(共42张PPT)
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
第二章 等式与不等式
「学习目标」
1.通过理解等式的性质,体会用等式的性质解方程的过程,培养数学抽象的核心素养.
2.通过求方程的解集,培养数学运算的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
任意
成立
恒等式
恒等
［思考3］ 十字相乘法分解因式的关键是什么？
提示:把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，得到两个因式，再把两个因式相加，看
它们的和是不是正好等于一次项系数.
［思考4］ 将恒等式中的字母换为其他字母或有意义的代数式，等式是否仍然成立？
提示:用其他字母或有意义的代数式去替换恒等式中的字母，等式仍然成立，因此恒等
式是进行代数变形的依据之一.
3.方程的解集
方程的解（或根）是指能使方程左右两边______的________的值.一般地，把一个方程
所有解组成的集合称为这个方程的______.
相等
未知数
解集
［思考5］ 把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解（根）吗？
提示:把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程
的增根.
课堂探究
素养培育
探究点一 等式性质的应用
C
A.①②③ B.②④⑤ C.①③⑤ D.①②④
ABD
方法总结
等式的性质是进行恒等变形的依据，是解题过程正确性的保证，应引起重视.
［针对训练］ 下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是( )
D
探究点二 恒等式的化简
角度一 利用恒等式化简
［例2］ 计算下列各式：
方法总结
（1）在进行代数式的乘法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.
（2）注意乘法公式的正用、逆用及变形应用.
［针对训练］ 计算下列各式：
角度二 十字相乘法分解因式
［例3］ 用十字相乘法分解因式：
［针对训练］ 用十字相乘法分解因式：
探究点三 方程的解集
［例4］ 求下列方程的解集.
【学海拾贝】
CD
「当堂检测」
B
2.下列等式中，属于恒等式的是( )
B
C
「备用例题」
A
BD
（1）单元素集；
［例4］ 把下列各式分解因式：2.1 等 式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
选题明细表
知识点、方法 题号
等式的性质与恒等式的变换和应用 2,3,4,6,7,8,10
因式分解 1,5,9,14
方程的解集 11,12,13,15
基础巩固
1.多项式2x2-xy-15y2的一个因式为( B )
A.2x-5y B.x-3y
C.x+3y D.x-5y
解析:2x2-xy-15y2=(2x+5y)(x-3y).
2.(多选题)下列变形正确的是( AC )
A.如果x=y,则x+5=y+5
B.如果(m+2)x=m+2,则x=1
C.如果(a2+1)x=5,则x=
D.如果x=y,则=
解析:m+2=0时,两边都除以0无意义,故B错误;
因为a2+1>0,方程(a2+1)x=5两边同除以a2+1,得x=,故C正确;
若x=y,则=的前提条件为a≠0,D错误.
3.已知x=3y+5,且x2-7xy+9y2=24,则x2y-3xy2的值为( C )
A.0 B.1 C.5 D.12
解析:因为x=3y+5,所以x-3y=5,两边平方可得x2-6xy+9y2=25.
又因为x2-7xy+9y2=24,两式相减可得xy=1,
所以x2y-3xy2=xy(x-3y)=1×5=5.
4.(多选题)已知等式3a=2b+5,则下列等式一定成立的是( ABD )
A.3a-5=2b B.3a+1=2b+6
C.3ac=2bc D.a=+
解析:A.3a=2b+5,等式两边同时减去5,得3a-5=2b,即A项正确;
B.3a=2b+5,等式两边同时加上1,得3a+1=2b+6,即B项正确;
C.3a=2b+5,等式两边同时乘c,得3ac=2bc+5c,即C项错误;
D.3a=2b+5,等式两边同时除以3,得a=+,即D项正确.
5.化简(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2为( B )
A.x6-2x3y3+y6 B.x6+2x3y3+y6
C.x6+y6 D.x6-y6
解析:(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2
=(x+y)2(x2-xy+y2)2
=[(x+y)(x2-xy+y2)]2
=(x3+y3)2
=x6+2x3y3+y6.
6.代数式5x2-4xy+y2+6x+25的最小值为( B )
A.-16 B.16 C.-8 D.8
解析:5x2-4xy+y2+6x+25=4x2-4xy+y2+x2+6x+9+16=(2x-y)2+(x+3)2+16,而(2x-y)2+(x+3)2≥0,所以代数式5x2-4xy+y2+6x+25的最小值是16.
7.若(x2+x+b)(2x+c)=2x3+7x2-x+a,则a+b+c的值为 .
解析:因为(x2+x+b)(2x+c)=2x3+7x2-x+a,
所以2x3+2x2+2bx+cx2+cx+bc=2x3+(2+c)x2+(2b+c)x+bc=2x3+7x2-x+a.
所以2+c=7,2b+c=-1,bc=a,解得c=5,b=-3,a=-15.则a+b+c=-13.
答案:-13
8.若x2+(a-2)x+9是一个完全平方式,则a的取值集合为 .
解析:因为x2+(a-2)x+9是一个完全平方式,
所以x2+(a-2)x+9=(x±3)2,
所以a-2=±6,所以a=-4或a=8,
所以a的取值集合为{-4,8}.
答案:{-4,8}
能力提升
9.若x2-y2+mx+5y-6能分解为两个整系数一次因式的积,则m的值为( C )
A.1 B.-1 C.±1 D.2
解析:x2-y2+mx+5y-6=(x+y)(x-y)+mx+5y-6,-6可分解成(-2)×3或
(-3)×2,因此,存在两种情况:
由(1)可得m=1,由(2)可得m=-1.
10.(多选题)设a,b,c,d∈R,下列命题中为真命题的是( ABD )
A.若=,则a=b
B.若a=b,则a(c2+2)=b(c2+2)
C.若=,则=
D.若a3=b3,则a=b
解析:若=,两边平方可得a=b,故A为真命题;a=b,c2+2≥2,所以a(c2+2)=b(c2+2),故B为真命题;当d=0时,无意义,故C为假命题;
若a3=b3,由等式的性质可得a=b,故D为真命题.
11.试写出一个使关于x的方程=的解是正整数的k的整数值
.
解析:方程=去分母,得9-3x=kx,
即kx+3x=9,所以x=.
因为原分式方程的解为正整数,且x≠3,x≠0.
所以x==1,2,4,5,6,7,8,9,
又因为k为整数,所以k=-2或6.
答案:-2或6
12.已知x2-5xy-6y2=0(y≠0且x≠0),则的值为 .
解析:x2-5xy-6y2=0,(x-6y)(x+y)=0,
所以x-6y=0或x+y=0,
所以x=6y或x=-y,
又y≠0且x≠0,所以的值为6或-1.
答案:6或-1
13.求方程x2-ax-2a2=0的解集.
解:x2-ax-2a2=(x+a)(x-2a)=0,
所以x1=-a,x2=2a,
当a=0时,x1=x2=0,所以方程的解集是{0};
当a≠0时,x1≠x2,所以方程的解集是{-a,2a}.
应用创新
14.如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为m的大正方形,两块是边长都为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的全等小长方形,且 m>n.(单位: cm)
(1)用含m,n的代数式表示图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和;
(2)观察图形,将代数式2m2+5mn+2n2因式分解;
(3)若每块小长方形的面积为10 cm2,四个正方形的面积和为58 cm2,试求(m+n)2的值.
解:(1)题图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为2(m+2n)+2(2m+n)=6m+6n=6(m+n).
(2)2m2+5mn+2n2可以因式分解为(m+2n)·(2m+n).
(3)依题意得2m2+2n2=58,mn=10,
所以m2+n2=29.
因为(m+n)2=m2+2mn+n2,
所以(m+n)2=29+20=49.
15.求方程+3=11的解集.
解:设=y,那么=,于是原方程变形为8y+=11,
去分母,得8y2+3=11y,
移项,得8y2-11y+3=0.
十字相乘法分解因式得(y-) (8y-8)=0,
解此方程,得y1=1,y2=.
当y=1时,=1,
去分母,得x2+2x=x2-1,
移项,得2x=-1,解此方程,得x=-.
当y=时,=,
去分母,得8x2+16x=3x2-3,
移项,合并同类项,得5x2+16x+3=0,
即(5x+1)(x+3)=0,
解此方程,得x=-3或x=-.
检验,把x=-,x=-3,x=-分别代入原方程的分母,各分母都不等于零,所以x1=-,x2=-3,x3=-都是原方程的解.
所以原方程的解集是{-,-3,-}.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.1 等 式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
学习目标
1.通过理解等式的性质,体会用等式的性质解方程的过程,培养数学抽象的核心素养.
2.通过求方程的解集,培养数学运算的核心素养.
知识探究
1.等式的性质
等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立;
等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式,等式仍成立.
符号语言表示为
(1)如果a=b,则对任意c都有a+c=b+c.
(2)如果a=b,则对任意不为零的c,都有ac=bc.
[思考1] 如果a=b,对任意c,是否有a-c=b-c成立
提示:因为减去一个数等于加上这个数的相反数,即a-c=a+(-c),b-c=b+(-c),从而对任意c都有a-c=b-c成立.
[思考2] 如果a=b,对任意不为0的c,是否有=成立
提示:因为除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数,即=a·,
=b·,从而对任意不为零的c,都有=成立.
2.恒等式
(1)一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等.
(2)十字相乘法.
给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则x2+Cx+D=(x+a)(x+b).
已知C和D,寻找满足条件的a和b的过程如图:
其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C.这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.
[思考3] 十字相乘法分解因式的关键是什么
提示:把二次项系数和常数项分解,交叉相乘,得到两个因式,再把两个因式相加,看它们的和是不是正好等于一次项系数.
(3)常见的恒等式.
①a2-b2=(a+b)(a-b).
②(x+y)2=x2+2xy+y2.
③(x-y)2=x2-2xy+y2.
④x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2).
⑤x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2).
⑥(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
⑦(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.
[思考4] 将恒等式中的字母换为其他字母或有意义的代数式,等式是否仍然成立
提示:用其他字母或有意义的代数式去替换恒等式中的字母,等式仍然成立,因此恒等式是进行代数变形的依据之一.
3.方程的解集
方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
[思考5] 把方程通过适当变换后,求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗
提示:把方程通过变换,求出的未知数的值不一定是这个方程的根,也可能是这个方程的增根.
(1)常用恒等式
①(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;
②(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3;
③(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
(2)方程ax=b的解集
当a≠0时,解集为{};
当a=0,b≠0时,解集为 ;
当a=0,b=0时,解集为R.
探究点一 等式性质的应用
[例1] (1)已知x=y,则下列各式:①x-3=y-3;②4x=6y;③-2x=-2y;④=1;⑤=.其中正确的有( )
A.①②③ B.②④⑤ C.①③⑤ D.①②④
(2)(多选题)若3a=2b,下列各式进行的变形中,正确的是( )
A.3a+1=2b+1 B.3a-1=2b-1
C.9a=4b D.-=-
解析:(1)①x-3=y-3,③-2x=-2y,
⑤=,正确.故选C.
(2)A选项,因为3a=2b,所以3a+1=2b+1,A正确;
B选项,因为3a=2b,所以3a-1=2b-1,B正确;
C选项,因为3a=2b,所以9a=6b,故C错误;
D选项,因为3a=2b,所以-=-,D正确.
故选ABD.
等式的性质是进行恒等变形的依据,是解题过程正确性的保证,应引起重视.
[针对训练] 下列运用等式的性质进行的变形中,正确的是( )
A.如果a=b,那么a+c=b-c
B.如果a2=6a,那么a=6
C.如果a=b,那么=
D.如果=,那么a=b
解析:当c≠0时,选项A不正确;如果a2=6a,那么a=6或a=0,选项B不正确;
当c=0时,=无意义,选项C不正确;如果=,则c≠0,故·c=·c,即a=b,选项D正确.故选D.
探究点二 恒等式的化简
角度一 利用恒等式化简
[例2] 计算下列各式:
(1)(4+m)(16-4m+m2);
(2)(a+2)(a-2)(a4+4a2+16);
(3)(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1).
解:(1)原式=43+m3=64+m3.
(2)原式=(a2-4)(a4+4a2+16)
=(a2)3-43
=a6-64.
(3)法一 原式=(x2-1)[(x2+1)2-x2]
=(x2-1)·(x4+x2+1)
=x6-1.
法二 原式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)
=(x3+1)·(x3-1)
=x6-1.
(1)在进行代数式的乘法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.
(2)注意乘法公式的正用、逆用及变形应用.
[针对训练] 计算下列各式:
(1)(x-3y-4z)2;
(2)(2a+1-b)2-(a-b)(a+2b);
(3)(a+b)(a2-ab+b2)-(a+b)3;
(4)(a-4b)(a2+4b2+ab).
解:(1)原式=x2+9y2+16z2-6xy-8xz+24yz.
(2)原式=4a2+1+b2+4a-4ab-2b-(a2+ab-2b2)
=3a2-5ab+3b2+4a-2b+1.
(3)原式=a3+b3-(a3+3a2b+3ab2+b3)
=-3a2b-3ab2.
(4)原式=(a-4b)(a2+4ab+16b2)
=[a3-(4b)3]
=a3-16b3.
角度二 十字相乘法分解因式
[例3] 用十字相乘法分解因式:
(1)x2+x-2;(2)x2-x+1;(3)2x2+11x+12;(4)5x2-7x-6.
解:(1)因为
1×2+1×(-1)=1,
所以x2+x-2=(x-1)(x+2).
(2)因为1×(-2)+1×(-)=-,
所以x2-x+1=(x-)(x-2).
(3)因为1×3+2×4=11,
所以2x2+11x+12=
(x+4)(2x+3).
(4)因为1×3+5×(-2)=-7,
所以5x2-7x-6=(x-2)(5x+3).
对于ax2+bx+c,将二次项的系数a分解成 a1×a2,常数项c分解成c1×c2,并且把a1,a2,c1,c2排列如图,按斜线交叉相乘,再相加,就得到a1c2+a2c1,如果它正好等于ax2+bx+c的一次项系数b,那么ax2+bx+c就可以分解成(a1x+c1)(a2x+c2).
[针对训练] 用十字相乘法分解因式:
(1)x2+7x+12;(2)3x2+7x-6;
(3)2x2-xy-3y2.
解:(1)x2+7x+12=(x+3)(x+4).
(2)3x2+7x-6=(x+3)(3x-2).
(3)2x2-xy-3y2=(x+y)(2x-3y).
探究点三 方程的解集
[例4] 求下列方程的解集.
(1)x2+4x-5=0;
(2)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15=0;
(3)x+=(x≠1).
解:(1)x2+4x-5=0,即(x+5)(x-1)=0.
x1=-5,x2=1.
解集为{-5,1}.
(2)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15=0,
[(x2-4x)-5][(x2-4x)+3]=0,
(x2-4x-5)(x2-4x+3)=0,
(x+1)(x-5)(x-1)(x-3)=0.
x1=-1,x2=1,x3=3,x4=5.
解集为{-1,1,3,5}.
(3)x+=,x-1+=.
设t=x-1(t≠0),即t+=,2t2-5t+2=0,
(t-2)(2t-1)=0.t=2或,即x-1=2或.
x1=3,x2=.经检验x1=3,x2=是原方程的根.
解集为{3,}.
(1)一元一次方程多转化为ax=b的形式求解.
(2)一元二次方程可用因式分解法或公式法求解.
(3)高次方程多通过因式分解转化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0的形式求解.
(4)分式方程可通过通分或换元转化为多项式方程求解.
[针对训练] 求下列关于x的方程的解集.
(1)ax=-x+1;
(2)x2-6x+9=0;
(3)x3-x=0;
(4)()2--4=0.
解:(1)ax=-x+1,(a+1)x=1.
当a≠-1时,x=,解集为{}.
当a=-1时,解集为 .
(2)x2-6x+9=0,(x-3)2=0,x=3.解集为{3}.
(3)x3-x=0,(x+1)x(x-1)=0.
x1=-1,x2=0,x3=1.
解集为{-1,0,1}.
(4)设=y,则原方程变形为y2-3y-4=0,
即(y+1)(y-4)=0,
解得y1=-1,y2=4.
当y=-1时,=-1,
去分母,得x2=-x+1,
即x2+x-1=0,
此方程的解为x=.
当y=4时,=4,
去分母,得x2=4x-4,即x2-4x+4=0,
解得x=2.
检验,把x=2,x=分别代入原方程的分母,各分母都不等于零,
所以x=2,x=都是原方程的解.
所以原方程的解是x1=2,x2=,
x3=.
解集为{2,,}.
【学海拾贝】
利用恒等式原理求参数
[典例探究] (多选题)若x3+a3=(x+a)(x2-ax+9)对任意实数x都成立,则实数a可能的值是( )
A.-9 B.9 C.-3 D.3
解析:因为x3+a3=(x+a)(x2-ax+a2),
故x3+a3=(x+a)(x2-ax+9)对任意实数x都成立即为
(x+a)(x2-ax+a2)=(x+a)(x2-ax+9)对任意实数x都成立,
所以x2-ax+a2=x2-ax+9,即a2=9,
故a=±3.故选CD.
利用恒等式原理求参数的基本方法是等式两边的对应项的系数相等.
[应用探究] 已知等式2x2-3x+1=ax2+bx+c对任意实数x都成立,则abc= .
解析:因为等式2x2-3x+1=ax2+bx+c对任意实数x都成立,所以,
所以abc=2×(-3)×1=-6.
答案:-6
当堂检测
1.已知3x=7y(y≠0),则下列比例式成立的是( B )
A.= B.=
C.= D.=
解析:因为3x=7y(y≠0),所以=,
=,故B正确.
2.下列等式中,属于恒等式的是( B )
A.a2=1 B.=|a|
C.|a-3|=0 D.=0
解析:只有当a=±1时,等式a2=1成立;
=|a|对任意a∈R成立;
只有当a=3时,等式|a-3|=0成立;
≠0,D选项不是恒等式.
3.已知二次三项式x2+bx+c分解因式(x-3)(x+1),则b+c的值为( C )
A.1 B.-1
C.-5 D.5
解析:因为二次三项式x2+bx+c分解因式为(x-3)(x+1),
所以x2+bx+c=(x-3)(x+1)=x2-2x-3,
则b=-2,c=-3,故b+c=-5.
4.写出一个实数a的值,使关于x的方程 =+1的解集不是 ,则a= .
解析:由=+1,得(-)x=1,因为关于x的方程 =+1的解集不是 ,
所以-≠0,即a≠.
答案:1(只要是a≠的任意值即可)
备用例题
[例1] 方程=的解集为单元素集,那么该方程的解集是( )
A.{1} B.{2} C.{3} D.{4}
解析:由题意可知x≠-1且x≠0,则原方程可化为x2-2x-m=0,
由题意可得Δ=4+4m=0,解得m=-1,故原方程为x2-2x+1=0,解得x=1.故选A.
[例2] (多选题)若x2+xy-2y2=0,则的值可以为( )
A.- B.- C. D.
解析:由x2+xy-2y2=0,得(x+2y)(x-y)=0,得x=-2y或x=y,
当x=-2y时,==-;当x=y时,==.故选BD.
[例3] 关于x的方程mx+4=3x-n,分别求m,n为何值时,原方程的解集为:
(1)单元素集;(2)R;(3) .
解:由题意知(m-3)x=-n-4.
(1)当m-3≠0,即m≠3,n为任意实数时,方程的解集为单元素集,即.
(2)当m-3=0且-n-4=0,即m=3且n=-4时,方程的解集为R.
(3)当m-3=0且-n-4≠0,即m=3且n≠-4时,方程的解集为 .
[例4] 把下列各式分解因式:
(1)x2-4mx-8mn-4n2;
(2)x2-y2+4x+6y-5;
(3)x3-11x2+31x-21;
(4)x3-4xy2-2x2y+8y3.
解:(1)原式=(x2-4n2)-4m(x+2n)=(x+2n)(x-2n)-4m(x+2n)=(x+2n)
(x-2n-4m).
(2)原式=(x2+4x+4)-(y2-6y+9)=(x+2)2-(y-3)2=(x+y-1)(x-y+5).
(3)令x3-11x2+3|x-2|=0,猜根x=1,即定有因式x-1,
所以x3-11x2+3|x-2|
=x3-x2-10x2+10x+2|x-2|
=x2(x-1)-10x(x-1)+21(x-1)
=(x-1)(x2-10x+21)
=(x-1)(x-3)(x-7).
(4)法一 原式=x3+8y3-2xy(x+2y)=(x+2y)(x2-2xy+4y2)-2xy(x+2y)
=(x+2y)(x2-4xy+4y2)=(x+2y)(x-2y)2.
法二 原式=(x3-2x2y)+(-4xy2+8y3)=x2(x-2y)-4y2(x-2y)
=(x-2y)(x2-4y2)=(x+2y)(x-2y)2.
选题明细表
知识点、方法 题号
等式的性质与恒等式的变换和应用 2,3,4,6,7,8,10
因式分解 1,5,9,14
方程的解集 11,12,13,15
基础巩固
1.多项式2x2-xy-15y2的一个因式为( B )
A.2x-5y B.x-3y
C.x+3y D.x-5y
解析:2x2-xy-15y2=(2x+5y)(x-3y).
2.(多选题)下列变形正确的是( AC )
A.如果x=y,则x+5=y+5
B.如果(m+2)x=m+2,则x=1
C.如果(a2+1)x=5,则x=
D.如果x=y,则=
解析:m+2=0时,两边都除以0无意义,故B错误;
因为a2+1>0,方程(a2+1)x=5两边同除以a2+1,得x=,故C正确;
若x=y,则=的前提条件为a≠0,D错误.
3.已知x=3y+5,且x2-7xy+9y2=24,则x2y-3xy2的值为( C )
A.0 B.1 C.5 D.12
解析:因为x=3y+5,所以x-3y=5,两边平方可得x2-6xy+9y2=25.
又因为x2-7xy+9y2=24,两式相减可得xy=1,
所以x2y-3xy2=xy(x-3y)=1×5=5.
4.(多选题)已知等式3a=2b+5,则下列等式一定成立的是( ABD )
A.3a-5=2b B.3a+1=2b+6
C.3ac=2bc D.a=+
解析:A.3a=2b+5,等式两边同时减去5,得3a-5=2b,即A项正确;
B.3a=2b+5,等式两边同时加上1,得3a+1=2b+6,即B项正确;
C.3a=2b+5,等式两边同时乘c,得3ac=2bc+5c,即C项错误;
D.3a=2b+5,等式两边同时除以3,得a=+,即D项正确.
5.化简(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2为( B )
A.x6-2x3y3+y6 B.x6+2x3y3+y6
C.x6+y6 D.x6-y6
解析:(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2
=(x+y)2(x2-xy+y2)2
=[(x+y)(x2-xy+y2)]2
=(x3+y3)2
=x6+2x3y3+y6.
6.代数式5x2-4xy+y2+6x+25的最小值为( B )
A.-16 B.16 C.-8 D.8
解析:5x2-4xy+y2+6x+25=4x2-4xy+y2+x2+6x+9+16=(2x-y)2+(x+3)2+16,而(2x-y)2+(x+3)2≥0,所以代数式5x2-4xy+y2+6x+25的最小值是16.
7.若(x2+x+b)(2x+c)=2x3+7x2-x+a,则a+b+c的值为 .
解析:因为(x2+x+b)(2x+c)=2x3+7x2-x+a,
所以2x3+2x2+2bx+cx2+cx+bc=2x3+(2+c)x2+(2b+c)x+bc=2x3+7x2-x+a.
所以2+c=7,2b+c=-1,bc=a,解得c=5,b=-3,a=-15.则a+b+c=-13.
答案:-13
8.若x2+(a-2)x+9是一个完全平方式,则a的取值集合为 .
解析:因为x2+(a-2)x+9是一个完全平方式,
所以x2+(a-2)x+9=(x±3)2,
所以a-2=±6,所以a=-4或a=8,
所以a的取值集合为{-4,8}.
答案:{-4,8}
能力提升
9.若x2-y2+mx+5y-6能分解为两个整系数一次因式的积,则m的值为( C )
A.1 B.-1 C.±1 D.2
解析:x2-y2+mx+5y-6=(x+y)(x-y)+mx+5y-6,-6可分解成(-2)×3或
(-3)×2,因此,存在两种情况:
由(1)可得m=1,由(2)可得m=-1.
10.(多选题)设a,b,c,d∈R,下列命题中为真命题的是( ABD )
A.若=,则a=b
B.若a=b,则a(c2+2)=b(c2+2)
C.若=,则=
D.若a3=b3,则a=b
解析:若=,两边平方可得a=b,故A为真命题;a=b,c2+2≥2,所以a(c2+2)=b(c2+2),故B为真命题;当d=0时,无意义,故C为假命题;
若a3=b3,由等式的性质可得a=b,故D为真命题.
11.试写出一个使关于x的方程=的解是正整数的k的整数值
.
解析:方程=去分母,得9-3x=kx,
即kx+3x=9,所以x=.
因为原分式方程的解为正整数,且x≠3,x≠0.
所以x==1,2,4,5,6,7,8,9,
又因为k为整数,所以k=-2或6.
答案:-2或6
12.已知x2-5xy-6y2=0(y≠0且x≠0),则的值为 .
解析:x2-5xy-6y2=0,(x-6y)(x+y)=0,
所以x-6y=0或x+y=0,
所以x=6y或x=-y,
又y≠0且x≠0,所以的值为6或-1.
答案:6或-1
13.求方程x2-ax-2a2=0的解集.
解:x2-ax-2a2=(x+a)(x-2a)=0,
所以x1=-a,x2=2a,
当a=0时,x1=x2=0,所以方程的解集是{0};
当a≠0时,x1≠x2,所以方程的解集是{-a,2a}.
应用创新
14.如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为m的大正方形,两块是边长都为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的全等小长方形,且 m>n.(单位: cm)
(1)用含m,n的代数式表示图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和;
(2)观察图形,将代数式2m2+5mn+2n2因式分解;
(3)若每块小长方形的面积为10 cm2,四个正方形的面积和为58 cm2,试求(m+n)2的值.
解:(1)题图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为2(m+2n)+2(2m+n)=6m+6n=6(m+n).
(2)2m2+5mn+2n2可以因式分解为(m+2n)·(2m+n).
(3)依题意得2m2+2n2=58,mn=10,
所以m2+n2=29.
因为(m+n)2=m2+2mn+n2,
所以(m+n)2=29+20=49.
15.求方程+3=11的解集.
解:设=y,那么=,于是原方程变形为8y+=11,
去分母,得8y2+3=11y,
移项,得8y2-11y+3=0.
十字相乘法分解因式得(y-) (8y-8)=0,
解此方程,得y1=1,y2=.
当y=1时,=1,
去分母,得x2+2x=x2-1,
移项,得2x=-1,解此方程,得x=-.
当y=时,=,
去分母,得8x2+16x=3x2-3,
移项,合并同类项,得5x2+16x+3=0,
即(5x+1)(x+3)=0,
解此方程,得x=-3或x=-.
检验,把x=-,x=-3,x=-分别代入原方程的分母,各分母都不等于零,所以x1=-,x2=-3,x3=-都是原方程的解.
所以原方程的解集是{-,-3,-}.
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