(共34张PPT)
2.1 等式
2.1.3 方程组的解集
「学习目标」
1.理解消元法解方程组的思想,会用消元法解二元一次方程组、三元一次方程组，提高数
学抽象、数学运算的核心素养.
2.通过求方程组的解集,提升数据分析、数学运算的核心素养.
知识梳理
自主探究
「情境导入」
「知识探究」
方程组的解集
（1）一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的______得到
的______称为这个方程组的______.
解集
交集
解集
［思考］ 方程组的解集中的元素一定是方程组中的每一个方程的解，对吗？
提示:对，方程组的解集是由每个方程的公共解构成的，所以方程组的解集中的元素一
定是方程组中的每一个方程的解.
（2）当方程组中未知数的个数______方程的个数时，方程组的解集可能含有_________
元素.此时，如果将其中一些未知数看成______，那么其他未知数往往能用这些未知数
表示出来.
大于
无穷多个
常数
拓展总结
解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元和降次”.基本方法有代入法、因式分解法、
利用一元二次方程根与系数关系、加减法、换元法等方法.简单的二元二次方程组主要
有两类：第一类是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，第二类是由
一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组.
（1）解第一类的主要思路是将二元一次方程变形后，用代入消元法将二元二次方程转
化为一元二次方程，从而求解.
（2）解第二类的主要思路是想办法将可分解为两个二元一次方程的二元二次方程分解出
来，从而转化为简单的二元二次方程组的解法（第一类）或直接转化为二元一次方程组.
课堂探究
素养培育
探究点一 解二元（三元）一次方程组
［例1］ 解方程组：
方法总结
（1）解二元一次方程组时，用加减消元法消去一个未知数，再求解.
（2）解三元一次方程组时，注意代入法的应用，即通过代入，将三元一次方程变为二
元一次方程的求解问题.
［针对训练］ 求下列方程组的解集：
探究点二 解二元二次方程组
角度一 二元一次方程与二元二次方程构成的方程组的解集
角度二 二元二次方程与二元二次方程联立所得方程组的解集
探究点三 方程组的实际应用
［例4］ 某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他
带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元.若他只购买8
块方形巧克力，则他会剩下多少钱( )
D
A.8元 B.16元 C.24元 D.32元
方法总结
列方程组解应用题的一般步骤
（1）审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系.
（2）设：恰当地设未知数.
（3）列：依据题中的等量关系列出方程组.
（4）解：解方程组，求出未知数的值.
（5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义.
（6）答：写出结论.
［针对训练］ 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五
寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余4.5
尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问:长木长多少尺( )
C
A.11尺 B.10尺 C.6.5尺 D.6尺
「易错易混」
（1）有一个实数解，并求出此解；
（2）有两个不相等的实数解；
（3）没有实数解.
「当堂检测」
C
A
3.学校阅览室有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿和凳子腿数加起来共有
60个，那么椅子和凳子的个数分别是( )
C
A.8，8 B.10，6 C.12，4 D.不能确定
「备用例题」
［例1］ 一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为7，如果这个两位数加上45
恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数，则原来的两位数是( )
B
A.61 B.16 C.52 D.25
B
A.4 B.3 C.2 D.12.1.3 方程组的解集
学习目标
1.理解消元法解方程组的思想,会用消元法解二元一次方程组、三元一次方程组,提高数学抽象、数学运算的核心素养.
2.通过求方程组的解集,提升数据分析、数学运算的核心素养.
情境导入
我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托.折回索子去量竿,却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.设绳索长x尺,竿长y尺.
探究:你能列出满足题意的方程组吗 你能求出x,y的值吗
答案:因为绳索长x尺,竿长y尺,由题意得解得
知识探究
方程组的解集
(1)一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.
[思考] 方程组的解集中的元素一定是方程组中的每一个方程的解,对吗
提示:对,方程组的解集是由每个方程的公共解构成的,所以方程组的解集中的元素一定是方程组中的每一个方程的解.
(2)当方程组中未知数的个数大于方程的个数时,方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时,如果将其中一些未知数看成常数,那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.
解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元和降次”.基本方法有代入法、因式分解法、利用一元二次方程根与系数关系、加减法、换元法等方法.简单的二元二次方程组主要有两类:第一类是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,第二类是由一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组.
(1)解第一类的主要思路是将二元一次方程变形后,用代入消元法将二元二次方程转化为一元二次方程,从而求解.
(2)解第二类的主要思路是想办法将可分解为两个二元一次方程的二元二次方程分解出来,从而转化为简单的二元二次方程组的解法(第一类)或直接转化为二元一次方程组.
探究点一 解二元(三元)一次方程组
[例1] 解方程组:
(1)
(2)
解:(1)法一 ①+②,得6x=12,所以x=2.
把x=2代入②,得3×2+7y=13,所以y=1.
所以原方程组的解集为{(2,1)}.
法二 ①-②,得-14y=-14,所以y=1.
把y=1代入①,得3x-7×1=-1,所以x=2.
所以原方程组的解集为{(2,1)}.
(2)法一 将③分别代入①②,得
解得
把y=2代入③,得x=8.
所以原方程组的解集为{(8,2,2)}.
法二 ②-①,得y+4z=10,④
②-③,得6y+5z=22,⑤
联立④⑤,得解得
把y=2代入③,得x=8.
所以原方程组的解集为{(8,2,2)}.
法三 ①×5,得5x+5y+5z=60,④
④-②,得4x+3y=38,⑤
联立③⑤,得解得
把x=8,y=2代入①,得z=2.
所以原方程组的解集为{(8,2,2)}.
(1)解二元一次方程组时,用加减消元法消去一个未知数,再求解.
(2)解三元一次方程组时,注意代入法的应用,即通过代入,将三元一次方程变为二元一次方程的求解问题.
[针对训练] 求下列方程组的解集:
(1)
(2)
解:(1)将y=7-2x代入3x-2y=14,
得7x-14=14,解得x=4,代入2x+y=7,
得y=-1,故原方程组的解集为{(4,-1)}.
(2)先消去z得
再消去y得23x=46,解得x=2,代入x-2y=4,得y=-1,再代入2x+y+z=4,得z=1,
故原方程组的解集为{(2,-1,1)}.
探究点二 解二元二次方程组
角度一 二元一次方程与二元二次方程构成的方程组的解集
[例2] 解方程组
解:由②,得x=2y+2,③
把③代入①,整理,得8y2+8y=0,
即y(y+1)=0.
解得y1=0,y2=-1.
把y1=0代入③,得x1=2;
把y2=-1代入③,得x2=0.
所以原方程组的解是
角度二 二元二次方程与二元二次方程联立所得方程组的解集
[例3] 解方程组
解:由方程②因式分解,得(x-3y)(x-y)=0,即x-3y=0或x-y=0.
所以原方程组可化为两个方程组
或
解得原方程组的解为
故原方程组的解集是{(,),(-,-),(3,1),(-3,-1)}.
(1)对形如(方程中的字母满足二元二次方程组的形式,下同)的方程组可用代入法将二元一次方程变形后代入二元二次方程消去一个未知数求解.
(2)对形如
的方程组可通过“降次”转化为(1)中的形式求解.
[针对训练] 解方程组
解:由①得(x-4y)(x+y)=0,
所以x-4y=0或x+y=0.
由②得(x+2y)2=1,
所以x+2y=1或x+2y=-1.
原方程组可化为以下四个方程组
解这四个方程组,得原方程组的四个解为
所以原方程组的解集为{(,),(-,-),(-1,1),(1,-1)}.
探究点三 方程组的实际应用
[例4] 某商店有方形、圆形两种巧克力,小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力,他带的钱会差8元,如果购买5块方形和3块圆形巧克力,他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力,则他会剩下多少钱( )
A.8元 B.16元 C.24元 D.32元
解析:设方形巧克力每块x元,圆形巧克力每块y元,小明带了a元,
则两式相加得8x+8y=2a,
所以x+y=a,
因为5x+3y=a-8,所以2x+(3x+3y)=a-8,所以2x+3×a=a-8,所以2x=a-8,所以8x=a-32,即他只购买8块方形巧克力,则他会剩下32元.故选D.
列方程组解应用题的一般步骤
(1)审:认真审题,分清题中的已知量、未知量,并明确它们之间的等量关系.
(2)设:恰当地设未知数.
(3)列:依据题中的等量关系列出方程组.
(4)解:解方程组,求出未知数的值.
(5)验:检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义.
(6)答:写出结论.
[针对训练] 《孙子算经》中有一道题:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸,屈绳量之,不足一尺,木长几何 ”,意思是:用绳子去量一根长木,绳子还余4.5尺,将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺.问:长木长多少尺( )
A.11尺 B.10尺 C.6.5尺 D.6尺
解析:设长木长为x尺,绳子长为y尺,则解得x=6.5,y=11.故选C.
易错易混
未对参数分类讨论致误
[典例探究] 若方程组有解,则m的取值范围是 .
解析:消去y可得(3-m2)x2-2mx-4=0,
当3-m2=0,即m=±时,方程有解;
当3-m2≠0,Δ=4m2+16(3-m2)≥0,
即m≠±,且-2≤m≤2时,方程有解.
综上所述,-2≤m≤2.
答案:[-2,2]
本题中消元后所得到的方程中含参数m,由于该方程不一定是二次方程,因此要对二次项系数是否为0分类讨论.
[防错再练] k为何值时,方程组
(1)有一个实数解,并求出此解;
(2)有两个不相等的实数解;
(3)没有实数解.
解:将y=kx+2代入y2-4x-2y+1=0中,整理得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)
(1)当k=0时,y=2,-4x+1=0,解得x=,原方程组有一个实数解为
当时,(*)式有两个相等的实数解,即当k=1时,原方程组有一个实数解,将k=1代入原方程组得解得
(2)当时,方程组有两个不相等的实数解,即k<1且k≠0.
所以当k<1且k≠0时,原方程组有两个不相等的实数解.
(3)当时,解得k>1,即当k>1时,方程组无实数解.
当堂检测
1.方程组的解集是( C )
A.{x=0,y=1} B.{0,1}
C.{(0,1)} D.{x=0或y=1}
解析:由得所以方程组的解集为{(0,1)}.
2.已知则x∶y∶z等于( A )
A.(-1)∶13∶5 B.1∶(-17)∶(-5)
C.1∶5∶13 D.1∶17∶5
解析:因为两式相加得5x+z=0,则z=-5x,则y=-13x,所以x∶y∶z=x∶(-13x)∶(-5x)=1∶(-13)∶(-5)=(-1)∶13∶5.
3.学校阅览室有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个,如果椅子腿和凳子腿数加起来共有60个,那么椅子和凳子的个数分别是( C )
A.8,8 B.10,6
C.12,4 D.不能确定
解析:设椅子的个数为x,凳子的个数为y,依题意,得
解得
4.方程组的解集是 .
解析:
由①得(x+2y)(x-2y)=12,③
将②代入③得6(x-2y)=12,即x-2y=2,
由解得
所以原方程组的解集是{(4,1)}.
答案:{(4,1)}
备用例题
[例1] 一个两位数,个位上的数字与十位上的数字之和为7,如果这个两位数加上45恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数,则原来的两位数是( )
A.61 B.16 C.52 D.25
解析:设原来的两位数的十位数字为x,个位数字为y,
由题意得解得即原来的两位数为16.故选B.
[例2] 三个二元一次方程2x+5y-6=0,3x-2y-9=0,y=kx-9有公共解的条件是k等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:由解得代入y=kx-9,得0=3k-9.所以k=3.故选B.
[例3] 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,2),(2,8),
(5,158),求这个二次函数的解析式为 .
解析:根据题意,得
②-①,得a+b=2,④
③-①,得4a+b=26,⑤
联立④⑤,得解得
把a=8,b=-6代入①,得c=-12.
因此所求函数的解析式为y=8x2-6x-12.
答案:y=8x2-6x-12
[例4] 求方程组的解集.
解:法一 由①和②,得x∶y∶z=3∶2∶5.
设x=3k,y=2k,z=5k(k≠0),
并代入③,得5k+3k+2k=20,解得k=2.
所以x=3k=6,y=2k=4,z=5k=10.
所以这个三元一次方程组的解集为{(6,4,10)}.
法二 由①,得x=y,④
由②,得z=y.⑤
把④和⑤代入③,得
y+y+y=20,解得y=4.
把y=4分别代入④和⑤,
得x=6,z=10.
所以这个三元一次方程组的解集为{(6,4,10)}.
选题明细表
知识点、方法 题号
二元(三元)一次方程组 3,5,6,9,10,11
二元二次方程组 1,2,4,7, 12,13,14
方程组的实际应用与综合 8,15
基础巩固
1.方程组有实数解,则k的取值范围是( D )
A.[3,+∞) B.{3}
C.(-∞,3) D.(-∞,3]
解析:由2x-y=k得,y=2x-k,将其代入x2-y=2,得x2-(2x-k)=2,
所以Δ=4-4(k-2)≥0,解得k≤3.
2.已知集合A={(x,y)|y=x2},B={(x,y)|y=x},则集合A∩B中元素的个数为( B )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:联立解得或所以A∩B={(0,0),(1,1)}.
3.方程组的解集是( A )
A.{(1,-2,3)} B.{(1,0,1)}
C.{(0,-1,0)} D.{(0,1,-2)}
解析:由题意
将第一个式子分别与第二、第三个式子相加得
所以
代入第一个式子,可得z=3.故方程组的解集为{(1,-2,3)}.
4.方程组的解集为( A )
A.{(1,2),(-1,-2)} B.{(1,2),(1,-2)}
C.{(1,-2),(-1,2)} D.{(1,-2),(-1,-2)}
解析:由①,得y=2x,③
将③代入②,得x2-(2x)2+3=0,
解得x1=1,x2=-1,
把x1=1代入③,得y1=2,
把x2=-1代入③,得y2=-2,
所以原方程组的解是
5.若|3a+b+5|+|2a-2b-2|=0,则2a2-3ab的值是( D )
A.14 B.2 C.-2 D.-4
解析:因为|3a+b+5|+|2a-2b-2|=0,
所以
解得a=-1,b=-2,
则2a2-3ab=2-6=-4.
6.若关于x,y的方程组无解,则m= .
解析:原方程组
2×②-①得(2m-1)y=1,
因为关于x,y的方程组无解,所以2m-1=0.
即m=.
答案:
7.方程组的解集是 .
解析:①×3-②得3x-y=1,则y=3x-1,③
将③代入①得x(3x-1)+x=3,即3x2=3,解得x=1或x=-1.
分别代入③得y=2或y=-4.所以原方程组的解集是
{(1,2),(-1,-4)}.
答案:{(1,2),(-1,-4)}
8.《九章算术》记载了一个方程的问题,译为:今有上禾6束,减损其中之“实”十八升,与下禾10束之“实”相当;下禾15束,减损其中之“实”五升,与上禾5束之“实”相当.问:上、下禾每束之实各为多少升 则上、下禾每束之实的和为 .
解析:设上、下禾每束之实分别为x升,y升,上禾6束有6x,减损18,即6x-18,
与下禾10束之“实”相当,即6x-18=10y,同理有15y-5=5x,所以方程组为解得上、下禾每束之实的和为11升.
答案:11升
能力提升
9.(多选题)关于x,y的方程组的解集,下列说法正确的是( BCD )
A.可能是空集
B.必定不是空集
C.可能是单元素集合
D.可能是无限集
解析:当a=时,x-3y=6与3x-2y=4重合,的解集是无限集,故D正确,当a≠时,的解集为单元素集合,则B,C
正确.
10.已知x,y满足方程组且x+y=1,则m= .
解析:因为x+y=1,所以y=1-x代入
得
消去x,得2m2-9m=0,所以m=0或m=.
答案:或0
11.若关于x,y的方程组与的解集相等,则a+b= .
解析:因为方程组与的解集相等,
所以方程组的解集也是它们的解集,由得
所以即
所以a+b=4-=.
答案:
12.试写出使方程组的解集中只含有一个元素的k的值为 (写出一个即可).
解析:由方程组消去y,得k2x2-(2k2-1)x+k2=0,①
当k=0时,①式为x=0,此时y=0,原方程组的解集为{(0,0)},满足
题意;
当k≠0时,则Δ=(2k2-1)2-4k4=1-4k2=0,解得k=±.
故方程组的解集中只含有一个元素时,k=±或0.
答案:±或0中的一个即可
13.当m取什么值时,方程组
有两组相同的实数解 并求出这时方程组的解.
解:由方程组消去y,可得
2x2+2m(x+1)2-2+m=0,
即(2+2m)x2+4mx+3m-2=0,
由方程组有两组相同的实数解,可得
判别式Δ=(4m)2-4(2+2m)(3m-2)=0,
整理,得m2+m-2=0,
解得m=1或-2,
当m=1时,4x2+4x+1=0,
解得x=-,y=;
当m=-2时,x2+4x+4=0,
解得x=-2,y=-1.
综上可知,当m=1时,方程组的解为
当m=-2时,方程组的解为
应用创新
14.(多选题)方程组的解集为{(x1,y1),(x2,y2)},若x1+x2=-3,则下列说法正确的是( AC )
A.k=1或k=
B.y1+y2=-3或y1+y2=-1
C.y1+y2=1或y1+y2=3
D.+=12或+=15
解析:由题意知方程kx-y+2=0与方程x2+y2+2x-8=0有两组公共解(x1,y1),(x2,y2),由kx-y+2=0得y=kx+2,代入x2+y2+2x-8=0可得(1+k2)x2+(2+4k)x-4=0,
则x1+x2=-=-3,解得k=1或,故A正确;
因为y1+y2=kx1+2+kx2+2=k(x1+x2)+4=-3k+4,所以当k=1或时,y1+y2=1或3,故B错误,C正确;
又有x1x2=-,则+=(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2+,则当k=1或时,+=13或,故D错误.
15.某水果市场将120吨水果运往各地商家,现有甲、乙、丙三种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如表所示.(假设每辆车均满载)
车型 甲 乙 丙
汽车运载量/(吨/辆) 5 8 10
汽车运费/(元/辆) 400 500 600
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送,需运费8 200元,则分别需甲、乙两种车型各几辆
(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆),已知它们的总辆数为16辆,你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗
解:(1)设需甲车型a辆,乙车型b辆,
得解得
故需甲车型8辆,乙车型10辆.
(2)设需甲车型x辆,乙车型y辆,丙车型z辆,
得
消去z得5x+2y=40,x=8-y,
因为x,y是正整数,且不大于14,得y=5或10,
由z是正整数,解得或
故有两种运送方案:
①甲车型6辆,乙车型5辆,丙车型5辆;
②甲车型4辆,乙车型10辆,丙车型2辆.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.1.3 方程组的解集
选题明细表
知识点、方法 题号
二元(三元)一次方程组 3,5,6,9,10,11
二元二次方程组 1,2,4,7, 12,13,14
方程组的实际应用与综合 8,15
基础巩固
1.方程组有实数解,则k的取值范围是( D )
A.[3,+∞) B.{3}
C.(-∞,3) D.(-∞,3]
解析:由2x-y=k得,y=2x-k,将其代入x2-y=2,得x2-(2x-k)=2,
所以Δ=4-4(k-2)≥0,解得k≤3.
2.已知集合A={(x,y)|y=x2},B={(x,y)|y=x},则集合A∩B中元素的个数为( B )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:联立解得或所以A∩B={(0,0),(1,1)}.
3.方程组的解集是( A )
A.{(1,-2,3)} B.{(1,0,1)}
C.{(0,-1,0)} D.{(0,1,-2)}
解析:由题意
将第一个式子分别与第二、第三个式子相加得
所以
代入第一个式子,可得z=3.故方程组的解集为{(1,-2,3)}.
4.方程组的解集为( A )
A.{(1,2),(-1,-2)} B.{(1,2),(1,-2)}
C.{(1,-2),(-1,2)} D.{(1,-2),(-1,-2)}
解析:由①,得y=2x,③
将③代入②,得x2-(2x)2+3=0,
解得x1=1,x2=-1,
把x1=1代入③,得y1=2,
把x2=-1代入③,得y2=-2,
所以原方程组的解是
5.若|3a+b+5|+|2a-2b-2|=0,则2a2-3ab的值是( D )
A.14 B.2 C.-2 D.-4
解析:因为|3a+b+5|+|2a-2b-2|=0,
所以
解得a=-1,b=-2,
则2a2-3ab=2-6=-4.
6.若关于x,y的方程组无解,则m= .
解析:原方程组
2×②-①得(2m-1)y=1,
因为关于x,y的方程组无解,所以2m-1=0.
即m=.
答案:
7.方程组的解集是 .
解析:①×3-②得3x-y=1,则y=3x-1,③
将③代入①得x(3x-1)+x=3,即3x2=3,解得x=1或x=-1.
分别代入③得y=2或y=-4.所以原方程组的解集是
{(1,2),(-1,-4)}.
答案:{(1,2),(-1,-4)}
8.《九章算术》记载了一个方程的问题,译为:今有上禾6束,减损其中之“实”十八升,与下禾10束之“实”相当;下禾15束,减损其中之“实”五升,与上禾5束之“实”相当.问:上、下禾每束之实各为多少升 则上、下禾每束之实的和为 .
解析:设上、下禾每束之实分别为x升,y升,上禾6束有6x,减损18,即6x-18,
与下禾10束之“实”相当,即6x-18=10y,同理有15y-5=5x,所以方程组为解得上、下禾每束之实的和为11升.
答案:11升
能力提升
9.(多选题)关于x,y的方程组的解集,下列说法正确的是( BCD )
A.可能是空集
B.必定不是空集
C.可能是单元素集合
D.可能是无限集
解析:当a=时,x-3y=6与3x-2y=4重合,的解集是无限集,故D正确,当a≠时,的解集为单元素集合,则B,C
正确.
10.已知x,y满足方程组且x+y=1,则m= .
解析:因为x+y=1,所以y=1-x代入
得
消去x,得2m2-9m=0,所以m=0或m=.
答案:或0
11.若关于x,y的方程组与的解集相等,则a+b= .
解析:因为方程组与的解集相等,
所以方程组的解集也是它们的解集,由得
所以即
所以a+b=4-=.
答案:
12.试写出使方程组的解集中只含有一个元素的k的值为 (写出一个即可).
解析:由方程组消去y,得k2x2-(2k2-1)x+k2=0,①
当k=0时,①式为x=0,此时y=0,原方程组的解集为{(0,0)},满足
题意;
当k≠0时,则Δ=(2k2-1)2-4k4=1-4k2=0,解得k=±.
故方程组的解集中只含有一个元素时,k=±或0.
答案:±或0中的一个即可
13.当m取什么值时,方程组
有两组相同的实数解 并求出这时方程组的解.
解:由方程组消去y,可得
2x2+2m(x+1)2-2+m=0,
即(2+2m)x2+4mx+3m-2=0,
由方程组有两组相同的实数解,可得
判别式Δ=(4m)2-4(2+2m)(3m-2)=0,
整理,得m2+m-2=0,
解得m=1或-2,
当m=1时,4x2+4x+1=0,
解得x=-,y=;
当m=-2时,x2+4x+4=0,
解得x=-2,y=-1.
综上可知,当m=1时,方程组的解为
当m=-2时,方程组的解为
应用创新
14.(多选题)方程组的解集为{(x1,y1),(x2,y2)},若x1+x2=-3,则下列说法正确的是( AC )
A.k=1或k=
B.y1+y2=-3或y1+y2=-1
C.y1+y2=1或y1+y2=3
D.+=12或+=15
解析:由题意知方程kx-y+2=0与方程x2+y2+2x-8=0有两组公共解(x1,y1),(x2,y2),由kx-y+2=0得y=kx+2,代入x2+y2+2x-8=0可得(1+k2)x2+(2+4k)x-4=0,
则x1+x2=-=-3,解得k=1或,故A正确;
因为y1+y2=kx1+2+kx2+2=k(x1+x2)+4=-3k+4,所以当k=1或时,y1+y2=1或3,故B错误,C正确;
又有x1x2=-,则+=(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2+,则当k=1或时,+=13或,故D错误.
15.某水果市场将120吨水果运往各地商家,现有甲、乙、丙三种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如表所示.(假设每辆车均满载)
车型 甲 乙 丙
汽车运载量/(吨/辆) 5 8 10
汽车运费/(元/辆) 400 500 600
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送,需运费8 200元,则分别需甲、乙两种车型各几辆
(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆),已知它们的总辆数为16辆,你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗
解:(1)设需甲车型a辆,乙车型b辆,
得解得
故需甲车型8辆,乙车型10辆.
(2)设需甲车型x辆,乙车型y辆,丙车型z辆,
得
消去z得5x+2y=40,x=8-y,
因为x,y是正整数,且不大于14,得y=5或10,
由z是正整数,解得或
故有两种运送方案:
①甲车型6辆,乙车型5辆,丙车型5辆;
②甲车型4辆,乙车型10辆,丙车型2辆.
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