滚动检测试题(一)(含一、二章)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合{x|0<|x-3|<3,x∈Z}的真子集个数为( B )
A.16 B.15 C.8 D.7
解析:不等式的解集为{1,2,4,5},共4个元素,
所以真子集个数为24-1=15.
2.已知A={x∈N*|x≤3},B={x|x2-4x≤0},则A∩B等于( A )
A.{1,2,3} B.{1,2}
C.(0,3] D.(3,4]
解析:由题意得A={x∈N*|x≤3}={1,2,3},B={x|x2-4x≤0}=
{x|0≤x≤4},
所以A∩B={1,2,3}.
3.下列命题中真命题有( B )
①p: x∈R,x2-x+≥0;
②q:所有的正方形都是矩形;
③r: x∈R,x2+2x+2≤0;
④s: x,y∈Z,2x+4y=3.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析: x∈R,x2-x+=(x-)2≥0恒成立,
所以①是真命题;
命题“所有的正方形都是矩形”正确,所以②是真命题;
x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立,所以③是假命题;
当y∈Z时,对每一个整数y,x=-2y+都不是整数,所以④是假命题,
所以真命题的个数是2.
4.若x1+x2=3,+=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是( A )
A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0
C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0
解析:因为+=5,所以-2x1x2=5,而x1+x2=3,
所以9-2x1x2=5,所以x1x2=2,
所以以x1,x2为根的一元二次方程为x2-3x+2=0.
5.已知实数x,y满足x2+y2=1,则xy的最小值是( B )
A.-1 B.- C. D.
解析:因为1=x2+y2≥2|xy|,
所以-≤xy≤,
当且仅当x=-y时,取最小值,
所以xy的最小值是-.
6.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”,与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N=,其中d0为安全距离,v为车速(单位:m/s).当安全距离d0取30 m时,该道路一小时“道路容量”的最大值约为( B )
A.125 B.149 C.160 D.190
解析:由题意得N==≤=≈149(当且仅当v=,即v=10时,取等号),
所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.
7.若x>0,y>0,且满足+=1,则x+y的最小值是( B )
A.12 B.14 C.16 D.18
解析:x+y=x+1+y+1-2=(x+1+y+1)(+)-2=8++≥8+2=14,当且仅当=,x+1=3(y+1)=12时,等号成立,所以x+y的最小值是14.
8.已知关于x的不等式ax2-bx+1>0的解集为(-∞,)∪(m,+∞),其中m>0,则b+的最小值为( C )
A.4 B.2 C.2 D.1
解析:由题意关于x的不等式ax2-bx+1>0的解集为(-∞,)∪
(m,+∞),其中m>0,
可知a>0,,m为ax2-bx+1=0的两根且≤m,
即+m=,·m=,
即a=,b=+,m≥,
所以b+=+≥2=2,
当且仅当m=2时,取等号.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设全集U是实数集R,则图中阴影部分的集合表示正确的是( BCD )
A.M∩ UN B.N∩ UM
C. M∪NM D. N(M∩N)
解析:全集U是实数集R,则题图中阴影部分的集合表示的是N∩ UM或 M∪NM或 N(M∩N),故B,C,D正确,而M∩ UN M,所以A错误.
10.下列命题正确的是( BC )
A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
B.“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件
C.“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件
D.设a,b∈R,且ab≠0,若<1,则>1
解析:A选项,由2>-3 / 22>(-3)2知,该命题为假命题;
B选项,a2>b2 |a|2>|b|2 |a|>|b|,该命题为真命题;
C选项,a>b a+c>b+c,又a+c>b+c a>b,故“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件,该命题为真命题;
D选项,可举反例,如a,b异号,虽然<1,但<0.
11.已知a,b∈(0,+∞),且a+b++=5,则a+b的( BD )
A.最大值是3 B.最大值是4
C.最小值是2 D.最小值是1
解析:因为a+b++=(a+b)(1+)=5,又a,b∈(0,+∞),所以a+b=
≤,当且仅当a=b时,等号成立,即(a+b)2-5(a+b)+4≤0,解得1≤a+b≤4.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.命题“空集是任何集合的真子集”的否定是
.
解析:命题“空集是任何集合的真子集”的否定是:存在某一个集合使得空集不是它的真子集.
答案:存在某一个集合使得空集不是它的真子集
13.有外表一样,质量不同的四个小球,它们的质量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c
.
解析:因为a+b=c+d,a+d>b+c,
所以2a>2c,即a>c,因此b所以a答案:d
14.关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则满足条件的一个整数a的值为 .(写出一个即可)
解析:关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)(x-a)<0,
当a>1时,解不等式得1因为不等式的解集中恰有两个整数,
所以当a>1时,不等式的整数解是2和3,a的取值范围是3综上可知,a的取值范围是-2≤a<-1或3答案:-2或4中的一个
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|a≤x≤a+2}.
(1)若a=1,求A∪B;
(2)在① RA RB,②A∪B=A,③A∩B=B中任选一个作为已知,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,B={x|1≤x≤3},
则A∪B={x|-1≤x≤3}.
(2)选条件①或②或③,都有B A,
所以
解得-1≤a≤0,
所以实数a的取值范围为[-1,0].
16.(本小题满分15分)
已知p:|-1|≤2;q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
解:由|-1|≤2,得||≤2,即-2≤≤2,解得-2≤x≤10,
记A=[-2,10],
B={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0}
={x|[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0,m>0}
=[1-m,1+m],m>0.
因为p是q的充分不必要条件,
所以
解得m≥9(经检验,当m=9时,B=[-8,10],满足题意).
故所求的m的取值范围是[9,+∞).
17.(本小题满分15分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0.
(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;
(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
解:(1)根据题意,
得Δ=(2m+1)2-4(m2-2)≥0,
解得m≥-.
所以m的最小整数值为-2.
(2)根据题意,得x1+x2=-(2m+1),
x1x2=m2-2.
因为(x1-x2)2+m2=21,
所以(x1+x2)2-4x1x2+m2=21,
所以[-(2m+1)]2-4(m2-2)+m2=21,
整理得m2+4m-12=0,解得m1=2,m2=-6.
由(1)可知m≥-,
所以m的值为2.
18.(本小题满分17分)
某农户准备建造一个深为2 m,容积为18 m3的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为160元,池壁每平方米的造价为140元,沼气池盖子的造价为3 000元,问:怎样设计沼气池能使总造价最低,最低总造价是多少
解:设沼气池的底面长为x m,则宽为= m,可知池底总造价为9×
160元;
池壁总造价为(2x+×2)×2×140元,沼气池盖子的造价为
3 000元,设沼气池总造价为y元,且x>0,
由题可得y=3 000+9×160+(2x+×2)×2×140=4 440+(x+)×560≥4 440+560×2=4 440+3 360=7 800,当且仅当x=,即x=3时,等号成立.
所以当沼气池的底面是边长为3 m的正方形时,沼气池的总造价最低,最低总造价是7 800元.
19.(本小题满分17分)
(1)已知a>0,b>0,若a2+ab+4b2=4,求的最小值;
(2)已知a>0,b>0,c>0,且abc=1,a,b,c不相等.求证:++>
++.
(1)解:由题意得a2+4b2=4-ab≥4ab,
解得ab≤,
当且仅当a=2b且a2+ab+4b2=4时,等号成立.
所以==-1≥4×-1=4.
故的最小值为4.
(2)证明:因为a>0,b>0,c>0,
所以+≥,①
+≥,②
+≥.③
①+②+③,
得2(++)≥2(++).
所以++≥++=,且abc=1,
又a,b,c不相等,
所以++>++.章末总结
网络建构
知识辨析
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
1.x4-y4=(x-y)(x+y)(x2+y2).( √ )
2.方程ax2+bx+c=0所有根之和为-.( × )
3.方程组有无数组解.( √ )
4.如果a>b,那么ac>bc.( × )
5.如果a>b,那么>.( × )
6.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根m,n(m7.函数y=x+的最小值为2.( × )
8.x>0,且y>0是+≥2的充要条件.( × )
9.关于x的不等式|x|10.ax2+bx+c>0(a,b,c为常数)叫做一元二次不等式.( × )
题型一 一元二次方程根与系数的关系
[典例1] (1)已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0.
①求证:不论m为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
②若方程两根为x1,x2且满足+=-,求m的值.
(2)设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值.
①x2+x1;②(x1-x2)2;
③(x1+)(x2+);④+.
(1)①证明:Δ=(4m+1)2-4(2m-1)=16m2+5>0,
所以不论m为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
②解:因为x1+x2=-(4m+1),x1x2=2m-1,
所以+==-,
即=-,
所以m=-.
(2)解:由根与系数的关系得
①原式=x1x2(x1+x2)=×3=.
②原式=(x1+x2)2-4x1x2=9-4×=3.
③原式=x1x2++2=++2=.
④原式===.
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1,x2,那么x1+x2=-,x1x2=.
题型二 不等式的性质及应用
[典例2] (1)已知实数a>b>0,则下列不等式一定成立的是( )
A.> B.ac2>bc2
C.a->b- D.+>2
(2)已知a>b>c>0,若P=,Q=,则( )
A.P≥Q B.P≤Q
C.P>Q D.P解析:(1)令a=2,b=1,满足a>b>0,但<,故A错误;
令c=0,则ac2=bc2,故B错误;
因为a>b>0,
所以>.
所以a+>+b,即a->b-,故C正确;
令a=2,b=1,满足a>b>0,但+<2,故D错误.故选C.
(2)P-Q=-
==.
因为a>b>c>0,所以a-b>0,c-a-b<0,
ab>0,所以P(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.
(2)比较大小的四种常用方法:作差法、作商法、单调性法和特殊值验证法.
题型三 一元二次不等式的解法
[典例3] 解关于x的不等式:
(1)-4x2+4x+3>0;
(2)12x2-ax>a2(a∈R).
解:(1)由-4x2+4x+3>0,得4x2-4x-3<0,
所以(2x-3)(2x+1)<0,解得-故不等式的解集为{x|-(2)因为12x2-ax>a2,所以12x2-ax-a2>0,
即(4x+a)(3x-a)>0.
令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-,x2=.
①当a>0时,-<,不等式的解集为{x|x<-或x>};
②当a=0时,-==0,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠0};
③当a<0时,->,不等式的解集为{x|x<或x>-}.
综上所述,当a>0时,不等式的解集为{x|x<-或x>};
当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠0};
当a<0时,不等式的解集为{x|x<或x>-}.
(1)解决二次问题的关键:一是充分利用数形结合;二是熟练进行因式分解.
(2)应善于把分式不等式转化为整式不等式.
(3)对含参的不等式,应合理地对参数进行分类讨论.讨论依据是:首先对二次项系数的正、负及零进行分类,当二次项系数为负时转化为二次项系数为正.其次根据判别式Δ判断根的个数.当方程有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论,从而确定不等式的解集.
题型四 均值不等式求最值
[典例4] (多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则( )
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
解析:对于选项A,B,由x2+y2-xy=1,
得(x+y)2-3xy=1,
又xy=-,
所以(x+y)2-3[-]=1,
即1=+≥,
所以-2≤x+y≤2,所以A不正确,B正确;
对于选项C,D,由x2+y2-xy=1,
得x2+y2-1=xy≤,
当且仅当x=y时,取等号,
所以x2+y2≤2,所以C正确,D不正确.故选BC.
(1)利用均值不等式求最值,首先要明确均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”,求解时要准确创造使用均值不等式的条件.
(2)正确使用不等式链:a>0,b>0,则≤≤≤.
题型五 均值不等式证明不等式
[典例5] 已知a,b,c均为正数,a,b,c不全相等,求证:++>a+b+c.
证明:因为a>0,b>0,c>0,
所以+≥2=2c,
+≥2=2a,
+≥2=2b,
当且仅当a=b=c时,上式等号均成立,
又a,b,c不全相等,故上述等号至少有一个不成立.
故三个式子相加,得2(++)>2(a+b+c).
所以++>a+b+c.
利用均值不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用均值不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用均值不等式的条件;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.
第二章 检测试题
选题明细表
知识点、方法 题号
方程(组)的解集 1,13
一次不等式,绝对值不等式 3
不等式的性质 4,9,12
一元二次不等式 2,5,10,16,17
均值不等式 8,11,14,18
综合 6,7,15,19
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.《孙子算经》下卷收集了一些算术难题,“鸡兔同笼”问题是其中之一,原题如下:今有雉、兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问雉、兔各几何 ( A )
A.雉23只,兔12只 B.雉12只,兔23只
C.雉13只,兔22只 D.雉22只,兔13只
解析:设雉有x只,兔有y只,
依题意,得
解得
2.不等式-x2+bx+c>0的解集是{x|-2A.2 B.-1 C.0 D.1
解析:由不等式-x2+bx+c>0的解集是{x|-2由根与系数的关系知
解得所以b+c-1=-1+2-1=0.
3.不等式1<|x+1|<3的解集为( D )
A.(0,2) B.(-2,0)∪(2,4)
C.(-4,0) D.(-4,-2)∪(0,2)
解析:由1<|x+1|<3得1所以0所以不等式的解集为(-4,-2)∪(0,2).
4.若aA.< B.>
C.a2>b2 D.a2解析:令a=-,b=可得C,D均错误;
因为a0,1-b>0,a-b<0,
所以-=<0.故A正确,B错误.
5.若某商店将进货单价为6元的商品按每件10元出售,则每天可销售100件,现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售价每提高1元,销售量就要减少10件,那么要保证该商品每天的利润不少于450元,售价应定为( B )
A.11元 B.11元到15元之间
C.15元 D.10元到14元之间
解析:设每件商品的售价提高x(0≤x<10)元,则每件获得利润
(4+x)元,每天可销售(100-10x)件.设该商品每天的利润为y元,则由题意有y=(4+x)(100-10x)=-10x2+60x+400,要保证每天的利润不少于450元,则-10x2+60x+400≥450,即x2-6x+5≤0,解得1≤x≤5,故每件商品的售价在11元到15元之间时,能确保该商品每天的利润不少于450元.
6.整数a使得关于x,y的二元一次方程组的解为正整数(x,y均为正整数),且使得关于x的不等式组无解,则所有满足条件的a的和为( C )
A.9 B.16 C.17 D.30
解析:由方程组
①-②得(a-3)x=10,由题意知a>3,
所以x=.
因为x为正整数,
所以a-3=1或2或5或10,即a=4或5或8或13,解不等式组得不等式组无解时a+2≤10解得a≤8.
所以所有满足条件的a的值为4,5,8,其和为4+5+8=17.
7.某商品计划提价两次,有甲、乙、丙三种方案,其中m>n>0,则两次提价后价格最高的方案是( C )
方案 第一次提价率 第二次提价率
甲 m n
乙 n m
丙
A.甲 B.乙
C.丙 D.无法判断
解析:设商品原价为1.甲方案,则提价后商品价格为(1+m)(1+n),
乙方案,则提价后商品价格为(1+n)(1+m),
丙方案,则提价后商品价格为(1+)(1+),因为(1+m)(1+n)- (1+)(1+)=-<0,
所以经两次提价后,甲、乙相同,只有丙方案提价后的价格最高.
8.对任意的正实数x,y,不等式x+4y≥m 恒成立,则实数m的取值范围是( C )
A.(0,4] B.(0,2]
C.(-∞,4] D.(-∞,2]
解析:因为x+4y≥m,即m≤,
即m≤()min,
又因为=+≥2=4,
当且仅当=,即x=4y时,等号成立,
即m≤4,故m∈(-∞,4].
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知a,b,c为互不相等的正数,且a2+c2=2bc,则下列关系中可能成立的是( CD )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>b>a
解析:a2+c2=2bc>2ac,又c>0,故b>a,则A,B错误;
若b>c,则a2+c2=2bc>2c2,即a2>c2,又a>0,c>0,故a>c,则b>a>c,C正确;若c>b,则c>b>a,D正确.
10.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则下列说法正确的是( BC )
A.a<0
B.不等式bx-c>0的解集为{x|x<6}
C.4a+2b+c<0
D.不等式ax2-bx+a≥0的解集为[-,]
解析:因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪
(3,+∞),
所以即b=-a,c=-6a,a>0,故A错误;不等式bx-c>0可化为x-6<0,故不等式bx-c>0的解集为{x|x<6},故B正确;
4a+2b+c=4a-2a-6a=-4a<0,故C正确;
因为ax2-bx+a≥0,所以ax2+ax+a≥0,
即x2+x+1≥0,x2+x+1≥0的解集为R,故D错误.
11.设x>0,y>0,下列不等式中等号能成立的有( ABD )
A.(x+)(y+)≥4 B.(x+y)(+)≥4
C.≥4 D.x+y+≥4
解析:x>0,y>0,x+≥2,y+≥2,当且仅当x=1,y=1时,等号成立,所以A成立;
(x+y)(+)=2++≥4,当且仅当x=y时,取等号,所以B成立;
=+≥4,当且仅当x2+5=4时,取等号,显然C不
成立;
x+y+≥2+≥4,当且仅当x=y=1时,等号成立,所以D成立.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若-2解析:设4x+2y=a(x+y)+b(x-y)=(a+b)x+(a-b)y,
则
解得a=3,b=1,即4x+2y=3(x+y)+(x-y).
因为-2所以-6<3(x+y)≤6.
则-7<3(x+y)+(x-y)≤7,故z=4x+2y的最大值是7.
答案:7
13.公元5世纪末,中国数学家张丘建提出了“百鸡问题”:今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱买鸡百只.则满足题意的一组鸡翁x、鸡母y、鸡雏z值的有序数对(x,y,z)为 (写出一组即可,不必考虑所有情况).
解析:鸡翁、鸡母、鸡雏各x,y,z(x,y,z∈N*)只,则
消去z可得4y=100-7x>0,解得x≤14,且x能被4整除,
故x可能的取值为4,8,12,
所以方程组的解集为{(4,18,78),(8,11,81),(12,4,84)}.
答案:(4,18,78),(8,11,81),(12,4,84)三组中的一组即可
14.实数a,b,c满足a+b>0,b>0,a2-ab+2b2-c=0,则的最小值为 .
解析:因为a2-ab+2b2-c=0,
所以a2-ab+2b2=c.
因为a+b>0,b>0,
所以===+=+=
+=+-3≥2-3=1,当且仅当=,即a=b时,等号成立,
所以的最小值为1.
答案:1
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
设正数a,b满足4a2+b2=16,且ab的最大值为m.
(1)求m;
(2)求方程组的解集.
解:(1)因为正数a,b满足16=4a2+b2≥2·2a·b,当且仅当2a=b,即b=2,a=时,取等号,
所以ab≤4,即m=4.
(2)由(1)得
解得或
即方程组的解集为{(-2,6),(,-)}.
16.(本小题满分15分)
已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).
(1)若不等式的解集是{x|x<-3或x>-2},求k的值;
(2)若不等式的解集是R,求k的取值范围.
解:(1)因为不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},
所以-3,-2是方程kx2-2x+6k=0的两根,且k<0.
由根与系数的关系得
解得k=-.
(2)因为不等式的解集为R,
所以
即
所以k<-,
即k的取值范围是(-∞,-).
17.(本小题满分15分)
已知关于x的不等式ax2-3x+2>0(a<0).
(1)当a=-5时,求此不等式的解集;
(2)求关于x的不等式ax2-3x+2>-ax+5的解集.
解:(1)当a=-5时,原不等式为-5x2-3x+2>0,即5x2+3x-2<0,
可化为(5x-2)(x+1)<0,
解得-1所以不等式的解集为(-1,).
(2)将不等式ax2-3x+2>-ax+5化为ax2+ax-3x-3>0,即(ax-3)(x+1)>0,
因为a<0,
所以不等式可化为(x-)(x+1)<0.
①当a<-3时,>-1,
不等式的解集为{x|-1②当a=-3时,=-1,不等式的解集为 ;
③当-3不等式的解集为{x|综上所述,
当-3当a=-3时,不等式的解集为 ;
当a<-3时,不等式的解集为{x|-118.(本小题满分17分)
已知正实数a,b满足a+b=4.
(1)求+的最小值;
(2)证明:(a+)2+(b+)2≥.
(1)解:因为正实数a,b满足a+b=4,
所以+=+)(a+b)=(5++)≥(5+2)=,
当且仅当=,且a+b=4,即a=,b=时,等号成立,+取得最小值.
(2)证明:因为a+b=4,
所以+=(a+b)(+)=++2)≥×(2+2)=1,
所以≥=,
所以(a+)2+(b+)2≥=≥(当且仅当a=b=2时,取等号).
19.(本小题满分17分)
某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10(a-)万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业
(2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000 名员工创造的年总利润的条件下,若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少
解:(1)由题意得10(1 000-x)(1+0.2x%)≥10×1 000,
即x2-500x≤0,又x>0,x∈N*,
所以0即最多调整500名员工从事第三产业.
(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a-)x万元,
从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000-x)(1+x)万元,
则10(a-)x≤10(1 000-x)(1+x),
所以ax-≤1 000+2x-x-x2.
所以a≤++1在x∈(0,500]上恒成立.
因为+≥2=4,当且仅当=,即x=500时,等号成立,
所以a≤5,
又a>0,
所以0滚动检测试题(一)(含一、二章)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合{x|0<|x-3|<3,x∈Z}的真子集个数为( B )
A.16 B.15 C.8 D.7
解析:不等式的解集为{1,2,4,5},共4个元素,
所以真子集个数为24-1=15.
2.已知A={x∈N*|x≤3},B={x|x2-4x≤0},则A∩B等于( A )
A.{1,2,3} B.{1,2}
C.(0,3] D.(3,4]
解析:由题意得A={x∈N*|x≤3}={1,2,3},B={x|x2-4x≤0}=
{x|0≤x≤4},
所以A∩B={1,2,3}.
3.下列命题中真命题有( B )
①p: x∈R,x2-x+≥0;
②q:所有的正方形都是矩形;
③r: x∈R,x2+2x+2≤0;
④s: x,y∈Z,2x+4y=3.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析: x∈R,x2-x+=(x-)2≥0恒成立,
所以①是真命题;
命题“所有的正方形都是矩形”正确,所以②是真命题;
x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立,所以③是假命题;
当y∈Z时,对每一个整数y,x=-2y+都不是整数,所以④是假命题,
所以真命题的个数是2.
4.若x1+x2=3,+=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是( A )
A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0
C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0
解析:因为+=5,所以-2x1x2=5,而x1+x2=3,
所以9-2x1x2=5,所以x1x2=2,
所以以x1,x2为根的一元二次方程为x2-3x+2=0.
5.已知实数x,y满足x2+y2=1,则xy的最小值是( B )
A.-1 B.- C. D.
解析:因为1=x2+y2≥2|xy|,
所以-≤xy≤,
当且仅当x=-y时,取最小值,
所以xy的最小值是-.
6.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”,与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N=,其中d0为安全距离,v为车速(单位:m/s).当安全距离d0取30 m时,该道路一小时“道路容量”的最大值约为( B )
A.125 B.149 C.160 D.190
解析:由题意得N==≤=≈149(当且仅当v=,即v=10时,取等号),
所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.
7.若x>0,y>0,且满足+=1,则x+y的最小值是( B )
A.12 B.14 C.16 D.18
解析:x+y=x+1+y+1-2=(x+1+y+1)(+)-2=8++≥8+2=14,当且仅当=,x+1=3(y+1)=12时,等号成立,所以x+y的最小值是14.
8.已知关于x的不等式ax2-bx+1>0的解集为(-∞,)∪(m,+∞),其中m>0,则b+的最小值为( C )
A.4 B.2 C.2 D.1
解析:由题意关于x的不等式ax2-bx+1>0的解集为(-∞,)∪
(m,+∞),其中m>0,
可知a>0,,m为ax2-bx+1=0的两根且≤m,
即+m=,·m=,
即a=,b=+,m≥,
所以b+=+≥2=2,
当且仅当m=2时,取等号.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设全集U是实数集R,则图中阴影部分的集合表示正确的是( BCD )
A.M∩ UN B.N∩ UM
C. M∪NM D. N(M∩N)
解析:全集U是实数集R,则题图中阴影部分的集合表示的是N∩ UM或 M∪NM或 N(M∩N),故B,C,D正确,而M∩ UN M,所以A错误.
10.下列命题正确的是( BC )
A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
B.“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件
C.“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件
D.设a,b∈R,且ab≠0,若<1,则>1
解析:A选项,由2>-3 / 22>(-3)2知,该命题为假命题;
B选项,a2>b2 |a|2>|b|2 |a|>|b|,该命题为真命题;
C选项,a>b a+c>b+c,又a+c>b+c a>b,故“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件,该命题为真命题;
D选项,可举反例,如a,b异号,虽然<1,但<0.
11.已知a,b∈(0,+∞),且a+b++=5,则a+b的( BD )
A.最大值是3 B.最大值是4
C.最小值是2 D.最小值是1
解析:因为a+b++=(a+b)(1+)=5,又a,b∈(0,+∞),所以a+b=
≤,当且仅当a=b时,等号成立,即(a+b)2-5(a+b)+4≤0,解得1≤a+b≤4.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.命题“空集是任何集合的真子集”的否定是
.
解析:命题“空集是任何集合的真子集”的否定是:存在某一个集合使得空集不是它的真子集.
答案:存在某一个集合使得空集不是它的真子集
13.有外表一样,质量不同的四个小球,它们的质量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c .
解析:因为a+b=c+d,a+d>b+c,
所以2a>2c,即a>c,因此b所以a答案:d
14.关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则满足条件的一个整数a的值为 .(写出一个即可)
解析:关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)(x-a)<0,
当a>1时,解不等式得1因为不等式的解集中恰有两个整数,
所以当a>1时,不等式的整数解是2和3,a的取值范围是3综上可知,a的取值范围是-2≤a<-1或3答案:-2或4中的一个
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|a≤x≤a+2}.
(1)若a=1,求A∪B;
(2)在① RA RB,②A∪B=A,③A∩B=B中任选一个作为已知,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,B={x|1≤x≤3},
则A∪B={x|-1≤x≤3}.
(2)选条件①或②或③,都有B A,
所以
解得-1≤a≤0,
所以实数a的取值范围为[-1,0].
16.(本小题满分15分)
已知p:|-1|≤2;q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
解:由|-1|≤2,得||≤2,即-2≤≤2,解得-2≤x≤10,
记A=[-2,10],
B={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0}
={x|[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0,m>0}
=[1-m,1+m],m>0.
因为p是q的充分不必要条件,
所以
解得m≥9(经检验,当m=9时,B=[-8,10],满足题意).
故所求的m的取值范围是[9,+∞).
17.(本小题满分15分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0.
(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;
(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
解:(1)根据题意,
得Δ=(2m+1)2-4(m2-2)≥0,
解得m≥-.
所以m的最小整数值为-2.
(2)根据题意,得x1+x2=-(2m+1),
x1x2=m2-2.
因为(x1-x2)2+m2=21,
所以(x1+x2)2-4x1x2+m2=21,
所以[-(2m+1)]2-4(m2-2)+m2=21,
整理得m2+4m-12=0,解得m1=2,m2=-6.
由(1)可知m≥-,
所以m的值为2.
18.(本小题满分17分)
某农户准备建造一个深为2 m,容积为18 m3的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为160元,池壁每平方米的造价为140元,沼气池盖子的造价为3 000元,问:怎样设计沼气池能使总造价最低,最低总造价是多少
解:设沼气池的底面长为x m,则宽为= m,可知池底总造价为9×
160元;
池壁总造价为(2x+×2)×2×140元,沼气池盖子的造价为
3 000元,设沼气池总造价为y元,且x>0,
由题可得y=3 000+9×160+(2x+×2)×2×140=4 440+(x+)×560≥4 440+560×2=4 440+3 360=7 800,当且仅当x=,即x=3时,等号成立.
所以当沼气池的底面是边长为3 m的正方形时,沼气池的总造价最低,最低总造价是7 800元.
19.(本小题满分17分)
(1)已知a>0,b>0,若a2+ab+4b2=4,求的最小值;
(2)已知a>0,b>0,c>0,且abc=1,a,b,c不相等.求证:++>
++.
(1)解:由题意得a2+4b2=4-ab≥4ab,
解得ab≤,
当且仅当a=2b且a2+ab+4b2=4时,等号成立.
所以==-1≥4×-1=4.
故的最小值为4.
(2)证明:因为a>0,b>0,c>0,
所以+≥,①
+≥,②
+≥.③
①+②+③,
得2(++)≥2(++).
所以++≥++=,且abc=1,
又a,b,c不相等,
所以++>++.第二章 检测试题
选题明细表
知识点、方法 题号
方程(组)的解集 1,13
一次不等式,绝对值不等式 3
不等式的性质 4,9,12
一元二次不等式 2,5,10,16,17
均值不等式 8,11,14,18
综合 6,7,15,19
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.《孙子算经》下卷收集了一些算术难题,“鸡兔同笼”问题是其中之一,原题如下:今有雉、兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问雉、兔各几何 ( A )
A.雉23只,兔12只 B.雉12只,兔23只
C.雉13只,兔22只 D.雉22只,兔13只
解析:设雉有x只,兔有y只,
依题意,得
解得
2.不等式-x2+bx+c>0的解集是{x|-2A.2 B.-1 C.0 D.1
解析:由不等式-x2+bx+c>0的解集是{x|-2由根与系数的关系知
解得所以b+c-1=-1+2-1=0.
3.不等式1<|x+1|<3的解集为( D )
A.(0,2) B.(-2,0)∪(2,4)
C.(-4,0) D.(-4,-2)∪(0,2)
解析:由1<|x+1|<3得1所以0所以不等式的解集为(-4,-2)∪(0,2).
4.若aA.< B.>
C.a2>b2 D.a2解析:令a=-,b=可得C,D均错误;
因为a0,1-b>0,a-b<0,
所以-=<0.故A正确,B错误.
5.若某商店将进货单价为6元的商品按每件10元出售,则每天可销售100件,现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售价每提高1元,销售量就要减少10件,那么要保证该商品每天的利润不少于450元,售价应定为( B )
A.11元 B.11元到15元之间
C.15元 D.10元到14元之间
解析:设每件商品的售价提高x(0≤x<10)元,则每件获得利润
(4+x)元,每天可销售(100-10x)件.设该商品每天的利润为y元,则由题意有y=(4+x)(100-10x)=-10x2+60x+400,要保证每天的利润不少于450元,则-10x2+60x+400≥450,即x2-6x+5≤0,解得1≤x≤5,故每件商品的售价在11元到15元之间时,能确保该商品每天的利润不少于450元.
6.整数a使得关于x,y的二元一次方程组的解为正整数(x,y均为正整数),且使得关于x的不等式组无解,则所有满足条件的a的和为( C )
A.9 B.16 C.17 D.30
解析:由方程组
①-②得(a-3)x=10,由题意知a>3,
所以x=.
因为x为正整数,
所以a-3=1或2或5或10,即a=4或5或8或13,解不等式组得不等式组无解时a+2≤10解得a≤8.
所以所有满足条件的a的值为4,5,8,其和为4+5+8=17.
7.某商品计划提价两次,有甲、乙、丙三种方案,其中m>n>0,则两次提价后价格最高的方案是( C )
方案 第一次提价率 第二次提价率
甲 m n
乙 n m
丙
A.甲 B.乙
C.丙 D.无法判断
解析:设商品原价为1.甲方案,则提价后商品价格为(1+m)(1+n),
乙方案,则提价后商品价格为(1+n)(1+m),
丙方案,则提价后商品价格为(1+)(1+),因为(1+m)(1+n)- (1+)(1+)=-<0,
所以经两次提价后,甲、乙相同,只有丙方案提价后的价格最高.
8.对任意的正实数x,y,不等式x+4y≥m 恒成立,则实数m的取值范围是( C )
A.(0,4] B.(0,2]
C.(-∞,4] D.(-∞,2]
解析:因为x+4y≥m,即m≤,
即m≤()min,
又因为=+≥2=4,
当且仅当=,即x=4y时,等号成立,
即m≤4,故m∈(-∞,4].
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知a,b,c为互不相等的正数,且a2+c2=2bc,则下列关系中可能成立的是( CD )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>b>a
解析:a2+c2=2bc>2ac,又c>0,故b>a,则A,B错误;
若b>c,则a2+c2=2bc>2c2,即a2>c2,又a>0,c>0,故a>c,则b>a>c,C正确;若c>b,则c>b>a,D正确.
10.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则下列说法正确的是( BC )
A.a<0
B.不等式bx-c>0的解集为{x|x<6}
C.4a+2b+c<0
D.不等式ax2-bx+a≥0的解集为[-,]
解析:因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪
(3,+∞),
所以即b=-a,c=-6a,a>0,故A错误;不等式bx-c>0可化为x-6<0,故不等式bx-c>0的解集为{x|x<6},故B正确;
4a+2b+c=4a-2a-6a=-4a<0,故C正确;
因为ax2-bx+a≥0,所以ax2+ax+a≥0,
即x2+x+1≥0,x2+x+1≥0的解集为R,故D错误.
11.设x>0,y>0,下列不等式中等号能成立的有( ABD )
A.(x+)(y+)≥4 B.(x+y)(+)≥4
C.≥4 D.x+y+≥4
解析:x>0,y>0,x+≥2,y+≥2,当且仅当x=1,y=1时,等号成立,所以A成立;
(x+y)(+)=2++≥4,当且仅当x=y时,取等号,所以B成立;
=+≥4,当且仅当x2+5=4时,取等号,显然C不
成立;
x+y+≥2+≥4,当且仅当x=y=1时,等号成立,所以D成立.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若-2解析:设4x+2y=a(x+y)+b(x-y)=(a+b)x+(a-b)y,
则
解得a=3,b=1,即4x+2y=3(x+y)+(x-y).
因为-2所以-6<3(x+y)≤6.
则-7<3(x+y)+(x-y)≤7,故z=4x+2y的最大值是7.
答案:7
13.公元5世纪末,中国数学家张丘建提出了“百鸡问题”:今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱买鸡百只.则满足题意的一组鸡翁x、鸡母y、鸡雏z值的有序数对(x,y,z)为 (写出一组即可,不必考虑所有情况).
解析:鸡翁、鸡母、鸡雏各x,y,z(x,y,z∈N*)只,则
消去z可得4y=100-7x>0,解得x≤14,且x能被4整除,
故x可能的取值为4,8,12,
所以方程组的解集为{(4,18,78),(8,11,81),(12,4,84)}.
答案:(4,18,78),(8,11,81),(12,4,84)三组中的一组即可
14.实数a,b,c满足a+b>0,b>0,a2-ab+2b2-c=0,则的最小值为 .
解析:因为a2-ab+2b2-c=0,
所以a2-ab+2b2=c.
因为a+b>0,b>0,
所以===+=+=
+=+-3≥2-3=1,当且仅当=,即a=b时,等号成立,
所以的最小值为1.
答案:1
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
设正数a,b满足4a2+b2=16,且ab的最大值为m.
(1)求m;
(2)求方程组的解集.
解:(1)因为正数a,b满足16=4a2+b2≥2·2a·b,当且仅当2a=b,即b=2,a=时,取等号,
所以ab≤4,即m=4.
(2)由(1)得
解得或
即方程组的解集为{(-2,6),(,-)}.
16.(本小题满分15分)
已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).
(1)若不等式的解集是{x|x<-3或x>-2},求k的值;
(2)若不等式的解集是R,求k的取值范围.
解:(1)因为不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},
所以-3,-2是方程kx2-2x+6k=0的两根,且k<0.
由根与系数的关系得
解得k=-.
(2)因为不等式的解集为R,
所以
即
所以k<-,
即k的取值范围是(-∞,-).
17.(本小题满分15分)
已知关于x的不等式ax2-3x+2>0(a<0).
(1)当a=-5时,求此不等式的解集;
(2)求关于x的不等式ax2-3x+2>-ax+5的解集.
解:(1)当a=-5时,原不等式为-5x2-3x+2>0,即5x2+3x-2<0,
可化为(5x-2)(x+1)<0,
解得-1所以不等式的解集为(-1,).
(2)将不等式ax2-3x+2>-ax+5化为ax2+ax-3x-3>0,即(ax-3)(x+1)>0,
因为a<0,
所以不等式可化为(x-)(x+1)<0.
①当a<-3时,>-1,
不等式的解集为{x|-1②当a=-3时,=-1,不等式的解集为 ;
③当-3不等式的解集为{x|综上所述,
当-3当a=-3时,不等式的解集为 ;
当a<-3时,不等式的解集为{x|-118.(本小题满分17分)
已知正实数a,b满足a+b=4.
(1)求+的最小值;
(2)证明:(a+)2+(b+)2≥.
(1)解:因为正实数a,b满足a+b=4,
所以+=+)(a+b)=(5++)≥(5+2)=,
当且仅当=,且a+b=4,即a=,b=时,等号成立,+取得最小值.
(2)证明:因为a+b=4,
所以+=(a+b)(+)=++2)≥×(2+2)=1,
所以≥=,
所以(a+)2+(b+)2≥=≥(当且仅当a=b=2时,取等号).
19.(本小题满分17分)
某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10(a-)万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业
(2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000 名员工创造的年总利润的条件下,若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少
解:(1)由题意得10(1 000-x)(1+0.2x%)≥10×1 000,
即x2-500x≤0,又x>0,x∈N*,
所以0即最多调整500名员工从事第三产业.
(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a-)x万元,
从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000-x)(1+x)万元,
则10(a-)x≤10(1 000-x)(1+x),
所以ax-≤1 000+2x-x-x2.
所以a≤++1在x∈(0,500]上恒成立.
因为+≥2=4,当且仅当=,即x=500时,等号成立,
所以a≤5,
又a>0,
所以0第二章 等式与不等式
章末总结
网络构建
归纳整合
「网络建构」
「知识辨析」
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”.
√
×
√
×
×
×
×
×
×
×
题型归纳
素养提升
题型一 一元二次方程根与系数的关系
题型二 不等式的性质及应用
C
D
规律方法
（1）判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要
利用不等式的性质．
（2）比较大小的四种常用方法：作差法、作商法、单调性法和特殊值验证法．
题型三 一元二次不等式的解法
题型四 均值不等式求最值
BC
题型五 均值不等式证明不等式
规律方法
利用均值不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使
用均值不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用均值
不等式的条件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，
当已知条件中含有1时，要注意1的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到．
解：
因为x中红三-(m+),2=2m-1,
所以是
1十x2
X122
21
(4m+1)
1
即
2m-1
所以m
解折]令a=2,b=1,满足a>b>0,但2<+：
故A错误；
令c=0,则ac2=bc2,故B结误；
因为a>b>0,
所以
所以a+>
0
,故C正确；
令a=2,b=1,满足a>b>0,但Va-b十Vb<2a,故D错误.故选C
解析P一
b-c
a一C
b
b2-bc-a2+ac
(a-b)(c-a-b)
ab
ab
因为a>b>c>0，所以a-b>0,c-a-b<0,
ab>0,所以P解：因为12x2-ax>a2，所以12x2
-ax-a2>0
即(4x+a)(3x-a)>0.
a
令(4x+a)(3x一a)=0,解得x1
3
①当a>0时
不等式的解集为xx<一2或x>
②当a=0时
==0,不等式的解集为{xxER,且x丰O
③当a<0时，
>不等式的解集为xx<台鼓x>
综上所述，当a>0时，不等式的解集为xx<-2或x>
当a=0时，不等式的解集为{xlx∈R,且x≠O]:
当a<0时，不等式的解集为xx<或x>
规律方法
(1)
解决二次问题的关键：一是充分利用数形结合；二是熟练进行因式分解
(2)应善于把分式不等式转化为整式不等式
(3)对含参的不等式，应合理地对参数进行分类讨论.讨论依据是：首先对二次项系
数的正、负及零进行分类，当二次项系数为负时转化为二次项系数为正.其次根据判别
式△判断根的个数.当方程有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论，从而确定
不等式的解集