3.1.3 函数的奇偶性
学习目标
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.培养数学抽象、数学运算与逻辑推理的核心素养.
2.了解奇(偶)函数的图象的对称性,掌握函数奇偶性的简单应用.培养直观想象的核心素养.
知识探究
1.奇函数、偶函数的定义
前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D
条件 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)
结论 f(x)是奇函数 f(x)是偶函数
[思考1] 奇偶性定义中的“任意”可以省略吗
提示:不能省略.如函数y=x2,x∈[-2,5],有f(-2)=4=f(2),f(-1)=
f(1),但不能因此就说函数y=x2,x∈[-2,5]是偶函数,因为f(-5)是没有定义的.
[思考2] 若一个函数具有奇偶性,其定义域有何特点
提示:定义域关于原点对称.
[思考3] 若一个函数是常值函数,且函数的定义域关于原点对称,则函数的奇偶性如何
提示:若函数为f(x)=0,则函数既是奇函数又是偶函数,若函数f(x)=a≠0,则函数仅为偶函数.
2.奇函数、偶函数的图象特征
(1)奇函数 图象是以原点为对称中心的中心对称图形.
(2)偶函数 图象是以y轴为对称轴的轴对称图形.
(1)若奇函数在x=0处有定义,则f(0)=0;f(x)为偶函数,则f(|x|)=
f(x),它能使自变量化归到[0,+∞)上,避免分类讨论.
(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
(3)区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称.
①若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M.
②若f(x)为奇函数,f(x)+2在[a,b]上有最大值M,则f(x)+2在[-b,-a]上有最小值-M+4.
探究点一 函数奇偶性的判断
[例1] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=
解:(1)f(x)=,其定义域为R,有f(-x)=-=-f(x),则函数f(x)为奇函数.
(2)函数f(x)=+的定义域满足即x=1.
因此函数的定义域为{1},不关于原点对称,是非奇非偶函数.
(3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又当x>0时,f(x)=x2+x,
则当x<0时,-x>0,
故f(-x)=x2-x=f(x);
当x<0时,f(x)=x2-x,则当x>0时,-x<0,
故f(-x)=x2+x=f(x).故原函数是偶函数.
函数奇偶性的判定方法
(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域,则该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的对称区域,再判断f(-x)是否等于±f(x)或判断f(x)±f(-x)是否等于零或判断是否等于±1等.
(2)图象法:
①若f(x)图象关于原点对称,则f(x)是奇函数.
②若f(x)图象关于y轴对称,则f(x)是偶函数.
③若f(x)图象既关于原点对称,又关于y轴对称,则f(x)既是奇函数,又是偶函数.
④若f(x)的图象既不关于原点对称,又不关于y轴对称,则f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
[针对训练] (1)下列函数中奇函数、偶函数的个数分别是( )
①f(x)=x2;②f(x)=x3;③f(x)=;④f(x)=.
A.1,1 B.2,2
C.3,1 D.2,1
(2)给出以下结论:
①f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数;
②F(x)=f(x)f(-x)(x∈R)是偶函数;
③h(x)=+既是奇函数,又是偶函数.
其中正确的序号是 .
(1)解析:①定义域为R,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),为偶函数;②定义域为R,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),为奇函数;③定义域为(-1,1],非奇非偶函数;④定义域为{x|x≠0},且f(-x)==-=-f(x),为奇函数.故选D.
(2)对于①,函数定义域为R,因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),
所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数,①正确;
对于②,因为F(x)=f(x)f(-x),
所以F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)(x∈R),
所以F(x)=f(x)f(-x)是偶函数,②正确;
对于③,由
解得x=±2,
故函数h(x)的定义域为{-2,2},且h(x)=0,
所以h(x)既是奇函数,又是偶函数,③正确.
答案:(1)D (2)①②③
探究点二 已知奇偶性求参数值
[例2] (1)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= ;
(2)已知函数f(x)=为奇函数,则a+b= ;
(3)函数f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则m= .
解析:(1)因为f(x)为偶函数,
所以f(x)=f(-x),
即(x+a)(x-4)=(-x+a)(-x-4),
整理得2a=8,所以a=4.
(2)由题意知
则所以
当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数,故a+b=0.
(3)根据题意f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则f(-x)=-f(x),
则有(-x)3+(m2-1)(-x)2+(-x)=-[x3+(m2-1)x2+x],
则有(m2-1)x2=0,对任意x成立,则m2-1=0,解得m=±1.
答案:(1)4 (2)0 (3)±1
利用函数奇偶性求参数值的方法
(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义,构造函数,从而使问题得到快速解决.
(2)在定义域关于原点对称的前提下,若解析式中仅含有x的奇次项,则函数为奇函数;若解析式中仅含有x的偶次项,则函数为偶函数,常利用此结论构造函数.
(3)利用奇偶性求参数值时,应根据x∈R等式恒成立的特征求参数.
[针对训练] (1)设函数f(x)=为奇函数,则a= ;
(2)若函数f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函数,定义域为[3a,a+2],则a+b= .
解析:(1)法一(定义法)
由已知f(-x)=-f(x),
即=-.
显然x≠0得,x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,得a=-1.
法二(特值法) 由f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数得f(-1)=-f(1),
即=-,
整理得a=-1.
(2)因为函数是偶函数,所以定义域关于原点对称,则3a+a+2=0,解得a=-.
所以f(x)=ax2+2bx+4a+b=-x2+2bx-2+b,
因为偶函数关于y轴对称,
则-=2b=0,解得b=0.
所以a+b=-+0=-.
答案:(1)-1 (2)-
探究点三 利用函数的奇偶性求解析式
[例3] 已知函数y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)=x(1+),求:
(1)f(-8);
(2)当x<0时,y=f(x)的解析式.
解:由于函数是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,
因此对于任意的x都有f(-x)=-f(x),
即f(x)=-f(-x).
(1)f(-8)=-f(8),f(8)=8×(1+)=8×(1+2)=24,
所以f(-8)=-f(8)=-24.
(2)当x<0时,-x>0,
则f(-x)=-x(1+)=-x(1-),
又f(x)为奇函数,
所以f(x)=-[-x(1-)]=x(1-).
[变式探究1] 本例中条件不变,求函数y=f(x)的解析式.
解:由于函数的定义域为(-∞,+∞),且函数为奇函数,因此f(0)=0,
所以函数f(x)的解析式为
f(x)=
[变式探究2] 本例已知条件中的“奇函数”改为“偶函数”,求函数在x<0时的解析式.
解:设x<0,则-x>0,
因此f(-x)=-x(1+)=-x(1-),
因为函数是偶函数,
则f(x)=f(-x)=-x(1-),
所以x<0时,f(x)=-x(1-).
根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内.
(2)转化代入已知区间的解析式.
(3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x),从而解出f(x).
探究点四 函数奇偶性与单调性的综合应用
[例4] (1)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则当n∈N*时,有( )
A.f(-n)
B.f(n+1)C.f(n-1)D.f(n+1)(2)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<
f()的x的取值范围是 ;
(3)已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,其图象关于原点对称,且f(1-a)+f(1-2a)<0,则a的取值范围是 ;
(4)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
解析:(1)因为对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,
所以若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)>0,
即x2>x1,则f(x2)>f(x1),
若x2-x1<0,则f(x2)-f(x1)<0,
即x2则函数在(-∞,0]上单调递增.
因为f(x)在R上是偶函数,
所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,
则f(n+1)即f(n+1)故选B.
(2)由于f(x)是偶函数,因此f(x)=f(|x|),
所以f(|2x-1|)再根据f(x)在[0,+∞)上单调递增,
得|2x-1|<,
解得所以x的取值范围是(,).
(3)因为y=f(x)定义域为(-1,1),其图象关于原点对称,所以函数f(x)是奇函数.
因为f(1-a)+f(1-2a)<0,
所以f(1-a)<-f(1-2a)=f(2a-1),
又y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
所以1>1-a>2a-1>-1,
解得0(4)f(x)===+1,
设g(x)=,
则g(x)在R上为奇函数,
所以f(x)的图象关于点(0,1)对称,
所以f(x)的最大值与最小值的和为2,
即M+m=2.
答案:(1)B (2)(,) (3)(0,) (4)2
(1)利用函数的奇偶性与单调性求参数的范围问题,要首先弄清函数在各区间上的单调性,然后利用单调性列出不等式并求解,同时不要忘记函数自身定义域对参数的影响.
(2)利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小,关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内,然后利用单调性比较.
(3)对偶函数,应注意f(-x)=f(x)=f(|x|)的应用.
[针对训练] (1)若函数f(x)是奇函数,且在(-∞,0)上是增函数,又f(-2)=0,则xf(x)>0的解集是( )
A.(-2,0)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,0)∪(0,2)
(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是增函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是 .
(3)已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,则m-n的值为 .
解析:(1)因为函数f(x)是奇函数,所以f(2)=-f(-2)=0,因为奇函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,所以该函数在(0,+∞)上也是增函数,
当x>0时,由xf(x)>0得f(x)>0=f(2),即x>2,
当x<0时,由xf(x)>0得f(x)<0=f(-2),
即x<-2,所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).故选C.
(2)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数,又因为f(2)=0,所以f(x)<0
f(|x|)<0=f(2),即|x|>2,所以x>2或x<-2.
(3)因为当x<0时,f(x)=x2+3x+2,且f(x)是奇函数,所以当x>0时,
-x<0,
则f(-x)=x2-3x+2,
故当x>0时,f(x)=-f(-x)=-x2+3x-2,
所以当x∈[1,]时,f(x)是增函数;
当x∈[,3]时,f(x)是减函数.
因此当x∈[1,3]时,f(x)max=f(=,
f(x)min=f(3)=-2.
所以m=,n=-2,从而m-n=.
答案:(1)C (2)(-∞,-2)∪(2,+∞) (3)
当堂检测
1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( B )
解析:选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.
2.若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]上是( C )
A.增函数,且最小值是-1
B.增函数,且最大值是-1
C.减函数,且最大值是-1
D.减函数,且最小值是-1
解析:因为奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,所以函数f(x)在[2,6]上是减函数,且最大值是-1.
3.若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且x>0时,f(x)=2x(1-x),则f(x)的解析式为 .
解析:设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-2x(1+x),
因为f(x)是奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=2x(1+x).
因为f(0)=0,
所以f(x)=
答案:f(x)=
4.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则 f(x) 的单调递增区间是 .
解析:因为f(x)是偶函数,
所以k-1=0,即k=1,
所以f(x)=-x2+3,即f(x)的图象是开口向下的抛物线,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0].
答案:(-∞,0]
备用例题
[例1] 设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
解析:f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故f(x)·g(x)为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数.故选C.
[例2] 已知定义在R上的函数f(x),g(x)分别是奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=x2-2x+2,求f(x),g(x)的解析式.
解:因为f(x)+g(x)=x2-2x+2,所以f(-x)+g(-x)=(-x)2-2(-x)+2=
x2+2x+2.
由f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
代入上式,-f(x)+g(x)=x2+2x+2,
则有f(x)=-2x,g(x)=x2+2.
[例3] 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R);
(2)f(x)=.
解:(1)函数的定义域为(-∞,+∞),关于坐标原点对称.
①当a≠0时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=
-f(x),所以函数f(x)为奇函数;
②当a=0时,函数f(x)=|x+a|-|x-a|=|x|-|x|=0,此时函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
综上所述,当a≠0时,函数f(x)为奇函数;当a=0时,函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由题设得所以函数f(x)定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且x+2>0,所以|x+2|=x+2,
所以f(x)===,
所以f(-x)==-=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
[例4] 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,
f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)请补出完整函数y=f(x)的图象;
(2)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
解:(1)由题意作出函数图象如图.
(2)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2).
选题明细表
知识点、方法 题号
函数奇偶性的判定 1,2,3,5
函数奇偶性的应用 6,7,8,9,10,14
函数奇偶性与单调性综合 4,11,12,13,15
基础巩固
1.(多选题)已知函数f(x)为奇函数,则其图象可能为( BD )
解析:因为f(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,选项B和选项D中的图象满足关于原点对称.
2.(多选题)下列函数是偶函数的是( BD )
A.y=x B.y=2x2-3
C.y= D.y=x2
解析:对于A,f(-x)=-x=-f(x),是奇函数;对于B,D,定义域为R,满足f(x)=f(-x),是偶函数;对于C,定义域不关于原点对称.
3.(多选题)下列函数中为奇函数的是( ABD )
A.f(x)=2x
B.f(x)=x+
C.f(x)=x2
D.f(x)=-x3+x5
解析:A中f(-x)=-2x=-f(x),函数为奇函数;B中f(-x)=-x-=-f(x),函数为奇函数;C中f(-x)=x2=f(x),函数为偶函数;D中f(-x)=x3-x5=
-f(x),函数为奇函数.
4.下列说法正确的是( B )
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0
C.既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R
D.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数
解析:y=是偶函数,但函数图象与y轴没有交点,故A错误,若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则由f(-x)=-f(x)得f(-0)=-f(0),即f(0)=0,故B正确,若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),若函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),则-f(x)=f(x),则f(x)=0,此时只要定义域关于原点对称即可,故C错误,函数的单调性和奇偶性没有关系,故过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数,故D错误.
5.(多选题)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( AB )
A.y=f(-x) B.y=f(x)+x3
C.y= D.y=f(x)
解析:设F1(x)=f(-x),其定义域为R,则有
F1(-x)=f[-(-x)]=f(x)=-f(-x)=-F1(x),函数y=f(-x)为奇函数,故A正确;
设F2(x)=f(x)+x3,其定义域为R,则有F2(-x)=f(-x)+(-x)3=
-[f(x)+x3]=-F2(x),函数y=f(x)+x3为奇函数,故B正确;
设F3(x)=,其定义域为{x|x≠0},则有F3(-x)===F3(x),是偶函数,故C不正确;
由于函数y=f(x),其定义域为[0,+∞),其定义域不关于原点对称,不是奇函数,
6.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么 f(2)= .
解析:因为f(x)=x5+ax3+bx-8,
令g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx,且g(x)定义域为R,图象关于原点对称,则g(x)为奇函数,
因为f(-2)=10,
所以g(-2)=10+8=18,所以g(2)=-18,
所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
答案:-26
7.若f(x+1)为偶函数,请写出一个这样的函数f(x)= .
解析:若f(x+1)为偶函数,则f(x+1)可为f(x+1)=|x|,则f(x)=
|x-1|.
答案:|x-1|(答案不唯一)
8.已知f(x)是定义域为R的 ,当x≥0时,f(x)=x(1-x).条件1:奇函数;条件2:偶函数.
在上述两个条件中任意选择一个,补充到上面的横线处,并解答以下两个问题.
(1)求f(f(2))的值;
(2)求f(x)在R上的解析式.
解:(1)选条件1:
由题得f(2)=2(1-2)=-2,
所以f(f(2))=f(-2)=-f(2)=2.
选条件2:
由题得f(2)=2(1-2)=-2,
所以f(f(2))=f(-2)=f(2)=-2.
(2)选条件1:
设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x(1+x),
因为函数是R上的奇函数,
所以-f(x)=-x(1+x),
所以f(x)=x(x+1).
综上所述,f(x)=
选条件2:
设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x(1+x),
因为函数是R上的偶函数,
所以f(x)=-x(1+x).
综上所述,f(x)=
能力提升
9.(多选题)已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=-x-1,若f(a)f(-a)=4,则实数a的值可为( BC )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
解析:因为函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=-x-1,所以当a>0时,f(a)f(-a)=[f(a)]2=(-a-1)2=
4,解得a=1;当a<0时,f(a)f(-a)=[f(-a)]2=(a-1)2=4,解得a=-1.
所以a=±1.
10.设f(x)为定义在R上的函数,函数f(x+1)是奇函数.对于下列四个结论:
①f(1)=0;
②f(1-x)=-f(1+x);
③函数f(x)的图象关于原点对称;
④函数f(x)的图象关于点(1,0)对称.
其中正确结论的个数为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:令g(x)=f(x+1),
因为g(x)为R上的奇函数,所以g(0)=f(0+1)=0,所以f(1)=0,故①正确;
因为g(x)为R上的奇函数,所以g(-x)=-g(x),所以f(-x+1)=
-f(x+1),即f(1-x)=-f(1+x),故②正确;
因为y=f(x+1)的图象是由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,又y=f(x+1)的图象关于原点对称,所以y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,故③错误,④正确.
所以正确的有①②④.
11.已知函数f(x)=(x-1)(x+b)为偶函数,则f(2-x)<0的解集为
.
解析:因为函数f(x)=(x-1)(x+b)=x2+(b-1)x-b为偶函数,
所以-=0,解得b=1,即f(x)=x2-1,显然满足条件.
所以f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3=(x-1)(x-3)<0,解得1所以f(2-x)<0的解集为(1,3).
答案:(1,3)
12.若函数y=f(x)是奇函数,且在定义域R上是减函数,f(-2)=3,则满足-3解析:由函数f(x)是奇函数且f(-2)=3可知f(2)=-f(-2)=-3,因此
-3答案:(1,5)
13.函数g(x)对任意的x∈R,有g(x)+g(-x)=2x2,设函数f(x)=g(x)-x2,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,若f(2t)+f(t-3)≥0,则实数t的取值范围为 .
解析:函数g(x)对任意的x∈R,有g(x)+g(-x)=2x2,由f(x)=g(x)-x2,可得f(-x)=g(-x)-x2.
所以f(x)+f(-x)=g(x)-x2+g(-x)-x2=0,即f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
又f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,根据奇函数图象的对称性可知,f(x)在R上单调递减,所以由f(2t)+f(t-3)≥0得f(2t)≥
-f(t-3),
即f(2t)≥f(3-t),所以2t≤3-t,解得t≤1.
答案:(-∞,1]
14.已知 f(x) 的定义域为{x∈R|x≠0},且f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+bx+c,若f(1)=f(3),f(2)=2.
(1)求b,c的值;
(2)求f(x)在x<0时的解析式;
(3)解不等式f(x)<-2.
解:(1)因为f(1)=f(3),f(2)=2,
解得b=4,c=-2.
(2)设x<0,则-x>0,
因为x>0时,f(x)=-x2+4x-2,
所以f(-x)=-(-x)2+4(-x)-2=-x2-4x-2,
因为f(x)为奇函数,
所以-f(x)=-x2-4x-2,f(x)=x2+4x+2,
即x<0时,f(x)的解析式为f(x)=x2+4x+2.
(3)当x>0时,解-x2+4x-2<-2得x<0或x>4,
又因为x>0,所以x>4;
当x<0时,解x2+4x+2<-2得(x+2)2<0,
所以不等式无解.
综上,不等式f(x)<-2的解集为{x|x>4}.
应用创新
15.已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的函数,且对定义域内任意的a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立.
(1)判断f(x)的单调性,并加以证明;
(2)解关于t的不等式f(1-t)+f(1-t2)<0.
解:(1)f(x)在(-1,1)上单调递减.
证明:因为a,b∈(-1,1),
都有f(a+b)=f(a)+f(b),
所以令a=b=0,则f(0)=f(0)+f(0),
解得f(0)=0,
令a=x,b=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),
即f(-x)=-f(x),
所以f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.
任取x1,x2∈(-1,1)且x1>x2,
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2),
因为x1>x2,即x1-x2>0,又当x>0时,f(x)<0恒成立,
所以f(x1-x2)<0,即f(x1)所以f(x)在(-1,1)上单调递减.
(2)由(1)得f(x)在(-1,1)上单调递减,且f(x)是奇函数.
因为f(1-t)+f(1-t2)<0,
即f(1-t)<-f(1-t2)=f(t2-1),
所以解得0故原不等式的解集为(0,1).
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3.1 函数的概念与性质
3.1.3 函数的奇偶性
「学习目标」
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.培
养数学抽象、数学运算与逻辑推理的核心素养.
2.了解奇（偶）函数的图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用.培养直观想象的核心
素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
1.奇函数、偶函数的定义
前提
条件 _______________ _____________
结论
［思考1］ 奇偶性定义中的“任意”可以省略吗？
［思考2］ 若一个函数具有奇偶性，其定义域有何特点？
提示:定义域关于原点对称.
［思考3］ 若一个函数是常值函数，且函数的定义域关于原点对称，则函数的奇偶性如何？
原点
课堂探究
素养培育
探究点一 函数奇偶性的判断
［例1］ 判断下列函数的奇偶性.
D
A.1，1 B.2，2 C.3，1 D.2，1
①②③
探究点二 已知奇偶性求参数值
4
0
探究点三 利用函数的奇偶性求解析式
探究点四 函数奇偶性与单调性的综合应用
B
2
C
「当堂检测」
1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
B
A. B. C. D.
C
「备用例题」
C
［例3］ 判断下列函数的奇偶性：
解：由题意作出函数图象如图.3.1.3 函数的奇偶性
选题明细表
知识点、方法 题号
函数奇偶性的判定 1,2,3,5
函数奇偶性的应用 6,7,8,9,10,14
函数奇偶性与单调性综合 4,11,12,13,15
基础巩固
1.(多选题)已知函数f(x)为奇函数,则其图象可能为( BD )
解析:因为f(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,选项B和选项D中的图象满足关于原点对称.
2.(多选题)下列函数是偶函数的是( BD )
A.y=x B.y=2x2-3
C.y= D.y=x2
解析:对于A,f(-x)=-x=-f(x),是奇函数;对于B,D,定义域为R,满足f(x)=f(-x),是偶函数;对于C,定义域不关于原点对称.
3.(多选题)下列函数中为奇函数的是( ABD )
A.f(x)=2x
B.f(x)=x+
C.f(x)=x2
D.f(x)=-x3+x5
解析:A中f(-x)=-2x=-f(x),函数为奇函数;B中f(-x)=-x-=-f(x),函数为奇函数;C中f(-x)=x2=f(x),函数为偶函数;D中f(-x)=x3-x5=
-f(x),函数为奇函数.
4.下列说法正确的是( B )
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0
C.既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R
D.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数
解析:y=是偶函数,但函数图象与y轴没有交点,故A错误,若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则由f(-x)=-f(x)得f(-0)=-f(0),即f(0)=0,故B正确,若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),若函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),则-f(x)=f(x),则f(x)=0,此时只要定义域关于原点对称即可,故C错误,函数的单调性和奇偶性没有关系,故过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数,故D错误.
5.(多选题)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( AB )
A.y=f(-x) B.y=f(x)+x3
C.y= D.y=f(x)
解析:设F1(x)=f(-x),其定义域为R,则有
F1(-x)=f[-(-x)]=f(x)=-f(-x)=-F1(x),函数y=f(-x)为奇函数,故A正确;
设F2(x)=f(x)+x3,其定义域为R,则有F2(-x)=f(-x)+(-x)3=
-[f(x)+x3]=-F2(x),函数y=f(x)+x3为奇函数,故B正确;
设F3(x)=,其定义域为{x|x≠0},则有F3(-x)===F3(x),是偶函数,故C不正确;
由于函数y=f(x),其定义域为[0,+∞),其定义域不关于原点对称,不是奇函数,
6.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么 f(2)= .
解析:因为f(x)=x5+ax3+bx-8,
令g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx,且g(x)定义域为R,图象关于原点对称,则g(x)为奇函数,
因为f(-2)=10,
所以g(-2)=10+8=18,所以g(2)=-18,
所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
答案:-26
7.若f(x+1)为偶函数,请写出一个这样的函数f(x)= .
解析:若f(x+1)为偶函数,则f(x+1)可为f(x+1)=|x|,则f(x)=
|x-1|.
答案:|x-1|(答案不唯一)
8.已知f(x)是定义域为R的 ,当x≥0时,f(x)=x(1-x).条件1:奇函数;条件2:偶函数.
在上述两个条件中任意选择一个,补充到上面的横线处,并解答以下两个问题.
(1)求f(f(2))的值;
(2)求f(x)在R上的解析式.
解:(1)选条件1:
由题得f(2)=2(1-2)=-2,
所以f(f(2))=f(-2)=-f(2)=2.
选条件2:
由题得f(2)=2(1-2)=-2,
所以f(f(2))=f(-2)=f(2)=-2.
(2)选条件1:
设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x(1+x),
因为函数是R上的奇函数,
所以-f(x)=-x(1+x),
所以f(x)=x(x+1).
综上所述,f(x)=
选条件2:
设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x(1+x),
因为函数是R上的偶函数,
所以f(x)=-x(1+x).
综上所述,f(x)=
能力提升
9.(多选题)已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=-x-1,若f(a)f(-a)=4,则实数a的值可为( BC )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
解析:因为函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=-x-1,所以当a>0时,f(a)f(-a)=[f(a)]2=(-a-1)2=
4,解得a=1;当a<0时,f(a)f(-a)=[f(-a)]2=(a-1)2=4,解得a=-1.
所以a=±1.
10.设f(x)为定义在R上的函数,函数f(x+1)是奇函数.对于下列四个结论:
①f(1)=0;
②f(1-x)=-f(1+x);
③函数f(x)的图象关于原点对称;
④函数f(x)的图象关于点(1,0)对称.
其中正确结论的个数为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:令g(x)=f(x+1),
因为g(x)为R上的奇函数,所以g(0)=f(0+1)=0,所以f(1)=0,故①正确;
因为g(x)为R上的奇函数,所以g(-x)=-g(x),所以f(-x+1)=
-f(x+1),即f(1-x)=-f(1+x),故②正确;
因为y=f(x+1)的图象是由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,又y=f(x+1)的图象关于原点对称,所以y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,故③错误,④正确.
所以正确的有①②④.
11.已知函数f(x)=(x-1)(x+b)为偶函数,则f(2-x)<0的解集为
.
解析:因为函数f(x)=(x-1)(x+b)=x2+(b-1)x-b为偶函数,
所以-=0,解得b=1,即f(x)=x2-1,显然满足条件.
所以f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3=(x-1)(x-3)<0,解得1所以f(2-x)<0的解集为(1,3).
答案:(1,3)
12.若函数y=f(x)是奇函数,且在定义域R上是减函数,f(-2)=3,则满足-3解析:由函数f(x)是奇函数且f(-2)=3可知f(2)=-f(-2)=-3,因此
-3答案:(1,5)
13.函数g(x)对任意的x∈R,有g(x)+g(-x)=2x2,设函数f(x)=g(x)-x2,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,若f(2t)+f(t-3)≥0,则实数t的取值范围为 .
解析:函数g(x)对任意的x∈R,有g(x)+g(-x)=2x2,由f(x)=g(x)-x2,可得f(-x)=g(-x)-x2.
所以f(x)+f(-x)=g(x)-x2+g(-x)-x2=0,即f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
又f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,根据奇函数图象的对称性可知,f(x)在R上单调递减,所以由f(2t)+f(t-3)≥0得f(2t)≥
-f(t-3),
即f(2t)≥f(3-t),所以2t≤3-t,解得t≤1.
答案:(-∞,1]
14.已知 f(x) 的定义域为{x∈R|x≠0},且f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+bx+c,若f(1)=f(3),f(2)=2.
(1)求b,c的值;
(2)求f(x)在x<0时的解析式;
(3)解不等式f(x)<-2.
解:(1)因为f(1)=f(3),f(2)=2,
解得b=4,c=-2.
(2)设x<0,则-x>0,
因为x>0时,f(x)=-x2+4x-2,
所以f(-x)=-(-x)2+4(-x)-2=-x2-4x-2,
因为f(x)为奇函数,
所以-f(x)=-x2-4x-2,f(x)=x2+4x+2,
即x<0时,f(x)的解析式为f(x)=x2+4x+2.
(3)当x>0时,解-x2+4x-2<-2得x<0或x>4,
又因为x>0,所以x>4;
当x<0时,解x2+4x+2<-2得(x+2)2<0,
所以不等式无解.
综上,不等式f(x)<-2的解集为{x|x>4}.
应用创新
15.已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的函数,且对定义域内任意的a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立.
(1)判断f(x)的单调性,并加以证明;
(2)解关于t的不等式f(1-t)+f(1-t2)<0.
解:(1)f(x)在(-1,1)上单调递减.
证明:因为a,b∈(-1,1),
都有f(a+b)=f(a)+f(b),
所以令a=b=0,则f(0)=f(0)+f(0),
解得f(0)=0,
令a=x,b=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),
即f(-x)=-f(x),
所以f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.
任取x1,x2∈(-1,1)且x1>x2,
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2),
因为x1>x2,即x1-x2>0,又当x>0时,f(x)<0恒成立,
所以f(x1-x2)<0,即f(x1)所以f(x)在(-1,1)上单调递减.
(2)由(1)得f(x)在(-1,1)上单调递减,且f(x)是奇函数.
因为f(1-t)+f(1-t2)<0,
即f(1-t)<-f(1-t2)=f(t2-1),
所以解得0故原不等式的解集为(0,1).
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