2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
选题明细表
知识点、方法 题号
比较大小及不等式理解 2,7,12
不等式性质及应用 3,4,5,6,9
综合应用 1,8,10,11,13
基础巩固
1.在开山工程爆破时,已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm,人跑开的速度为每秒4 m,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区,导火索的长度x(单位:cm)应满足的不等式为( C )
A.4×≥100 B.4×≤100
C.4×>100 D.4×<100
解析:导火索燃烧的时间为 s,人在此时间内跑的路程为4× m.
由题意可得4×>100.
2.已知a=2x2+3x+7,b=x2-x+2,则( B )
A.a=b B.a>b
C.a≤b D.a
解析:因为a-b=(2x2+3x+7)-(x2-x+2)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0,所以a>b.
3.下列命题正确的是( C )
A.若acB.若a>b,c>d,则ac>bd
C.若ab2
D.若a解析:当c<0时,a>b,故A错误;令a=1,b=-1,c=1,d=-1,满足a>b,
c>d,但ac=bd,故B错误;因为a-b>0,所以a2>b2,故C正确;
令a=-1,b=1,c=-1,d=1,满足a4.已知-10,则下列大小关系正确的是( D )
A.abC.b解析:因为-10,所以a+1>0,a-1<0.所以ab<0,a2b>0,所以a2b>ab.
又因为a2b-b=b(a2-1)=b(a+1)(a-1)<0,所以a2b5.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( C )
A.< B.a2>b2
C.> D.a|c|>b|c|
解析:对于A,若a>0>b,
则>0,<0,
此时>,所以A不成立;
对于B,若a=1,b=-2,则a2对于C,因为c2+1≥1,且a>b,
所以>恒成立,所以C成立;
对于D,当c=0时,a|c|=b|c|,所以D不成立.
6.(多选题)已知2A.6<2x+y<9
B.-1C.2<2x-y<3
D.4解析:由27.已知a,b为不相等的实数,记M=a2-ab,N=ab-b2,则M与N的大小关系为 .
解析:因为M=a2-ab,N=ab-b2,a≠b,所以M-N=a2-ab-(ab-b2)=a2+b2-2ab=(a-b)2>0,所以M>N.
答案:M>N
8.有学生若干人,住若干宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,写出一个满足条件的学生人数为 (写出一个即可).
解析:设有宿舍m间,
由题意可知0<4m+19-6(m-1)<6,
解得答案:59,63,67三个数中的一个即可
能力提升
9.若x>0,y>0,M=,N=+,则M,N的大小关系是( B )
A.M=N B.MC.M≤N D.M>N
解析:因为x>0,y>0,
所以x+y+1>1+x>0,1+x+y>1+y>0,
所以<,<,
故M==+<+=N,即M10.(多选题)已知2A.1C.-4解析:因为a=(a+b)+(a-b),
又因为2所以1<(a+b)<,0<(a-b)<,故1因为b=(a+b)-(a-b),2所以1<(a+b)<,-<-(a-b)<0,所以因为a-2b=-(a+b)+(a-b),2所以-<-(a+b)<-1,0<(a-b)<,所以-因为2a-b=(a+b)+(a-b),2所以1<(a+b)<,0<(a-b)<,所以1<2a-b<4,故D正确.
11.现有一级小麦m kg,二级小麦n kg,某粮食收购站有两种收购方案.方案一:分两个等级收购小麦,一级小麦a元/kg,二级小麦
b元/kg(bA.方案一 B.方案二
C.同样优惠 D.以上均有可能
解析:方案一收购的平均价格为,方案二收购的平均价格为;
所以-=,①
因为a-b>0,m-n的正负性不确定,故①式的正负性不确定.
12.(1)已知a,b均为正实数,且a≠b,比较a+b与a+b的
大小;
(2)已知x∈R,且x≠1,比较与3-x的大小.
解:(1)因为a≠b,
所以(a+b)-(a+b)=(a-b)+(b-a)=
(-)2(+)>0,
所以a+b>a+b.
(2)-(3-x)=-==,
当x>1时,>3-x,
当x<1时,<3-x.
应用创新
13.下列关于糖水浓度的问题,能提炼出怎样的不等关系呢
(1)如果向一杯糖水里加糖,糖水变甜了;
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起,得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡;
(3)如果向一杯糖水里加水,糖水变淡了.
解:(1)设原糖水b克,含糖a克,糖水浓度为,加入m克糖,即证明不等式>(其中a,b,m为正实数,且b>a)成立.
不妨用作差比较法,证明如下:
-==.
因为a,b,m为正实数,且a所以b+m>0,b-a>0,
所以>0,即>.
(2)设原糖水b克,含糖a克,糖水浓度为;另一份糖水d克,含糖c克,糖水浓度为,且<,求证:<<(其中b>a>0,d>c>0).
证明:因为<,且b>a>0,d>c>0,
所以ad0,
-==<0,
即<,
-==>0,即<.
所以<<.
(3)设原糖水b克,含糖a克,糖水浓度为,加入n克水,求证:>(其中b>a>0,n>0).
证明:-==>0,
所以>.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
学习目标
1.理解不等式的概念会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,提升数学建模的核心素养.
2.会用比较法比较两实数的大小.通过大小比较,培养逻辑推理的核心素养.
3.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
情境导入
如图,在日常生活中,我们经常看到下列标志:
其含义分别为
①最低限速:限制行驶时速v不得低于50 km;
②限制质量:装载总质量m不得超过10 t;
③限制高度:装载高度h不得超过3.5 m;
④限制宽度:装载宽度a不得超过3 m.
探究:你能用数学式子表示上述关系吗
答案:①v≥50;②m≤10;③h≤3.5;④a≤3.
知识探究
1.理解两个实数之间的大小
任意给定两个实数a,b,则a≥b a>b或a=b,a≤b aa-b<0 aa-b=0 a=b,
a-b>0 a>b.
[思考1] 不等式“a≤b”的含义是什么 只有当“a提示:不等式a≤b应读作“a小于或等于b”,其含义是指“a2.不等式性质
(1)a>b a+c>b+c;
(2)a>b,c>0 ac>bc;
(3)a>b,c<0 ac(4)a>b,b>c a>c;(传递性)
(5)a>b b推论1.a+b>c a>c-b;
推论2.a>b,c>d a+c>b+d;
推论3.a>b>0,c>d>0 ac>bd;
推论4.a>b>0,n∈N,n>1 an>bn;
推论5.a>b>0 >.
[思考2] 怎样理解含等号的不等式传递性问题
提示:a≥b,b≥c a≥c与a≤b,b≤c a≤c中只有a=b且b=c,即a=c时才能取等号.若只有一个不等式含等号,则等号不能传递,如a≥b,b>c则不能得到a≥c.
注:从已知条件出发,综合利用各种结果经过逐步推导最后得到结论的方法称为综合法.
3.反证法
首先假设结论的否定成立,然后由此进行推理得到矛盾,最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法,反证法是一种间接证明的方法.
4.分析法
分析法的推理形式是“要证p,只需证明q”,这可以表示为p q,其中p是需要证明的结论,所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.
对不等式性质的理解
(1)性质1说明不等式两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向.性质1是不等式移项法则的基础,不等式中任意一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.
(2)性质2,3证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正,异号相乘得负”的法则来完成的.一定要注意性质2,3中c的符号,因为c的符号不同,结论恰好相反.性质2,3中的a,b可以是实数,也可以是式子.
(3)推论2中,同向不等式可相加,但不能相减,即由a>b,c>d,可以得出a+c>b+d,但不能得出a-c>b-d.
(4)不等式的性质中,对表达不等式性质的各不等式,要注意“箭头”是单向的还是双向的,即符号“ ”表示等价关系,可以互相推出,而符号“ ”只能从左边推向右边,该性质不具备可逆性.尤其在证明不等式时,要注意是否可逆.
探究点一 利用不等式的性质求范围
[例1] (1)已知0A.(-2,0) B.(0,2)
C.(-8,6) D.(-6,8)
(2)1解析:(1)因为0所以0<2x<8,-6<-y<0,
所以-6<2x-y<8.故选D.
(2)设3a-2b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,
所以解得所以3a-2b=(a+b)+(a-b).
因为1所以-2<(a+b)+(a-b)<10,即3a-2b∈(-2,10).
答案:(1)D (2)(-2,10)
(1)利用不等式的性质求含字母的数(或式子)的取值范围时,一要注意题设中的条件,二要正确使用不等式的性质,求解时要注意两个同方向的不等式只能相加不能相减,同正时只可乘不可除.
(2)已知a1x+b1y,a2x+b2y的取值范围,求解形如或可化为a3x+b3y(aibi≠0,i=1,2,3)的取值范围,可利用待定系数与整体代换法求范围.
[针对训练] (多选题)已知1A.m+2n的取值范围为(-5,0)
B.m-2n的取值范围为(4,7)
C.m-n的取值范围为(2,5)
D.mn的取值范围为(-6,-1)
解析:-6<2n<-2,所以-5探究点二 比较大小
[例2] 已知x<1,试比较x3-1与2x2-2x的大小.
解:因为(x3-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2
=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)[(x-)2+],
又因为(x-)2+>0,x-1<0,所以(x-1)[(x-)2+]<0,所以x3-1<2x2-2x.
(1)利用作差法比较大小的一般步骤为作差——变形——定号——结论.变形的目的是将差变形为能判断符号的关系式(如将差式化成几个非负数或非正数的和的形式,将差式化成几个因式乘积的形式等),常用方法为配方、平方差公式、立方差、立方和公式、通分、因式分解、分子(或分母)有理化等.
(2)如果两实数同号,亦可采用作商法来比较大小,即作商后看商是大于1,等于1,还是小于1.
[针对训练] 已知A=x3+2x2+x-1,B=x3+2x2-x+1,讨论A与B的大小关系.
解:因为A=x3+2x2+x-1,B=x3+2x2-x+1,所以A-B=(x3+2x2+x-1)-(x3+2x2-x+1)=2x-2;当x>1时,A>B;当x=1时,A=B;当x<1时,A探究点三 利用不等式的性质证明不等式
[例3] 若a>b>0,c.
证明:因为c-d>0.
又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0.
所以(a-c)2>(b-d)2>0.
所以<.
又e<0,所以>.
利用不等式的性质证明不等式的方法的思维特点是从“已知”看“可知”,充分利用不等式的性质推向“未知”,即“由因导果”.
[针对训练] 若bc-ad≥0,bd>0,求证:≤.
证明:因为bc-ad≥0,bd>0,
所以-≥0,
即≥,
所以+1≥+1,
即≥,
所以≤.
探究点四 分析法与反证法证明不等式
[例4] (1)已知x,y∈(0,+∞)且x+y>2,求证:与中至少有一个小于3;
(2)当a+b>0时,求证:≥(a+b).
证明:(1)(反证法)假设结论不成立,即有≥3且≥3,
由已知x,y∈(0,+∞),所以有1+2y≥3x且1+2x≥3y,
故2+2x+2y≥3x+3y 2≥x+y,与已知x+y>2矛盾,假设不成立.
所以与中至少有一个小于3.
(2)(分析法)因为a+b>0,所以要证≥(a+b),
只需证()2≥,
即证a2+b2≥(a2+b2+2ab),即证a2+b2≥2ab,
因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,对一切实数恒成立,即a2+b2≥2ab恒成立.
所以≥(a+b)成立.
(1)分析法证明不等式:①分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.
②应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的,它的常用书面表达形式为“要证……只需证……”.注意用分析法证明时,一定要严格按照格式书写.
(2)反证法证明不等式:①结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法.
②用反证法证明命题的基本步骤
a.反设,设要证明的结论的反面成立;
b.归谬,从反设入手,通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾;
c.否定反设,得出原命题结论成立.
[针对训练] (1)已知a,b,c∈R,证明:若a+b+c<1,则a,b,c中至少有一个小于;
(2)求证:-<-.
证明:(1)假设a≥,b≥,c≥,则a+b+c≥1,与a+b+c<1矛盾,
所以a,b,c中至少有一个小于.
(2)要证-<-,只需证+<2,
只需证(+)2<(2)2,只需证10+2<20,只需证<5,只需证21<25,
这显然成立,故-<-,即得证.
当堂检测
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是( C )
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
解析:由a+b>0,知a>-b,所以-a又b<0,所以-b>0,所以a>-b>b>-a.
2.已知a,b,c∈R,则下列命题正确的是( C )
A.a>b ac2>bc2 B.> a>b
C. > D. >
解析:当c=0时,A不成立;当c<0时,B不成立;当ab<0时,a>b <,即>,C成立,同理可证D不成立.
3.设P=x2+x-3,Q=2x2-3x+1,则( C )
A.P>Q B.PC.P≤Q D.P≥Q
解析:Q-P=2x2-3x+1-(x2+x-3)=x2-4x+4=(x-2)2≥0,故Q≥P.
4.若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为 .
解析:因为-1≤b≤2,所以-2≤-b≤1,
又1≤a≤5,所以-1≤a-b≤6.
答案:[-1,6]
备用例题
[例1] 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设正确的是( )
A.假设三内角都不大于60°
B.假设三内角都大于60°
C.假设三内角至少有一个大于60°
D.假设三内角至多有两个大于60°
解析:“至少有一个”即“全部中最少有一个”,“至少有一个不大于60°”的反面是“全部都大于60°”.故选B.
[例2] 设a≥b≥c,且1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,则的取值范围为( )
A.[-2,0] B.
C. D.
解析:因为1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,
所以a+b+c=0,得b=-a-c.
因为a≥b≥c,所以a≥b,a≥c,
所以3a≥a+b+c=0,所以a≥0.
由题意a=0舍去.
由a+b+c=0可得b=-a-c,即a≥-a-c≥c,即得
则不等式等价为
即得-2≤≤-.
故选C.
[例3] 已知a1≤a2,b1≥b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是
.
解析:a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=a1(b1-b2)+a2(b2-b1)=(a1-a2)(b1-b2),
因为a1≤a2,b1≥b2,所以a1-a2≤0,b1-b2≥0,
所以(a1-a2)(b1-b2)≤0.
所以a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1.
答案:a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1
[例4] 已知c>a>b>0,求证:>.
证明:法一 -=
==.
因为c>a>b>0,
所以c-a>0,c-b>0,a-b>0.
所以>0.所以>.
法二 因为c>a>b>0,
所以-c<-a<-b<0,
所以0>0,又a>b>0,
所以>.
选题明细表
知识点、方法 题号
比较大小及不等式理解 2,7,12
不等式性质及应用 3,4,5,6,9
综合应用 1,8,10,11,13
基础巩固
1.在开山工程爆破时,已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm,人跑开的速度为每秒4 m,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区,导火索的长度x(单位:cm)应满足的不等式为( C )
A.4×≥100 B.4×≤100
C.4×>100 D.4×<100
解析:导火索燃烧的时间为 s,人在此时间内跑的路程为4× m.
由题意可得4×>100.
2.已知a=2x2+3x+7,b=x2-x+2,则( B )
A.a=b B.a>b
C.a≤b D.a解析:因为a-b=(2x2+3x+7)-(x2-x+2)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0,所以a>b.
3.下列命题正确的是( C )
A.若acB.若a>b,c>d,则ac>bd
C.若ab2
D.若a解析:当c<0时,a>b,故A错误;令a=1,b=-1,c=1,d=-1,满足a>b,
c>d,但ac=bd,故B错误;因为a-b>0,所以a2>b2,故C正确;
令a=-1,b=1,c=-1,d=1,满足a4.已知-10,则下列大小关系正确的是( D )
A.abC.b解析:因为-10,所以a+1>0,a-1<0.所以ab<0,a2b>0,所以a2b>ab.
又因为a2b-b=b(a2-1)=b(a+1)(a-1)<0,所以a2b5.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( C )
A.< B.a2>b2
C.> D.a|c|>b|c|
解析:对于A,若a>0>b,
则>0,<0,
此时>,所以A不成立;
对于B,若a=1,b=-2,则a2对于C,因为c2+1≥1,且a>b,
所以>恒成立,所以C成立;
对于D,当c=0时,a|c|=b|c|,所以D不成立.
6.(多选题)已知2A.6<2x+y<9
B.-1C.2<2x-y<3
D.4解析:由27.已知a,b为不相等的实数,记M=a2-ab,N=ab-b2,则M与N的大小关系为 .
解析:因为M=a2-ab,N=ab-b2,a≠b,所以M-N=a2-ab-(ab-b2)=a2+b2-2ab=(a-b)2>0,所以M>N.
答案:M>N
8.有学生若干人,住若干宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,写出一个满足条件的学生人数为 (写出一个即可).
解析:设有宿舍m间,
由题意可知0<4m+19-6(m-1)<6,
解得答案:59,63,67三个数中的一个即可
能力提升
9.若x>0,y>0,M=,N=+,则M,N的大小关系是( B )
A.M=N B.MC.M≤N D.M>N
解析:因为x>0,y>0,
所以x+y+1>1+x>0,1+x+y>1+y>0,
所以<,<,
故M==+<+=N,即M10.(多选题)已知2A.1C.-4解析:因为a=(a+b)+(a-b),
又因为2所以1<(a+b)<,0<(a-b)<,故1因为b=(a+b)-(a-b),2所以1<(a+b)<,-<-(a-b)<0,所以因为a-2b=-(a+b)+(a-b),2所以-<-(a+b)<-1,0<(a-b)<,所以-因为2a-b=(a+b)+(a-b),2所以1<(a+b)<,0<(a-b)<,所以1<2a-b<4,故D正确.
11.现有一级小麦m kg,二级小麦n kg,某粮食收购站有两种收购方案.方案一:分两个等级收购小麦,一级小麦a元/kg,二级小麦
b元/kg(bA.方案一 B.方案二
C.同样优惠 D.以上均有可能
解析:方案一收购的平均价格为,方案二收购的平均价格为;
所以-=,①
因为a-b>0,m-n的正负性不确定,故①式的正负性不确定.
12.(1)已知a,b均为正实数,且a≠b,比较a+b与a+b的
大小;
(2)已知x∈R,且x≠1,比较与3-x的大小.
解:(1)因为a≠b,
所以(a+b)-(a+b)=(a-b)+(b-a)=
(-)2(+)>0,
所以a+b>a+b.
(2)-(3-x)=-==,
当x>1时,>3-x,
当x<1时,<3-x.
应用创新
13.下列关于糖水浓度的问题,能提炼出怎样的不等关系呢
(1)如果向一杯糖水里加糖,糖水变甜了;
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起,得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡;
(3)如果向一杯糖水里加水,糖水变淡了.
解:(1)设原糖水b克,含糖a克,糖水浓度为,加入m克糖,即证明不等式>(其中a,b,m为正实数,且b>a)成立.
不妨用作差比较法,证明如下:
-==.
因为a,b,m为正实数,且a所以b+m>0,b-a>0,
所以>0,即>.
(2)设原糖水b克,含糖a克,糖水浓度为;另一份糖水d克,含糖c克,糖水浓度为,且<,求证:<<(其中b>a>0,d>c>0).
证明:因为<,且b>a>0,d>c>0,
所以ad0,
-==<0,
即<,
-==>0,即<.
所以<<.
(3)设原糖水b克,含糖a克,糖水浓度为,加入n克水,求证:>(其中b>a>0,n>0).
证明:-==>0,
所以>.
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2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
「学习目标」
1.理解不等式的概念会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，提升数学建模的核
心素养.
2.会用比较法比较两实数的大小.通过大小比较，培养逻辑推理的核心素养.
3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题，提升逻辑推理、数学运算
的核心素养.
知识梳理
自主探究
「情境导入」
如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志：
「知识探究」
［思考2］ 怎样理解含等号的不等式传递性问题？
注：从已知条件出发，综合利用各种结果经过逐步推导最后得到结论的方法称为综合法.
课堂探究
素养培育
探究点一 利用不等式的性质求范围
D
探究点二 比较大小
方法总结
（1）利用作差法比较大小的一般步骤为作差——变形——定号——结论.变形的目的是
将差变形为能判断符号的关系式（如将差式化成几个非负数或非正数的和的形式，将差
式化成几个因式乘积的形式等）,常用方法为配方、平方差公式、立方差、立方和公式、
通分、因式分解、分子（或分母）有理化等.
（2）如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，
还是小于1.
探究点三 利用不等式的性质证明不等式
方法总结
利用不等式的性质证明不等式的方法的思维特点是从“已知”看“可知”，充分利用不等式
的性质推向“未知”，即“由因导果”.
探究点四 分析法与反证法证明不等式
「当堂检测」
C
C
C
「备用例题」
B
C