周测4 第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷(一)（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 周测4 第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷(一)（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-06 21:27:54 | ||
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文档简介
周测4 单元检测卷(一)
(时间：120分钟 分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知向量a=(1，1，0)，则与a同向共线的单位向量e等于( )
A. B.(0，1，0)
C. D.(-1，-1，0)
2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点=PN=ND，设=a=b=c，则向量为( )
A.a+b+c B.-a+b+c
C.a-b+c D.-a-b+c
3.已知x，y∈R，向量a=(x，1，1)，b=(1，y，1)，c=(2，-4，2)，且a⊥c，b∥c，则x+y的值为( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
4.在棱长为1的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则·等于( )
A. B.-
C. D.-
5.空间中有三点P(1，0，0)，M(1，2，0)，N则点P到直线MN的距离为( )
A. B. C.2 D.
6.阅读以下材料并解决问题，在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m=(A，B，C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，经过点P(x0，y0，z0)且方向向量为n=(μ，υ，ω)(μυω≠0)的直线l的方程为==.现给出平面α的方程为3x-4y+z-7=0，经过(0，0，0)的直线l的方程为==则直线l与平面α的位置关系为( )
A.相交但不垂直 B.l⊥α
C.l∥α D.l α
7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M为PC上一动点，PM=tPC，若∠BMD为钝角，则实数t可能为( )
A. B.
C. D.
8.给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算a×b：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②a，b，a×b三个向量构成右手系(如图1)；③|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉，如图2，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，则下列结论错误的是( )
A.×=
B.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=(×)·
C.×=×
D.(+)×=×+×
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知a，b，c是空间的三个单位向量，下列说法正确的是( )
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.若a，b，c两两共面，则a，b，c共面
C.若是空间的一个基底，则{a+b，b+c，c+a}也是空间的一个基底
D.对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p=xa+yb+zc
10.已知空间向量a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，下列结论正确的是( )
A.|a+b|=3
B.a，b夹角的余弦值为-
C.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为m=(4，2，k)，且l⊥α，则实数k=-2
D.a在b上的投影向量为-b
11.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且A，B，C，D四个顶点在同一平面内，下列结论正确的是( )
A.AE∥平面CDF
B.平面ABE∥平面CDF
C.AB⊥DE
D.平面ACE⊥平面BDF
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.若A(0，1，0)，B(-4，y0，2)，C(2，3，-1)三点共线，则y0= .
13.在矩形ABCD中，AB=1，BC=沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为-则点B与点D之间的距离为 .
14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E，F分别为棱AB，BC上一点，且BE+BF=2，P是线段B1F上一动点，当三棱锥B1-EBF的体积最大时，直线D1P与平面B1EC所成角的正弦值的取值范围为 .
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知空间向量a=(3，2n+1，-1)，b=(m+1，2，2m).
(1)若a∥b，求实数m与n的值；(6分)
(2)若c=(2，m，-1)，且b⊥c，求|b|.(7分)
16.(15分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长度为4，且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求：
(1)BD1的长；(7分)
(2)直线BD1与AC所成角的余弦值.(8分)
17.(15分)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，底面是正方形，AB=2，AA1=1，∠BAA1=60°，∠DAA1=90°=3=2设=a=b=c.
(1)用向量a，b，c表示向量并求NM的长度；(7分)
(2)设点E满足=λ是否存在实数λ使得E，M，N三点共线，若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.(8分)
18.(17分)如图，P，O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，E是AB的中点，AB=kAA1=2.
(1)求证：A1E∥平面PBC；(8分)
(2)当k=时，求点O到平面PBC的距离.(9分)
19.(17分)如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥S-ABCD的体积为.
(1)若E为棱SA的中点，F是棱SB的中点，求直线BC与平面PEF所成的角的大小；(8分)
(2)是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.(9分)
周测4 单元检测卷(一)
(时间：120分钟 分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知向量a=(1，1，0)，则与a同向共线的单位向量e等于( )
A. B.(0，1，0)
C. D.(-1，-1，0)
答案 C
解析 因为向量a=(1，1，0)，所以|a|=所以与a同向共线的单位向量e=.
2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点=PN=ND，设=a=b=c，则向量为( )
A.a+b+c B.-a+b+c
C.a-b+c D.-a-b+c
答案 D
解析 =++
=-+
=-+-)
=--+
=-a-b+c.
3.已知x，y∈R，向量a=(x，1，1)，b=(1，y，1)，c=(2，-4，2)，且a⊥c，b∥c，则x+y的值为( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
答案 A
解析 由a⊥c，b∥c得
解得则x+y=-1.
4.在棱长为1的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则·等于( )
A. B.-
C. D.-
答案 A
解析 因为=+所以·=·(+)=·+·又||=||=1，||===所以·=1×1×cos +1××cos =.
5.空间中有三点P(1，0，0)，M(1，2，0)，N则点P到直线MN的距离为( )
A. B. C.2 D.
答案 A
解析 =(0，2，0)=
则·=-2，||=2，||=则==
所以点P到直线MN的距离为==.
6.阅读以下材料并解决问题，在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m=(A，B，C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，经过点P(x0，y0，z0)且方向向量为n=(μ，υ，ω)(μυω≠0)的直线l的方程为==.现给出平面α的方程为3x-4y+z-7=0，经过(0，0，0)的直线l的方程为==则直线l与平面α的位置关系为( )
A.相交但不垂直 B.l⊥α
C.l∥α D.l α
答案 C
解析 由题意可得，平面α的一个法向量为m=(3，-4，1)，直线l的一个方向向量为n=(3，2，-1)，
m·n=9-8-1=0，∴m⊥n，
又点(0，0，0)在直线l上但不在平面α内，∴l∥α.
7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M为PC上一动点，PM=tPC，若∠BMD为钝角，则实数t可能为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设PA=1，故P(0，0，1)，C(1，1，0)=(1，1，-1)，
则=t=(t，t，-t)，即M(t，t，1-t)，
又因为∠BMD为钝角，所以·<0，
由B(1，0，0)，D(0，1，0)，可知=(1-t，-t，t-1)=(-t，1-t，t-1)，
·=-t(1-t)-t(1-t)+(t-1)2<0，
整理得3t2-4t+1<0，
解得8.给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算a×b：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②a，b，a×b三个向量构成右手系(如图1)；③|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉，如图2，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，则下列结论错误的是( )
A.×=
B.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=(×)·
C.×=×
D.(+)×=×+×
答案 C
解析 对于A同时与垂直三个向量构成右手系，
且|×|=||||sin=2×2×sin 90°=4，||=4，
所以|×|=||，故×=所以选项A正确；
对于B，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为2×2×4=16，
又因为(×)·=·==16，所以长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=(×)·故选项B正确；
对于C，根据定义可得×=×=-所以×≠×故选项C不正确；
对于D，因为|(+)×|=|×|=2×4×sin 90°=8且×与同向共线，故(+)×=4|×|=2×4×sin 90°=8，且×与同向共线，故×=4又因为|×|=2×4×sin 90°=8×与同向共线，故×=4所以×+×=4+4=4所以(+)×=×+×故选项D正确.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知a，b，c是空间的三个单位向量，下列说法正确的是( )
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.若a，b，c两两共面，则a，b，c共面
C.若是空间的一个基底，则{a+b，b+c，c+a}也是空间的一个基底
D.对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p=xa+yb+zc
答案 AC
解析 a，b，c是空间的三个单位向量，由a∥b，b∥c，则a∥c，故A正确；
a，b，c两两共面，但是a，b，c不一定共面，a，b，c可能两两垂直，故B错误；
若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c不共面，可知{a+b，b+c，c+a}也不共面，所以{a+b，b+c，c+a}也是空间的一个基底，故C正确；
由空间向量基本定理可知，只有当a，b，c不共面时才能作为基底，才能得到空间的任意一个向量p=xa+yb+zc，故D错误.
10.已知空间向量a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，下列结论正确的是( )
A.|a+b|=3
B.a，b夹角的余弦值为-
C.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为m=(4，2，k)，且l⊥α，则实数k=-2
D.a在b上的投影向量为-b
答案 BCD
解析 对于A，a+b=(1，3，6)，|a+b|==故A错误；
对于B，因为a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，所以|a|==
|b|==5
a·b=-2×3-1×4+1×5=-5，则cos〈a，b〉===-故B正确；
对于C，因为l⊥α，所以a∥m，则==解得k=-2，故C正确；
对于D，a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·=××=-b，故D正确.
11.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且A，B，C，D四个顶点在同一平面内，下列结论正确的是( )
A.AE∥平面CDF
B.平面ABE∥平面CDF
C.AB⊥DE
D.平面ACE⊥平面BDF
答案 ABD
解析 由题意该八面体为正八面体，设其中心为O，连接OB，OC，OE，易知OB，OC，OE两两垂直，以O为原点，OB，OC，OE分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正八面体的边长为2，则A(0，-0)，E(0，0)，C(00)，D(-0，0)，F(0，0，-)，
所以=(0)=(--0)=(0，--)，
设平面CDF的法向量为n=(x，y，z)，
则取x=1，即n=(1，-1，1)，
又·n=-+=0，所以⊥n，AE 平面CDF，即AE∥平面CDF，A正确；
由A项知AE∥平面CDF，
又AB∥CD，AB 平面CDF，CD 平面CDF，则AB∥平面CDF，
由AB∩AE=A，AE，AB 平面ABE，所以平面ABE∥平面CDF，B正确；
因为B(0，0)=(0)=(0)，所以·=2，
所以AB与DE不垂直，C错误；
易知平面ACE的一个法向量为n1=(1，0，0)，平面BDF的一个法向量为n2=(0，1，0)，
因为n1·n2=0，所以平面ACE⊥平面BDF，D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.若A(0，1，0)，B(-4，y0，2)，C(2，3，-1)三点共线，则y0= .
答案 -3
解析 因为A(0，1，0)，B(-4，y0，2)，C(2，3，-1)三点共线，
所以=λ即(-4，y0-1，2)=λ(2，2，-1)，
所以解得
13.在矩形ABCD中，AB=1，BC=沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为-则点B与点D之间的距离为 .
答案
解析 过点B和点D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，
∵AB=1，BC=∴AC=2，
∵AB·BC=AC·BE，∴BE=DF=
则AE=CF=即EF=2-1=1，
∵平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为-∴cos=-
∵=++
∴||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=+1+-2×××=3，
则||=即点B与点D之间的距离为.
14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E，F分别为棱AB，BC上一点，且BE+BF=2，P是线段B1F上一动点，当三棱锥B1-EBF的体积最大时，直线D1P与平面B1EC所成角的正弦值的取值范围为 .
答案
解析 当三棱锥B1-EBF的体积最大时，△EBF的面积最大，S△EBF=BE·BF≤·=当且仅当BE=BF=1时，等号成立，
此时，E为AB的中点，点F与点C重合.
如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则D1(0，0，1)，B1(1，2，1)，E(1，1，0)，C(0，2，0)=(-1，1，0)=(0，1，1)=(1，0，1)，
设平面B1EC的法向量为m=(x，y，z)，
则
令x=1，则m=(1，1，-1).
设=λ=(λ，0，λ)，λ∈[0，1]，
∴P(λ，2，λ)，∴=(λ，2，λ-1).
设直线D1P与平面B1EC所成的角为θ，
∴sin θ=
==
=.
∵λ∈[0，1]，∴当λ=时，sin θ取得最大值；
当λ=0或λ=1时，sin θ取得最小值
∴当三棱锥B1-EBF的体积最大时，直线D1P与平面B1EC所成角的正弦值的取值范围为.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知空间向量a=(3，2n+1，-1)，b=(m+1，2，2m).
(1)若a∥b，求实数m与n的值；(6分)
(2)若c=(2，m，-1)，且b⊥c，求|b|.(7分)
解 (1)根据题意知a∥b，故可设b=ka，k∈R，
则解得
(2)因为b=(m+1，2，2m)，c=(2，m，-1)，且b⊥c，
所以b·c=2(m+1)+2m-2m=0，解得m=-1.
得b=(0，2，-2)，所以|b|==2.
16.(15分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长度为4，且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求：
(1)BD1的长；(7分)
(2)直线BD1与AC所成角的余弦值.(8分)
解 (1)∵=++
∴||2=(++)2
=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=42+22+22+2×4×2cos 60°+2×4×2cos 120°+2×2×2cos 90°
=24，
∴BD1的长为2.
(2)∵=+
∴||2=(+)2=||2+||2+2·=22+22+0=8，
∴||=2
∵||=2
·=(+)·(++)
=·+·+·+·+·+·
=2×4cos 120°+2×2cos 180°+2×2cos 90°+2×4cos 120°+2×2cos 90°+2×2cos 0°=-8，
∴
===
∴直线BD1与AC所成角的余弦值为.
17.(15分)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，底面是正方形，AB=2，AA1=1，∠BAA1=60°，∠DAA1=90°=3=2设=a=b=c.
(1)用向量a，b，c表示向量并求NM的长度；(7分)
(2)设点E满足=λ是否存在实数λ使得E，M，N三点共线，若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.(8分)
解 (1)因为=+=+=+++)=a+b+c，
=+=+
=++)=a+b+c，
所以=-=-=-a-b-c，
所以||=
==
==
所以NM=.
(2)假设存在λ满足条件，所以=-=λ-
=λ(a+b)-
=a+b-c，
因为E，M，N三点共线，所以设=k
所以-a-b-c
=k
所以
解得故λ=满足条件.
18.(17分)如图，P，O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，E是AB的中点，AB=kAA1=2.
(1)求证：A1E∥平面PBC；(8分)
(2)当k=时，求点O到平面PBC的距离.(9分)
(1)证明 四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，OA，OB，OP显然两两垂直，
∴以点O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则得A1E(1，1，0)，PB(0，2，0)，C(-2，0，0)，
∴==(-2，-2，0)，
=.
设=x+y得=
x(-2，-2，0)+y
解得x=y=1，∴=+
∵BC∩PB=B，A1E 平面PBC，BC，PB 平面PBC，∴A1E∥平面PBC.
(2)解 当k=时，得P(0，0，2)，则=(-2，-2，0)=(0，2，-2).
设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)，则由得取x=1，
则平面PBC的一个法向量为n=(1，-1，-1)，
设点O到平面PBC的距离为d，
又=(0，0，2)，
∴d===.
故点O到平面PBC的距离为.
19.(17分)如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥S-ABCD的体积为.
(1)若E为棱SA的中点，F是棱SB的中点，求直线BC与平面PEF所成的角的大小；(8分)
(2)是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.(9分)
解 (1)取BC的中点Q，连接PQ，则PQ∥AB，PQ⊥AD，
因为△SAD是等边三角形，P为棱AD的中点，所以SP⊥AD，
因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SP 平面SAD，
所以SP⊥平面ABCD，
又PQ 平面ABCD，所以SP⊥PQ，
则VS-ABCD=SP·AD·AB=AD2=所以AD=2，则SP=
如图，以P为原点，PA，PQ，PS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B(1，1，0)，C(-1，1，0)，E
F
=(2，0，0)==
设平面PEF的法向量为n=(x，y，z)，直线BC与平面PEF所成的角为θ
则
令z=-1，则n=
所以sin θ=
===
所以直线BC与平面PEF所成的角为.
(2)假设存在，设SE=λSA，λ∈[0，1]，
B(1，1，0)，Q(0，1，0)，A(1，0，0)，S(0，0)，
由(1)得PQ⊥AD，PQ⊥SP，
因为SP∩AD=P，SP，AD 平面SAD，所以PQ⊥平面SAD，
则=(0，1，0)即为平面SAD的一个法向量，
=(1，1，0)=(1，0，-)=(0，0)=λ=(λ，0，-λ)，
则=+=(λ，0-λ)，
设m=(a，b，c)为平面PEB的法向量，
则
令c=λ，则m=(λ--λ，λ)，
则=
==化简得3λ2+2λ-1=0，解得λ=或λ=-1(舍去)，
所以存在点E在靠近点S的线段SA的三等分点处，使得平面PEB与平面SAD夹角的余弦值为.
(时间：120分钟 分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知向量a=(1，1，0)，则与a同向共线的单位向量e等于( )
A. B.(0，1，0)
C. D.(-1，-1，0)
2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点=PN=ND，设=a=b=c，则向量为( )
A.a+b+c B.-a+b+c
C.a-b+c D.-a-b+c
3.已知x，y∈R，向量a=(x，1，1)，b=(1，y，1)，c=(2，-4，2)，且a⊥c，b∥c，则x+y的值为( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
4.在棱长为1的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则·等于( )
A. B.-
C. D.-
5.空间中有三点P(1，0，0)，M(1，2，0)，N则点P到直线MN的距离为( )
A. B. C.2 D.
6.阅读以下材料并解决问题，在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m=(A，B，C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，经过点P(x0，y0，z0)且方向向量为n=(μ，υ，ω)(μυω≠0)的直线l的方程为==.现给出平面α的方程为3x-4y+z-7=0，经过(0，0，0)的直线l的方程为==则直线l与平面α的位置关系为( )
A.相交但不垂直 B.l⊥α
C.l∥α D.l α
7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M为PC上一动点，PM=tPC，若∠BMD为钝角，则实数t可能为( )
A. B.
C. D.
8.给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算a×b：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②a，b，a×b三个向量构成右手系(如图1)；③|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉，如图2，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，则下列结论错误的是( )
A.×=
B.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=(×)·
C.×=×
D.(+)×=×+×
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知a，b，c是空间的三个单位向量，下列说法正确的是( )
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.若a，b，c两两共面，则a，b，c共面
C.若是空间的一个基底，则{a+b，b+c，c+a}也是空间的一个基底
D.对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p=xa+yb+zc
10.已知空间向量a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，下列结论正确的是( )
A.|a+b|=3
B.a，b夹角的余弦值为-
C.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为m=(4，2，k)，且l⊥α，则实数k=-2
D.a在b上的投影向量为-b
11.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且A，B，C，D四个顶点在同一平面内，下列结论正确的是( )
A.AE∥平面CDF
B.平面ABE∥平面CDF
C.AB⊥DE
D.平面ACE⊥平面BDF
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.若A(0，1，0)，B(-4，y0，2)，C(2，3，-1)三点共线，则y0= .
13.在矩形ABCD中，AB=1，BC=沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为-则点B与点D之间的距离为 .
14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E，F分别为棱AB，BC上一点，且BE+BF=2，P是线段B1F上一动点，当三棱锥B1-EBF的体积最大时，直线D1P与平面B1EC所成角的正弦值的取值范围为 .
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知空间向量a=(3，2n+1，-1)，b=(m+1，2，2m).
(1)若a∥b，求实数m与n的值；(6分)
(2)若c=(2，m，-1)，且b⊥c，求|b|.(7分)
16.(15分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长度为4，且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求：
(1)BD1的长；(7分)
(2)直线BD1与AC所成角的余弦值.(8分)
17.(15分)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，底面是正方形，AB=2，AA1=1，∠BAA1=60°，∠DAA1=90°=3=2设=a=b=c.
(1)用向量a，b，c表示向量并求NM的长度；(7分)
(2)设点E满足=λ是否存在实数λ使得E，M，N三点共线，若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.(8分)
18.(17分)如图，P，O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，E是AB的中点，AB=kAA1=2.
(1)求证：A1E∥平面PBC；(8分)
(2)当k=时，求点O到平面PBC的距离.(9分)
19.(17分)如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥S-ABCD的体积为.
(1)若E为棱SA的中点，F是棱SB的中点，求直线BC与平面PEF所成的角的大小；(8分)
(2)是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.(9分)
周测4 单元检测卷(一)
(时间：120分钟 分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知向量a=(1，1，0)，则与a同向共线的单位向量e等于( )
A. B.(0，1，0)
C. D.(-1，-1，0)
答案 C
解析 因为向量a=(1，1，0)，所以|a|=所以与a同向共线的单位向量e=.
2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点=PN=ND，设=a=b=c，则向量为( )
A.a+b+c B.-a+b+c
C.a-b+c D.-a-b+c
答案 D
解析 =++
=-+
=-+-)
=--+
=-a-b+c.
3.已知x，y∈R，向量a=(x，1，1)，b=(1，y，1)，c=(2，-4，2)，且a⊥c，b∥c，则x+y的值为( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
答案 A
解析 由a⊥c，b∥c得
解得则x+y=-1.
4.在棱长为1的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则·等于( )
A. B.-
C. D.-
答案 A
解析 因为=+所以·=·(+)=·+·又||=||=1，||===所以·=1×1×cos +1××cos =.
5.空间中有三点P(1，0，0)，M(1，2，0)，N则点P到直线MN的距离为( )
A. B. C.2 D.
答案 A
解析 =(0，2，0)=
则·=-2，||=2，||=则==
所以点P到直线MN的距离为==.
6.阅读以下材料并解决问题，在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m=(A，B，C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，经过点P(x0，y0，z0)且方向向量为n=(μ，υ，ω)(μυω≠0)的直线l的方程为==.现给出平面α的方程为3x-4y+z-7=0，经过(0，0，0)的直线l的方程为==则直线l与平面α的位置关系为( )
A.相交但不垂直 B.l⊥α
C.l∥α D.l α
答案 C
解析 由题意可得，平面α的一个法向量为m=(3，-4，1)，直线l的一个方向向量为n=(3，2，-1)，
m·n=9-8-1=0，∴m⊥n，
又点(0，0，0)在直线l上但不在平面α内，∴l∥α.
7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M为PC上一动点，PM=tPC，若∠BMD为钝角，则实数t可能为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设PA=1，故P(0，0，1)，C(1，1，0)=(1，1，-1)，
则=t=(t，t，-t)，即M(t，t，1-t)，
又因为∠BMD为钝角，所以·<0，
由B(1，0，0)，D(0，1，0)，可知=(1-t，-t，t-1)=(-t，1-t，t-1)，
·=-t(1-t)-t(1-t)+(t-1)2<0，
整理得3t2-4t+1<0，
解得
A.×=
B.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=(×)·
C.×=×
D.(+)×=×+×
答案 C
解析 对于A同时与垂直三个向量构成右手系，
且|×|=||||sin=2×2×sin 90°=4，||=4，
所以|×|=||，故×=所以选项A正确；
对于B，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为2×2×4=16，
又因为(×)·=·==16，所以长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=(×)·故选项B正确；
对于C，根据定义可得×=×=-所以×≠×故选项C不正确；
对于D，因为|(+)×|=|×|=2×4×sin 90°=8且×与同向共线，故(+)×=4|×|=2×4×sin 90°=8，且×与同向共线，故×=4又因为|×|=2×4×sin 90°=8×与同向共线，故×=4所以×+×=4+4=4所以(+)×=×+×故选项D正确.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知a，b，c是空间的三个单位向量，下列说法正确的是( )
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.若a，b，c两两共面，则a，b，c共面
C.若是空间的一个基底，则{a+b，b+c，c+a}也是空间的一个基底
D.对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p=xa+yb+zc
答案 AC
解析 a，b，c是空间的三个单位向量，由a∥b，b∥c，则a∥c，故A正确；
a，b，c两两共面，但是a，b，c不一定共面，a，b，c可能两两垂直，故B错误；
若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c不共面，可知{a+b，b+c，c+a}也不共面，所以{a+b，b+c，c+a}也是空间的一个基底，故C正确；
由空间向量基本定理可知，只有当a，b，c不共面时才能作为基底，才能得到空间的任意一个向量p=xa+yb+zc，故D错误.
10.已知空间向量a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，下列结论正确的是( )
A.|a+b|=3
B.a，b夹角的余弦值为-
C.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为m=(4，2，k)，且l⊥α，则实数k=-2
D.a在b上的投影向量为-b
答案 BCD
解析 对于A，a+b=(1，3，6)，|a+b|==故A错误；
对于B，因为a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，所以|a|==
|b|==5
a·b=-2×3-1×4+1×5=-5，则cos〈a，b〉===-故B正确；
对于C，因为l⊥α，所以a∥m，则==解得k=-2，故C正确；
对于D，a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·=××=-b，故D正确.
11.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且A，B，C，D四个顶点在同一平面内，下列结论正确的是( )
A.AE∥平面CDF
B.平面ABE∥平面CDF
C.AB⊥DE
D.平面ACE⊥平面BDF
答案 ABD
解析 由题意该八面体为正八面体，设其中心为O，连接OB，OC，OE，易知OB，OC，OE两两垂直，以O为原点，OB，OC，OE分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正八面体的边长为2，则A(0，-0)，E(0，0)，C(00)，D(-0，0)，F(0，0，-)，
所以=(0)=(--0)=(0，--)，
设平面CDF的法向量为n=(x，y，z)，
则取x=1，即n=(1，-1，1)，
又·n=-+=0，所以⊥n，AE 平面CDF，即AE∥平面CDF，A正确；
由A项知AE∥平面CDF，
又AB∥CD，AB 平面CDF，CD 平面CDF，则AB∥平面CDF，
由AB∩AE=A，AE，AB 平面ABE，所以平面ABE∥平面CDF，B正确；
因为B(0，0)=(0)=(0)，所以·=2，
所以AB与DE不垂直，C错误；
易知平面ACE的一个法向量为n1=(1，0，0)，平面BDF的一个法向量为n2=(0，1，0)，
因为n1·n2=0，所以平面ACE⊥平面BDF，D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.若A(0，1，0)，B(-4，y0，2)，C(2，3，-1)三点共线，则y0= .
答案 -3
解析 因为A(0，1，0)，B(-4，y0，2)，C(2，3，-1)三点共线，
所以=λ即(-4，y0-1，2)=λ(2，2，-1)，
所以解得
13.在矩形ABCD中，AB=1，BC=沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为-则点B与点D之间的距离为 .
答案
解析 过点B和点D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，
∵AB=1，BC=∴AC=2，
∵AB·BC=AC·BE，∴BE=DF=
则AE=CF=即EF=2-1=1，
∵平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为-∴cos=-
∵=++
∴||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=+1+-2×××=3，
则||=即点B与点D之间的距离为.
14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E，F分别为棱AB，BC上一点，且BE+BF=2，P是线段B1F上一动点，当三棱锥B1-EBF的体积最大时，直线D1P与平面B1EC所成角的正弦值的取值范围为 .
答案
解析 当三棱锥B1-EBF的体积最大时，△EBF的面积最大，S△EBF=BE·BF≤·=当且仅当BE=BF=1时，等号成立，
此时，E为AB的中点，点F与点C重合.
如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则D1(0，0，1)，B1(1，2，1)，E(1，1，0)，C(0，2，0)=(-1，1，0)=(0，1，1)=(1，0，1)，
设平面B1EC的法向量为m=(x，y，z)，
则
令x=1，则m=(1，1，-1).
设=λ=(λ，0，λ)，λ∈[0，1]，
∴P(λ，2，λ)，∴=(λ，2，λ-1).
设直线D1P与平面B1EC所成的角为θ，
∴sin θ=
==
=.
∵λ∈[0，1]，∴当λ=时，sin θ取得最大值；
当λ=0或λ=1时，sin θ取得最小值
∴当三棱锥B1-EBF的体积最大时，直线D1P与平面B1EC所成角的正弦值的取值范围为.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知空间向量a=(3，2n+1，-1)，b=(m+1，2，2m).
(1)若a∥b，求实数m与n的值；(6分)
(2)若c=(2，m，-1)，且b⊥c，求|b|.(7分)
解 (1)根据题意知a∥b，故可设b=ka，k∈R，
则解得
(2)因为b=(m+1，2，2m)，c=(2，m，-1)，且b⊥c，
所以b·c=2(m+1)+2m-2m=0，解得m=-1.
得b=(0，2，-2)，所以|b|==2.
16.(15分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长度为4，且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求：
(1)BD1的长；(7分)
(2)直线BD1与AC所成角的余弦值.(8分)
解 (1)∵=++
∴||2=(++)2
=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=42+22+22+2×4×2cos 60°+2×4×2cos 120°+2×2×2cos 90°
=24，
∴BD1的长为2.
(2)∵=+
∴||2=(+)2=||2+||2+2·=22+22+0=8，
∴||=2
∵||=2
·=(+)·(++)
=·+·+·+·+·+·
=2×4cos 120°+2×2cos 180°+2×2cos 90°+2×4cos 120°+2×2cos 90°+2×2cos 0°=-8，
∴
===
∴直线BD1与AC所成角的余弦值为.
17.(15分)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，底面是正方形，AB=2，AA1=1，∠BAA1=60°，∠DAA1=90°=3=2设=a=b=c.
(1)用向量a，b，c表示向量并求NM的长度；(7分)
(2)设点E满足=λ是否存在实数λ使得E，M，N三点共线，若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.(8分)
解 (1)因为=+=+=+++)=a+b+c，
=+=+
=++)=a+b+c，
所以=-=-=-a-b-c，
所以||=
==
==
所以NM=.
(2)假设存在λ满足条件，所以=-=λ-
=λ(a+b)-
=a+b-c，
因为E，M，N三点共线，所以设=k
所以-a-b-c
=k
所以
解得故λ=满足条件.
18.(17分)如图，P，O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，E是AB的中点，AB=kAA1=2.
(1)求证：A1E∥平面PBC；(8分)
(2)当k=时，求点O到平面PBC的距离.(9分)
(1)证明 四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，OA，OB，OP显然两两垂直，
∴以点O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则得A1E(1，1，0)，PB(0，2，0)，C(-2，0，0)，
∴==(-2，-2，0)，
=.
设=x+y得=
x(-2，-2，0)+y
解得x=y=1，∴=+
∵BC∩PB=B，A1E 平面PBC，BC，PB 平面PBC，∴A1E∥平面PBC.
(2)解 当k=时，得P(0，0，2)，则=(-2，-2，0)=(0，2，-2).
设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)，则由得取x=1，
则平面PBC的一个法向量为n=(1，-1，-1)，
设点O到平面PBC的距离为d，
又=(0，0，2)，
∴d===.
故点O到平面PBC的距离为.
19.(17分)如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥S-ABCD的体积为.
(1)若E为棱SA的中点，F是棱SB的中点，求直线BC与平面PEF所成的角的大小；(8分)
(2)是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.(9分)
解 (1)取BC的中点Q，连接PQ，则PQ∥AB，PQ⊥AD，
因为△SAD是等边三角形，P为棱AD的中点，所以SP⊥AD，
因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SP 平面SAD，
所以SP⊥平面ABCD，
又PQ 平面ABCD，所以SP⊥PQ，
则VS-ABCD=SP·AD·AB=AD2=所以AD=2，则SP=
如图，以P为原点，PA，PQ，PS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B(1，1，0)，C(-1，1，0)，E
F
=(2，0，0)==
设平面PEF的法向量为n=(x，y，z)，直线BC与平面PEF所成的角为θ
则
令z=-1，则n=
所以sin θ=
===
所以直线BC与平面PEF所成的角为.
(2)假设存在，设SE=λSA，λ∈[0，1]，
B(1，1，0)，Q(0，1，0)，A(1，0，0)，S(0，0)，
由(1)得PQ⊥AD，PQ⊥SP，
因为SP∩AD=P，SP，AD 平面SAD，所以PQ⊥平面SAD，
则=(0，1，0)即为平面SAD的一个法向量，
=(1，1，0)=(1，0，-)=(0，0)=λ=(λ，0，-λ)，
则=+=(λ，0-λ)，
设m=(a，b，c)为平面PEB的法向量，
则
令c=λ，则m=(λ--λ，λ)，
则=
==化简得3λ2+2λ-1=0，解得λ=或λ=-1(舍去)，
所以存在点E在靠近点S的线段SA的三等分点处，使得平面PEB与平面SAD夹角的余弦值为.