3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第一课时 函数的概念
选题明细表
知识点、方法 题号
函数的概念及同一个函数的判断 1,2,3,8,9
函数的定义域 4,6,11,12
函数的值(值域) 5,7,10
综合应用 13,14,15
基础巩固
1.(多选题)给出下列说法,正确的是( CD )
A.函数就是两个集合之间的对应关系
B.若函数的值域只含有一个元素,则定义域也只含有一个元素
C.若f(x)=5(x∈R),则f(π)=5一定成立
D.若定义域和对应关系确定,值域也就确定了
解析:A不正确,函数是定义在两个非空实数集上的对应关系.B不正确,如函数f(x)=0(x∈R),值域为{0}.C,D正确.
2.对于变量“气压”的每一个值,变量“水的沸点”都有唯一确定的值与之对应.对于变量“油面宽度”,至少存在一个值,使得变量“储油量”的值与之对应的值不唯一.根据这两条信息,给出下列四个
结论:
①水的沸点是气压的函数;
②水的沸点不是气压的函数;
③储油量是油面宽度的函数;
④储油量不是油面宽度的函数.
其中正确结论的序号为( A )
A.①④ B.①③
C.②④ D.②③
解析:根据函数定义,自变量每确定一个值,因变量就有唯一确定的值与之对应,根据题意,水的沸点与气压符合这个对应关系,而储油量与油面宽度的对应不唯一,不符合定义.故①④正确.
3.下列四组函数中表示同一个函数的是( C )
A.f(x)=x,g(x)=
B.f(x)=x2,g(x)=(x+1)2
C.f(x)=,g(x)=|x|
D.f(x)=0,g(x)=+
解析:因为f(x)=x(x∈R)与g(x)==|x|两个函数的对应关系不一致,所以A中两个函数不表示同一个函数;因为f(x)=x2,g(x)=(x+1)2两个函数的对应关系不一致,所以B中两个函数不表示同一个函数;因为f(x)==|x|与g(x)=|x|两个函数的定义域均为R,所以C中两个函数表示同一个函数;f(x)=0(x∈R),g(x)=+=0(x=1)两个函数的定义域不一致,所以D中两个函数不表示同一个函数.
4.函数f(x)=+(x+1)0的定义域为( B )
A.(-∞,5)∪(5,+∞) B.(-∞,-1)∪(-1,5)
C.(-∞,5) D.(-1,5)
解析:要使函数有意义,则解得x<5且x≠-1,
所以函数f(x)=+(x+1)0的定义域为(-∞,-1)∪(-1,5).
5.已知函数f(x)=,x∈(-1,0]的值域是( D )
A.(-1,0) B.[-1,0]
C.(-1,0] D.[-1,0)
解析:f(x)===1+,当x∈(-1,0]时,x-1∈(-2,-1],-1≤<-,故1+∈[-1,0).
6.已知函数f(x)=4-2x的值域为[-2,10],则函数的定义域为 .
解析:由函数的值域为[-2,10]可知,-2≤4-2x≤10,解得-3≤x≤3,因此函数的定义域为[-3,3].
答案:[-3,3]
7.函数f(x)=的定义域是 (用区间表示),f(-4)=
.
解析:函数f(x)=的定义域应满足1-2x>0,即x<,用区间表示为(-∞,).
f(-4)=.
答案:(-∞,)
8.除函数y=x,x∈[1,3]外,再写出一个定义域和值域均为[1,3]的函数 .
解析:令y=4-x,x∈[1,3],满足定义域和值域均为[1,3].
答案:y=4-x,x∈[1,3](答案不唯一)
能力提升
9.(多选题)下列四个图象,是以x为自变量的函数图象的是( ABD )
解析:A,B,D中,对任意的x只有唯一的y与其对应,而在C中,某些x有两个y值与其对应.
10.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( B )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=1-(x>1)
D.f(x)=x2+1
解析:函数f(x)=的值域为[0,+∞),函数f(x)=的值域为
(0,+∞),
函数f(x)=1-(x>1)的值域为(0,1),函数f(x)=x2+1的值域为
[1,+∞).
11.已知函数f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=f(x+)+f(x-)的定义域是( C )
A.[,1] B.[,2]
C.[,] D.[1,]
解析:由题意得
所以所以≤x≤.
12.已知函数f(x)=+,则函数y=f(x)的定义域是 ,函数y=f(x-2)的定义域是 .
解析:由题意,解得x>4.
所以函数y=f(x)的定义域是(4,+∞).
由函数f(x)=+的定义域是(4,+∞)可知函数y=f(x-2)的定义域满足x-2>4,即x>6,因此函数y=f(x-2)的定义域是(6,+∞).
答案:(4,+∞) (6,+∞)
13.已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f()与f(-x)的关系,并证明.
解:(1)由题意知,1-x2≠0,所以x≠±1,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).
(2)f()=-f(-x),证明如下:
f()==,
f(-x)==,
所以f()=-f(-x).
14.函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域为R,求k的取值范围;
(2)当k=-1时,求f(x)的值域.
解:(1)由题意得,2kx2+kx+>0,对x∈R恒成立,
当k=0时,满足题意;
当k≠0时,解得0综上可知,当0≤k<3时,函数f(x)的定义域为R.
(2)当k=-1时,令y=-2x2-x+=-2(x+)2+≤,
故0<≤,所以f(x)的值域为[,+∞).
应用创新
15.已知函数f(x)=和g(x)=,设h(x)=f(x)·g(x).
(1)若函数H(x)=x,试判断y=h(x)与y=H(x)是否为同一个函数,并说明理由;
(2)求G(x)=h(x)-的值域.
解:(1)h(x)=·=x,其中即x>-且x≠3,
故H(x)=x与h(x)=x,x>-且x≠3的定义域不一样,不是同一个函数.
(2)G(x)=x-,x>-且x≠3,
令t=,则x=,t>0且t≠,
则Q(t)=-t=t2-t-,t>0且t≠,
由Q(t)=(t-1)2-1可知Q(t)min=Q(1)=-1,又Q()=3-,
则原函数的值域为[-1,3-)∪(3-,+∞).
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3.1.1 函数及其表示方法
第一课时 函数的概念
学习目标
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,培养数学抽象的核心素养.
2.了解构成函数的要素及同一个函数的概念,能求简单函数的定义域和值域,培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
知识探究
1.函数的概念
一般地,给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x称为自变量,y称为因变量,自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域.如果自变量取值a,则由对应关系f确定的值y称为函数在a处的函数值,记作y=f(a)或y|x=a.所有函数值组成的集合{y|y=f(x),x∈A}称为函数的值域.
[思考1] 任何两个集合之间都可以建立函数关系吗
提示:不能.只有非空数集之间才能建立函数关系.
[思考2] 若f(x)为从集合A到集合B的一个函数,要求集合A中的元素在集合B中有唯一的元素与其对应,而对于集合B中的元素有要求吗
提示:对于集合B,只要集合B不是空集即可,不要求集合B中的元素在集合A中都有元素与其对应,即集合B中可以有元素在集合A中无对应元素.
[思考3] 在函数的定义中,值域与集合B有什么关系
提示:值域是集合B的子集.
(1)符号“y=f(x)”表示“x对应的函数值”,f表示对应关系.
(2)“f(x)”是一个整体,不可分开,也不能理解成“f·x”.
(3)f(a)(a∈A)与f(x)的区别与联系:f(a)表示当x=a时的函数值,是值域内的一个数值,是常量;f(x)表示自变量为x的函数,表示的是变量.例如,f(x)=2x表示函数;当x=3时,f(3)=6,是一个常量.
(4)函数的概念中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A中的任意一个(任意性)数x,在非空实数集B中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的实数y和它对应,这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.
2.同一个函数
一般地,如果两个函数表达式表示的函数定义域相同,对应关系也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
[思考4] 函数y=f(x)(x∈R)与y=f(t)(t∈R)是同一个函数吗
提示:是,虽然自变量的字母不同,但是定义域都是R,并且对应关系f相同.
探究点一 函数关系的判断
[例1] 判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数.
(1)A=N,B=N*,f:对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应;
(2)A={-1,1,2,-2},B={1,2,4},f:x→y=x2,x∈A,y∈B;
(3)A={三角形},B={x|x>0},f:对A中元素求面积与B中元素对应.
解:(1)对于A中的元素0,在f的作用下得0,但0不属于B,即A中的元素0在B中没有元素与之对应,所以不是函数.
(2)对于A中的元素±1,在f的作用下与B中的1对应,A中的元素±2,在f的作用下与B中的4对应,所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应,是“多对一”的对应,故是函数.
(3)集合A不是数集,故不是函数.
判断两集合A,B及对应关系是否为函数,主要从三个方面去判断
(1)A,B必须是非空实数集.
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应.
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一.
[针对训练] 下列对应是从集合A到集合B的函数的是( )
A.A=R,B={x∈R|x>0},f:x→
B.A=N,B=N*,f:x→|x-1|
C.A={x∈R|x>0},B=R,f:x→x2
D.A=R,B={x∈R|x≥0},f:x→
解析:选项A中,x=0时,集合B中没有元素与之对应;选项B中,当x=1时,绝对值|x-1|=0,集合B中没有元素与之对应;选项C正确;选项D中,当x为负数时,集合B中没有元素与之对应.
故选C.
探究点二 同一个函数的判定
[例2] 下列各组函数是同一个函数的是( )
①f(x)=与g(x)=x;
②f(x)=x0与g(x)=;
③f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
解析:①f(x)==|x|与g(x)=x的对应关系和值域不同,故不是同一个函数;②f(x)=x0与g(x)=都可化为y=1,且定义域都是{x|x≠0},故是同一个函数;③f(x)=x2-2x-1与 g(t)=t2-2t-1的定义域都是R,对应关系也相同,故是同一个函数.由上可知是同一个函数的是②③.故选C.
判断两个函数为同一个函数的条件
(1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同.定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数.
(2)函数是两个非空实数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.另外,在化简解析式时,必须是等价
变形.
[针对训练] 下列四组函数中,有相同图象的一组是( )
A.y=x-1,y=
B.y=,y=
C.y=2,y=
D.y=1,y=x0
解析:A选项,y=x-1与y==|x-1|的对应关系不同;B选项,y=
的定义域为[1,+∞),y=的定义域为(1,+∞),两函数的定义域不同;C选项,y=2与y==2是同一个函数,所以图象相同;D选项,y=1的定义域为R,y=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),两函数定义域不同.故选C.
探究点三 求函数的定义域
[例3] (1)求函数y=-+的定义域;
(2)求函数y=的定义域.
解:(1)要使函数有意义,
需
解得-≤x<2,且x≠0,所以函数的定义域为{x|-≤x<2,且x≠0}.
(2)要使函数有意义,
则解得x<0,且x≠-1,
所以函数的定义域为{x|x<0,且x≠-1}.
求函数定义域的依据
(1)分母不为零.
(2)偶次根式中被开方数大于或等于零.
(3)零指数幂的底数不为零.
(4)几部分组成:若y=f(x)是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式,定义域是使各部分都有意义的集合的交集.
[特别提示] 定义域是一个集合,要用集合或区间表示.若用区间表示,不同区间应该用“∪”连接.
[针对训练] (1)下列函数中,与函数y=有相同定义域的是( )
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)=|x| D.f(x)=
(2)函数f(x)=(-2)0+的定义域是 .
解析:(1)函数y=的定义域为{x|x>0};函数f(x)=的定义域为{x|x>0};函数f(x)=的定义域为{x|x≠0};函数f(x)=|x|的定义域为R;函数f(x)=的定义域为{x|x≥1}.所以与函数y=有相同定义域的是f(x)=.故选A.
(2)要使函数有意义,
需满足即
所以函数的定义域是{x|x>1且x≠5}.
答案:(1)A (2){x|x>1且x≠5}
探究点四 求函数的值
[例4] 已知f(x)=(x≠-1).
(1)求f(0)及f(f())的值;
(2)求f(1-x)及f(f(x));
(3)若f(x)=2,求x的值.
解:(1)f(0)==1.
因为f()==,
所以f(f())=f()==.
(2)f(1-x)==(x≠2).
f(f(x))=f()==x(x≠-1).
(3)由f(x)==2,
得1-x=2(1+x),
所以3x=-1,
解得x=-.
(1)求函数f(g(x))时,要正确理解对应关系“f”和“g”的含义.
(2)求f(g(x))时,一般遵循先里后外的原则,先求 g(x),然后将f(x)解析式中的x代换为g(x),同时要注意函数的定义域.
[针对训练] 已知函数f(x)=.
(1)求f(2)+f()的值;
(2)求证:f(x)+f()(x≠0)是定值;
(3)求2f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 019)+f()的值.
(1)解:因为f(x)=,
所以f(2)+f()=+=1.
(2)证明:f(x)+f()=+=+==1(x≠0),是定值.
(3)解:由(2)知,f(x)+f()=1(x≠0),
因为f(1)+f(1)=1,
f(2)+f()=1,
f(3)+f()=1,
…
f(2 019)+f()=1,
所以2f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 019)+f()=2 019.
探究点五 求函数的值域
[例5] 求下列函数的值域:
(1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5};
(2)y=+1;
(3)y=;
(4)y=2x-.
解:(1)因为y=2x+1,且x∈{1,2,3,4,5},
所以y∈{3,5,7,9,11}.
所以函数的值域为{3,5,7,9,11}.
(2)因为≥0,所以+1≥1.
所以函数的值域为[1,+∞).
(3)y===3+≠3.
所以函数的值域为{y|y≠3}.
(4)设t=,
则t≥0,且x=t2+1,
所以y=2(t2+1)-t=2(t-)2+,
由t≥0,再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为[,+∞).
求函数的值域,应先确定定义域,树立“定义域优先”原则,再根据具体情况求y的取值范围.
求函数值域的方法
(1)逐个求法:当定义域为有限集时,常用此法.
(2)观察法:如y=x2,可观察出y≥0.
(3)配方法:对于求二次函数值域的问题常用此法.
(4)换元法:对形如y=ax+b+的函数,求值域时常用换元法,令t=,将原函数转化为关于t的二次函数.
(5)分离常数法:对于形如y=的函数,常用分离常数法求值域.
(6)图象法:对于易作图象的函数,可用此法,如y=.
[针对训练] 求下列函数的值域:
(1)y=+1;
(2)y=.
解:(1)因为≥0,所以+1≥1,即所求函数的值域为[1,+∞).
(2)因为y==-1+,
又函数的定义域为R,所以x2+1≥1,
所以0<≤2,则y∈(-1,1].
所以所求函数的值域为(-1,1].
【学海拾贝】
抽象函数的定义域
[典例探究] (1)已知函数f(x)的定义域为[1,3],求函数f(2x+1)的定义域;
(2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(x)的定义域;
(3)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(3x)的定义域;
(4)若函数f(x)的定义域为[0,1],求函数g(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0)的定义域.
解:(1)由题意知函数f(2x+1)中2x+1的范围与函数f(x)中x的范围相同,
因为x∈[1,3],
所以2x+1∈[1,3],即x∈[0,1],
所以f(2x+1)的定义域为[0,1].
(2)因为x∈[1,3],
所以2x+1∈[3,7],
所以f(x)的定义域为[3,7].
(3)因为x∈[1,3],
所以2x+1∈[3,7],
所以3x∈[3,7],即x∈[1,],
所以f(3x)的定义域为[1,].
(4)依题意有
因为m>0,
所以-m<0,1-m<1+m,但m与1-m的大小不确定,
所以对m与1-m的大小讨论.
①若m=1-m,即m=,则x=m=;
②若m<1-m,即m<,则m≤x≤1-m;
③若m>1-m,即m>,则x∈ ,与题意不符.
综上,0抽象函数的定义域的求法
(1)若已知f(x)的定义域为[a,b],函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即得.
(2)若已知f(g(x))的定义域为[c,d],则x∈[c,d]时,求y=g(x)的值域,即为f(x)的定义域.
[应用探究] (1)已知函数f(x)的定义域为[-2,1],则函数f(3x-1)的定义域为( )
A.(-7,2) B.(,)
C.[-7,2] D.[-,]
(2)已知函数f(x)的定义域为[0,4],则的定义域为( )
A.[-1,4] B.[-1,2]
C.(-1,4] D.(-1,2]
解析:(1)设3x-1=t,由函数f(x)的定义域为[-2,1],得函数f(t)的定义域为[-2,1],即-2≤t≤1,因此-2≤3x-1≤1,解得-≤x≤.故
选D.
(2)由题意得解得-1
当堂检测
1.下列变化过程中,变量之间不是函数关系的为( C )
A.地球绕太阳公转的过程中,二者间的距离与时间的关系
B.在银行,给定本金和利率后,活期存款的利息与存款天数的关系
C.某地区玉米的亩产量与灌溉次数的关系
D.近年来,中国高速铁路迅猛发展,中国高铁年运营里程与年份的
关系
解析:地球绕太阳公转的过程中,二者的距离与时间存在函数关系,其中时间是自变量,距离是因变量;在银行,给定本金和利率后,活期存款的利息与存款天数的关系是函数关系,其中存款天数是自变量,利息是因变量;根据函数的定义可知某地区玉米的亩产量与灌溉次数的关系不是函数关系;高铁年运营里程与年份的关系是函数关系,其中年份是自变量,年运营里程是因变量.
2.下列各组函数表示同一个函数的是( B )
A.f(x)=x,g(x)=()6
B.f(x)=x2+1,g(t)=t2+1
C.f(x)=1,g(x)=
D.f(x)=x,g(x)=|x|
解析:A中,由于f(x)=x的定义域为R,g(x)=()6的定义域为{x|x≥0},它们的定义域不相同,所以它们不是同一个函数.
B中,函数的定义域、值域和对应关系都相同,所以它们是同一个
函数.
C中,由于f(x)=1的定义域为R,g(x)=的定义域为{x|x≠0},它们的定义域不相同,所以它们不是同一个函数.
D中,两个函数的定义域相同,但对应关系不同,所以它们不是同一个函数.
3.函数f(x)=- 的定义域是( B )
A.{x|x≥-2}
B.{x|x≥-2且x≠-1}
C.{x|x>-2}
D.{x|-2≤x<1}
解析:由题意可得
解得x≥-2且x≠-1.
即函数的定义域为{x|x≥-2且x≠-1}.
4.已知函数f(x)=2x-3,x∈A的值域为{-1,1,3},则定义域A为 .
解析:函数f(x)=2x-3的值域为{-1,1,3},即令f(x)分别等于
-1,1,3,求出对应的x,则由x组成的集合即为定义域A,为{1,2,3}.
答案:{1,2,3}
备用例题
[例1] 已知a,b为实数,集合A={a+6,-2},B={b2-2b-1,3},函数f(x)定义域为A,值域为B的解析式为f(x)=x,则a-b等于( )
A.4 B.-1
C.-2 D.-4
解析:因为A={a+6,-2},B={b2-2b-1,3},函数f(x)的解析式为f(x)=x,
所以b2-2b-1=-2,a+6=3,解得b=1,a=-3,所以a-b=-4.故选D.
[例2] (1)判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数.
①A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|;
②A=Z,B=Z,f:x→y=x2.
(2)下列式子能否确定y是x的函数
①x2+y2=4;
②y=+.
解:(1)①A中的元素0在B中没有对应元素,故不是集合A到集合B的函数.
②对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→y=x2,在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应,故是集合A到集合B的
函数.
(2)①由x2+y2=4,得y=±.
当x=1时,对应的y值有两个,故y不是x的函数.
②因为不等式组的解集是 ,即x取值的集合是 ,故y不是x的函数.
[例3] 求下列函数的值域:
(1)y=x+;
(2)y=2-.
解:(1)函数y=x+的定义域为{x|x≠0},
当x>0时,y=x+≥2=4,
当且仅当x=2时,取“=”,
当x<0时,y=x+=-(-x+)≤-2=-4,当且仅当x=-2时,取“=”.
所以y=x+的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).
(2)y=2-=2-,
因为0≤≤=2,
所以y=2-的值域为[0,2].
选题明细表
知识点、方法 题号
函数的概念及同一个函数的判断 1,2,3,8,9
函数的定义域 4,6,11,12
函数的值(值域) 5,7,10
综合应用 13,14,15
基础巩固
1.(多选题)给出下列说法,正确的是( CD )
A.函数就是两个集合之间的对应关系
B.若函数的值域只含有一个元素,则定义域也只含有一个元素
C.若f(x)=5(x∈R),则f(π)=5一定成立
D.若定义域和对应关系确定,值域也就确定了
解析:A不正确,函数是定义在两个非空实数集上的对应关系.B不正确,如函数f(x)=0(x∈R),值域为{0}.C,D正确.
2.对于变量“气压”的每一个值,变量“水的沸点”都有唯一确定的值与之对应.对于变量“油面宽度”,至少存在一个值,使得变量“储油量”的值与之对应的值不唯一.根据这两条信息,给出下列四个
结论:
①水的沸点是气压的函数;
②水的沸点不是气压的函数;
③储油量是油面宽度的函数;
④储油量不是油面宽度的函数.
其中正确结论的序号为( A )
A.①④ B.①③
C.②④ D.②③
解析:根据函数定义,自变量每确定一个值,因变量就有唯一确定的值与之对应,根据题意,水的沸点与气压符合这个对应关系,而储油量与油面宽度的对应不唯一,不符合定义.故①④正确.
3.下列四组函数中表示同一个函数的是( C )
A.f(x)=x,g(x)=
B.f(x)=x2,g(x)=(x+1)2
C.f(x)=,g(x)=|x|
D.f(x)=0,g(x)=+
解析:因为f(x)=x(x∈R)与g(x)==|x|两个函数的对应关系不一致,所以A中两个函数不表示同一个函数;因为f(x)=x2,g(x)=(x+1)2两个函数的对应关系不一致,所以B中两个函数不表示同一个函数;因为f(x)==|x|与g(x)=|x|两个函数的定义域均为R,所以C中两个函数表示同一个函数;f(x)=0(x∈R),g(x)=+=0(x=1)两个函数的定义域不一致,所以D中两个函数不表示同一个函数.
4.函数f(x)=+(x+1)0的定义域为( B )
A.(-∞,5)∪(5,+∞) B.(-∞,-1)∪(-1,5)
C.(-∞,5) D.(-1,5)
解析:要使函数有意义,则解得x<5且x≠-1,
所以函数f(x)=+(x+1)0的定义域为(-∞,-1)∪(-1,5).
5.已知函数f(x)=,x∈(-1,0]的值域是( D )
A.(-1,0) B.[-1,0]
C.(-1,0] D.[-1,0)
解析:f(x)===1+,当x∈(-1,0]时,x-1∈(-2,-1],-1≤<-,故1+∈[-1,0).
6.已知函数f(x)=4-2x的值域为[-2,10],则函数的定义域为 .
解析:由函数的值域为[-2,10]可知,-2≤4-2x≤10,解得-3≤x≤3,因此函数的定义域为[-3,3].
答案:[-3,3]
7.函数f(x)=的定义域是 (用区间表示),f(-4)=
.
解析:函数f(x)=的定义域应满足1-2x>0,即x<,用区间表示为(-∞,).
f(-4)=.
答案:(-∞,)
8.除函数y=x,x∈[1,3]外,再写出一个定义域和值域均为[1,3]的函数 .
解析:令y=4-x,x∈[1,3],满足定义域和值域均为[1,3].
答案:y=4-x,x∈[1,3](答案不唯一)
能力提升
9.(多选题)下列四个图象,是以x为自变量的函数图象的是( ABD )
解析:A,B,D中,对任意的x只有唯一的y与其对应,而在C中,某些x有两个y值与其对应.
10.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( B )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=1-(x>1)
D.f(x)=x2+1
解析:函数f(x)=的值域为[0,+∞),函数f(x)=的值域为
(0,+∞),
函数f(x)=1-(x>1)的值域为(0,1),函数f(x)=x2+1的值域为
[1,+∞).
11.已知函数f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=f(x+)+f(x-)的定义域是( C )
A.[,1] B.[,2]
C.[,] D.[1,]
解析:由题意得
所以所以≤x≤.
12.已知函数f(x)=+,则函数y=f(x)的定义域是 ,函数y=f(x-2)的定义域是 .
解析:由题意,解得x>4.
所以函数y=f(x)的定义域是(4,+∞).
由函数f(x)=+的定义域是(4,+∞)可知函数y=f(x-2)的定义域满足x-2>4,即x>6,因此函数y=f(x-2)的定义域是(6,+∞).
答案:(4,+∞) (6,+∞)
13.已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f()与f(-x)的关系,并证明.
解:(1)由题意知,1-x2≠0,所以x≠±1,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).
(2)f()=-f(-x),证明如下:
f()==,
f(-x)==,
所以f()=-f(-x).
14.函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域为R,求k的取值范围;
(2)当k=-1时,求f(x)的值域.
解:(1)由题意得,2kx2+kx+>0,对x∈R恒成立,
当k=0时,满足题意;
当k≠0时,解得0综上可知,当0≤k<3时,函数f(x)的定义域为R.
(2)当k=-1时,令y=-2x2-x+=-2(x+)2+≤,
故0<≤,所以f(x)的值域为[,+∞).
应用创新
15.已知函数f(x)=和g(x)=,设h(x)=f(x)·g(x).
(1)若函数H(x)=x,试判断y=h(x)与y=H(x)是否为同一个函数,并说明理由;
(2)求G(x)=h(x)-的值域.
解:(1)h(x)=·=x,其中即x>-且x≠3,
故H(x)=x与h(x)=x,x>-且x≠3的定义域不一样,不是同一个函数.
(2)G(x)=x-,x>-且x≠3,
令t=,则x=,t>0且t≠,
则Q(t)=-t=t2-t-,t>0且t≠,
由Q(t)=(t-1)2-1可知Q(t)min=Q(1)=-1,又Q()=3-,
则原函数的值域为[-1,3-)∪(3-,+∞).
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3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第一课时 函数的概念
第三章 函数
「学习目标」
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,培
养数学抽象的核心素养.
2.了解构成函数的要素及同一个函数的概念,能求简单函数的定义域和值域，培养数学运
算、逻辑推理的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
非空实数集
每一个
唯一确定的
［思考1］ 任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？
提示:不能.只有非空数集之间才能建立函数关系.
2.同一个函数
一般地，如果两个函数表达式表示的函数________相同，__________也相同（即对自变
量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的
就是同一个函数.
定义域
对应关系
课堂探究
素养培育
探究点一 函数关系的判断
C
探究点二 同一个函数的判定
［例2］ 下列各组函数是同一个函数的是( )
C
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
方法总结
判断两个函数为同一个函数的条件
（1）判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同.定义
域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数.
（2）函数是两个非空实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是
没有限制的.另外，在化简解析式时，必须是等价变形.
［针对训练］ 下列四组函数中，有相同图象的一组是( )
C
探究点三 求函数的定义域
A
探究点四 求函数的值
探究点五 求函数的值域
［例5］ 求下列函数的值域：
［针对训练］ 求下列函数的值域：
【学海拾贝】
抽象函数的定义域
D
D
「当堂检测」
1.下列变化过程中，变量之间不是函数关系的为( )
C
A.地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系
B.在银行，给定本金和利率后，活期存款的利息与存款天数的关系
C.某地区玉米的亩产量与灌溉次数的关系
D.近年来，中国高速铁路迅猛发展，中国高铁年运营里程与年份的关系
[解析] 地球绕太阳公转的过程中，二者的距离与时间存在函数关系，其中时间是自变
量，距离是因变量；在银行，给定本金和利率后，活期存款的利息与存款天数的关系是
函数关系，其中存款天数是自变量，利息是因变量；根据函数的定义可知某地区玉米的
亩产量与灌溉次数的关系不是函数关系；高铁年运营里程与年份的关系是函数关系，其
中年份是自变量，年运营里程是因变量.
2.下列各组函数表示同一个函数的是( )
B
B
「备用例题」
D
［例3］ 求下列函数的值域：
