3.1.2 函数的单调性
第一课时 函数单调性的定义、判断及简单应用
学习目标
1.理解并掌握增(减)函数的定义及其几何意义.会用单调性的定义证明函数的单调性.会求函数的单调区间.提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.
2.理解函数平均变化率的概念,会求函数的平均变化率,培养直观想象和数学运算的核心素养.
知识探究
1.增、减函数的定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I D:
(1)如果对任意x1,x2∈I,当x1
(2)如果对任意x1,x2∈I,当x1f(x2),则称y=f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减),如图(2)所示.
两种情况下,都称函数在I上具有单调性(当I为区间时,称I为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).
[思考1] 关于函数单调性的定义要注意哪些问题
提示:(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域内的不同区间上可以有不同的单调性.
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的x1,x2有以下几个特征:一是任意性,即任意取x1,x2,“任意”二字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定x1(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推,即f(x)是增(减)函数,且f(x1)x2).
[思考2] 若函数y=f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数,能说函数y=f(x)在A∪B表示的区间上是增(减)函数吗
提示:不能,如函数f(x)=-在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函数,但是函数f(x)=-在(-∞,0)∪(0,+∞)上却不是增函数,这是因为2与-2都是(-∞,0)∪(0,+∞)内的值,虽然2>-2,但是f(2)2.函数的平均变化率
(1)定义
一般地,若I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈I且x1≠x2记y1=f(x1),y2=f(x2),称=(即=)为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)上的平均变化率.
(2)平均变化率与单调性的关系
①y=f(x)在I上是增函数的充要条件是>0在I上恒成立,如图(1);
②y=f(x)在I上是减函数的充要条件是<0在I上恒成立,如图(2).
[思考3] 函数的平均变化率是固定不变的吗
提示:不一定.当x1取定值后,Δx取不同的数值时,函数的平均变化率不一定相同;当Δx取定值后,x1取不同的数值时,函数的平均变化率也不一定相同.比如,f(x)=x2在区间[0,2]和[2,4]上都有Δx=2,但Δy分别为4-0=4和16-4=12.
事实上,根据下面将要学均变化率的几何意义可知,曲线上任意不同两点间连线的斜率一般不相等,即一般情况下函数的平均变化率是不相同的.
[思考4] 如果=0在I上恒成立,那么函数f(x)有什么特点
提示:函数f(x)是常数函数.
(1)与单调性判断的等价结论
在x∈D上,f(x)是增函数,x1,x2∈D,且x1≠x2 (x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0 >0.
在x∈D上,f(x)是减函数,x1,x2∈D,且x1≠x2 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 <0.
(2)判断函数单调性的常用方法
①定义法.根据增函数、减函数的定义,按照“取值→作差→变形→判断符号→下结论”进行判断.
②根据平均变化率的变化判断.
③图象法.根据函数图象的升、降情况进行判断.
④直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.
⑤根据一些常用结论推理判断.
探究点一 函数单调性的判断与证明
[例1] 证明函数y=在(-1,+∞)上是减函数.
证明:法一 记y=f(x),任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1那么f(x1)-f(x2)=-=
,
因为-10,x1+1>0,
x2+1>0,
所以>0,
即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),
所以y=在(-1,+∞)上是减函数.
法二 设x1≠x2,那么==-,
又x1,x2>-1,所以-<0,即<0,所以y=在(-1,+∞)上是减函数.
证明函数单调性的两种方法
(1)利用单调性定义,其基本步骤如下
①取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1②作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.
③定号:确定f(x1)-f(x2)的符号,当等号不确定时,分类讨论.
④结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.
(2)利用函数平均变化率判断,即通过比较与0的大小来判断函数的单调性.
[针对训练] 证明函数f(x)=x+在(1,+∞)上是增函数.
证明:法一 任取x1,x2∈(1,+∞),且x1那么f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=
(x1-x2)+=(x1-x2).
因为x2>x1>1,所以x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0.
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)=x+在(1,+∞)上是增函数.
法二 设x1≠x2,那么==1->0,
因此函数f(x)=x+在(1,+∞)上是增函数.
探究点二 求函数的单调区间
[例2] 求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减.
(1)f(x)=
(2)f(x)=-x2+2|x|+3.
解:(1)当x≥1时,f(x)单调递增,
当x<1时,f(x)单调递减,
所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),
并且函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
(2)因为f(x)=-x2+2|x|+3=
根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知,
函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞).
f(x)在(-∞,-1],[0,1)上单调递增,在(-1,0),[1,+∞)上单调递减.
根据函数解析式求函数单调区间的方法
(1)利用已学函数的单调性,如一次函数的单调性由一次项系数的符号确定,二次函数的单调性由二次项系数以及对称轴确定等;
(2)如果函数的单调性不能由解析式直接确定,可以作出函数的图象,利用函数的图象确定函数的单调区间.
[针对训练] 作出函数f(x)=的图象,并指出函数f(x)的单调区间.
解:f(x)=的图象如图所示,
由图可知,函数f(x)=的单调递减区间为(-∞,1]和(1,2),单调递增区间为[2,+∞).
探究点三 单调性的应用
角度一 函数值的大小比较
[例3] f(x)是二次函数,且在x=1处取得最值,又f()解:由于f(x)是二次函数,且在x=1处取得最值,因此直线x=1是二次函数的对称轴.
又因为1<<π,f()所以二次函数的图象开口方向向上,f(x)在(-∞,1)上单调递减.
由于0与2关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0).
因为-2<0,所以f(-2)>f(0),
即f(-2)>f(2).
利用函数的单调性比较函数值或自变量的大小时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
[针对训练] f(x)在(0,+∞)上单调递减,那么f(a2-a+1)与f()的大小关系是 .
解析:因为a2-a+1=(a-)2+>,
又因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以f(a2-a+1)答案:f(a2-a+1)角度二 解不等式
[例4] 函数y=f(x)定义在(0,+∞)上,且在(0,+∞)上单调递增,f(1)=0,则不等式f(4-x)<0的解集为 .
解析:由题意,不等式f(4-x)<0可化为0<4-x<1,解得3答案:(3,4)
若函数y=f(x)在区间D上是增函数,对任意x1,x2∈D,且f(x1)x2.但需要注意的是不要忘记函数的定义域.
[针对训练] 已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)解:f(1-a)解得0即a的取值范围是(0,).
角度三 利用单调性求参数的取值范围
[例5] y=kx2-x+1在[0,+∞)上单调递减,求实数k的取值范围.
解:当k=0时,y=-x+1满足题意;
k>0时,抛物线开口向上,对称轴x=>0,在[0,+∞)上不可能单调递减;
k<0时,对称轴x=<0,在[0,+∞)上单调递减.
综上,k的取值范围为(-∞,0].
已知函数的单调区间求参数问题的方法
若函数在某一区间上单调,则此区间是函数相应单调区间的子集,由子集的性质转化为不等式问题.
[针对训练] 函数f(x)=x2+(2a+1)x+1在区间[1,2]上是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.[-,+∞)∪(-∞,-]
B.(-,+∞)∪(-∞,-)
C.(-∞,-]
D.[-,-]
解析:函数f(x)=x2+(2a+1)x+1为二次函数,其对称轴为直线x=-,
若f(x)在区间[1,2]上是单调函数,则有-≤1或-≥2,解得a≥-或a≤-,即a的取值范围为[-,+∞)∪(-∞,-].故选A.
角度四 含参数分段函数的单调性
[例6] 若函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,则实数a的取值范围是( )
A. B.(,+∞)
C.[1,2] D.[1,+∞)
解析:因为函数f(x)=
满足对任意的实数x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
即
解得1≤a≤2.所以实数a的取值范围是[1,2].故选C.
含参数的分段函数的单调性
分段函数在给定区间上的单调递增(减)问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小关系,若函数是增函数,则左边比右边小(若函数是减函数,则右边比左边小)这样才能满足在R上单调递增.否则求出的参数的范围会出现错误.
[针对训练] 已知函数f(x)=
是R上的减函数,则实数a的取值范围是( )
A.(0,2) B.(1,2)
C.[1,2) D.(0,1]
解析:函数f(x)=是R上的减函数,
所以解得1≤a<2.故选C.
当堂检测
1.若函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中成立的是( D )
A.f(-)B.f(-1)C.f(-2)D.f(-2)解析:因为f(x)在(-∞,-1]上是增函数,且-2<-<-1,
所以f(-2)2.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( D )
A.f(x)=3-x B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)= D.f(x)=x2+2x
解析:对于A,f(x)在R上单调递减,不合题意;对于B,f(x)的对称轴是直线x=1,在(0,1)上单调递减,不合题意;对于C,f(x) 在(0,+∞)上单调递减,不合题意;对于D,f(x)的对称轴是直线x=-1,开口向上,在(0,+∞)上单调递增,符合题意.
3.(多选题)若函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则下列区间是函数f(x)的单调递减区间的为( AD )
A.[-4,-2] B.[-3,-1]
C.[-4,0] D.[1,4]
解析:由题图可得f(x)在[-4,-2]上单调递减,在[-2,1]上单调递增,在[1,4]上单调递减,
所以f(x)的单调递减区间为[-4,-2],[1,4].
4.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且f(4a-3)>f(5+6a),则实数a的取值范围是 .
解析:由题意,得4a-3>5+6a,即a<-4.
答案:(-∞,-4)
备用例题
[例1] 若函数f(x)是R上的减函数,a>0,则下列不等式一定成立的是( )
A.f(a2)B.f(a)C.f(a)D.f(a2)解析:函数f(x)是R上的减函数,a>0,
由于a2-a=a(a-1),因此当a>1时,a2>a,
所以f(a2)所以f(a2)>f(a),即A不一定成立;
由于当a>1时,a>,
所以f(a)当0所以f(a)>f(),即B不一定成立;
由于a>0时,2a>a,则f(a)>f(2a),
所以C不成立;
由于a2-(a-1)=a2-a+1=(a-)2+>0,则a2>a-1,所以f(a2)[例2] 若函数f(x)=|2x+a|在[6,+∞)上是增函数,则a的取值范围是 ;若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[6,+∞),则a的取值集合是 .
解析:f(x)=
所以f(x)的单调递增区间是[-,+∞),
又函数在[6,+∞)上是增函数,所以-≤6,解得a≥-12.
由于函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[6,+∞),则-=6,解得a=-12.
答案:[-12,+∞) {-12}
[例3] 已知f(x)=(x≠a).
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)上单调递增;
(2)若a>0,且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
(1)证明:当a=-2时,f(x)=.
任取x1,x2∈(-∞,-2),且x1因为x1,x2∈(-∞,-2),且x1所以(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
(2)解:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1因为a>0,x2-x1>0,
又由题意知f(x1)-f(x2)>0,
所以(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a≤1,
所以0选题明细表
知识点、方法 题号
函数的单调性的判断与证明 1,2,5,10
函数的单调应用 3,4,6,9,11
函数的平均变化率 7,8,12
单调性的综合 13,14,15
基础巩固
1.下列函数是减函数的为( C )
A.y= B.y=1-x2
C.y=-x D.y=|x|
解析:函数y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,但是在定义域上不是单调递减,故A错误;函数y=1-x2在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,在定义域上不是单调递减,故B错误;y=-x在R上单调递减,故C正确;
y=|x|在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故D错误.
2.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数图象是( B )
解析:对于A,函数分别在(-∞,1)和[1,+∞)上单调递增,但存在x1∈(0,1),使f(x1)>f(1),故A不符合题意;对于C,函数分别在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递增,但存在x1>1,使f(x1)1,使f(x1)3.定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则下列关系式成立的是( A )
A.f(3)C.f(2)解析:定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则函数f(x)在R上单调递减,因为1<2<3,所以f(3)<
f(2)4.已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是( A )
A.[0,] B.(0,+∞)
C.(-∞,0) D.(-∞,)
解析:因为函数是(-∞,+∞)上的减函数,所以解得0≤a≤.
5.函数f(x)的定义域为D,给出下列两个条件:
①对于任意x1,x2∈D,当x1≠x2时,总有f(x1)≠f(x2);
②f(x)在定义域内不是单调函数.
请写出一个同时满足条件①②的函数: .
解析:易知f(x)=在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减,
故对于任意x1,x2∈D,当x1≠x2时,总有f(x1)≠f(x2);
且f(x)=在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不单调.
答案:f(x)=(答案不唯一)
6.若f(x)是定义在(-3,6)上的减函数,且f(2x+1)>f(5),则x的取值范围为 .
解析:f(x)是定义在(-3,6)上的减函数,
且f(2x+1)>f(5),
则解得-2答案:(-2,2)
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,则三者的大小关系是 .
解析:因为==kMA,
==kAB,
==kBC,
由图象可知kMA所以<<.
答案:<<
8.已知函数f(x)=2x2+1.
(1)求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率;
(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率;
(3)求当x0=1,Δx=时平均变化率的值.
解:(1)由已知得Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=
2(x0+Δx)2+1-2-1=2Δx(2x0+Δx),
所以==4x0+2Δx.
(2)由(1)可知,=4x0+2Δx,
当x0=2,Δx=0.01时,
=4×2+2×0.01=8.02.
(3)由(1)可知=4x0+2Δx,
当x0=1,Δx=时,=4×1+2×=5.
能力提升
9.若函数f(x)=在区间[1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是( A )
A.(-1,2) B.(-∞,2)
C.(-2,1) D.(1,+∞)
解析:函数f(x)==1+在[1,+∞)上单调递减,则解得-110.(多选题)下列说法正确的是( BC )
A.若定义在R上的函数f(x)满足f(3)>f(2),则函数f(x)是R上的增函数
B.若定义在R上的函数f(x)满足f(3)>f(2),则函数f(x)在R上不是减函数
C.若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数
D.若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间
(0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数
解析:若函数f(x)在R上为增函数,当x1f(2)成立,不具有一般性,f(2)>f(0)不一定成立,所以A错误;
函数f(x)在R上为减函数,当x1f(x2)成立,因此f(3)<
f(2)一定成立,
若f(3)>f(2),函数f(x)在R上不是减函数,故B正确;
若函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则对于任意的x1,x2∈R且x1函数f(x)=是定义在R上的函数,在区间(-∞,0]上是增函数,在区间(0,+∞)上也是增函数,而-1<1,但f(-1)=f(1),不符合增函数的定义,所以函数f(x)在R上不是增函数.故D错误.
11.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,A(0,-3),B(2,3)是其图象上的两点,那么|f(x-1)|<3的解集是 .
解析:不等式|f(x-1)|<3可化为-3因为函数f(x)是定义在R上的增函数,A(0,-3),B(2,3)是其图象上的两点,
所以0答案:(1,3)
12.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是 厂.
解析:在t0处,虽然W1(t0)=W2(t0),
但>,
即<,
所以在相同时间Δt内,甲厂比乙厂的平均治污率小,所以乙厂治污效果较好.
答案:乙
13.已知函数f(x)满足f(x)+2f()=3x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性.
(1)解:由题意可得
所以f(x)=-x.
(2)证明:取任意x1,x2∈(0,+∞),且x1则x2-x1>0,
所以f(x1)-f(x2)=(-x1)-(-x2)=(x2-x1)(1+)>0,即f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
14.已知函数f(x)=x2--3(x>0).
(1)判断函数的单调性,并证明;
(2)用函数观点解不等式:f(x)>0.
解:(1)任取x1,x2∈(0,+∞)且x1>x2,
即x1>x2>0,
f(x1)-f(x2)=(--3)-(--3)=(-)+(-)=(x1-x2)(x1+x2)+
=(x1-x2)(x1+x2+),
因为x1>x2>0,
则x1-x2>0,x1x2>0,x1+x2+>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)=x2--3在区间(0,+∞)上是增函数.
(2)由(1)可知函数f(x)=x2--3在区间(0,+∞)上是增函数,且f(2)=0,
因此由f(x)>0=f(2)可得x>2.
因此不等式f(x)>0的解集为(2,+∞).
应用创新
15.已知函数f(x)的图象关于x=3对称,且对任意的x1,x2∈[0,+∞)
(x1≠x2),总有>0,则下列结论正确的是( D )
A.f(-2)C.f(0)解析:因为对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),总有>0,
所以对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),总有>0,
所以y=f(x+3)在[0,+∞)上单调递增,所以y=f(x)在[3,+∞)上单调递增,
又因为函数f(x)的图象关于x=3对称,
所以f(-2)=f(8)>f(5)>f(4),故A,B错误,
所以f(0)=f(6),故C错误,D正确.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1.2 函数的单调性
第一课时 函数单调性的定义、判断及简单应用
选题明细表
知识点、方法 题号
函数的单调性的判断与证明 1,2,5,10
函数的单调应用 3,4,6,9,11
函数的平均变化率 7,8,12
单调性的综合 13,14,15
基础巩固
1.下列函数是减函数的为( C )
A.y= B.y=1-x2
C.y=-x D.y=|x|
解析:函数y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,但是在定义域上不是单调递减,故A错误;函数y=1-x2在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,在定义域上不是单调递减,故B错误;y=-x在R上单调递减,故C正确;
y=|x|在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故D错误.
2.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数图象是( B )
解析:对于A,函数分别在(-∞,1)和[1,+∞)上单调递增,但存在x1∈(0,1),使f(x1)>f(1),故A不符合题意;对于C,函数分别在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递增,但存在x1>1,使f(x1)1,使f(x1)3.定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则下列关系式成立的是( A )
A.f(3)C.f(2)解析:定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则函数f(x)在R上单调递减,因为1<2<3,所以f(3)<
f(2)4.已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是( A )
A.[0,] B.(0,+∞)
C.(-∞,0) D.(-∞,)
解析:因为函数是(-∞,+∞)上的减函数,所以解得0≤a≤.
5.函数f(x)的定义域为D,给出下列两个条件:
①对于任意x1,x2∈D,当x1≠x2时,总有f(x1)≠f(x2);
②f(x)在定义域内不是单调函数.
请写出一个同时满足条件①②的函数: .
解析:易知f(x)=在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减,
故对于任意x1,x2∈D,当x1≠x2时,总有f(x1)≠f(x2);
且f(x)=在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不单调.
答案:f(x)=(答案不唯一)
6.若f(x)是定义在(-3,6)上的减函数,且f(2x+1)>f(5),则x的取值范围为 .
解析:f(x)是定义在(-3,6)上的减函数,
且f(2x+1)>f(5),
则解得-2答案:(-2,2)
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,则三者的大小关系是 .
解析:因为==kMA,
==kAB,
==kBC,
由图象可知kMA所以<<.
答案:<<
8.已知函数f(x)=2x2+1.
(1)求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率;
(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率;
(3)求当x0=1,Δx=时平均变化率的值.
解:(1)由已知得Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=
2(x0+Δx)2+1-2-1=2Δx(2x0+Δx),
所以==4x0+2Δx.
(2)由(1)可知,=4x0+2Δx,
当x0=2,Δx=0.01时,
=4×2+2×0.01=8.02.
(3)由(1)可知=4x0+2Δx,
当x0=1,Δx=时,=4×1+2×=5.
能力提升
9.若函数f(x)=在区间[1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是( A )
A.(-1,2) B.(-∞,2)
C.(-2,1) D.(1,+∞)
解析:函数f(x)==1+在[1,+∞)上单调递减,则解得-110.(多选题)下列说法正确的是( BC )
A.若定义在R上的函数f(x)满足f(3)>f(2),则函数f(x)是R上的增函数
B.若定义在R上的函数f(x)满足f(3)>f(2),则函数f(x)在R上不是减函数
C.若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数
D.若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间
(0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数
解析:若函数f(x)在R上为增函数,当x1f(2)成立,不具有一般性,f(2)>f(0)不一定成立,所以A错误;
函数f(x)在R上为减函数,当x1f(x2)成立,因此f(3)<
f(2)一定成立,
若f(3)>f(2),函数f(x)在R上不是减函数,故B正确;
若函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则对于任意的x1,x2∈R且x1函数f(x)=是定义在R上的函数,在区间(-∞,0]上是增函数,在区间(0,+∞)上也是增函数,而-1<1,但f(-1)=f(1),不符合增函数的定义,所以函数f(x)在R上不是增函数.故D错误.
11.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,A(0,-3),B(2,3)是其图象上的两点,那么|f(x-1)|<3的解集是 .
解析:不等式|f(x-1)|<3可化为-3因为函数f(x)是定义在R上的增函数,A(0,-3),B(2,3)是其图象上的两点,
所以0答案:(1,3)
12.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是 厂.
解析:在t0处,虽然W1(t0)=W2(t0),
但>,
即<,
所以在相同时间Δt内,甲厂比乙厂的平均治污率小,所以乙厂治污效果较好.
答案:乙
13.已知函数f(x)满足f(x)+2f()=3x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性.
(1)解:由题意可得
所以f(x)=-x.
(2)证明:取任意x1,x2∈(0,+∞),且x1则x2-x1>0,
所以f(x1)-f(x2)=(-x1)-(-x2)=(x2-x1)(1+)>0,即f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
14.已知函数f(x)=x2--3(x>0).
(1)判断函数的单调性,并证明;
(2)用函数观点解不等式:f(x)>0.
解:(1)任取x1,x2∈(0,+∞)且x1>x2,
即x1>x2>0,
f(x1)-f(x2)=(--3)-(--3)=(-)+(-)=(x1-x2)(x1+x2)+
=(x1-x2)(x1+x2+),
因为x1>x2>0,
则x1-x2>0,x1x2>0,x1+x2+>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)=x2--3在区间(0,+∞)上是增函数.
(2)由(1)可知函数f(x)=x2--3在区间(0,+∞)上是增函数,且f(2)=0,
因此由f(x)>0=f(2)可得x>2.
因此不等式f(x)>0的解集为(2,+∞).
应用创新
15.已知函数f(x)的图象关于x=3对称,且对任意的x1,x2∈[0,+∞)
(x1≠x2),总有>0,则下列结论正确的是( D )
A.f(-2)C.f(0)解析:因为对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),总有>0,
所以对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),总有>0,
所以y=f(x+3)在[0,+∞)上单调递增,所以y=f(x)在[3,+∞)上单调递增,
又因为函数f(x)的图象关于x=3对称,
所以f(-2)=f(8)>f(5)>f(4),故A,B错误,
所以f(0)=f(6),故C错误,D正确.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共40张PPT)
3.1 函数的概念与性质
3.1.2 函数的单调性
第一课时 函数单调性的定义、判
断及简单应用
「学习目标」
1.理解并掌握增（减）函数的定义及其几何意义.会用单调性的定义证明函数的单调性.
会求函数的单调区间.提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.
2.理解函数平均变化率的概念,会求函数的平均变化率,培养直观想象和数学运算的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
［思考1］ 关于函数单调性的定义要注意哪些问题？
［思考3］ 函数的平均变化率是固定不变的吗？
课堂探究
素养培育
探究点一 函数单调性的判断与证明
探究点二 求函数的单调区间
［例2］ 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减.
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
方法总结
根据函数解析式求函数单调区间的方法
（1）利用已学函数的单调性，如一次函数的单调性由一次项系数的符号确定，二次函
数的单调性由二次项系数以及对称轴确定等；
（2）如果函数的单调性不能由解析式直接确定，可以作出函数的图象，利用函数的图
象确定函数的单调区间.
探究点三 单调性的应用
角度一 函数值的大小比较
角度二 解不等式
角度三 利用单调性求参数的取值范围
方法总结
已知函数的单调区间求参数问题的方法
若函数在某一区间上单调，则此区间是函数相应单调区间的子集，由子集的性质转化为
不等式问题.
A
角度四 含参数分段函数的单调性
C
C
「当堂检测」
D
D
AD
「备用例题」
D