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第三章 函数
章末总结
网络构建
归纳整合
「网络建构」
「知识辨析」
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”.
1.函数的定义域、值域都是集合.( )
√
×
√
√
×
6.建立的函数模型必须真实地反映原型的特征和关系.( )
√
√
8.函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.( )
×
√
×
题型归纳
素养提升
题型一 函数概念及性质
角度一 函数三要素
D
B
C
A.2 B.4 C.7 D.10
角度二 函数性质的综合应用
题型二 二次函数在闭区间上的最值问题
规律方法
二次函数在闭区间上的最值问题一般有以下两类题型
（1）定轴动区间，此时讨论对称轴与区间端点的位置关系.
（2）定区间动轴，此时讨论对称轴与区间的位置关系.
注意：对于闭区间上含参数的二次函数的最值，应对系数进行讨论，要遵守分类讨论中
的三原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽
量避免分类，决不无原则地分类讨论.
题型三 函数的零点与方程的根的关系
规律方法
对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程
的根；对于连续函数，利用零点存在定理，可用来求参数的取值范围.
题型四 函数的模型应用
（2）当2023年产量为多少辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由.
规律方法
解函数应用问题的步骤
（1）审题:弄清题意,理顺数量关系,初步选择数学模型;
（2）建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,建立相应的数学模型;
（3）解模:求解数学模型,得出数学结论;
（4）还原:将数学问题还原为实际问题的意义.章末总结
网络建构
知识辨析
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
1.函数的定义域、值域都是集合.( √ )
2.根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( × )
3.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有一个交点.( √ )
4.直线y=b与R上的增函数的图象至多有一个交点.( √ )
5.函数y=f(x)-g(x)的零点即方程=1的根.( × )
6.建立的函数模型必须真实地反映原型的特征和关系.( √ )
7.函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率=.( √ )
8.函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.( × )
9.若奇函数f(x)在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M.( √ )
10.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)f(b)<0.( × )
题型一 函数概念及性质
角度一 函数三要素
[典例1] (1)已知函数f(2x-3)的定义域为[1,3),则函数f(1-3x)的定义域为( )
A.(-,] B.(-,]
C.(-8,-5] D.(-,]
(2)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-5.1]=-6,[π]=3.已知函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域为( )
A.{-1} B.{-1,0}
C.{1} D.{0,1}
(3)已知函数f(x)在R上是单调函数,且满足对任意x∈R,都有f(f(x)-3x)=4,则f(2)的值是( )
A.2 B.4 C.7 D.10
解析:(1)因为函数f(2x-3)的定义域为[1,3),即1≤x<3,所以-1≤2x-3<3,
所以函数f(x)的定义域为[-1,3),
所以-1≤1-3x<3,所以-
所以函数f(1-3x)的定义域为(-,].
故选D.
(2)因为x∈R,f(-x)=-f(x),
所以f(x)是R上的奇函数.
当x>0时,0所以当x∈R时,f(x)∈[-,],
从而y=[f(x)]的值域为{-1,0}.
故选B.
(3)因为f(x)在R上是单调函数,
所以可令f(x)-3x=t,所以f(x)=3x+t,
所以f(t)=4t=4,解得t=1,
所以f(x)=3x+1,所以f(2)=3×2+1=7.
故选C.
抽象函数定义域的求法
(1)已知原函数f(x)的定义域为(a,b),求复合函数f(g(x))的定义域,只需解不等式a(2)已知复合函数f(g(x))的定义域为(a,b),求原函数f(x)的定义域,只需根据a义域.
角度二 函数性质的综合应用
[典例2] 已知f(x)是定义在[-5,5]上的奇函数,且f(-5)=-2,若对任意的m,n∈[-5,5],m+n≠0,都有>0.
(1)若f(2a-1)(2)若不等式f(x)≤(a-2)t+5对任意x∈[-5,5]和a∈[-3,0]都恒成立,求t的取值范围.
解:(1)设任意x1,x2满足-5≤x1由题意可得
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)<0,
即f(x1)所以f(x)在定义域[-5,5]上是增函数,
由f(2a-1)得解得2故a的取值范围为(2,].
(2)由(1)知f(x)是定义在[-5,5]上的单调递增的奇函数,
且f(-5)=-2,
得在[-5,5]上f(x)max=f(5)=-f(-5)=2.
在[-5,5]上不等式f(x)≤(a-2)t+5对a∈[-3,0]都恒成立,
所以2≤(a-2)t+5,
即at-2t+3≥0对a∈[-3,0]都恒成立,
令g(a)=at-2t+3,a∈[-3,0],
则只需即解得t≤,
故t的取值范围为(-∞,].
(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答,先证明函数的单调性,再由单调性求最值.
(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义,同时注意根据解题需要给x灵活赋值的应用.
题型二 二次函数在闭区间上的最值问题
[典例3] 函数f(x)=x2-2ax+1在[-1,2]上的最小值为g(a).
(1)求g(a)的表达式;
(2)在给出的平面直角坐标系下作出函数y=g(x)的图象,并求关于x的不等式g(x)>-4的解集.
解:(1)f(x)=x2-2ax+1=(x-a)2+1-a2,
当a<-1时,g(a)=f(-1)=2+2a,
当-1≤a≤2时,g(a)=f(a)=1-a2,
当a>2时,g(a)=f(2)=5-4a,
所以g(a)=
(2)y=g(x)的图象,如图所示.
当x<-1时,令g(x)=-4,得x=-3,
当x>2时,令g(x)=-4,得x=,
由图象可知,g(x)>-4的解集为(-3,).
二次函数在闭区间上的最值问题一般有以下两类题型
(1)定轴动区间,此时讨论对称轴与区间端点的位置关系.
(2)定区间动轴,此时讨论对称轴与区间的位置关系.
注意:对于闭区间上含参数的二次函数的最值,应对系数进行讨论,要遵守分类讨论中的三原则:一是分类的标准要一致,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量避免分类,决不无原则地分类
讨论.
题型三 函数的零点与方程的根的关系
[典例4] 已知函数f(x)=
(1)求不等式f(x)>5的解集;
(2)若方程f(x)-=0有3个不同的实数根,求实数m的取值范围.
解:(1)当x≤0时,由x+6>5,得-1当x>0时,由x2-2x+2>5,得x>3.
综上所述,不等式的解集为(-1,0]∪(3,+∞).
(2)方程f(x)-=0有3个不同的实数根,等价于函数y=f(x)与函数y=的图象有3个不同的交点.
由图可知,1<<2,
解得-2所以实数m的取值范围为(-2,-)∪(,2).
对于零点性质要注意函数与方程的结合,借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根;对于连续函数,利用零点存在定理,可用来求参数的取值范围.
题型四 函数的模型应用
[典例5] 双碳战略之下,新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向.根据工信部最新数据显示,截至2023年一季度,我国新能源汽车已累计推广突破1 000万辆大关.某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,每生产x(单位:千辆)获利10W(x)(单位:万元),W(x)=该公司预计2023年全年其他成本总投入(20x+10)万元.由市场调研知,该种车销路畅通,供不应求.
2023年的全年利润为f(x)(单位:万元).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当2023年产量为多少辆时,该企业利润最大 最大利润是多少 请说明理由.
解:(1)由已知f(x)=10W(x)-(20x+10),
又W(x)=
所以f(x)=
整理得f(x)=
(2)当0则当0当2当且仅当=20(x-1),即x=3时,
f(x)max=390.
因为370<390,所以f(x)最大值为390.
故当2023年产量为3 000辆,该企业利润最大,最大利润是
390万元.
解函数应用问题的步骤
(1)审题:弄清题意,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,建立相应的数学模型;
(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.
第三章 检测试题
选题明细表
知识点、方法 题号
函数的概念与表示 2,9,12,14
函数的性质 1,3,4,6,8,11,13,15
函数的零点及应用 5,10,17
函数综合应用 7,16,18,19
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.二次函数y=x2-2x-3在x∈[-1,2]上的最小值为( C )
A.0 B.-3 C.-4 D.-5
解析:由题意,可知二次函数y=x2-2x-3在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以当x=1时,取最小值为-4.
2.下列各组函数是同一个函数的是( C )
①f(x)=与g(x)=x;
②f(x)=x与g(x)=;
③f(x)=x0与g(x)=;
④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.
A.①② B.①③ C.③④ D.①④
解析:①定义域都是{x|x≤0};而f(x)==-x,对应法则不相同,不是同一个函数;
②f(x)=x与g(x)==|x|的定义域都是R,对应法则不相同,故不是同一个函数;
③f(x)=x0=1与g(x)==1的定义域都是{x|x≠0},这两个函数的定义域相同,对应法则相同,故这两个函数是同一个函数;
④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1,这两个函数的定义域相同,对应法则相同,是同一个函数.
3.已知定义在[m-5,1-2m]上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2-2x,则f(m)的值为( A )
A.-8 B.8 C.-24 D.24
解析:由题意,定义在[m-5,1-2m]上的奇函数f(x),
可得m-5=-(1-2m),解得m=-4,
又当x>0时,f(x)=x2-2x,所以f(-4)=-f(4)=-(42-2×4)=-8.
4.下列四个函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上为增函数的是( C )
A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x
C.f(x)=x2+|x| D.f(x)=-
解析:由题意可知,f(x)=3-x,f(x)=x2-3x,f(x)=为非奇非偶函数,
f(x)=x2+|x|,f(-x)=(-x)2+|-x|=x2+|x|=f(x),故f(x)为偶函数,
且当x>0时,f(x)=x2+x单调递增,符合题意.
5.根据下表,用二分法求一个连续的单调函数y=f(x)在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度为0.1)是( D )
f(1)=-1 f(2)=3 f(1.5)=-0.125
f(1.75)= 1.109 375 f(1.625)= 0.416 015 62 f(1.562 5)= 0.127 197 26
A.1.75 B.1.625
C.0.127 197 26 D.1.562 5
解析:f(1.5)=-0.125<0,f(1.562 5)=0.127 197 26>0,函数y=f(x)在区间(1,2)上的零点的近似值可取区间[1.5,1.562 5]上的任何一个值.
6.已知函数f(x)=在区间(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是( D )
A.(1,2) B.[1,2)
C.(1,) D.[1,]
解析:因为函数f(x)=在区间(-∞,+∞)上是减函数,
所以解得1≤a≤.
7.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本(单位:万元)为f(x)=x2+2x+20,商品的售价是每件20元,为获取最大利润(利润=收入-成本),该企业一个月应生产该商品数量为( B )
A.9万件 B.18万件
C.22万件 D.36万件
解析:由题意可得,获得最大利润时的收入是20x万元,成本是(x2+2x+20)万元,所以此时的利润为M=20x-(x2+2x+20)=-x2+18x-20=-(x-18)2+142≤142,所以当x=18时,取得最大值.
8.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2,记g(x)=[x],则下列说法正确的是( D )
A.g(x)为R上的减函数
B.g(x)为偶函数
C.g(x)的值域为[-1,0]
D.方程g(x)=0有无数个解
解析:由题意,可得g(x)=[x]满足:
当0≤x<1时,g(x)=0;
当1≤x<2时,g(x)=1;
当2≤x<3时,g(x)=2;…,
当-1≤x<0时,g(x)=-1;
当-2≤x<-1时,g(x)=-2;…,
作出函数y=g(x)的大致图象,如图所示,
可得g(x)不是偶函数,也不是R上的减函数;g(x)的值域不为[-1,0],应为整数集;
方程g(x)=0的解集为[0,1),方程有无数个解,
所以A,B,C均错,D正确.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数中定义域与值域相同的是( AD )
A.y=x+1 B.y=2
C.y=x2-1 D.y=
解析:A中,y=x+1,定义域为R,值域为R;B中,y=2,定义域为
[-1,+∞),值域为[0,+∞);C中,y=x2-1,定义域为R,值域为[-1,+∞);
D中,y=,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,0)∪(0,+∞).所以A,D定义域与值域相同.
10.若函数f(x)=x+(a∈R)在区间(1,2)中恰好有一个零点,则a的值可能是( AB )
A.-2 B.-3 C.1 D.3
解析:由题意x+=0在区间(1,2)只有一个解,故a<0,解得x1=-(舍去),x2=,所以1<<2,故-411.已知函数f(x)=,则下列说法正确的是( ACD )
A.f(x)的对称中心为(-1,1)
B.f(x)的值域为R
C.f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增
D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)+f()+f()+…+f()的值为
解析:由题可知f(x)===1-,
由题可知f(-2-x)==,所以f(-2-x)+f(x)=+=2,故f(x)的对称中心为(-1,1),选项A正确;
因为f(x)=1-,显然≠0,所以f(x)的值域为{y|y≠1},选项B错误;
当x>-1时,y=单调递减,所以y=-单调递增,所以f(x)=1-单调递增,选项C正确;
f()==,所以f(x)+f()=+=1,所以有f(1)+f(2)+
f(3)+…+f(2 022)+f()+f()+…+f()=f(1)+[f(2)+f()]+
[f(3)+f()]+…+[f(2 022)+f()]=+=,选项D正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)=若f(x)=3,则 x= .
解析:当x≤0时,由f(x)=3,得x2+2x=3,
x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去),
当x>0时,由f(x)=3,得-3x=3,
解得x=-1(舍去).
综上,x=-3.
答案:-3
13.已知偶函数f(x)部分图象如图所示,且f(3)=0,则不等式xf(x)<
0的解集为 .
解析:根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象,
由xf(x)<0,当x>0时,f(x)<0,结合图象可得0当x<0时,f(x)>0,可得x<-3.所以xf(x)<0的解为{x|x<-3或0答案:(-∞,-3)∪(0,3)
14.已知函数f(x)=若t=0,则f(x)的值域是
,若f(x)的值域是[,3],则实数t的取值范围是 .
解析:当t=0时,f(x)=
当x<0时,f(x)==1-∈(1,+∞),
当0≤x≤2时,f(x)=x2-x+1,根据二次函数的性质可知f(x)∈[,3],
所以t=0,f(x)的值域是[,+∞).
若f(x)的值域是[,3],
则解得t∈[-1,-].
答案:[,+∞) [-1,-]
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知函数f(x)=x+,且f(1)=5.
(1)求m;
(2)判断并证明f(x)的奇偶性;
(3)判断函数f(x)在(2,+∞)上是单调递增还是单调递减,并证明.
解:(1)根据题意,
函数f(x)=x+,且f(1)=5,
则f(1)=1+m=5,解得m=4.
(2)f(x)为奇函数.证明如下:
由(1)可知f(x)=x+,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
又由f(-x)=-x-=-(x+)=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(3)f(x)在(2,+∞)上单调递增.
证明如下:
设2因为2所以x1x2>4,x1-x2<0,则f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以f(x)在(2,+∞)上单调递增.
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=2x2-4x+3.
(1)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(2)当x∈[-1,1]时,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定m的取值范围.
解:(1)f(x)=2x2-4x+3的对称轴为直线x=1,
由于f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,
所以2a<1故a的取值范围为(0,).
(2)依题意当-1≤x≤1时,
f(x)-(2x+2m+1)>0恒成立,
化简得x2-3x+1-m>0在区间[-1,1]上恒成立,
函数y=x2-3x+1-m图象的对称轴为直线x=,
且开口向上,所以当x=1时,有最小值,
故1-3+1-m>0,解得m<-1.
故m的取值范围为(-∞,-1).
17.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=
(1)若a=0,求函数f(x)的零点;
(2)若f(x)≤f(1)对任意的实数x都成立,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=0时,f(x)=
当x≥0时,-x2+2x=0,解得x=2或x=0,
当x<0,x=0,方程无解,
故函数f(x)有两个零点为2,0.
(2)①当a>1时,f(1)=1,此时存在11,不成立;
②当a=1,此时f(x)的最大值为f(1),所以成立;
③当a<1时,f(x)=
令g(x)=-x|x|+2x=
因为f(x)≤f(1)=1,所以g(x)≤1,
当x<0时,x2+2x≤1,x∈[-1-,0),
当x≥0时,-x2+2x≤1,恒成立.
故-1-≤a<1.
综上,a的取值范围为[-1-,1].
18.(本小题满分17分)
设a,b,c为实数,且a≠0,已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,满足f(0)=
2,f(x+1)-f(x)=-2x-1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设t∈R,当x∈[t,t+2]时,求函数f(x)的最大值g(t)(用t表示).
解:(1)因为f(0)=2 c=2,
所以f(x)=ax2+bx+2,
又因为f(x+1)-f(x)=-2x-1 a(x+1)2+b(x+1)+2-(ax2+bx+2)=2ax+a+
b=-2x-1,所以解得
所以f(x)=-x2+2.
(2)因为f(x)=-x2+2,所以其图象开口向下,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.
①当t≤-2时,t+2≤0,f(x)在[t,t+2]上单调递增,
所以f(x)max=f(t+2)=g(t)=-(t+2)2+2=-t2-4t-2;
②当t≥0时,f(x)在[t,t+2]上单调递减,
所以f(x)max=f(t)=g(t)=-t2+2;
③当-2所以f(x)max=f(0)=g(t)=2.
综上所述,g(t)=
19.(本小题满分17分)
2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2 000万元,每生产x(单位:百辆),需另投入成本C(x)
(单位:万元),且C(x)=
已知每辆车售价5万元,由市场调研知,全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2023年的利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:百辆)的函数关系式;
(2)2023年产量为多少百辆时,企业所获利润最大 并求出最大利润.
解:(1)由题意知利润L(x)=收入-总成本,可知利润L(x)=5x×100-
2 000-C(x)=
故2023年的利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:百辆)的函数关系式为L(x)=
(2)当0故当x=20时,L(x)max=2 000;
当x≥40时,L(x)=-x-+2 500≤-2+2 500=2 300,
当且仅当x=,即x=100时,取得等号.
综上所述,当产量为100(单位:百辆)时,取得最大利润,最大利润为2 300万元.
滚动检测试题(二)(含一、二、三章)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N等于( D )
A.{x|0≤x<2} B.{x|≤x<2}
C.{x|3≤x<16} D.{x|≤x<16}
解析:法一 因为M={x|<4},
所以M={x|0≤x<16}.
因为N={x|3x≥1},
所以N={x|x≥},
所以M∩N={x|≤x<16}.
法二 观察选项进行特取,取x=4,
则4∈M,4∈N,
所以4∈(M∩N),排除A,B;取x=1,
则1∈M,1∈N,所以1∈(M∩N),排除C.
2.命题“ x>1,x2-x>0”的否定是( C )
A. x≤1,x2-x≤0
B. x>1,x2-x≤0
C. x>1,x2-x≤0
D. x≤1,x2-x>0
解析:因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“ x>1,
x2-x>0”的否定是“ x>1,x2-x≤0”.
3.下面四个条件中,使a>b成立的充分不必要条件是( A )
A.a≥b+1 B.a>b-1
C.a2>b2 D.a3>b3
解析:由a≥b+1>b a>b,但a>b无法得出a≥b+1,A满足;
由a>b-1,a2>b2均无法得出a>b,不满足“充分”;
由a3>b3 a>b,不满足“不必要”.
4.已知二次函数f(x)=x2-2ax+1在区间(2,3)内不单调,则a的取值范围是( B )
A.(-∞,2)∪(3,+∞)
B.(2,3)
C.(-∞,-3)∪(-2,+∞)
D.[-3,-2]
解析:二次函数f(x)=x2-2ax+1,对称轴为直线x=a,因为二次函数f(x)=x2-2ax+1在区间(2,3)内不单调,所以25.不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-2解析:因为不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-26.已知二次函数y=x2-4x+a的两个零点都在区间(1,+∞)内,则a的取值范围是( C )
A.(-∞,4) B.(3,+∞) C.(3,4) D.(-∞,3)
解析:因为二次函数y=x2-4x+a的两个零点都在区间(1,+∞)内,
所以解得37.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2 022)+f(2 024)的值为( C )
A.-1 B.1
C.0 D.无法计算
解析:因为g(x)是定义在R上的奇函数,
所以有g(-x)=-g(x),
所以f(-x-1)=g(-x)=-g(x)=-f(x-1),因为 f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(-x)=f(x),
所以f(x+1)=f[-(x+1)]=f(-x-1),
所以f(x+1)+f(x-1)=0,
因此f(2 022)+f(2 024)=0.
8.已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则n的最大值为( A )
A.9 B.12 C.16 D.20
解析:因为a>0,b>0,所以2a+b>0,+≥ (2a+b)(+)≥n,
(2a+b)(+)=5++≥5+2=9(当且仅当a=b时,取等号),要想不等式+≥恒成立,只需n≤9,即n的最大值为9.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.“ x∈Z,x2+2为偶数”,下列说法正确的是( BD )
A.该命题是假命题
B.该命题是真命题
C.该命题的否定为 x∈Z,x2+2不是偶数
D.该命题的否定为 x∈Z,x2+2不是偶数
解析:当x=2时,x2+2=6是偶数,A项错误,B项正确; x∈Z,x2+2为偶数的否定为 x∈Z,x2+2不是偶数,C项错误,D项正确.
10.下列命题正确的是( BD )
A.设a,b是非零实数,若aa2b
B.若a
C.函数y=的最小值是2
D.若x,y是正数,且+=1,则xy的最小值是16
解析:A中,ab2-a2b=ab(b-a),由于a,b符号不定,故上式符号无法确定,故A错误.B中,在a,故B正确.C中,y=
=+≥2,但由=得x2+2=1无实数解,故C错误.D中,因为+=1≥2,所以xy≥16(当且仅当x=2,y=8时,等号成立),即D正确.
11.奇函数y=f(x)在x∈[-4,0]的图象如图所示,则下列结论正确的是( ABD )
A.当x∈[0,4]时,f(x)∈[-2,2]
B.函数f(x)在[2,4]上单调递减
C.f()>f()
D.函数f(x)在(-2,-),(,2)上单调递增
解析:根据题图可知x∈[-4,0]时,f(x)∈[-2,2],f(x)在[-4,-2],
[-,0]上单调递减,在[-2,-]上单调递增,所以根据奇函数性质,当x∈[0,4]时,f(x)∈[-2,2],A正确;
当x≥0时,f(x)在[2,4],[0,]上单调递减,在[,2]上单调递增,故B,D正确;
由于f(x)在[,2]上单调递增,所以f()三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知全集U=R,集合A={x∈N|(x+1)(x-3)≤0},B={y|y=x2+1},则如图所示的维恩图中阴影部分表示的集合为 .
解析:集合A={x∈N|(x+1)(x-3)≤0}={0,1,2,3},B={y|y=x2+1}=
{y|y≥1}.
维恩图中阴影部分表示的集合为( UB)∩A,
所以( UB)∩A={y|y<1}∩{0,1,2,3}={0}.
答案:{0}
13.函数f(x)=x2-ax-b的两个零点分别是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是 .
解析:函数f(x)=x2-ax-b的两个零点分别是2和3,即方程x2-ax-b=0的两个根分别为2和3,所以a=5,b=-6,解方程-6x2-5x-1=0,得x=-或 -,所以函数g(x)=bx2-ax-1的零点是-和-.
答案:-和-
14.已知函数f(x)=若f(a)-f(-a)>0,则实数a的取值范围为 .
解析:当a=0时,显然不成立;
当a>0时,不等式f(a)-f(-a)>0可化为
a2+a-3a>0,解得a>2;
当a<0时,不等式f(a)-f(-a)>0可化为-a2-2a>0,解得-2综上所述,a的取值范围为(-2,0)∪(2,+∞).
答案:(-2,0)∪(2,+∞)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知A={x|>0},B={x|(x-1-a)(x-1+a)≤0}.
(1)当a=2时,求A∩B;
(2)当a>0时,若A∪B=B,求实数a的取值范围.
解:(1)由>0,得2则A={x|2当a=2时,得(x-3)(x+1)≤0,
则B={x|-1≤x≤3},
则A∩B={x|2(2)若A∪B=B,则A B,
当a>0时,B={x|1-a≤x≤1+a},
则解得a≥5,
所以实数a的取值范围为[5,+∞).
16.(本小题满分15分)
若a<1,解关于x的不等式>1.
解:不等式>1可化为>0.
因为a<1,所以a-1<0,
故原不等式可化为<0.
故当0当a<0时,原不等式的解集为{x|当a=0时,原不等式的解集为 .
17.(本小题满分15分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)设x1,x2是方程的两根且++x1x2-17=0,求m的值.
解:(1)根据题意得Δ=(2m+1)2-4(m2-1)>0,
解得m>-.
故m的取值范围为(-,+∞).
(2)根据题意得
x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-1,
++x1x2-17=(x1+x2)2-x1x2-17=(2m+1)2-(m2-1)-17=0,
解得m1=,m2=-3(不合题意,舍去),
所以m的值为.
18.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间(2,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明;
(2)求函数f(x)在区间[3,4]上的值域.
解:(1)函数f(x)=在区间(2,+∞)上单调递减.证明如下:
任取x1,x2∈(2,+∞),且x1f(x1)-f(x2)=-==,
因为x1所以x2-x1>0,
又x1,x2∈(2,+∞),
所以x2+x1>0,-4>0,-4>0,
所以>0,
即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减.
(2)由(1)知,函数f(x)在区间[3,4]上单调递减,
所以函数f(x)的最大值为f(3)=,最小值为f(4)=,
所以函数f(x)在区间[3,4]上的值域为[,].
19.(本小题满分17分)
已知矩形ABCD中,AB=4,AD=1,点O为线段AB的中点,动点P沿矩形ABCD的边从B逆时针运动到A,当点P运动过的路程为x时,记点P的运动轨迹与线段OP,OB围成的图形面积为f(x).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)=2,求x的值.
解:(1)当x∈[0,1]时,f(x)=·OB·x=x;
当x∈(1,5]时,f(x)==(x+1);当x∈(5,6]时,f(x)=4×1-×2×(6-x)=x-2.
所以f(x)=
(2)若f(x)=2,显然1所以f(x)=(x+1)=2,解得x=3.
综合检测试题(一)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B等于( B )
A.{-1,2} B.{1,2}
C.{1,4} D.{-1,4}
解析:法一 由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2,所以B={x|0≤x≤2},所以A∩B={1,2}.
法二 因为4 B,所以4 A∩B,故排除C,D;又-1 B,所以-1 A∩B,故排除A.
2.函数f(x)=(x-1)0+的定义域为( A )
A.[0,1)∪(1,3)
B.[0,3]
C.[0,1)∪(1,3]
D.(-∞,0)∪(3,+∞)
解析:由题意解得0≤x<3且x≠1,
故f(x)的定义域为[0,1)∪(1,3).
3.下列命题正确的是( B )
A.1是最小的自然数
B.每个正方形都有4条对称轴
C. x∈{1,-1,0},2x+1>0
D. x∈Z,使x2解析:0是最小的自然数,A错误;每个正方形都有4条对称轴,B
正确;
当x=-1时,C显然不成立;由x24.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于( A )
A.-2 B.0 C.1 D.2
解析:f(-1)=-f(1)=-2.
5.下列条件中,是x2<4的必要不充分条件的是( A )
A.-2≤x≤2 B.-2C.0解析:由x2<4得-26.已知函数f(x)=的值域与函数y=x的值域相同,则实数a的取值范围是( B )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1]
C.[-1,1) D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
解析:因为f(x)=
所以当x≥1时,f(x)=3x2≥3.
因为函数f(x)=的值域与函数y=x的值域相同,即为R,
所以需满足即则a≤-1.
7.若存在实数x∈[0,4]使m>x2-2x+5成立,则m的取值范围为( C )
A.(13,+∞) B.(5,+∞)
C.(4,+∞) D.(5,13)
解析:令f(x)=x2-2x+5,存在实数x∈[0,4],使m-f(x)>0成立,等价于x∈[0,4],m>f(x)min,
因为函数f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4,所以函数的图象开口向上,对称轴为直线x=1,
因为x∈[0,4],所以x=1时,f(x)min=f(1)=4,
所以m>4,故m的取值范围为(4,+∞).
8.设函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是( B )
A.[4,6] B.(4,6)
C.[-1,3] D.(-1,3)
解析:因为f(x)=
所以f(x)=
设f(x1)=f(x2)=f(x3)=t,x1由图象可知,点(x2,f(x2)),(x3,f(x3))关于直线x=3对称,则x2+x3=6,
由图可知,x1∈(-2,0),因此,x1+x2+x3=x1+6∈(4,6).
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若U=Z,A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},则( BC )
A.A∩B={0} B.A∪B=U
C. UB=A D. UA B
解析:集合A为偶数集,集合B为奇数集,集合A与集合B的交集为空集,A错误;集合A与集合B的并集为整数集,B与C正确;由于 UA=B,集合B是集合B的子集,不是真子集,故选项D错误.
10.下列函数中,在区间(-∞,0)上为增函数的是( ABC )
A.y=x B.y=-x2
C.y=- D.y=1-x
解析:y=x,y=-x2,y=-在区间(-∞,0)上为增函数,满足题意;
y=1-x在区间(-∞,0)上为减函数,不满足题意.
11.下列不等式一定成立的有( CD )
A.x+≥2
B.当x>4时,≥8
C.已知a>0,b>0,则++2≥4
D.正实数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y≥5
解析:当x<0时,显然有x+<0,A错误;==x+1+=x-1++2,
当x>4时,x-1>0,故x-1+≥2=6,当且仅当x-1=,即x=4时,等号成立,所以当且仅当x=4时,取得最小值8,又x>4,故>8,B错误;
因为a>0,b>0,所以++2=+2≥+2,当且仅当a=b时,等号成立,又+2=+2≥2=4,当且仅当=2,即ab=1时,等号成立,综上,++2≥4,当且仅当a=b=1时,等号成立,C正确;因为x>0,y>0,由x+3y=5xy,得+=5,
所以5(3x+4y)=(3x+4y)(+)=13++≥13+2=25,当且仅当=,即2y=x时,等号成立,所以3x+4y≥5,D正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.命题p: x∈R,x2+1=0,则命题p的否定为 .
答案: x∈R,x2+1≠0
13.已知函数f(x)的定义域和值域都是集合{-1,0,1,2},其定义如表所示,则f(f(1))= .
x -1 0 1 2
f(x) 0 1 2 -1
解析:f(f(1))=f(2)=-1.
答案:-1
14.已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是 ,若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 .
解析:当λ=2时,f(x)=
其图象如图(1)中实线部分所示,由图知f(x)<0的解集为(1,4).
若f(x)=恰有2个零点有两种情况:
①二次函数有两个零点,一次函数无零点;②二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出y=x-4与y=x2-4x+3的图象,如图(2),平移直线x=λ,可得λ∈(1,3]∪(4,+∞).
答案:(1,4) (1,3]∪(4,+∞)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知全集U=R,集合A={x|22},C={x|a-1≤x<2a-1,a∈R}.
(1)求A∩B;
(2)若C U(A∪B),求实数a的取值范围.
解:(1)A={x|22},A∩B={x|2(2)由(1)知A∪B={x|x<-4或x>2},
所以 U(A∪B)={x|-4≤x≤2},
当C= ,即a≤0时,满足C U(A∪B);
当C≠ ,只需
解得0综上可知,实数a的取值范围为(-∞,].
16.(本小题满分15分)
已知“ x∈{x|-1(1)求实数m的取值集合M;
(2)设不等式(x-a)(x+a-2)<0的解集为N,若x∈N是x∈M的必要条件,求实数a的取值范围.
解:(1)由题意,知m=x2-x=(x-)2-.
由-1故M=[-,2).
(2)由x∈N是x∈M的必要条件,知M N.
①当a>2-a,即a>1时,N=(2-a,a),
则解得a>.
②当a<2-a,即a<1时,N=(a,2-a),
则解得a<-.
③当a=2-a,即a=1时,N= ,不满足M N.
综上可得,a的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).
17.(本小题满分15分)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个:①f(x)<5的解集为{x|-2(1)请写出满足题意的两个条件的序号,并求a,b,c的值;
(2)求关于x的不等式f(x)≥mx-2m-3(m∈R)的解集.
解:(1)若选①②.由①f(x)<5的解集为{x|-2所以b=-2a,c=5-8a,f(x)的对称轴为直线 x=1,
由f(x)的最小值为-4,
可得f(1)=a+b+c=-4,
解得a=1,b=-2,c=-3,
故f(x)=x2-2x-3.
若选②③.由f(x)的最小值为-4可知a>0,此时f(x)在区间(-∞,1)上不可能是增函数,不符合题意.
若选①③.由①f(x)<5的解集为{x|-2故-2+4=-,-2×4=,
所以b=-2a,c=5-8a,f(x)的对称轴为直线x=1,f(x)在区间(-∞,1)上是增函数,但此时无法求出a,b,c的值.
综上,选①②,可得f(x)=x2-2x-3.
(2)由f(x)≥mx-2m-3可得x2-(2+m)x+2m>0,
即(x-2)(x-m)≥0,
当m<2时,不等式的解集为{x|x≥2或x≤m},
当m=2时,不等式的解集为R,
当m>2时,不等式的解集为{x|x≥m或x≤2}.
综上,当m<2时,不等式的解集为{x|x≥2或x≤m},
当m=2时,不等式的解集为R,
当m>2时,不等式的解集为{x|x≥m或x≤2}.
18.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=,且f(1)=2.
(1)判断并证明函数f(x)在其定义域上的奇偶性;
(2)证明:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
(3)求函数f(x)在区间[2,5]上的最大值和最小值.
(1)解:f(x)在其定义域上为奇函数.证明如下:
因为f(x)=x+(x≠0),f(1)=1+a=2,
所以a=1,
所以f(x)=x+,f(-x)=-x-=-f(x),
又f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}关于原点对称,所以f(x)在定义域上为奇函数.
(2)证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1f(x2)-f(x1)
=(x2+)-(x1+)
=(x2-x1)+
=(x2-x1)(1-),
因为x2-x1>0,x1x2>1,
0<<1,1->0,
所以f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1),
所以f(x)在(1,+∞)为增函数.
(3)解:因为f(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)在[2,5]上的最大值和最小值分别为
f(x)min=f(2)=2+=,
f(x)max=f(5)=5+=.
19.(本小题满分17分)
某厂家生产某商品需投入年固定成本为150万元,每生产x万件,需另投入成本为C(x)(单位:万元).当年产量不足60万件时,C(x)=
x2+380x;当年产量不小于60万件时,C(x)=410x+-3 000.通过市场分析,若每件售价为400元时,该厂年内生产的商品能全部售完.(利润=销售收入-总成本)
(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式;
(2)年产量为多少万件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大 并求出利润的最大值.
解:(1)当0L(x)=400x-x2-380x-150=-x2+20x-150.
当x≥60,x∈N+时,
L(x)=400x-410x-+3 000-150=2 850-(10x+).
所以L(x)=
(2)当0L(x)=-(x-20)2+50,
所以当x=20时,L(x)取得最大值50.
当x≥60,x∈N+时,L(x)=2 850-(10x+)≤2 850-2×10×90=
1 050,
当且仅当10x=,即x=90时,等号成立.
即当x=90时,L(x)取得最大值1 050.
综上,年产量为90万件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大值为1 050万元.
综合检测试题(二)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x2-4x+3=0},
则 U(A∪B)等于( D )
A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0}
解析:集合B={1,3},所以A∪B={-1,1,2,3},所以 U(A∪B)={-2,0}.
2.不等式-6x2-x+2≤0的解集是( B )
A.{x|-≤x≤}
B.{x|x≥或x≤-}
C.{x|x≥或x≤-}
D.{x|-≤x≤}
解析:因为-6x2-x+2≤0,所以6x2+x-2≥0,
即(2x-1)(3x+2)≥0,解得x≤-或x≥.
3.已知f(x)=则f(2)+f(-2)的值为( B )
A.8 B.5 C.4 D.2
解析:f(2)=22=4,f(-2)=f(-2+1)=f(-1)=f(-1+1)=f(0)=f(0+1)=
f(1)=1,所以 f(2)+f(-2)=4+1=5.
4.已知命题p: x∈{x|x>1},x2+16>8x,则命题p的否定及否定的真假为( C )
A. x∈{x|x>1},x2+16≤8x,真命题
B. x∈{x|x>1},x2+16≤8x,假命题
C. x∈{x|x>1},x2+16≤8x,真命题
D. x∈{x|x>1},x2+16≤8x,假命题
解析:由于x2+16-8x=(x-4)2≥0,x=4时取等号,因此命题p是假命题,它的否定是真命题,全称量词命题的否定是存在量词命题,因此命题p的否定是 x∈{x|x>1},x2+16≤8x.
5.函数f(x)=的图象不可能是( D )
解析:f(-x)=-=-f(x),故f(x)为奇函数,图象关于原点对称.若a=0,则f(x)==,选项C符合;若a>0,则函数定义域为R,选项B符合,若a<0,则x≠±,选项A符合.
6.“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充分不必要条件是( A )
A.m>1 B.m<
C.m<1 D.m>
解析:不等式x2-x+m>0在R上恒成立 Δ=(-1)2-4m<0,即m>,因为m>1 m>,但m>不能推出m>1成立,故m>1是不等式x2-x+m>0在R上恒成立的充分不必要条件.
7.设a≠0,x1,x2为方程ax2+x-4a3=0的两个解,则|x1-x2|的最小值为( A )
A.2 B.2 C.12 D.8
解析:由题意易知a≠0且Δ=1+16a4>0恒成立,又x1+x2=-,x1x2=-4a2,
则|x1-x2|==≥=2,
当且仅当=16a2,即a2=,即a=±时,取等号,所以|x1-x2|的最小值为2.
8.若正数a,b满足4a+3b-1=0,则+的最小值为( A )
A.3+2 B.1+2
C.2+3 D.2
解析:由题意,设解得a=m-n, b=2n-m,其中m>0,n>0,
因为4a+3b-1=0,
所以4(m-n)+3(2n-m)-1=0,
整理得m+2n=1,
又由+=+=(+)(m+2n)=3++≥3+2=3+2,
当且仅当=,即m=n时,等号成立,
所以+的最小值为3+2.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若a>b,x>y,下列不等式正确的是( ABD )
A.a+x>b+y B.y-aC.|a|x>|a|y D.(a-b)x>(a-b)y
解析:当a≠0时,|a|>0,|a|x>|a|y,当a=0时,|a|x=|a|y,故|a|x≥|a|y,C错误,ABD正确.
10.函数f(x)在其定义域上的图象是如图所示折线段ABC,其中点A,B,C的坐标分别为(1,2),(-1,0),(-3,2),下列说法正确的是( ACD )
A.f(f(-2))=2
B.f(x+1)为偶函数
C.f(x)-1≥0的解集为[-3,-2]∪[0,1]
D.若f(x)在[-3,m]上单调递减,则m的取值范围为(-3,-1]
解析:由题图可得f(-2)=1,所以f(f(-2))=f(1)=2,A正确;
由题图可得f(x)关于x=-1对称,所以f(x+1)关于x=-2对称,B
错误;
由图象可得f(x)-1≥0,即f(x)≥1的解集为[-3,-2]∪[0,1],C
正确;
由题图可得f(x)在[-3,-1]上单调递减,所以m的取值范围为
(-3,-1],D正确.
11.当一个非空数集F满足条件“若对任意a,b∈F,则a+b,a-b,ab∈F,且当b≠0时,∈F”时,称F为一个数域.以下四个关于数域的命题中,真命题为( ABD )
A.0是任何数域的元素
B.若数域F有非零元素,则2 020∈F
C.集合P={x|x=3k,k∈Z}为数域
D.有理数集为数域
解析:若a∈F,则a-a=0∈F,A正确;
若a∈F,且a≠0,则1=∈F,
由此2=1+1∈F,3=1+2∈F,依此类推2 020∈F,B正确;
P={x|x=3k,k∈Z},3∈P,6∈P,
但 P,P不是数域,C错误;
a,b是两个有理数,则a+b,a-b,ab,(b≠0)都是有理数,所以有理数集是数域,D正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)=x2-mx+1在区间[3,8]上单调,则满足题意的一个正整数m的值是 .
解析:因为函数f(x)=x2-mx+1在区间[3,8]上单调,所以≤3或
≥8,
解得m≤6或m≥16.
答案:5(m≤6或m≥16的任意正整数)
13.设函数f(x)=则f(f(0))= ,使得f(a)≥4a的实数a的取值范围是 .
解析:f(f(0))=f(1)=4.当a<1时,f(a)=(a+1)2≥4a,解得a<1;当a≥1时,f(a)=4-≥4a,解得a=1.综上,a≤1.
答案:4 (-∞,1]
14.已知函数f(x)=x2-4x+3,g(x)=mx+3-2m,若对任意x1∈[0,4],总存在x2∈[0,4],使f(x1)=g(x2)成立,则实数m的取值范围为 .
解析:“对任意x1∈[0,4],总存在x2∈[0,4],使f(x1)=g(x2)成立”等价于“函数f(x)在[0,4]上的值域包含于g(x)在[0,4]上的
值域”.
函数f(x)=(x-2)2-1,当x∈[0,4]时,
f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(0)=f(4)=3,即f(x)在[0,4]上的值域A=
[-1,3].
当m=0时,g(x)=3,不符合题意;
当m>0时,g(x)在[0,4]上单调递增,
其值域B1=[3-2m,3+2m],于是有A B1,
即有解得m≥2,则m≥2;
当m<0时,g(x)在[0,4]上单调递减,
其值域B2=[3+2m,3-2m],于是有A B2,
即有解得m≤-2,则m≤-2.
所以实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).
答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知集合A={x|2≤x≤8},B={x|1a},U=R.
(1)求A∪B,( UA)∩B;
(2)若A∩C≠ ,求a的取值范围.
解:(1)A∪B={x|2≤x≤8}∪{x|1因为 UA={x|x<2或x>8},
所以( UA)∩B={x|1(2)因为A∩C≠ ,作图可知a在8左边即可.
所以a<8.
故a的取值范围为(-∞,8).
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=
(1)若f(a)=3,求a的值;
(2)若函数f(x)的图象与直线y=m有三个交点,请画出函数f(x)的图象并写出实数m的取值范围.
解:(1)f(a)=3 或
解得a=-1或a=-3或a=3.
(2)函数y=f(x)的图象如图所示.
当x≤0时,f(x)=-x(x+4)=-(x+2)2+4,图象开口向下,
最大值为f(-2)=4,
由图象可知函数f(x)的图象与直线y=m有三个交点,只需0故实数m的取值范围为(0,4).
17.(本小题满分15分)
已知二次函数f(x)满足f(x)>3-6x的解集为(1,3),且f(0)=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈[t,t+2](t∈R)时,求函数f(x)的最大值g(t)(用t表示).
解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
因为二次函数f(x)满足f(x)>3-6x的解集为(1,3),且f(0)=0,
所以f(x)=3-6x的根为1和3,且f(0)=0,
所以ax2+(b+6)x+c-3=0的两根为1和3且f(0)=c=0,
所以-=3,-=1+3=4,
所以a=-1,b=-2,f(x)=-x2-2x.
(2)因为f(x)=-x2-2x的图象开口向下,对称轴为直线x=-1,
若t≤-3,则当x=t+2时,函数取得最大值g(t)=f(t+2)=-t2-6t-8;
若t≥-1时,则当x=t时,函数取得最大值g(t)=f(t)=-t2-2t,
若-3故g(t)=
18.(本小题满分17分)
已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(2)=.
(1)求f(4)的值;
(2)当x∈[,3]时,f(kx2)<2f(2x-5)恒成立,求实数k的取值范围.
解:(1)令x=y=2,得f(2+2)=f(2)f(2),
即f(4)=2.
(2)2f(2x-5)=f(4)f(2x-5)=f(2x-1),
所以f(kx2)<2f(2x-5)可化为f(kx2)因为函数f(x)是定义在R上的增函数,
所以kx2<2x-1在x∈[,3]上恒成立,
即k<在x∈[,3]上恒成立,
令y==-+=-(-1)2+1,
x∈[,3],∈[,2],y有最小值为0,
所以k<0.即k的取值范围为(-∞,0).
19.(本小题满分17分)
某公司有两种活期理财产品,投资周期最多为一年,产品一:投资1万元,每月固定盈利40元.产品二:投资1万元,前x(1≤x≤12,x∈N+)个月的总盈利f(x)(单位:元)与x的关系式为f(x)=ax2+bx,已知小明选择了产品二,第一个月盈利10元,前两个月盈利30元.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若小红有1万元,根据小红投资周期的不同,探讨她在产品一和产品二中选择哪一个能获得最大盈利.
解:(1)由题知f(x)=ax2+bx,
f(1)=10,f(2)=30,
所以解得a=5,b=5.
所以f(x)的解析式为f(x)=5x2+5x(1≤x≤12,x∈N+).
(2)由(1)得f(x)=5x2+5x(1≤x≤12,x∈N+),
由题知,投资产品一:投资1万元,每月固定盈利40元,设总盈利为函数g(x),g(x)=40x,
投资产品二:收益为f(x)=5x2+5x,
当g(x)>f(x)时,解得1≤x<7,
当g(x)=f(x)时,解得x=7,
当g(x)小红的1万元投资周期为7个月,选产品一或产品二获得最大盈利
相同;
小红的1万元投资周期大于7个月,选产品二获得最大盈利.第三章 检测试题
选题明细表
知识点、方法 题号
函数的概念与表示 2,9,12,14
函数的性质 1,3,4,6,8,11,13,15
函数的零点及应用 5,10,17
函数综合应用 7,16,18,19
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.二次函数y=x2-2x-3在x∈[-1,2]上的最小值为( C )
A.0 B.-3 C.-4 D.-5
解析:由题意,可知二次函数y=x2-2x-3在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以当x=1时,取最小值为-4.
2.下列各组函数是同一个函数的是( C )
①f(x)=与g(x)=x;
②f(x)=x与g(x)=;
③f(x)=x0与g(x)=;
④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.
A.①② B.①③ C.③④ D.①④
解析:①定义域都是{x|x≤0};而f(x)==-x,对应法则不相同,不是同一个函数;
②f(x)=x与g(x)==|x|的定义域都是R,对应法则不相同,故不是同一个函数;
③f(x)=x0=1与g(x)==1的定义域都是{x|x≠0},这两个函数的定义域相同,对应法则相同,故这两个函数是同一个函数;
④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1,这两个函数的定义域相同,对应法则相同,是同一个函数.
3.已知定义在[m-5,1-2m]上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2-2x,则f(m)的值为( A )
A.-8 B.8 C.-24 D.24
解析:由题意,定义在[m-5,1-2m]上的奇函数f(x),
可得m-5=-(1-2m),解得m=-4,
又当x>0时,f(x)=x2-2x,所以f(-4)=-f(4)=-(42-2×4)=-8.
4.下列四个函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上为增函数的是( C )
A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x
C.f(x)=x2+|x| D.f(x)=-
解析:由题意可知,f(x)=3-x,f(x)=x2-3x,f(x)=为非奇非偶函数,
f(x)=x2+|x|,f(-x)=(-x)2+|-x|=x2+|x|=f(x),故f(x)为偶函数,
且当x>0时,f(x)=x2+x单调递增,符合题意.
5.根据下表,用二分法求一个连续的单调函数y=f(x)在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度为0.1)是( D )
f(1)=-1 f(2)=3 f(1.5)=-0.125
f(1.75)= 1.109 375 f(1.625)= 0.416 015 62 f(1.562 5)= 0.127 197 26
A.1.75 B.1.625
C.0.127 197 26 D.1.562 5
解析:f(1.5)=-0.125<0,f(1.562 5)=0.127 197 26>0,函数y=f(x)在区间(1,2)上的零点的近似值可取区间[1.5,1.562 5]上的任何一个值.
6.已知函数f(x)=在区间(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是( D )
A.(1,2) B.[1,2)
C.(1,) D.[1,]
解析:因为函数f(x)=在区间(-∞,+∞)上是减函数,
所以解得1≤a≤.
7.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本(单位:万元)为f(x)=x2+2x+20,商品的售价是每件20元,为获取最大利润(利润=收入-成本),该企业一个月应生产该商品数量为( B )
A.9万件 B.18万件
C.22万件 D.36万件
解析:由题意可得,获得最大利润时的收入是20x万元,成本是(x2+2x+20)万元,所以此时的利润为M=20x-(x2+2x+20)=-x2+18x-20=-(x-18)2+142≤142,所以当x=18时,取得最大值.
8.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2,记g(x)=[x],则下列说法正确的是( D )
A.g(x)为R上的减函数
B.g(x)为偶函数
C.g(x)的值域为[-1,0]
D.方程g(x)=0有无数个解
解析:由题意,可得g(x)=[x]满足:
当0≤x<1时,g(x)=0;
当1≤x<2时,g(x)=1;
当2≤x<3时,g(x)=2;…,
当-1≤x<0时,g(x)=-1;
当-2≤x<-1时,g(x)=-2;…,
作出函数y=g(x)的大致图象,如图所示,
可得g(x)不是偶函数,也不是R上的减函数;g(x)的值域不为[-1,0],应为整数集;
方程g(x)=0的解集为[0,1),方程有无数个解,
所以A,B,C均错,D正确.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数中定义域与值域相同的是( AD )
A.y=x+1 B.y=2
C.y=x2-1 D.y=
解析:A中,y=x+1,定义域为R,值域为R;B中,y=2,定义域为
[-1,+∞),值域为[0,+∞);C中,y=x2-1,定义域为R,值域为[-1,+∞);
D中,y=,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,0)∪(0,+∞).所以A,D定义域与值域相同.
10.若函数f(x)=x+(a∈R)在区间(1,2)中恰好有一个零点,则a的值可能是( AB )
A.-2 B.-3 C.1 D.3
解析:由题意x+=0在区间(1,2)只有一个解,故a<0,解得x1=-(舍去),x2=,所以1<<2,故-411.已知函数f(x)=,则下列说法正确的是( ACD )
A.f(x)的对称中心为(-1,1)
B.f(x)的值域为R
C.f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增
D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)+f()+f()+…+f()的值为
解析:由题可知f(x)===1-,
由题可知f(-2-x)==,所以f(-2-x)+f(x)=+=2,故f(x)的对称中心为(-1,1),选项A正确;
因为f(x)=1-,显然≠0,所以f(x)的值域为{y|y≠1},选项B错误;
当x>-1时,y=单调递减,所以y=-单调递增,所以f(x)=1-单调递增,选项C正确;
f()==,所以f(x)+f()=+=1,所以有f(1)+f(2)+
f(3)+…+f(2 022)+f()+f()+…+f()=f(1)+[f(2)+f()]+
[f(3)+f()]+…+[f(2 022)+f()]=+=,选项D正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)=若f(x)=3,则 x= .
解析:当x≤0时,由f(x)=3,得x2+2x=3,
x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去),
当x>0时,由f(x)=3,得-3x=3,
解得x=-1(舍去).
综上,x=-3.
答案:-3
13.已知偶函数f(x)部分图象如图所示,且f(3)=0,则不等式xf(x)<
0的解集为 .
解析:根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象,
由xf(x)<0,当x>0时,f(x)<0,结合图象可得0当x<0时,f(x)>0,可得x<-3.所以xf(x)<0的解为{x|x<-3或0答案:(-∞,-3)∪(0,3)
14.已知函数f(x)=若t=0,则f(x)的值域是
,若f(x)的值域是[,3],则实数t的取值范围是 .
解析:当t=0时,f(x)=
当x<0时,f(x)==1-∈(1,+∞),
当0≤x≤2时,f(x)=x2-x+1,根据二次函数的性质可知f(x)∈[,3],
所以t=0,f(x)的值域是[,+∞).
若f(x)的值域是[,3],
则解得t∈[-1,-].
答案:[,+∞) [-1,-]
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知函数f(x)=x+,且f(1)=5.
(1)求m;
(2)判断并证明f(x)的奇偶性;
(3)判断函数f(x)在(2,+∞)上是单调递增还是单调递减,并证明.
解:(1)根据题意,
函数f(x)=x+,且f(1)=5,
则f(1)=1+m=5,解得m=4.
(2)f(x)为奇函数.证明如下:
由(1)可知f(x)=x+,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
又由f(-x)=-x-=-(x+)=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(3)f(x)在(2,+∞)上单调递增.
证明如下:
设2因为2所以x1x2>4,x1-x2<0,则f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以f(x)在(2,+∞)上单调递增.
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=2x2-4x+3.
(1)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(2)当x∈[-1,1]时,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定m的取值范围.
解:(1)f(x)=2x2-4x+3的对称轴为直线x=1,
由于f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,
所以2a<1故a的取值范围为(0,).
(2)依题意当-1≤x≤1时,
f(x)-(2x+2m+1)>0恒成立,
化简得x2-3x+1-m>0在区间[-1,1]上恒成立,
函数y=x2-3x+1-m图象的对称轴为直线x=,
且开口向上,所以当x=1时,有最小值,
故1-3+1-m>0,解得m<-1.
故m的取值范围为(-∞,-1).
17.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=
(1)若a=0,求函数f(x)的零点;
(2)若f(x)≤f(1)对任意的实数x都成立,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=0时,f(x)=
当x≥0时,-x2+2x=0,解得x=2或x=0,
当x<0,x=0,方程无解,
故函数f(x)有两个零点为2,0.
(2)①当a>1时,f(1)=1,此时存在11,不成立;
②当a=1,此时f(x)的最大值为f(1),所以成立;
③当a<1时,f(x)=
令g(x)=-x|x|+2x=
因为f(x)≤f(1)=1,所以g(x)≤1,
当x<0时,x2+2x≤1,x∈[-1-,0),
当x≥0时,-x2+2x≤1,恒成立.
故-1-≤a<1.
综上,a的取值范围为[-1-,1].
18.(本小题满分17分)
设a,b,c为实数,且a≠0,已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,满足f(0)=
2,f(x+1)-f(x)=-2x-1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设t∈R,当x∈[t,t+2]时,求函数f(x)的最大值g(t)(用t表示).
解:(1)因为f(0)=2 c=2,
所以f(x)=ax2+bx+2,
又因为f(x+1)-f(x)=-2x-1 a(x+1)2+b(x+1)+2-(ax2+bx+2)=2ax+a+
b=-2x-1,所以解得
所以f(x)=-x2+2.
(2)因为f(x)=-x2+2,所以其图象开口向下,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.
①当t≤-2时,t+2≤0,f(x)在[t,t+2]上单调递增,
所以f(x)max=f(t+2)=g(t)=-(t+2)2+2=-t2-4t-2;
②当t≥0时,f(x)在[t,t+2]上单调递减,
所以f(x)max=f(t)=g(t)=-t2+2;
③当-2所以f(x)max=f(0)=g(t)=2.
综上所述,g(t)=
19.(本小题满分17分)
2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2 000万元,每生产x(单位:百辆),需另投入成本C(x)
(单位:万元),且C(x)=
已知每辆车售价5万元,由市场调研知,全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2023年的利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:百辆)的函数关系式;
(2)2023年产量为多少百辆时,企业所获利润最大 并求出最大利润.
解:(1)由题意知利润L(x)=收入-总成本,可知利润L(x)=5x×100-
2 000-C(x)=
故2023年的利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:百辆)的函数关系式为L(x)=
(2)当0故当x=20时,L(x)max=2 000;
当x≥40时,L(x)=-x-+2 500≤-2+2 500=2 300,
当且仅当x=,即x=100时,取得等号.
综上所述,当产量为100(单位:百辆)时,取得最大利润,最大利润为
2 300万元.滚动检测试题(二)(含一、二、三章)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N等于( D )
A.{x|0≤x<2} B.{x|≤x<2}
C.{x|3≤x<16} D.{x|≤x<16}
解析:法一 因为M={x|<4},
所以M={x|0≤x<16}.
因为N={x|3x≥1},
所以N={x|x≥},
所以M∩N={x|≤x<16}.
法二 观察选项进行特取,取x=4,
则4∈M,4∈N,
所以4∈(M∩N),排除A,B;取x=1,
则1∈M,1∈N,所以1∈(M∩N),排除C.
2.命题“ x>1,x2-x>0”的否定是( C )
A. x≤1,x2-x≤0
B. x>1,x2-x≤0
C. x>1,x2-x≤0
D. x≤1,x2-x>0
解析:因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“ x>1,
x2-x>0”的否定是“ x>1,x2-x≤0”.
3.下面四个条件中,使a>b成立的充分不必要条件是( A )
A.a≥b+1 B.a>b-1
C.a2>b2 D.a3>b3
解析:由a≥b+1>b a>b,但a>b无法得出a≥b+1,A满足;
由a>b-1,a2>b2均无法得出a>b,不满足“充分”;
由a3>b3 a>b,不满足“不必要”.
4.已知二次函数f(x)=x2-2ax+1在区间(2,3)内不单调,则a的取值范围是( B )
A.(-∞,2)∪(3,+∞)
B.(2,3)
C.(-∞,-3)∪(-2,+∞)
D.[-3,-2]
解析:二次函数f(x)=x2-2ax+1,对称轴为直线x=a,因为二次函数f(x)=x2-2ax+1在区间(2,3)内不单调,所以25.不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-2解析:因为不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-26.已知二次函数y=x2-4x+a的两个零点都在区间(1,+∞)内,则a的取值范围是( C )
A.(-∞,4) B.(3,+∞) C.(3,4) D.(-∞,3)
解析:因为二次函数y=x2-4x+a的两个零点都在区间(1,+∞)内,
所以解得37.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2 022)+f(2 024)的值为( C )
A.-1 B.1
C.0 D.无法计算
解析:因为g(x)是定义在R上的奇函数,
所以有g(-x)=-g(x),
所以f(-x-1)=g(-x)=-g(x)=-f(x-1),因为 f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(-x)=f(x),
所以f(x+1)=f[-(x+1)]=f(-x-1),
所以f(x+1)+f(x-1)=0,
因此f(2 022)+f(2 024)=0.
8.已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则n的最大值为( A )
A.9 B.12 C.16 D.20
解析:因为a>0,b>0,所以2a+b>0,+≥ (2a+b)(+)≥n,
(2a+b)(+)=5++≥5+2=9(当且仅当a=b时,取等号),要想不等式+≥恒成立,只需n≤9,即n的最大值为9.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.“ x∈Z,x2+2为偶数”,下列说法正确的是( BD )
A.该命题是假命题
B.该命题是真命题
C.该命题的否定为 x∈Z,x2+2不是偶数
D.该命题的否定为 x∈Z,x2+2不是偶数
解析:当x=2时,x2+2=6是偶数,A项错误,B项正确; x∈Z,x2+2为偶数的否定为 x∈Z,x2+2不是偶数,C项错误,D项正确.
10.下列命题正确的是( BD )
A.设a,b是非零实数,若aa2b
B.若a
C.函数y=的最小值是2
D.若x,y是正数,且+=1,则xy的最小值是16
解析:A中,ab2-a2b=ab(b-a),由于a,b符号不定,故上式符号无法确定,故A错误.B中,在a,故B正确.C中,y=
=+≥2,但由=得x2+2=1无实数解,故C错误.D中,因为+=1≥2,所以xy≥16(当且仅当x=2,y=8时,等号成立),即D正确.
11.奇函数y=f(x)在x∈[-4,0]的图象如图所示,则下列结论正确的是( ABD )
A.当x∈[0,4]时,f(x)∈[-2,2]
B.函数f(x)在[2,4]上单调递减
C.f()>f()
D.函数f(x)在(-2,-),(,2)上单调递增
解析:根据题图可知x∈[-4,0]时,f(x)∈[-2,2],f(x)在[-4,-2],
[-,0]上单调递减,在[-2,-]上单调递增,所以根据奇函数性质,当x∈[0,4]时,f(x)∈[-2,2],A正确;
当x≥0时,f(x)在[2,4],[0,]上单调递减,在[,2]上单调递增,故B,D正确;
由于f(x)在[,2]上单调递增,所以f()三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知全集U=R,集合A={x∈N|(x+1)(x-3)≤0},B={y|y=x2+1},则如图所示的维恩图中阴影部分表示的集合为 .
解析:集合A={x∈N|(x+1)(x-3)≤0}={0,1,2,3},B={y|y=x2+1}=
{y|y≥1}.
维恩图中阴影部分表示的集合为( UB)∩A,
所以( UB)∩A={y|y<1}∩{0,1,2,3}={0}.
答案:{0}
13.函数f(x)=x2-ax-b的两个零点分别是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是 .
解析:函数f(x)=x2-ax-b的两个零点分别是2和3,即方程x2-ax-b=0的两个根分别为2和3,所以a=5,b=-6,解方程-6x2-5x-1=0,得x=-或 -,所以函数g(x)=bx2-ax-1的零点是-和-.
答案:-和-
14.已知函数f(x)=若f(a)-f(-a)>0,则实数a的取值范围为 .
解析:当a=0时,显然不成立;
当a>0时,不等式f(a)-f(-a)>0可化为
a2+a-3a>0,解得a>2;
当a<0时,不等式f(a)-f(-a)>0可化为-a2-2a>0,解得-2综上所述,a的取值范围为(-2,0)∪(2,+∞).
答案:(-2,0)∪(2,+∞)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知A={x|>0},B={x|(x-1-a)(x-1+a)≤0}.
(1)当a=2时,求A∩B;
(2)当a>0时,若A∪B=B,求实数a的取值范围.
解:(1)由>0,得2则A={x|2当a=2时,得(x-3)(x+1)≤0,
则B={x|-1≤x≤3},
则A∩B={x|2(2)若A∪B=B,则A B,
当a>0时,B={x|1-a≤x≤1+a},
则解得a≥5,
所以实数a的取值范围为[5,+∞).
16.(本小题满分15分)
若a<1,解关于x的不等式>1.
解:不等式>1可化为>0.
因为a<1,所以a-1<0,
故原不等式可化为<0.
故当0当a<0时,原不等式的解集为{x|当a=0时,原不等式的解集为 .
17.(本小题满分15分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)设x1,x2是方程的两根且++x1x2-17=0,求m的值.
解:(1)根据题意得Δ=(2m+1)2-4(m2-1)>0,
解得m>-.
故m的取值范围为(-,+∞).
(2)根据题意得
x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-1,
++x1x2-17=(x1+x2)2-x1x2-17=(2m+1)2-(m2-1)-17=0,
解得m1=,m2=-3(不合题意,舍去),
所以m的值为.
18.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间(2,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明;
(2)求函数f(x)在区间[3,4]上的值域.
解:(1)函数f(x)=在区间(2,+∞)上单调递减.证明如下:
任取x1,x2∈(2,+∞),且x1f(x1)-f(x2)=-==,
因为x1所以x2-x1>0,
又x1,x2∈(2,+∞),
所以x2+x1>0,-4>0,-4>0,
所以>0,
即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减.
(2)由(1)知,函数f(x)在区间[3,4]上单调递减,
所以函数f(x)的最大值为f(3)=,最小值为f(4)=,
所以函数f(x)在区间[3,4]上的值域为[,].
19.(本小题满分17分)
已知矩形ABCD中,AB=4,AD=1,点O为线段AB的中点,动点P沿矩形ABCD的边从B逆时针运动到A,当点P运动过的路程为x时,记点P的运动轨迹与线段OP,OB围成的图形面积为f(x).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)=2,求x的值.
解:(1)当x∈[0,1]时,f(x)=·OB·x=x;
当x∈(1,5]时,f(x)==(x+1);当x∈(5,6]时,f(x)=4×1-×2×(6-x)=x-2.
所以f(x)=
(2)若f(x)=2,显然1所以f(x)=(x+1)=2,解得x=3.