2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
学习目标
1.理解一元二次方程的定义,并会求一元二次方程的解集,培养数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.掌握一元二次方程的根与系数的关系,培养数学运算的核心素养.
知识探究
1.一元二次方程
形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程,其中a,b,c是常数,且a≠0.
[思考1] 方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数)一定是一元二次方程吗
提示:不一定,当a≠0时,为一元二次方程,当a=0,b≠0时,为一元一次方程.
2.判别式Δ与一元二次方程的解集
Δ=b2-4ac的符号情况决定了方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集情况:
(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根x1,2=,方程的解集为{,}.
(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-,方程的解集为{-}.
(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根,方程的解集为 .
一般地,Δ=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式.由此可知,一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定.
[思考2] 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=适合用于所有的一元二次方程吗
提示:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用,即当判别式Δ=b2-4ac≥0时适用.
[做一做1] 已知关于x的方程x2-x+m=0的解集有两个元素,则m的取值范围为 .
解析:由Δ=1-4m>0,解得m<.
答案:(-∞,)
3.一元二次方程根与系数的关系
当Δ=b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1=,
x2=,则有
[思考3] 利用一元二次方程根与系数的关系解题时,需要注意什么条件
提示:先把方程化为ax2+bx+c=0的形式,然后验证是否满足a≠0,
Δ=b2-4ac≥0这两个条件,同时满足这两个条件才能用根与系数的关系解题.
[做一做2] 已知方程x2-px-q=0,其解集为{-1,3},则p与q的值分别为( B )
A.p=-2,q=3 B.p=2,q=3
C.p=-2,q=-3 D.p=2,q=-3
解析:由题可知-1和3是方程x2-px-q=0的两个根,则-1+3=p,-1×
3=-q,
解得p=2,q=3.
若x1和x2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不同的实数根,则|x1-x2|=(其中Δ=b2-4ac).在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论.
探究点一 判断一元二次方程根的个数与解方程
[例1] 求下列关于x的方程的解集(其中a为常数).
(1)x2-3x+3=0;
(2)x2-ax-1=0;
(3)x2-ax+(a-1)=0.
解:(1)因为Δ=32-4×1×3=-3<0,所以方程的解集为 .
(2)该方程的判别式Δ=a2-4×1×(-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根,
x1=,x2=.
即解集为{,}.
(3)该方程的判别式Δ=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2,
①当a=2时,Δ=0,此时方程有两个相等的实数根x1=x2=1,即解集为{1};
②当a≠2时,Δ>0,此时方程有两个不相等的实数根x1=1,x2=a-1,即解集为{1,a-1}.
判断一元二次方程根的情况
主要是根据判别式的符号,当判别式含字母时,需要讨论.
[针对训练] 不解方程,判断下列方程的实数根的个数.
(1)2x2-3x+1=0;
(2)4y2+9=12y;
(3)5(x2+3)-6x=0.
解:(1)因为Δ=(-3)2-4×2×1=1>0,所以方程有两个不相等的实数根.
(2)原方程可化为4y2-12y+9=0,
因为Δ=(-12)2-4×4×9=0,
所以原方程有两个相等的实数根.
(3)原方程可化为5x2-6x+15=0,
因为Δ=(-6)2-4×5×15=-264<0,所以原方程没有实数根.
探究点二 根据根的情况求参数
[例2] 若关于x的方程x2+2x+a=0两根异号,则a的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,0) D.(0,1)
解析:方程有两个不相等的实数根,则Δ=4-4a>0,解得a<1.
设x1,x2是方程x2+2x+a=0的两根,因为方程的两根异号,
所以x1·x2=a<0,
所以a的取值范围是(-∞,0).故选C.
含参数的一元二次方程有根的条件
(1)含参数的一元二次方程有根的条件在保证二次项系数不为0的前提下,首先满足Δ≥0.
(2)若方程有两个正根,则,
(3)若方程有两个负根,则
(4)若方程有一个正根和一个负根,则
[针对训练] 已知一元二次方程x2+4x+k=0,求下列各条件下,实数k的取值范围.
(1)方程有两个负根;
(2)方程有一正一负两个根.
解:(1)因为一元二次方程x2+4x+k=0有两个负根,所以Δ=16-4k≥0,所以k≤4.
设一元二次方程x2+4x+k=0的两根为a,b,
所以a+b=-4,ab=k>0,
因为k≤4,所以0
(2)设一元二次方程x2+4x+k=0的两根为a,b,
因为方程有一正一负两个根,
所以Δ=16-4k>0,且ab=k<0,所以k<0.
探究点三 根与系数关系的应用
[例3] 若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根.
(1)求|x1-x2|的值;
(2)求+的值;
(3)求+的值.
解:因为x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根,所以x1+x2=-,x1x2=-.
(1)因为|x1-x2|2=+-2x1x2=(x1+x2)2-4x1x2=(-)2-4×(-)=+6=,所以|x1-x2|=.
(2)+=====.
(3)+=(x1+x2)(-x1x2+)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]=(-)×[(-)2-3×(-)]=-.
利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:
+=(x1+x2)2-2x1x2,+=,
(x1-x2)2=-4x1x2,
|x1-x2|=,
x1+x2=x1x2(x1+x2),
+=-3x1x2(x1+x2)等.
[针对训练] 若x1,x2是方程x2+2x-2 007=0的两个根,试求下列各式的值:
(1)+;(2)+;(3)(x1-5)(x2-5).
解:由题意,根据根与系数的关系得x1+x2=-2,x1x2=-2 007.
(1)+=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2×(-200 7)=4 018.
(2)+===.
(3)(x1-5)(x2-5)=x1x2-5(x1+x2)+25=-2 007-5×(-2)+25=-1 972.
易错易混
忽略根与系数的关系成立的前提条件致误
[典例探究] 若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为( )
A.-1或2 B.1或-2
C.-2 D.1
解析:因为x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,
所以x1+x2=2m,x1·x2=m2-m-1.
因为x1+x2=1-x1x2,
所以2m=1-(m2-m-1),即m2+m-2=(m+2)(m-1)=0,解得m1=-2,m2=1.
因为方程x2-2mx+m2-m-1=0有实数根,
所以Δ=(-2m)2-4(m2-m-1)=4m+4≥0,解得m≥-1.所以m=1.故选D.
含参数的一元二次方程有根的前提是参数满足其判别式Δ≥0的条件,本题求解的易错之处是忽视判别式成立的条件.
[防错再练] 已知方程x2-(k+1)x+k2+1=0,根据下列条件分别求出k的值.
(1)方程两个实数根x1,x2的积为5;
(2)方程两个实数根x1,x2满足|x1|=x2.
解:(1)由Δ=(k+1)2-4(k2+1)=2k-3≥0,得k≥.
因为方程两实根的积为5,所以k2+1=5,
解得k=4或k=-4(舍去).
所以当k=4时,方程两实根的积为5.
(2)由|x1|=x2得知,
①当x1≥0时,x1=x2,故方程有两相等的实数根,故Δ=0 k=,经检验,此时x1=x2=>0,故成立;
②当x1<0时,-x1=x2,即x1+x2=0,则k+1=0,得k=-1,此时Δ<0,
故k=-1不合题意,舍去.
所以方程有两相等的实数根,即x1=x2,k=.
综上可得,当k=时,方程的两实根x1,x2满足|x1|=x2.
当堂检测
1.一元二次方程2x2-5x+6=0的根的情况为( A )
A.无实数根
B.有两个不等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.不能判定
解析:因为Δ=(-5)2-4×2×6=-23<0,所以方程无实数根.
2.关于x的一元二次方程x2-3x-2=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2-x1·x2的值为( D )
A.-5 B.-1 C.1 D.5
解析:因为关于x的一元二次方程x2-3x-2=0的两根分别为x1,x2,
则x1+x2=3,x1·x2=-2,
所以x1+x2-x1·x2=3-(-2)=5.
3.已知二次方程2x2+ax+=0的一个根为1,则另一个根为( A )
A. B. C.2 D.4
解析:设另一根为x,由根与系数的关系可知1·x==,即x=.
4.若ac<0,则方程ax2+bx+c=0有 个实数解.
解析:因为ac<0,所以a≠0,方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0,
所以方程ax2+bx+c=0有2个实数解.
答案:2
备用例题
[例1] 若实数a≠b,且a,b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,则代数式+的值为( )
A.-20 B.2
C.2或-20 D.2或20
解析:由已知条件可知,a,b为方程x2-8x+5=0的两根,此时Δ>0,
所以a+b=8,ab=5.
所以+===-20.故选A.
[例2] 已知一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根x1,x2,则“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当x1=1,x2=5时,满足x1·x2>4且x1+x2>4,但得不到x1>2且x2>2.
若x1>2且x2>2,则x1·x2>4且x1+x2>4,所以“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的必要不充分条件.故选B.
[例3] 下列一元二次方程中,解集为空集的是( )
A.x2-2x=0
B.x2+4x-1=0
C.2x2-4x+3=0
D.3x2=5x-2
解析:利用判别式Δ=b2-4ac分别进行判定即可.A选项,Δ=(-2)2-4×1×0=4>0,有两个不相等的实数根,故A选项不合题意;B选项,
Δ=42-4×1×(-1)=20>0,有两个不相等的实数根,故B选项不合题意;C选项,Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,没有实数根,故C选项符合题意;D选项,Δ=(-5)2-4×3×2=1>0,有两个不相等的实数根,故D选项不合题意.故选C.
[例4] 试证明:不论m为何值,方程2x2-(4m-1)x-m2-m=0总有两个不相等的实数根.
证明:因为Δ=[-(4m-1)]2-4×2×(-m2-m)=24m2+1>0,
所以不论m为何值,方程2x2-(4m-1)x-m2-m=0总有两个不相等的实数根.
[例5] 已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立 若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(2)求使+-2的值为整数的实数k的整数值.
解:(1)假设存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立.因为一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0有两个实数根,
所以 k<0,
又x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根,
所以
所以(2x1-x2)(x1-2x2)=2(+)-5x1x2=2(x1+x2)2-9x1x2=-=- k=,
不符合k<0,所以舍去.
所以不存在实数k,使(2x1-x2)·(x1-2x2)=-成立.
(2)因为+-2=-2=-4=-4=-(k≠-1),
所以要使其值是整数,只需k+1能被4整除,
故k+1=±1,±2,±4,注意到k<0,
所以使+-2的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5.
选题明细表
知识点、方法 题号
判断一元二次方程根的情况与解方程 1,4
求参数的值(范围) 5,6,7, 9,11,12
根与系数关系的应用 2,3
综合 8,10,13,14
基础巩固
1.(多选题)下列一元二次方程中有实数根的是( ABD )
A.x2+x=2 B.x2-4x+4=0
C.2x2+=4x D.5x-1=4x2
解析:方程可化为x2+x-2=0,因为Δ=1+8=9>0,所以方程有两个不相等的实数根;
B中,因为Δ=16-16=0,所以方程有两个相等的实数根;
C中,方程可化为2x2-4x+=0,因为Δ=16-20=-4<0,所以方程没有实
数根;
D中,方程可化为4x2-5x+1=0,因为Δ=25-16=9>0,所以方程有两个不相等的实数根.
2.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根,且
x1+x2=10,x1x2=6,则该一元二次方程是( B )
A.x2+10x+6=0 B.x2-10x+6=0
C.x2-6x+5=0 D.x2-6x-5=0
解析:因为x1+x2=10,x1x2=6,所以b=-10,c=6,即x2-10x+6=0.
3.设x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根,则+的值为( C )
A. B.-
C.- D.
解析:因为x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根,则由根与系数的关系可得x1+x2=,x1·x2=-,则+===-.
4.若关于x的一元二次方程x2-4x+m+2=0有两个不相等的实数根,且
m为正整数,则此方程的解集为( C )
A.{-1,3} B.{-1,-3}
C.{1,3} D.{1,-3}
解析:因为关于x的一元二次方程x2-4x+m+2=0有两个不相等的实数根,所以Δ=(-4)2-4×1×(m+2)>0,解得m<2.
因为m为正整数,所以m=1.则方程为x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3.
5.(多选题)一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( BD )
A.a<0 B.a<-1
C.a<1 D.-3解析:一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根x1和一个负根x2,
则解得a<0,
则一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件应为(-∞,0)的真子集.
6.已知关于x的方程x2-4x+c=0的两根分别是x1,x2,且满足+=6,则实数c的值为( A )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:由题意知x1+x2=4,x1x2=c,又+==-2=6,
所以-2=6,可得c=2,满足Δ>0.
7.关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0有两个负实数根,则实数m的取值范围是 .
解析:设方程两根分别为x1,x2,则x1<0,x2<0,
所以所以0≤m<.
答案:[0,)
8.若一个一元二次方程的两根分别是方程6x2-3x-2=0的两根的平方,则该一元二次方程是 .
解析:设方程6x2-3x-2=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=,x1x2=-.
则+=(x1+x2)2-2x1x2=,
·=(x1x2)2=,
故所求的一元二次方程为x2-x+=0,即为36x2-33x+4=0.
答案:36x2-33x+4=0
能力提升
9.(多选题)若ax2+2x-1=0只有一个根,则实数a的取值可以为( BC )
A.1 B.-1 C.0 D.4
解析:因为ax2+2x-1=0只有一个根,则当a=0时,方程为2x-1=0,只有一个解x=,满足题意.当a≠0时,由Δ=4+4a=0,解得a=-1.
综上可得,a=0或a=-1.
10.商场某种商品平均每天可销售40件,每件盈利60元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.则每件商品降价 元时,商场日盈利可达到3 000元.
解析:设每件商品降价x元,由题意,可得商场日销售量增加2x件,每件商品盈利(60-x)元.此时每天售出(40+2x)件,因此(60-x)(40+2x)=
3 000,化简得x2-40x+300=0,解得x1=10,x2=30.因为该商场为了尽快减少库存,所以x=10舍去,所以x=30.
答案:30
11.已知关于x的方程x2-2kx+k2-k-1=0有两个不相等的实数根x1,
x2,则k的取值范围是 ,若x1-3x2=2,则k的值是 .
解析:由Δ=(-2k)2-4(k2-k-1)=4k+4>0,
得k>-1.
又因为
所以
因为x1·x2=k2-k-1,
所以(3k+1)(k-1)=k2-k-1,
所以k1=3,k2=-1,
因为k>-1,所以k=3.
答案:(-1,+∞) 3
12.若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1,x2,且满足x1+x2=x1·x2,求k的值.
解:因为关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1,x2,
所以x1+x2=-k,x1·x2=4k2-3,Δ=k2-4×(4k2-3)=-15k2+12,
因为x1+x2=x1·x2,所以-k=4k2-3,即4k2+k-3=0,解得k=-1或k=.
当k=-1时,Δ=-15×(-1)2+12=-3<0,
所以此时方程无实数根,不合题意,舍去.当k=时,Δ=-15×()2+
12=>0,
所以此时方程有两个不相等的实数根,所以k的值为.
13.已知关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若x1,x2满足3x1=|x2|+2,求m的值.
解:(1)因为关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2,所以Δ=(-6)2-4(m+4)=20-4m≥0,解得m≤5,所以m的取值范围为
(-∞,5].
(2)因为关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2,所以x1+x2=6,①
x1x2=m+4.②
因为3x1=|x2|+2,
当x2≥0时,有3x1=x2+2,③
联立①③解得x1=2,x2=4,
所以8=m+4,m=4;
当x2<0时,有3x1=-x2+2,④
联立①④解得x1=-2,x2=8(不合题意,舍去),
所以符合条件的m的值为4.
应用创新
14.已知整数a,b满足x1,x2是方程ax2-3x-b=0的两根,则+= .
解析:+=-2
=-2
=--2,
由
消去a并整理得17b2+30b+13=0,
解得b=-1或b=-.
又因为a,b为整数,所以b=-1,
所以a=1,所以ab=-1,
所以--2=7,
所以+=7.
答案:7
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2.1 等式
2.1.2 一元二次方程的解集及其根
与系数的关系
「学习目标」
1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集，培养数学抽象、逻辑推理、
数学运算的核心素养.
2.掌握一元二次方程的根与系数的关系，培养数学运算的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
一元二次方程
判别式
［思考3］ 利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？
B
课堂探究
素养培育
探究点一 判断一元二次方程根的个数与解方程
方法总结
判断一元二次方程根的情况
主要是根据判别式的符号，当判别式含字母时，需要讨论.
［针对训练］ 不解方程，判断下列方程的实数根的个数.
探究点二 根据根的情况求参数
C
（1）方程有两个负根；
（2）方程有一正一负两个根.
探究点三 根与系数关系的应用
「易错易混」
D
「当堂检测」
A
A.无实数根 B.有两个不等的实数根
C.有两个相等的实数根 D.不能判定
D
A
2
「备用例题」
A
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
［例3］ 下列一元二次方程中，解集为空集的是( )
C
2门世2有
3厚
2判别式A与一元二次方程的解集
△=b2-4ac的符号情况决定了方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集情况：
(1)当△=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根x1,2=
-b±Vb2-4ac
方程的解
2
集为b+vb2-4ac
-b-vb2-4ac
2a
2a
(2)当4=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=-品方程的解集为
(3)当△=b2-4ac<0时，方程没有实数根，方程的解集为
般地，△=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的
由此可知
元二次方程解集的情况完全由它的系数决定
3.一元二次方程根与系数的关系
当△=b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1=
-b+Vb2-4ac
2a
b
-b-vb2-4ac
X1+x2=-a'
0X2
则有
2a
X1X2=
拓展总结
若x1和x2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不同的实数根，则
x1-x2=
(其中△=b2-4ac),在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直
接利用上面的结论2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
选题明细表
知识点、方法 题号
判断一元二次方程根的情况与解方程 1,4
求参数的值(范围) 5,6,7, 9,11,12
根与系数关系的应用 2,3
综合 8,10,13,14
基础巩固
1.(多选题)下列一元二次方程中有实数根的是( ABD )
A.x2+x=2 B.x2-4x+4=0
C.2x2+=4x D.5x-1=4x2
解析:方程可化为x2+x-2=0,因为Δ=1+8=9>0,所以方程有两个不相等的实数根;
B中,因为Δ=16-16=0,所以方程有两个相等的实数根;
C中,方程可化为2x2-4x+=0,因为Δ=16-20=-4<0,所以方程没有实
数根;
D中,方程可化为4x2-5x+1=0,因为Δ=25-16=9>0,所以方程有两个不相等的实数根.
2.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根,且
x1+x2=10,x1x2=6,则该一元二次方程是( B )
A.x2+10x+6=0 B.x2-10x+6=0
C.x2-6x+5=0 D.x2-6x-5=0
解析:因为x1+x2=10,x1x2=6,所以b=-10,c=6,即x2-10x+6=0.
3.设x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根,则+的值为( C )
A. B.-
C.- D.
解析:因为x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根,则由根与系数的关系可得x1+x2=,x1·x2=-,则+===-.
4.若关于x的一元二次方程x2-4x+m+2=0有两个不相等的实数根,且
m为正整数,则此方程的解集为( C )
A.{-1,3} B.{-1,-3}
C.{1,3} D.{1,-3}
解析:因为关于x的一元二次方程x2-4x+m+2=0有两个不相等的实数根,所以Δ=(-4)2-4×1×(m+2)>0,解得m<2.
因为m为正整数,所以m=1.则方程为x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3.
5.(多选题)一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( BD )
A.a<0 B.a<-1
C.a<1 D.-3解析:一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根x1和一个负根x2,
则解得a<0,
则一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件应为(-∞,0)的真子集.
6.已知关于x的方程x2-4x+c=0的两根分别是x1,x2,且满足+=6,则实数c的值为( A )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:由题意知x1+x2=4,x1x2=c,又+==-2=6,
所以-2=6,可得c=2,满足Δ>0.
7.关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0有两个负实数根,则实数m的取值范围是 .
解析:设方程两根分别为x1,x2,则x1<0,x2<0,
所以所以0≤m<.
答案:[0,)
8.若一个一元二次方程的两根分别是方程6x2-3x-2=0的两根的平方,则该一元二次方程是 .
解析:设方程6x2-3x-2=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=,x1x2=-.
则+=(x1+x2)2-2x1x2=,
·=(x1x2)2=,
故所求的一元二次方程为x2-x+=0,即为36x2-33x+4=0.
答案:36x2-33x+4=0
能力提升
9.(多选题)若ax2+2x-1=0只有一个根,则实数a的取值可以为( BC )
A.1 B.-1 C.0 D.4
解析:因为ax2+2x-1=0只有一个根,则当a=0时,方程为2x-1=0,只有一个解x=,满足题意.当a≠0时,由Δ=4+4a=0,解得a=-1.
综上可得,a=0或a=-1.
10.商场某种商品平均每天可销售40件,每件盈利60元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.则每件商品降价 元时,商场日盈利可达到3 000元.
解析:设每件商品降价x元,由题意,可得商场日销售量增加2x件,每件商品盈利(60-x)元.此时每天售出(40+2x)件,因此(60-x)(40+2x)=
3 000,化简得x2-40x+300=0,解得x1=10,x2=30.因为该商场为了尽快减少库存,所以x=10舍去,所以x=30.
答案:30
11.已知关于x的方程x2-2kx+k2-k-1=0有两个不相等的实数根x1,
x2,则k的取值范围是 ,若x1-3x2=2,则k的值是 .
解析:由Δ=(-2k)2-4(k2-k-1)=4k+4>0,
得k>-1.
又因为
所以
因为x1·x2=k2-k-1,
所以(3k+1)(k-1)=k2-k-1,
所以k1=3,k2=-1,
因为k>-1,所以k=3.
答案:(-1,+∞) 3
12.若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1,x2,且满足x1+x2=x1·x2,求k的值.
解:因为关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1,x2,
所以x1+x2=-k,x1·x2=4k2-3,Δ=k2-4×(4k2-3)=-15k2+12,
因为x1+x2=x1·x2,所以-k=4k2-3,即4k2+k-3=0,解得k=-1或k=.
当k=-1时,Δ=-15×(-1)2+12=-3<0,
所以此时方程无实数根,不合题意,舍去.当k=时,Δ=-15×()2+
12=>0,
所以此时方程有两个不相等的实数根,所以k的值为.
13.已知关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若x1,x2满足3x1=|x2|+2,求m的值.
解:(1)因为关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2,所以Δ=(-6)2-4(m+4)=20-4m≥0,解得m≤5,所以m的取值范围为
(-∞,5].
(2)因为关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2,所以x1+x2=6,①
x1x2=m+4.②
因为3x1=|x2|+2,
当x2≥0时,有3x1=x2+2,③
联立①③解得x1=2,x2=4,
所以8=m+4,m=4;
当x2<0时,有3x1=-x2+2,④
联立①④解得x1=-2,x2=8(不合题意,舍去),
所以符合条件的m的值为4.
应用创新
14.已知整数a,b满足x1,x2是方程ax2-3x-b=0的两根,则+= .
解析:+=-2
=-2
=--2,
由
消去a并整理得17b2+30b+13=0,
解得b=-1或b=-.
又因为a,b为整数,所以b=-1,
所以a=1,所以ab=-1,
所以--2=7,
所以+=7.
答案:7
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