周测1 空间向量及其运算（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 周测1 空间向量及其运算（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-06 21:26:51 | ||
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文档简介
周测1 空间向量及其运算
(时间：75分钟 分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1. 在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与相等的是( )
A.+
B.+
C.+-
D.+-
2.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若=a=b=c，则等于( )
A.a-b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.-a+b+c
3.在下列条件中，一定使点M与点A，B，C共面的是( )
A.=-2-
B.+3+5=0
C.=++
D.+++=0
4.在四面体ABCD中，AC=AD=2AB=2，∠BAD=60°·=2，则∠BAC等于( )
A.60° B.90°
C.120° D.150°
5.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，∠A1AB=∠A1AC=60°，若B1C和BC1相交于点M.则||等于( )
A. B.2 C. D.
6.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=1，AA1=P是正四棱柱表面上一点，则·的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，下列等式正确的是( )
A.++=
B.+-=
C.++)=
D.-+=
8.金刚石是目前地球上天然存在的最硬的物质，图1是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为这4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有AE=BE=CE=DE，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列选项正确的是( )
A.=
B.=
C.cos=
D.·=2
9.在四面体P-ABC中，下列说法正确的有( )
A.若=+则=2
B.若四面体P-ABC的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||=1
C.若·=0·=0，则·=0
D.若Q为△ABC的重心，则=++
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.如图，已知四棱锥P-ABCD的各棱长均为2，则·= .
11.已知空间三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°.若|ka+b+c|>(k∈R)，则k的取值范围为 .
12.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则向量 在 上的投影向量等于 .
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)如图所示，在四面体O-ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设=a=b=c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点.
(1)试用向量a，b，c表示向量；(6分)
(2)试用空间向量的方法证明M，N，G，H四点共面.(6分)
14.(12分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长均为.
(1)若侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(6分)
(2)若AB1与BC1所成的角为求侧棱的长.(6分)
15.(13分)已知二面角α-l-β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=2，BD=4.
(1) 求线段CD的长；(6分)
(2) 求异面直线CD与BA所成的角.(7分)
周测1 空间向量及其运算
(时间：75分钟 分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1. 在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与相等的是( )
A.+
B.+
C.+-
D.+-
答案 B
解析 +=A选项错误；
+=B选项正确；
+-=+C选项错误；
+-=+=D选项错误.
2.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若=a=b=c，则等于( )
A.a-b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.-a+b+c
答案 D
解析 由题意可知M为A1C1与B1D1的中点，
因此=-=+-=+-=++)-=-+=c-a+b=-a+b+c.
3.在下列条件中，一定使点M与点A，B，C共面的是( )
A.=-2-
B.+3+5=0
C.=++
D.+++=0
答案 B
解析 选项A=-2-由于1-2-1=-2≠1，所以不能得出M，A，B，C四点共面；
选项B，由于=-3-5则为共面向量，所以M，A，B，C四点共面；
选项C=++由于++=≠1，所以不能得出M，A，B，C四点共面；
选项D，由+++=0得=---
而-1-1-1=-3≠1，所以不能得出M，A，B，C四点共面.
4.在四面体ABCD中，AC=AD=2AB=2，∠BAD=60°·=2，则∠BAC等于( )
A.60° B.90°
C.120° D.150°
答案 C
解析 由题知，AC=AD=2AB=2，∠BAD=60°，
所以·=·
=·-·
=cos∠BAD-cos∠BAC=2，
所以1×2cos 60°-1×2cos∠BAC=2，
解得∠BAC=120°.
5.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，∠A1AB=∠A1AC=60°，若B1C和BC1相交于点M.则||等于( )
A. B.2 C. D.
答案 D
解析 令=a=b=c，且|a|=|b|=|c|=2，〈a，c〉=〈a，b〉=〈b，c〉=60°，
可得=+=++)=+++)
=-++=(a+b+c)，
所以||==
=
=
=.
6.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=1，AA1=P是正四棱柱表面上一点，则·的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设AC1的中点为O，则·=(+)·(+)=(+)·(-)=||2-||2，
又||=||=×=1，∵当P为正四棱柱的侧面的中心时，||min=当P为正四棱柱的顶点时，||max=||=1，
∴(||2-||2)∈
则·的取值范围是.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，下列等式正确的是( )
A.++=
B.+-=
C.++)=
D.-+=
答案 AC
解析 因为++=+=故A正确；因为+-=-=+≠故B错误；因为++)=+=故C正确；因为-+=+≠故D错误.
8.金刚石是目前地球上天然存在的最硬的物质，图1是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为这4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有AE=BE=CE=DE，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列选项正确的是( )
A.=
B.=
C.cos=
D.·=2
答案 BD
解析 由题意得点E是正四面体ABCD外接球的球心，
设点O是顶点A在底面BCD内的射影，则AO是正四面体的高，OB是△BCD外接圆的半径，
∴OB=AO=
BE2=(AO-AE)2+OB2，
又AE=BE，
解得AE=则EO=AO-AE=.
对于A，||=||=故A错误；
对于B，∵AE=BE=CE=DE，
∴+=-(+)，
∴+++=0，
∴===故B正确；
对于C，cos=cos=-cos=-=-故C错误；
对于D·=||||cos=||||·=2，故D正确.
9.在四面体P-ABC中，下列说法正确的有( )
A.若=+则=2
B.若四面体P-ABC的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||=1
C.若·=0·=0，则·=0
D.若Q为△ABC的重心，则=++
答案 CD
解析 如图，对于A项，由=+得，3=+2
得(-)+2(-)=0，
得+2=0，则=3故A项错误；
对于B项=-=+-
得2=+-
得4=+++2·-2·-2·
=4+4+4+2×2×2×cos 60°-2×2×2×cos 60°-2×2×2×cos 60°=8，
得||=故B项错误；
对于C项，因为·=0·=0，
所以·(+)=0·(+)=0，
将两式相加，得·+·=0，即·(+)=0，得·=0，故C项正确；
对于D项=+=+=+-)
=+=+×+)=++故D项正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.如图，已知四棱锥P-ABCD的各棱长均为2，则·= .
答案 2
解析 因为四棱锥P-ABCD的各棱长均为2，所以四棱锥P-ABCD为正四棱锥，
所以底面四边形ABCD为正方形，△PBC为边长为2的正三角形，
所以=∠PAD=60°，
所以·=·=||·||·cos∠PAD=2×2×=2.
11.已知空间三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°.若|ka+b+c|>(k∈R)，则k的取值范围为 .
答案 (-∞，-3)∪(1，+∞)
解析 因为a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°，所以a2=b2=c2=1，a·b=c·b=a·c=.
又(ka+b+c)2=k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2c·b=k2+2k+3>6，
即k2+2k-3>0，解得k<-3或k>1.
12.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则向量 在 上的投影向量等于 .
答案
解析 ∵PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，
·=(++)·=·+·+·=0+6×6×+62=54，
∴向量在上的投影向量为·==.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)如图所示，在四面体O-ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设=a=b=c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点.
(1)试用向量a，b，c表示向量；(6分)
(2)试用空间向量的方法证明M，N，G，H四点共面.(6分)
(1)解 =-=-a，
=+=+
=+-)
=+=+×+)
=++)=(a+b+c).
(2)证明 因为=-
==×+)=(b+c)，
所以=(b+c)-(a+b+c)
=-a=-
=-所以=.
所以M，N，G，H四点共面.
14.(12分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长均为.
(1)若侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(6分)
(2)若AB1与BC1所成的角为求侧棱的长.(6分)
(1)证明 因为=+=+.
又BB1⊥平面ABC，AB，BC 平面ABC，
所以·=0·=0.
又△ABC为正三角形，
所以=π-=π-=.
因为·=(+)·(+)
=·+·+||2+·
=||||cos+||2
=-1+1=0，
所以AB1⊥BC1.
(2)解 结合(1)知·
=cos+||2=||2-1，
又===.
所以cos=|cos|===解得||=2，即侧棱长为2.
15.(13分)已知二面角α-l-β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=2，BD=4.
(1) 求线段CD的长；(6分)
(2) 求异面直线CD与BA所成的角.(7分)
解 (1)由题意得=++
∵二面角α-l-β为60°，A，B是棱l上的两点，AC⊥l，BD⊥l，
∴=120°·=0·=0，
∴||==
=
=
==4，
∴线段CD的长为4.
(2)∵=++=-
∴cos=
=
=
==-
又异面直线所成的角大于0°小于等于90°，
∴异面直线CD与BA所成的角为60°.
(时间：75分钟 分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1. 在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与相等的是( )
A.+
B.+
C.+-
D.+-
2.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若=a=b=c，则等于( )
A.a-b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.-a+b+c
3.在下列条件中，一定使点M与点A，B，C共面的是( )
A.=-2-
B.+3+5=0
C.=++
D.+++=0
4.在四面体ABCD中，AC=AD=2AB=2，∠BAD=60°·=2，则∠BAC等于( )
A.60° B.90°
C.120° D.150°
5.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，∠A1AB=∠A1AC=60°，若B1C和BC1相交于点M.则||等于( )
A. B.2 C. D.
6.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=1，AA1=P是正四棱柱表面上一点，则·的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，下列等式正确的是( )
A.++=
B.+-=
C.++)=
D.-+=
8.金刚石是目前地球上天然存在的最硬的物质，图1是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为这4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有AE=BE=CE=DE，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列选项正确的是( )
A.=
B.=
C.cos=
D.·=2
9.在四面体P-ABC中，下列说法正确的有( )
A.若=+则=2
B.若四面体P-ABC的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||=1
C.若·=0·=0，则·=0
D.若Q为△ABC的重心，则=++
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.如图，已知四棱锥P-ABCD的各棱长均为2，则·= .
11.已知空间三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°.若|ka+b+c|>(k∈R)，则k的取值范围为 .
12.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则向量 在 上的投影向量等于 .
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)如图所示，在四面体O-ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设=a=b=c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点.
(1)试用向量a，b，c表示向量；(6分)
(2)试用空间向量的方法证明M，N，G，H四点共面.(6分)
14.(12分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长均为.
(1)若侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(6分)
(2)若AB1与BC1所成的角为求侧棱的长.(6分)
15.(13分)已知二面角α-l-β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=2，BD=4.
(1) 求线段CD的长；(6分)
(2) 求异面直线CD与BA所成的角.(7分)
周测1 空间向量及其运算
(时间：75分钟 分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1. 在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与相等的是( )
A.+
B.+
C.+-
D.+-
答案 B
解析 +=A选项错误；
+=B选项正确；
+-=+C选项错误；
+-=+=D选项错误.
2.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若=a=b=c，则等于( )
A.a-b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.-a+b+c
答案 D
解析 由题意可知M为A1C1与B1D1的中点，
因此=-=+-=+-=++)-=-+=c-a+b=-a+b+c.
3.在下列条件中，一定使点M与点A，B，C共面的是( )
A.=-2-
B.+3+5=0
C.=++
D.+++=0
答案 B
解析 选项A=-2-由于1-2-1=-2≠1，所以不能得出M，A，B，C四点共面；
选项B，由于=-3-5则为共面向量，所以M，A，B，C四点共面；
选项C=++由于++=≠1，所以不能得出M，A，B，C四点共面；
选项D，由+++=0得=---
而-1-1-1=-3≠1，所以不能得出M，A，B，C四点共面.
4.在四面体ABCD中，AC=AD=2AB=2，∠BAD=60°·=2，则∠BAC等于( )
A.60° B.90°
C.120° D.150°
答案 C
解析 由题知，AC=AD=2AB=2，∠BAD=60°，
所以·=·
=·-·
=cos∠BAD-cos∠BAC=2，
所以1×2cos 60°-1×2cos∠BAC=2，
解得∠BAC=120°.
5.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，∠A1AB=∠A1AC=60°，若B1C和BC1相交于点M.则||等于( )
A. B.2 C. D.
答案 D
解析 令=a=b=c，且|a|=|b|=|c|=2，〈a，c〉=〈a，b〉=〈b，c〉=60°，
可得=+=++)=+++)
=-++=(a+b+c)，
所以||==
=
=
=.
6.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=1，AA1=P是正四棱柱表面上一点，则·的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设AC1的中点为O，则·=(+)·(+)=(+)·(-)=||2-||2，
又||=||=×=1，∵当P为正四棱柱的侧面的中心时，||min=当P为正四棱柱的顶点时，||max=||=1，
∴(||2-||2)∈
则·的取值范围是.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，下列等式正确的是( )
A.++=
B.+-=
C.++)=
D.-+=
答案 AC
解析 因为++=+=故A正确；因为+-=-=+≠故B错误；因为++)=+=故C正确；因为-+=+≠故D错误.
8.金刚石是目前地球上天然存在的最硬的物质，图1是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为这4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有AE=BE=CE=DE，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列选项正确的是( )
A.=
B.=
C.cos=
D.·=2
答案 BD
解析 由题意得点E是正四面体ABCD外接球的球心，
设点O是顶点A在底面BCD内的射影，则AO是正四面体的高，OB是△BCD外接圆的半径，
∴OB=AO=
BE2=(AO-AE)2+OB2，
又AE=BE，
解得AE=则EO=AO-AE=.
对于A，||=||=故A错误；
对于B，∵AE=BE=CE=DE，
∴+=-(+)，
∴+++=0，
∴===故B正确；
对于C，cos=cos=-cos=-=-故C错误；
对于D·=||||cos=||||·=2，故D正确.
9.在四面体P-ABC中，下列说法正确的有( )
A.若=+则=2
B.若四面体P-ABC的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||=1
C.若·=0·=0，则·=0
D.若Q为△ABC的重心，则=++
答案 CD
解析 如图，对于A项，由=+得，3=+2
得(-)+2(-)=0，
得+2=0，则=3故A项错误；
对于B项=-=+-
得2=+-
得4=+++2·-2·-2·
=4+4+4+2×2×2×cos 60°-2×2×2×cos 60°-2×2×2×cos 60°=8，
得||=故B项错误；
对于C项，因为·=0·=0，
所以·(+)=0·(+)=0，
将两式相加，得·+·=0，即·(+)=0，得·=0，故C项正确；
对于D项=+=+=+-)
=+=+×+)=++故D项正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.如图，已知四棱锥P-ABCD的各棱长均为2，则·= .
答案 2
解析 因为四棱锥P-ABCD的各棱长均为2，所以四棱锥P-ABCD为正四棱锥，
所以底面四边形ABCD为正方形，△PBC为边长为2的正三角形，
所以=∠PAD=60°，
所以·=·=||·||·cos∠PAD=2×2×=2.
11.已知空间三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°.若|ka+b+c|>(k∈R)，则k的取值范围为 .
答案 (-∞，-3)∪(1，+∞)
解析 因为a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°，所以a2=b2=c2=1，a·b=c·b=a·c=.
又(ka+b+c)2=k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2c·b=k2+2k+3>6，
即k2+2k-3>0，解得k<-3或k>1.
12.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则向量 在 上的投影向量等于 .
答案
解析 ∵PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，
·=(++)·=·+·+·=0+6×6×+62=54，
∴向量在上的投影向量为·==.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)如图所示，在四面体O-ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设=a=b=c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点.
(1)试用向量a，b，c表示向量；(6分)
(2)试用空间向量的方法证明M，N，G，H四点共面.(6分)
(1)解 =-=-a，
=+=+
=+-)
=+=+×+)
=++)=(a+b+c).
(2)证明 因为=-
==×+)=(b+c)，
所以=(b+c)-(a+b+c)
=-a=-
=-所以=.
所以M，N，G，H四点共面.
14.(12分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长均为.
(1)若侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(6分)
(2)若AB1与BC1所成的角为求侧棱的长.(6分)
(1)证明 因为=+=+.
又BB1⊥平面ABC，AB，BC 平面ABC，
所以·=0·=0.
又△ABC为正三角形，
所以=π-=π-=.
因为·=(+)·(+)
=·+·+||2+·
=||||cos+||2
=-1+1=0，
所以AB1⊥BC1.
(2)解 结合(1)知·
=cos+||2=||2-1，
又===.
所以cos=|cos|===解得||=2，即侧棱长为2.
15.(13分)已知二面角α-l-β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=2，BD=4.
(1) 求线段CD的长；(6分)
(2) 求异面直线CD与BA所成的角.(7分)
解 (1)由题意得=++
∵二面角α-l-β为60°，A，B是棱l上的两点，AC⊥l，BD⊥l，
∴=120°·=0·=0，
∴||==
=
=
==4，
∴线段CD的长为4.
(2)∵=++=-
∴cos=
=
=
==-
又异面直线所成的角大于0°小于等于90°，
∴异面直线CD与BA所成的角为60°.