(共29张PPT)
2.2 不等式
2.2.2 不等式的解集
「学习目标」
1.了解不等式（组）的解集的概念，会求简单的一元一次不等式（组）的解集.培养数学
抽象、数学运算的核心素养.
2.了解含绝对值不等式的几何意义，能借助数轴解含有绝对值的不等式.提升数学抽象、
数学运算的核心素养.
3.了解数轴上两点间距离公式及中点坐标公式，达成直观想象的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
1.不等式的解集与不等式组的解集
一般地，不等式的________组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得
到的不等式组来说，这些不等式的____________称为不等式组的解集.
所有解
解集的交集
［思考1］ 不等式的解与解集的区别和联系是什么？
提示:不等式的解是指满足这个不等式的未知数的值，而不等式的解集是指满足这个不
等式的未知数的所有值的集合.
绝对值
拓展总结
（1）解不等式的依据
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或整式），不等号的方向不变；
②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
（2）绝对值不等式
①解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对值的符号，其基本思想是把含绝对值的不等
式转化为不含绝对值的不等式；
②常用的去掉绝对值的符号的方法：几何意义法、分区间讨论法、平方法（不等式两边
非负）.
（3）绝对值不等式的几何意义
解集1的几何意义
课堂探究
素养培育
探究点一 不等式（组）的解集
［例1］ 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
方法总结
不等式组的求解步骤
（1）求出不等式组中每个不等式的解集.
（2）借助数轴求出各解集的公共部分（交集）.
（3）写出不等式组的解集.
4
探究点二 绝对值不等式的解法
探究点三 数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式
B
B
C
A.3 B.4.5 C.6 D.18
【学海拾贝】
「当堂检测」
B
C
A
3
「备用例题」
A2.2.2 不等式的解集
选题明细表
知识点、方法 题号
一元一次不等式(组)的解集 4,7,8, 11,12,13
绝对值不等式的解集 3,5,6,10,15
数轴上两点间的距离公式与中点坐标公式 1,2,9,14
基础巩固
1.若数轴上点A和点B分别表示数-3和1,则点A和点B之间的距离是( D )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
解析:|AB|=|1-(-3)|=4,
所以点A和点B之间的距离是4.
2.已知数轴上,A(4),B(x),C(-3),若A与B关于点C对称,则x的值为( B )
A.-1 B.-10 C.5 D.3
解析:因为数轴上,A(4),B(x),C(-3),且A与B关于点C对称,所以=-3,解得x=-10.
3.若不等式|x+a|≤5的解集为{x|-3≤x≤7},则实数a的值为( A )
A.-2 B.-3
C.2 D.3
解析:由题意可得|x+a|≤5的解集为{x|-3≤x≤7},
而由|x+a|≤5,可得-5≤x+a≤5,即-5-a≤x≤5-a,
故有-5-a=-3,且5-a=7,得a=-2.
4.不等式3(x-2)≤x+4的非负整数解有( C )
A.4个 B.5个 C.6个 D.无数个
解析:去括号得3x-6≤x+4,解得x≤5,
则满足不等式的非负整数解为0,1,2,3,4,5,共6个.
5.不等式3≤|5-2x|<9的解集是( D )
A.(-∞,-2)∪(7,+∞)
B.[1,4]
C.[-2,1]∪[4,7]
D.(-2,1]∪[4,7)
解析:由3≤|5-2x|<9得3≤|2x-5|<9,即3≤2x-5<9或-9<2x-5≤-3,解得4≤x<7或-2
6.若不等式|x-a|解析:由题意知,b>0,原不等式的解集为{x|a-b所以解得
答案:
7.不等式组的解集为 .
解析:
由①得,x>-,由②得,x≤4.
故此不等式组的解集为(-,4].
答案:(-,4]
8.若不等式组的解集为[3,4],则不等式ax+b<0的解集为 .
解析:解不等式组得≤x≤-a,又不等式组的解集为[3,4],所以=3,-a=4,解得b=6,a=-4,解不等式ax+b<0,即-4x+6<0,得x>.
答案:(,+∞)
能力提升
9.(多选题)在数轴上A(3),B(x),AB的中点M到原点的距离不大于6的一个x的取值可以是( AD )
A.-10 B.-20 C.10 D.9
解析:AB的中点M的坐标为,
由题意可得||≤6,
即|3+x|≤12,所以-12≤3+x≤12,所以-15≤x≤9,即x的取值范围是[-15,9].
10.(多选题)若不等式|x-a|<1成立的充分不必要条件是A.- B. C. D.0
解析:由|x-a|<1可得a-111.若不等式组有解,则实数a的取值范围是( C )
A.a<-36 B.a≤-36
C.a>-36 D.a≥-36
解析:解不等式1+x-37,即a>-36.
12.若一个三角形三边长分别为4,1-2a,7,则满足条件的一个a的整数值是 (填一个即可).
解析:由题意得解得-5答案:-4,-3,-2中的一个
13.解关于x的不等式:ax-x-2>0.
解:由ax-x-2>0,得(a-1)x>2.
当a-1=0,即a=1时,ax-x-2>0无解.
当a-1>0,即a>1时,x>.
当a-1<0,即a<1时,x<.
综上所述,当a=1时,不等式的解集为 ;
当a>1时,解集为(,+∞);
当a<1时,解集为(-∞,).
14.已知数轴上三点P(-8),Q(m),R(2).
(1)若其中一点到另外两点的距离相等,求实数m的值;
(2)若PQ中点到线段PR中点的距离大于1,求实数m的取值范围.
解:(1)由题意知其中一点为另外两点的中点,若P是线段QR的中点,则-8=,
所以m=-18;
若Q是线段PR的中点,则m==-3;
若R是线段PQ的中点,则2=,
所以m=12.
(2)由题意,知|-|>1,
即|-1|>1,
所以-1>1或-1<-1,解得m>4或 m<0.
所以实数m的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).
应用创新
15.解关于x的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R).
解:①当2m-1≤0,即m≤时,
因为|2x-1|≥0,故原不等式的解集是 .
②当2m-1>0,即m>时,原不等式等价于-(2m-1)<2x-1<2m-1,
解得1-m综上,当m≤时,原不等式的解集为 ;
当m>时,原不等式的解集为{x|1-m21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2.2 不等式的解集
学习目标
1.了解不等式(组)的解集的概念,会求简单的一元一次不等式(组)的解集.培养数学抽象、数学运算的核心素养.
2.了解含绝对值不等式的几何意义,能借助数轴解含有绝对值的不等式.提升数学抽象、数学运算的核心素养.
3.了解数轴上两点间距离公式及中点坐标公式,达成直观想象的核心素养.
知识探究
1.不等式的解集与不等式组的解集
一般地,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
[思考1] 不等式的解与解集的区别和联系是什么
提示:不等式的解是指满足这个不等式的未知数的值,而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值的集合.
2.绝对值不等式
(1)定义.
一般地,含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.
(2)绝对值不等式的解集.
由绝对值的几何意义知:当m>0时,关于x的不等式|x|>m的解为 x>m或x<-m,因此解集为(-∞,-m)∪(m,+∞);关于x的不等式|x|≤m的解为-m≤x≤m,因此解集为[-m,m].
[思考2] 若m<0,则|x|≤m的解集是什么
提示: .
(3)数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式.
一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为AB=|a-b|,这就是数轴上两点之间的距离公式.
如果线段AB的中点M对应的数为x,则x=,这就是数轴上的中点坐标公式.
[思考3] 不等式|x+1|≤3的解集的几何意义是什么
提示:数轴上与表示-1的点的距离小于或等于3的点对应的所有数组成的集合.
(1)解不等式的依据
①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或整式),不等号的方向不变;
②不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
③不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
(2)绝对值不等式
①解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对值的符号,其基本思想是把含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式;
②常用的去掉绝对值的符号的方法:几何意义法、分区间讨论法、平方法(不等式两边非负).
(3)绝对值不等式的几何意义
不等式 (m>0) 解集的几何意义
|x||x|>m 数轴上与原点的距离大于 m的所有数的集合
|x-b||x-b|>m 数轴上与表示b的点的距离 大于m的所有数的集合
探究点一 不等式(组)的解集
[例1] 解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
(1)
(2)
解:(1)解不等式2x+3>1,得x>-1,
解不等式x-2<0,得x<2,
则不等式组的解集为{x|-1将解集表示在数轴上如下.
(2)解不等式x->,得x>2,
解不等式x+8<4x-1,得x>3,
则不等式组的解集为{x|x>3},
将不等式组的解集表示在数轴上如下.
不等式组的求解步骤
(1)求出不等式组中每个不等式的解集.
(2)借助数轴求出各解集的公共部分(交集).
(3)写出不等式组的解集.
[针对训练] (1)已知关于x的不等式组的解集为(1,3),则a的值为 .
(2)求满足不等式组的整数解.
(1)解析:由2x+1>3,得x>1,
由a-x>1,得x又因为不等式组的解集为(1,3),
所以a-1=3,即a=4.
答案:4
(2)解:解不等式①,得x>-2.
解不等式②,得x≤6.
在同一数轴上表示不等式①②的解集如图,
所以原不等式组的解集为(-2,6].
所以原不等式组的整数解为-1,0,1,2,3,4,5,6.
探究点二 绝对值不等式的解法
[例2] 解不等式:|2x-2|+2≤6.
解:原不等式可化为|2x-2|≤4,
故-4≤2x-2≤4,解得-1≤x≤3,
故原不等式的解集为[-1,3].
[变式探究] 本例不等式变为|2x-2|+2≥6,则其解集是什么
解:原不等式变为|2x-2|≥4,
即2x-2≥4或2x-2≤-4,
解得x≥3或x≤-1,
故原不等式的解集为(-∞,-1]∪[3,+∞).
形如|ax+b|c(c∈R)的不等式的解法
(1)当c>0时,|ax+b||ax+b|>c ax+b>c或ax+b<-c.
(2)当c=0时,|ax+b||ax+b|>c ax+b≠0.
(3)当c<0时,|ax+b||ax+b|>c ax+b有意义.
探究点三 数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式
[例3] (1)在数轴上到与-1对应的点的距离是3的点所表示的数为( )
A.2 B.-4或2
C.-4 D.-2或4
(2)在数轴上,点A表示的数是-4,点B表示的数是2,线段AB的中点表示的数为( )
A.1 B.-1
C.3 D.-3
解析:(1)设该点表示的数为x,
由题意得|x-(-1)|=|x+1|=3,
所以x=2或-4.
所以在数轴上到与-1对应的点的距离是3的点所表示的数为-4或2.故选B.
(2)设点C是AB的中点,点A表示的数是-4,点B表示的数是2,则点C表示的数是=-1.故选B.
[针对训练] 数轴上点A,B,M表示的数分别是a,2a,9,点M为线段AB的中点,则a的值是( )
A.3 B.4.5 C.6 D.18
解析:因为数轴上点A,B,M表示的数分别是a,2a,9,点M为线段AB的中点,所以=9,
解得a=6.故选C.
【学海拾贝】
|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法
[典例探究] 解不等式|x+2|+|x-1|≤4.
解:法一(分段讨论法) ①当x≤-2时,|x+2|+|x-1|≤4可化为-2-x+1-x≤4,整理可得-2x≤5,解得x≥-,所以-≤x≤-2;
②当-2所以-2③当x≥1时,|x+2|+|x-1|≤4可化为x+2+x-1≤4即2x≤3,
解得x≤,
所以1≤x≤.
因此原不等式的解集为∪(-2,1)∪=.
法二(几何法) x为不等式|x+2|+|x-1|≤4的解 x是与数轴上的A(-2)及B(1)两点距离之和小于等于4的点.
如图,我们将点B向右移动个单位至点B1(),此时B1与A及B距离之和增加1个单位,同理我们将点A向左移动个单位到点A1(-),这时A1与A及B距离之和也增加1个单位,从数轴上可以看到A1与B1之间的任何点(包括点A1和B1)到A,B的距离之和均小于等于4,而当x<-或x>时,x与A,B两点的距离之和都大于4.
因而原不等式的解集为.
|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法
(1)分段讨论法.设数轴上与a,b对应的点分别是A,B,以A,B为分界点,将数轴分为三个区间,在这三个区间上,绝对值不等式可以转化为不含绝对值的不等式,分别求解后再求并集.
(2)利用|x-a|的几何意义
|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到与a,b对应的点的距离之和与距离之差.
[应用探究] 求不等式|x-8|-|x-4|>2的解集.
解:当x≥8时,不等式化为(x-8)-(x-4)>2,即6<0,此时不等式的解集为空集;
当4≤x<8时,不等式化为(8-x)-(x-4)>2,即x<5,此时不等式的解集为{x|4≤x<5};
当x<4时,不等式化为(8-x)-(4-x)>2,即2>0,此时不等式的解集为{x|x<4}.
综上可知,原不等式的解集为{x|x<5}.
当堂检测
1.已知点P(1-2a,a+3)在第二象限,则a的取值范围是( B )
A.(-∞,-3) B.(0.5,+∞)
C.(-0.5,3) D.(-3,0.5)
解析:由点P(1-2a,a+3)在第二象限,得解得a>0.5.
2.关于x的不等式-2x+a≤2的解集如图所示,那么a的值是( C )
A.-4 B.-2 C.0 D.2
解析:解不等式-2x+a≤2,得x≥,从数轴看出它的解集为{x|x≥-1},所以=-1,即a=0.
3.不等式|x-2|>x-2的解集是( A )
A.(-∞,2) B.(-∞,+∞)
C.(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
解析:原不等式等价于x-2<0,
即x<2.
4.不等式组的最小整数解是 .
解析:解不等式组得即不等式组的解集为(2,+∞),从而最小整数解为3.
答案:3
备用例题
[例1] 若不等式组无解,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
解析:
由①得,x2.
又因为不等式组无解,所以m≤2.故选A.
[例2] 解不等式|2x+1|-2|x-1|>0.
解:原不等式可化为|2x+1|>2|x-1|,
所以(2x+1)2>4(x-1)2,解得x>,所以原不等式的解集为{x|x>}.
[例3] 求|x+1|-2|x-1|>1的解集.
解:当x≤-1时,不等式化为-x-1+2x-2>1,即x-4>0,即x>4,此时
无解;
当-11,即3x-2>0,解得当x≥1时,不等式化为x+1-2x+2>1,即-x+2>0,解得1≤x<2.
原不等式的解集为{x|选题明细表
知识点、方法 题号
一元一次不等式(组)的解集 4,7,8, 11,12,13
绝对值不等式的解集 3,5,6,10,15
数轴上两点间的距离公式与中点坐标公式 1,2,9,14
基础巩固
1.若数轴上点A和点B分别表示数-3和1,则点A和点B之间的距离是( D )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
解析:|AB|=|1-(-3)|=4,
所以点A和点B之间的距离是4.
2.已知数轴上,A(4),B(x),C(-3),若A与B关于点C对称,则x的值为( B )
A.-1 B.-10 C.5 D.3
解析:因为数轴上,A(4),B(x),C(-3),且A与B关于点C对称,所以=-3,解得x=-10.
3.若不等式|x+a|≤5的解集为{x|-3≤x≤7},则实数a的值为( A )
A.-2 B.-3
C.2 D.3
解析:由题意可得|x+a|≤5的解集为{x|-3≤x≤7},
而由|x+a|≤5,可得-5≤x+a≤5,即-5-a≤x≤5-a,
故有-5-a=-3,且5-a=7,得a=-2.
4.不等式3(x-2)≤x+4的非负整数解有( C )
A.4个 B.5个 C.6个 D.无数个
解析:去括号得3x-6≤x+4,解得x≤5,
则满足不等式的非负整数解为0,1,2,3,4,5,共6个.
5.不等式3≤|5-2x|<9的解集是( D )
A.(-∞,-2)∪(7,+∞)
B.[1,4]
C.[-2,1]∪[4,7]
D.(-2,1]∪[4,7)
解析:由3≤|5-2x|<9得3≤|2x-5|<9,即3≤2x-5<9或-9<2x-5≤-3,解得4≤x<7或-26.若不等式|x-a|解析:由题意知,b>0,原不等式的解集为{x|a-b所以解得
答案:
7.不等式组的解集为 .
解析:
由①得,x>-,由②得,x≤4.
故此不等式组的解集为(-,4].
答案:(-,4]
8.若不等式组的解集为[3,4],则不等式ax+b<0的解集为 .
解析:解不等式组得≤x≤-a,又不等式组的解集为[3,4],所以=3,-a=4,解得b=6,a=-4,解不等式ax+b<0,即-4x+6<0,得x>.
答案:(,+∞)
能力提升
9.(多选题)在数轴上A(3),B(x),AB的中点M到原点的距离不大于6的一个x的取值可以是( AD )
A.-10 B.-20 C.10 D.9
解析:AB的中点M的坐标为,
由题意可得||≤6,
即|3+x|≤12,所以-12≤3+x≤12,所以-15≤x≤9,即x的取值范围是[-15,9].
10.(多选题)若不等式|x-a|<1成立的充分不必要条件是A.- B. C. D.0
解析:由|x-a|<1可得a-111.若不等式组有解,则实数a的取值范围是( C )
A.a<-36 B.a≤-36
C.a>-36 D.a≥-36
解析:解不等式1+x-37,即a>-36.
12.若一个三角形三边长分别为4,1-2a,7,则满足条件的一个a的整数值是 (填一个即可).
解析:由题意得解得-5答案:-4,-3,-2中的一个
13.解关于x的不等式:ax-x-2>0.
解:由ax-x-2>0,得(a-1)x>2.
当a-1=0,即a=1时,ax-x-2>0无解.
当a-1>0,即a>1时,x>.
当a-1<0,即a<1时,x<.
综上所述,当a=1时,不等式的解集为 ;
当a>1时,解集为(,+∞);
当a<1时,解集为(-∞,).
14.已知数轴上三点P(-8),Q(m),R(2).
(1)若其中一点到另外两点的距离相等,求实数m的值;
(2)若PQ中点到线段PR中点的距离大于1,求实数m的取值范围.
解:(1)由题意知其中一点为另外两点的中点,若P是线段QR的中点,则-8=,
所以m=-18;
若Q是线段PR的中点,则m==-3;
若R是线段PQ的中点,则2=,
所以m=12.
(2)由题意,知|-|>1,
即|-1|>1,
所以-1>1或-1<-1,解得m>4或 m<0.
所以实数m的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).
应用创新
15.解关于x的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R).
解:①当2m-1≤0,即m≤时,
因为|2x-1|≥0,故原不等式的解集是 .
②当2m-1>0,即m>时,原不等式等价于-(2m-1)<2x-1<2m-1,
解得1-m综上,当m≤时,原不等式的解集为 ;
当m>时,原不等式的解集为{x|1-m21世纪教育网(www.21cnjy.com)