°，
即x＋2x＋2x＝180°，
解：设∠A＝x.
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x.
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x.
∴∠DBC＝x.
∵∠DBC＋∠BCD＋∠BDC＝180°，
即x＋2x＋2x＝180°，
∴x＝36°.
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°.
【变式2】(人教教材P80T2)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∠BAD＝26°.求∠B 和∠C 的度数.
解：∵在△ABD中，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝ ×(180°－26°)＝77°.
又AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝ ∠ADB＝ ×77°＝38.5°.
解：∵在△ABD中，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝ ×(180°－26°)＝77°.
又AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝ ∠ADB＝ ×77°＝38.5°.
知识点3 利用“等边对等角”证明全等
【例3】(人教教材P84T4)如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，AB
＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE.
证明：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED.
∴∠ADE－∠B＝∠AED－∠C，
即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD＝CE.
【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E，F
分别是边AB，AC上的点，且AE＝AF. 求证：DE＝DF.
证明：∵AB＝AC，
∴∠EBD＝∠FCD.
又∵AE＝AF，
∴AB－AE＝AC－AF，
即EB＝FC.
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD.
在△BDE和△CDF中，
证明：∵AB＝AC，
∴∠EBD＝∠FCD.
又∵AE＝AF，
∴AB－AE＝AC－AF，
即EB＝FC.
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(SAS).
∴DE＝DF.
课堂总结：利用“等边对等角”可证角相等或求角度，通常结合三角形
的内角或外角的性质.
1. 如图1是一把园林剪刀，其简图为图2，其中OA＝OB. 若剪刀张开的
角为40°.则∠A＝ .
图1 图2
70°
2. 如图，∠DAC是△ABC的外角，AB＝AC，AE∥BC. 求证：AE是
∠DAC的平分线.
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵AE∥BC，
∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠EAC.
∴∠EAD＝∠EAC.
∴AE是∠DAC的平分线.
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵AE∥BC，
∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠EAC.
∴∠EAD＝∠EAC.
∴AE是∠DAC的平分线.
3. (人教教材P84T6改编)如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于点
D，交AC于点E.
(1)若∠A＝50°，求∠BCD的度数；
(2)若AE＝7，△BCD的周长为23，则△ABC的周长为 .
37
解：(1)∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝ (180°－∠A)＝65°.
∵DE垂直平分线段AC，
∴AD＝CD.
∴∠ACD＝∠A＝50°.
∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝65°－50°＝15°.
∴∠BCD的度数为15°.
4. (人教教材P80T3)求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一
半，那么这个三角形是直角三角形.
解：如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，CD＝ AB.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵CD是边AB上的中线，
∴AD＝BD＝ AB.
∵CD＝ AB，
∴CD＝AD＝BD.
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD.
∵∠A＋∠ACB＋∠B＝180°，
∴∠A＋∠ACD＋∠BCD＋∠B＝180°.
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，
即∠ACB＝90°.
∴△ABC是直角三角形.
证明：∵CD是边AB上的中线，
∴AD＝BD＝ AB.
∵CD＝ AB，
∴CD＝AD＝BD.
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD.
∵∠A＋∠ACB＋∠B＝180°，
∴∠A＋∠ACD＋∠BCD＋∠B＝180°.
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，
即∠ACB＝90°.
∴△ABC是直角三角形.
5. (中考热点·手拉手模型)如图，△ABC和△ADE均为等腰三角形，点D
在BC边上，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，连接CE.
(1)判断线段BC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；
解：(1)BC＝CE＋CD. 理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD.
∴∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD＝CE.
∵BC＝BD＋CD，
∴BC＝CE＋CD.
∴BD＝CE.
∵BC＝BD＋CD，
∴BC＝CE＋CD.
5. (中考热点·手拉手模型)如图，△ABC和△ADE均为等腰三角形，点D
在BC边上，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，连接CE.
(2)求证：CA平分∠BCE.
(2)证明：由(1)，得△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠ACE.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
∴∠ACE＝∠ACB.
∴CA平分∠BCE.
解：(2)证明：由(1)，得△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠ACE.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
∴∠ACE＝∠ACB.
∴CA平分∠BCE.(共14张PPT)
第十五章 轴对称
第3课时 作轴对称图形的对称轴
作线段的垂直平分线 过一点作直线的垂线
尺规作图
知识点1 尺规作线段的垂直平分线
【例1】尺规作图：已知线段AB，作出它的垂直平分线.(不要求写作
法，保留作图痕迹)
解：如图，CD即为所求.
解：如图，CD即为所求.
【变式1】已知△ABC，请用尺规作出它的中线AD. (不要求写作法，保
留作图痕迹)
解：如图，AD即为所求.
解：如图，AD即为所求.
知识点2 作轴对称图形的对称轴
【例2】如图，△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，你能作出这条直线
吗？(不要求写作法，保留作图痕迹)
解：如图，直线l即为所求.
解：如图，直线l即为所求.
【变式2】利用尺规作图，分别画出下列轴对称图形的一条对称轴.(不要
求写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示.
解：如图所示.
知识点3 尺规作垂线
【例3】如图，用尺规作l的垂线，使它经过点P. (不要求写作法，保留
作图痕迹)
解：如图，PQ即为所求.
解：如图，PQ即为所求.
【变式3】如图，已知△ABC，过点A作AD⊥BC，垂足为D. (不要求
写作法，保留作图痕迹)
解：如图，AD即为所求.
解：如图，AD即为所求.
1. 如图，已知线段AB＝6，用尺规作它的垂直平分线，步骤如下：①分
别以点A，B为圆心，a长为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直
线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线，则a的值可能是( D )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
2. 如图是正六边形ABCDEF，请你分别用两种不同的方法画出它的一条
对称轴.(画图仅限用无刻度的直尺，保留作图痕迹)
解：如图，直线l即为所求.
解：如图，直线l即为所求.
3. 已知公路l的同旁有两个村庄A，B，要在公路旁边建一个公交车上落
站，使上落站到两个村庄的距离相等，请确定上落站的位置.
解：如图，点P就是公交车上落站的位置.
解：如图，点P就是公交车上落站的位置.
4. 如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝7.
(1)尺规作图：作AB的垂直平分线，交BC于点D；(保留作图痕迹，不写
作法)
解：(1)如图，DE即为所求.
解：(1)如图，DE即为所求.
(2)求△ACD的周长.
解：(2)∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD.
∵AC＝5，BC＝7，
∴△ACD的周长为AC＋AD＋CD＝AC＋BD＋CD＝AC＋BC＝5＋7
＝12.
解：(2)∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD.
∵AC＝5，BC＝7，
∴△ACD的周长为AC＋AD＋CD＝AC＋BD＋CD＝AC＋BC＝5＋7
＝12.
5. 如图，已知△ABC，∠A＝90°.
(1)尺规作图：作AD⊥BC，垂足为D；(保留作图痕迹，不写作法)
解：(1)如图，AD即为所求.
(2)求证：∠C＝∠BAD.
解：(1)如图，AD即为所求.
解：(2)证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAD＝90°.
∵AD⊥BC，
∴∠CDA＝90°.
在Rt△CAD中，∠C＋∠CAD＝90°，
∴∠C＝∠BAD.
解：(2)证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAD＝90°.
∵AD⊥BC，
∴∠CDA＝90°.
在Rt△CAD中，∠C＋∠CAD＝90°，
∴∠C＝∠BAD.
6. (应用意识)(人教教材P71T12)如图，电信部门要在S区修建一座电视信
号发射塔.按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条
高速公路m和n的距离也相等.发射塔应修建在什么位置？在图上标出它
的位置.
解：如图所示，点P即为所求.
解：如图所示，点P即为所求.(共14张PPT)
第十五章 轴对称
第7课时 等腰三角形的性质(2)——三线合一
图例 性质
等腰三
角形 等腰三角形底边上的 、 及
重合(简写成“三线合一”).
几何语言 ∵AB＝AC， ∠1＝∠2， ∴ ， . ∵AB＝AC， BD＝CD， ∴ ， . ∵AB＝AC，
AD⊥BC，
∴ ，
.
中线
高
顶角
平分线
AD⊥BC
BD＝CD
∠1＝ ∠2
AD⊥BC
∠1＝∠2
BD＝CD
知识点1 “三线合一”的直接运用
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点.
(1)求证：∠ADC＝90°；
解：(1)证明：∵AB＝AC，
点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°.
解：(1)证明：∵AB＝AC，
点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°.
(2)若∠BAC＝100°，求∠BAD的度数.
解：(2)∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD为∠BAC的平分线，
即∠BAD＝ ∠BAC＝50°.
解：(2)∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD为∠BAC的平分线，
即∠BAD＝ ∠BAC＝50°.
【变式1】如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D.
(1)若AD＝2 cm，求BD的长；
解：(1)∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝2 cm.
解：(1)∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝2 cm.
(2)若∠1＝25°，求∠ACB的度数.
解：(2)∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴CD为∠ACB的平分线，
即∠ACB＝2∠1＝50°.
解：(2)∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴CD为∠ACB的平分线，
即∠ACB＝2∠1＝50°.
知识点2 “三线合一”在计算中的综合运用
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AC
上，AD＝AE，若∠BAD＝50°，求∠CED的度数.
解：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠CAD＝∠BAD＝50°.
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝ ×(180°－50°)＝65°，
∴∠CED＝180°－65°＝115°.
解：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠CAD＝∠BAD＝50°.
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝ ×(180°－50°)＝65°，
∴∠CED＝180°－65°＝115°.
【变式2】如图，AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠C＝40°，DE⊥AB于点E，求∠CAD与∠ADE的度数.
解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC.
∴∠CAD＝90°－∠C＝50°.
∴∠BAD＝∠CAD＝50°.
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°－∠BAD＝40°.
解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC.
∴∠CAD＝90°－∠C＝50°.
∴∠BAD＝∠CAD＝50°.
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°－∠BAD＝40°.
知识点3 “三线合一”在证明中的运用
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在线段
AD上.求证：BE＝CE.
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAE＝∠CAE.
在△ABE和△ACE中，
∴△ABE≌△ACE(SAS).
∴BE＝CE.
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAE＝∠CAE.
在△ABE和△ACE中，
∴△ABE≌△ACE(SAS).
∴BE＝CE.
【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，点E
是边AC上的一点，且∠1＝∠2.求证：BE⊥AC.
证明：∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，
∴AD⊥BC.
∴∠1＋∠C＝90°.
又∵∠2＝∠1，
∴∠2＋∠C＝90°.
∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC.
证明：∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，
∴AD⊥BC.
∴∠1＋∠C＝90°.
又∵∠2＝∠1，
∴∠2＋∠C＝90°.
∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC.
1. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A的坐标为(3，－2)，点
B在y轴负半轴上，若OA＝AB，则点B的坐标为 .
第1题图
(0，－4)
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，下列结论
中不正确的是 .(填序号)
第2题图
①AD⊥BC；②∠B＝∠C；③DB＝DC；④AB＝2BD；⑤△ADB
≌△ADC.
④
3. (中考热点·等腰三角形与全等综合)如图，在△ABC中，AB＝AC，
AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE. 求证：
(1)△AEF≌△CEB；
证明：(1)∵AD⊥BC，
∴∠B＋∠BAD＝90°.
∵CE⊥AB，
∴∠B＋∠BCE＝90°.
∴∠BAD＝∠BCE，
即∠EAF＝∠ECB.
在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB(ASA).
3. (中考热点·等腰三角形与全等综合)如图，在△ABC中，AB＝AC，
AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE. 求证：
(2)AF＝2CD.
证明：(2)由(1)，得△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，BC＝2CD.
∴AF＝2CD.
证明：(2)由(1)，得△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，BC＝2CD.
∴AF＝2CD.
4. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E为边BC上的点，且AE＝
AC，点D为线段EC的中点，连接AD，过点E作EF⊥AE，交BC的平
行线AF于点F.
求证：(1)∠B＝∠CAD；
证明：(1)∵AE＝AC，点D为线段EC的中点，
∴AD⊥BC.
∴∠B＋∠BAD＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAD＝90°.
∴∠B＝∠CAD.
证明：(1)∵AE＝AC，点D为线段EC的中点，
∴AD⊥BC.
∴∠B＋∠BAD＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAD＝90°.
∴∠B＝∠CAD.
4. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E为边BC上的点，且AE＝
AC，点D为线段EC的中点，连接AD，过点E作EF⊥AE，交BC的平
行线AF于点F.
求证：(2)AB＝EF.
证明：(2)∵AF∥BC，
∴∠AEC＝∠EAF.
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACB.
∴∠ACB＝∠EAF.
∵EF⊥AE，
∴∠BAC＝∠FEA＝90°.
在△ABC和△EFA中，
证明：(2)∵AF∥BC，
∴∠AEC＝∠EAF.
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACB.
∴∠ACB＝∠EAF.
∵EF⊥AE，
∴∠BAC＝∠FEA＝90°.
在△ABC和△EFA中，
∴△ABC≌△EFA(ASA).
∴AB＝EF.
∴△ABC≌△EFA(ASA).
∴AB＝EF.(共15张PPT)
第十五章 轴对称
第10课时 等边三角形的判定
图例 判定(1) 判定(2) 判定(3)
等边
三角
形
三边相等的三角
形是等边三角形. 三个角都相等的
三角形是等边三
角形. 有一个角是60°的
等腰三角形是等边
三角形.
几何
语言 ∵
， ∴△ABC是等边
三角形. ∵ .
， ∴△ABC是等边
三角形. ∵
，
∴△ABC是等边三
角形.
AB＝AC＝
BC
∠A＝∠B＝
∠C
∠A＝60°，
△ABC是等腰三角
形
知识点1 等边三角形的证明(证三角相等)
【例1】(人教教材P82例4)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别
交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴∠A＝∠ADE＝∠AED.
∴△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴∠A＝∠ADE＝∠AED.
∴△ADE是等边三角形.
【变式1】如图，AC与BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB∥CD. 求证：△OCD是等边三角形.
证明：∵△OAB是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°.
又∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C＝60°，∠B＝∠D＝60°.
∴∠DOC＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠D＝∠C＝∠DOC.
∴△OCD是等边三角形.
证明：∵△OAB是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°.
又∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C＝60°，∠B＝∠D＝60°.
∴∠DOC＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠D＝∠C＝∠DOC.
∴△OCD是等边三角形.
知识点2 等边三角形的证明(证三边相等)
【例2】(人教教材P93T11)如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取
点D，E，F，使AD＝BE＝CF. 求证：△DEF是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，AB＝BC＝AC.
∵AD＝BE＝CF，
∴AF＝BD.
在△ADF和△BED中，
∴△ADF≌△BED(SAS).
∴DF＝DE.
同理可得DE＝EF，
∴DE＝DF＝EF.
∴△DEF是等边三角形.
同理可得DE＝EF，
∴DE＝DF＝EF.
∴△DEF是等边三角形.
【变式2】(人教教材P86T13改编)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两
点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ.
(1)求证：△APQ是等边三角形；
解：(1)证明：∵PQ＝AP＝AQ，
∴△APQ是等边三角形.
【变式2】(人教教材P86T13改编)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两
点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ.
(2)求∠BAC的度数.
解：(2)∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，
∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ.
又∵∠BAP＋∠ABP＝∠APQ，
∠C＋∠CAQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠CAQ＝30°.
∴∠BAC＝120°.
∴∠BAC的度数是120°.
解：(2)∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，
∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ.
又∵∠BAP＋∠ABP＝∠APQ，
∠C＋∠CAQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠CAQ＝30°.
∴∠BAC＝120°.
∴∠BAC的度数是120°.
知识点3 等边三角形的证明(证两边相等＋一个60°内角)
【例3】(多维原创)如图，在△ABC中，点E，D分别在AB， BC上，AD与CE相交于点F，AB＝AC，AE＝BD，AD＝CE.
(1)求证：△ACE≌△BAD；
证明：(1)在△ACE和△BAD中，
∴△ACE≌△BAD(SSS).
证明：(1)在△ACE和△BAD中，
∴△ACE≌△BAD(SSS).
【例3】(多维原创)如图，在△ABC中，点E，D分别在AB， BC上，AD与CE相交于点F，AB＝AC，AE＝BD，AD＝CE.
(2)若∠DFC＝60°，求证：△ABC是等边三角形.
证明：(2)由(1)，得△ACE≌△BAD，
∴∠ECA＝∠DAB.
∵∠DFC＝∠FAC＋∠ECA＝60°，
∴∠DAB＋∠FAC＝∠BAC＝60°.
又∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形.
证明：(2)由(1)，得△ACE≌△BAD，
∴∠ECA＝∠DAB.
∵∠DFC＝∠FAC＋∠ECA＝60°，
∴∠DAB＋∠FAC＝∠BAC＝60°.
又∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形.
【变式3】如图，在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论.
解：△APQ是等边三角形.
解：△APQ是等边三角形.
证明如下：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC.
在△ABP和△ACQ中，
∴△ABP≌△ACQ(SAS).
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.
∴△APQ是等边三角形.
1. 如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)试判定△ODE的形状，并说明理由；
解：(1)△ODE是等边三角形.
理由如下：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.
∴∠DOE＝60°.
∴ODE＝∠OED＝∠DOE.
∴△ODE是等边三角形.
解：(1)△ODE是等边三角形.
理由如下：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.
∴∠DOE＝60°.
∴ODE＝∠OED＝∠DOE.
∴△ODE是等边三角形.
1. 如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(2)若BC＝10，求△ODE 的周长.
解：(2)∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠DBO.
∵OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB.
∴∠DOB＝∠DBO.
∴BD＝OD.
同理，可证CE＝OE.
∴△ODE的周长为OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋CE＝BC＝10.
解：(2)∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠DBO.
∵OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB.
∴∠DOB＝∠DBO.
∴BD＝OD.
同理，可证CE＝OE.
∴△ODE的周长为OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋CE＝BC＝10.
2. (中考新考法·探究与应用)如图，△ABC是等边三角形，且AB＝2，点
D在线段BC上，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，
∠DAE＝∠BAC，连接CE.
(1)求证：∠BCE＋∠BAC＝180°；
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°.
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴∠ACE＝∠ABD＝60°.
∴∠BCE＝∠BCA＋∠ACE＝120°.
∴∠BCE＋∠BAC＝180°.
∴∠ACE＝∠ABD＝60°.
∴∠BCE＝∠BCA＋∠ACE＝120°.
∴∠BCE＋∠BAC＝180°.
∴△ABD≌△ACE(SAS).
2. (中考新考法·探究与应用)如图，△ABC是等边三角形，且AB＝2，点
D在线段BC上，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，
∠DAE＝∠BAC，连接CE.
(2)当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长.
解：(2)由(1)，得△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE.
∴四边形ADCE的周长为AD＋DC＋CE＋AE＝AD＋DC＋BD＋AE
＝BC＋2AD.
∴当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，
即AD⊥BC时，四边形ADCE的周长最小.
∵AB＝AC＝2，AD⊥BC，
∴BD＝ CB＝1.(共16张PPT)
第十五章 轴对称
第4课时 画轴对称图形
1. 如图，画出点A关于直线l的对称点A'.
作图步骤：
(1)过 作直线l的垂线，垂足为O；
(2)在垂线上截取OA'＝ .
则点A'就是点A关于直线l的对称点.
点A
OA
解：如图所示.
解：如图所示.
2.如图，把下图补成关于直线l对称的图形.
知识点1 画轴对称图形(无网格)
【例1】把如图所示的图形补成以直线MN为对称轴的轴对称图形.
解：如图所示.
解：如图所示.
【变式1】如图，已知△ABC和直线l，求作△A1B1C1，使它与△ABC关
于直线l对称.
解：如图，△A1B1C1即为所求.
解：如图，△A1B1C1即为所求.
知识点2 画轴对称图形(有网格)
【例2】如图，在网络纸上，分别画出所给图形关于直线l对称的图形.
解：如图所示.
解：如图所示.
【变式2】如图，△ABC在边长为1的正方形网格中.
(1)画出△ABC关于直线l对称的△DEF；(其中点D，E，F分别是点
A，B，C的对应点)
(2)△DEF的面积为 .
解：(1)如图，△DEF即为所求.
解：(1)如图，△DEF即为所求.
课堂总结：
1. 画轴对称图形就是先要把顶点的对称点画出来，再顺次连接对称
点即可.
2. 画对称点的步骤：①画垂线；②反方向截取同样的长度.
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下
列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是( D )
A B C D
D
2. 如图，已知△ABC和直线l，请画出以直线l为对称轴的轴对称图形.
解：如图，△A1B1C1即为所求.
第2题图
解：如图，△A1B1C1即为所求.
第2题图
3. 如图，正方形网格上有一个△ABC.
(1)画出格点△ABC 关于直线DE对称的△A1B1C1；
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.
第3题图
(2)△ABC的面积为 .
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.
第3题图
3.5
4. 如图，在等边三角形网格中，已有两个小三角形被涂黑.
(1)将图1中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称
图形(画出两种不同的)；
解：(1)(答案不唯一)如图1所示.
(2)将图2中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称
图形(画出两种不同的).
解：(2)(答案不唯一)如图2所示.
解：(1)(答案不唯一)如图1所示.
解：(2)(答案不唯一)如图2所示.
5. (多维原创)如图，已知△ABC.
(1)尺规作点C关于AB的对称点D；(保留作图痕迹，不写作法)
解：(1)如图，点D即为所求.
解：(1)如图，点D即为所求.
5. (多维原创)如图，已知△ABC.
(2)连接AD，BD. 求证：△ABC≌△ABD.
解：(2)证明：由(1)作图，得∠BTD＝∠BTC，TD＝TC.
又∵BT＝BT，
∴△BTD≌△BTC.
∴BD＝BC，∠TBD＝∠TBC.
在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD(SAS).
6. 如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.请分别在
四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的
三角形.
解：如图所示.
解：如图所示.
7. (中考新考法·设计图案)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形
的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B都在格点上，按
下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上.
(1)在图1中画一个以线段AB为边的轴对称图形△ABC，使其面积为2；
解：(1)(答案不唯一)如图1，△ABC即为所求.
解：(1)(答案不唯一)如图1，△ABC即为所求.
(2)在图2中画一个以线段AB为边的轴对称四边形ABDE ，使其面积为6.
解：(2)(答案不唯一)如图2，四边形ABDE即为所求.
解：(2)(答案不唯一)如图2，四边形ABDE即为所求.(共17张PPT)
第十五章 轴对称
第2课时 线段的垂直平分线的性质和判定
图例 定义 性质 判定
经过线段
并且
这条线
段的直线，叫
作这条线段的
垂直平分线. 线段垂直平分线上
的点与这条线段两
个端点的距离
. ∵CD是AB的垂直
平分线， ∴ ，
. 与线段两个端点距离相
等的点在这条线段的
上.
∵PA＝PB，
∴
.
中
点
垂
直于
相
等
OA＝
OB
PA＝
PB
垂直平分线上
CD⊥AB，OA＝
OB
知识点1 线段垂直平分线的性质
【例1】如图，CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，则：
(1)AD＝ ，∠ADC＝90°，AC＝ ；
(2)若AD＝2，AC＝3，则△ABC的周长为 .
BD
BC
10
【变式1】如图，PC⊥AB于点C，CA＝CB，则：
(1)PC是线段AB的 线；
(2)若PC＝3，AB＝8，PA＝5，则AC＝ ，PB＝ .
垂直平分
4
5
【例2】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝3，BC＝7，求△ABD的周长.
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC.
∵AB＝3，BC＝7，
∴△ABD的周长为AB＋BD＋
DA＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝3＋7＝10.
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC.
∵AB＝3，BC＝7，
∴△ABD的周长为AB＋BD＋
DA＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝3＋7＝10.
【变式2】(人教教材P70T4)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分
线，AE＝3，△ABD的周长为13.求△ABC的周长.
解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，
∴AC＝2AE＝6，DA＝DC.
∵△ABD的周长为13，
∴AB＋BD＋AD＝13.
∴AB＋BD＋DC＝13.
∴AB＋BC＝13.
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝13＋6＝19.
解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，
∴AC＝2AE＝6，DA＝DC.
∵△ABD的周长为13，
∴AB＋BD＋AD＝13.
∴AB＋BD＋DC＝13.
∴AB＋BC＝13.
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝13＋6＝19.
知识点2 线段垂直平分线的判定
【例3】如图，AB＝AC，MB＝MC. 直线AM是线段BC的垂直平分线
吗？说明理由.
解：直线AM是线段BC的垂直平分线.
理由如下：
∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上.
∵BM＝CM，
∴点M在BC的垂直平分线上.
∴直线AM是BC的垂直平分线.
解：直线AM是线段BC的垂直平分线.
理由如下：
∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上.
∵BM＝CM，
∴点M在BC的垂直平分线上.
∴直线AM是BC的垂直平分线.
【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC. 求证：AD
垂直平分BC.
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠ADB＝∠ADC，BD＝CD.
又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴AD⊥BC.
∴AD垂直平分BC.
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠ADB＝∠ADC，BD＝CD.
又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴AD⊥BC.
∴AD垂直平分BC.
知识点3 互逆命题与互逆定理
互逆命题 题设和结论正好 的两个命题叫作互逆命题.如果把
其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的 .
互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一
个定理，这两个定理叫作互逆定理.
相反
逆命题
【例4】(人教教材P67T3改编)写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命
题是否成立.
(1)两直线平行，同位角相等；
解：(1)逆命题为：同位角相等，两直线平行.此逆命题成立.
(2)对顶角相等.
解：(2)逆命题为：相等的角是对顶角.此逆命题不成立.
解：(1)逆命题为：同位角相等，两直线平行.此逆命题成立.
解：(2)逆命题为：相等的角是对顶角.此逆命题不成立.
【变式4】下列命题的逆命题成立的是( C )
A. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
B. 全等三角形的对应角相等
C. 全等三角形的对应边相等
D. 邻补角互补
C
课堂总结：如图是垂直平分线的基本模型，我们把它叫作“伞形图”，
看到垂直平分线，通常要找这个模型，就可以得到等腰三角形.
1. 如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确的是
( D )
A. AO＝BO B. PO⊥AB
C. PO是AB的垂直平分线 D. 点P在AB的垂直平分线上
D
2. 如图，直线AD是线段BC的垂直平分线.求证：∠ADB＝∠ADC.
解：如图，设直线AD与BC交于点E.
∵AD是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠AEB＝∠AEC＝90°.
在Rt△DBE和Rt△DCE中，
∴Rt△DBE≌Rt△DCE(HL).
∴∠BDE＝∠CDE.
∴∠ADB＝∠ADC.
解：如图，设直线AD与BC交于点E.
∵AD是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠AEB＝∠AEC＝90°.
在Rt△DBE和Rt△DCE中，
∴Rt△DBE≌Rt△DCE(HL).
∴∠BDE＝∠CDE.
∴∠ADB＝∠ADC.
3. (人教教材P93T10)如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是
△ABD和△ACD的高.求证：AD垂直平分EF.
证明：如图，设AD与EF的交点为K.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
∴AE＝AF.
又∵AK＝AK，
∴△AEK≌△AFK.
∴∠AKE＝∠AKF＝90°，EK＝KF.
∴AD垂直平分EF.
又∵AK＝AK，
∴△AEK≌△AFK.
∴∠AKE＝∠AKF＝90°，EK＝KF.
∴AD垂直平分EF.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAK＝∠FAK.
4. (人教教材P71T13)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交
于点P.
(1)求证：PA＝PB＝PC；
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
解：(1)证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC.
∴PA＝PB＝PC.
解：(1)证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC.
∴PA＝PB＝PC.
解：(2)∵PA＝PC，
∴点P在边AC的垂直平分线上.
还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点；②这个点与三
个顶点的距离相等.
(2)∵PA＝PC，
∴点P在边AC的垂直平分线上.
还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点；②这个点与三
个顶点的距离相等.(共16张PPT)
第十五章 轴对称
第1课时 轴对称及其性质
轴对称图形 轴对称
引例 观察下列图形，你发现它们
有什么共同点？
沿一条直线折叠，直线两旁
的部分能够互相重合. 下面的每对图形有什么共同特
点？
把图中的每一组图形沿着虚线折
叠，左边的图形能与右边的图形
重合.
沿一条直线折叠，直线两旁
的部分能够互相重合.
把图中的每一组图形沿着虚线折
叠，左边的图形能与右边的图形
重合.
轴对称图形 轴对称
概念 如果一个平面图形沿一条直
线折叠，直线两旁的部分能
够 ，这个图形
就叫作轴对称图形，这条直
线就是它的 . 把一个图形沿着某一条直线折
叠，如果它能够与另一个图
形 ，那么就说这两个图
形关于这条直线成 .
这条直线叫作 ，折叠
后重合的点是对应点，叫作
.
相同点 对折重合 对折重合
不同点 个图形 个图形
互相重合
对称轴
重合
轴对称
对称轴
对
称点
一
两
知识点1 轴对称图形及轴对称的识别
【例1】下列不是轴对称图形的是( C )
A B C D
C
【变式1】下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为( A )
A B C D
A
【例2】如图所示的4组图形中，左、右两个图形成轴称的是( C )
A B
C D
C
【变式2】下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有( B )
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
B
知识点2 轴对称的性质
轴对称的性质：
(1)成轴对称的两个图形全等；
(2)连接对称点的线段被对称轴垂直平分.
【例3】如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，点A的对称点是点E，则
下列说法错误的是( D )
A. CF所在的直线是它的对称轴
B. 若∠B＋∠D＝160°，则∠B＝80°
C. AD与BE的交点在CF上
D. BC∥EF
D
课堂总结：轴对称图形和轴对称的本质是对折重合，若把成轴对称的两
个图形看成一个整体，则它就是轴对称图形.
1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看
作轴对称图形的是( D )
D
2. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有 条.
第2题图
5
(3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ .
第3题图
直线MN垂直平分
BF
3. 如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B＝
130°，∠A＋∠D＝150°，AB＝3 cm.
(1)EF＝ cm；
(2)∠G＝ °；
3
80
4. (生活情境)如图是一个经过改造的含正方形网格的台球桌面示意图.如
果一个球按图中所示方向被击出(球可以经过台球桌边缘多次反弹)，那么
球最后将落入的球袋是( D )
A. 1号袋 B. 2号袋 C. 3号袋 D. 4号袋
第4题图
D
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，△ABD与△A'BD关于直线BD对称，点A的对称点是点A'，若∠A'BC＝14°，则∠A的度数为 .
第5题图
52°
6. (空间观念)如图，将一张正方形纸片对折两次，并剪去一个小正方
形，打开后的图形是( A )
A B C D
A
7. (中考热点·整体思想)如图，点P在∠AOB内，M，N分别是点P关于
AO，BO的对称点，MN分别交AO，BO于点E，F. 已知△PEF的周
长为8 cm.
(1)求MN的长；
(2)若∠AOB＝60°，连接OM，ON，则∠MON＝ .
120°
解：(1)∵M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，
∴ME＝PE，NF＝PF.
∴MN＝ME＋EF＋FN＝PE＋EF＋PF＝△PEF的周长.
∵△PEF的周长为8 cm，
∴MN＝8 cm.(共13张PPT)
第十五章 轴对称
第5课时 用坐标表示轴对称
【探究】在如图所示的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐
标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中.
已知点 A(2，－3) B(－1，2) C(－5，－
5) D(，1) E(4，0)
关于x轴 的对称
点 A' B' C'
D'
E'
关于y轴 的对称
点 A''
B'' C''
D''
E''
观察每对对称点的坐标，它们有怎样的规律？
【结论】对称点的坐标的变化规律：
(2，
3)
(－1，
－2)
(－5，
5)
(，
-1)
(4，
0)
(－2，
－3)
(1，
2)
(5，
－5)
(- ，
1)
(－ 4，
0)
(1)点(x，y)关于x轴对称的点坐标为 ；
(2)点(x，y)关于y轴对称的点坐标为 .
(x，－y)
(－x，y)
知识点1 关于x轴、y轴对称的点的坐标特征
【例1】点P(－2，6)关于x轴对称点的坐标是( B )
A. (2，6) B. (－2，－6)
C. (2，－6) D. (6，－2)
B
【变式1】 若点A(－3，2)关于y轴对称的点是点B，则点B的坐标是
( A )
A. (3，2) B. (－3，2)
C. (3，－2) D. (－2，3)
A
知识点2 轴对称坐标变换的简单计算
【例2】已知点P1(a－1，5)和P2(2，b－1)关于x轴对称，则a＝ ，
b＝ .
3
－4
【变式2】已知点A(m＋2，3)与点B(－4，n)关于y轴对称，则m＋n＝
.
5
知识点3 利用轴对称变换画出轴对称图形
【例3】如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－3，2)，B(－4，－3)，C(－1，－1).
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
解：(1)如图，△A1B1C1
即为所求.
点B1(4，－3).
解：(1)如图，△A1B1C1
即为所求.
点B1(4，－3).
(2)求△ABC的面积；
(3)在第一象限的格点(网格线的交点)上找一点D( ， )， 使得
S△ACB＝S△ACD.
解：(2)S△ABC＝3×5－ ×1×5－ ×2×3－ ×2×3＝6.5.
2
1
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，A(2，4)，B(3，1)，C(－2，－1).
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1的坐
标；
解：(1)如图，△A1B1C1
即为所求，A1(2，－4).
解：(1)如图，△A1B1C1
即为所求，A1(2，－4).
(2)求△ABC的面积.
解：(2)S△ABC＝5×5－ ×4×5－ ×1×3－ ×2×5＝ .
解：(2)S△ABC＝5×5－ ×4
×5－ ×1×3－ ×2×5＝ .
1. 点P(－3，5)关于y轴对称的点的坐标是( A )
A. (3，5) B. (3，－5)
C. (5，－3) D. (－3，－5)
2. 已知图形A全部在x轴的上方，若将图形A上所有点的纵坐标都乘－1，横坐标不变得到图形 B，则( A )
A. 两个图形关于x轴对称
B. 两个图形关于y轴对称
C. 两个图形重合
D. 两个图形不关于任何一条直线对称
A
A
3. (生活情境题)灯笼是一种传统工艺品，如图，将一个轴对称灯笼放在
平面直角坐标系中，图案关于y轴对称，若点A的坐标为(2m，n)，其对
称点点B的坐标为(m＋3，3)，则m＝ ，n＝ .
第3题图
－1
3
4. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线y＝1对称，已知点A的
坐标是(4，4)，则点B的坐标是( C )
A. (4，－4) B. (－4，2)
C. (4，－2) D. (－2，4)
第4题图
C
5. 已知点A(a－1，5)和点B(2，b－1)关于x轴对称，则(a＋b)2 024
＝ .
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，∠A＝90°， OA＝2，OB平分
∠AOx，点B(a－1，a－2)关于x轴的对称点是( C )
1
C
第6题图
A. (－2，1) B. (3，－2)
C. (2，－1) D. (3，－1)
7. 已知P(2m＋1，m－3)关于y轴对称的点在第四象限，求m的取值范
围.
解：∵点P(2m＋1，m－3)关于y轴对称的点在第四象限，
∴点P(2m＋1，m－3)在第三象限.
∴
解得m＜－ .
∴m的取值范围是m＜－ .
解：∵点P(2m＋1，m－3)关于y轴对称的点在第四象限，
∴点P(2m＋1，m－3)在第三象限.
∴
解得m＜－ .
∴m的取值范围是m＜－ .
8. (中考热点·轴对称的应用)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图
所示，A，B，C三点均在格点上.
(1)在平面直角坐标系内画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，并写出点
A'， B'， C'的坐标；
(2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为 ；
解：(1)如图，△A'B'C'即为所求，A'(1，－1)，B'(4，－1)，C'(5，－3).
(－5，3)
(3)如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是
.
(0，3)或(5，－1)
或(0，－1) (共33张PPT)
第十五章 轴对称
章末复习
知识要点
知识点1 轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这
个图形就叫作轴对称图形.
对点训练
1. 下列图形，对称轴最多的是( C )
A B C D
C
知识要点
知识点2 关于坐标轴对称的点的坐标
(1)关于x轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点：纵坐标相同，横坐标互为相反数.
对点训练
2. 点P(－2，－1)关于x轴对称的点的坐标为 ，关于y轴对
称的点的坐标是 .
(－2，1)
(2，－1)
知识要点
知识点3 垂直平分线的性质与判定
(1)垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距
离相等；
(2)垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直
平分线上.
对点训练
3. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分
线交BC于点F. 若∠B＋∠C＝70°，则∠EAF＝ .
40°
知识要点
知识点4 画轴对称图形
轴对称图形的基本作法：
①先确定图形的关键点(如顶点)；
②利用轴对称的性质作出关键点的对称点；
③按原图形中的方式顺次连接对称点.
对点训练
4. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，2)，B(3，1)，C(－2，－1).
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.
(2)写出点C1的坐标.
解：(2)C1(2，－1).
解：(2)C1(2，－1).
知识要点
知识点5 尺规作图
垂直平分线的尺规作图步骤：
①分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧；
②两弧相交于C，D两点，作直线CD；
③直线CD为线段AB的垂直平分线.
对点训练
5. 如图，已知△ABC.
(1)作边BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E；(用尺规作图，保
留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若AB＝2，AC＝3，连接BD，则△ABD的周长
为 .
解：(1)如图，DE即为所求.
5
解：(1)如图，DE即为所求.
知识要点
知识点6 等腰三角形的性质和判定
(1)等腰三角形的性质：①等边对等角；②三线合一.
(2)等腰三角形的判定：①有两边相等(定义)；②等角对等边.
对点训练
6. 若一个三角形有两个角分别为120°，30°，则这个三角形是( A )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 不等边三角形 D. 直角三角形
A
知识要点
知识点7 等边三角形的性质和判定
(1)等边三角形的性质：①三边相等；②三个内角都相等，并且每一个角
都等于60°；③三线合一.
(2)等边三角形的判定：①三边相等的三角形是等边三角形；②三个
角相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等
边三角形.
对点训练
7. 如图，已知AD是等边三角形ABC的高.
(1)∠1＝ °；
(2)若BD＝2，则AC＝ ；
(3)在△ABC中，如果AB＝AC，△ABC中有一个内角为60°，那么
△ABC的形状是 三角形.
30
4
等边
知识要点
知识点8 含 30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜
边的一半.
对点训练
8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，若BD
＝1，则AD＝ .
3
知识要点
知识点9 最短路径问题
将军饮马：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，由两
点之间线段最短可知，点P即为所求.
对点训练
9. 如图，要在燃气管l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气，泵站
修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？说明理由.
解：如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，连接
AP，则泵站修在管道的点P处，可使所用的输气管线AP＋BP最短.理
由如下：
∵直线l垂直平分BB'，
∴AP＝AP'，
∴AP＋BP＝AP'＋BP＝A'B最短.
解：如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，连接
AP，则泵站修在管道的点P处，可使所用的输气管线AP＋BP最短.理
由如下：
∵直线l垂直平分BB'，
∴AP＝AP'，
∴AP＋BP＝AP'＋BP＝A'B最短.
核心练习
1. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，建立平面直角坐标
系，已知点O为坐标原点，点C的坐标为(3，1).
(1)画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
(2)点B1的坐标为 ，△A1B1C1 的面积为 ；
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.
(3)点P在x轴上，当PA＋PB的值最小时，
在图中作出点P的位置.
解：(3)如图，点P即为所求.
(－3，－2)
5
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.
解：(3)如图，点P即为所求.
2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，D是AC边上的点，BD⊥BC，点D在AB的垂直平分线上，BD＝2，求AC的长.
解：∵∠ABC＝120°，BD⊥BC，
∴∠DBC＝90°.
∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝120°－90°＝30°.
∵点D在AB的垂直平分线上，DB＝2，
∴AD＝BD＝2.
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝30°＋30°＝60°.
∴∠C＝90°－∠BDC＝90°－60°＝30°.
∴CD＝2BD＝4.
∴AC＝AD＋CD＝2＋4＝6.
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC.
(1)作AB的垂直平分线MN交AC于点D；(尺规作图，保留作图痕迹，不
写作法)
解：(1)如图，DE即为所求.
解：(1)如图，DE即为所求.
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC.
(2)连接BD. 若∠A＝36°，求证：△BCD是等腰三角形.
解：(2)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝ (180°－∠A)＝72°.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∴∠ABD＝∠A＝36°.
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°＝∠C.
∴BD＝BC.
∴△BCD是等腰三角形.
解：(2)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝ (180°－∠A)＝72°.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∴∠ABD＝∠A＝36°.
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°＝∠C.
∴BD＝BC.
∴△BCD是等腰三角形.
4. 如图，在等边三角形ABC中，点D在BC的延长线上，CE平分∠ACD，且CE＝BD. 求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠ACD＝120°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠ACD＝120°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.
∴∠BAC＝∠DAE.
又∵∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝60°.
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形.
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.
∴∠BAC＝∠DAE.
又∵∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝60°.
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形.
5. 如图，在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D.
(1)如图1，若AE⊥BC于点E，∠C＝75°，求∠DAE的度数；
解：(1)∵∠C＝3∠B，∠C＝75°，
∴∠B＝25°.
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝40°.
∴∠ADE＝∠BAD＋∠B＝65°.
∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°.
∴∠DAE＝90°－∠ADE＝90°－65°＝25°.
解：(1)∵∠C＝3∠B，∠C＝75°，
∴∠B＝25°.
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝40°.
∴∠ADE＝∠BAD＋∠B＝65°.
∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°.
∴∠DAE＝90°－∠ADE＝90°－65°＝25°.
5. 如图，在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D.
(2)如图2，若DF⊥AD交AB于点F，求证：BF＝DF.
解：(2)证明：设∠B＝α，则∠C＝3α.
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－4α.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝90°－2α.
∵DF⊥AD，
∴∠ADF＝90°.
∴∠AFD＝90°－∠BAD＝2α.
∵∠AFD＝∠B＋∠BDF，
∴∠BDF＝α＝∠B.
∴BF＝DF.
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段
BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交
线段AC于点E.
(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点
D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 ；(填“大”或“小”)
25
115
小
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段
BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交
线段AC于点E.
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
解：(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE.
理由如下：∵∠B＝∠C＝40°，
∴∠DEC＋∠EDC＝140°.
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB＋∠EDC＝140°.
∴∠ADB＝∠DEC.
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE.
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段
BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交
线段AC于点E.
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，
请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由.
①当AD＝ED时，∠DAE＝∠DEA.
∵∠ADE＝40°，
∴∠AED＝ ＝70°.
∴∠EDC＝∠AED－∠C＝30°.
∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝70°.
∴∠BDA＝180°－∠ADC＝110°；
解：(3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形.
理由如下：
∵∠C＝∠ADE＝40°，
∠AED＝∠C＋∠EDC，
∴∠AED＞∠ADE.
∴当△ADE是等腰三角形时，只存在AD＝ED或AE＝DE两种情况.
②当AE＝DE时，∠EAD＝∠EDA＝40°，
∴∠AED＝180°－∠EAD－∠EDA＝100°.
∴∠EDC＝∠AED－∠C＝60°.
∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝100°.
∴∠ADB＝180°－∠ADC＝80°.
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三
角形.
7. 如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O，点
M，N分别是线段AD，BE的中点.
(1)求证：AD＝BE；
解：(1)证明：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD.
∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD＝BE.
7. 如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O，点
M，N分别是线段AD，BE的中点.
(2)求∠DOE的度数；
解：(2)由(1)，得△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC.
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CED＝∠CDE＝60°.
∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED
＝∠ADC＋60°＋∠BED
＝∠BEC＋∠BED＋60°
＝∠CED＋60°
＝120°.
∴∠DOE＝180°－(∠ADE＋∠BED)＝60°.
∴∠DOE的度数是60°.
＝120°.
∴∠DOE＝180°－(∠ADE＋∠BED)＝60°.
∴∠DOE的度数是60°.
＝60°＋60°
7. 如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O，点
M，N分别是线段AD，BE的中点.
(3)求证：△MNC是等边三角形.
解：(3)证明：由(1)，得△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC.
又∵点M，N分别是线段AD，BE的中点，
∴AM＝ AD，BN＝ BE.
∴AM＝BN.
在△ACM和△BCN中，
∴△ACM≌△BCN(SAS).
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN.
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM＋∠MCB＝60°.
∴∠BCN＋∠MCB＝60°.
∴∠MCN＝60°.
∴△MNC是等边三角形.
∴△ACM≌△BCN(SAS).
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN.
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM＋∠MCB＝60°.
∴∠BCN＋∠MCB＝60°.
∴∠MCN＝60°.
∴△MNC是等边三角形.(共15张PPT)
第十五章 轴对称
微专题七 教材经典母题及变式
核心母题1 等腰三角形的实际应用
【例1】(人教教材P85T8)某中学的同学们设计了下面的方法检测教室的
房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一
端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺
的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的.他们的方法对吗？为什么？
解：他们的方法是对的.理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC.
∵点O是AB的中点，
∴AO＝BO.
∴OC⊥AB.
解：他们的方法是对的.理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC.
∵点O是AB的中点，
∴AO＝BO.
∴OC⊥AB.
【变式1】(人教教材P85T9)上午8时，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处.从A，B望灯塔C，测得∠NAC
＝42°，∠NBC＝84°.求从海岛B到灯塔C的距离.
解：∵∠NBC＝84°，∠NAC＝42°，
∴∠C＝84°－42°＝42°.
∴∠C＝∠NAC.
∴BC＝AB.
∵上午8时，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速度向正北航行，10
时到达海岛B处，
∴BC＝AB＝15×2＝30 (n mile).
答：从海岛B到灯塔C的距离为30 n mile.
解：∵∠NBC＝84°，∠NAC＝42°，
∴∠C＝84°－42°＝42°.
∴∠C＝∠NAC.
∴BC＝AB.
∵上午8时，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h
的速度向正北航行，10时到达海岛B处，
∴BC＝AB＝15×2＝30 (n mile).
答：从海岛B到灯塔C的距离为30 n mile.
核心母题2 垂直平分线的性质与判定
【例2】(人教教材P91T3)如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥
AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E. 求证：AC＝AB.
证明：如图，连接BC.
∵点D是AB的中点，且CD⊥AB于点D，
∴CD是线段AB的垂直平分线.
∴AC＝BC.
同理可得AB＝BC.
∴AC＝AB.
证明：如图，连接BC.
∵点D是AB的中点，且CD⊥AB于点D，
∴CD是线段AB的垂直平分线.
∴AC＝BC.
同理可得AB＝BC.
∴AC＝AB.
【变式2】如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB.
(1)作点A关于BD 的对称点C；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图
痕迹)
解：(1)如图，点C即为所求.
解：(1)如图，点C即为所求.
【变式2】如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB.
(2)在(1)所作的图中，连接BC，DC，连接AC 交 BD 于点 O.
①求证：∠ABC＝∠ADC；
解：(2)①证明：如图，
∵∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD.
∵点A，C关于BD对称，
∴BA＝BC，DA＝DC.
∴AB＝BC＝CD＝AD.
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠ABC＝∠ADC.
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠ABC＝∠ADC.
【变式2】如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB.
(2)在(1)所作的图中，连接BC，DC，连接AC 交 BD 于点 O.
②若∠BAD＝30°，AB＝4，求△ABD的面积.
②如图，过点B作BF⊥AD，垂足为F.
∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAD＝30°，
∴BF＝ AB＝2.
∴S△ABD＝ AD·BF＝ ×4×2＝4.
解： ②如图，过点B作BF⊥AD，垂足为F.
∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAD＝30°，
∴BF＝ AB＝2.
∴S△ABD＝ AD·BF＝ ×4×2＝4.
核心母题3 等边三角形的性质与判定
【例3】(人教教材P93T13)如图，△ABC是等腰三角形，AC＝BC，
△BCD和△ACE是等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF并延
长，交AB于点G. 求证：G为AB的中点.
证明：∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA.
∵△ACE和△BCD均为等边三角形，
∴∠CAE＝∠CBD＝60°.
∴∠FAG＝∠FBG.
∴AF＝BF.
在△CFA和△CFB中，
∴△CFA≌△CFB(SSS).
∴∠ACF＝∠BCF.
∴AG＝BG.
∴G为AB的中点.
∴△CFA≌△CFB(SSS).
∴∠ACF＝∠BCF.
∴AG＝BG.
∴G为AB的中点.
【变式3】在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线
上，且AE＝BD.
(1)当点E是AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°.
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE.
∵AE＝BD，
∴BE＝BD.
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°.
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE.
∵AE＝BD，
∴BE＝BD.
∴∠ECB＝ ∠ACB＝30°，
∠EDB＝∠DEB＝ ∠ABC＝30°.
∴∠EDB＝∠ECB.
∴EC＝ED.
∴∠ECB＝ ∠ACB＝30°，
∠EDB＝∠DEB＝ ∠ABC＝30°.
∴∠EDB＝∠ECB.
∴EC＝ED.
【变式3】在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线
上，且AE＝BD.
(2)当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF
是等边三角形；
解：(2)证明：∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，
∠AFE＝∠C＝60°.
∴∠AEF＝∠AFE＝∠A.
∴△AEF是等边三角形.
解：(2)证明：∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，
∠AFE＝∠C＝60°.
∴∠AEF＝∠AFE＝∠A.
∴△AEF是等边三角形.
【变式3】在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线
上，且AE＝BD.
(3)在第(2)小题的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由.
解：(3)EC＝ED. 理由如下：
∵∠AFE＝∠ABC＝60°，
∴∠EFC＝∠DBE＝120°.
∵AB＝AC，AE＝AF，
∴AB－AE＝AC－AF，
即BE＝FC.
又∵AE＝BD，∴EF＝DB.
在△EFC和△DBE中，
解：(3)EC＝ED. 理由如下：
∵∠AFE＝∠ABC＝60°，
∴∠EFC＝∠DBE＝120°.
∵AB＝AC，AE＝AF，
∴AB－AE＝AC－AF，
即BE＝FC.
又∵AE＝BD，∴EF＝DB.
在△EFC和△DBE中，
∴△EFC≌△DBE(SAS).
∴EC＝ED.
核心母题4 手拉手模型的应用
【例4】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D为△ABC内的一
点，点E为△ABC外的一点.
(1)当点B，D，E不共线时，如图1，若AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
求证：△ABD≌△ACE；
解：(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD.
∴∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
图1
【例4】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D为△ABC内的一
点，点E为△ABC外的一点.
(2)当点B，D，E在同一直线上时：
①如图2，若△ABC与△ADE均为等边三角形，则∠BEC 的度数
为 ；
60°
图2
解：(2)②∵△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，AD＝AE，
∴∠ADE＝45°.
由(1)，得△ABD≌△ACE.
∴DB＝EC＝8.
∵AF⊥BE，
∴△ADF为等腰直角三角形.
∴DF＝EF＝AF＝3.
∴BE＝BD＋DF＋EF＝8＋3＋3＝14.
【例4】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D为△ABC内的一
点，点E为△ABC外的一点.
(2)当点B，D，E在同一直线上时：
②如图3，若△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，AD＝AE，
AF⊥BE于点F，AF＝3，CE＝8，求BE的长.
图3(共13张PPT)
第十五章 轴对称
中考热点——数学探究与综合应用
1. (综合与实践)(人教教材P86“探究与发现”改编)探索三角形边与角之
间的不等关系.我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等，那
么不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？
【观察猜想】(1)在△ABC中，AB＞AC，猜想∠C与∠B之间的大小
关系；
解：(1)猜想：∠C＞∠B.
解：(1)猜想：∠C＞∠B.
【操作证明】(2)如图1，某同学发现在△ABC中，若AB＞AC，可将
△ABC 折叠，使边AC落在AB上，点C落在边AB上的点E，折线交BC
于点D，连接ED，发现∠AED＝∠B＋∠EDB，…，请用上述思路证
明(1)中猜想的结论；
图1
解：(2)证明：由折叠，可得AC＝AE，∠C＝∠AED.
∵∠AED＝∠B＋∠EDB，
∴∠C＝∠B＋∠EDB.
∴∠C＞∠B.
解：(2)证明：由折叠，可得AC＝AE，∠C＝∠AED.
∵∠AED＝∠B＋∠EDB，
∴∠C＝∠B＋∠EDB.
∴∠C＞∠B.
【操作发现】同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角，大角对大
边”，发现图1中的四边形AEDC，满足AE＝AC，DE＝DC，查阅资
料，如图2，有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.
图1 图2
【拓展应用】(3)资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平.如图
3，“筝形”仪器AEDC上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤.某同学将仪器上的点E，C紧贴门框上方，观察若线绳恰好经过点 D，则可判断门框是水平的.请说明此同学做法的理由；
图3
解：(3)理由如下：∵AE＝AC，DE＝DC，
∴AD垂直平分EC.
∴AD⊥EC.
∵AD是铅锤线，
∴EC是水平的，即门框是水平的.
解：(3)理由如下：∵AE＝AC，DE＝DC，
∴AD垂直平分EC.
∴AD⊥EC.
∵AD是铅锤线，
∴EC是水平的，即门框是水平的.
(4)如图4，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，点E，F分别是边
AB，BC上的动点.当四边形 AEFC为“筝形”时，请直接写出∠BFE
的度数.
图4
解：(4)∠BFE的度数为30°或90°.
解：(4)∠BFE的度数为30°或90°.
2. (人教教材P89活动3改编)综合探究：探索等腰三角形中相等的线段.
【问题情境】活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到
两腰的距离相等吗？
【问题初探】(1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1，
在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别为E，F. 经过合作，该小组的同学得出的结论是DE＝DF，并
且展示了他们的证法如下：
图1
证明：如图1，∵DE⊥AB，
DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C(依据1). ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD. 在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(依据2).
∴DE＝DF.
①请写出依据1和依据2的内容：
依据1： .
依据2： .
等边对等角
AAS
②请你写出一种不同于希望小组的证法；
解：(1)②如图，连接AD.
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD是∠BAC的平分线.
解：(1)②如图，连接AD.
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD是∠BAC的平分线.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
【问题再探】(2)未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰三
角形 ABC 中，作腰 AB 上的高 CG，如图2.则CG与DE有确定的数量关
系.请你直接写出这个数量关系为 ；
图2
CG＝2DE
【类比探究】(3)奋斗小组的同学认真研究过后，发现了以下两个正确结
论：①在图3中，若 DE，DF 分别为△ABD和△ACD的中线，则DE＝
DF仍然成立；②在图4中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的角平分
线，则DE＝DF仍然成立.请你选择其中一个结论，写出证明过程.
图3 图4
解：(3)选择①，证明如下：
∵DE，DF是△ABD和△ACD
的中线，
∴BE＝ AB，CF＝ AC.
∵AB＝AC，
∴BE＝CF，∠B＝∠C.
又∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD.
在△BDE和△CDF中，
解：(3)选择①，证明如下：
∵DE，DF是△ABD和△ACD
的中线，
∴BE＝ AB，CF＝ AC.
∵AB＝AC，
∴BE＝CF，∠B＝∠C.
又∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(SAS).
∴DE＝DF.
图3 图4
或选择②，证明如下：
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠B＝∠C，BD＝CD，AD⊥BC.
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
又∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的平分线，
∴∠BDE＝∠CDF＝45°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(ASA).
∴DE＝DF.
或选择②，证明如下：
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠B＝∠C，BD＝CD，AD⊥BC.
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
又∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的平分线，
∴∠BDE＝∠CDF＝45°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(ASA).
∴DE＝DF.
图3 图4(共17张PPT)
第十五章 轴对称
第11课时 含30°角的直角三角形的性质
如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AB＝8，则∠1＝ °，
BD＝ .
30
4
∴ .
BC＝ AB
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于
.
几何语言：在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，
斜边的一半
知识点1 利用含30°角的直角三角形的性质计算
【例1】如图，△ABC是等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于点D. 若
△ABC的周长为12 cm，求CD的长.
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝ ×12＝4(cm)，∠BAC＝60°.
∵DC∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC＝60°.
∵AD⊥CD，
∴∠CAD＝90°－60°＝30°.
∴CD＝ AC＝ ×4＝2(cm).
∴CD的长为2 cm.
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝ ×12＝4(cm)，∠BAC＝60°.
∵DC∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC＝60°.
∵AD⊥CD，
∴∠CAD＝90°－60°＝30°.
∴CD＝ AC＝ ×4＝2(cm).
∴CD的长为2 cm.
【变式1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D. 若CD＝1，求BD的长.
解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°－30°＝60°.
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴∠BAD＝∠B.
∴BD＝AD＝2CD＝2.
∴BD的长是2.
解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°－30°＝60°.
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴∠BAD＝∠B.
∴BD＝AD＝2CD＝2.
∴BD的长是2.
知识点2 利用含30°角的直角三角形的性质证明
【例2】(人教教材P92T7)如图，在△ABC中，∠ACB ＝ 90°，CD是
高，∠A＝30°.求证：BD＝ AB.
证明：在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴BA＝2BC，∠A＋∠B＝90°.
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°.
∴∠B＋∠BCD＝90°.
∴∠BCD＝∠A＝30°.
∴BC＝2BD.
∴AB＝4BD，
即BD＝ AB.
证明：在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴BA＝2BC，∠A＋∠B＝90°.
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°.
∴∠B＋∠BCD＝90°.
∴∠BCD＝∠A＝30°.
∴BC＝2BD.
∴AB＝4BD，
即BD＝ AB.
【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC
交BC于点D. 求证：BC＝3AD.
证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，
∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.
又∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°.
∵∠C＝30°，
∴CD＝2AD，∠BAD＝∠B＝30°.
∴AD＝DB.
∴BC＝CD＋BD＝AD＋DC＝AD＋2AD＝3AD.
知识点3 辅助线构造含30°角的直角三角形
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分
线交AC于点D，交AB于点E，若CD＝1，则AD＝ .
2
【变式3】如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，
PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝ .
2
1. 如图，∠MAN＝30°，点B在射线AM上，且AB＝2，则点B到射线
AN的距离是 .
第1题图
1
2. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BC＋AB＝9，则BC
＝( A )
A. 3 B. 6 C. 24 D. 9
第2题图
A
3. (人教教材P83例5改编)如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的
中点，立柱BG，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°，则立
柱BG＝ m，DE＝ m.
第3题图
3.7
1.85
4. 如图，在等边三角形ABC中，点D是AB的中点，DE⊥AC于点E，
EF⊥BC于点F，已知AB＝8，则BF＝ .
第4题图
5
5. 如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，
BQ⊥AD于点Q.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°.
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD(SAS).
解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°.
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD(SAS).
5. 如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，
BQ⊥AD于点Q.
(2)若PQ＝5，PE＝1，求AD的长.
解：(2)由(1)，得△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD.
∴∠BPQ＝∠BAD＋∠ABE＝
∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝60°.
∵BQ⊥AD，PQ＝5，PE＝1，
∴∠PQB＝90°.
∴∠PBQ＝90°－60°＝30°.
∴PB＝2PQ＝10.
∴BE＝PB＋PE＝11.
∴AD＝11.
∴AD的长是11.
6. (中考热点·动点问题)如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝6，点M，N分别是BC，CA上的动点.已知点M的速度为每秒1个单位长度，点N的速度为每秒 1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t s.
(1)当△MCN为等边三角形时，求t的值
解：(1)∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形.
∴∠C＝60°.
根据题意，得BM＝t，CN＝1.5t，
则CM＝6－t.
∵∠C＝60°，
∴当CM＝CN时，△MCN为等边三角形.
∴6－t＝1.5t，
解得t＝2.4.
∴当△MCN为等边三角形时，
t的值为2.4.
(2)当△MCN为直角三角形时，求t的值.
解：(2)当△MCN为直角三角形时，
∵∠C＝60°，
∴∠CMN＝30°或∠CNM＝30°.
∴CN＝ CM或CM＝ CN，
即6－t＝1.5t×2或6－t＝ ×1.5t，
解得t＝ 或 .
∴当△MCN为直角三角形时，t的值为 或 .
解：(2)当△MCN为直角三角形时，
∵∠C＝60°，
∴∠CMN＝30°或∠CNM＝30°.
∴CN＝ CM或CM＝ CN，
即6－t＝1.5t×2或6－t＝ ×1.5t，
解得t＝ 或 .
∴当△MCN为直角三角形时，t的值为 或 .
6. (中考热点·动点问题)如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝6，点M，N分别是BC，CA上的动点.已知点M的速度为每秒1个单位长度，点N的速度为每秒 1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t s.(共14张PPT)
第十五章 轴对称
第12课时 最短路径问题
1. 两点之间， 最短.
2. 点A(3，－2)关于x轴对称的点的坐标为 ，关于y轴对称的
点的坐标为 .
线段
(3，2)
(－3，－2)
知识点1 两点在直线异侧时的最短路径问题——两点之间，线段最短
【例1】如图，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的和最小.
解：如图，点P即为所求.
解：如图，点P即为所求.
【变式1】如图，高速公路l的两侧有M，N两城镇，要在高速公路上建
一个出口P，使M，N两城镇到P的距离之和最短，请你找出P的位置.
解：如图，点P即为所求.
解：如图，点P即为所求.
知识点2 两点在直线同侧时的最短路径问题——利用轴对称化为异
侧问题
【例2】如图，A，B是直线l同侧的两点，请在直线l上找一点C，使得
AC＋CB最小，并说明理由.
解：如图，点C即为所求.
理由如下：
如图，作点B关于直线l的对称点B'，
连接AB'交直线l于点C，连接BC.
∵直线l垂直平分线段BB'，
∴CB＝CB'.
∴AC＋CB＝AC＋CB'＝AB'，
即AC＋CB的最小值为线段AB'的长.
∴点C即为所求.
【变式2】要在河边l修建一个水泵站， 分别向张村、李庄送水(如图).修
在河边l的什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置.
解：先作点B关于l的对称点B'，然后连接此对称点B'与点A，交l于点
P，点P即为所求.
知识点3 坐标系中的最短路径问题
【例3】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(1，2)，C(4，1).
(1)在平面直角坐标系中，作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.
(2)点P是x轴上的一点，且使得PB＋PC
的值最小，并写出点P的坐标.
解：(2)如图，点P即为所
作，点P的坐标为(3，0).
解：(2)如图，点P即为所
作，点P的坐标为(3，0).
【变式3】如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－2，3)，B(－3，
1)，C(1， －2).
(1)在平面直角坐标系中，作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接
写出点A关于y轴对称的点A1坐标：A1( ， )；
解：(1)如图，△A1B1C1
即为所求.
2
3
解：(1)如图，△A1B1C1
即为所求.
(2)在y轴上求作一点P，使PA＋PB最短.
解：(2)如图，点P即为所求.
解：(2)如图，点P即为所求.
1. 小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛
奶，要使点P到A，B的距离之和最小，则下列作法正确的是( B )
A B C D
B
2. 如图，已知A(－2，4)，B(4，1)，在y轴上取一点P，使点P到点A
和点B的距离之和最小，则点P的坐标是( B )
A. (0，－3) B. (0，3)
C. (0，2) D. (0，0)
第2题图
B
3. (多维原创)如图，△ABC为等边三角形，AD为高，点P是AD上的一
个动点，点E为AC的中点，当PC＋PE的值最小时，∠PBC的度数为
.
第3题图
30°
4. (应用意识)如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A处向B处行驶，
M，N分别是位于公路AB两侧的村庄.
(1)当汽车行驶到哪个位置(用点P表示)时，其到村庄M，N的距离相
等？
解：(1)如图，点P即为所求.
(2)当汽车从A处出发向B处行驶时，在哪一个位置，其到村庄 M，N的
距离之和最小？请在图中标出这个位置(用点Q表示).
解：(2)如图，点Q即为所求.
解：(1)如图，点P即为所求.
解：(2)如图，点Q即为所求.
5. 如图，在4×4的正方形网格中，格点A，B和直线l的位置如图所示，
点P在直线l上.
(1)请分别在图1和图2中作出点P，使PA＋PB最短；
(2)请分别在图3和图4中作出点P，使PA－PB最长.
解：如图所示.
解：如图所示.
6. (应用意识)(人教教材P95活动二改编)如图，点P为马厩，AB为草地边
缘(下方为草地)，CD为河流，牧马人想从马厩牵马先去草地吃草，然后
到河边饮水，最后回到马厩.请帮他确定一条最佳行走路线.
解：如图，点P关于AB，CD的对称点分别为点M， N，连接MN交AB，
CD于点E，F，连接PF，PE，
则线段PF＋FE＋EP＝MN最短.(共15张PPT)
第十五章 轴对称
第8课时 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定：
(1)定义法：有两边 的三角形是等腰三角形；
相等
(2)判定定理：有 相等的三角形是等腰三角形(简写成“
”).
几何语言：
∵∠B＝∠C，
∴ ＝ .
两个角
等角
对等边
AB
AC
A. AB＝2 cm，AC＝2 cm，BC＝3 cm
B. ∠A＝80°，∠B＝20°
C. AB＝AC＝BC
D. ∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4
下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是( D )
D
知识点1 通过计算角度证明等腰三角形
【例1】如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADB＝60°，∠C＝30°.
求证：△ADC是等腰三角形.
证明：∵∠ADB＝60°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠ADB－∠C＝60°－30°＝30°.
∴∠C＝∠DAC.
∴△ADC是等腰三角形.
证明：∵∠ADB＝60°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠ADB－∠C＝60°－30°＝30°.
∴∠C＝∠DAC.
∴△ADC是等腰三角形.
【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上的一点，∠B
＝30°，∠DAB＝45°.求证：△ACD是等腰三角形.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°.
∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，
∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°.
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75°.
∵∠DAB＝45°，∠B＝30°，
∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°.
∴∠DAC＝∠ADC.
∴△ACD是等腰三角形.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°.
∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，
∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°.
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75°.
∵∠DAB＝45°，∠B＝30°，
∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°.
∴∠DAC＝∠ADC.
∴△ACD是等腰三角形.
知识点2 通过证两角相等证明等腰三角形
【例2】(人教教材P80例2改编)如图，AD是△ABC外角∠CAE的平分
线，AD∥BC. 求证：AB＝AC.
证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC.
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C.
∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC.
证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC.
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C.
∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC.
【变式2】(人教教材P84T2改编)如图，AD平分∠BAC，AB∥CD，求
证：△ACD是等腰三角形.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠ADC＝∠CAD.
∴△ACD是等腰三角形.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠ADC＝∠CAD.
∴△ACD是等腰三角形.
知识点3 尺规作等腰三角形
【例3】尺规作图：如图，已知等腰三角形底边长为a，底边上高的长为
h，求作这个等腰三角形.
解：如图，△ABC即为所求.
解：如图，△ABC即为所求.
【变式3】如图，已知线段a与b，用尺规作等腰△ABC，使AB＝AC＝
a，BC＝b.
解：如图，△ABC即为所求.
解：如图，△ABC即为所求.
1. (人教教材P81T3)如图，AC和BD相交于点O，且AB∥CD，OA＝
OB. 求证：OC＝OD.
证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B.
∴∠C＝∠D.
∴OC＝OD.
证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B.
∴∠C＝∠D.
∴OC＝OD.
2. 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D为边AB的中点，点E为BC延长
线上的一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交AC于点G. 求证：
(1)EF∥CD；
证明：(1)∵AC＝BC，点D为边AB的中点，
∴CD⊥AB.
∵EF⊥AB，
∴EF∥CD.
证明：(1)∵AC＝BC，点D为边AB的中点，
∴CD⊥AB.
∵EF⊥AB，
∴EF∥CD.
2. 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D为边AB的中点，点E为BC延长
线上的一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交AC于点G. 求证：
(2)△CEG是等腰三角形.
证明：(2)∵AC＝BC，点D为边AB的中点，
∴∠ACD＝∠BCD.
∵EF∥CD，
∴∠ACD＝∠EGC，
∠BCD＝∠E.
∴∠EGC＝∠E.
∴△CEG是等腰三角形.
证明：(2)∵AC＝BC，点D为边AB的中点，
∴∠ACD＝∠BCD.
∵EF∥CD，
∴∠ACD＝∠EGC，
∠BCD＝∠E.
∴∠EGC＝∠E.
∴△CEG是等腰三角形.
3. (中考热点·类比思想)(1)如图1，在△ABC中，BF，CF分别平分
∠ABC，∠ACB，过点F作直线平行于BC，分别交AB，AC 于点D，
E. 求证：DE＝BD＋CE；
解：(1)证明：如图，在△ABC中，BF，CF分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠4.
∵DE∥BC，
∴∠2＝∠3，∠4＝∠6.
∴∠1＝∠3，∠6＝∠5.
∴BD＝DF，EF＝CE.
∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE.
(2)如图2，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG 的平分线的交点，其
他条件不变，请猜想线段DE，DB，EC之间有何数量关系？证明你的
猜想.
解：(2)DE＋EC＝BD. 证明如下：
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC.
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC.
∴∠ABF＝∠DFB.
∴BD＝DF.
∵CF平分∠ACG，
∴∠ACF＝∠FCG.
∵DF∥BC，
解：(2)DE＋EC＝BD. 证明如下：
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC.
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC.
∴∠ABF＝∠DFB.
∴BD＝DF.
∴∠DFC＝∠FCG.
∴∠ACF＝∠DFC.
∴CE＝EF.
∴DE＋EF＝DF，
即DE＋EC＝BD.
∴∠DFC＝∠FCG.
∴∠ACF＝∠DFC.
∴CE＝EF.
∴DE＋EF＝DF，
即DE＋EC＝BD.
∵CF平分∠ACG，
∴∠ACF＝∠FCG.
∵DF∥BC，
