2.2.3 一元二次不等式的解法
学习目标
1.理解一元二次不等式的定义.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式,提升数学抽象、数学运算的核心素养.
2.了解简单的分式不等式,并会求其解集,培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
情境导入
学校要在长为8,宽为6的一块长方形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中阴影部分).为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半.
探究:花卉带的宽度x满足的不等式是什么
答案:花卉带的宽度x(0
×8×6,整理得x2-7x+6>0.
知识探究
1.一元二次不等式的概念
一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≤”“≥”等.
[思考1] (1)不等式x2+>0是一元二次不等式吗
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗
提示:(1)不是,一元二次不等式一定为整式不等式.
(2)不可以,若a=0,就不是二次不等式了.
2.用因式分解法解一元二次不等式
一般地,如果x10的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞).
3.用配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2k>0 k=0 k<0
(x-h)2 >k 转化为|x-h|>, 解集为(-∞,h-) ∪(h+,+∞) (-∞,h)∪ (h,+∞) R
(x-h)2 [做一做] 不等式(2x+1)(x-3)≥0的解集为( C )
A.{x|x≤-}
B.{x|-≤x≤3}
C.{x|x≤-或x≥3}
D.{x|x≥3}
4.分式不等式的解法
(1)<0 (ax+b)(cx+d)<0;
>0 (ax+b)(cx+d)>0.
(2)≤0
≥0
[思考2] 当分式右侧不为0时,怎样求解
提示:可通过移项、通分合并的手段将右侧变为0,再求解.
“三个二次”的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个相异实根 x1,x2(x1一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 (-∞,x1)∪(x2,+∞) {x|x≠-} R
一元二次不等式 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 (x1,x2)
探究点一 一元二次不等式的解法
[例1] 解下列不等式:
(1)2x2+7x+3>0;
(2)x2-4x-5≤0;
(3)-4x2+18x-≥0;
(4)x2-3x+4>0.
解:(1)因为Δ=72-4×2×3=25>0,
所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,
x2=-.
所以原不等式的解集为{x|x>-或x<-3}.
(2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0,
解得-1≤x≤5,
所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}.
(3)原不等式可化为(2x-)2≤0,
解得x=.
所以原不等式的解集为{}.
(4)x2-3x+4>0其相应方程x2-3x+4=0的判别式为Δ=(-3)2-4×4=-7<0,
所以不等式x2-3x+4>0的解集为R.
解一元二次不等式的方法
方法一:若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为两个一次因式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集;
方法二:若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大于或等于零,则不等式的解集易得;
方法三:若上述两种方法均不能解决,则采用判别式法.
[针对训练] 求下列不等式的解集.
(1)x2-5x+6≤0;
(2)-2x2+5x-3≤0;
(3)x2-6x+9>0;
(4)x2-x+<0.
解:(1)原不等式即为(x-2)(x-3)≤0,解得2≤x≤3,
故原不等式的解集为{x|2≤x≤3}.
(2)将原不等式变形为2x2-5x+3≥0,
即(2x-3)(x-1)≥0,解得x≤1或x≥,
故原不等式的解集为{x|x≤1或x≥}.
(3)将原不等式变形为(x-3)2>0,解得x≠3,故原不等式的解集为{x|x≠3}.
(4)不等式x2-x+<0,即为(x-)2<0,所以原不等式的解集为 .
探究点二 解含参数的一元二次不等式
[例2] 解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0).
解:原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0,
化简为(x+1)(ax-2)≥0.
因为a<0,所以(x+1)(x-)≤0.
当-2当a=-2时,x=-1;
当a<-2时,-1≤x≤.
综上所述,
当-2当a=-2时,解集为{x|x=-1};
当a<-2时,解集为{x|-1≤x≤}.
解含参数的一元二次不等式时
(1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论.
(2)若求对应的一元二次方程的根需用公式,则应对判别式Δ进行讨论.
(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.
[针对训练] 解关于x的不等式x2-2ax-3a2<0.
解:原不等式等价于(x-3a)(x+a)<0.
当a<0时,-a>3a,故原不等式的解集为{x|3a当a=0时,原不等式为x2<0,解集为空集.
当a>0时,-a<3a,
故原不等式的解集为{x|-a探究点三 一元二次不等式与相应方程的关系
[例3] 已知ax2+2x+c>0的解集为{x|-0.
解:由ax2+2x+c>0的解集是{x|-解得
此时,-cx2+2x-a>0,即2x2-2x-12<0,
整理得x2-x-6<0,解得-2故不等式-cx2+2x-a>0的解集为{x|-2一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的非无穷大端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
[针对训练] 已知不等式ax2+5x-2>0的解集是M.
(1)若2∈M,求a的取值范围;
(2)若M={x|0的解集.
解:(1)因为2∈M,所以a·22+5×2-2>0,所以a>-2,a的取值范围为{a|a>-2}.
(2)因为M={x|所以不等式ax2-5x+a2-1>0,
即-2x2-5x+3>0的解集为{x|-3探究点四 解简单分式不等式
[例4] 解下列不等式:(1)≥0;(2)<3.
解:(1)不等式≥0可转化成不等式组
解这个不等式组,可得x≤-1或x>3.
即原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.
(2)不等式<3可化为-3<0,
即<0.
可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,
解得-1所以原不等式的解集为{x|-1对于分子、分母均含x的不等式,若一侧为0,则可利用符号法则转化为整式不等式或不等式组求解,一定要注意等价转化,特别注意等号能否取到.若有一侧不为0,要先移项将一侧化为0,再转化为整式不等式求解,要注意不可在两边同乘分母,直接去掉分母,因为分母的符号不确定.
[针对训练] 解下列分式不等式:
(1)≤1;(2)<0.
解:(1)因为≤1,
所以-1≤0,
所以≤0,即≥0.
此不等式等价于(x-4)(x-)≥0且x-≠0,解得x<或x≥4.
所以原不等式的解集为{x|x<或x≥4}.
(2)由<0,得>0,
此不等式等价于(x+)(x-1)>0,
解得x<-或x>1,
所以原不等式的解集为{x|x<-或x>1}.
【学海拾贝】
形如ax2+bx+c>0恒成立问题的解法
[典例探究] (1)若关于x的不等式kx2+2kx-k+1>0 的解集为R,则实数k的取值范围是( )
A.(0,) B.[0,)
C.(0,1) D.[0,1)
(2)已知不等式x2+2ax+a+2<0的解集为空集,则a的取值范围是( )
A.(-1,2)
B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.(-∞,-1]∪[2,+∞)
D.[-1,2]
解析:(1)当k=0时,1>0,解集为R,满足题意;
当k≠0时,则要使不等式解集为R,需
解得0综上,实数k的取值范围是[0,).故选B.
(2)不等式x2+2ax+a+2<0的解集为空集,则不等式x2+2ax+a+2≥0的解集为R,
则Δ=4a2-4(a+2)≤0,解得-1≤a≤2.故选D.
ax2+bx+c>0恒成立的含义是指不等式的解集为R,系数a,b,c之间的关系是a>0且Δ=b2-4ac<0或a=b=0,c>0.特别地,若二次项的系数为参数,一定要考虑其等于0时,是否满足题意.
[应用探究] 已知关于x的不等式mx2+mx-1>0的解集为 ,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-4)∪(0,+∞)
B.[-4,0)
C.(-∞,-4]∪[0,+∞)
D.[-4,0]
解析:当m=0时,-1>0的解集为空集,满足题意;
当m≠0时,需
即-4≤m<0.综上可知-4≤m≤0.故选D.
当堂检测
1.(多选题)下列不等式是一元二次不等式的是( AD )
A.x2+x<-1 B.x2++1<0
C.x2++1<0 D.x2+1<0
解析:只有x2+x<-1,x2+1<0是一元二次不等式.
2.不等式x2-x-6≤0的解集是( C )
A.
B.R
C.[-2,3]
D.(-∞,-2]∪[3,+∞)
解析:方程x2-x-6=0的根为-2,3,所以不等式x2-x-6≤0的解集为{x|-2≤x≤3}.
3.不等式≥0的解集为( B )
A.[0,1]
B.(0,1]
C.(-∞,0]∪[1,+∞)
D.(-∞,0)∪[1,+∞)
解析:原不等式可化为其解集为(0,1].
4.设关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1解析:根据题意可知-1与1是方程(ax-1)(x+1)=0的两根,代入得a=1.
答案:1
备用例题
[例1] 某文具店购进一批新型台灯,每盏最低售价为15元,若按最低售价销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是( )
A.10C.15解析:由题意可知,x[30-2(x-15)]>400,则-2x2+60x-400>0,即x2-30x+200<0,
所以(x-10)(x-20)<0,即10又因为每盏最低售价为15元,
所以15≤x<20.故选B.
[例2] (多选题)已知关于x的不等式组仅有一个整数解,则k的值可能为( )
A.-5 B.-
C.π D.5
解析:由x2-2x-8>0得x>4或x<-2,解方程2x2+(2k+7)x+7k=0可得x=-k或x=-,则k≠.
当-k<-,即k>时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为(-k,-),
由题意得-5≤-k<-4,解得4当-k>-,即k<时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为(-,-k),
由题意得-3<-k≤5,解得-5≤k<3.综上,k的取值范围为[-5,3)∪(4,5].故选ABD.
[例3] 解不等式:-2解:原不等式等价于不等式组
不等式①可化为x2-3x+2>0,
解得x>2或x<1.
不等式②可化为x2-3x-10≤0,
解得-2≤x≤5.
故原不等式的解集{x|-2≤x<1或2[例4] 已知a∈R,解关于x的不等式:x2+2x+a≤0.
解:Δ=4-4a=4(1-a),
当a<1时,Δ>0,则方程x2+2x+a=0的两个根分别为x1==-1-,x2==-1+,
则由x2+2x+a≤0,
得-1-≤x≤-1+;
当a=1时,Δ=0,原不等式化为x2+2x+1=(x+1)2≤0,得x=-1;
当a>1时,Δ<0,不等式x2+2x+a≤0无解.
综上所述,当a<1时,不等式的解集为
{x|-1-≤x≤-1+};
当a=1时,不等式的解集为{x|x=-1};
当a>1时,不等式的解集为 .
选题明细表
知识点、方法 题号
解一元二次不等式及分式不等式 1,2,6,9
含参数的一元二次不等式 8
一元二次不等式与相应方程的关系 3,4,7,11
综合 5,10,12,13,14,15
基础巩固
1.不等式9x2+6x+1≤0的解集是( D )
A.{x|x≠-} B.{x|-≤x≤}
C. D.{x|x=-}
解析:因为9x2+6x+1=(3x+1)2≤0,所以3x+1=0,即9x2+6x+1≤0的解集为{x|x=-}.
2.不等式≤1的解集为( A )
A.(-∞,-2]∪(-,+∞)
B.[-2,-)
C.(-∞,-2]∪[-,+∞)
D.[-2,-]
解析:因为≤1,所以-≤0,
所以≥0,解得x>-或x≤-2,即不等式的解集是(-∞,-2]∪(-,+∞).
3.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为{x|-6A.{x|1B.{x|-1C.{x|-4D.{x|-1解析:由题意可得则b=-5,c=-6,
所以原不等式为x2-5x-6<0,解得-14.已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则关于x的不等式bx2+cx+a≤0的解集为( A )
A.[-,1]
B.(-∞,-2]∪[1,+∞)
C.[-2,1]
D.(-∞,-]∪[1,+∞)
解析:由题图可知对称轴为直线x=1,a<0,且顶点在x轴上,
所以y=ax2+bx+c=a(x-1)2=ax2-2ax+a,则b=-2a,c=a,不等式bx2+cx+
a≤0,即为-2ax2+ax+a≤0,即2x2-x-1≤0,
解得-≤x≤1.
5.不等式x2-|x|-2<0的解集是( A )
A.{x|-2B.{x|x<-2或x>2}
C.{x|-1D.{x|x<-1或x>1}
解析:令t=|x|,则原不等式可化为t2-t-2<0,即(t-2)(t+1)<0.
因为t=|x|≥0,所以t-2<0.所以0≤t<2.
所以|x|<2,解得-26.定义:闭区间[a,b]的长度为b-a.则不等式x2+2x-8≤0的解集区间长度为 ,若不等式|x-1|≤m的解集区间长度为6,则实数m的值是 .
解析:由x2+2x-8≤0,得-4≤x≤2,故解集区间长度为2-(-4)=6,
由|x-1|≤m的解集区间长度为6可得m>0,解得1-m≤x≤1+m,
所以m+1-(1-m)=6,
所以m=3.
答案:6 3
7.已知不等式x2-3x+m<0的解集为{x|a .
解析:因为不等式x2-3x+m<0的解集为{x|a所以a和b是方程x2-3x+m=0的两个根,
所以a+b=3,ab=m,
所以+===-,
所以m=-12.
答案:-12
8.已知2a+1<0,关于x的不等式x2-4ax-5a2<0的解集是 .
解析:因为方程x2-4ax-5a2=0的两个根为x1=-a,x2=5a,
又因为2a+1<0,即a<-,所以x1>x2.
故原不等式的解集为{x|5a答案:{x|5a能力提升
9.已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集是( A )
A.{x|x<-1或x>2} B.{x|-1C.{x|12}
解析:依题意,a>0,且-=1.
>0 (ax-b)(x-2)>0 (x-)(x-2)>0,即(x+1)(x-2)>0 x>2或x<-1.
10.(多选题)下列结论正确的是( AB )
A.不存在实数a使得关于x的不等式ax2+x+1≥0的解集为
B.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的充分条件是a<0且Δ=b2-4ac<0
C.若函数y=ax2+bx+c(a≠0)对应的方程没有实根,则不等式ax2+
bx+c>0的解集为R
D.不等式>1的解集为x<1
解析:当a<0且Δ=1-4a<0时,关于x的不等式ax2+x+1≥0的解集为 ,此时a∈ ,
即不存在实数a,使得关于x的不等式ax2+x+1≥0的解集为 ,A
正确;
由ax2+bx+c≤0在R上恒成立得a=b=0且c≤0或a<0且Δ=b2-
4ac≤0,
所以B正确;
若函数y=ax2+bx+c(a≠0)对应的方程没有实根,则令a<0,Δ=b2-4ac<0,
所以当a<0,Δ<0时,不等式ax2+bx+c>0的解集为 ,选项C错误;
不等式>1可化为<0,即x(x-1)<0,解得011.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-4或x≥3},则下列说法正确的是( BC )
A.a>0
B.a+b+c>0
C.不等式bx+c>0的解集为{x|x<12}
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|-解析:已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-4或x≥3},
则即b=a,c=-12a,a<0,故A错误;
a+b+c=a+a-12a=-10a>0,故B正确;
bx+c>0等价于ax-12a>0,又a<0,
所以x<12,故C正确;
cx2-bx+a<0等价于-12ax2-ax+a<0,即12x2+x-1<0,解得-12.若不等式2x>x2+a对于一切x∈{x|-2≤x≤3}恒成立,则实数a的取值范围为 .
解析:因为2x>x2+a对于一切x∈{x|-2≤x≤3}恒成立,
所以a<-x2+2x对一切x∈{x|-2≤x≤3}恒成立,
因为-x2+2x=-(x-1)2+1在x∈[-2,3]上的最小值为-8,所以a<-8.
答案:(-∞,-8)
13.已知关于x的不等式ax2+4ax-3<0.
(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-1},求a的值;
(2)若不等式的解集是R,求a的取值范围.
解:(1)当a=0时,不等式化为-3<0,解集为R,不合题意,舍去;
当a≠0时,因为一元二次不等式ax2+4ax-3<0的解集为{x|x<-3或x>-1},
所以-3,-1是相应方程ax2+4ax-3=0的两根,且a<0.
所以解得a=-1.
(2)当a=0时,不等式化为-3<0在R上恒成立,符合题意;
若a≠0,因为关于x的一元二次不等式ax2+4ax-3<0的解集为R,
所以
解得-综上,a的取值范围是(-,0].
应用创新
14.已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,写出一个满足条件的a的值 (写出一个即可).
解析:由题意36-4a>0,即a<9,方程x2-6x+a=0的两根为3-,
3+,
所以不等式的解集为{x|3-≤x≤3+},
由-≤x-3≤恰好有3个整数可知1≤<2,即1≤9-a<4,解得5答案:6,7,8中的一个即可,答案不唯一
15.已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b的值.
(2)当c∈R时,解关于x的不等式cx2-(c+b)x+ab>0.
解:(1)由于不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},所以a>0,
则ax2-3x+2=0的两个根为1和b,则有
所以
(2)将a=1,b=2代入原不等式有cx2-(c+2)x+2>0,
即(cx-2)(x-1)>0,由于c∈R,
则当c=0时,不等式化为-2x+2>0,
所以x<1,解集为(-∞,1);
当c>2时,<1,不等式的解集为(1,+∞)∪(-∞,);
当01,不等式的解集为(,+∞)∪(-∞,1);
当c<0时,<1,不等式的解集为(,1).
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2.3 一元二次不等式的解法
选题明细表
知识点、方法 题号
解一元二次不等式及分式不等式 1,2,6,9
含参数的一元二次不等式 8
一元二次不等式与相应方程的关系 3,4,7,11
综合 5,10,12,13,14,15
基础巩固
1.不等式9x2+6x+1≤0的解集是( D )
A.{x|x≠-} B.{x|-≤x≤}
C. D.{x|x=-}
解析:因为9x2+6x+1=(3x+1)2≤0,所以3x+1=0,即9x2+6x+1≤0的解集为{x|x=-}.
2.不等式≤1的解集为( A )
A.(-∞,-2]∪(-,+∞)
B.[-2,-)
C.(-∞,-2]∪[-,+∞)
D.[-2,-]
解析:因为≤1,所以-≤0,
所以≥0,解得x>-或x≤-2,即不等式的解集是(-∞,-2]∪(-,+∞).
3.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为{x|-6A.{x|1B.{x|-1C.{x|-4D.{x|-1解析:由题意可得则b=-5,c=-6,
所以原不等式为x2-5x-6<0,解得-14.已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则关于x的不等式bx2+cx+a≤0的解集为( A )
A.[-,1]
B.(-∞,-2]∪[1,+∞)
C.[-2,1]
D.(-∞,-]∪[1,+∞)
解析:由题图可知对称轴为直线x=1,a<0,且顶点在x轴上,
所以y=ax2+bx+c=a(x-1)2=ax2-2ax+a,则b=-2a,c=a,不等式bx2+cx+
a≤0,即为-2ax2+ax+a≤0,即2x2-x-1≤0,
解得-≤x≤1.
5.不等式x2-|x|-2<0的解集是( A )
A.{x|-2B.{x|x<-2或x>2}
C.{x|-1D.{x|x<-1或x>1}
解析:令t=|x|,则原不等式可化为t2-t-2<0,即(t-2)(t+1)<0.
因为t=|x|≥0,所以t-2<0.所以0≤t<2.
所以|x|<2,解得-26.定义:闭区间[a,b]的长度为b-a.则不等式x2+2x-8≤0的解集区间长度为 ,若不等式|x-1|≤m的解集区间长度为6,则实数m的值是 .
解析:由x2+2x-8≤0,得-4≤x≤2,故解集区间长度为2-(-4)=6,
由|x-1|≤m的解集区间长度为6可得m>0,解得1-m≤x≤1+m,
所以m+1-(1-m)=6,
所以m=3.
答案:6 3
7.已知不等式x2-3x+m<0的解集为{x|a .
解析:因为不等式x2-3x+m<0的解集为{x|a所以a和b是方程x2-3x+m=0的两个根,
所以a+b=3,ab=m,
所以+===-,
所以m=-12.
答案:-12
8.已知2a+1<0,关于x的不等式x2-4ax-5a2<0的解集是 .
解析:因为方程x2-4ax-5a2=0的两个根为x1=-a,x2=5a,
又因为2a+1<0,即a<-,所以x1>x2.
故原不等式的解集为{x|5a答案:{x|5a能力提升
9.已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集是( A )
A.{x|x<-1或x>2} B.{x|-1C.{x|12}
解析:依题意,a>0,且-=1.
>0 (ax-b)(x-2)>0 (x-)(x-2)>0,即(x+1)(x-2)>0 x>2或x<-1.
10.(多选题)下列结论正确的是( AB )
A.不存在实数a使得关于x的不等式ax2+x+1≥0的解集为
B.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的充分条件是a<0且Δ=b2-4ac<0
C.若函数y=ax2+bx+c(a≠0)对应的方程没有实根,则不等式ax2+
bx+c>0的解集为R
D.不等式>1的解集为x<1
解析:当a<0且Δ=1-4a<0时,关于x的不等式ax2+x+1≥0的解集为 ,此时a∈ ,
即不存在实数a,使得关于x的不等式ax2+x+1≥0的解集为 ,A
正确;
由ax2+bx+c≤0在R上恒成立得a=b=0且c≤0或a<0且Δ=b2-
4ac≤0,
所以B正确;
若函数y=ax2+bx+c(a≠0)对应的方程没有实根,则令a<0,Δ=b2-4ac<0,
所以当a<0,Δ<0时,不等式ax2+bx+c>0的解集为 ,选项C错误;
不等式>1可化为<0,即x(x-1)<0,解得011.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-4或x≥3},则下列说法正确的是( BC )
A.a>0
B.a+b+c>0
C.不等式bx+c>0的解集为{x|x<12}
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|-解析:已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-4或x≥3},
则即b=a,c=-12a,a<0,故A错误;
a+b+c=a+a-12a=-10a>0,故B正确;
bx+c>0等价于ax-12a>0,又a<0,
所以x<12,故C正确;
cx2-bx+a<0等价于-12ax2-ax+a<0,即12x2+x-1<0,解得-12.若不等式2x>x2+a对于一切x∈{x|-2≤x≤3}恒成立,则实数a的取值范围为 .
解析:因为2x>x2+a对于一切x∈{x|-2≤x≤3}恒成立,
所以a<-x2+2x对一切x∈{x|-2≤x≤3}恒成立,
因为-x2+2x=-(x-1)2+1在x∈[-2,3]上的最小值为-8,所以a<-8.
答案:(-∞,-8)
13.已知关于x的不等式ax2+4ax-3<0.
(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-1},求a的值;
(2)若不等式的解集是R,求a的取值范围.
解:(1)当a=0时,不等式化为-3<0,解集为R,不合题意,舍去;
当a≠0时,因为一元二次不等式ax2+4ax-3<0的解集为{x|x<-3或x>-1},
所以-3,-1是相应方程ax2+4ax-3=0的两根,且a<0.
所以解得a=-1.
(2)当a=0时,不等式化为-3<0在R上恒成立,符合题意;
若a≠0,因为关于x的一元二次不等式ax2+4ax-3<0的解集为R,
所以
解得-综上,a的取值范围是(-,0].
应用创新
14.已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,写出一个满足条件的a的值 (写出一个即可).
解析:由题意36-4a>0,即a<9,方程x2-6x+a=0的两根为3-,
3+,
所以不等式的解集为{x|3-≤x≤3+},
由-≤x-3≤恰好有3个整数可知1≤<2,即1≤9-a<4,解得5答案:6,7,8中的一个即可,答案不唯一
15.已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b的值.
(2)当c∈R时,解关于x的不等式cx2-(c+b)x+ab>0.
解:(1)由于不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},所以a>0,
则ax2-3x+2=0的两个根为1和b,则有
所以
(2)将a=1,b=2代入原不等式有cx2-(c+2)x+2>0,
即(cx-2)(x-1)>0,由于c∈R,
则当c=0时,不等式化为-2x+2>0,
所以x<1,解集为(-∞,1);
当c>2时,<1,不等式的解集为(1,+∞)∪(-∞,);
当01,不等式的解集为(,+∞)∪(-∞,1);
当c<0时,<1,不等式的解集为(,1).
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共38张PPT)
2.2 不等式
2.2.3 一元二次不等式的解法
「学习目标」
1.理解一元二次不等式的定义.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式，提升数
学抽象、数学运算的核心素养.
2.了解简单的分式不等式，并会求其解集，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
知识梳理
自主探究
「情境导入」
学校要在长为8，宽为6的一块长方形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的
宽度相同，中间种植草坪（图中阴影部分）.为了美观，现要求草坪的种植面积超过总
面积的一半.
「知识探究」
一元二次不等式
提示:不是，一元二次不等式一定为整式不等式.
C
［思考2］ 当分式右侧不为0时，怎样求解？
提示:可通过移项、通分合并的手段将右侧变为0,再求解.
拓展总结
“三个二次”的关系
____________________________ ___________________________ _______________________
没有实数根
续表
课堂探究
素养培育
探究点一 一元二次不等式的解法
［例1］ 解下列不等式：
方法总结
解一元二次不等式的方法
方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘
积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集；
方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式
始终大于或等于零，则不等式的解集易得；
方法三：若上述两种方法均不能解决，则采用判别式法.
［针对训练］ 求下列不等式的解集.
探究点二 解含参数的一元二次不等式
探究点三 一元二次不等式与相应方程的关系
探究点四 解简单分式不等式
［例4］ 解下列不等式：
［针对训练］ 解下列分式不等式：
【学海拾贝】
B
D
D
「当堂检测」
1.（多选题）下列不等式是一元二次不等式的是( )
AD
C
B
1
「备用例题」
B
ABD