3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第一课时 方程的根与函数的零点
学习目标
1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系.会求函数的零点.培养数学抽象的核心素养.
2.掌握函数与方程、不等式之间的关系,并会用函数零点法求不等式的解集.培养逻辑推理与数学运算的核心素养.
知识探究
1.函数的零点
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称 α为函数y=f(x)的零点,α是函数f(x)零点的充分必要条件是,
(α,0)是函数图象与x轴的公共点.
[思考1] 函数的零点是一个点吗 任何函数都有零点吗
提示:不是,函数的零点是一个实数,是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,不是一个点;不是,如果函数的图象与x轴没有交点,则函数就没有零点,如函数 f(x)=就没有零点.
[思考2] 设F(x)=f(x)-g(x),则F(x)的零点与函数y=f(x),y=g(x)有何关系
提示:F(x)的零点是函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点的横坐标.
2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
设f(x)=ax2+bx+c,方程ax2+bx+c=0(a>0)的判别式Δ=b2-4ac
判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0
方程 ax2+ bx+c=0 (a>0) 的根 有两个不 等的实根 有两个相 等的实根 没有实根
函数 y=f(x) 的图象 及零点 有两个零点 有一个零点 无零点
f(x)>0 的解集 {x|x
x2} {x|x≠-} R
f(x)<0 的解集 {x|x1< x[思考3] 二次函数f(x)=ax2+bx+c中,二次项系数a<0时,怎样求不等式f(x)>0的解集
提示:对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式,可以先把二次项系数化成正数,再求解;也可以画出二次项系数为负数时的函数图象,再求解.
3.函数零点的性质
(1)当函数图象通过零点,且穿过x轴时,函数值变号.
(2)两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号.
(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同表达形式,方程根的个数就是相应函数的零点的个数,亦即该函数的图象与x轴交点的个数.
(2)函数的对称性与函数零点之和
已知x0为函数f(x)的零点.
①若函数f(x)为奇函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故奇函数的所有零点之和为0.
②若函数f(x)为偶函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故偶函数的所有零点之和为0.
③若函数f(x)的图象关于直线x=b对称,则2b-x0也为函数f(x)的零点,若该函数有2n个零点,则该函数所有零点之和为2nb.
探究点一 函数的零点
[例1] 求下列函数的零点.
(1)f(x)=
(2)f(x)=x3-2x2-x+2.
解:(1)法一 (代数法)由x+1=0知x=-1,但-1 [0,+∞),故当x≥0时,函数f(x)无零点;由x-1=0知x=1,但1 (-∞,0),
故当x<0时,函数f(x)无零点.
综上,函数f(x)=没有零点.
法二 (几何法)画出函数y=f(x)=的图象,如图所示.
因为函数图象与x轴没有交点,
所以函数f(x)=没有零点.
(2)令x3-2x2-x+2=0,得x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1)=(x-2)(x+1)
(x-1)=0,
解得x=-1或x=1或x=2,
所以函数f(x)有3个零点,分别为-1,1,2.
求函数零点的两种方法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.
(2)几何法:函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
[针对训练] 求下列函数的零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=.
解:(1)令-8x2+7x+1=0,
解得x=-或x=1.
所以函数的零点为-和1.
(2)f(x)==,
令=0,解得x=-6.
所以函数的零点为-6.
探究点二 函数零点个数的判断
[例2] 判断下列函数零点的个数.
(1)f(x)=x2-7x+12;
(2)f(x)=x2-.
解:(1)由f(x)=0,即x2-7x+12=0,
得Δ=49-4×12=1>0,
所以方程x2-7x+12=0有两个不相等的实数根.所以函数f(x)有两个零点.
(2)法一 (几何法)由x2-=0,得x2=.
令h(x)=x2,g(x)=.
在同一平面直角坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,如图所示,两函数图象只有一个交点,故函数f(x)=x2-只有一个零点.
法二 (代数法)令f(x)=0,即x2-=0.
因为x≠0,所以x3-1=0,
所以(x-1)(x2+x+1)=0,
所以x=1或x2+x+1=0.
因为方程x2+x+1=0的根的判别式Δ=12-4=-3<0,所以方程x2+x+1=0无实数根.
所以函数f(x)只有一个零点.
函数零点个数的判断方法
(1)方程根的个数与函数零点个数一一对应.
(2)画出y=f(x)的图象,判断它与x轴交点的个数,从而判断零点的个数.
(3)转化为两个函数图象交点问题.
[针对训练] (1)判断函数y=x3-3x2-2x+6的零点个数.
(2)设函数g(x)=ax2+bx+c(a>0),且g(1)=-.求证:函数g(x)有两个零点.
(1)解:y=x3-3x2-2x+6
=x2(x-3)-2(x-3)
=(x2-2)(x-3),
令y=0,则x=±或x=3,显然有三个零点.
(2)证明:因为g(1)=a+b+c=-,
所以3a+2b+2c=0,
所以c=-a-b.
所以g(x)=ax2+bx-a-b,
所以Δ=(2a+b)2+2a2,
因为a>0,所以Δ>0恒成立,
故函数g(x)有两个零点.
探究点三 二次函数零点问题
角度一 解一元二次不等式问题
[例3] 利用函数求下列不等式的解集:
(1)x2-5x-6>0;
(2)(2-x)(x+3)<0;
(3)4(2x2-2x+1)>x(4-x).
解:(1)方程x2-5x-6=0的两根分别为x1=-1,x2=6.所以函数的零点是-1,6,
结合二次函数y=x2-5x-6的图象(图略)知,原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}.
(2)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0.
方程(x-2)(x+3)=0的两根分别为
x1=2,x2=-3.
结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象(图略)知,原不等式的解集为{x|x<-3或x>2}.
(3)由原不等式得8x2-8x+4>4x-x2,
所以原不等式等价于9x2-12x+4>0.
解方程9x2-12x+4=0,
得x1=x2=.
结合二次函数y=9x2-12x+4的图象(图略)知,原不等式的解集为{x|x≠}.
解一元二次不等式的一般步骤
(1)对不等式变形,使一端为零,且二次项系数大于零.
(2)计算相应的判别式.
(3)当Δ>0时,求出相应的一元二次方程的两根.
(4)根据一元二次不等式解集的结构,写出其解集.
[针对训练] 利用函数求下列不等式的解集:
(1)x2-5x+6>0;
(2)-x2+3x-5>0.
解:(1)方程x2-5x+6=0有两个不等实数根分别为x1=2,x2=3,又因为函数y=x2-5x+6的图象是开口向上的抛物线,且抛物线与x轴有两个交点,分别为(2,0)和(3,0),其图象如图①.根据图象可得不等式的解集为{x|x<2或x>3}.
(2)原不等式可化为x2-6x+10<0,对于方程x2-6x+10=0,因为Δ=
(-6)2-40<0,所以方程无解,又因为函数y=x2-6x+10的图象是开口向上的抛物线,且与x轴没有交点,其图象如图②.根据图象可得不等式的解集为 .
角度二 二次函数零点的分布问题
[例4] 已知二次函数f(x)=x2-2ax+4,分别求出下列条件成立的情况下,实数a的取值范围.
(1)两个零点均大于1;
(2)一个零点大于1,一个零点小于1.
解:(1)由已知并结合二次函数的图象(图略),得
解得2故实数a的取值范围是(2,).
(2)由已知并结合二次函数的图象(图略),得f(1)=5-2a<0,
解得a>,
因此实数a的取值范围是(,+∞).
二次函数f(x)=ax2+bx+c零点的分布问题.
(1)两零点与k的大小比较(以a>0为例)
分布情况 两零点都小于k, 即x1k,x2>k 一零点小于k,一零点大于k,即x1大致图象
得出的结论 f(k)<0
(2)两零点分别在区间(m,n)外
a>0 a<0
大致图象
得出的结论
(3)两零点在区间上的分布(以a>0为例)
分布情况 两零点都在(m,n)内 两零点一个在(m,n)内, 一个在(m,n)外 一零点在(m,n)内, 另一零点在(p,q)内
大致图象
得出的结论 f(m)f(n)<0 或
[针对训练] (1)若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是 ;
(2)若函数f(x)=mx2-(m-1)x+1在区间(0,1)内有两个不同的零点,则m的取值范围为 .
解析:(1)根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象,如图.
由图可知即
解得-12(2)若m<0,图象开口向下,则f(0)<0与f(0)=1矛盾,所以m>0.
则 m>3+2.
答案:(1)(-12,0) (2)(3+2,+∞)
探究点四 一元高次不等式的解法
[例5] 求函数f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)的零点,并作出函数图象的示意图,写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
解:函数零点依次为-,1,3.
函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如表所示.
x (-∞,-) (-,1) (1,3) (3,+∞)
f(x) - + - +
由此可以画出函数图象的示意图如图所示.
由图可知f(x)>0的解集为(-,1)∪(3,+∞);
f(x)≤0的解集为(-∞,-]∪[1,3].
数轴穿根法解一元高次不等式的步骤
第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0(注意:一定要保证x前的系数为正数);
第二步:将不等号换成等号解出所有根;
第三步:在数轴上从左到右依次标出各根;
第四步:画穿根线,以数轴为标准,从最右根的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过第二个根,一上一下依次穿过各根;奇次根式穿过数轴,偶次根式不穿过;
第五步:观察不等号,如果不等号为>,则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为<,则取数轴下方,穿根线以内的范围.
上述步骤可以概述为:首正右上翘,首负右下掉;奇过偶不过,引线解知道.
[针对训练] 求函数f(x)=(x+1)(x+2)(2x-3)的零点,并作出函数图象的示意图,写出不等式f(x)≤0的解集.
解:函数零点依次为-2,-1,.
函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如表所示.
x (-∞,-2) (-2,-1) (-1,) (,+∞)
f(x) - + - +
由此可以画出函数图象的示意图如图所示.
f(x)≤0的解集为(-∞,-2]∪[-1,].
【学海拾贝】
根据函数零点求参数
[典例探究] 已知a是实数,函数f(x)=2|x-1|+x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是 .
解析:函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a有且仅有两个交点.
分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如图所示.
由图易知,当a>1时,两函数的图象有且仅有两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+∞).
答案:(1,+∞)
已知函数有零点(方程有根)求参数的方法
(1)直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围.
(2)数形结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)(h(x),g(x)的图象易画出),在同一平面直角坐标系中画出函数h(x),g(x)的图象,然后利用数形结合思想求解.
[应用探究] 已知函数f(x)=若方程f(x)=有三个零点,则实数k的取值范围是( )
A.(1,2] B.[1,+∞)
C.[1,2) D.[1,2]
解析:方程f(x)=有三个零点,即函数y=f(x)的图象与y=有三个不同交点.
当k≤0时,由x≥2可知f(x)≤0,不合题意,因此k>0.
作出函数的图象如图所示,由图可知≥,解得k≥1.所以实数k的取值范围是[1,+∞).故选B.
当堂检测
1.下列图象表示的函数中没有零点的是( A )
解析:观察图象可知A中图象表示的函数没有零点.
2.函数f(x)=x2+x+3的零点的个数是( A )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:令x2+x+3=0,Δ=1-12=-11<0,所以方程无实数根,故函数f(x)=x2+x+3无零点.
3.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5= .
解析:由奇函数的对称性知,若f(x1)=0,则f(-x1)=0,即零点关于原点对称,且f(0)=0,故x1+x2+x3+x4+x5=0.
答案:0
4.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a= .
解析:①当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点.
②当a≠0时,函数y=ax2-x-1是二次函数.
因为y=ax2-x-1只有一个零点,
所以关于x的方程ax2-x-1=0有两个相等的实数根,所以Δ=0,
即1+4a=0,
解得a=-.
答案:0或-
备用例题
[例1] 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是方程f(x)=0的两个根,则a,b,α,β的大小关系可能是( )
A.a<αC.α解析:由题意得,f(a)=f(b)=-2<0,而f(α)=f(β)=0,借助图象可知,
a,b,α,β的大小关系可能是α[例2] (多选题)已知函数f(x),g(x)的图象分别如图(1),(2)所示,方程f(g(x))=1,g(f(x))=-1,g(g(x))=-的实根个数分别为a,b,c,则下列结论正确的是( )
A.a+b=c B.b+c=a
C.ab=c D.b+c=2a
解析:由题图可知方程f(g(x))=1,-1方程g(f(x))=-1,得f(x)=-1或f(x)=1,此时有2个解,故b=2;
方程g(g(x))=-,g(x)取到4个值,如图所示,
即-2[例3] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x.设g(x)=f(x)-k,利用图象讨论:当实数k为何值时,函数g(x)有(1)一个零点;(2)两个零点;(3)三个零点
解:当x≥0时,f(x)=x2-2x.
设x<0,则-x>0,
则f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
因为函数f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x,
所以f(x)=
画出函数f(x)的图象如图所示.
由g(x)=f(x)-k=0可得f(x)=k,
结合(1)中函数的图象可知,
(1)当k<-1或k>1时,函数y=k与y=f(x)的图象有一个交点,即函数g(x)=f(x)-k有一个零点.
(2)当k=-1或k=1时,函数y=k与y=f(x)的图象有两个交点,即函数g(x)=f(x)-k有两个零点.
(3)当-1选题明细表
知识点、方法 题号
求函数零点 1,3,7,8
函数零点个数 2,4
利用零点求参数 5,6,9,10,11,12
零点综合 13,14
基础巩固
1.函数y=x2-4x+3的零点为( C )
A.(1,0) B.(1,3)
C.1和3 D.(1,0)和(3,0)
解析:令x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以函数的零点为1和3.
2.函数f(x)=(x2-1)的零点个数是( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:要使函数有意义,则x2-4≥0,解得x≥2或x≤-2.由f(x)=0得x2-4=0或x2-1=0.即x=±2或x=±1(舍去),所以函数的零点个数
为2.
3.若函数f(x)=ax+b的零点是2(a≠0),则函数g(x)=ax2+bx的零点是( B )
A.2 B.2和0
C.0 D.-2和0
解析:由条件知f(2)=0,所以b=-2a,
所以g(x)=ax2+bx=ax(x-2)的零点为0和2.
4.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则 f(x) 可以是( B )
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=x2+4x-5 D.f(x)=x2-1
解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,所以g(x)的零点为1.
由题意知方程f(x)=0只有x=1一个根.
只有选项B中函数f(x)=(x-1)2满足.
5.函数f(x)=x2-ax-b的两个零点分别是2和3,则a= ,
b= .
解析:函数f(x)=x2-ax-b的两个零点分别是2和3,即方程x2-ax-b=0的两个根分别为2和3,所以a=5,b=-6.
答案:5 -6
6.已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a有4个零点,则满足条件的一个正整数a的值为 .(写出一个即可)
解析:函数y=|x2-2x-3|的图象如图所示,由于函数y=a与y=
|x2-2x-3|的图象的交点个数即为函数f(x)的零点个数.由图可知当0答案:1,2,3中的一个即可
7.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β)(αβ<0),则函数h(x)=cx2-bx+a较大的零点是 .
解析:因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β)(αβ<0),则α<0<β,α,β是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,
则b=-a·(α+β),c=a·αβ,
则不等式cx2-bx+a<0即为aαβx2+a(α+β)x+a<0,
因为a<0,所以αβx2+(α+β)x+1>0,
即(αx+1)(βx+1)>0,所以αβx2+(α+β)x+1=0的两根分别为-,
-,由α<0<β可知较大的根是-.
答案:-
能力提升
8.设函数f(x)=又g(x)=f(x)-1,则函数g(x)的零点是( C )
A.1 B.± C.1,- D.1,
解析:由题意g(x)=
令g(x)=0,当x≥0时,解得x=1,当x<0时,解得x=-.所以g(x)的零点为1,-,
9.关于x的方程x2-(a-1)x+4=0在区间[1,3]内有两个不等实根,则实数a的取值范围是( C )
A.(4,5] B.[3,6]
C.(5,] D.[,6)
解析:令f(x)=x2-(a-1)x+4,由关于x的方程x2-(a-1)x+4=0在区间[1,3]内有两个不等实根可知函数f(x)=x2-(a-1)x+4在区间[1,3]内有两个不同的零点.
则有解得510.(多选题)设函数f(x)=若方程f(x)-a=0存在三个不同的根x1,x2,x3,且x1A.x1+x2=2
B.a的取值范围是(0,1)
C.x1的取值范围是(-1,0)
D.x1+x2+x3的取值范围是(3,4)
解析:作出函数图象如图所示.
结合图象可知a∈(0,1),x1∈(-1,0),x3∈(1,2),由二次函数的图象和性质可得x1+x2=0,x1+x2+x3∈(1,2).
11.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是 .
解析:画出函数f(x)的图象,如图所示.若方程f(x)=g(x) 有两个不相等的实根,则函数f(x),g(x)的图象有两个交点,
由图可知k>,且k<1.
答案:(,1)
12.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是 .
解析:作出函数y=f(x)和y=a的图象如图所示.
由图知,函数y=f(x)与y=a的图象恰有三个交点,即f(x)=a恰有三个不同实数解时,a的取值范围是0答案:(0,4]
应用创新
13.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=x+m恰有三个不相等的实数解,则m的取值范围是( D )
A.[0,] B.(0,)
C.[0,] D.(0,)
解析:函数f(x)=的图象如图所示,
若关于x的方程f(x)=x+m恰有三个不相等的实数解,则函数f(x)的图象与直线y=x+m有三个交点,
若直线y=x+m经过原点,得m=0,
若直线y=x+m与函数f(x)=-x2+2x的图象相切,令-x2+2x=x+m x2-x+m=0,令Δ=-4m=0 m=.故m∈(0,).
14.(多选题)已知函数f(x)=ax2-bx+c(a0,则实数m的值可能是( BC )
A.x0-2 B.x0+
C.x0+ D.x0+2
解析:由-1是函数f(x)=ax2-bx+c的一个零点,可知a+b+c=0,
因为a0,因为-1×m=<0,所以m>0.
由aa+b+b=a+2b,得-<,即>-②,
由①②得-<<1.
函数f(x)=ax2-bx+c的图象是开口向下的抛物线,其对称轴方程为x=,则-<<.
所以零点-1到对称轴的距离d∈(,),
所以m-(-1)=m+1=2d∈(,3),
因为f(x0)>0,所以x0∈(-1,m),
故0所以x021世纪教育网(www.21cnjy.com)(共51张PPT)
3.2 函数与方程、不等式之间的
关系
第一课时 方程的根与函数的零点
「学习目标」
1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系.会求函数的零点.培养数
学抽象的核心素养.
2.掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集.培养逻辑推
理与数学运算的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
［思考1］ 函数的零点是一个点吗 任何函数都有零点吗
2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
判别式
有两个不等的实根 有两个相等的实根 没有实根
_____________________________
有两个零点 ______________________________
有一个零点 _____________________________
无零点
变号
保持同号
拓展总结
课堂探究
素养培育
探究点一 函数的零点
［例1］ 求下列函数的零点.
［针对训练］ 求下列函数的零点.
探究点二 函数零点个数的判断
［例2］ 判断下列函数零点的个数.
探究点三 二次函数零点问题
角度一 解一元二次不等式问题
［例3］ 利用函数求下列不等式的解集：
［针对训练］ 利用函数求下列不等式的解集：
角度二 二次函数零点的分布问题
（1）两个零点均大于1；
（2）一个零点大于1，一个零点小于1.
分布情况
大致图象 _________________________________________ __________________________________________ _____________________________________
得出的
结论
大致图象 _____________________________________________________ ________________________________________________________
得出的结论
分布情况
大致图象 _______________________________________ _____________________________________________ _______________________________________________
得出的
结论
续表
[解析] 根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图.
探究点四 一元高次不等式的解法
由此可以画出函数图象的示意图如图所示.
由此可以画出函数图象的示意图如图所示.
【学海拾贝】
「当堂检测」
1.下列图象表示的函数中没有零点的是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 观察图象可知A中图象表示的函数没有零点.
A
A.0 B.1 C.2 D.3
0
「备用例题」
C
AD3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第一课时 方程的根与函数的零点
选题明细表
知识点、方法 题号
求函数零点 1,3,7,8
函数零点个数 2,4
利用零点求参数 5,6,9,10,11,12
零点综合 13,14
基础巩固
1.函数y=x2-4x+3的零点为( C )
A.(1,0) B.(1,3)
C.1和3 D.(1,0)和(3,0)
解析:令x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以函数的零点为1和3.
2.函数f(x)=(x2-1)的零点个数是( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:要使函数有意义,则x2-4≥0,解得x≥2或x≤-2.由f(x)=0得x2-4=0或x2-1=0.即x=±2或x=±1(舍去),所以函数的零点个数
为2.
3.若函数f(x)=ax+b的零点是2(a≠0),则函数g(x)=ax2+bx的零点是( B )
A.2 B.2和0
C.0 D.-2和0
解析:由条件知f(2)=0,所以b=-2a,
所以g(x)=ax2+bx=ax(x-2)的零点为0和2.
4.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则 f(x) 可以是( B )
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=x2+4x-5 D.f(x)=x2-1
解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,所以g(x)的零点为1.
由题意知方程f(x)=0只有x=1一个根.
只有选项B中函数f(x)=(x-1)2满足.
5.函数f(x)=x2-ax-b的两个零点分别是2和3,则a= ,
b= .
解析:函数f(x)=x2-ax-b的两个零点分别是2和3,即方程x2-ax-b=0的两个根分别为2和3,所以a=5,b=-6.
答案:5 -6
6.已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a有4个零点,则满足条件的一个正整数a的值为 .(写出一个即可)
解析:函数y=|x2-2x-3|的图象如图所示,由于函数y=a与y=
|x2-2x-3|的图象的交点个数即为函数f(x)的零点个数.由图可知当0答案:1,2,3中的一个即可
7.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β)(αβ<0),则函数h(x)=cx2-bx+a较大的零点是 .
解析:因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β)(αβ<0),则α<0<β,α,β是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,
则b=-a·(α+β),c=a·αβ,
则不等式cx2-bx+a<0即为aαβx2+a(α+β)x+a<0,
因为a<0,所以αβx2+(α+β)x+1>0,
即(αx+1)(βx+1)>0,所以αβx2+(α+β)x+1=0的两根分别为-,
-,由α<0<β可知较大的根是-.
答案:-
能力提升
8.设函数f(x)=又g(x)=f(x)-1,则函数g(x)的零点是( C )
A.1 B.± C.1,- D.1,
解析:由题意g(x)=
令g(x)=0,当x≥0时,解得x=1,当x<0时,解得x=-.所以g(x)的零点为1,-,
9.关于x的方程x2-(a-1)x+4=0在区间[1,3]内有两个不等实根,则实数a的取值范围是( C )
A.(4,5] B.[3,6]
C.(5,] D.[,6)
解析:令f(x)=x2-(a-1)x+4,由关于x的方程x2-(a-1)x+4=0在区间[1,3]内有两个不等实根可知函数f(x)=x2-(a-1)x+4在区间[1,3]内有两个不同的零点.
则有解得510.(多选题)设函数f(x)=若方程f(x)-a=0存在三个不同的根x1,x2,x3,且x1A.x1+x2=2
B.a的取值范围是(0,1)
C.x1的取值范围是(-1,0)
D.x1+x2+x3的取值范围是(3,4)
解析:作出函数图象如图所示.
结合图象可知a∈(0,1),x1∈(-1,0),x3∈(1,2),由二次函数的图象和性质可得x1+x2=0,x1+x2+x3∈(1,2).
11.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是 .
解析:画出函数f(x)的图象,如图所示.若方程f(x)=g(x) 有两个不相等的实根,则函数f(x),g(x)的图象有两个交点,
由图可知k>,且k<1.
答案:(,1)
12.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是 .
解析:作出函数y=f(x)和y=a的图象如图所示.
由图知,函数y=f(x)与y=a的图象恰有三个交点,即f(x)=a恰有三个不同实数解时,a的取值范围是0答案:(0,4]
应用创新
13.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=x+m恰有三个不相等的实数解,则m的取值范围是( D )
A.[0,] B.(0,)
C.[0,] D.(0,)
解析:函数f(x)=的图象如图所示,
若关于x的方程f(x)=x+m恰有三个不相等的实数解,则函数f(x)的图象与直线y=x+m有三个交点,
若直线y=x+m经过原点,得m=0,
若直线y=x+m与函数f(x)=-x2+2x的图象相切,令-x2+2x=x+m x2-x+m=0,令Δ=-4m=0 m=.故m∈(0,).
14.(多选题)已知函数f(x)=ax2-bx+c(a0,则实数m的值可能是( BC )
A.x0-2 B.x0+
C.x0+ D.x0+2
解析:由-1是函数f(x)=ax2-bx+c的一个零点,可知a+b+c=0,
因为a0,因为-1×m=<0,所以m>0.
由aa+b+b=a+2b,得-<,即>-②,
由①②得-<<1.
函数f(x)=ax2-bx+c的图象是开口向下的抛物线,其对称轴方程为x=,则-<<.
所以零点-1到对称轴的距离d∈(,),
所以m-(-1)=m+1=2d∈(,3),
因为f(x0)>0,所以x0∈(-1,m),
故0所以x021世纪教育网(www.21cnjy.com)