(共32张PPT)
3.2 函数与方程、不等式之间的
关系
第二课时 零点的存在性及其近似
值的求法
「学习目标」
1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数.培养逻辑推理的核心素养.
2.了解二分法是求函数零点近似值的常用方法，掌握二分法求函数零点近似值的步骤.提
升数据分析、数学建模的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
连续不断的
［思考1］ （1）利用函数零点存在定理是否能确定零点的个数？
［做一做］ 思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
×
√
×
2.变号零点与不变号零点
3.二分法
二分法
的定义 条件
过程
一分为二
［思考3］ 二分法求出的零点是准确值吗？所有函数都可以用二分法求零点吗？
课堂探究
素养培育
探究点一 判断函数零点的个数或所在区间
1 2 3 4 5 6
123.56 21.45 11.45
则下列说法正确的是( )
B
B
B
探究点二 二分法的概念
［例2］ （1）下列函数中能用二分法求零点的是( )
C
A. B. C. D.
C
方法总结
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零
点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对连续函数的变号零点适
用，对连续函数的不变号零点不适用.
D
A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3
探究点三 用二分法求零点的近似值
区间 中点的值 中点函数近似值
1.25
方法总结
（1）利用二分法求函数近似零点应关注三点
①要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.
②用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间.
③根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继
续计算.
A
「当堂检测」
C
B
⑤
「备用例题」
D
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
［例2］ 判断下列函数是否可用二分法求零点：第二课时 零点的存在性及其近似值的求法
学习目标
1.掌握函数零点存在定理,并会判断函数零点的个数.培养逻辑推理的核心素养.
2.了解二分法是求函数零点近似值的常用方法,掌握二分法求函数零点近似值的步骤.提升数据分析、数学建模的核心素养.
知识探究
1.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即 x0∈(a,b),f(x0)=0.
[思考1] (1)利用函数零点存在定理是否能确定零点的个数
(2)函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,是不是一定有f(a)f(b)<0
提示:(1)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在,而不能确定零点的个数.如图①,②,虽然都有f(a)f(b)<0,但图①中的函数在区间(a,b)内有4个零点,图②中的函数在区间(a,b)内仅有1个
零点.
(2)若函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则由f(a)f(b)<0可以推出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点;但是,由函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点不一定能推出f(a)f(b)<0.如图③,虽然在区间(a,b)内函数f(x)有零点,但f(a)f(b)>0.
[做一做]
思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)若函数y=f(x)在[a,b]上图象连续,且f(a)f(b)>0,则y=f(x)在(a,b)内一定没有零点.( )
(2)若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[a,b]上至多有一个零点.( )
(3)函数y=2x-1的零点是(,0).( )
答案:(1)× (2)√ (3)×
2.变号零点与不变号零点
[思考2] 若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)f()>0,则 f(x)在[a,]和[,b]上有零点吗
提示:由f(a)f(b)<0,f(a)f()>0知,f(x)在[a,]上不一定有零点,又f()f(b)<0,根据零点存在定理可知f(x)在[,b]上有零点.
3.二分法
二分法 的定义 条件 函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,且f(a)f(b)<0
过程 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值.这种求函数零点近似值的方法叫做二分法
4.用二分法求函数零点近似值的步骤
给定近似的精确度ε,用二分法求函数f(x)在[a,b]上的零点近似值的一般步骤如下:
第一步 检查|b-a|≤2ε是否成立,如果成立,取x1=,计算结束;如果不成立,转到第二步.
第二步 计算区间(a,b)的中点对应的函数值,若f()=0,取x1=,计算结束;若f()≠0,转到第三步.
第三步 若f(a)f()<0,将的值赋给b(用→b表示,下同),回到第一步;否则必有f()f(b)<0,将的值赋给a,回到第一步.
[思考3] 二分法求出的零点是准确值吗 所有函数都可以用二分法求零点吗
提示:用二分法求出的零点一般是零点的近似值.并不是所有函数都可以用二分法求零点,必须满足在区间[a,b]上的图象是连续不断的,且f(a)f(b)<0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值.
[思考4] 函数f(x)=|x|可以用二分法求零点吗 二分法的实质是什么
提示:不能.函数f(x)=|x|有零点是0,但该函数零点两侧的函数值都大于零,不是变号零点,故不能用二分法求该零点.用二分法求方程的近似解,实质上就是通过“取中点”的方法,运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间.
(1)若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相切,则零点x0为不变号零点;若函数f(x)的图象在x=x0处穿过x轴,则零点x0为变号零点.
(2)二分法只能求函数的变号零点的近似值.
(3)求函数零点的近似值时,所要求的精确度不同,得到的结果也不相同.精确度要求越高,零点的近似值所在的区间长度越小,计算过程越长.用二分法求函数零点的近似值一般需借助计算器计算.
探究点一 判断函数零点的个数或所在区间
[例1] (1)已知函数y=f(x)的图象是连续不断的一条曲线,有如下的对应值表.
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 -7.82 11.45 -53.76 -128.88
则下列说法正确的是( )
A.函数y=f(x)在区间[1,6]上有3个零点
B.函数y=f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点
C.函数y=f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点
D.函数y=f(x)在区间[1,2]上无零点
(2)函数f(x)=x3+x-5的零点所在区间为( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析:(1)由题表可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0.由函数零点存在定理知,函数y=f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上分别至少存在1个零点,
所以函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 3个.虽然f(1)f(2)>0,但函数y=f(x)在 [1,2] 上也有可能存在1个或多个零点.
故选B.
(2)由函数f(x)=x3+x-5可得f(1)=1+1-5=-3<0,f(2)=8+2-5=5>0,
故有f(1)f(2)<0,
根据函数零点存在定理可得,函数f(x)的零点所在区间为(1,2).故选B.
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入:将区间端点值代入函数求出相应的函数值.
(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断.
(3)结论:若符号为正,且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负,且函数的图象连续,则在该区间内至少有一个零点.
[针对训练] 在下列区间上,方程x3=3x-1无实数解的是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
解析:令f(x)=x3-3x+1,
易知f(x)的图象在R上连续,
f(-1)=-1+3+1=3>0,f(-2)=-8+6+1=-1<0,f(0)=0-0+1=1>0,
f(1)=1-3+1=-1<0,f(2)=8-6+1=3>0,
故f(x)在(-2,-1),(0,1),(1,2)上有零点,
故方程x3-3x+1=0在区间(-1,0)上没有实数解.故选B.
探究点二 二分法的概念
[例2] (1)下列函数中能用二分法求零点的是( )
(2)用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
解析:(1)在A和D中,函数虽有零点,但它们均是不变号零点,因此它们都不能用二分法求零点.在B中,函数无零点.在C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且其零点为变号零点,所以C中的函数能用二分法求其零点.故选C.
(2)由二分法的思想可知,零点x1,x2,x4左右两侧的函数值符号相反,即存在区间[a,b],使得f(a)f(b)<0,故x1,x2,x4可以用二分法求解,但x3∈[a,b]时均有 f(a)f(b)≥0,故不可以用二分法求该零点.故选C.
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对连续函数的变号零点适用,对连续函数的不变号零点不适用.
[针对训练] 已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求零点的个数分别为( )
A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3
解析:函数f(x)的图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左、右函数值异号的有3个零点,所以可以用二分法求零点的个数为3.故选D.
探究点三 用二分法求零点的近似值
[例3] 求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度为0.1).
解:由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:
区间 中点 的值 中点函数 近似值
(-3,-2) -2.5 1.25
(-2.5,-2) -2.25 0.062 5
(-2.25,-2) -2.125 -0.484 4
(-2.25,-2.125) -2.187 5 -0.214 8
(-2.25,-2.187 5) -2.218 75 -0.077 1
由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1,
所以函数的一个近似负零点可取-2.25.
(1)利用二分法求函数近似零点应关注三点
①要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
②用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间.
③根据给定的精确度,及时检验所得区间长度是否达到要求,以决定是停止计算还是继续计算.
(2)注意“精确度为ε”与“精确到ε”
①按“精确度为ε”要求得到的近似值不是唯一的,即若|b-a|<2ε,则[a,b]上任何一个实数值x0均可作为所求的近似值.
②按“精确到ε”要求得到的近似值是唯一的,即判断区间(a,b)两端点精确到ε的近似值是否相同.若相同,则该值x0即为所求的近似值.如(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到0.1时的近似值都是2.3.
[针对训练] (1)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是( )
A.[-2,1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
(2)用二分法求f(x)=0的近似解,f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)=-0.984,f(1.375)=-0.260,下一个求f(m),则m= .
解析:(1)二分法求变号零点时所取初始区间 [a,b],应满足f(a)f(b)<0.
函数f(x)=x3+5,由于f(-2)=-3,f(1)=6,显然满足f(-2)f(1)<0,因此 x0∈(-2,1),f(x0)=0,故函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是[-2,1].故选A.
(2)根据题意,方程f(x)=0的根应该在区间 (1.375,1.5)上,则m==1.437 5.
答案:(1)A (2)1.437 5
当堂检测
1.用“二分法”求y=x2-6的零点时,初始区间可取( C )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析:利用变号零点的性质验证可得当x=2时,y=-2<0,当x=3时,y=3>0.
2.函数f(x)=x-(x>0)的零点所在的区间是( B )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解析:函数f(x)=x-(x>0)是增函数,
且f(1)=-2<0,f(2)=>0,
所以函数f(x)=x-(x>0)的零点所在的区间是(1,2).
3.已知函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,判断下列结论,正确的是 .
①若f(a)f(b)<0,则在区间(a,b)内函数f(x)有且仅有一个零点;
②若f(a)f(b)>0,则在区间(a,b)内函数f(x)无零点;
③若f(x)在(a,b)内有零点,必有f(a)f(b)<0;
④若f(a)f(b)≤0,则函数f(x)在(a,b)内有零点;
⑤若f(a)f(b)<0,则函数f(x)在(a,b)内有零点.
解析:①由条件f(a)f(b)<0成立,则在(a,b)内可能不止一个零点;②是在f(a)f(b)>0的情况下,未必无零点;③在(a,b)内有零点,也未必有f(a)f(b)<0成立;④注意端点问题,可能a,b恰好使得f(x)=0.
答案:⑤
4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[1,3]内的根,取区间的中点为x0=2,那么下一个有根的区间是 .
解析:设f(x)=x3-2x-5,f(1)=1-2-5=-6<0,f(2)=23-4-5=-1<0,
f(3)=33-6-5=16>0,f(x)零点所在的区间为(2,3),所以方程x3-2x-5=0下一个有根的区间是(2,3).
答案:(2,3)
备用例题
[例1] 已知函数f(x)在区间[-2,2]上有定义,则“f(x)在区间[-2,2]上有零点”是“f(-2)·f(2)<0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:函数f(x)在区间[-2,2]上有定义,若函数在区间[-2,2]上有零点,不妨设f(x)=x2,则f(-2)f(2)>0,即函数在区间[-2,2]上有零点不一定得到f(-2)·f(2)<0;另一方面,若f(-2)f(2)<0,不妨取f(x)=则函数在[-2,2]上无零点,即f(-2)f(2)<0得不到函数在区间[-2,2]上有零点,
故“f(x)在区间[-2,2]上有零点”是“f(-2)·f(2)<0”的既不充分也不必要条件.故选D.
[例2] 判断下列函数是否可用二分法求零点:
(1)y=x2-5x-14;
(2)y=x2+x+1;
(3)y=-x4+x3+10x2-x+5;
(4)y=x4-18x2+81.
解:(1)y=x2-5x-14=(x+2)(x-7),
又因为x<-2时,y>0;-2
x>7时,y>0.
所以函数有两个零点,都是变号零点.
(2)y=x2+x+1=(x+)2+>0,
所以此函数没有零点.
(3)令f(x)=-x4+x3+10x2-x+5,
因为f(0)=5>0,
f(5)=-54+53+10×52-5+5=-250<0,
所以函数在(0,5)内至少有一个变号零点.
(4)y=x4-18x2+81=(x2-9)2=(x-3)2(x+3)2≥0,
所以函数有两个二重零点:3,-3,它们都是不变号零点.
综上,能用二分法求函数零点的是(1)(3).
[例3] 已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a≠0).若x1,x2∈R且x1证明:设g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],
则g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]=
[f(x1)-f(x2)],
g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x2)-f(x1)],
因为f(x1)≠f(x2),
所以g(x1)g(x2)=-<0,
所以g(x)=0在区间(x1,x2)上有实数根.
即方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]在区间(x1,x2)上有实数根.
选题明细表
知识点、方法 题号
函数零点存在定理的理解及应用 1,3,4,5,8
二分法概念的理解 2,7,10,11,13
二分法求零点近似值 6,9,12,14
基础巩固
1.函数f(x)=x3-2x-3一定存在零点的区间是( B )
A.(2,+∞) B.(1,2)
C.(0,1) D.(-1,0)
解析:因为f(x)=x3-2x-3,
所以f(1)=-4<0,f(2)=1>0,
由函数零点存在定理可知,函数在(1,2)上一定存在零点.
2.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时,若第一次所取区间为[-2,6],则第三次所取区间可能是( C )
A.[-2,-1] B.[-1,1]
C.[2,4] D.[5,6]
解析:因为第一次所取的区间是[-2,6],所以第二次所取的区间可能为[-2,2],[2,6],
第三次所取的区间可能为[-2,0],[0,2],[2,4],[4,6].
3.(多选题)若函数f(x)=x+(a∈R)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是( AD )
A.-2 B.0
C.1 D.-3
解析:f(x)=x+(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a=-2时,f(1)=1-2=-1<0,f(2)=2-1=1>0,故f(x)在区间(1,2)上有零点,A正确;同理验证其他选项,可知D也正确.
4.已知函数f(x)的图象是连续的,x,f(x)的对应值表如下:
x 3 4 5 6 7 8
f(x) 123.56 21.45 -7.82 -11.57 53.76 126.49
则函数f(x)在区间[3,8]内的零点至少有( A )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
解析:根据函数零点存在定理可知,函数f(x)在区间(4,5),(6,7)内至少各存在一个零点,故函数f(x)在区间[3,8]内至少有2个零点.
5.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且图象是连续不断的,若f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上( D )
A.至少有一实数根
B.至多有一实数根
C.没有实数根
D.必有唯一的实数根
解析:由题意知函数f(x)的图象在区间[a,b]上是连续不断的.因为f(a)f(b)<0,所以函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点.又因为函数f(x)在区间[a,b]上是单调函数,所以函数f(x)在区间[a,b]上至多有一个零点.故函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点,即方程f(x)=0在区间[a,b]上有唯一的实数根.
6.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似值,经验证有f(2)f(4)<0,取区间的中点x1==3,计算得f(2)f(x1)<0,则此时零点x0满足( C )
A.x0=x1 B.x0>x1
C.2解析:因为f(2)f(x1)<0,所以函数f(x)在区间(2,x1)上一定存在
零点,
即函数的零点x0满足27.若二次函数存在零点,且不能用二分法求解,写出一个满足条件的二次函数为f(x)= (写出一个即可,不必考虑所有情况).
解析:只要二次函数对应的二次方程的判别式Δ=0即可.
答案:x2-2x+1(答案不唯一)
能力提升
8.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,若f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,则下列命题正确的是( ABD )
A.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1,2)内
B.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内
C.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2,3)内
D.函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内
解析:因为函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,
所以零点两侧函数值异号,
又f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,
所以f(3)>0,f(1)f(2)<0.
若f(1)>0,f(2)<0,可得f(2)f(3)<0,f(1)f(2)<0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,3)内,故B正确;
若f(1)<0,f(2)>0,则f(0)f(1)<0,f(1)f(2)<0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内,故A正确.
综上两种情况,可知选项C错误,D正确.
9.已知函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[a,b],都有<0,且f(a)f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为[a,b],[,b],[,2b-3],又f()=0,则函数 f(x) 的零点为( C )
A.-6 B.-3 C.- D.-
解析:由二分法的定义和已知,得
或
解得或(舍去),
故函数f(x)的零点为=-.
10.已知函数f(x)=x3-2x+2在区间(-2,0)中存在零点x0,在利用二分法求零点x0的近似值时,计算过程如下表格所示:
零点区间 区间中点 中点对应的函数值
(-2,0) =-1 f(-1)=-1+2+2=3>0
(-2,-1) =- f(-)=-+3+2=>0
(-2,-) =- f(-)=-++2=>0
计算到表格中的最后一步可推断零点x0属于区间 .
解析:因为f(-2)=(-2)3-2×(-2)+2=-2<0,又由表格可知f(-)>0,所以最后一步可推断零点x0属于区间(-2,-).
答案:(-2,-)
11.若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同在(0,4),(0,2),(1,),(,)内,则与f(0)符号不同的是 .(填写所有正确的序号)
①f(4);②f(2);③f(1);④f();⑤f().
解析:因为零点在(0,4)内,则有f(0)f(4)<0,则f(4)与f(0)符号不同,不妨设f(0)>0,f(4)<0,故①正确;取中点2,因为零点在(0,2)内,则有f(0)f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,故②正确;取中点1,因为零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则由f(2)<0知f(1)>0,故③错误;取中点,因为零点在(1,)内,则有f(1)·f()<0,则由f(1)>0知f()<
0,故④正确;取中点,因为零点在(,)内,则有f()·f()<0,则由f()<0知f()>0,故⑤错误.所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),
f().
答案:①②④
12.已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明:方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)请使用二分法,取区间的中点两次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.
(1)证明:因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,
所以f(0)f(2)=-<0,
函数f(x)=x3-x2+1的图象是连续的,
由函数零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)解:取x1=×(0+2)=1,得f(1)=>0,
由此可得f(1)f(2)=-<0,
下一个有解区间为(1,2),
再取x2=×(1+2)=,
得f()=-<0,
由f(1)f()=-<0,
知下一个有解区间为(1,).
综上所述,所求实数解x0在较小区间(1,)内.
13.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0.
(1)证明:a>0;
(2)利用二分法证明方程f(x)=0在[0,1]内有两个实根.
证明:(1)因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,
即3(a+b+c)-b-2c>0.
因为a+b+c=0,所以-b-2c>0,
则-b-c>c,即a>c.
因为f(0)>0,所以c>0,则a>0.
(2)在[0,1]内选取二等分点,则f()=a+b+c=a+(-a)=-a<0.
因为f(0)>0,f(1)>0,
所以f(x)在区间(0,)和(,1)上至少各有一个零点,
又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.
应用创新
14.已知函数f(x)=ax3-2ax+3a-4在区间(-1,1)上有一个零点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若a=,用二分法求方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根.
解:(1)若a=0,则f(x)=-4,与题意不符,
所以a≠0.
由题意得f(-1)f(1)=8(a-1)(a-2)<0,
则或
所以1故实数a的取值范围为(1,2).
(2)若a=,则f(x)=x3-x+,
所以f(-1)=>0,f(0)=>0,
f(1)=-<0.
所以函数零点在(0,1)上.
又f()=0,所以方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二课时 零点的存在性及其近似值的求法
选题明细表
知识点、方法 题号
函数零点存在定理的理解及应用 1,3,4,5,8
二分法概念的理解 2,7,10,11,13
二分法求零点近似值 6,9,12,14
基础巩固
1.函数f(x)=x3-2x-3一定存在零点的区间是( B )
A.(2,+∞) B.(1,2)
C.(0,1) D.(-1,0)
解析:因为f(x)=x3-2x-3,
所以f(1)=-4<0,f(2)=1>0,
由函数零点存在定理可知,函数在(1,2)上一定存在零点.
2.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时,若第一次所取区间为[-2,6],则第三次所取区间可能是( C )
A.[-2,-1] B.[-1,1]
C.[2,4] D.[5,6]
解析:因为第一次所取的区间是[-2,6],所以第二次所取的区间可能为[-2,2],[2,6],
第三次所取的区间可能为[-2,0],[0,2],[2,4],[4,6].
3.(多选题)若函数f(x)=x+(a∈R)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是( AD )
A.-2 B.0
C.1 D.-3
解析:f(x)=x+(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a=-2时,f(1)=1-2=-1<0,f(2)=2-1=1>0,故f(x)在区间(1,2)上有零点,A正确;同理验证其他选项,可知D也正确.
4.已知函数f(x)的图象是连续的,x,f(x)的对应值表如下:
x 3 4 5 6 7 8
f(x) 123.56 21.45 -7.82 -11.57 53.76 126.49
则函数f(x)在区间[3,8]内的零点至少有( A )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
解析:根据函数零点存在定理可知,函数f(x)在区间(4,5),(6,7)内至少各存在一个零点,故函数f(x)在区间[3,8]内至少有2个零点.
5.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且图象是连续不断的,若f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上( D )
A.至少有一实数根
B.至多有一实数根
C.没有实数根
D.必有唯一的实数根
解析:由题意知函数f(x)的图象在区间[a,b]上是连续不断的.因为f(a)f(b)<0,所以函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点.又因为函数f(x)在区间[a,b]上是单调函数,所以函数f(x)在区间[a,b]上至多有一个零点.故函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点,即方程f(x)=0在区间[a,b]上有唯一的实数根.
6.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似值,经验证有f(2)f(4)<0,取区间的中点x1==3,计算得f(2)f(x1)<0,则此时零点x0满足( C )
A.x0=x1 B.x0>x1
C.2解析:因为f(2)f(x1)<0,所以函数f(x)在区间(2,x1)上一定存在
零点,
即函数的零点x0满足27.若二次函数存在零点,且不能用二分法求解,写出一个满足条件的二次函数为f(x)= (写出一个即可,不必考虑所有情况).
解析:只要二次函数对应的二次方程的判别式Δ=0即可.
答案:x2-2x+1(答案不唯一)
能力提升
8.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,若f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,则下列命题正确的是( ABD )
A.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1,2)内
B.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内
C.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2,3)内
D.函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内
解析:因为函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,
所以零点两侧函数值异号,
又f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,
所以f(3)>0,f(1)f(2)<0.
若f(1)>0,f(2)<0,可得f(2)f(3)<0,f(1)f(2)<0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,3)内,故B正确;
若f(1)<0,f(2)>0,则f(0)f(1)<0,f(1)f(2)<0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内,故A正确.
综上两种情况,可知选项C错误,D正确.
9.已知函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[a,b],都有<0,且f(a)f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为[a,b],[,b],[,2b-3],又f()=0,则函数 f(x) 的零点为( C )
A.-6 B.-3 C.- D.-
解析:由二分法的定义和已知,得
或
解得或(舍去),
故函数f(x)的零点为=-.
10.已知函数f(x)=x3-2x+2在区间(-2,0)中存在零点x0,在利用二分法求零点x0的近似值时,计算过程如下表格所示:
零点区间 区间中点 中点对应的函数值
(-2,0) =-1 f(-1)=-1+2+2=3>0
(-2,-1) =- f(-)=-+3+2=>0
(-2,-) =- f(-)=-++2=>0
计算到表格中的最后一步可推断零点x0属于区间 .
解析:因为f(-2)=(-2)3-2×(-2)+2=-2<0,又由表格可知f(-)>0,所以最后一步可推断零点x0属于区间(-2,-).
答案:(-2,-)
11.若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同在(0,4),(0,2),(1,),(,)内,则与f(0)符号不同的是 .(填写所有正确的序号)
①f(4);②f(2);③f(1);④f();⑤f().
解析:因为零点在(0,4)内,则有f(0)f(4)<0,则f(4)与f(0)符号不同,不妨设f(0)>0,f(4)<0,故①正确;取中点2,因为零点在(0,2)内,则有f(0)f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,故②正确;取中点1,因为零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则由f(2)<0知f(1)>0,故③错误;取中点,因为零点在(1,)内,则有f(1)·f()<0,则由f(1)>0知f()<
0,故④正确;取中点,因为零点在(,)内,则有f()·f()<0,则由f()<0知f()>0,故⑤错误.所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),
f().
答案:①②④
12.已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明:方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)请使用二分法,取区间的中点两次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.
(1)证明:因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,
所以f(0)f(2)=-<0,
函数f(x)=x3-x2+1的图象是连续的,
由函数零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)解:取x1=×(0+2)=1,得f(1)=>0,
由此可得f(1)f(2)=-<0,
下一个有解区间为(1,2),
再取x2=×(1+2)=,
得f()=-<0,
由f(1)f()=-<0,
知下一个有解区间为(1,).
综上所述,所求实数解x0在较小区间(1,)内.
13.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0.
(1)证明:a>0;
(2)利用二分法证明方程f(x)=0在[0,1]内有两个实根.
证明:(1)因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,
即3(a+b+c)-b-2c>0.
因为a+b+c=0,所以-b-2c>0,
则-b-c>c,即a>c.
因为f(0)>0,所以c>0,则a>0.
(2)在[0,1]内选取二等分点,则f()=a+b+c=a+(-a)=-a<0.
因为f(0)>0,f(1)>0,
所以f(x)在区间(0,)和(,1)上至少各有一个零点,
又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.
应用创新
14.已知函数f(x)=ax3-2ax+3a-4在区间(-1,1)上有一个零点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若a=,用二分法求方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根.
解:(1)若a=0,则f(x)=-4,与题意不符,
所以a≠0.
由题意得f(-1)f(1)=8(a-1)(a-2)<0,
则或
所以1故实数a的取值范围为(1,2).
(2)若a=,则f(x)=x3-x+,
所以f(-1)=>0,f(0)=>0,
f(1)=-<0.
所以函数零点在(0,1)上.
又f()=0,所以方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根为.
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