湖南省邵阳市武冈市城东中学2025-2026学年高三上学期开学数学摸底检测试卷（含解析）

湖南省武冈市城东中学2025-2026学年高三上学期开学
数学摸底检测试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]若复数满足（i是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．[5分]已知11位同学的身高（单位：cm）分别是167，172，172，175，178，178，182，185，186，188，190，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A．185 B．185.5
C．186 D．186.5
3．[5分]已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．[5分]已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．[5分]已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．[5分]设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．[5分]记数列的前n项和为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．[5分]已知正方体的棱长为3，平面平面且与线段，分别交于点，则长度的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
二、多选题（本大题共3小题，共15分）
9．[5分]用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（ ）
A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．圆 D．椭圆
10．[5分]在的展开式中,下列说法正确的是( )
A．常数项是 B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为 D．各项的系数之和为
11．[5分]下列命题中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]的展开式中x的系数为 .
13．[5分]已知等比数列满足且，则的取值范围是 ．
14．[5分]设命题：已知，，且，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若命题、中有一个为真命题，一个为假命题，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．[15分]（1）已知，求实数的值；
（2）已知，求实数，的值.
16．[15分]已知，，全集
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
17．[14分]某研究小组为了探究成年男士的身高与体重之间是否存在关联，随机选取成年男士人，其中身高（单位：）服从正态分布，体重（单位：）服从正态分布，得到数据如下表．参考数据：若，则．
身高 体重 合计
大于 小于或等于
大于
小于或等于
总计
附：，其中．
（1）根据正态分布估计和的值；
（2）若，根据小概率值的独立性检验，分析成年男士身高超过与体重超过是否有关联？
18．[18分]如图，已知扇形的圆心角为，半径为1，是弧上任意一点，作矩形内接于该扇形．

（1）设，试用表示矩形的面积，并指出的取值范围；
（2）点在什么位置时，矩形的面积最大？并说明理由．
19．[18分]在平面直角坐标系中，锐角、的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为、．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．
（1）求的值；
（2）求的值．
数学摸底检测试卷参考答案
1．【答案】C
【详解】根据题意，.
故选C.
2．【答案】C
【详解】因为，所以第80百分位数是从小到大第9个，所以为186.
故选C.
3．【答案】D
【详解】，
所以.
故选D
4．【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，解得，
故选D
5．【答案】B
【详解】由对数函数的性质可得，解得，
所以，
，
所以.
故选B.
6．【答案】C
【详解】因为，所以，
由函数在区间恰有三个极值点、两个零点，
得，解得.
故选C.
7．【答案】C
【详解】因，则当时，，
两式作差得，即，
因，，则，不满足，
则数列从第项起为等比数列，则，
.
故选C
8．【答案】C
【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接，
因为正方体的棱长为3，所以，，
，，，而，，
，，由题意得共线，共线，
设，，，，
则，，，
得到，，，解得，则，
而，故，
得到，，，
解得，，，则，
故，
设面的法向量为，结合，，
则，，
令，解得，，故，
因为平面平面，所以也是面的法向量，
则，即，解得，此时，
由向量模长公式得，
，
若最小，则最小即可，
令，由二次函数性质得对称轴为，
而，则当时，取得最小值，最小值为，
则的最小值为，即的最小值为，故C正确.
故选C.
9．【答案】CD
【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆，
若平面与底面的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆.
故选CD
10．【答案】AC
【详解】根据二项式定理,的通项公式为,
对于A,常数项为,故A正确;
对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误;
对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确;
对于D,令,各项的系数之和为,故D错误.
故选:AC.
11．【答案】ABD
【详解】A中，因为，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，
而，故，此时必定成立，故A正确；
B中，因为，所以，所以，所以，
当且仅当时等号成立，故B正确；
C中，因为，由基本不等式可知成立，当时等号成立，
故,故C错误；
D中，因为，由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，故D正确.
故选ABD
12．【答案】11
【详解】当第一个括号取2，第二个括号取的一次项时，展开式中的系数为；
当第一个括号取，第二个括号取常数项时，展开式中的系数为，
故展开式中的系数为.
13．【答案】
【详解】因为为等比数列，所以.
令，
则.
因为，所以.
当时，，此时恒成立，在上单调递增，
，所以一定有解，即，使得成立.
当时，，则，此时单调递增；，则，此时单调递减.
为使有解，则，
整理得，解得.
又，所以.
综上，的取值范围是.
14．【答案】
【详解】对于：，所以，当且仅当时取等号，
恒成立，则，即；
对于：存在，使得不等式成立，
只需，
而，，；
因为，有一真一假，所以
若为假命题，为真命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，则，所以.
综上，或.
15．【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）若时，解得，此时，，不满足集合的互异性，所以，
若时，解得或，当时，，，所以满足题意，
当时，，，不满足集合的互异性，所以，
若，解得（舍）或（舍），
综上，实数的值为.
（2）因为，则或，
由，解得，由，解得，
经检验，和均符合题意，
综上，或.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）当时，，
所以或，
又因为，
所以.
（2）由可得.
所以当时，有，解得；
当时，有，解得.
综上，所以的取值范围为.
17．【答案】（1）a＋b＝16，b＋d＝84
（2）有关联
【详解】（1）因为该地区成年男士的身高（单位：）服从正态分布，
由正态分布可得，
所以可得从该地区随机选取成年男士人，
则身高大于的人数约为人，所以，
因为体重（单位：）服从正态分布．
由正态分布可得，
所以可得从该地区随机选取成年男士人，则体重大于的人数约为人，
所以体重小于或等于的人数约为人，故．
（2）若，则，，，
零假设：该地区成年男士身高超过与体重超过无关，
计算可得，
由小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以该地区成年男士身高超过与体重超过有关联．
18．【答案】（1），
（2）当点是弧的中点时，矩形的面积最大，最大为
【详解】（1）由题意，则，，

在中，，则，
于是矩形的面积
，其中；
（2）由（1），，
由于，则，
当，即当时，矩形的面积最大，最大值为，此时点是弧的中点．
因此，当点是弧的中点时，矩形的面积最大，最大值为.
19．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）解：利用三角函数的定义可得，，
又、是锐角，所以，，
所以，.
（2）解：因为，，
又是锐角，则，所以，
又因为，则，
而，所以．
第 page number 页，共 number of pages 页
第 page number 页，共 number of pages 页