周测2 空间向量基本定理及其运算的坐标表示（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 周测2 空间向量基本定理及其运算的坐标表示（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 6.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-06 21:27:09 | ||
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文档简介
周测2 空间向量基本定理及其运算的坐标表示
(时间：75分钟 分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.若a=(2，3，2)，b=(1，2，2)，c=(-1，2，2)，则(a-b)·c的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量m=b-2c，n=b+2c构成空间另一个基底的向量是( )
A.a B.b
C.c D.b+c
3.已知平面向量a=(0，1，0)，b=则a与a+b的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知A(1，-2，1)，B(1，-5，4)，C(2，3，4)，则在上的投影向量为( )
A.(0，-1，1) B.(0，1，-1)
C.(0-) D.(0，-)
5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，G，E，F分别是棱A1B1，CC1和AB的中点，点D是线段AC上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段AD的长为( )
A. B. C. D.1
6.在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心=λ=μ=λ，μ∈(0，1)，若PG交平面DEF于点M，且=则λ+μ的最小值为( )
A. B. C.1 D.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知空间向量a=(1，1，-1)，b=(-2，2，1)，则下列结论正确的是( )
A.(b-2a)∥a
B.=
C.a与b夹角的余弦值为-
D.a⊥(a+3b)
8.已知a=(-2，-1，3)，b=(1，-3，2)，d=(2，1，m)，下列关于空间向量的命题中，正确的是( )
A.若a⊥c，b⊥c，|c|=则c=(1，1，1)
B.以a，b为邻边的平行四边形的面积是7
C.若a，d的夹角为钝角，则m的取值范围是
D.若m>则a，d的夹角为锐角
9.如图，已知AO⊥平面OBC，∠BOC=OA=OB=2，OC=3，E为AB的中点=3则以下选项正确的是( )
A.OF=
B.EF=
C.AB与OC所成角的余弦值为
D.OE与OF所成角的余弦值为
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.若a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，则与a+b方向相反的单位向量是 .
11.已知在空间直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，-2，-1)，B(1，4，2)，C(-1，3，1)，AD是△ABC边BC上的高，则AD的长为 .
12.在△ABC中，各个顶点与对边中点连线，相交于一点，定义为三角形的重心G，此时易得=+).类似地，在三棱锥P-ABC中，各个顶点分别与对面三角形的重心连线，相交于一点，定义为三棱锥的重心G.若设=a=b=c，则= .(用a，b，c表示)
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知a=(3，4，x)，b=(2，y，-2).
(1)若(a+2b)∥(a-b)，求x，y的值；(6分)
(2)若(a+b)⊥(a-b)，且|b|=5，求x的值.(6分)
14.(12分)如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设=a=b=c.
(1)用a，b，c表示并求EF的长；(6分)
(2)求与夹角的大小.(6分)
15.(13分)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是DD1，DB的中点，点G在棱CD上，且CG=CD，H是C1G的中点.建立适当的空间直角坐标系，
(1)求证：EF⊥B1C；(4分)
(2)求cos〈〉；(4分)
(3)求HF的长.(5分)
周测2 空间向量基本定理及其运算的坐标表示
(时间：75分钟 分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.若a=(2，3，2)，b=(1，2，2)，c=(-1，2，2)，则(a-b)·c的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 C
解析 因为a-b=(1，1，0)，
所以(a-b)·c=(1，1，0)·(-1，2，2)=-1+2+0=1.
2.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量m=b-2c，n=b+2c构成空间另一个基底的向量是( )
A.a B.b
C.c D.b+c
答案 A
解析 对于A，不存在x，y∈R使得a=xm+yn=x(b-2c)+y(b+2c)成立，故能构成空间的另一个基底；
对于B，b=m+n=(b-2c)+(b+2c)，故不能构成空间的另一个基底；
对于C，c=-m+n=-(b-2c)+(b+2c)，故不能构成空间的另一个基底；
对于D，b+c=m+n=(b-2c)+(b+2c)，故不能构成空间的另一个基底.
3.已知平面向量a=(0，1，0)，b=则a与a+b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为a=(0，1，0)，b=
所以a+b=
设a与a+b的夹角为θ，
则cos θ===
又因为θ∈[0，π]，
所以θ=.
4.已知A(1，-2，1)，B(1，-5，4)，C(2，3，4)，则在上的投影向量为( )
A.(0，-1，1) B.(0，1，-1)
C.(0-) D.(0，-)
答案 B
解析 因为=(1，5，3)=(0，-3，3)，所以·=0+5×(-3)+3×3=-6.
又||=3
故在上的投影向量为·==-=(0，1，-1).
5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，G，E，F分别是棱A1B1，CC1和AB的中点，点D是线段AC上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段AD的长为( )
A. B. C. D.1
答案 A
解析 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，以A为原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，EGF=设D(x，0，0)，0则线段AD的长为.
6.在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心=λ=μ=λ，μ∈(0，1)，若PG交平面DEF于点M，且=则λ+μ的最小值为( )
A. B. C.1 D.
答案 C
解析 ∵=+=+×+)=++++)=++∴==++).
∵=λ=μ=∴=++.
∵M，D，E，F四点共面，∴++=1，即+=4.
∵λ+μ=(λ+μ)=≥1，当且仅当λ=μ=时，等号成立，
∴λ+μ的最小值为1.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知空间向量a=(1，1，-1)，b=(-2，2，1)，则下列结论正确的是( )
A.(b-2a)∥a
B.=
C.a与b夹角的余弦值为-
D.a⊥(a+3b)
答案 BCD
解析 对于A，因为b-2a=(-4，0，3)，a=(1，1，-1)，所以≠≠
所以向量b-2a与a不共线，故A不正确；
对于B，因为==3，所以=故B正确；
对于C，因为cos〈a，b〉===-故C正确；
对于D，因为a+3b=(-5，7，2)，所以a·(a+3b)=-5+7-2=0，即a⊥(a+3b)，故D正确.
8.已知a=(-2，-1，3)，b=(1，-3，2)，d=(2，1，m)，下列关于空间向量的命题中，正确的是( )
A.若a⊥c，b⊥c，|c|=则c=(1，1，1)
B.以a，b为邻边的平行四边形的面积是7
C.若a，d的夹角为钝角，则m的取值范围是
D.若m>则a，d的夹角为锐角
答案 BD
解析 对于A，设c=(x，y，z)，a⊥c a·c=0 -2x-y+3z=0，同理，b⊥c b·c=0 x-3y+2z=0，|c|= =得c=(1，1，1)或c=(-1，-1，-1)，故A错误；
对于B，平行四边形的面积S=|a|·|b|sin〈a，b〉=··=14=7故B正确；
对于C，若a，d的夹角为钝角，则a·d<0，a·d=(-2)×2+(-1)×1+3m<0 m<
当a与d的夹角为π时，m=-3，故m∈(-∞，-3)∪故C错误；
对于D，当m>时，a·d=3m-5>0，且a与d夹角不为0，故a，d的夹角为锐角，故D正确.
9.如图，已知AO⊥平面OBC，∠BOC=OA=OB=2，OC=3，E为AB的中点=3则以下选项正确的是( )
A.OF=
B.EF=
C.AB与OC所成角的余弦值为
D.OE与OF所成角的余弦值为
答案 ABC
解析 因为AO⊥平面OBC，OB，OC 平面OBC，
所以OA⊥OB，OA⊥OC，所以·=0·=0，
·=||||cos=-3，
在△OAC中=+=+-)=+
所以||=
=
==
即OF=所以A正确；
在△OEF中=-=+-+)=-+
所以||==
==
即EF=所以B正确；
因为=-·=(-)·=·-·=-3，
||==2
cos===-
所以AB与OC所成角的余弦值为所以C正确；
由以上知OF=EF=且OE=AB=
在△OEF中，由余弦定理得cos∠EOF
==所以D错误.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.若a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，则与a+b方向相反的单位向量是 .
答案
解析 ∵a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，
∴a+b=(0，1，2)，|a+b|==
∴与a+b方向相反的单位向量为-=-=.
11.已知在空间直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，-2，-1)，B(1，4，2)，C(-1，3，1)，AD是△ABC边BC上的高，则AD的长为 .
答案
解析 因为A(1，-2，-1)，B(1，4，2)，C(-1，3，1)，
则=(-2，-1，-1)=(0，6，3)，因为AD是△ABC边BC上的高，
设=λ=λ(-2，-1，-1)=(-2λ，-λ，-λ)，
所以=+=(0，6，3)+(-2λ，-λ，-λ)=(-2λ，6-λ，3-λ)，
则·=0，所以4λ-6+λ-3+λ=0，
解得λ=所以=
则||==
即AD的长为.
12.在△ABC中，各个顶点与对边中点连线，相交于一点，定义为三角形的重心G，此时易得=+).类似地，在三棱锥P-ABC中，各个顶点分别与对面三角形的重心连线，相交于一点，定义为三棱锥的重心G.若设=a=b=c，则= .(用a，b，c表示)
答案 a+b+c
解析 设点D为△ABC的重心，点E为△PBC的重心=+=++)=+-+-)=a+b+c，
=+=-++)=-a+b+c=λ=a+b+c=μ=-μa+b+c，λ，μ∈(0，1)=-即a=-
故解得λ=μ=故=a+b+c.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知a=(3，4，x)，b=(2，y，-2).
(1)若(a+2b)∥(a-b)，求x，y的值；(6分)
(2)若(a+b)⊥(a-b)，且|b|=5，求x的值.(6分)
解 (1)∵a=(3，4，x)，b=(2，y，-2)，
∴a+2b=(7，4+2y，x-4)，
a-b=(1，4-y，x+2).
又(a+2b)∥(a-b)，
∴==解得x=-3，y=.
(2)由(a+b)⊥(a-b)，得(a+b)·(a-b)=0，∴a2-b2=0，∴|a|=|b| =5，即a2=25，∴32+42+x2=25，解得x=0.
14.(12分)如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设=a=b=c.
(1)用a，b，c表示并求EF的长；(6分)
(2)求与夹角的大小.(6分)
解 (1)因为E，F分别为棱BC，AD的中点，而=a=b=c，
所以=++=-+=-)-+=-a-b+c，
因为正四面体ABCD的棱长为1，且a·b=b·c=c·a=
所以||=
==即EF=.
(2)由题意得=++
=-a+c+(b-c)=-a+b+c，
因此·=-(a+b-c)·(a-b-c)=[(a-c)2-b2]=(a2+c2-2a·c-b2)=0，
所以⊥即与的夹角为90°.
15.(13分)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是DD1，DB的中点，点G在棱CD上，且CG=CD，H是C1G的中点.建立适当的空间直角坐标系，
(1)求证：EF⊥B1C；(4分)
(2)求cos〈〉；(4分)
(3)求HF的长.(5分)
(1)证明 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0，0，0)，E(0，0，1)，F(1，1，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，B1(2，2，2)，G.
因为=(1，1，-1)=(-2，0，-2)，
所以·=(1，1，-1)·(-2，0，-2)=1×(-2)+1×0+(-1)×(-2)=0，
所以⊥故EF⊥B1C.
(2)解 因为=
所以||=又||=
所以cos〈〉===×=.
(3)解 因为H是C1G的中点，
所以H
所以=
||===.
即HF=.
(时间：75分钟 分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.若a=(2，3，2)，b=(1，2，2)，c=(-1，2，2)，则(a-b)·c的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量m=b-2c，n=b+2c构成空间另一个基底的向量是( )
A.a B.b
C.c D.b+c
3.已知平面向量a=(0，1，0)，b=则a与a+b的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知A(1，-2，1)，B(1，-5，4)，C(2，3，4)，则在上的投影向量为( )
A.(0，-1，1) B.(0，1，-1)
C.(0-) D.(0，-)
5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，G，E，F分别是棱A1B1，CC1和AB的中点，点D是线段AC上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段AD的长为( )
A. B. C. D.1
6.在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心=λ=μ=λ，μ∈(0，1)，若PG交平面DEF于点M，且=则λ+μ的最小值为( )
A. B. C.1 D.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知空间向量a=(1，1，-1)，b=(-2，2，1)，则下列结论正确的是( )
A.(b-2a)∥a
B.=
C.a与b夹角的余弦值为-
D.a⊥(a+3b)
8.已知a=(-2，-1，3)，b=(1，-3，2)，d=(2，1，m)，下列关于空间向量的命题中，正确的是( )
A.若a⊥c，b⊥c，|c|=则c=(1，1，1)
B.以a，b为邻边的平行四边形的面积是7
C.若a，d的夹角为钝角，则m的取值范围是
D.若m>则a，d的夹角为锐角
9.如图，已知AO⊥平面OBC，∠BOC=OA=OB=2，OC=3，E为AB的中点=3则以下选项正确的是( )
A.OF=
B.EF=
C.AB与OC所成角的余弦值为
D.OE与OF所成角的余弦值为
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.若a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，则与a+b方向相反的单位向量是 .
11.已知在空间直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，-2，-1)，B(1，4，2)，C(-1，3，1)，AD是△ABC边BC上的高，则AD的长为 .
12.在△ABC中，各个顶点与对边中点连线，相交于一点，定义为三角形的重心G，此时易得=+).类似地，在三棱锥P-ABC中，各个顶点分别与对面三角形的重心连线，相交于一点，定义为三棱锥的重心G.若设=a=b=c，则= .(用a，b，c表示)
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知a=(3，4，x)，b=(2，y，-2).
(1)若(a+2b)∥(a-b)，求x，y的值；(6分)
(2)若(a+b)⊥(a-b)，且|b|=5，求x的值.(6分)
14.(12分)如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设=a=b=c.
(1)用a，b，c表示并求EF的长；(6分)
(2)求与夹角的大小.(6分)
15.(13分)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是DD1，DB的中点，点G在棱CD上，且CG=CD，H是C1G的中点.建立适当的空间直角坐标系，
(1)求证：EF⊥B1C；(4分)
(2)求cos〈〉；(4分)
(3)求HF的长.(5分)
周测2 空间向量基本定理及其运算的坐标表示
(时间：75分钟 分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.若a=(2，3，2)，b=(1，2，2)，c=(-1，2，2)，则(a-b)·c的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 C
解析 因为a-b=(1，1，0)，
所以(a-b)·c=(1，1，0)·(-1，2，2)=-1+2+0=1.
2.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量m=b-2c，n=b+2c构成空间另一个基底的向量是( )
A.a B.b
C.c D.b+c
答案 A
解析 对于A，不存在x，y∈R使得a=xm+yn=x(b-2c)+y(b+2c)成立，故能构成空间的另一个基底；
对于B，b=m+n=(b-2c)+(b+2c)，故不能构成空间的另一个基底；
对于C，c=-m+n=-(b-2c)+(b+2c)，故不能构成空间的另一个基底；
对于D，b+c=m+n=(b-2c)+(b+2c)，故不能构成空间的另一个基底.
3.已知平面向量a=(0，1，0)，b=则a与a+b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为a=(0，1，0)，b=
所以a+b=
设a与a+b的夹角为θ，
则cos θ===
又因为θ∈[0，π]，
所以θ=.
4.已知A(1，-2，1)，B(1，-5，4)，C(2，3，4)，则在上的投影向量为( )
A.(0，-1，1) B.(0，1，-1)
C.(0-) D.(0，-)
答案 B
解析 因为=(1，5，3)=(0，-3，3)，所以·=0+5×(-3)+3×3=-6.
又||=3
故在上的投影向量为·==-=(0，1，-1).
5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，G，E，F分别是棱A1B1，CC1和AB的中点，点D是线段AC上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段AD的长为( )
A. B. C. D.1
答案 A
解析 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，以A为原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，EGF=设D(x，0，0)，0
6.在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心=λ=μ=λ，μ∈(0，1)，若PG交平面DEF于点M，且=则λ+μ的最小值为( )
A. B. C.1 D.
答案 C
解析 ∵=+=+×+)=++++)=++∴==++).
∵=λ=μ=∴=++.
∵M，D，E，F四点共面，∴++=1，即+=4.
∵λ+μ=(λ+μ)=≥1，当且仅当λ=μ=时，等号成立，
∴λ+μ的最小值为1.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知空间向量a=(1，1，-1)，b=(-2，2，1)，则下列结论正确的是( )
A.(b-2a)∥a
B.=
C.a与b夹角的余弦值为-
D.a⊥(a+3b)
答案 BCD
解析 对于A，因为b-2a=(-4，0，3)，a=(1，1，-1)，所以≠≠
所以向量b-2a与a不共线，故A不正确；
对于B，因为==3，所以=故B正确；
对于C，因为cos〈a，b〉===-故C正确；
对于D，因为a+3b=(-5，7，2)，所以a·(a+3b)=-5+7-2=0，即a⊥(a+3b)，故D正确.
8.已知a=(-2，-1，3)，b=(1，-3，2)，d=(2，1，m)，下列关于空间向量的命题中，正确的是( )
A.若a⊥c，b⊥c，|c|=则c=(1，1，1)
B.以a，b为邻边的平行四边形的面积是7
C.若a，d的夹角为钝角，则m的取值范围是
D.若m>则a，d的夹角为锐角
答案 BD
解析 对于A，设c=(x，y，z)，a⊥c a·c=0 -2x-y+3z=0，同理，b⊥c b·c=0 x-3y+2z=0，|c|= =得c=(1，1，1)或c=(-1，-1，-1)，故A错误；
对于B，平行四边形的面积S=|a|·|b|sin〈a，b〉=··=14=7故B正确；
对于C，若a，d的夹角为钝角，则a·d<0，a·d=(-2)×2+(-1)×1+3m<0 m<
当a与d的夹角为π时，m=-3，故m∈(-∞，-3)∪故C错误；
对于D，当m>时，a·d=3m-5>0，且a与d夹角不为0，故a，d的夹角为锐角，故D正确.
9.如图，已知AO⊥平面OBC，∠BOC=OA=OB=2，OC=3，E为AB的中点=3则以下选项正确的是( )
A.OF=
B.EF=
C.AB与OC所成角的余弦值为
D.OE与OF所成角的余弦值为
答案 ABC
解析 因为AO⊥平面OBC，OB，OC 平面OBC，
所以OA⊥OB，OA⊥OC，所以·=0·=0，
·=||||cos=-3，
在△OAC中=+=+-)=+
所以||=
=
==
即OF=所以A正确；
在△OEF中=-=+-+)=-+
所以||==
==
即EF=所以B正确；
因为=-·=(-)·=·-·=-3，
||==2
cos===-
所以AB与OC所成角的余弦值为所以C正确；
由以上知OF=EF=且OE=AB=
在△OEF中，由余弦定理得cos∠EOF
==所以D错误.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.若a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，则与a+b方向相反的单位向量是 .
答案
解析 ∵a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，
∴a+b=(0，1，2)，|a+b|==
∴与a+b方向相反的单位向量为-=-=.
11.已知在空间直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，-2，-1)，B(1，4，2)，C(-1，3，1)，AD是△ABC边BC上的高，则AD的长为 .
答案
解析 因为A(1，-2，-1)，B(1，4，2)，C(-1，3，1)，
则=(-2，-1，-1)=(0，6，3)，因为AD是△ABC边BC上的高，
设=λ=λ(-2，-1，-1)=(-2λ，-λ，-λ)，
所以=+=(0，6，3)+(-2λ，-λ，-λ)=(-2λ，6-λ，3-λ)，
则·=0，所以4λ-6+λ-3+λ=0，
解得λ=所以=
则||==
即AD的长为.
12.在△ABC中，各个顶点与对边中点连线，相交于一点，定义为三角形的重心G，此时易得=+).类似地，在三棱锥P-ABC中，各个顶点分别与对面三角形的重心连线，相交于一点，定义为三棱锥的重心G.若设=a=b=c，则= .(用a，b，c表示)
答案 a+b+c
解析 设点D为△ABC的重心，点E为△PBC的重心=+=++)=+-+-)=a+b+c，
=+=-++)=-a+b+c=λ=a+b+c=μ=-μa+b+c，λ，μ∈(0，1)=-即a=-
故解得λ=μ=故=a+b+c.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知a=(3，4，x)，b=(2，y，-2).
(1)若(a+2b)∥(a-b)，求x，y的值；(6分)
(2)若(a+b)⊥(a-b)，且|b|=5，求x的值.(6分)
解 (1)∵a=(3，4，x)，b=(2，y，-2)，
∴a+2b=(7，4+2y，x-4)，
a-b=(1，4-y，x+2).
又(a+2b)∥(a-b)，
∴==解得x=-3，y=.
(2)由(a+b)⊥(a-b)，得(a+b)·(a-b)=0，∴a2-b2=0，∴|a|=|b| =5，即a2=25，∴32+42+x2=25，解得x=0.
14.(12分)如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设=a=b=c.
(1)用a，b，c表示并求EF的长；(6分)
(2)求与夹角的大小.(6分)
解 (1)因为E，F分别为棱BC，AD的中点，而=a=b=c，
所以=++=-+=-)-+=-a-b+c，
因为正四面体ABCD的棱长为1，且a·b=b·c=c·a=
所以||=
==即EF=.
(2)由题意得=++
=-a+c+(b-c)=-a+b+c，
因此·=-(a+b-c)·(a-b-c)=[(a-c)2-b2]=(a2+c2-2a·c-b2)=0，
所以⊥即与的夹角为90°.
15.(13分)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是DD1，DB的中点，点G在棱CD上，且CG=CD，H是C1G的中点.建立适当的空间直角坐标系，
(1)求证：EF⊥B1C；(4分)
(2)求cos〈〉；(4分)
(3)求HF的长.(5分)
(1)证明 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0，0，0)，E(0，0，1)，F(1，1，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，B1(2，2，2)，G.
因为=(1，1，-1)=(-2，0，-2)，
所以·=(1，1，-1)·(-2，0，-2)=1×(-2)+1×0+(-1)×(-2)=0，
所以⊥故EF⊥B1C.
(2)解 因为=
所以||=又||=
所以cos〈〉===×=.
(3)解 因为H是C1G的中点，
所以H
所以=
||===.
即HF=.