(共35张PPT)
2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
「学习目标」
1.理解算术平均值与几何平均值的概念，达成数学抽象的核心素养.
2.掌握均值不等式,明确均值不等式成立的条件,达成数学运算的核心素养.
3.会用均值不等式证明不等式、比较大小，培养逻辑推理的核心素养.
4.会用均值不等式求解实际应用题，培养数学建模的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
算术平均值
几何平均值
不小于
课堂探究
素养培育
探究点一 利用均值不等式求最值
D
16
探究点二 利用均值不等式证明不等式
方法总结
（1）利用均值不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过
将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果.
（2）注意多次运用均值不等式时等号能否取到.
探究点三 均值不等式的实际应用
方法总结
在应用均值不等式解决实际问题时，应把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
在自变量有意义的前提下，求出函数的最大值或最小值，根据实际背景写出答案.
［针对训练］ 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有
的墙，其他各面用钢筋网围成.
【学海拾贝】
均值不等式在恒成立（有解）问题中的应用
AD
B
「当堂检测」
1.下列命题正确的是( )
D
C
2
「备用例题」
B
A.3 B.4 C.5 D.6
C
62.2.4 均值不等式及其应用
学习目标
1.理解算术平均值与几何平均值的概念,达成数学抽象的核心素养.
2.掌握均值不等式,明确均值不等式成立的条件,达成数学运算的核心素养.
3.会用均值不等式证明不等式、比较大小,培养逻辑推理的核心素养.
4.会用均值不等式求解实际应用题,培养数学建模的核心素养.
知识探究
1.算术平均值与几何平均值
给定两个正数a,b,数称为a,b的算术平均值;数 称为a,b的几何平均值.
2.均值不等式
如果a,b都是正数,那么≥,当且仅当a=b时,等号成立.
均值不等式也称为基本不等式(基本不等式中的a,b还可以为零),其实质是:两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.
重要不等式:当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
[思考] 均值不等式中的a,b只能是具体的某个数吗
提示:a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式.
3.均值不等式的应用
(1)当两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.
(2)当两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.
(1)均值不等式的变形:ab≤()2,a+b≥2(其中a>0,b>0,当且仅当a=b时,等号成立).
(2)均值不等式成立的条件:a>0且b>0;其中等号成立的条件:当且仅当a=b时,取等号,即若a≠b,则≠,即只能有<.
探究点一 利用均值不等式求最值
[例1] (1)已知m,n>0,且m+n=16,求mn的最大值;
(2)已知x>3,求y=x+的最小值;
(3)设x>0,y>0,且2x+y=1,求+的最小值.
解:(1)因为m,n>0,且m+n=16,
所以由均值不等式可得
mn≤()2=()2=64,
当且仅当m=n=8时,mn取到最大值64.
所以mn的最大值为32.
(2)因为x>3,
所以x-3>0,>0,
于是y=x+=x-3++3≥
2+3=7,
当且仅当x-3=,即x=5时,y=x+取到最小值7.
(3)法一 因为x>0,y>0,2x+y=1,
所以+=+=3++≥3+2=3+2,
当且仅当=,即y=x时,等号成立,
解得x=1-,y=-1,
所以当x=1-,y=-1时,+有最小值3+2.
法二 +=(+)·1=(+)(2x+y)=3++≥3+2=3+2,
以下同法一.
利用均值不等式求最值的方法
(1)若是求“和”式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求“积”式的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式.
(2)利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子,将“1”代入后再利用均值不等式求最值.一般地,形如或可化为:已知+=k(k≠0)求ma+nb(mn≠0,下同)的最值;已知a+b=k(k≠0),求+的最值,常用此法.
[针对训练] (1)若0
A. B. C.2 D.
(2)已知x>0,y>0,+=1,则x+y的最小值为 .
解析:(1)因为0所以y=x≤=,
所以y=x的最大值是,当且仅当x=,即x=时,取等号.故选D.
(2)因为+=1,
所以x+y=(x+y)·(+)=1+++9=++10,
又因为x>0,y>0,
所以++10≥2+10=16,
当且仅当=,即y=3x时,等号成立.
由得
即当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.
答案:(1)D (2)16
探究点二 利用均值不等式证明不等式
[例2] 已知a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
证明:由均值不等式可得
a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2,
同理b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2,
所以(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2a2c2,
从而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2(当且仅当a2=b2=c2时,等号成立).
(1)利用均值不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.
(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到.
[针对训练] 已知a,b,c>0,求证:++≥6.
证明:因为a>0,b>0,c>0,
所以+≥2,+≥2,+≥2,
当且仅当a=b=c时,等号成立,
所以(+)+(+)+(+)≥6,
即++≥6.
探究点三 均值不等式的实际应用
[例3] 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左、右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两个栏目的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为 10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.
(1)设矩形栏目宽度为x cm,求矩形广告面积S(x)的表达式;
(2)怎样确定栏目的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小
解:(1)矩形栏目宽度为x cm,则高为 cm,
S(x)=(2x+25)(+20)(x>0).
(2)S(x)=(2x+25)(+20)=18 500+40(x+)≥18 500+40×
2=24 500,
当且仅当x=75时,等号成立,此时高为=120 cm.
即当栏目的高为120 cm,宽为75 cm时,矩形广告的面积最小.
在应用均值不等式解决实际问题时,应把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;在自变量有意义的前提下,求出函数的最大值或最小值,根据实际背景写出答案.
[针对训练]
如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.
(1)现有可围36 m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大
(2)若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小
解:(1)设每间虎笼长为x m,宽为y m,则由条件得4x+6y=36,即2x+3y=18,设每间虎笼面积为S m2,则S=xy.由于2x+3y≥2=2,
所以2≤18,得xy≤,即S≤,当且仅当2x=3y时,等号成立,
由解得
故每间虎笼长为4.5 m,宽为3 m时,可使每间虎笼面积最大.
(2)法一 由条件知S=xy=24,
设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.
因为2x+3y≥2=2=24,
所以l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立,
由解得
故每间虎笼的长为6 m,宽为4 m时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小.
法二 由xy=24,得x=,设钢筋网总长为l,
所以l=4x+6y=+6y=6(+y)≥6×2=48,当且仅当=y,即y=4时,等号成立,此时x=6.
故每间虎笼的长为6 m,宽为4 m时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小.
【学海拾贝】
均值不等式在恒成立(有解)问题中的应用
[典例探究] (1)(多选题)实数x,y满足xy+3x=3(0A.-3 B.-2 C.4 D.5
(2)对任意的正实数x,y,+≤k 恒成立,则k的最小值为( )
A. B. C.2 D.
解析:(1)因为实数x,y满足xy+3x=3(03,
所以+=y+3+=(y-3)++6≥2+6=8,
当且仅当y=4时,等号成立,
所以m2-2m>8,即m2-2m-8>0,解得m<-2或m>4.故选AD.
(2)依题意得k≥恒成立.
因为()2=,
2=2≤5x+y,
所以()2=≤
=6,当且仅当y=5x时,等号成立,
所以k≥,即k的最小值为.故选B.
[应用探究] (1)若存在非零实数x,使不等式x2-a|x|+4≤0有解,则a的取值范围是 .
(2)不等式ax+≥-2(a>0)对 x>-1恒成立,则实数a的取值范围是 .
解析:(1)由题意知x≠0,不等式x2-a|x|+4≤0有解等价于a≥|x|+有解.
因为|x|+≥4,当且仅当|x|=2时,等号成立,所以a≥4.
(2)由题意得a(x+1)+≥a+-2对 x>-1恒成立,
只需[a(x+1)+]min≥a+-2即可,因为x+1>0,a(x+1)+≥2=2,当且仅当a(x+1)=,即x=-1时,等号成立,
所以2≥a+-2,即a--2=(-2)(+1)≤0,解得0答案:(1)[4,+∞) (2)(0,4]
当堂检测
1.下列命题正确的是( D )
A.若a,b∈R,则+≥2=2
B.若x>0,则x+>2
C.若x<0,则x+≥-2=-4
D.若x∈R且x≠0,则2x2+≥2=2
解析:A选项必须保证a,b同号.B选项应含有等号,即若x>0,则x+≥2,C选项应该为≤.
2.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( C )
A. B.2 C.2 D.4
解析:由=+≥2,得ab≥2,当且仅当=时,取“=”.
3.已知x>0,y>0,且x+2y=2,那么xy的最大值是 .
解析:因为x>0,y>0,
所以x+2y=2≥2,
所以2xy≤1,
所以xy≤,当且仅当x=2y,即x=1,y=时,“=”成立.
答案:
4.已知x>0,y>0,xy=10,则z=+的最小值为 .
解析:已知x>0,y>0,xy=10,则z=+≥2=2,当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时,取等号,故zmin=2.
答案:2
备用例题
[例1] 已知a>b>0,那么a2+的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:因为a>b>0,
所以a-b>0,
所以b(a-b)≤[]2=,
所以a2+≥a2+≥2=4(当且仅当b=a-b且a2=,即a=,b=时,取等号),所以a2+的最小值为4.故选B.
[例2] 设正实数m,n满足m+n=2,则+的最小值是( )
A. B. C. D.
解析:因为正实数m,n,m+n=2,
所以+=+=++≥2+=,当且仅当=且m+n=2,即m=,n=时,取等号,此时取得最小值.故选C.
[例3] 已知x,y为正实数,则+的最小值为 .
解析:由题得+=+,
设=t(t>0),则上式化为t+=t+2+-2≥2-2=8-2=6,
当且仅当t=2时,取等号,所以+的最小值为6.
答案:6
[例4] (1)已知正实数x,y满足2x+y+6=xy,求xy的最小值;
(2)已知实数x,y满足x2+y2+xy=1,求x+y的最大值.
解:(1)因为2x+y+6=xy,
所以y=,x>1,xy====2(x+1++3)=2[(x-1)++5]≥2×[2+5]=18,
当且仅当x=3时,等号成立,所以xy的最小值为18.
(2)因为1=x2+y2+xy=(x+y)2-xy≥(x+
y)2-()2,所以(x+y)2≤,
即00,且x2+y2+xy=1,即x=y=时,等号成立,所以x+y的最大值为.
选题明细表
知识点、方法 题号
利用均值不等式求最值 2,3,5,6, 7,9,11,12
利用均值不等式证明不等式 1,13,15
均值不等式的实际应用和 在恒成立问题中的应用 4,8,10,14
基础巩固
1.下列不等式中正确的是( D )
A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab
C.≥ D.x2+≥2
解析:a<0,则a+≥4不成立,故A错误;a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错误;a=4,b=16,则<,故C错误;由均值不等式可知D项正确.
2.若x>0,y>0,且xy=10,则2x+5y的最小值为( A )
A.20 B.10
C.2 D.
解析:由不等式2x+5y≥2=20,当且仅当2x=5y时,等号成立,又xy=10,
所以当y=2,x=5时,2x+5y的最小值为20.
3.已知a>0,当4a+取最小值时,a等于( A )
A. B.6 C.9 D.12
解析:因为4a+≥2=12,当且仅当4a=,即a=或a=-(舍去)时,等号成立,所以当4a+取最小值时,a=.
4.某单位为提升服务质量,花费3万元购进了一套先进设备,该设备每年管理费用为0.15万元,已知使用x年的维修总费用为万元,则该设备年平均费用最少时的年限为( C )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:设该设备年平均费用为y万元,则y=++=++≥2+=,
当且仅当=,即x=6时,该设备年平均费用最少.
5.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( B )
A.16 B.25 C.9 D.36
解析:(1+x)(1+y)≤[]2=[]2=()2=25,当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,(1+x)(1+y)取最大值25.
6.已知正实数x,y满足x+2y=4,则的最大值为 .
解析:=≤=3,当且仅当x=2y+2且x+2y=4,即x=3,y=时,取等号.
答案:3
7.已知y=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= .
解析:y=4x+≥2=4(x>0,a>0),当且仅当4x=,即x=时,等号成立,
此时y取得最小值4.
又由已知x=3时,y取最小值,
所以=3,即a=36.
答案:36
8.对任意m>0,n>0,都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为 .
解析:因为m>0,n>0,都有m2-amn+2n2≥0,
所以m2+2n2≥amn,
即a≤=+恒成立,
因为+≥2=2,
当且仅当=,即m=n时,取等号,
所以a≤2,即a的最大值为2.
答案:2
能力提升
9.(多选题)设a>1,b>1,且ab-(a+b)=1,那么( AD )
A.a+b有最小值2(+1)
B.a+b有最大值(+1)2
C.ab有最大值3+2
D.ab有最小值3+2
解析:因为a>1,b>1,
所以a+b≥2,当且仅当a=b时,取等号,
所以1=ab-(a+b)≤ab-2,
解得≥ +1,
所以ab≥(+1)2=3+2,
所以ab有最小值3+2;
因为ab≤()2,当且仅当a=b时,取等号,
所以1=ab-(a+b)≤()2-(a+b),
所以(a+b)2-4(a+b)≥4,
所以[(a+b)-2]2≥8,解得a+b-2≥2,即a+b≥2(+1),所以a+b有最小值2(+1).
10.已知x>0,y>0,且x+y+xy=3,若不等式x+y≥m2-m恒成立,则实数m的取值范围为( B )
A.[-2,1]
B.[-1,2]
C.(-∞,-2]∪[1,+∞)
D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
解析:xy=3-(x+y)≤(当且仅当x=y=1时,等号成立).
解得x+y≥2,即(x+y)min=2.因为不等式x+y≥m2-m恒成立,
所以m2-m≤(x+y)min,即m2-m≤2,解得-1≤m≤2.
11.(多选题)若正实数m,n满足m+n=1,则下列说法正确的是( ACD )
A.的最大值为
B.+的最小值为
C.+的最小值为4
D.m2+n2的最小值为
解析:因为≤=,当且仅当m=n=时,等号成立,故的最大值为,A正确;
(+)2=m+n+2≤m+n+m+n=2,当且仅当m=n=时,等号成立,故+的最大值为,而不是最小值,故B错误;
+=(+)(m+n)=2++≥2+2=4,当且仅当m=n=时,等号成立,即+的最小值为4,故C正确;
m2+n2=(m+n)2-2mn=1-2mn≥1-2()2=,当且仅当m=n=时,等号成立,即m2+n2的最小值为,故D正确.
12.若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 .
解析:因为ab>0,所以≥=4ab+≥2=4,当且仅当即时,取等号,故的最小值为4.
答案:4
13.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.
求证:(-1)(-1)(-1)≥8.
证明:因为a+b+c=1,a>0,b>0,c>0,
所以-1=-1=≥>0,
-1=-1=≥>0,
-1=-1=≥>0,
将以上三式相乘得(-1)(-1)(-1)≥=8,当且仅当a=b=c=时,等号成立.
14.甲、乙两地相距1 000 km,某货车从甲地匀速行驶到乙地,速度为v km/h(不得超过120 km/h).已知该货车每小时的运输成本m(单位:元)由可变部分y1和固定部分y2组成:可变部分与速度v(单位:
km/h)的关系是y1=v2;固定部分y2为81元.
(1)根据题意可得,货车每小时的运输成本m= ,全程行驶的时间为t= ;
(2)求该货车全程的运输总成本与速度v的函数解析式;
(3)为了使全程的运输总成本最小,该货车应以多大的速度行驶
解:(1)v2+81;.
(2)货车全程的运输总成本为
y=mt=(y1+y2)·=(v2+81)·=10v+(0(3)y=10v+≥2=1 800,当且仅当10v=,即v=90时,全程的运输总成本最小,
所以为了使全程的运输总成本最小,该货车应以90 km/h的速度
行驶.
应用创新
15.(1)已知x>-1,求y=的最小值,并求出取最小值时x
的值;
(2)问题:正数a,b满足a+b=1,求+的最小值.其中一种解法是:
+=(+)(a+b)=1+++2≥3+2,当且仅当=且a+b=1,即a=-1且b=2-时,取等号.学习上述解法并解决下列问题:若实数a,b,x,y满足-=1,试比较a2-b2和(x-y)2的大小,并指明等号成立的条件;
(3)利用(2)的结论,求M=-的最小值,并求出使得M最小的m的值.
解:(1)因为x>-1,
所以x+1>0,
所以y===(x+1)++3≥
2+3=2+3,
当且仅当x+1=,即x=-1时,取“=”,
所以当x=-1时,y取得最小值为2+3.
(2)因为a2-b2=(a2-b2)×1=(a2-b2)(-)=x2+y2-(+),
且+≥2=2|xy|,当且仅当=时,等号成立,
所以x2+y2-(+)≤x2+y2-2|xy|≤x2+y2-2xy=(x-y)2,
所以a2-b2≤(x-y)2,当且仅当=且x,y同号时,等号成立,
此时x,y也满足-=1.
(3)由M=-,得m≥1;
设x=,y=,则x>y,x-y>0;
所以x2-4y2=(4m-3)-4(m-1)=1,
设-=1,则a2=1,b2=,
由a2-b2≤(x-y)2,得M=x-y≥==,
当且仅当x2=,即x=4y>0时,取等号,
所以=4,解得m=,此时x=,y=,
所以当m=时,M取得最小值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2.4 均值不等式及其应用
选题明细表
知识点、方法 题号
利用均值不等式求最值 2,3,5,6, 7,9,11,12
利用均值不等式证明不等式 1,13,15
均值不等式的实际应用和 在恒成立问题中的应用 4,8,10,14
基础巩固
1.下列不等式中正确的是( D )
A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab
C.≥ D.x2+≥2
解析:a<0,则a+≥4不成立,故A错误;a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错误;a=4,b=16,则<,故C错误;由均值不等式可知D项正确.
2.若x>0,y>0,且xy=10,则2x+5y的最小值为( A )
A.20 B.10
C.2 D.
解析:由不等式2x+5y≥2=20,当且仅当2x=5y时,等号成立,又xy=10,
所以当y=2,x=5时,2x+5y的最小值为20.
3.已知a>0,当4a+取最小值时,a等于( A )
A. B.6 C.9 D.12
解析:因为4a+≥2=12,当且仅当4a=,即a=或a=-(舍去)时,等号成立,所以当4a+取最小值时,a=.
4.某单位为提升服务质量,花费3万元购进了一套先进设备,该设备每年管理费用为0.15万元,已知使用x年的维修总费用为万元,则该设备年平均费用最少时的年限为( C )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:设该设备年平均费用为y万元,则y=++=++≥2+=,
当且仅当=,即x=6时,该设备年平均费用最少.
5.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( B )
A.16 B.25 C.9 D.36
解析:(1+x)(1+y)≤[]2=[]2=()2=25,当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,(1+x)(1+y)取最大值25.
6.已知正实数x,y满足x+2y=4,则的最大值为 .
解析:=≤=3,当且仅当x=2y+2且x+2y=4,即x=3,y=时,取等号.
答案:3
7.已知y=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= .
解析:y=4x+≥2=4(x>0,a>0),当且仅当4x=,即x=时,等号成立,
此时y取得最小值4.
又由已知x=3时,y取最小值,
所以=3,即a=36.
答案:36
8.对任意m>0,n>0,都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为 .
解析:因为m>0,n>0,都有m2-amn+2n2≥0,
所以m2+2n2≥amn,
即a≤=+恒成立,
因为+≥2=2,
当且仅当=,即m=n时,取等号,
所以a≤2,即a的最大值为2.
答案:2
能力提升
9.(多选题)设a>1,b>1,且ab-(a+b)=1,那么( AD )
A.a+b有最小值2(+1)
B.a+b有最大值(+1)2
C.ab有最大值3+2
D.ab有最小值3+2
解析:因为a>1,b>1,
所以a+b≥2,当且仅当a=b时,取等号,
所以1=ab-(a+b)≤ab-2,
解得≥ +1,
所以ab≥(+1)2=3+2,
所以ab有最小值3+2;
因为ab≤()2,当且仅当a=b时,取等号,
所以1=ab-(a+b)≤()2-(a+b),
所以(a+b)2-4(a+b)≥4,
所以[(a+b)-2]2≥8,解得a+b-2≥2,即a+b≥2(+1),所以a+b有最小值2(+1).
10.已知x>0,y>0,且x+y+xy=3,若不等式x+y≥m2-m恒成立,则实数m的取值范围为( B )
A.[-2,1]
B.[-1,2]
C.(-∞,-2]∪[1,+∞)
D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
解析:xy=3-(x+y)≤(当且仅当x=y=1时,等号成立).
解得x+y≥2,即(x+y)min=2.因为不等式x+y≥m2-m恒成立,
所以m2-m≤(x+y)min,即m2-m≤2,解得-1≤m≤2.
11.(多选题)若正实数m,n满足m+n=1,则下列说法正确的是( ACD )
A.的最大值为
B.+的最小值为
C.+的最小值为4
D.m2+n2的最小值为
解析:因为≤=,当且仅当m=n=时,等号成立,故的最大值为,A正确;
(+)2=m+n+2≤m+n+m+n=2,当且仅当m=n=时,等号成立,故+的最大值为,而不是最小值,故B错误;
+=(+)(m+n)=2++≥2+2=4,当且仅当m=n=时,等号成立,即+的最小值为4,故C正确;
m2+n2=(m+n)2-2mn=1-2mn≥1-2()2=,当且仅当m=n=时,等号成立,即m2+n2的最小值为,故D正确.
12.若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 .
解析:因为ab>0,所以≥=4ab+≥2=4,当且仅当即时,取等号,故的最小值为4.
答案:4
13.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.
求证:(-1)(-1)(-1)≥8.
证明:因为a+b+c=1,a>0,b>0,c>0,
所以-1=-1=≥>0,
-1=-1=≥>0,
-1=-1=≥>0,
将以上三式相乘得(-1)(-1)(-1)≥=8,当且仅当a=b=c=时,等号成立.
14.甲、乙两地相距1 000 km,某货车从甲地匀速行驶到乙地,速度为v km/h(不得超过120 km/h).已知该货车每小时的运输成本m(单位:元)由可变部分y1和固定部分y2组成:可变部分与速度v(单位:
km/h)的关系是y1=v2;固定部分y2为81元.
(1)根据题意可得,货车每小时的运输成本m= ,全程行驶的时间为t= ;
(2)求该货车全程的运输总成本与速度v的函数解析式;
(3)为了使全程的运输总成本最小,该货车应以多大的速度行驶
解:(1)v2+81;.
(2)货车全程的运输总成本为
y=mt=(y1+y2)·=(v2+81)·=10v+(0(3)y=10v+≥2=1 800,当且仅当10v=,即v=90时,全程的运输总成本最小,
所以为了使全程的运输总成本最小,该货车应以90 km/h的速度
行驶.
应用创新
15.(1)已知x>-1,求y=的最小值,并求出取最小值时x
的值;
(2)问题:正数a,b满足a+b=1,求+的最小值.其中一种解法是:
+=(+)(a+b)=1+++2≥3+2,当且仅当=且a+b=1,即a=-1且b=2-时,取等号.学习上述解法并解决下列问题:若实数a,b,x,y满足-=1,试比较a2-b2和(x-y)2的大小,并指明等号成立的条件;
(3)利用(2)的结论,求M=-的最小值,并求出使得M最小的m的值.
解:(1)因为x>-1,
所以x+1>0,
所以y===(x+1)++3≥
2+3=2+3,
当且仅当x+1=,即x=-1时,取“=”,
所以当x=-1时,y取得最小值为2+3.
(2)因为a2-b2=(a2-b2)×1=(a2-b2)(-)=x2+y2-(+),
且+≥2=2|xy|,当且仅当=时,等号成立,
所以x2+y2-(+)≤x2+y2-2|xy|≤x2+y2-2xy=(x-y)2,
所以a2-b2≤(x-y)2,当且仅当=且x,y同号时,等号成立,
此时x,y也满足-=1.
(3)由M=-,得m≥1;
设x=,y=,则x>y,x-y>0;
所以x2-4y2=(4m-3)-4(m-1)=1,
设-=1,则a2=1,b2=,
由a2-b2≤(x-y)2,得M=x-y≥==,
当且仅当x2=,即x=4y>0时,取等号,
所以=4,解得m=,此时x=,y=,
所以当m=时,M取得最小值为.
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