第二课时 抽象函数的单调性及函数最值
学习目标
理解函数的最大值和最小值的概念与几何意义.培养数学运算与逻辑推理的核心素养.
知识探究
1.抽象函数的单调性
没有给出具体解析式的函数,称为抽象函数.
判断抽象函数的单调性,一是“凑”,凑定义或凑已知条件,从而使用定义或已知条件得出单调性的结论;二是赋值法,根据条件等式给变量赋值,反复利用已知等式,达到判号的目的.
2.函数的最值
前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M(m)
条件 x∈D, 都有f(x)≤M, x0∈D, 使得f(x0)=M x∈D, 都有f(x)≥m, x0∈D, 使得f(x0)=m
续 表
结论 称M是函数y=f(x)的最大值 称m是函数y=f(x)的最小值
判断最值的两个条件:
(1)对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))成立;
(2)f(x0)是一个函数值,它是值域的一个元素.
两个条件缺一不可,若只有前者,f(x0)不是最大(小)值,如f(x)=-x2≤1成立,但1不是最大值,更不能只有后者,那样就丢掉了最大值的核心了.
[思考] 若函数的定义域是开区间,则函数能存在最值吗
提示:可以,如f(x)=x2(x∈(-1,2)),但是函数存在最小值f(0)=0.
(1)若函数f(x),g(x)在给定的区间上具有单调性,则
①函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
②C >0时,函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性;C<0时,函数f(x)与C·f(x)具有相反的单调性.
③若f(x)≠0,则函数f(x)与具有相反的单调性.
④若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数;若f(x)是增函数,g(x)是减函数,则f(x)-g(x)是增函数.
(2)若f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)≤f(x)≤f(b),即最大值为f(b),最小值为 f(a);若f(x)在[a,b]上单调递减,则f(b)≤f(x)≤f(a),即最大值为f(a),最小值为f(b).
(3)根据函数的单调性求参数的值或取值范围问题是将含参数问题转化为恒成立问题,再转化为求函数在其定义域上的最大值、最小值问题.
①a>f(x)在[m,n]上恒成立 a>f(x)在[m,n]上的最大值.
②a
探究点一 函数的最大(小)值
角度一 利用函数图象求最值
[例1] 已知函数f(x)=|x-2|(x+1),试研究函数的单调性,并确定函数是否存在最值.
解:当x≥2,即x-2≥0时,
f(x)=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x-)2-;
当x<2,即x-2<0时,
f(x)=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x-)2+.
所以f(x)=
画出该分段函数的图象,如图所示.
由图象可知,函数y=|x-2|(x+1)在(-∞,],[2,+∞)上是增函数;
在[,2]上是减函数.观察函数图象,可知函数不存在最大值,也不存在最小值.
用图象法求最值的一般步骤
[针对训练] (1)函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )
A.-2,f(2) B.2,f(2)
C.-2,f(5) D.2,f(5)
(2)求函数f(x)=的最值.
(1)解析:由函数的图象知,当x=-2时,有最小值-2;当x=5时,有最大值f(5).故选C.
(2)解:函数f(x)的图象如图.
由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.
角度二 利用函数单调性求最值
[例2] 已知函数f(x)=+1.
(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明;
(2)求f(x)在[1, 3]上的最值.
解:(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.证明如下:设x1,x2是(0,+∞)上任意两个实数,且x1,
因为x2>x1>0,
所以x1+x2>0,x2-x1>0,(x1x2)2>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[1,3]上单调递减,
所以当x=1时,函数f(x)取最大值,最大值为f(1)=2,
当x=3时,函数f(x)取最小值,最小值为f(3)=.
用单调性求函数的最值的一般步骤
(1)判断函数的单调性.
(2)利用单调性求出最值.
提醒:(1)求最值勿忘求定义域.
(2)闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定注意.
[针对训练] 已知函数f(x)=,求函数f(x)在区间[2,9]上的最大值与最小值.
解: x1,x2∈[2,9],且x1f(x1)-f(x2)=-
=-
=.
因为x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在区间[2,9]上单调递增.
故函数f(x)在区间[2,9]上的最大值为f(9)==,最小值为f(2)==.
角度三 应用二次函数特征求最值
[例3] 求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.
解:原函数可化为f(x)=(x-a)2-1-a2,
由此可知,对称轴为直线x=a.
当a≤0时,由图①可知,f(x)在区间[0,2]上是增函数,
所以f(x)min=f(0)=-1,
f(x)max=f(2)=3-4a;
当0所以f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a;
当1当a≥2时,由图④可知,f(x)在[0,2]上为减函数,所以f(x)min=f(2)=3-4a,
f(x)max=f(0)=-1.
综上,当a≤0时,
f(x)min=-1,
f(x)max=3-4a;
当0f(x)min=-1-a2,f(x)max=3-4a;
当1当a≥2时,f(x)min=3-4a,f(x)max=-1.
含参数二次函数最值的方法.含参数的一元二次函数在闭区间上的最值主要是利用分类讨论求解.
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为直线x=m为例,区间为[a,b],则有
(1)最小值:f(x)min=
(2)最大值:f(x)max=
当图象开口向下时,可用类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.
[针对训练] (1)已知函数f(x)=x2-2x+3在区间[0,t]上的最大值为3,最小值为2,则实数t的取值范围是( )
A.[1,2] B.(0,1]
C.[1,+∞) D.(0,2]
(2)函数y=-x2-2ax(0≤x≤1)的最大值是a2,则实数a的取值范围是 .
解析:(1)f(x)=(x-1)2+2≥2,则函数在顶点处取得最小值,故t≥1;又(x-1)2+2=3,得x=0或2,故t≤2,所以1≤t≤2.故选A.
(2)函数y=-x2-2ax=-(x+a)2+a2,当x=-a时,函数有最大值a2,又因为0≤x≤1,所以0≤-a≤1,-1≤a≤0,故实数a的取值范围是[-1,0].
答案:(1)A (2)[-1,0]
探究点二 抽象函数的单调性
[例4] f(x)是定义在区间(0,+∞)上的函数,满足f()=f(x1)-f(x2),当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值.
解:(1)因为f()=f(x1)-f(x2),
则令x1=x2,可得f(1)=0.
(2)令x1>x2>0,则>1,因为当x>1时,f(x)<0,所以f()=f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
(3)因为f(3)=-1,所以f()=f(9)-f(3),
即f(9)=2f(3)=-2,
由(2)可知f(x)在[2,9]上单调递减,
所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)=-2.
赋值法是解决与抽象函数相关问题的重要方法,一般抓住条件等式,探讨函数的性质.
[针对训练] 已知函数f(x)对任意的x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0.
求证:(1)f(-x)=-f(x);
(2)f(x)在R上为减函数.
证明:(1)令x=y=0,则2f(0)=f(0),
所以f(0)=0.
令y=-x,
则f(x-x)=f(x)+f(-x),
所以f(x)+f(-x)=f(0)=0,
即f(-x)=-f(x).
(2)设x>y,则x-y>0,
因此f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)<0,
即f(x)所以函数f(x)在R上为减函数.
当堂检测
1.若函数y=在区间[2,4]上的最小值为5,则k的值为( C )
A.5 B.8 C.20 D.无法确定
解析:由题意得或所以k=20.
2.函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为( A )
A.10,6 B.10,8
C.8,6 D.以上都不对
解析:当1≤x≤2时,8≤2x+6≤10,当-1≤x<1时,6≤x+7<8.
所以最小值f(-1)=6,最大值为f(2)=10.
3.函数f(x)=-x2+4x(-2≤x≤2)的值域是( C )
A.[-20,4] B.(-20,4)
C.[-12,4] D.(-12,4)
解析:由函数f(x)=-x2+4x可知,二次函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=2,当-2≤x≤2时,函数f(x)单调递增,函数的最大值为f(2)=
4,最小值为f(-2)=-12.
4.函数f(x)=的最大值为 .
解析:因为2-x(1-x)=(x-)2+≥,
所以f(x)≤=f(),即最大值为.
答案:
备用例题
[例1] 已知二次函数y=-x2+2ax+a-2在x∈[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.
解:y=-x2+2ax+a-2=-(x-a)2+a2+a-2,
①若a∈[-1,2],则当x=a时,
ymax=a2+a-2,由题意知a2+a-2=4,
即a2+a-6=0,a=-3或a=2.
因为a∈[-1,2],所以a=2符合条件.
②若a<-1,因为二次函数y=f(x)在[a,+∞)上单调递减,即在[-1,2]上单调递减,
所以当x=-1时,
ymax=-1-2a+a-2=-a-3,
由-a-3=4,得a=-7,
所以a=-7符合条件.
③若a>2,则二次函数y=f(x)在[-1,2]上单调递增,
所以当x=2时,ymax=-4+4a+a-2=5a-6.
由5a-6=4,得a=2,所以此时不存在符合条件的a.
综上,符合条件的a的值为2或-7.
[例2] 已知函数f(x)=8+2x-x2,g(x)=f(2-x2),试求g(x)的单调
区间.
解:令u(x)=2-x2,则u(x)在(-∞,0]上为增函数,在[0,+∞)上为减
函数,
又知f(x)=8+2x-x2在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,
令-x2+2=1,则x=±1,
所以当x∈(-∞,-1]时,u(x)为增函数,
值域为(-∞,1],
且f(x)在(-∞,1]上也为增函数,
所以g(x)在(-∞,-1]上为增函数.
同理,g(x)在[-1,0]上为减函数,
在[0,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数.
所以函数g(x)的单调递增区间是(-∞,-1],[0,1],单调递减区间是[-1,0],[1,+∞).
[例3] 已知函数f(x)=1-.
(1)判断并证明函数f(x)在定义域上的单调性;
(2)求函数f(x)在[-3,0]上的最大值与最小值.
解:(1)f(x)=1-在定义域(-∞,1]上是增函数.
证明:因为f(x)=1-,所以1-x≥0,
所以x≤1.
所以函数的定义域为(-∞,1].
设x1f(x1)-f(x2)=1--(1-)=-=
=
=.
因为x1所以≥0,>0,x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)所以函数f(x)=1-在定义域(-∞,1]上是增函数.
(2)由(1)知函数f(x)在(-∞,1]上是增函数,
所以函数f(x)在[-3,0]上是增函数,
因此函数f(x)=1-在[-3,0]上有最小值f(-3)=-1,最大值f(0)=0.
选题明细表
知识点、方法 题号
抽象函数的单调性应用 14
函数的最值 1,2,4,7,9,10,13
综合应用 3,5,6,8,11,12,15
基础巩固
1.已知函数y=(k≠0),在[3,8]上的最大值为1,则k的值为( A )
A.1 B.-6
C.1或-6 D.6
解析:由题意,当k>0时,函数y=在[3,8]上单调递减,因为函数在[3,8]上的最大值为1,
所以=1,所以k=1.
当k<0时,函数y=在[3,8]上单调递增,因为函数在[3,8]上的最大值为1,
所以=1,所以k=6(舍去).
2.已知函数f(x)=x2-k.若存在实数m,n,使得函数f(x)在区间[,]上的值域为[2,2],则实数k的取值范围为( A )
A.(-1,0] B.(-1,+∞)
C.(-2,0] D.(-2,+∞)
解析:因为f(x)=x2-k在[0,+∞)上单调递增,
所以要使得函数f(x)在区间[,]上的值域为[2,2],
则即
所以,为方程x2-2x-k=0的两不相等的非负实数根,
所以解得-13.(多选题)已知函数f(x)=x2的值域是[0,4],则它的定义域可能是( AD )
A.[-1,2] B.[-3,2]
C.[-1,1] D.[-2,1]
解析:因为f(x)的值域是[0,4],所以0≤x2≤4,
所以-2≤x≤2.
且x=0时,y=0,x=2或-2时,y=4,
所以f(x)的定义域可能是[-1,2],[-2,1],
因为f(-3)=9,f(x)在[-1,1]上的最大值为1,所以[-3,2]和[-1,1]不可能是f(x)的定义域.
4.(多选题)函数f(x)=x-在区间[1,3]上有( AC )
A.最小值为0 B.最小值为3
C.最大值为 D.最大值为4
解析:因为函数f(x)=x-在[1,3]上单调递增,
所以f(x)=x-在区间[1,3]上的最大值为f(3)=3-=,最小值为f(1)=0.
5.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则a的取值范围是( A )
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
解析:由题意,f(x)=(x-a)2-a2+a,
所以函数图象的对称轴为直线x=a.
若a≥1,则函数在区间(-∞,1)上是减函数,
因为是开区间,所以没有最小值,
所以a<1,且当x=a时取得最小值.
6.已知一次函数f(x)=(4a-2)x+3在x∈[-2,1]上的最大值为9,则实数a的值为 .
解析:当4a-2>0时,f(x)在[-2,1]上单调递增,
所以所以所以a=2.
当4a-2<0时,f(x)在[-2,1]上单调递减,
所以
所以
所以a=-.
综上所述,a=2或a=-.
答案:2或-
7.对于任意的实数x1,x2,min{x1,x2}表示x1,x2中较小的那个数,若f(x)=8-x2,g(x)=2x,则min{f(x),g(x)}的最大值是 .
解析:作出函数f(x),g(x)的图象如图所示.
令f(x)=g(x),即8-x2=2x,
解得x=-4,x=2,
所以F(x)=min{f(x),g(x)}=
由图象知,F(x)max=F(2)=4.
所以min{f(x),g(x)}的最大值是4.
答案:4
8.已知函数f(x)的定义域为[0,2],则能够说明“若f(x)在区间[0,2]上的最大值为f(2),则f(x)是增函数”为假命题的一个函数是 .
解析:对于函数f(x)=(x-1)2,x∈[0,2],
函数在[0,1)上单调递减,在[1,2]上单调递增,且f(0)=f(2)=1,
所以f(x)在区间[0,2]上的最大值为f(2)=1,但是函数在[0,2]上不具有单调性,
故命题“若f(x)在区间[0,2]上的最大值为f(2),则f(x)是增函数”为假命题.
答案:f(x)=(x-1)2(答案不唯一)
能力提升
9.(多选题)已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是( BCD )
A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1
B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值
C.f(x)在区间[2,3]上有最小值2,最大值5
D.当01时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为1
解析:函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1.在选项A中,因为f(x)在区间[-1,0]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,A错误;在选项B中,因为f(x)在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f(1)=1,又因为f(-1)=5,f(2)=2,f(-1)>f(2),所以f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1)=5,B正确;在选项C中,因为f(x)在区间[2,3]上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,C正确;在选项D中,当01时,由图象(图略)知f(x)在区间[0,a]上的最小值为1,D正确.
10.函数y=2x+,则( A )
A.ymax=,无最小值
B.ymin=,无最大值
C.ymin=,ymax=
D.既无最大值,也无最小值
解析:设t=(t≥0),则2x=1-t2,因此f(t)=1-t2+t=-(t-)2+,
由二次函数的性质可知f(t)在[0,]上单调递增,在(,+∞)上单调
递减,
因此f(t)在t=,即x=处取得最大值,无最小值.
11.函数f(x)=x(|x|-2)在[m,n]上的最小值为-1,最大值是3,则n-m的最大值为 .
解析:函数f(x)=x(|x|-2)=作出函数图象如图所示,
当x≥0时,令x(x-2)=3,得x1=-1(舍去),x2=3,
当x<0时,令x(-x-2)=-1,得x3=-1-,x4=-1+(舍去),
结合图象可得(n-m)max=x2-x3=3-(-1-)=4+.
答案:4+
12.设函数f(x)=当a=1时,f(x)的最小值是 ,若f(x)≥a2恒成立,则a的取值范围是 .
解析:当a=1时,当x≤0时,f(x)=(x-1)2≥1,当x>0时,f(x)=x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立.所以f(x)的最小值为1.
当x≤0时,f(x)≥a2,即(x-a)2≥a2,即x(x-2a)≥0恒成立,所以x-2a≤0恒成立,即2a≥x恒成立,所以2a≥0,即a≥0.
当x>0时,f(x)≥a2,即x+≥a2恒成立,因为x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,所以a2≤2,所以-≤a≤.
综上所述,a的取值范围是[0,].
答案:1 [0,]
13.已知函数f(x)=.
(1)证明:f(x)在区间(0,2]上单调递减;
(2)已知a>0,f(x)在[a,1]上的值域是[b,],求a,b的值.
(1)证明:因为函数f(x)==x+,
任取x1,x2∈(0,2],且x1所以f(x1)-f(x2)= (x1+)-(x2+)=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)(1-).
因为0所以x1-x2<0,0所以>1,即1-<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在区间(0,2]上单调递减.
(2)解:因为a>0,且f(x)在[a,1]上的值域是[b,],
由(1)知f(x)在[a,1]上是减函数,
所以f(a)=,且f(1)=b,
即解得a=,
b=f(1)=1+4=5.
14.设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意正实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且x>1时,f(x)>0.
(1)求f()的值;
(2)判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性并给出证明;
(3)解不等式f(2x)>f(8x-6)-1.
解:(1)令x=y=1,则f(1)=0,再令x=2,y=,得f(1)=f(2)+f(),
故f()=-1.
(2)y=f(x)在(0,+∞)上为增函数,证明如下:
设0即f(x2)-f(x1)=f(),
因为>1,故f()>0,即f(x2)>f(x1),
故f(x)在(0,+∞)上为增函数.
(3)由f(2x)>f(8x-6)-1及f()=-1得
f(2x)>f(8x-6)+f()=f((8x-6))=f(4x-3),又f(x)为定义域上的增函数,
故2x>4x-3>0,解得所以不等式的解集为.
应用创新
15.已知函数f(x)=x2+ax+4.
(1)当a=-2时,求f(x)在[-2,2]上的值域;(2)在① x∈[-2,2],
② x∈[1,3]这两个条件中任选一个,补充到下面问题的横线中,并求解该问题.
若 ,f(x)≥0,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=-2时,
f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,
则f(x)在[-2,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,
所以f(x)在[-2,2]上的最小值为f(1)=3,
最大值为max{f(-2),f(2)}=max{12,4}=12,
所以f(x)的值域为[3,12].
(2)选择条件①.
若a≥4,则f(x)在[-2,2]上单调递增,
所以f(x)的最小值为f(-2)=8-2a≥0.
又因为a≥4,所以a=4.
若-4在[-,2]上单调递增,
所以f(x)的最小值为f(-)=4-≥0,
得-4若a≤-4,则f(x)在[-2,2]上单调递减,
所以f(x)的最小值为f(2)=8+2a≥0.
又因为a≤-4,所以a=-4.
综上所述,实数a的取值范围为[-4,4].
选择条件②.
因为 x∈[1,3],f(x)≥0,
所以f(x)max≥0,即max{f(1),f(3)}≥0.
所以f(1)≥0或f(3)≥0,即a≥-5或a≥-.
所以a≥-5.
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3.1 函数的概念与性质
3.1.2 函数的单调性
第二课时 抽象函数的单调性及
函数最值
「学习目标」
理解函数的最大值和最小值的概念与几何意义.培养数学运算与逻辑推理的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
1.抽象函数的单调性
没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.
判断抽象函数的单调性，一是“凑”，凑定义或凑已知条件，从而使用定义或已知条件得
出单调性的结论；二是赋值法，根据条件等式给变量赋值，反复利用已知等式，达到判
号的目的.
2.函数的最值
前提
条件
结论
［思考］ 若函数的定义域是开区间，则函数能存在最值吗？
课堂探究
素养培育
探究点一 函数的最大（小）值
角度一 利用函数图象求最值
画出该分段函数的图象,如图所示.
方法总结
用图象法求最值的一般步骤
C
角度二 利用函数单调性求最值
方法总结
用单调性求函数的最值的一般步骤
（1）判断函数的单调性.
（2）利用单调性求出最值.
提醒：（1）求最值勿忘求定义域.
（2）闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求
解时一定注意.
角度三 应用二次函数特征求最值
A
探究点二 抽象函数的单调性
方法总结
赋值法是解决与抽象函数相关问题的重要方法，一般抓住条件等式，探讨函数的性质.
求证：
「当堂检测」
C
A.5 B.8 C.20 D.无法确定
A
A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对
C
「备用例题」第二课时 抽象函数的单调性及函数最值
选题明细表
知识点、方法 题号
抽象函数的单调性应用 14
函数的最值 1,2,4,7,9,10,13
综合应用 3,5,6,8,11,12,15
基础巩固
1.已知函数y=(k≠0),在[3,8]上的最大值为1,则k的值为( A )
A.1 B.-6
C.1或-6 D.6
解析:由题意,当k>0时,函数y=在[3,8]上单调递减,因为函数在[3,8]上的最大值为1,
所以=1,所以k=1.
当k<0时,函数y=在[3,8]上单调递增,因为函数在[3,8]上的最大值为1,
所以=1,所以k=6(舍去).
2.已知函数f(x)=x2-k.若存在实数m,n,使得函数f(x)在区间[,]上的值域为[2,2],则实数k的取值范围为( A )
A.(-1,0] B.(-1,+∞)
C.(-2,0] D.(-2,+∞)
解析:因为f(x)=x2-k在[0,+∞)上单调递增,
所以要使得函数f(x)在区间[,]上的值域为[2,2],
则即
所以,为方程x2-2x-k=0的两不相等的非负实数根,
所以解得-13.(多选题)已知函数f(x)=x2的值域是[0,4],则它的定义域可能是( AD )
A.[-1,2] B.[-3,2]
C.[-1,1] D.[-2,1]
解析:因为f(x)的值域是[0,4],所以0≤x2≤4,
所以-2≤x≤2.
且x=0时,y=0,x=2或-2时,y=4,
所以f(x)的定义域可能是[-1,2],[-2,1],
因为f(-3)=9,f(x)在[-1,1]上的最大值为1,所以[-3,2]和[-1,1]不可能是f(x)的定义域.
4.(多选题)函数f(x)=x-在区间[1,3]上有( AC )
A.最小值为0 B.最小值为3
C.最大值为 D.最大值为4
解析:因为函数f(x)=x-在[1,3]上单调递增,
所以f(x)=x-在区间[1,3]上的最大值为f(3)=3-=,最小值为f(1)=0.
5.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则a的取值范围是( A )
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
解析:由题意,f(x)=(x-a)2-a2+a,
所以函数图象的对称轴为直线x=a.
若a≥1,则函数在区间(-∞,1)上是减函数,
因为是开区间,所以没有最小值,
所以a<1,且当x=a时取得最小值.
6.已知一次函数f(x)=(4a-2)x+3在x∈[-2,1]上的最大值为9,则实数a的值为 .
解析:当4a-2>0时,f(x)在[-2,1]上单调递增,
所以所以所以a=2.
当4a-2<0时,f(x)在[-2,1]上单调递减,
所以
所以
所以a=-.
综上所述,a=2或a=-.
答案:2或-
7.对于任意的实数x1,x2,min{x1,x2}表示x1,x2中较小的那个数,若f(x)=8-x2,g(x)=2x,则min{f(x),g(x)}的最大值是 .
解析:作出函数f(x),g(x)的图象如图所示.
令f(x)=g(x),即8-x2=2x,
解得x=-4,x=2,
所以F(x)=min{f(x),g(x)}=
由图象知,F(x)max=F(2)=4.
所以min{f(x),g(x)}的最大值是4.
答案:4
8.已知函数f(x)的定义域为[0,2],则能够说明“若f(x)在区间[0,2]上的最大值为f(2),则f(x)是增函数”为假命题的一个函数是 .
解析:对于函数f(x)=(x-1)2,x∈[0,2],
函数在[0,1)上单调递减,在[1,2]上单调递增,且f(0)=f(2)=1,
所以f(x)在区间[0,2]上的最大值为f(2)=1,但是函数在[0,2]上不具有单调性,
故命题“若f(x)在区间[0,2]上的最大值为f(2),则f(x)是增函数”为假命题.
答案:f(x)=(x-1)2(答案不唯一)
能力提升
9.(多选题)已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是( BCD )
A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1
B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值
C.f(x)在区间[2,3]上有最小值2,最大值5
D.当01时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为1
解析:函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1.在选项A中,因为f(x)在区间[-1,0]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,A错误;在选项B中,因为f(x)在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f(1)=1,又因为f(-1)=5,f(2)=2,f(-1)>f(2),所以f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1)=5,B正确;在选项C中,因为f(x)在区间[2,3]上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,C正确;在选项D中,当01时,由图象(图略)知f(x)在区间[0,a]上的最小值为1,D正确.
10.函数y=2x+,则( A )
A.ymax=,无最小值
B.ymin=,无最大值
C.ymin=,ymax=
D.既无最大值,也无最小值
解析:设t=(t≥0),则2x=1-t2,因此f(t)=1-t2+t=-(t-)2+,
由二次函数的性质可知f(t)在[0,]上单调递增,在(,+∞)上单调
递减,
因此f(t)在t=,即x=处取得最大值,无最小值.
11.函数f(x)=x(|x|-2)在[m,n]上的最小值为-1,最大值是3,则n-m的最大值为 .
解析:函数f(x)=x(|x|-2)=作出函数图象如图所示,
当x≥0时,令x(x-2)=3,得x1=-1(舍去),x2=3,
当x<0时,令x(-x-2)=-1,得x3=-1-,x4=-1+(舍去),
结合图象可得(n-m)max=x2-x3=3-(-1-)=4+.
答案:4+
12.设函数f(x)=当a=1时,f(x)的最小值是 ,若f(x)≥a2恒成立,则a的取值范围是 .
解析:当a=1时,当x≤0时,f(x)=(x-1)2≥1,当x>0时,f(x)=x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立.所以f(x)的最小值为1.
当x≤0时,f(x)≥a2,即(x-a)2≥a2,即x(x-2a)≥0恒成立,所以x-2a≤0恒成立,即2a≥x恒成立,所以2a≥0,即a≥0.
当x>0时,f(x)≥a2,即x+≥a2恒成立,因为x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,所以a2≤2,所以-≤a≤.
综上所述,a的取值范围是[0,].
答案:1 [0,]
13.已知函数f(x)=.
(1)证明:f(x)在区间(0,2]上单调递减;
(2)已知a>0,f(x)在[a,1]上的值域是[b,],求a,b的值.
(1)证明:因为函数f(x)==x+,
任取x1,x2∈(0,2],且x1所以f(x1)-f(x2)= (x1+)-(x2+)=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)(1-).
因为0所以x1-x2<0,0所以>1,即1-<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在区间(0,2]上单调递减.
(2)解:因为a>0,且f(x)在[a,1]上的值域是[b,],
由(1)知f(x)在[a,1]上是减函数,
所以f(a)=,且f(1)=b,
即解得a=,
b=f(1)=1+4=5.
14.设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意正实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且x>1时,f(x)>0.
(1)求f()的值;
(2)判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性并给出证明;
(3)解不等式f(2x)>f(8x-6)-1.
解:(1)令x=y=1,则f(1)=0,再令x=2,y=,得f(1)=f(2)+f(),
故f()=-1.
(2)y=f(x)在(0,+∞)上为增函数,证明如下:
设0即f(x2)-f(x1)=f(),
因为>1,故f()>0,即f(x2)>f(x1),
故f(x)在(0,+∞)上为增函数.
(3)由f(2x)>f(8x-6)-1及f()=-1得
f(2x)>f(8x-6)+f()=f((8x-6))=f(4x-3),又f(x)为定义域上的增函数,
故2x>4x-3>0,解得所以不等式的解集为.
应用创新
15.已知函数f(x)=x2+ax+4.
(1)当a=-2时,求f(x)在[-2,2]上的值域;(2)在① x∈[-2,2],
② x∈[1,3]这两个条件中任选一个,补充到下面问题的横线中,并求解该问题.
若 ,f(x)≥0,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=-2时,
f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,
则f(x)在[-2,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,
所以f(x)在[-2,2]上的最小值为f(1)=3,
最大值为max{f(-2),f(2)}=max{12,4}=12,
所以f(x)的值域为[3,12].
(2)选择条件①.
若a≥4,则f(x)在[-2,2]上单调递增,
所以f(x)的最小值为f(-2)=8-2a≥0.
又因为a≥4,所以a=4.
若-4在[-,2]上单调递增,
所以f(x)的最小值为f(-)=4-≥0,
得-4若a≤-4,则f(x)在[-2,2]上单调递减,
所以f(x)的最小值为f(2)=8+2a≥0.
又因为a≤-4,所以a=-4.
综上所述,实数a的取值范围为[-4,4].
选择条件②.
因为 x∈[1,3],f(x)≥0,
所以f(x)max≥0,即max{f(1),f(3)}≥0.
所以f(1)≥0或f(3)≥0,即a≥-5或a≥-.
所以a≥-5.
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