第二课时 函数的表示方法
学习目标
1.掌握函数的三种表示方法.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.培养直观想象、数学运算的核心素养.
2.理解分段函数的概念,会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.培养数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养.
3.能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系,并能解决有关问题.培养数学建模的核心素养.
知识探究
1.函数的三种表示方法
表示法 定义
列表法 通过列出自变量与对应函数值来表示两个变量之间的对应关系
图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系
解析法 用代数式或解析式表示两个变量之间的对应关系
[思考1] 所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗 为
什么
提示:并不是所有的函数都能用解析式表示.事实上,图象法也不适用于所有函数,如D(x)=列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段.
2.分段函数
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.
[思考2] 分段函数的三要素是什么
提示:分段函数的三要素:
①定义域:每一段上x的取值范围的并集.
②值域:所有函数值组成的集合.
③对应关系:在每一段上的对应关系不同.
[思考3] 如何理解取整函数与常数函数
提示:
函数 代表形式 定义域 值域
(高斯)取整函数 f(x)=[x] R Z
常数函数 f(x)=C R C(常数)
3.函数的图象
函数的图象能直观地反映出函数的一些性质,因此,解答函数问题时常常借助于图象.
[思考4] 作函数图象一般有哪些步骤 需要注意哪些问题
提示:函数图象的一般步骤:列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.
(1)函数三种表示方法的优缺点
表示方法
列表法 图象法 解析法
优点 具体,易用,不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 能直观、形象地表示函数的变化情况 一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值
缺点 不够全面,只能表示自变量取较少的有限值的对应关系 只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,且有时误差较大 不够直观、形象、具体,而且并不是所有的函数都能用解析式表达出来
(2)函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意关键点,如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些关键点是实心点还是空心圆圈.
探究点一 函数的表示方法
[例1] 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示
出来.
解:①列表法:
x∕台 1 2 3 4 5
y∕元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x∕台 6 7 8 9 10
y∕元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
②图象法:如图所示.
③解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}.
(1)函数的三种表示法的选择
采用解析法和图象法的前提是函数的变化规律清晰,采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少.
(2)在用三种方法表示函数时要注意的问题
①解析法必须注明函数的定义域.
②列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系.
③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”.
[针对训练] (1)某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.图中纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合该学生走法的是( )
(2)已知函数f(x),g(x)分别由表给出.
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为 ;当g(f(x))=2时,x= .
解析:(1)由题意可知,一开始速度较快,后来速度变慢,所以开始曲线比较陡峭,后来曲线比较平缓,又纵轴表示离校的距离,所以开始时距离最大,最后距离为0.故选D.
(2)由于函数关系是用表格形式给出的,知g(1)=3,所以f(g(1))=
f(3)=1.由于g(2)=2,所以f(x)=2,所以x=1.
答案:(1)D (2)1 1
探究点二 求函数解析式
[例2] (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);
(2)已知f(x+)=x2+,求f(x);
(3)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;
(4)已知函数y=f(x)满足f(x)=2f()+x,求f(x)的解析式.
解:(1)换元法:令x+1=t,则x=t-1,
将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,
得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,
所以f(x)=x2-5x+6.
(2)配凑法:f(x+)=x2+=(x+)2-2,
所以f(x)=x2-2(x≤-2或x≥2).
(3)待定系数法:设所求的二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
因为f(0)=1,
所以c=1,则f(x)=ax2+bx+1.
又因为f(x+1)-f(x)=2x对任意x∈R成立,
所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,
由恒等式性质,得
所以
所以所求二次函数的解析式为f(x)=x2-x+1.
(4)方程组法:因为f(x)=2f()+x,①
所以将x换成,得f()=2f(x)+.②
由①②消去f(),得f(x)=--,
即f(x)=-(x≠0).
求函数解析式的方法
(1)已知f(g(x))=h(x),求f(x),常用的有两种方法:
①换元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一个含t的解析式,即函数解析式,注意换元后新元的范围;
②配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
(2)待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.
(3)方程组法:当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解.
(4)赋值法:依题目的特征,能够由特殊到一般寻找普遍规律,可将变量取特殊值,从而找出一般规律,求出函数解析式.
[针对训练] (1)已知f()=+,则f(x)= ;
(2)已知函数y=f(x)是一次函数,且[f(x)]2-3f(x)=4x2-10x+4,则f(x)= ;
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,则f(x)=
.
解析:(1)法一 (换元法)令t==+1,
则x=(t≠1),
把x=代入f()=+,得
f(t)=+=(t-1)2+1+t-1=t2-t+1.
所以所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1(x≠1).
法二 (配凑法)因为f()=+=()2-=()2-+1,
所以f(x)=x2-x+1.
又因为=+1≠1,
所以所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1(x≠1).
(2)设f(x)=kx+b(k≠0),
则[f(x)]2-3f(x)=(kx+b)2-3(kx+b)
=k2x2+(2kb-3k)x+b2-3b=4x2-10x+4,
所以
解得k=-2,b=4或k=2,b=-1,
故f(x)=-2x+4或f(x)=2x-1.
(3)由题意,在f(x)-2f(-x)=1+2x中,
以-x代x可得f(-x)-2f(x)=1-2x,
联立可得
消去f(-x)可得f(x)=x-1.
答案:(1)x2-x+1(x≠1)
(2)-2x+4或2x-1
(3)x-1
探究点三 分段函数
[例3] 已知函数f(x)=
(1)求f(f(f(-3)))的值;
(2)画出函数f(x)的图象;
(3)求函数f(x)的值域.
解:(1)因为-3<1,
所以f(-3)=-(-3)+2=5,又5>3,
所以f(f(-3))=f(5)=5-2=3,
故f(f(f(-3)))=f(3)=-32+4×3-2=1.
(2)函数的图象如图所示.
(3)由函数y=f(x)的图象可得y≥1,
所以函数y=f(x)的值域为{y|y≥1}.
[变式探究] 本例中条件不变,若f(a)=4,求a的值.
解:①当a<1时,由-a+2=4,得a=-2.
②当1≤a≤3时,由-a2+4a-2=4,得a2-4a+6=0,此方程无解.
③当a>3时,由a-2=4,得a=6.
综上所述,a的取值为-2或6.
(1)求分段函数的函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一段区间.
②代入该段的解析式求值.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)已知函数值求字母取值的步骤
①对字母的取值范围分类讨论.
②代入不同的解析式中.
③通过解方程求出字母的值.
④检验所求的值是否在所讨论的区间内.
探究点四 函数的图象及其应用
[例4] 画出下列函数的大致图象:
(1)y=;(2)y=|x2-1|.
解:(1)因为y==2-,所以可先作出函数y=-的大致图象,把图象向左平移1个单位长度得到y=-的图象,再把所得图象向上平移2个单位长度就得到了函数y=的图象,如图①所示.
(2)先作出y=x2-1的大致图象,保留它在x轴及其上方的部分,再把它在x轴下方的部分沿x轴对称翻折到x轴上方,所得的图象就是函数y=|x2-1|的图象,如图②所示.
函数图象的三种变换
(1)函数图象的平移变换
左加右减:函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y=f(x+a)的图象.
上加下减:函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y=f(x)+b的图象.
例如,函数f(x)=x2,分别作出y=f(x+1),y=f(x-1),y=f(x)+1,y=
f(x)-1的图象如图所示.
(2)函数图象的对称变换
①y=f(x)y=-f(x);
②y=f(x)y=f(-x);
③y=f(x)y=-f(-x).
例如,f(x)=(x>0),分别作出y=-f(x),y=f(-x),y=-f(-x)的图象如图所示.
(3)函数图象的翻折变换
①y=f(x)y=|f(x)|;
②y=f(x)y=f(|x|).
例如,已知函数y=f(x)=x2-2x-3,分别作出函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象如图所示.
y=|f(x)|的图象为保留y=f(x)图象在x轴上方的部分,把x轴下方的部分沿x轴翻折上去.
y=f(|x|)的图象为保留y=f(x)图象在y轴右侧的部分,把y轴右侧的图象翻折到y轴左侧.
[针对训练] 函数y=-的大致图象是( )
解析:函数y=-的图象是由函数y=-的图象向左平移1个单位长度得到的,而函数y=-的图象在第二、第四象限,结合所给的四个图象只有B符合.故选B.
【学海拾贝】
易错辨析——忽视新元的取值范围而致误
[典例] 已知f(x2+1)=x2+,求f(x)的解析式.
解:设t=x2+1,所以t≥1,所以x2=t-1,所以f(t)=t-1+,所以f(x)=x+-1(x≥1).
此题用换元法或配凑法求出f(x)后,忽视新元t的取值范围(t≥1)而导致错误.利用换元法求解问题时一定要注意引入新元的取值范围,以防出错.
[防错再练] 已知f(+1)=x+2,求f(x).
解:设t=+1(t≥1),则=t-1,
因此f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1.
即f(x)=x2-1(x≥1).
当堂检测
1.已知函数f(x)=则下列函数图象正确的是( A )
解析:当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C,D错误;当x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错误.
2.已知函数f(x)=则f(f())的值为( B )
A. B. C. D.-
解析:因为已知函数f(x)=
所以f()=-+3=.
f(f())=f()=+1=.
3.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8,则f(x)的解析式是 .
解析:f(3x+2)=9x+8,设t=3x+2则x=,代入得到f(t)=3t+2.故f(x)的解析式是f(x)=3x+2.
答案:f(x)=3x+2
4.函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域是 ,值域是 .
解析:由图象知函数的定义域为[-1,2),值域为(-1,1].
答案:[-1,2) (-1,1]
备用例题
[例1] 设函数f(x)=则满足f(x-1)<的x的取值范围为( )
A.(-∞,)
B.(-∞,-)∪(0,)
C.(-∞,)∪(1,)
D.(-∞,)∪(2,)
解析:因为f(x)=
当x-1>0,即x>1时,不等式f(x-1)<可化为(x-1)2<,解得当x-1≤0,即x≤1时,不等式f(x-1)<可化为x-1+1<,即x<,则x<.
综上,满足f(x-1)<的x的取值范围为(-∞,)∪(1,).故选C.
[例2] 作出下列函数图象,并说明(2),(3),(4)的图象与(1)的图象的关系:
(1)y=x2-4x;(2)y=x2-4|x|;(3)y=|x2-4x|;(4)y=|x2-4x|-1.
解:(1)作出图象如图①.
(2)y=作出图象如图②.
(3)y=作出图象如图③.
(4)y=作出图象如图④.
(2)的图象是由(1)的图象在y轴右边部分(原左边部分去掉),作关于y轴对称图象而得到;(3)的图象是将(1)的图象在x轴下方部分翻折到上方而得到(原下方部分去掉);(4)的图象是将(3)的图象向下平移1个单位而得到.
[例3] 在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P,从点B开始,沿折线BCDA向点A运动(如图),设点P移动的距离为x,△ABP的面积为y,求函数y=f(x)及其定义域.
解:当点P在线段BC上时,
即0当点P在线段CD上时,
即4当点P在线段DA上时,
即8所以y=f(x)=
且f(x)的定义域是(0,12).
[例4]已知函数f(x)=-x2+2,g(x)=x,令(x)=min{f(x),g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者).
(1)分别用图象法和解析式表示(x);
(2)求函数(x)的定义域和值域.
解:(1)在同一个平面直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象,如图①.
由图①中函数取值的情况,结合函数(x)的定义,可得函数(x)的图象,如图②.
令-x2+2=x得x=-2或x=1.
结合图②,得出(x)的解析式为
(x)=
(2)由图②知,(x)的定义域为R,(1)=1,
所以(x)的值域为(-∞,1].
选题明细表
知识点、方法 题号
函数的表示法,求函数解析式 1,2,3,4,7,8
分段函数 5,6,9,10,12,13
函数表示综合 11,13,14,15
基础巩固
1.下列图象是函数y=x|x|的图象的是( D )
解析:y=x|x|=
2.设f(x)=2x+3,g(x)=f(x-2),则g(x)等于( B )
A.2x+1 B.2x-1
C.2x-3 D.2x+7
解析:g(x)=f(x-2)=2(x-2)+3=2x-1.
3.给出函数f(x),g(x)如表,则f(g(x))的值域为( A )
x 1 2 3 4
f(x) 4 3 2 1
x 1 2 3 4
g(x) 1 1 3 3
A.{2,4}
B.{1,3}
C.{1,2,3,4}
D.以上情况都有可能
解析:因为当x=1或x=2时,g(1)=g(2)=1,
所以f(g(1))=f(g(2))=f(1)=4;
当x=3或x=4时,g(3)=g(4)=3,
所以f(g(3))=f(g(4))=f(3)=2.
故f(g(x))的值域为{2,4}.
4.若f(1-2x)=(x≠0),那么f()等于( C )
A.1 B.3 C.15 D.30
解析:令1-2x=,则x=,
因为f(1-2x)=(x≠0),
所以f()==15.
5.设函数f(x)=若f(a)=a,则实数a的值为( B )
A.±1 B.-1
C.-2或-1 D.±1或-2
解析:当a≥0时,有a-1=a,解得a=-2(不满足条件,舍去);当a<0时,有=a,解得a=1(不满足条件,舍去)或a=-1,所以实数a的值是-1.
6.函数f(x)=则f(f(f(-2)))= .
解析:因为-2<-1,
所以f(-2)=2×(-2)+3=-1,
又-1≤-1≤1,
所以f(f(-2))=f(-1)=(-1)2=1,
又因为-1≤1≤1,
所以f(f(f(-2)))=f(1)=12=1.
答案:1
7.若函数y=f(x)对任意x∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),试写出满足此性质的一个函数解析式为 (写出一个即可).
解析:若f(x)=kx,则f(x+y)=k(x+y),f(x)+f(y)=kx+ky=k(x+y),所以f(x+y)=k(x+y).
答案:f(x)=2x(答案不唯一)
8.已知函数f(x)的图象是如图所示的曲线段OAB,其中O(0,0),
A(1,2),B(3,1),则f()= ,函数g(x)=f(x)-的图象与x轴交点的个数为 .
解析:由题得f(3)=1,所以f()=f(1)=2.
令g(x)=f(x)-=0,
所以f(x)=,观察函数f(x)的图象可以得到f(x)=有两个解,
所以g(x)=f(x)-的图象与x轴交点的个数为2.
答案:2 2
能力提升
9.(多选题)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是( BD )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(-∞,4)
C.f(x)<1的解集为(-1,1)
D.若f(x)=3,则x的值是
解析:由题意可知,函数f(x)的定义域为(-∞,2),所以选项A错误;
画出函数f(x)的图象,如图所示,由图可知函数f(x)的值域为
(-∞,4),所以选项B正确;由函数f(x)的图象可知,当f(x)=1时,x=
-1或1,所以f(x)<1时,x<1且x≠-1,即f(x)<1的解集为
(-∞,-1)∪(-1,1),所以选项C错误;
由函数f(x)的图象可知,只有当13得x2=3,解得x=,所以选项D正确.
10.某城市出租车按如下方法收费:起步价6元,可行3 km(含3 km),
3 km后到10 km(含10 km)每多走1 km(不足1 km按1 km计)加价1.5元,10 km后每多走1 km加价2.3元,某人坐出租车走了13 km,他应付费 元.
解析:设某人坐出租车走了x km,应付费y元,
当0当3则y=6+1.5(x-3)=1.5x+1.5;
当x>10时,
则y=6+1.5×(10-3)+2.3(x-10)=2.3x-6.5,
因为x=13>10,所以y=2.3×13-6.5=23.4.
答案:23.4
11.高斯是德国著名的数学家,用其名字命名的“高斯函数”为y=
[x],其中[x]表示不超过x的最大整数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)=|x-1|(3-[x]),x∈[0,2),若f(x)=,则x= ,不等式f(x)≤x的解集为 .
解析:由题意,得f(x)=
当0≤x<1时,3-3x=,即x=;
当1≤x<2时,2x-2=,即x=(舍去).
综上,x=.
当0≤x<1时,3-3x≤x,即≤x<1,
当1≤x<2时,2x-2≤x,即1≤x<2.
综上,≤x<2.
答案: [,2)
12.已知函数f(x)=
(1)若f(a)=6,求实数a的值;
(2)请画出函数的图象并写出函数f(x)在区间[-2,2]上的值域.
解:(1)当a≥0时,f(a)=a2+a=6,解得a=2,
当a<0时,f(a)=2-a=6,解得a=-4,
综上,a=2或a=-4.
(2)作出函数f(x)=的图象如图所示.
因为f(0)=0,f(2)=22+2=6,f(-2)=2-(-2)=4,
所以由图象知函数f(x)的值域为[0,6].
13.在①f(x+1)=f(x)+2x-1,②f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,③f(x)≥2恒成立,且f(0)=3这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.
问题:已知二次函数f(x)的图象经过点(1,2), .
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[-1,4]上的值域.
解:(1)若选择①:
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c,
因为f(x+1)=f(x)+2x-1,
即ax2+(2a+b)x+a+b+c=ax2+(b+2)x+c-1,
所以
解得a=1,b=-2;
又因为二次函数f(x)的图象经过点(1,2),
可得a+b+c=2,
所以c=3.
故得f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+3.
若选择②:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(0)=3,可得c=3.
因为f(x+1)=f(1-x),
所以a(x+1)2+b(x+1)+c=a(1-x)2+b(1-x)+c,
即ax2+(2a+b)x+a+b+c=ax2-(2a+b)x+a+b+c,
所以2a+b=0,二次函数f(x)的图象经过点(1,2),可得a+b+c=2,
解得a=1,b=-2,
故得f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+3.
若选择③:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(0)=3,可得c=3.
因为f(x)≥2恒成立,二次函数f(x)的图象经过点(1,2),
所以a>0,且(1,2)为顶点,则f(1)=2,-=1,
解得a=1,b=-2,
故得f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+3.
(2)根据(1)可知f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,
因为-1≤x≤4,所以-2≤x-1≤3,
所以0≤(x-1)2≤9,
所以2≤(x-1)2+2≤11.
所以f(x)在[-1,4]上的值域为[2,11].
应用创新
14.已知函数f(x)=若f(x)在区间[a,b]上的值域为[-1,2],则a+b的一个可能的值为 .
解析:f(x)的图象如图,
因为f(x)在区间[a,b]上的值域为[-1,2],
由图可知0≤a≤4,b=7,
所以7≤a+b≤11,所以a+b的一个可能的取值为7.
答案:7([7,11]内的任何一个数均可)
15.设集合A=[0,),B=[,1],函数f(x)=已知m∈A,且f(f(m))∈A,则实数m的取值范围是 .
解析:因为m∈A,所以0≤m<,
f(m)=m+∈[,1),
所以f(f(m))=2-2(m+)=1-2m.
因为f(f(m))∈A,所以0≤1-2m<,
所以因为0≤m<,所以答案:(,)
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选题明细表
知识点、方法 题号
函数的表示法,求函数解析式 1,2,3,4,7,8
分段函数 5,6,9,10,12,13
函数表示综合 11,13,14,15
基础巩固
1.下列图象是函数y=x|x|的图象的是( D )
解析:y=x|x|=
2.设f(x)=2x+3,g(x)=f(x-2),则g(x)等于( B )
A.2x+1 B.2x-1
C.2x-3 D.2x+7
解析:g(x)=f(x-2)=2(x-2)+3=2x-1.
3.给出函数f(x),g(x)如表,则f(g(x))的值域为( A )
x 1 2 3 4
f(x) 4 3 2 1
x 1 2 3 4
g(x) 1 1 3 3
A.{2,4}
B.{1,3}
C.{1,2,3,4}
D.以上情况都有可能
解析:因为当x=1或x=2时,g(1)=g(2)=1,
所以f(g(1))=f(g(2))=f(1)=4;
当x=3或x=4时,g(3)=g(4)=3,
所以f(g(3))=f(g(4))=f(3)=2.
故f(g(x))的值域为{2,4}.
4.若f(1-2x)=(x≠0),那么f()等于( C )
A.1 B.3 C.15 D.30
解析:令1-2x=,则x=,
因为f(1-2x)=(x≠0),
所以f()==15.
5.设函数f(x)=若f(a)=a,则实数a的值为( B )
A.±1 B.-1
C.-2或-1 D.±1或-2
解析:当a≥0时,有a-1=a,解得a=-2(不满足条件,舍去);当a<0时,有=a,解得a=1(不满足条件,舍去)或a=-1,所以实数a的值是-1.
6.函数f(x)=则f(f(f(-2)))= .
解析:因为-2<-1,
所以f(-2)=2×(-2)+3=-1,
又-1≤-1≤1,
所以f(f(-2))=f(-1)=(-1)2=1,
又因为-1≤1≤1,
所以f(f(f(-2)))=f(1)=12=1.
答案:1
7.若函数y=f(x)对任意x∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),试写出满足此性质的一个函数解析式为 (写出一个即可).
解析:若f(x)=kx,则f(x+y)=k(x+y),f(x)+f(y)=kx+ky=k(x+y),所以f(x+y)=k(x+y).
答案:f(x)=2x(答案不唯一)
8.已知函数f(x)的图象是如图所示的曲线段OAB,其中O(0,0),
A(1,2),B(3,1),则f()= ,函数g(x)=f(x)-的图象与x轴交点的个数为 .
解析:由题得f(3)=1,所以f()=f(1)=2.
令g(x)=f(x)-=0,
所以f(x)=,观察函数f(x)的图象可以得到f(x)=有两个解,
所以g(x)=f(x)-的图象与x轴交点的个数为2.
答案:2 2
能力提升
9.(多选题)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是( BD )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(-∞,4)
C.f(x)<1的解集为(-1,1)
D.若f(x)=3,则x的值是
解析:由题意可知,函数f(x)的定义域为(-∞,2),所以选项A错误;
画出函数f(x)的图象,如图所示,由图可知函数f(x)的值域为
(-∞,4),所以选项B正确;由函数f(x)的图象可知,当f(x)=1时,x=
-1或1,所以f(x)<1时,x<1且x≠-1,即f(x)<1的解集为
(-∞,-1)∪(-1,1),所以选项C错误;
由函数f(x)的图象可知,只有当13得x2=3,解得x=,所以选项D正确.
10.某城市出租车按如下方法收费:起步价6元,可行3 km(含3 km),
3 km后到10 km(含10 km)每多走1 km(不足1 km按1 km计)加价1.5元,10 km后每多走1 km加价2.3元,某人坐出租车走了13 km,他应付费 元.
解析:设某人坐出租车走了x km,应付费y元,
当0当3则y=6+1.5(x-3)=1.5x+1.5;
当x>10时,
则y=6+1.5×(10-3)+2.3(x-10)=2.3x-6.5,
因为x=13>10,所以y=2.3×13-6.5=23.4.
答案:23.4
11.高斯是德国著名的数学家,用其名字命名的“高斯函数”为y=
[x],其中[x]表示不超过x的最大整数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)=|x-1|(3-[x]),x∈[0,2),若f(x)=,则x= ,不等式f(x)≤x的解集为 .
解析:由题意,得f(x)=
当0≤x<1时,3-3x=,即x=;
当1≤x<2时,2x-2=,即x=(舍去).
综上,x=.
当0≤x<1时,3-3x≤x,即≤x<1,
当1≤x<2时,2x-2≤x,即1≤x<2.
综上,≤x<2.
答案: [,2)
12.已知函数f(x)=
(1)若f(a)=6,求实数a的值;
(2)请画出函数的图象并写出函数f(x)在区间[-2,2]上的值域.
解:(1)当a≥0时,f(a)=a2+a=6,解得a=2,
当a<0时,f(a)=2-a=6,解得a=-4,
综上,a=2或a=-4.
(2)作出函数f(x)=的图象如图所示.
因为f(0)=0,f(2)=22+2=6,f(-2)=2-(-2)=4,
所以由图象知函数f(x)的值域为[0,6].
13.在①f(x+1)=f(x)+2x-1,②f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,③f(x)≥2恒成立,且f(0)=3这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.
问题:已知二次函数f(x)的图象经过点(1,2), .
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[-1,4]上的值域.
解:(1)若选择①:
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c,
因为f(x+1)=f(x)+2x-1,
即ax2+(2a+b)x+a+b+c=ax2+(b+2)x+c-1,
所以
解得a=1,b=-2;
又因为二次函数f(x)的图象经过点(1,2),
可得a+b+c=2,
所以c=3.
故得f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+3.
若选择②:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(0)=3,可得c=3.
因为f(x+1)=f(1-x),
所以a(x+1)2+b(x+1)+c=a(1-x)2+b(1-x)+c,
即ax2+(2a+b)x+a+b+c=ax2-(2a+b)x+a+b+c,
所以2a+b=0,二次函数f(x)的图象经过点(1,2),可得a+b+c=2,
解得a=1,b=-2,
故得f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+3.
若选择③:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(0)=3,可得c=3.
因为f(x)≥2恒成立,二次函数f(x)的图象经过点(1,2),
所以a>0,且(1,2)为顶点,则f(1)=2,-=1,
解得a=1,b=-2,
故得f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+3.
(2)根据(1)可知f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,
因为-1≤x≤4,所以-2≤x-1≤3,
所以0≤(x-1)2≤9,
所以2≤(x-1)2+2≤11.
所以f(x)在[-1,4]上的值域为[2,11].
应用创新
14.已知函数f(x)=若f(x)在区间[a,b]上的值域为[-1,2],则a+b的一个可能的值为 .
解析:f(x)的图象如图,
因为f(x)在区间[a,b]上的值域为[-1,2],
由图可知0≤a≤4,b=7,
所以7≤a+b≤11,所以a+b的一个可能的取值为7.
答案:7([7,11]内的任何一个数均可)
15.设集合A=[0,),B=[,1],函数f(x)=已知m∈A,且f(f(m))∈A,则实数m的取值范围是 .
解析:因为m∈A,所以0≤m<,
f(m)=m+∈[,1),
所以f(f(m))=2-2(m+)=1-2m.
因为f(f(m))∈A,所以0≤1-2m<,
所以因为0≤m<,所以答案:(,)
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3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第二课时 函数的表示方法
「学习目标」
1.掌握函数的三种表示方法.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.培养直观想象、
数学运算的核心素养.
2.理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象.培养数学抽象、
数学运算、直观想象的核心素养.
3.能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系，并能解决有关问题.培养
数学建模的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
1.函数的三种表示方法
表示法 定义
列表法 ____________________________来表示两个变量之间的对应关系
图象法 用______表示两个变量之间的对应关系
解析法 用________________表示两个变量之间的对应关系
通过列出自变量与对应函数值
图象
代数式或解析式
［思考1］ 所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗？为什么？
2.分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的__________，则
称其为分段函数.
对应方式
［思考2］ 分段函数的三要素是什么？
［思考3］ 如何理解取整函数与常数函数？
提示:
函数 代表形式 定义域 值域
（高斯）取整函数
常数函数
3.函数的图象
函数的图象能直观地反映出函数的一些性质，因此，解答函数问题时常常借助于图象.
［思考4］ 作函数图象一般有哪些步骤？需要注意哪些问题？
提示:函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，
再在定义域内化简函数解析式，最后列表画出图象.
拓展总结
（1）函数三种表示方法的优缺点
表示方法
列表法 图象法 解析法
优
点 具体，易用，不需要计算
就可以直接看出与自变量
的值相对应的函数值 能直观、形象地表示
函数的变化情况 一是简明、全面地概括了变量间
的关系；二是可以通过解析式求
出任意一个自变量的值所对应的
函数值
缺
点 不够直观、形象、具体，
而且并不是所有的函数都
能用解析式表达出来 只能近似地求出自变
量的值所对应的函数
值，且有时误差较大 不够全面，只能表示自变量取较
少的有限值的对应关系
（2）函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，
如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等，还要分清这些关键点是实心点
还是空心圆圈.
课堂探究
素养培育
探究点一 函数的表示方法
解:①列表法：
1 2 3 4 5
3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
6 7 8 9 10
18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
②图象法：如图所示.
方法总结
（1）函数的三种表示法的选择
采用解析法和图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变
量的个数较少.
（2）在用三种方法表示函数时要注意的问题
①解析法必须注明函数的定义域.
②列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系.
③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”.
［针对训练］ （1）某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.图
中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来
曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.故选D.
1 2 3
2 1 1
1 2 3
3 2 1
1
1
探究点二 求函数解析式
探究点三 分段函数
解：函数的图象如图所示.
探究点四 函数的图象及其应用
［例4］ 画出下列函数的大致图象：
方法总结
函数图象的三种变换
B
A B C D
【学海拾贝】
易错辨析——忽视新元的取值范围而致误
「当堂检测」
A
A. B. C. D.
B
「备用例题」
C
［例2］ 作出下列函数图象,并说明（2）,（3）,（4）的图象与（1）的图象的关系:
解:作出图象如图①.
